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2.7 : Contre-exemples


Toutes les déductions ne sont pas valables. Pour montrer qu'une déduction particulière est ne pas valide, vous devez montrer qu'il est possible que sa conclusion soit fausse en même temps que toutes ses hypothèses sont vraies. Pour ce faire, vous devez trouver une affectation aux variables qui rend toutes les hypothèses vraies, mais rend la conclusion fausse.

Exercice (PageIndex{1})

Montrer que la déduction [A lor B, quad A Rightarrow B, quad herefore A] n'est pas valide.

Indice:

Pour rendre la conclusion fausse, nous laissons (A) faux. Ensuite, pour que la première hypothèse soit vraie, il faut que (B) soit vraie. Heureusement, cela rend également la deuxième hypothèse vraie.

Solution

Soit (A) faux et (B) vrai. Puis

[A lor B = mathsf{F} lor mathsf{T} = mathsf{T} ]

et [A Rightarrow B = mathsf{F} Rightarrow mathsf{T} = mathsf{T},]

donc les deux hypothèses de la déduction sont vraies. Cependant, la conclusion de la déduction (à savoir, (A)) est fausse.

Puisque nous avons une situation dans laquelle les deux hypothèses de la déduction sont vraies, mais la conclusion de la déduction est fausse, la déduction n'est pas valide.

Toute situation dans laquelle toutes les hypothèses d'une déduction sont vraies, mais la conclusion est fausse, est appelée un contre-exemple à la déduction.

[ ext{Pour montrer qu'une déduction n'est pas valide, trouvez un contre-exemple.}]

Exercice (PageIndex{2})

Montrez que chacune de ces déductions est invalide, en trouvant un contre-exemple.

  1. (A lor B), (A Rightarrow B)
  2. (P lor Q), (P & Q)
  3. (A Rightarrow (B & C)), (lnot A Rightarrow (B lor C)), (C)
  4. (P Rightarrow Q), (lnot P Rightarrow R), (Q & (P lor R))

Genèse 1 et 2 se contredisent-elles ?

Une lectrice concernée se demande comment répondre à un problème qui a semé le doute dans la foi de son mari. Tim Chaffey, AiG-US, répond à ses préoccupations.

Mon mari a récemment eu une discussion avec l'un de ses professeurs au sujet des écritures hébraïques de la Genèse. Mon mari a conclu que parce qu'il semble y avoir une [contradiction] entre l'ordre de la création dans les chapitres 1 et 2 de la Genèse, la Bible n'est pas sans défaut. Je ne partage pas sa conclusion et j'aimerais avoir une réponse pour lui. Les écritures en question sont Genèse 1 :1-2 :3 contre Genèse 2 :4-22. Il a prétendu être croyant pendant 10 ans, mais il croit maintenant que l'homme a sali la Parole de Dieu et que la Bible n'est pas tout à fait exacte et a des défauts. Pourriez-vous m'aider?

–R.H., États-Unis

Merci d'avoir contacté Answers in Genesis.

Il s'agit d'un argument couramment utilisé contre la compréhension traditionnelle de la Genèse (c'est-à-dire que Dieu a tout créé en six jours de longueur normale il y a environ 6 000 ans). Cet argument tente de montrer qu'il existe des incohérences entre les deux premiers chapitres de la Bible. Les critiques et les sceptiques l'utilisent dans leurs efforts pour montrer qu'on ne peut pas faire confiance à la Bible. Certains chrétiens qui croient aux milliards d'années l'utilisent pour essayer de montrer que ces chapitres ne doivent pas être compris dans leur sens ordinaire. Cependant, l'argument est basé sur une incompréhension de Genèse 2 .

Genèse 1 :1-2 :3 nous fournit un chronologique compte de ce que Dieu a fait à chacun des jours de la semaine de la création. Genèse 2:4-25 zoome sur le sixième jour et montre certains des événements de ce jour.1 Jetons un coup d'œil à ce qui s'est passé le sixième jour, selon Genèse 2 , et nous verrons qu'il n'y a pas de différence ici.

  • Adam est créé ( Genèse 2:7 )
  • Jardin d'Eden créé ( Genèse 2:8-9 )
  • Description du système fluvial en Eden ( Genèse 2:10-14 )
  • Adam a mis dans le jardin et a donné des instructions ( Genèse 2:15-17 )
  • Adam nomme certains types d'animaux ( Genèse 2:18-20 )
  • Dieu crée Eve ( Genèse 2:21-22 )
  • Description d'Adam, Eve et du mariage ( Genèse 2:23-25 ​​)

Le problème particulier que les gens ont avec Genèse 2 est que l'ordre de la création de l'homme, des animaux et des arbres semble être contraire à l'ordre indiqué dans Genèse 1 .

Genèse 2:7 décrit la création de l'homme.

Après la création de l'homme, Genèse 2:9 mentionne que Dieu a créé des arbres, y compris l'arbre de vie et l'arbre de la connaissance du bien et du mal.

Puis Genèse 2:19 mentionne la création de certains animaux terrestres.

À première vue, cela semble être une contradiction car Genèse 1 a les animaux et les arbres créés avant la création de l'homme, cependant, les deux problèmes peuvent être résolus par une compréhension de la langue d'origine et du processus de traduction.2 Le mot hébreu pour formé dans les deux passages est yatsar. La New King James Version (citée ci-dessus) traduit le verbe dans sa parfait forme.

Cependant, ce mot hébreu peut aussi être traduit dans son plus que parfait forme. Dans ce cas, il lirait que Dieu « avait formé » ces créatures, comme certaines autres traductions l'ont dit (par exemple ESV, NIV, etc.) Par exemple, Genèse 2:19 dans la NIV déclare :

Ce rendu élimine tout problème avec la chronologie car il fait référence à ce que Dieu avait déjà fait plus tôt dans la Semaine de la Création. Cela signifierait que les plantes (Genèse 2:9) et les animaux (Genèse 2:19) avaient déjà été formés par Dieu plus tôt dans la semaine de la création. William Tyndale a été le premier à traduire une Bible anglaise directement à partir des langues originales3, et il a également traduit le verbe dans sa forme plus que parfaite.

(Pour plus d'informations sur ce sujet, veuillez consulter « Deux comptes de création ? »)

Cela semble provenir d'une mauvaise compréhension de la doctrine de l'inerrance biblique, qui est clairement énoncée dans notre déclaration de foi.

Il est important de noter que l'inerrance ne s'applique qu'aux original autographes (manuscrits). Elle ne s'étend pas à toutes les copies et traductions. À la suite de ce malentendu, les gens sont parfois tombés sur une erreur dans l'une des traductions et ont supposé à tort que la Bible devait contenir des erreurs. En vérité, l'erreur a été commise soit par un comité de traduction, soit par un scribe chargé de copier le manuscrit.

Je recommanderais un livre intitulé Rien que la vérité par Brian Edwards. Il explique les problèmes de traduction et d'inerrance en détail, et répondrait aux questions de votre mari (voir aussi « Pourquoi 66 ? »).

Supposer automatiquement qu'il s'agit d'une contradiction dépeint l'auteur de la Genèse sous un jour assez sombre. Était-il si inepte qu'il ne pouvait s'empêcher de se contredire dans les deux premiers chapitres ou ces chapitres étaient-ils écrits avec deux axes différents ? Plutôt que de supposer immédiatement que l'écrivain n'a pas pu clarifier ses faits dans les deux premiers chapitres, il faut creuser un peu plus (comme vous l'avez fait en nous demandant) pour voir s'il existe une meilleure explication.

Alors que l'homme et le diable tentent souvent de salir la Parole de Dieu, nous pouvons avoir confiance que la Parole de Dieu est vrai et exact Depuis le tout début.


Sur les contre-exemples à la conjecture de Hughes

En 1957, R.D. Hughes a publié le problème suivant en théorie des groupes. Laisser g être un groupe et p un premier. Définissez H p ( G ) comme le sous-groupe de g généré par tous les éléments de g qui n'ont pas d'ordre p. La conjecture suivante est-elle vraie : soit H p ( G ) = 1 , H p ( G ) = G , soit [ G : H p ( G ) ] = p ? Après que diverses classes de groupes aient démontré qu'elles satisfaisaient la conjecture, G.E. Mur et E.I. Khukhro a décrit des contre-exemples pour p = 5 , 7 et 11. Les groupes finis qui ne satisfont pas la conjecture, les groupes anti-Hughes, ont des propriétés intéressantes. Nous donnons des constructions explicites d'un certain nombre de groupes anti-Hughes via des présentations de commutateurs de puissance, y compris des exemples relativement petits avec les ordres 5 46 et 7 66 . On s'attend à ce que la conjecture soit fausse pour tous les nombres premiers supérieurs à 3. Nous montrons qu'elle est fausse pour p = 13 , 17 et 19.


Se transformer soi-même

Commencer

1.4 Se transformer soi-même - Livre PDF

1.5 Liste des Vidéos correspondant aux Appels

Introduction

2 Introduction à la transformation de vous-même

Compréhensions de base

3.1 Concept de soi, valeurs et estime de soi

3.2 Le pouvoir du concept de soi

3.3 Éléments d'une image de soi saine

Renforcer le Soi

4.1 Modification de la structure - Partie 1

4.2 Modification de la structure - Partie 2

4.3 Modification de la structure - Partie 3

4.4 Modification de la structure - Partie 4

4.5 Démonstration de structure changeante

5.4 Démonstration de changement d'heure

5.5 Modification du contenu - Partie 1

5.6 Modification du contenu - Partie 2

5.7 Modification du contenu - Partie 3

5.8 Modification du contenu - Partie 4

5.9 Modification de la démonstration de contenu

Développer le Soi

6.1 Utiliser les erreurs - Partie 1

6.2 Utilisation des erreurs - Partie 2

6.3 Utiliser les erreurs - Partie 3

6.4 Démonstration de l'obtention de contre-exemples

6.5 Intégration des contre-exemples

6.6 Transformer les erreurs - Partie 1

6.7 Transformer les erreurs - Partie 2

6.8 Transformer les erreurs - Partie 3

6.9 Transformer la démonstration de contre-exemples

6.10 Transformer les erreurs - Partie 4

6.11 Transformer les erreurs - Partie 5

6.12 Démonstration de regroupement de contre-exemples

6.14 Démonstration de l'obtention de valeurs - Partie 1

6.15 Démonstration de l'obtention de valeurs - Partie 2

6.16 Construire une nouvelle qualité de concept de soi

6.17 Construire une nouvelle qualité de démonstration du concept de soi - Partie 1

6.18 Construire une nouvelle qualité de démonstration du concept de soi - Partie 2

Transformer le Soi

7.1 Transformer une qualité incertaine - Partie 1

7.2 Transformer une qualité incertaine - Partie 2

7.3 Transformer une démonstration de qualité incertaine - Partie 1

7.4 Transformer une démonstration de qualité incertaine - Partie 2

7.5 Changer le non-soi - Partie 1

7.6 Changer le non-soi - Partie 2

7.7 Transformer une qualité indésirable

7.8 Transformer un exercice de qualité indésirable

7.9 Transformer une démonstration de qualité indésirable

Les limites du soi

8.1 Découvrir et modifier les limites - Limites externes

8.2 Découvrir & Changer les limites - Changer les limites externes

8.3 Découvrir et modifier les limites - Limites internes

8.4 Découvrir & Changer les limites - Changer les limites internes

8.5 Découvrir et changer les limites - Split esprit-corps

8.6 Connexion avec les autres - Connexion et déconnexion

8.7 Connexion avec les autres - Mappage de la déconnexion à la connexion


Exposants et leurs propriétés

Cette leçon enseigne aux élèves les règles de combinaison des exposants lors de la multiplication ou de la division de puissances avec la même base. Les étudiants :

  • découvrir la règle de combinaison des exposants lors de la multiplication de puissances avec la même base.
  • pratiquer la règle de combinaison des exposants lors de la multiplication des puissances avec la même base.
  • découvrez la règle de combinaison des exposants lors de la division des puissances avec la même base.
  • pratiquer la règle de combinaison des exposants lors de la division des puissances avec la même base.

Questions essentielles

Vocabulaire

  • Exposant: Un nombre qui indique combien de fois un nombre ou une variable est utilisé comme facteur. Par exemple, dans 2 7 , 2 est la base et 7 est l'exposant, cela signifie que 2 est multiplié par lui-même 7 fois.

Durée

Compétences préalables

Matériaux

  • Feuille de travail sur la multiplication des puissances (M-8-4-1_Multiplying Powers et KEY.docx) pour chaque élève.
  • Feuille de travail sur les pouvoirs de division (M-8-4-1_Dividing Powers et KEY.docx) pour chaque élève.
  • Pouvoirs dans le paquet Expressions (14 feuilles) (M-8-4-1_Powers dans Expressions.docx) une copie ou des copies supplémentaires au besoin.

Unités connexes et plans de cours

Matériaux et ressources connexes

L'inclusion possible de sites Web commerciaux ci-dessous n'est pas une approbation implicite de leurs produits, qui ne sont pas gratuits et ne sont pas requis pour ce plan de cours.

  • Feuille de travail sur la multiplication des puissances (M-8-4-1_Multiplying Powers et KEY.docx) pour chaque élève.
  • Feuille de travail sur les pouvoirs de division (M-8-4-1_Dividing Powers et KEY.docx) pour chaque élève.
  • Pouvoirs dans le paquet Expressions (14 feuilles) (M-8-4-1_Powers dans Expressions.docx) une copie ou des copies supplémentaires au besoin.

L'évaluation formative

  • Les élèves peuvent être évalués lorsqu'ils remplissent la feuille de travail Multiplier les puissances.
  • La compréhension des élèves peut être évaluée en fonction de leur achèvement de la feuille de travail sur les pouvoirs de division.
  • Les performances des élèves et l'observation de l'enseignant au cours de l'activité 3 à l'aide de Pouvoirs dans les expressions (M-8-4-1_Powers dans Expressions.docx) aideront à déterminer le niveau de maîtrise de l'élève.

Supports pédagogiques suggérés

Échafaudage, engagement actif, modélisation, évaluation formative
W : Les élèves apprendront à combiner et à simplifier des puissances avec la même base, qu'il s'agisse de multiplication ou de division. Les étudiants mettront en pratique ces compétences avec plusieurs exemples de problèmes variés.
H : Les élèves seront accrochés en commençant la leçon par des questions simples (évaluer 3 2 et 3 5 ) en leur permettant d'émettre des hypothèses et de découvrir la règle pour simplifier les expressions lors de la multiplication de puissances avec la même base.
E : Les élèves examineront plusieurs exemples et exploreront leur simplification de manière indépendante avec la feuille de travail Multiplier les pouvoirs ainsi que la feuille de travail Diviser les pouvoirs, toutes deux complétées après l'instruction guidée par l'enseignant. Les élèves exploreront davantage les idées clés dans l'activité 3 en classe.
R : Les élèves réviseront et affineront leur compréhension de la multiplication et de la division des puissances avec des bases similaires, puis simplifieront les résultats au fur et à mesure qu'ils passeront en revue les hypothèses et conclusions correctes et incorrectes sur les feuilles de travail pratiques. La pratique et l'évaluation des résultats serviront de révision des concepts de la leçon.
E : Les étudiants peuvent être évalués en fonction de leur performance sur les problèmes de la feuille de travail pratique. Corrigez et réapprenez au besoin pour vous assurer que les élèves ont une compréhension claire des procédures requises pour multiplier et diviser des puissances avec des bases similaires. La comparaison des réponses de l'activité 3 entre les camarades de classe aidera également les élèves
auto-évaluer leurs progrès.
T : Utilisez la section Extension pour adapter la leçon aux besoins des élèves. La section Routine fournit des idées pour réviser les concepts de la leçon tout au long de l'année. La section Petit groupe comprend des activités pour les étudiants qui pourraient bénéficier d'une pratique supplémentaire. La section Expansion est conçue pour les étudiants qui sont prêts à relever un défi qui va au-delà des exigences de la norme.
O : Les deux concepts individuels (pouvoirs multipliant et divisant avec la même base) sont introduits séquentiellement, et les étudiants ont la possibilité de mettre en pratique ces deux compétences. Enfin, après avoir pratiqué ces compétences, les étudiants ont la possibilité de combiner les compétences et de simplifier des expressions plus complexes.

Procédures d'instruction

Demander aux élèves d'évaluer 3 2 . (9) Demandez aux élèves d' évaluer 3 5 . (243) Ensuite, écrivez au tableau :

&ldquoQuelle est la valeur de 3 2 fois 3 5 ?&rdquo (2,187) &ldquoEst-ce que 2 187 est une puissance de 3 ? Peut-il être écrit sous la forme 3 pour un exposant ?&rdquo Donnez aux élèves le temps d'expérimenter ou de travailler. Ils devraient arriver à la conclusion que 2 187 = 3 7 . Après avoir tiré cette conclusion, remplacez le point d'interrogation dans l'équation ci-dessus par un 7. Ensuite, écrivez :

&ldquoQuelle est la valeur de 2 3 fois 2 7 ?&rdquo (1,024) &ldquoEst-ce que 1 024 est une puissance de 2 ? Peut-il être écrit comme 2 pour un exposant ?&rdquo Donnez aux élèves le temps d'y réfléchir et de travailler dessus. Les élèves découvriront la règle générale pour ajouter des exposants à différents moments, alors demandez aux élèves de ne pas crier leurs réponses pour permettre aux autres élèves de la résoudre et de découvrir la régularité par eux-mêmes. Une fois que les élèves ont déterminé que 2 3 &fois 2 7 = 2 10 , remplacez le point d'interrogation par un 10.

&ldquoY a-t-il une relation entre les exposants du côté gauche du signe égal et le côté droit du signe égal ?&rdquo (L'un est la somme des deux autres.)

Posez aux élèves diverses questions telles que : &ldquo4 5 fois 4 8 égale ?&rdquo (4 13 ). Il ne faut que quelques questions avant que chaque élève maîtrise la règle des exposants.

&ldquoIl&rsquo est important lorsque vous utilisez cette règle que la base, le nombre que nous élevons à l'exposant, soit le même.&rdquo Illustrez ceci avec quelques contre-exemples tels que :

Expliquez qu'il s'agit d'un cas où la règle ne ne pas s'appliquent car 5 et 2 ne sont pas le même nombre.

Demandez aux élèves comment, par exemple, ils pourraient trouver la valeur de 4 3 . Ils doivent noter qu'ils peuvent le trouver en représentant le résultat sous la forme 4 &fois 4 &fois 4. De même, demandez-leur comment ils pourraient trouver la valeur de 4 5 . (4 &fois 4 &fois 4 &fois 4 &fois 4) &ldquoOn peut donc écrire 4 3 &fois 4 5 sous la forme (4 &fois 4 &fois 4) &fois (4 &fois 4 &fois 4 &fois 4 &fois 4), ce qui équivaut à 4 8 .&rdquo

Demandez aux élèves de remplir la feuille de travail Multiplier les puissances (M-8-4-1_Multiplying Powers et KEY.docx).

&ldquoLorsque nous avons multiplié les pouvoirs avec la même base, nous avons constaté que notre règle était que nous devions ajouter les exposants ensemble. Quelqu'un a-t-il une idée de ce que nous devrions faire aux exposants lorsque nous diviser des pouvoirs avec la même base ?» Les élèves devineront très probablement, à un moment donné, pour les soustraire les uns des autres.

&ldquoLaissez&rsquos jeter un œil. Essayons 6 5 &divisons 6 2 . Qu'est-ce que 6 5 ?&rdquo (7,776) &ldquoEt qu'est-ce que 6 2 ?&rdquo (36) &ldquoEt qu'est-ce que 7 776 &diviser 36 ?&rdquo (216) &ldquoAinsi, selon notre hypothèse, nous devrions soustraire les exposants et nous devrions aboutir à 6 3 . Est-ce que 6 3 est égal à 216 ?&rdquo (Oui.) &ldquoIl semble donc que la soustraction soit une bonne règle. Lorsque vous divisez des puissances avec la même base, soustrayez les exposants.&rdquo

Ecrivez au tableau. &ldquoPour ce problème, dans quel ordre devons-nous soustraire les exposants ? Devrions-nous faire 9 &ndash 3 ou 3 &ndash 9 ?&rdquo Aider les élèves à comprendre que nous soustrayons l'exposant du diviseur de l'exposant du dividende, ou l'exposant du dénominateur de l'exposant du numérateur. Si les élèves disent qu'il doit être 9 et 3 parce que sinon vous obtenez un nombre négatif et/ou vous pouvez avoir des exposants négatifs, assurez-vous de souligner que vous pouvez avoir des exposants négatifs afin que vous puissiez l'utiliser comme règle générale.

&ldquoMaintenant, voyons comment nous pouvons représenter un problème comme . On peut l'écrire comme : .

&ldquoEnsuite, nous pouvons annuler quelques 7 du numérateur et du dénominateur. Combien de 7 pouvons-nous annuler ?&rdquo (Trois) &ldquoAlors, nous & rsquoll annulons ceux-ci.&rdquo Rayez trois 7 au numérateur et au dénominateur. &ldquoQue&rsquo reste au numérateur ?&rdquo (7 &fois 7 &fois 7 &fois 7 &fois 7 &fois 7 ou 7 6 ). &ldquoQue&rsquos reste-t-il au dénominateur ?&rdquo Ici, faites reconnaître aux élèves que même si nous avons tout annulé, le dénominateur est toujours 1.

&ldquoNous avons donc 7 6 divisé par 1, mais cela n'est que 7 6 . Il semble donc que l'algèbre supporte notre règle.&rdquo

Demandez aux élèves de remplir la feuille de travail Diviser les pouvoirs (M-8-4-1_Dividing Powers et KEY.docx).

&ldquoMaintenant, nous allons tout combiner et regarder des expressions qui multiplient et divisent les pouvoirs avec la même base.&rdquo

Donnez à 14 élèves chacun une page du paquet Pouvoirs dans les expressions (M-8-4-1_Powers dans Expressions.docx). Remarque : Utilisez moins de pages ou créez des pages supplémentaires si nécessaire, il n'y a vraiment aucune limite sur le nombre de pages à utiliser tant qu'il y a suffisamment de &fois et &divisez les pages.

Séparez les élèves selon qu'ils ont une page avec un nombre (une puissance de 7) ou une opération (soit &fois, soit &diviser). Demandez à chaque groupe (élèves avec des nombres et élèves avec des opérations) de former une file unique. Ensuite, demandez au premier élève avec un nombre de monter et de montrer le nombre, suivi du premier élève avec une opération, suivi d'un autre élève avec un nombre, etc. Ils doivent se tenir l'un à côté de l'autre pour former une expression comme 7 8 &fois 7 &moins4 . Demandez aux élèves de répondre avec la valeur simplifiée de l'expression (exprimé comme une puissance de 7, dans ce cas, 7 4 ).

Cette activité peut être poursuivie avec des expressions simples (celles impliquant une seule opération) mais peut être étendue en continuant à demander aux élèves du début de chaque ligne de monter et de continuer l'expression, tant que l'expression alterne entre nombre et opération. Un exemple d'expression plus longue pourrait être :

Rappelez aux élèves que la multiplication et la division s'effectuent de gauche à droite. L'expression ci-dessus, par exemple, peut être simplifiée :

Selon la classe, les élèves peuvent interagir avec ceux qui font les expressions de plusieurs manières différentes :

  • Les élèves peuvent noter leurs réponses pour une évaluation ultérieure (auquel cas vous devez également enregistrer les réponses).
  • Les élèves peuvent simplement répondre verbalement hors de leur tour.
  • Les élèves peuvent répondre verbalement en levant la main.
  • Des équipes peuvent être formées et les élèves de chaque équipe doivent lever la main et répondre verbalement.

Une fois l'activité terminée, les élèves avec des nombres et des opérations peuvent échanger des places avec ceux qui n'ont pas de nombres et d'opérations. (Par conséquent, avoir environ la moitié de la classe avec des nombres et des opérations pourrait convenir afin que chaque élève puisse avoir une chance aux deux parties de l'activité.)

Utilisez les stratégies suivantes pour adapter la leçon aux besoins des élèves tout au long de l'année.


4. Défauts importants d'une vieille théorie

4.1 introduction

Vous trouverez ci-dessous huit textes bibliques qui, selon IWS, doivent rapporter les éventualités dans l'ordre où elles se sont produites. Inversement, selon cette théorie, les éventualités se sont produites dans l'ordre où elles sont rapportées. Mais, comme je le démontre, lisez ce façon, ces textes deviennent des non-sequiturs. Il crée des scénarios ridicules et irrationnels à l'intérieur des récits. Mais si nous ne supposons pas que l'ordre des éventualités et des verbes est toujours pareil, les textes prennent tout leur sens.

4.2 Exemples bibliques d'exceptions à IWS

[Veuillez noter : j'ai traduit tous les versets dont je parle dans cet article. Également wayiqtols sont en gras dans le texte hébreu et la traduction, et sont marqués de lettres en gras en exposant. Lorsque je fais référence à ces lettres dans mon analyse, c'est généralement à l'ensemble de la phrase verbale, pas seulement à son verbe. Par exemple, dans Mike x a couru à travers le parc, (X) fait souvent référence à « courir à travers le parc », pas seulement « courir ». De plus, si qatals18 sont pertinents pour l'analyse, ils sont soulignés. La mise en page des exemples est un texte, suivi d'une traduction, puis d'une analyse.]

4.2.1 La traversée du Jourdain (Josué 3:14-17 4:10-12, 18)

(Dans ce qui suit, je n'ai fourni que les portions de texte nécessaires pour discerner l'ordre des éventualités décrites.)

וַיְהִ֗י הָעָם֙ מֵאָ֣הֳלֵיהֶ֔ם לַעֲבֹ֖ר אֶת־הַיַּרְדֵּ֑ן וְהַכֹּהֲנִ֗ים נֹֽשְׂאֵ֛י הָאָר֥וֹן הַבְּרִ֖ית לִפְנֵ֥י הָעָֽם׃ 15 וּכְב֞וֹא נֹשְׂאֵ֤י הָֽאָרוֹן֙ עַד־הַיַּרְדֵּ֔ן וְרַגְלֵ֤י הַכֹּֽהֲנִים֙ נֹשְׂאֵ֣י הָֽאָר֔וֹן נִטְבְּל֖וּ בִּקְצֵ֣ה הַמָּ֑יִם וְהַיַּרְדֵּ֗ן מָלֵא֙ עַל־כָּל־גְּדוֹתָ֔יו כֹּ֖ל יְמֵ֥י קָצִֽיר׃ 16 וַיַּעַמְד֡וּ הַיֹּרְדִ֙ים מִלְמַ֜עְלָה קָ֣מוּ נֵד־אֶחָ֗ד הַרְחֵ֙ק מְאֹ֜ד . . .

17 וַיַּעַמְד֣וּ הָאָר֙וֹן בֶּחָ֣רָבָ֔ה עַ֤ד כָּל־הַגּ֔וֹי לַעֲבֹ֖ר אֶת־הַיַּרְדֵּֽן׃ . . . .

4:10–12, 18

10 נֹשְׂאֵ֣י הָאָר֗וֹן עֹמְדִים֘ בְּת֣וֹךְ הַיַּרְדֵּן֒ עַ֣ד תֹּ֣ם כָּֽל־הַ֠דָּבָר אֲשֶׁר־צִוָּ֙ה יְהוָ֤ה אֶת־יְהוֹשֻׁ֙עַ֙ לְדַבֵּ֣ר אֶל־הָעָ֔ם כְּכֹ֛ל אֲשֶׁר־צִוָּ֥ה מֹשֶׁ֖ה אֶת־יְהוֹשֻׁ֑עַ וַיְמַהֲר֥וּ הָעָ֖ם וַֽיַּעֲבֹֽרוּ ׃ 11 וַיְהִ֛י כָּל־הָעָ֖ם לַֽעֲב֑וֹר וַיַּעֲבֹ֧ר אֲרוֹן־יְהוָ֛ה לִפְנֵ֥י הָעָֽם׃ 12 וַ֠יַּעַבְרוּ וַחֲצִ֙י לִפְנֵ֖י דִּבֶּ֥ר אֲלֵיהֶ֖ם מֹשֶֽׁה׃ . . . .

18 וַ֠יְהִי ) בַּעֲלוֹת] (כַּעֲל֙וֹת[ נֹשְׂאֵ֙י אֲר֤וֹן בְּרִית־יְהוָה֙ מִתּ֣וֹךְ הַיַּרְדֵּ֔ן נִתְּק֗וּ כַּפּוֹת֙ רַגְלֵ֣י הַכֹּהֲנִ֔ים אֶ֖ל הֶחָרָבָ֑ה וַיָּשֻׁ֤בוּ לִמְקוֹמָ֔ם וַיֵּלְכ֥וּ עַל־כָּל־גְּדוֹתָֽיו׃

Et cela un était quand les gens se sont arrêtés [c'est-à-dire arrachèrent des pieux] de leurs tentes pour traverser le Jourdain, et les prêtres portant l'arche de l'alliance étant devant/en présence de/devant le peuple, |15| quand ceux qui portaient l'arche arrivèrent jusqu'au Jourdain, les pieds des prêtres portant l'arche trempé au bord de l'eau. (Or le Jourdain était plein, sur toutes ses rives, tous les jours de la moisson.) |16| L'eau qui descendait de l'amont b arrêté: il s'est levé dans un tas à une grande distance [[villes nommées, en précisant à quelle distance]] (Les gens franchi en face de Jéricho.)|17|Les prêtres portant l'arche de l'alliance de YHWH c se tenait à sec au milieu du Jourdain pendant que tout Israël passait à sec, jusqu'à ce que toute la nation ait fini de traverser le Jourdain.

|4:10| Les prêtres portant l'arche se tenaient au milieu du Jourdain jusqu'à ce que chaque parole que YHWH avait commandé à Josué de dire au peuple selon ce que Moïse avait commandé à Josué était complète. les personnes d précipitamment e traversé. |11| Et cela f était, dès que tout le peuple eut fini de traverser, l'arche de YHWH et les prêtres g croisé devant/en présence des gens. |12| Et les fils de Ruben, et les fils de Gad, et la moitié de la tribu de Manassé h traversé sur-armés devant/en présence des Fils d'Israël, comme Moïse leur avait parlé. Environ quarante mille unités militaires franchi en présence de YHWH pour [c.-à-d. prêt pour] la bataille, à l'Aravah de Jéricho. . . .

|18| Et cela j'étais, quand les prêtres porteurs de l'alliance de YHWH montèrent du milieu du Jourdain, la plante des pieds des prêtres retiré sur la terre sèche, l'eau du Jourdain j'ai retourné à sa place, et il k est allé [c'est à dire. coulait] comme autrefois [lit. « hier et trois jours avant »]—sur toutes ses rives. [[horodatage]].

Le passage ci-dessus est à bien des égards un texte charnière.19 Notre préoccupation, cependant, concerne l'ordre des traversées du Jourdain rapporté ici. Selon IWS, l'avant-garde militaire de Ruben, Gad et la demi-tribu de Manassé ont traversé (h) après les prêtres portant l'Arche traversèrent (g), car le croisement des trois tribus est rapporté après le croisement des prêtres. L'ordre des éventualités serait alors le suivant. Tandis que les prêtres se tenaient au milieu du lit asséché de la rivière, tout le peuple traversa (e).Puis les prêtres portant l'arche traversèrent (g), et enfin les trois tribus se croisèrent (h). Mais les détails du texte (et la connaissance du monde) permettent-ils cet ordre ? Tout d'abord, que veut dire le texte par traverser la rivière ? Le texte rapporte qu'au stade de la crue, le fleuve est plus large que ses rives, donc « traverser » ne peut pas signifier aller de rive en rive. Cela doit signifier passer d'un sol sec d'un côté à un sol sec de l'autre (et ici, miraculeusement, un sol sec entre les deux). Ainsi, lorsque le texte rapporte que les prêtres ont traversé le fleuve, il implique qu'ils remontaient là où la rivière serait normalement en crue. Deuxièmement, le texte rapporte qu'aussitôt que les prêtres montèrent de la rivière, la rivière retourna au stade de crue (4:18). Par conséquent, quiconque passerait après les prêtres devrait baignade à travers le torrent gonflé. Selon IWS, alors, les trois tribus auraient nagé - en tenue militaire complète - puisque cela les fait traverser après les prêtres ! Par conséquent, IWS a réduit le texte à l'absurdité. De plus, cela l'a amené à se contredire, car « tous » (mentionnés deux fois en 3:17 et de nouveau en 4:11) incluraient l'avant-garde en question, et tous étaient censés avoir traversé sur un sol sec ! Donc, clairement, les hommes armés de Ruben, Gad et la moitié de la tribu de Manassé n'ont pas traversé après les prêtres portant l'Arche. Ainsi, dans ce texte, l'ordre des éventualités ne peut être celui du wayyiqtols les représentant. Puisque le texte doit avoir un sens, IWS est évidemment invalide ici. Ainsi, de toute évidence, ce texte n'est pas emblématique.

4.2.2 Jézabel écrit des lettres (1 Rois 21:8-9)

וַתִּכְתֹּ֤ב סְפָרִים֙ בְּשֵׁ֣ם אַחְאָ֔ב וַתַּחְתֹּ֖ם בְּחֹתָמ֑וֹ וַתִּשְׁלַ֣ח
( הַסְפָרִים) [סְפָרִ֗ים] וְאֶל־הַֽחֹרִים֙ אֲשֶׁ֣ר בְּעִיר֔וֹ הַיֹּשְׁבִ֖ים אֶת־נָבֽוֹת׃

9 בַּסְּפָרִ֖ים לֵאמֹ֑ר קִֽרְאוּ־צ֔וֹם וְהוֹשִׁ֥יבוּ אֶת־נָב֖וֹת בְּרֹ֥אשׁ הָעָֽם׃

Elle [Jézabel] a écrit lettres au nom d'Achab, b scellé eux avec son sceau, et c envoyé les lettres aux anciens et aux nobles qui étaient dans sa ville [de Naboth], qui vivaient avec Naboth.

|9| Elle j'ai écrit dans les lettres, "demandez un jeûne et faites asseoir Naboth à la tête du peuple".

L'ordre chronologique des éventualités représentées dans ce texte bref et glaçant se voit facilement. Avec les trois premiers wayyiqtols, "a écrit" (une), "scellé" (b), et "envoyé" (c), l'ordre des éventualités et les verbes qui les racontent sont identiques. Jézabel n'aurait pas envoyé de parchemins non scellés sans le sceau du roi, son plan infâme n'aurait pas fonctionné. Elle n'aurait pas non plus scellé des parchemins vierges. Mais—examinez attentivement le quatrième wayyiqtol. Si IWS étaient appliqué, verbe (ré), « écrit » ferait référence à une écriture ultérieure des lettres après qu'elles aient été scellées (b) et envoyé (c)— comme si Jézabel avait couru après les messagers, récupéré les lettres qu'elle avait écrites et scellées, brisé les scellés et les avait griffonnées à la hâte à nouveau — absurde ! Mais, si nous comprenons qu'il s'agit d'un exemple clair de retour en arrière, alors le texte peut être lu comme le bon sens l'exige : que « écrit » (ré) fait référence à l'écriture unique des lettres, qui a précédé chronologiquement leur scellement (b) etenvoi (c). Ainsi, la première mention de son écriture est répétée dans la deuxième mention, après quoi on nous dit le contenu des lettres - une lecture cohérente. Une telle lecture donne tout son sens à ce récit solennel de l'un des crimes de Jézabel. Ainsi, l'ordre des éventualités représentées par les verbes est a/d b c. Par conséquent, IWS ne peut pas non plus être appliqué à ce texte. Ce n'est pas emblématique.

4.2.3 Abraham se rend au pays de Canaan avec sa maison (Genèse 12 :4-5)

וַיֵּ֣לֶךְ אַבְרָ֗ם כַּאֲשֶׁ֙ר דִּבֶּ֤ר אֵלָיו֙ יְהוָ֔ה וַיֵּ֥לֶךְ ל֑וֹט וְאַבְרָ֗ם בֶּן־חָמֵ֤שׁ שָׁנִים֙ וְשִׁבְעִ֣ים שָׁנָ֔ה בְּצֵאת֖וֹ מֵחָרָֽן׃ 5 וַיִּקַּ֣ח אֶת־שָׂרַ֙י אִשְׁתּ֜וֹ וְאֶת־ל֣וֹט בֶּן־אָחִ֗יו וְאֶת־כָּל־רְכוּשָׁם֙ אֲשֶׁ֣ר רָכָ֔שׁוּ וְאֶת־הַנֶּ֖פֶשׁ אֲשֶׁר־עָשׂ֣וּ בְחָרָ֑ן וַיֵּצְא֗וּ לָלֶ֙כֶת֙ אַ֣רְצָה כְּנַ֔עַן וַיָּבֹ֖אוּ כְּנָֽעַן׃

Abram un est allé tout comme YHWH lui avait parlé. Et Lot b est allé avec lui. (Or Abram avait soixante-quinze ans lorsqu'il sortit de Haran.) Abram c a pris Sarai, his wife, Lot, the son of his brother, and all their possessions, which they had acquired, and every person, whom they had acquired in Haran. And they d went out to go to the land of Canaan. And they e entered the land of Canaan.

Clearly (b) “And Lot went with him,” is reprised in (c) “And Abram took Sarai, his wife, and Lot, the son of his brother” [emphasis mine]. We cannot explore the reason for this repetition here, but the eventuality of Lot having been taken by Abram is plainly the very same eventuality as Lot having gone with him. There is no temporal progression here. Moreover, the eventuality is further examined in the text in the fourth main clause: (ré) is plural, because Abram did not go out of his country by himself he took his whole household (including Lot). But it is still looking at the same eventuality. Again, therefore, time does not advance. Wayyiqtols (b), (c),et (ré) all refer to the même eventuality IWS would erroneously have these three verbs refer to three sequential eventualities. Hence, this text cannot be iconic, either.

4.2.4 Assessment of Esau’s actions (Genesis 25:34)20

וְיַעֲקֹ֞ב נָתַ֣ן לְעֵשָׂ֗ו לֶ֚חֶם וּנְזִ֣יד עֲדָשִׁ֔ים וַיֹּ֣אכַל וַיֵּ֔שְׁתְּ וַיָּ֖קָם וַיֵּלַ֑ךְ וַיִּ֥בֶז עֵשָׂ֖ו אֶת־הַבְּכֹרָֽה׃

As for Jacob, he gave Esau bread and lentil stew. And he [Esau] a ate et b drank, c arose et d went. So, Esau e despised his birthright.

Esau probably did not wait until he had eaten all the stew before he had anything to drink. Yet IWS would have it so. Indeed, rather, most likely he alternated between eating and drinking as we do, given that the two actions represented by (une) et (b) are compatible. D'autre part, (c) et (ré) are most likely not compatible with the first two, and thus must occur after them in time. (e) is altogether different from the rest. It is a summary assessment of what Esau has done. Thus, time does not advance. IWS wrongly insists that it does. Again, the text is non-iconic.21

4.2.5 Moses’ instructions to the spies (Numbers 13:17ff)

וַיִּשְׁלַ֤ח אֹתָם֙ מֹשֶׁ֔ה לָת֖וּר אֶת־אֶ֣רֶץ כְּנָ֑עַן וַיֹּ֣אמֶר אֲלֵהֶ֗ם עֲל֥וּ זֶה֙ בַּנֶּ֔גֶב וַעֲלִיתֶ֖ם אֶת־הָהָֽר׃ 18 וּרְאִיתֶ֥ם אֶת־הָאָ֖רֶץ מַה־הִ֑וא וְאֶת־הָעָם֙ הַיֹּשֵׁ֣ב עָלֶ֔יהָ הֶחָזָ֥ק הוּא֙ הֲרָפֶ֔ה הַמְעַ֥ט ה֖וּא אִם־רָֽב׃ 19 וּמָ֣ה הָאָ֗רֶץ אֲשֶׁר־הוּא֙ יֹשֵׁ֣ב בָּ֔הּ הֲטוֹבָ֥ה הִ֖וא אִם־רָעָ֑ה וּמָ֣ה הֶֽעָרִ֗ים אֲשֶׁר־הוּא֙ יוֹשֵׁ֣ב בָּהֵ֔נָּה הַבְּמַֽחֲנִ֖ים אִ֥ם בְּמִבְצָרִֽים׃ 20 וּמָ֣ה הָ֠אָרֶץ הַשְּׁמֵנָ֙ה הִ֜וא אִם־רָזָ֗ה הֲיֵֽשׁ־בָּ֥הּ עֵץ֙ אִם־אַ֔יִן וְהִ֙תְחַזַּקְתֶּ֔ם וּלְקַחְתֶּ֖ם מִפְּרִ֣י הָאָ֑רֶץ וְהַ֙יָּמִ֔ים יְמֵ֖י בִּכּוּרֵ֥י עֲנָבִֽים׃

Moses expédié them to spy out the land of Canaan. And he mentionné to them, “Go up here into the Negev, then go up into the hill country. See the land, what it is, and what the people who dwell in it are like. Are they strong or are they weak? Whether they are few or many. And what is the land in which they dwell: is it good or bad? And what are the cities like in which they dwell? Are they in camps or in fortifications? And what of the soil: is it rich or poor? Are there any trees in it or not? Strengthen yourselves and take some of the fruit of the land.” (Now the days were the days of the first fruits of the grapes).

Clearly, Moses gave the spies this long charge concerning their mission as he sent them out, or before he sent them out, not afterwards. They would not have been there after he sent them. If sending is a process, the text elaborates on this process. Part of the process is the charge. However, if it is an instantaneous event, it must follow the charge. In addition, for the former way of understanding, although expédié et mentionné are compatible, and thus, not constrained to happen at different times, the linearity of texts requires this verbal sequence for the latter way, the verbs are in reverse temporal order. Either understanding yields non-iconicity, and therefore, IWS is yet again found to be in error.

4.2.6 Joshua orders an ambush to be set against Ai (Joshua 8:3–4)

יָּ֧קָם יְהוֹשֻׁ֛עַ וְכָל־עַ֥ם הַמִּלְחָמָ֖ה לַעֲל֣וֹת הָעָ֑י וַיִּבְחַ֣ר יְ֠הוֹשֻׁעַ שְׁלֹשִׁ֙ים אֶ֤לֶף אִישׁ֙ גִּבּוֹרֵ֣י הַחַ֔יִל וַיִּשְׁלָחֵ֖ם לָֽיְלָה׃ 4 וַיְצַ֙ו אֹתָ֜ם לֵאמֹ֗ר רְ֠אוּ אַתֶּ֞ם אֹרְבִ֤ים לָעִיר֙ מֵאַחֲרֵ֣י הָעִ֔יר אַל־תַּרְחִ֥יקוּ מִן־הָעִ֖יר מְאֹ֑ד וִהְיִיתֶ֥ם כֻּלְּכֶ֖ם נְכֹנִֽים׃

Joshua and all the men of war a arose to go up to Ai. Josué b chose thirty thousand men, the best warriors, and c sent them at night. |4| Il d commanded them, “Look, you are going to set an ambush for the city. Do not be very far from the city. And all of you be ready.”

The pertinent issue for us in these verses is the temporal sequence—or lack thereof—between (c) et (ré). Here Joshua is deploying men for an ambush, which, as world knowledge instructs us, requires utmost secrecy for it to succeed. The idea that Joshua shouted the orders to the ambushers after they left to position themselves—which would have been the case if IWS were true—and thus compromise the mission, is ludicrous. Thus, this is another obvious exception to IWS. Clearly this text cannot be iconic.

4.2.7 The Philistines gather for battle (1 Samuel 17:1)

וַיַּאַסְפ֙וּ פְלִשְׁתִּ֤ים אֶת־מַֽחֲנֵיהֶם֙ לַמִּלְחָמָ֔ה וַיֵּאָ֣סְפ֔וּ שֹׂכֹ֖ה אֲשֶׁ֣ר לִיהוּדָ֑ה וַֽיַּחֲנ֛וּ בֵּין־שׂוֹכֹ֥ה וּבֵין־עֲזֵקָ֖ה בְּאֶ֥פֶס דַּמִּֽים׃

The Philistines a gathered their camp for battle. Ils b amassed at Sokoh, which belongs to Judah, and c camped between Sokoh and “Azekah in Ephes Dammim.

It is clear from both the immediate and extended context what this text describes: the staging of the Philistines in the Valley of Elah to fight against the forces of Saul. (une) gives us a general Introductory Encapsulation: the Philistines gathered together their forces to engage in battle. (b) et (c) give us the particulars of the location of their camp, with (c) further specifying the place beyond what (b) Est-ce que. The result is general, followed by specific, followed by even more specific. The elaboration is spatial: it concerns the circumstances of the event it does not break down the eventuality into sub-events. In this case (b) obviously occurred within the same time interval in which (une) happened. And, (c) happened within this interval as well. Consequently, there is no temporal progression represented by the textual sequence—yet another example of a non-iconic text. Again IWS does not apply.

4.2.8 The account of Uriah’s death (2 Samuel 11:17)

וַיֵּ֙צְא֜וּ אַנְשֵׁ֤י הָעִיר֙ וַיִּלָּחֲמ֣וּ אֶת־יוֹאָ֔ב וַיִּפֹּ֥ל מִן־הָעָ֖ם מֵעַבְדֵ֣י דָוִ֑ד וַיָּ֕מָת גַּ֖ם אוּרִיָּ֥ה הַחִתִּֽי׃

The men of the city a came out et b fought with Joab. Some of the people from the servants of David c fell. Also, Uriah the Hittite d died.

The text above, although short, is extremely poignant and deserves more than the brief attention I can give it here.22 But to the matter at hand. (une) et (b) give us the circumstances that resulted in the army of Israel suffering casualties. This brings us to (c) et (ré). (c) recounts the casualties sustained in the battle: “some of the servants of David.” (ré) zooms in on one of the loyal servants who gave their lives fighting for their king, namely, Uriah, in a classic movement from general to specific, with the curt (only four Hebrew words) grim report: “Also, Uriah the Hittite died.” As to the temporal profile of this text, Uriah’s death is part of the death of the rest, and occurred therefore within the same time span as theirs. Hence, there is no temporal progression between (c) et (ré)—a final parade example of an exception to IWS. It too is non-iconic.

4.3 Discussion

In the foregoing examples, I engaged in “temporal reasoning’,23 a methodology for carefully analyzing the temporal relationships between the eventualities represented by the verbs in any discourse (written or spoken). Applying this technique to Scripture invariably leads to a coherent reading. And may I be so bold to say, it yields a mieux reading of the text than mindlessly assuming IWS, which in the eight examples above resulted in nonsensical readings. And these eight are merely a small subset of a great many more.24

What means these clear-cut exceptions to IWS, then? Is it not the same as the significance of obvious exceptions to any other theory?

According to the scientific method, for a hypothesis to reach the status of a theory, it should be repeatedly tested. And according to Karl Popper’s refinement of the scientific method, “Every genuine test of a theory is an attempt to falsify it, or to refute it”(Popper 1963, pp. 33–39).25 If a theory fails such tests, it should be rejected. Considering the multitude of exceptions to IWS, a strict adherence to the scientific method dictates that it should never have attained the status of a theory.

Notwithstanding, what devrait never be not infrequently obtains regardless. It is possible, and not uncommon, for a hypothesis to reach the status of a theory solely because of the fame of those who first proposed it, without it being properly tested. One of the most famous examples is the geocentric model, which stood almost unchallenged 1500 years, because Aristotle and Ptolemy had proposed it.

I believe that this is what happened with IWS. This understanding of how the wayyiqtol functions—as a verb which toujours indicates a sequence—was adopted because of the stature of and respect for Ewald and Driver. Also, because of their towering reputation, very few have challenged their ideas.26

In addition, although even one exception devrait topple a theory,27 theories tend to become entrenched. But whenever the exceptions begin to multiply and explanations for them become increasingly wild and unlikely, such theories are eventually—even if reluctantly—rejected.28 Famously, the Aristotle-Ptolemy model was unable to fully explain the motions of some of the planets (particularly Mars). Yet it persisted. But, as observational astronomy refined its art, the deficiencies of the epicycles’ model became more and more apparent and impossible to ignore. And eventually, Copernicus, then Galileo, then Kepler and Newton, were able to overthrow it and replace it with a new science.

And so should it be in this case: the many exceptions to IWS must cause us to conclude that this particular implication of perspectival aspect is wholly invalid, and perhaps calls into question the wisdom of applying perspectival aspect to the BH verbal system altogether. To recapitulate: the eventuality sequence does ne pas toujours match the wayyiqtol sequence which represents it. This requires that how the temporal sequence is discerned be rethought. To that end, I propose a new model.

Because Driver’s claim that the order of Creation contradicts the order in Genesis 1 is solely based on his false understanding of the wayyiqtol, there exists no contradiction—which obviates resorting to allegory or some halting explanation “against idiom,”29 in order to face the charge of contradiction.30 Thus, this branch of the two-pronged attack has been successfully repulsed.

Now to face the second prong of the assault by the enemy forces: that the text is incoherent. To do so, I apply temporal reasoning to Genesis 2–3. To understand the contours of the technique requires a rudimentary grasp of how texts, eventualities, and time interrelate. A comprehensive model of how they interact (fully developed in Grappling with the Chronology of the Genesis Flood (2014)) is outlined here to demonstrate how to “navigate the flow of time in biblical narrative.”31


4. Discontinuity of Differential for sc-Diffeomorphisms

The purpose of this section is to show that sc-diffeomorphisms—in contrast to the basic germs in §3—can have a discontinuous differential, viewed as a map to the space of bounded linear operators as in Proposition 3.2.

Theorem 4.1. There exists a sc-smooth diffeomorphism s : F → F on a sc-Banach space F = ( F i ) i ∈ N 0 , whose differential d s : F i + 1 → L ( F i , F i ) is discontinuous for any scale i ∈ N 0 .

The construction of this map s : F → F is also an example of a sc-Fredholm map with discontinuous differential, since s is equivalent, via the sc-diffeomorphism s, to the identity map i d F , which is a basic germ (as it satisfies Definition 3.1 with W = F , k = N = 0 , and B ≡ 0 ).

Remark 4.2. A sc-diffeomorphism is defined (ref. 8, p. 12) to be a homeomorphism f : U → V between open subsets U ⊂ E , V ⊂ F of sc-Banach spaces, such that both f and f − 1 are sc-smooth. It then follows that the differential d u f ≔ d f ( u ) : E k → F k is an isomorphism on scale k ∈ N 0 at base points u ∈ U ∩ E k + 1 . In particular d f ( u ) : E → F is a sc-isomorphism for u ∈ U ∩ E ∞ .

Indeed, the chain rule (ref. 3, theorem 1.1) applied to the identities g ○ f = i d U and f ○ g = i d V for g ≔ f − 1 yields d f ( u ) g ○ d u f = i d E k for u ∈ E k + 1 and d u f ○ d f ( u ) g = i d E k for f ( u ) ∈ F k + 1 . Here f ( u ) ∈ F k + 1 follows by sc-continuity of f from u ∈ E k + 1 . □

To construct the example in Theorem 4.1, we work with an abstract model for the sc-Banach space E = ( H 3 i ( S 1 ) ) i ∈ N 0 . For that purpose we start with an infinite dimensional vector space E ≔ ∑ n = 1 N x n e n | N ∈ N , x 1 , … , x N ∈ R generated by a sequence of formal variables ( e n ) n ∈ N . We obtain norms ‖ x ‖ i ≔ ⟨ x , x ⟩ i on E by defining inner products with ⟨ e n , e m ⟩ i ≔ ( n m ) 3 i δ n , m . Then each completion of E in a norm ‖ ⋅ ‖ i defines a Banach space E i ≔ E ¯ ‖ ⋅ ‖ i , and the embeddings E i + 1 ⊂ E i are compact so that E ≔ ( E i ) i ∈ N 0 is a sc-Banach space. (This follows from the compact Sobolev embeddings H 3 i ( S 1 ) ↪ H 3 j ( S 1 ) for i > j .) Here an explicit sc-isomorphism E 0 ≃ H 0 ( S 1 ) mapping E i to H 3 i ( S 1 ) can be obtained by taking real and imaginary parts of the complex orthogonal basis ( e − 1 k θ ) k ∈ N 0 of L 2 ( S 1 ) = H 0 ( S 1 ) and normalizing these real valued functions to obtain a collection of smooth functions ( e n ) n ∈ N ⊂ C ∞ ( S 1 ) = ⋂ i ∈ N 0 H 3 i ( S 1 ) that have inner products ⟨ e n , e m ⟩ H 3 i ≔ n 6 i δ n , m . Thus they form an orthonormal basis of H 0 ( S 1 ) and the ‖ ⋅ ‖ i closure of the finite span E ↪ H 0 ( S 1 ) exactly corresponds to the subspace H 3 i ( S 1 ) ⊂ H 0 ( S 1 ) .)

Proof of Theorem 4.1. We construct a map s : F → F on F ≔ R × E by s : ( t , x ) ↦ ( t , s t ( x ) ) , s t ∑ n = 0 ∞ x n e n ≔ ∑ n = 0 ∞ f n ( t ) x n e n for a sequence of smooth functions f n : R → [ 1 2 , 1 ] , t ↦ f 1 2 ( n ( n + 1 ) t + 1 − n ) obtained by reparameterizing a smooth function f : R → [ 1 2 , 1 ] chosen with f ( − ∞ , 1 2 ] ≡ 1 , f [ 1 , ∞ ) ≡ 1 2 , and s u p p f ′ ⊂ ( 1 2 , 1 ) . First note that by construction we have f n ( − ∞ , 1 n + 1 ] ≡ 1 and f n [ 1 n , ∞ ) ≡ 1 2 . So, the family of linear maps s t restricts to s t = i d E for t ≤ 0 and s t E N = 1 2 i d E N on E N ≔ s p a n < e n | n ≥ N >for t ≥ 1 N . Thus, d s : R × E i + 1 → L ( R × E i , R × E i ) cannot be continuous for any i ∈ N 0 since d s ( t , x ) < 0 >× E i : ( 0 , X ) ↦ ( 0 , s t ( X ) ) is discontinuous at t = 0 in L ( E i , E i ) by ‖ s 1 / n − s 0 ‖ L ( E i , E i ) ≥ ‖ s 1 / n ( e n ) − s 0 ( e n ) ‖ i ‖ e n ‖ i − 1 = ‖ 1 2 e n − e n ‖ i ‖ e n ‖ i − 1 = 1 2 . On the other hand, since f n ( t ) ≠ 0 , the map s has an evident inverse given by s − 1 : t , ∑ n = 0 ∞ y n e n ↦ t , ∑ n = 0 ∞ y n f n ( t ) e n . To prove the theorem it remains to show that s and s − 1 are well defined and sc-smooth. For that purpose note that s − 1 is of the same form as s, with the function f replaced by 1 f . So it suffices to consider the map s, as long as we only use common properties of the functions f n in both cases. Since s u p p f 1 ′ ⊂ ( 1 2 , 1 ) and the derivatives of f 1 = f and f 1 = f − 1 are uniformly bounded, we have for all n ∈ N s u p p f n ( k ) ⊂ 1 n + 1 , 1 n ∀ k ≥ 1 , f n ( k ) ∞ = n ( n + 1 ) 2 k f 1 ( k ) ∞ ≤ n 2 k C k ∀ k ≥ 0 . [8] Next, we write s ( t , x ) = ( t , ρ 0 ( t , x ) ) and—to prove that ρ 0 : R × E → E and thus s is well defined and sc-smooth—we more generally study the maps arising from the derivatives f n ( k ) = d k d t k f n on shifted sc-spaces E k ≔ ( E k + i ) i ∈ N 0 for k ∈ N 0 , ρ k : R × E k → E , t , ∑ n = 0 ∞ x n e n ↦ ∑ n = 0 ∞ f n ( k ) ( t ) x n e n . We can rewrite this as ρ k ( t , ⋅ ) = ∑ n = 0 ∞ f n ( k ) ( t ) p n in terms of the orthogonal projections to R e n ⊂ E 0 , p n : E → E , x ↦ ⟨ x , e n ⟩ 0 e n . Then for k ≥ 1 the supports of f n ( k ) are disjoint, so we have ρ k ( t , ⋅ ) = f N t ( k ) ( t ) p N t with N t ≔ ⌊ t − 1 ⌋ for t > 0 and ρ k ( t , ⋅ ) ≡ 0 for t ≤ 0 as well as in a small neighborhood t ∼ 1 n for each n ∈ N . Note also for future purposes the estimates for x ∈ E i + k and k ≥ 0 ‖ p n ( x ) ‖ i = ⟨ x , e n ⟩ 0 ‖ e n ‖ i ‖ e n ‖ i + k ‖ e n ‖ i + k = n − 3 k ‖ ⟨ x , e n ⟩ 0 e n ‖ i + k = n − 3 k ‖ p n ( x ) ‖ i + k , [9] ∑ n = N ∞ p n ( x ) i = ∑ n = N ∞ ‖ p n ( x ) ‖ i 2 1 / 2 = ∑ n = N ∞ n − 6 k ‖ p n ( x ) ‖ i + k 2 1 / 2 ≤ N − 3 k ∑ n = 0 ∞ ‖ p n ( x ) ‖ i + k 2 1 / 2 = N − 3 k ∑ n = 0 ∞ p n ( x ) i + k = N − 3 k ‖ x ‖ i + k . [10] We will show for all k ∈ N 0 that ρ k : R × E k → E is well defined, s c 0 , and sc-differentiable with tangent map T ρ k = ( ρ k , D ρ k ) : R × E k + 1 × R × E k → E 1 × E given by D ρ k : ( t , x , T , X ) ↦ ρ k ( t , X ) + T ⋅ ρ k + 1 ( t , x ) . [11] Once this is established, T ρ k is s c 0 by scale-continuity of ρ k , ρ k + 1 . In fact, T ρ k , as a sum and product of s c 1 maps, is s c 1 , and further induction proves that ρ k and thus also s and s − 1 are all sc ∞ .

The above claims and Eq. 11 for t ≠ 0 follow from the maps ρ k : E k + i → E i all being classically differentiable with differential D ρ k ( t , x , T , X ) = d d s s = 0 ρ k ( t + s T , x + s X ) = d d s s = 0 ∑ n = 0 ∞ f n ( k ) ( t + s T ) p n ( x + s X ) = ∑ n = 0 ∞ T f n ( k + 1 ) ( t ) p n ( x ) + f n ( k ) ( t ) p n ( X ) = T ⋅ ρ k + 1 ( t , x ) + ρ k ( t , X ) . To see that ρ 0 is well defined note that ( e n ) n ∈ N 0 ⊂ E i is orthogonal on each scale i ∈ N 0 , so ρ 0 ( t , x ) i = ∑ f n ( t ) p n ( x ) i = ∑ f n ( t ) 2 ‖ p n ( x ) ‖ i 2 1 / 2 ≤ sup n ‖ f n ‖ ∞ 2 ∑ ‖ p n ( x ) ‖ i 2 1 / 2 = sup n ‖ f n ‖ ∞ ⋅ ∑ p n ( x ) i = ‖ f 1 ‖ ∞ ‖ x ‖ i ≤ 2 ‖ x ‖ i , where ‖ f 1 ‖ ∞ = ‖ f ‖ ∞ = 1 or ‖ f 1 ‖ ∞ = ‖ 1 f ‖ ∞ = 2 if we choose f : R → R with values in [ 1 2 , 1 ] .

To check sc-continuity of ρ 0 at t = 0 we fix a level i ∈ N 0 and x ∈ E i and estimate for R × E i ∋ ( t , h ) → 0 with N t ≔ ⌊ t − 1 ⌋ for t > 0 and N t ≔ ∞ for t ≤ 0 ‖ ρ 0 ( t , x + h ) − ρ 0 ( 0 , x ) ‖ i = ‖ ρ 0 ( t , h ) + ρ 0 ( t , x ) − x ‖ i ≤ ‖ ρ 0 ( t , h ) ‖ i + ‖ ∑ ( f n ( t ) − 1 ) p n ( x ) ‖ i ≤ 2 ‖ h ‖ i + ∑ n = N t ∞ ( f n ( t ) − 1 ) p n ( x ) i ≤ 2 ‖ h ‖ i + sup n ‖ f n − 1 ‖ ∞ ∑ N t ∞ p n ( x ) i → | t | + ‖ h ‖ i → 0 0 . Here we used the facts that f n ( t ) = 1 for n ≤ t − 1 − 1 , and that x = lim N → ∞ ∑ n = 0 N p n ( x ) ∈ E i converges, hence as N t = ⌊ t − 1 ⌋ → ∞ with t → 0 we have ∑ n = N t ∞ p n ( x ) i → 0 .

Differentiability of ρ 0 with D ρ 0 ( 0 , x , T , X ) = ρ 0 ( 0 , X ) + T ρ 1 ( 0 , x ) = X as claimed in Eq. 11 amounts to estimating for x ∈ E i + 1 and t > 0 , using Eqs. 8 et 10 ρ 0 ( t , x + X ) − ρ 0 ( 0 , x ) − ρ 0 ( 0 , X ) i = ∑ f n ( t ) p n ( x + X ) − x − X i = ∑ n = N t ∞ ( f n ( t ) − 1 ) p n ( x + X ) i ≤ sup n ‖ f n − 1 ‖ ∞ ‖ ∑ n = N t ∞ p n ( x + X ) ‖ i ≤ N t − 3 ‖ x + X ‖ i + 1 , whereas for t ≤ 0 we have ρ 0 ( t , x + X ) − ρ 0 ( 0 , x ) − ρ 0 ( 0 , X ) i = x + X − x − X i = 0 . So together we obtain the required convergence of difference quotients, ‖ ρ 0 ( t , x + X ) − ρ 0 ( 0 , x ) − ρ 0 ( 0 , X ) ‖ i | t | + ‖ X ‖ i + 1 ≤ max 0 , ⌊ t − 1 ⌋ − 3 ‖ x + X ‖ i + 1 | t | + ‖ X ‖ i + 1 → | t | + ‖ X ‖ i + 1 → 0 0 . For k ≥ 1 recall that ρ k ( t , ⋅ ) = f N t ( k ) ( t ) p N t with N t = ⌊ t − 1 ⌋ for t > 0 and ρ k ( t , ⋅ ) ≡ 0 for t ≤ 0 as well as in a small neighborhood t ∼ 1 n for each n ∈ N . Thus the maps ρ k ( t , ⋅ ) are evidently well defined and linear on each scale in E i , and continuous (in fact classically smooth) with respect to t ∈ R < 0 >. To check continuity at t = 0 we fix a level i ∈ N 0 and x ∈ E k + i and estimate for h ∈ E k + i and t > 0 ‖ ρ k ( t , x + h ) ‖ i = f N t ( k ) ( t ) p N t ( x + h ) i ≤ ‖ f N t ( k ) ‖ ∞ ‖ p N t ( x + h ) ‖ i ≤ N t 2 k C k N t − 3 k ‖ x + h ‖ i + k ≤ N t − k C k ‖ x + h ‖ k + i , where we used Eqs. 8 et 9. Since ρ k ( t , x ) = 0 for t ≤ 0 this proves continuity ‖ ρ k ( t , x + h ) − ρ k ( 0 , x ) ‖ i ≤ max 0 , ⌊ t − 1 ⌋ − k C k ‖ x + h ‖ k + i → | t | + ‖ h ‖ k + i → 0 0 . Finally, differentiability for k ≥ 1 with D ρ k ( 0 , x , T , X ) = ρ k ( 0 , X ) + T ρ k + 1 ( 0 , x ) = 0 as claimed in Eq. 11 follows from the analogous estimate for x ∈ E k + i + 1 and t > 0 ρ k ( t , x + X ) − ρ k ( 0 , x ) − ρ k ( 0 , X ) i = ρ k ( t , x + X ) i ≤ N t − k − 3 C k ‖ x + X ‖ k + i + 1 , while for t ≤ 0 we have ρ k ( t , x + X ) − ρ k ( 0 , x ) − ρ k ( 0 , X ) i = 0 . So together we obtain the required convergence of difference quotients, ‖ ρ k ( t , x + X ) − ρ k ( 0 , x ) − ρ k ( 0 , X ) ‖ i | t | + ‖ X ‖ k + i + 1 ≤ max 0 , ⌊ t − 1 ⌋ − k − 3 C k ‖ x + X ‖ k + i + 1 | t | + ‖ X ‖ k + i + 1 → | t | + ‖ X ‖ k + i + 1 → 0 0 . This proves for all k ∈ N 0 that ρ k is s c 0 and sc-differentiable with Eq. 11, and thus finishes the proof of sc-smoothness of s and s − 1 .


Logic and Mathematical Reasoning an introduction to proof writing

For propositions (P) and (Q ext<,>) the conditional sentence (P implies Q) is the proposition “If (P ext<,>) then (Q ext<.>)” The proposition (P) is called the antecedent, (Q) the consequent. The conditional sentence (P implies Q) is true if and only if (P) is false or (Q) is true. In other words, (P implies Q) is equivalent to (( eg P) vee Q ext<.>)

A conditional is meant to make precise the standard language construct “If …, then …”, but it is has some seemingly counterintuitive properties. For example, do you think the statement “if the moon is made of green cheese, then it is tasty,” is true or false? What about the statement, “if the moon is made of green cheese, then the Red Sox will win the world series,” is it true or false? In fact, both statement are true because the antecedent, “the moon is made of green cheese”, is false. Note, in each case, we are not asking about the truth of the atomic propositions, but rather the statement as a whole. Moreover, there is no reason the antecedent and consequent need to be logically connected, which violates our intuition.

Exercise 1.2.2

Suppose you are a waiter in a restaurant and you want to make sure that everyone at the table is obeying the law: the drinking age is 21. You know some information about who ordered what to drink and their ages which is indicated in the table below. What is the minimal additional information you need to determine if the law is obeyed?

Person Âge Drink
UNE 33
B Bière
C 15
du Coca
Table 1.2.3

B's age and C's drink. You can think of obeying the law as making “If under 21, then no alcohol,” a true statement. Then the statement is true whenever each person is either 21 and up or did not order alcohol. A is above 21, so he is obeying the law no matter what he ordered. B ordered alcohol, so we must check how old he is to determine if the law is obeyed. C is under 21, so we must check what he ordered to determine if the law is obeyed. D order coke, so he is obeying the law regardless of his age.

Definition 1.2.4 Converse, Contrapositive

Let (P) and (Q) be propositions and consider the conditional (P implies Q ext<.>) Then the

converse is (Q implies P ext<.>) contrapositive is (( eg Q) implies ( eg P) ext<.>)

Theorem 1.2.5 Contrapositive Equivalence
  1. A conditional sentence and its contrapositive are equivalent.
  2. A conditional sentence and its converse are not equivalent.
Preuve
Definition 1.2.6 Biconditional

For propositions (P) and (Q ext<,>) the biconditional sentence (P iff Q) is the proposition “(P) if and only if (Q ext<.>)” (P iff Q) is true exactly when (P) and (Q) have the same truth value.

Theorem 1.2.7 De Morgan's Laws

For propositions (P) and (Q ext<,>)

  1. ( eg (P wedge Q)) is equivalent to (( eg P) vee ( eg Q) ext<>)
  2. ( eg (P vee Q)) is equivalent to (( eg P) wedge ( eg Q) ext<.>)

These can be read in English as “the negation of a conjunction is the disjunction of the negations,” and “the negation of a disjunction is the conjunction of the negations.”

Preuve
Theorem 1.2.8 Commutativity of Conjunction and Disjunction

For propositions (P) and (Q ext<,>)

So there is no ambiguity when we say “the conjunction of (P) and (Q ext<,>)” or “the disjunction of (P) and (Q ext<,>)”

Preuve
Theorem 1.2.9 Associativity of Conjunction and Disjunction

Pour les propositions (P ext<,>) (Q) et (R ext<,>)

  1. (P wedge (Q wedge R)) est équivalent à ((P wedge Q) wedge R ext<>)
  2. (P vee (Q vee R)) est équivalent à ((P vee Q) vee R ext<.>)

Il n'y a donc aucune ambiguïté dans les propositions (P wedge Q wedge R) ou (P vee Q vee R ext<.>)

Preuve
Théorème 1.2.10 Distributivité de la conjonction et de la disjonction

Pour les propositions (P ext<,>) (Q) et (R ext<,>)

  1. (P wedge (Q vee R)) est équivalent à ((P wedge Q) vee (P wedge R) ext<>)
  2. (P vee (Q wedge R)) est équivalent à ((P vee Q) wedge (P vee R) ext<.>)

Vous devez interpréter cela comme indiquant que la conjonction et la disjonction se répartissent l'une sur l'autre.

Preuve
Théorème 1.2.11 Équivalences conditionnelles

Pour les propositions (P) et (Q ext<,>)

  1. (P implies Q) est équivalent à (( eg P) vee Q ext<>)
  2. ( eg(P implies Q)) est équivalent à (P wedge ( eg Q) ext<>)
  3. (P iff Q) est équivalent à ((P implies Q) wedge (Q implies P) ext<.>)
Preuve
Remarque 1.2.12 Dictionnaire d'implication

Le conditionnel logique (P implies Q) a plusieurs traductions en anglais qui incluent :

  • Si (P exte<,>) alors (Q exte<.>)
  • (P) implique (Q exte<.>)
  • (P) est suffisant pour (Q ext<.>)
  • (P) uniquement si (Q ext<.>)
  • (Q exte<,>) si (P exte<.>)
  • (Q) chaque fois que (P ext<.>)
  • (Q) est nécessaire pour (P ext<.>)
  • (Q exte<,>) quand (P exte<.>)

De même, le biconditionnel (P iff Q) se traduit par quelques expressions anglaises, notamment :


L'écriture de règles linguistiques : un processus itératif

En rédigeant des règles linguistiques, je suis généralement ces six étapes :

  1. Identifiez les catégories d'intérêt (par exemple, « wh-question », « question polaire », « pas une question »).
  2. Proposez une ou deux grandes généralisations linguistiques sur chaque catégorie.
  3. Proposez des contre-exemples aux généralisations et révisez-les/développez-les si nécessaire.
  4. Écrire des règles capturant les nouvelles généralisations.
  5. Testez les règles sur un tas d'exemples.
  6. Affinez les règles en corrigeant les faux positifs et en testant de nouveaux exemples.

Souvent, ces étapes ne seront pas parfaitement séquentielles. Par exemple, identifier les catégories que vous souhaitez cibler (étape 1) revient essentiellement à formuler quelques généralisations à leur sujet (étape 2), vous pouvez donc effectuer ces étapes en même temps. Avant d'illustrer comment ce flux peut guider notre rédaction de règles, examinons un peu spaCy.


Article 3.10

Les solutions suivantes utilisent les informations trouvées dans la section Lecture.

Exercice 3.10.1 : Définitions

Complétez les blancs pour compléter les phrases suivantes.

Théorème d'état 3.10.1 de la section de lecture.
Si x0 Andy0 sont une solution de l'équation diophantienne linéaire ax + by = c, où a, b, c Z, et d = pgcd(a, b), alors la solution générale du
l'équation diophantienne linéaire ax + by = c est donnée par

où t Z.

Exercice 3.10.2 : Exemples

Vous devriez essayer tous ces exercices vous-même, en vous aidant du manuel. Une fois que vous avez essayé chaque question, vérifiez vos réponses en suivant les liens appropriés. Si vous êtes bloqué sur une question, choisissez le lien qui vous donne un indice, puis réessayez la question.

Dans la section précédente, vous avez trouvé une solution à chacune des équations diophantiennes linéaires suivantes. Pour chaque équation, utilisez la solution que vous avez trouvée dans la section précédente pour trouver la solution générale. Ensuite, listez toutes les solutions qui n'impliquent que des nombres entiers positifs.

1. Trouvez une formule pour tous les entiers x et y, étant donné que x et y satisfont l'équation diophantienne linéaire 91x + 221y = 676.
Énumérez toutes les solutions qui impliquent des valeurs positives pour x et y.

2. Trouvez une formule pour tous les entiers m et n, étant donné que m et n satisfont l'équation diophantienne linéaire 105m + 56n = - 14.
Énumérez toutes les solutions qui impliquent des valeurs positives pour m et n.

Problèmes de pratique supplémentaires
Dans la section précédente, vous avez trouvé une solution à chacune des équations diophantiennes linéaires suivantes. Pour chaque équation, utilisez la solution que vous avez trouvée dans la section précédente pour trouver la solution générale. Ensuite, listez toutes les solutions qui n'impliquent que des nombres entiers positifs. Une fois que vous avez terminé ces deux problèmes, cliquez ici pour vérifier vos réponses.