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5.1 : Triangles non rectangles - Loi des cosinus - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Comprendre comment la loi des cosinus est dérivée.
  • Appliquez la loi des cosinus lorsque vous connaissez deux côtés et l'inclusion d'un triangle oblique (non rectangle) (SAS).
  • Appliquez la loi des cosinus lorsque vous connaissez les trois côtés d'un triangle oblique.
  • Identifier des dessins précis de triangles obliques.
  • Utilisez la loi des cosinus dans des problèmes réels et appliqués.

Supposons qu'un bateau quitte le port, parcourt (10) milles, tourne (20) degrés et parcourt encore 8 milles, comme illustré à la figure (PageIndex{1}) À quelle distance du port se trouve le bateau ?

Malheureusement, alors que la loi des sinus nous permet d'aborder de nombreux cas de triangles non rectangles, elle ne nous aide pas avec les triangles où l'angle connu est entre deux côtés connus, un triangle SAS (side-angle-side) ou lorsque les trois les côtés sont connus, mais aucun angle n'est connu, un triangle SSS (côté-côté-côté). Dans cette section, nous étudierons un autre outil de résolution de triangles obliques décrit par ces deux derniers cas.

Utiliser la loi des cosinus pour résoudre des triangles obliques

L'outil dont nous avons besoin pour résoudre le problème de la distance du bateau au port est le Loi des cosinus, qui définit la relation entre les mesures d'angle et les longueurs de côté dans les triangles obliques. Trois formules composent la loi des cosinus. À première vue, les formules peuvent paraître compliquées car elles incluent de nombreuses variables. Cependant, une fois le modèle compris, la loi des cosinus est plus facile à utiliser que la plupart des formules à ce niveau mathématique.

Comprendre comment la loi des cosinus est dérivée sera utile pour utiliser les formules. La dérivation commence par le théorème de Pythagore généralisé, qui est une extension du théorème de Pythagore aux triangles non rectangles. Voici comment cela fonctionne : Un triangle non rectangle arbitraire (ABC) est placé dans le plan de coordonnées avec le sommet (A) à l'origine, le côté (c) tracé le long du X-axis, et le sommet (C) situé à un certain point ((x,y)) dans le plan, comme illustré dans la figure (PageIndex{2}). Généralement, les triangles existent n'importe où dans le plan, mais pour cette explication, nous placerons le triangle comme indiqué.

On peut déposer une perpendiculaire de (C) à la X-axe (c'est l'altitude ou la hauteur). En rappelant les identités trigonométriques de base, nous savons que

(cos heta=dfrac{x(adjacent)}{b(hypoténuse)}) et (sin heta=dfrac{y(opposé)}{b(hypoténuse)})

En termes de ( heta), (x=b cos heta) et (y=b sin heta). Le point ((x,y)) situé en (C) a pour coordonnées ((b cos heta, b sin heta)). En utilisant le côté ((x−c)) comme une jambe d'un triangle rectangle et (y) comme deuxième jambe, nous pouvons trouver la longueur de l'hypoténuse (a) en utilisant le théorème de Pythagore. Ainsi,

(egin{array}{ll} a^2={(x−c)}^2+y^2 [4pt] ;;;;; ={(b cos heta −c)}^2+{(b sin heta)}^2 & ext{Remplacer }(b cos heta) ext{ pour }x ext{ et }(b sin heta) text{ for }y [4pt] ;;;;;; =(b^2{cos}^2 heta−2bc cos heta+c^2)+b^2 {sin}^2 heta & ext{Développez le carré parfait.} [4pt] ;;;;; =b^2{cos}^2 heta+b^2{ sin}^2 heta+c^2−2bc cos heta & ext{Termes de groupe notant que }{cos}^2 heta+{sin}^2 heta=1 [4pt] ;;;;; =b^2({cos}^2 heta+{sin}^2 heta)+c^2−2bc cos heta & ext{Factor out }b^ 2 [4pt] end{tableau})

(a^2=b^2+c^2−2bc cos heta )

La formule dérivée est l'une des trois équations de la loi des cosinus. Les autres équations se retrouvent de manière similaire.

Gardez à l'esprit qu'il est toujours utile d'esquisser le triangle lors de la résolution d'angles ou de côtés. Dans un scénario du monde réel, essayez de dessiner un diagramme de la situation. Au fur et à mesure que de nouvelles informations apparaissent, le diagramme peut devoir être modifié. Apportez ces modifications au diagramme et, à la fin, le problème sera plus facile à résoudre.

La LOI DES COSINS

La loi des cosinus stipule que le carré de n'importe quel côté d'un triangle est égal à la somme des carrés des deux autres côtés moins deux fois le produit des deux autres côtés et le cosinus de l'angle inclus.

Pour les triangles étiquetés comme dans la figure (PageIndex{3}), avec des angles (alpha), (eta) et (gamma), et des côtés correspondants opposés (a), (b) et (c), respectivement, la loi des cosinus est donnée par trois équations.

[a^2=b^2+c^2−2bc cos alpha]

[b^2=a^2+c^2−2ac cos eta]

[c^2=a^2+b^2−2ab cos gamma]

Pour résoudre une mesure latérale manquante, la mesure de l'angle opposé correspondant est nécessaire.

Lors de la résolution d'un angle, la mesure du côté opposé correspondant est nécessaire. Nous pouvons utiliser une autre version de la loi des cosinus pour résoudre un angle.

[cos alpha=dfrac{b^2+c^2−a^2}{2bc}]

[cos eta=dfrac{a^2+c^2−b^2}{2ac}]

[cos gamma=dfrac{a^2+b^2−c^2}{2ab}]

Comment : Étant donné deux côtés et l'angle entre eux (SAS), trouver les mesures du côté et des angles restants d'un triangle

  1. Esquissez le triangle. Identifier les mesures des côtés et des angles connus. Utilisez des variables pour représenter les mesures des côtés et des angles inconnus.
  2. Appliquez la loi des cosinus pour trouver la longueur du côté ou de l'angle inconnu.
  3. Appliquez la loi des sinus ou des cosinus pour trouver la mesure d'un deuxième angle.
  4. Calculer la mesure de l'angle restant.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche du côté et des angles inconnus d'un triangle SAS

Trouvez le côté et les angles inconnus du triangle dans la figure (PageIndex{4}).

Solution

Tout d'abord, notez ce qui est donné : deux côtés et l'angle entre eux. Cet arrangement est classé en SAS et fournit les données nécessaires à l'application de la loi des cosinus.

Chacune des trois lois des cosinus commence par le carré d'un côté inconnu opposé à un angle connu. Pour cet exemple, le premier côté à résoudre est le côté (b), car nous connaissons la mesure de l'angle opposé (eta).

(egin{array}{ll} b^2=a^2+c^2−2ac cos eta [4pt] b^2={10}^2+{12}^2−2( 10)(12)cos(30°) & ext{Remplacer les mesures par les grandeurs connues.} [4pt] b^2=100+144−240 left(dfrac{sqrt{3}} {2} ight) & ext{Évaluez le cosinus et commencez à simplifier.} [4pt] b^2=244−120sqrt{3} [4pt] b=sqrt{244−120 sqrt{3}} & ext{Utiliser la propriété racine carrée.} [4pt] b≈6.013 end{array})

Parce que nous résolvons pour une longueur, nous utilisons uniquement la racine carrée positive. Maintenant que nous connaissons la longueur (b), nous pouvons utiliser la loi des sinus pour remplir les angles restants du triangle. En résolvant pour l'angle (alpha), on a

(egin{array}{cc} dfrac{sin alpha}{a}=dfrac{sin eta}{b} [4pt] dfrac{sin alpha}{10}= dfrac{sin(30°)}{6.013} [4pt] sin alpha=dfrac{10sin(30°)}{6.013} & ext{Multiplier les deux membres de l'équation par }10 . [4pt] alpha={sin}^{−1}left(dfrac{10sin(30°)}{6.013} ight) & ext{Trouver le sinus inverse de } dfrac {10sin(30°)}{6.013}. [4pt] alpha≈56.3° end{array})

L'autre possibilité pour (alpha) serait (alpha=180°-56,3°≈123,7°). Dans le diagramme original, (alpha) est adjacent au côté le plus long, donc (alpha) est un angle aigu et, par conséquent, (123,7°) n'a pas de sens. Notez que si nous choisissons d'appliquer la loi des cosinus, nous arrivons à une réponse unique. Nous n'avons pas à considérer les autres possibilités, car le cosinus est unique pour les angles compris entre (0°) et (180°). En procédant avec (alpha≈56.3°), on peut alors trouver le troisième angle du triangle.

[egin{align*} gamma&= 180^{circ}-30^{circ}-56,3^{circ} &environ 93,7^{circ} end{align*}]

L'ensemble complet des angles et des côtés est

(alpha≈56,3°) (a=10)

(eta=30°) (b≈6.013)

(gamma≈93,7°) (c=12)

Exercice (PageIndex{1})

Trouvez le côté et les angles manquants du triangle donné : (alpha=30°), (b=12), (c=24).

Réponse

(a≈14.9), (eta≈23.8°), (gamma≈126.2°).

Exemple (PageIndex{2}): Résolution d'un angle d'un triangle SSS

Trouvez l'angle (alpha) pour le triangle donné si le côté (a=20), le côté (b=25) et le côté (c=18).

Solution

Pour cet exemple, nous n'avons pas d'angles. Nous pouvons résoudre n'importe quel angle en utilisant la loi des cosinus. Pour résoudre l'angle (alpha), nous avons

(egin{array}{ll} a^2=b^2+c^2−2bc cos alpha [4pt] {20}^2={25}^2+{18}^2− 2(25)(18)cos alpha & ext{Remplacez les mesures appropriées.} [4pt] 400=625+324−900 cos alpha & ext{ Simplifiez à chaque étape.} [ 4pt] 400=949−900 cos alpha [4pt] -549=−900 cos alpha & ext{Isoler }cos alpha. [4pt] -549−900=cos alpha [4pt] 0.61≈cos alpha [4pt] 0.61≈cos alpha & ext{Trouver le cosinus inverse.} [4pt] alpha≈52.4° end{array})

Voir la figure (PageIndex{5}).

Une analyse

Étant donné que le cosinus inverse peut renvoyer n'importe quel angle entre (0) et (180) degrés, il n'y aura pas de cas ambigus en utilisant cette méthode.

Exercice (PageIndex{2})

Étant donné (a=5), (b=7) et (c=10), trouvez les angles manquants.

Réponse

(alpha≈27,7°), (eta≈40,5°), (gamma≈111,8°)

Résoudre des problèmes appliqués en utilisant la loi des cosinus

Tout comme la loi des sinus a fourni les équations appropriées pour résoudre un certain nombre d'applications, la loi des cosinus est applicable aux situations dans lesquelles les données données correspondent aux modèles de cosinus. Nous pouvons les voir dans les domaines de la navigation, de l'arpentage, de l'astronomie et de la géométrie, pour n'en nommer que quelques-uns.

Exemple (PageIndex{3A}): Utilisation de la loi des cosinus pour résoudre un problème de communication

Sur de nombreux téléphones portables avec GPS, une position approximative peut être donnée avant que le signal GPS ne soit reçu. Ceci est accompli grâce à un processus appelé triangulation, qui fonctionne en utilisant les distances de deux points connus. Supposons qu'il y ait deux tours de téléphonie cellulaire à portée d'un téléphone cellulaire. Les deux tours sont situées à (6000) pieds l'une de l'autre le long d'une autoroute rectiligne, d'est en ouest, et le téléphone portable est au nord de l'autoroute. Sur la base du retard du signal, il peut être déterminé que le signal est à (5050) pieds de la première tour et (2420) pieds de la deuxième tour. Déterminez la position du téléphone portable au nord et à l'est de la première tour et à quelle distance il se trouve de l'autoroute.

Solution

Pour plus de simplicité, nous commençons par dessiner un diagramme similaire à la figure (PageIndex{6}) et étiquetons nos informations données.

En utilisant la loi des cosinus, nous pouvons résoudre pour l'angle ( heta). Rappelez-vous que la loi des cosinus utilise le carré d'un côté pour trouver le cosinus de l'angle opposé. Pour cet exemple, soit (a=2420), (b=5050) et (c=6000). Ainsi, ( heta) correspond au côté opposé (a=2420).

[egin{align*} a^2 & =b^2+c^2−2bc cos heta [4pt] {(2420)}^2 &={(5050)}^2+{( 6000)}^2−2(5050)(6000) cos heta [4pt] cos heta &≈ 0.9183 [4pt] cos heta &≈ 0.9183 [4pt] heta &≈ {cos}^{−1}(0.9183) [4pt] heta &≈ 23.3° end{align*}]

Pour répondre aux questions sur la position du téléphone au nord et à l'est de la tour et la distance à l'autoroute, tracez une perpendiculaire à partir de la position du téléphone portable, comme dans la figure (PageIndex{7}). Cela forme deux triangles rectangles, bien que nous n'ayons besoin que du triangle rectangle qui comprend la première tour pour ce problème.

En utilisant l'angle ( heta=23,3)° et les identités trigonométriques de base, nous pouvons trouver les solutions. Ainsi

[egin{align*} cos(23.3°) &= dfrac{x}{5050} [4pt] x &= 5050cos(23.3°) [4pt] x &≈ 4638.15, pieds[4pt] sin(23,3°) &= dfrac{y}{5050} [4pt] y &= 5050sin(23,3°) [4pt] y &≈1997,5 , pieds end{align*}]

Le téléphone portable se trouve à environ (4638) pieds à l'est et (1998) pieds au nord de la première tour, et (1998) pieds de l'autoroute.

Exemple (PageIndex{3B}) : calcul de la distance parcourue à l'aide d'un triangle SAS

Pour revenir à notre problème au début de cette section, supposons qu'un bateau quitte le port, parcourt (10) milles, tourne (20) degrés et parcourt encore (8) milles. A quelle distance du port se trouve le bateau ? Le diagramme est répété ici dans la figure (PageIndex{8}).

Solution

Le bateau a tourné de 20 degrés, donc l'angle obtus du triangle non rectangle est l'angle supplémentaire, (180°−20°=160°). Avec cela, nous pouvons utiliser la loi des cosinus pour trouver le côté manquant du triangle obtus - la distance du bateau au port.

[egin{align*} x^2 &= 8^2+{10}^2−2(8)(10)cos(160°) [4pt] x^2 &= 314.35 [ 4pt] x &= sqrt{314.35} [4pt] x&≈17.7, miles end{align*}]

Le bateau est à environ (17,7) milles du port.

Équations clés

Loi des cosinus

(a^2=b^2+c^2−2bc cos alpha)

(b^2=a^2+c^2−2ac cos eta)

(c^2=a^2+b^2−2ab cos gamma)

Concepts clés

  • La loi des cosinus définit la relation entre les mesures d'angle et les longueurs des côtés dans les triangles obliques.
  • Le théorème de Pythagore généralisé est la loi des cosinus pour deux cas de triangles obliques : SAS et SSS. La suppression d'une perpendiculaire imaginaire divise le triangle oblique en deux triangles rectangles ou forme un triangle rectangle, ce qui permet de relier les côtés et de calculer les mesures. Voir Exemple (PageIndex{1}) et Exemple (PageIndex{2}).
  • La loi des cosinus est utile pour de nombreux types de problèmes appliqués. La première étape pour résoudre de tels problèmes consiste généralement à dessiner un croquis du problème présenté. Si les informations fournies correspondent à l'un des trois modèles (les trois équations), appliquez la loi des cosinus pour trouver une solution. Voir Exemple (PageIndex{3}) et Exemple (PageIndex{4}).


Voir la vidéo: La loi des cosinus. Mathématiques. Alloprof (Décembre 2021).