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29 : 15 Devoir Pré-Classe - Diagonalisation et Pouvoirs - Mathématiques


29 : 15 Devoir Pré-Classe - Diagonalisation et Pouvoirs - Mathématiques

Horaire des devoirs

Je peux finir par modifier certains devoirs et le calendrier au fur et à mesure que nous avançons, alors écoutez quand j'annonce des devoirs en cours.

La liste ci-dessous n'est qu'une approximation de ce qui va se passer.

Dans les entrées du tableau ci-dessous, les problèmes assignés sont dus pour la prochaine réunion de classe.

26 août
Examen des vecteurs
Vecteurs modulaires (pages 13-16) p17:29,30,35,37,40,43,45,47,49,51,53,55,!56c,!57c
Vecteurs de code (pages 53-57) p58 : 16,18,20,24,!25,27,28,!30c. 34c

28 août
Multiplication matricielle (revue) et code de Hamming (Exemple 3.71, p253) p261 : 79,81-86,88,!93 et ​​quelques problèmes de revue : p159 : 31, 39 p168 : !45,!47

2 sept.
Systèmes linéaires et jeux linéaires finis (Exemple 2.35, p115) p123 : 30,31,32 c),40,!52

4 sept.
Espaces et sous-espaces vectoriels (6.1 mais aussi révision 2.3, 3.5) p460 : 1-6,7!,9-11,18,19,22!,23!

9 sept.
6.1 suite p460 : 25,26,27,31,33 !,35,36,38,39,42 ?,45,46,47,48 !,49 !,54,61

11 sept.
Indep. Linéaire, Base, Dimension (6.2 et 3.5) p475 : 3,4,8,9,12,13,14,15,16 !,17,19,21,24,25

16 sept.
6.2 suite p475 : 27,29,31,33,35 !,36 !,40,41,42 !,43 !,45,47,51,55 !,58 !

18 sept.
6.3 : Changement de Base (6.3) p489 : 3,4,7,8,10,12,13,15,18,19,21 !,22 !

23 sept.
Transformations linéaires (6.4 et 3.6) p498 : 4,5,9,10,11,15,17,19,22,24

25 sept.
Transformations linéaires, suite. p498 : 26,28,30,33 !,35,34 !,36 !

30 sept.
Noyau et plage (6.5) p513 : 2,4,6,8,12,13,14,16,17,18,20 p513 : 21,22,23,28,29,32 ! (échauffement avec 30 et 31), 33 !, 34 !, 36, 37 !!

Matrice de transformation linéaire (6.6) p531 : 3,5,7,9,11,13,15,17,22,23,27,29

7 octobre
Matrice de Transf Linéaire. suite p532 : 31,33,37,39,40,41,44 !,45 !,46 !!

9 octobre
Examen 1

14 octobre
Passez l'examen. Démarrer la restriction cristallographique.

16 octobre
Application : pavages et restriction cristallographique (suite) Démarrer les espaces de produits intérieurs (7.1) et examiner la diagonale orthoganale p563 : 5,6,8,9,10,11,13-18,20,21,22 (. ) p418 : 13, 14,15,16,23.

21 octobre
Espaces produits intérieurs suite, p563 : 25,28,30,33 !,34 !,35,37,39,40,41,43 !,44 !

23 octobre
7.2 : Distance et approximation p589 : 2,3,4,6,7,8!,9-12,14!,16,17,20,28,32!,33!,34

28 octobre
7.2 suite, p590 : 41,42,43,45,46,47

30 octobre
7.3 : Moindres carrés, p609 : 21, 23, 34, 44, 47, 53, 54, 55
absorbe la théorie des notes de cours et du texte !

4 novembre
Jour d'élection
(pas de cours : bureaux fermés)

6 novembre
7.4 : Décomposition de la valeur singulière, p632 : 3,7,9,10,25,26,27,28,30,31,33,34,35,36,43,60

11 novembre
Journée des anciens combattants
(pas de cours : bureaux fermés)

13 novembre
7.5 Application : Code Reed Muller

20 novembre
Passer l'examen
Théorème de Perron Frobenius, p372 : 28-31,40, peut-être 38 absorber la preuve de Perron Th

25 novembre
(Di)Graphes, irréductibilité et théorème de Perron Frobenius
p259 : 59,62,64,65 (lire sur le digraphe par rapport au graphique), 68,71,72,73
p372 : prouvez l'assertion avant 32-35 et résolvez-en deux.

27 novembre
Action de grâces
pas de cours

2 décembre
Comportement asymptotique des puissances de A (pas tout dans le texte !)
(J'ai donné une version plus générale de Th 4.33 p339.)
N'étudiez pas les preuves mais résolvez p370 : 12,13 puis :
prédire le sort des populations,
trouver le rapport asymptotique entre les populations.
(En cas de confusion, consulter p245 et p341.) Pour l'"application Google" lire p367-369.


Ressources associées

D'ACCORD. Allons-nous commencer? C'est le deuxième cours sur les valeurs propres.

Donc la première conférence était -- atteint l'équation clé, A x égal lambda x. x est le vecteur propre et lambda la valeur propre.

Et le, le bon moyen de, après que nous ayons trouvé -- donc, le premier travail est de trouver les valeurs propres et de trouver les vecteurs propres.

Maintenant que nous les avons trouvés, que faisons-nous avec eux ?

Eh bien, la bonne façon de voir cela est de diagonaliser la matrice.

Et je veux montrer -- tout d'abord, c'est comme le fait fondamental.

Voilà, c'est la clé de la conférence d'aujourd'hui.

Cette matrice A, je mets ses vecteurs propres dans les colonnes d'une matrice S.

Donc S sera la matrice des vecteurs propres.

Et je veux regarder cette combinaison magique S inverse A S.

Puis-je vous montrer comment cela -- ce qui se passe là-bas ?

Et remarquez, il y a un S inverse.

Il faut pouvoir inverser cette matrice de vecteurs propres S.

Donc pour cela, nous avons besoin de n vecteurs propres indépendants.

Alors c'est le, c'est le cas.

D'ACCORD. Supposons donc que nous ayons n vecteurs propres linéairement indépendants

de A. Mettez-les dans les colonnes de cette matrice S.

Je vais donc naturellement appeler cela la matrice des vecteurs propres, car elle a les vecteurs propres dans ses colonnes.

Et tout ce que je veux faire, c'est vous montrer ce qui se passe lorsque vous multipliez A par S.

C'est donc A fois la matrice avec le premier vecteur propre dans sa première colonne, le deuxième vecteur propre dans sa deuxième colonne, le n-ème vecteur propre dans sa n-ème colonne.

Et comment vais-je faire cette multiplication matricielle?

Eh bien, je vais certainement le faire une colonne à la fois.

Une fois la première colonne me donne la première colonne de la réponse, mais qu'est-ce que c'est ?

A fois x1 est égal au lambda fois x1. Et ce lambda nous sommes -- nous appellerons lambda un,

bien sûr. C'est donc la première colonne. Ax1 est identique à lambda one x1. Un x2 est lambda deux x2. Ainsi de suite, jusqu'à dans la n-ième colonne, nous allons maintenant comment lambda n xn.

Ça a l'air bien, mais la prochaine étape est encore

mieux. Donc, pour la prochaine étape, je veux séparer ces valeurs propres, ces, ces nombres multiplicateurs, des x-s. Alors j'aurai juste ce que je veux.

D'ACCORD. Alors comment, comment vais-je m'en séparer ?

Donc, ce nombre lambda un multiplie la première colonne.

Donc, si je veux le factoriser hors de la première colonne, je ferais mieux de mettre - ici va être x1, et cela va multiplier cette matrice lambda un dans la première entrée et tous les zéros.

Vous voyez que ça, ça va sortir juste pour la première colonne ?

Parce que nous nous souvenons comment -- comment nous revenons à cette punchline originale.

Que si je veux qu'un nombre multiplie x1 alors je peux le faire en mettant x1 dans cette colonne, dans la première colonne, et en mettant ce nombre là.

Tu- qu'est-ce que je vais avoir ici ?

Je vais avoir du lambda -- je vais avoir x1, x2, . ,xn.

Ce seront à nouveau mes colonnes.

Mais maintenant c'est multiplié par quoi, à droite c'est multiplié par ?

Si je veux lambda n xn dans la dernière colonne, comment faire ?

Eh bien, la dernière colonne ici sera -- je vais prendre la dernière colonne, utiliser ces coefficients, y mettre le lambda n, et cela multipliera cette n-ième colonne et me donnera lambda n xn.

Là, vous voyez la multiplication matricielle qui fonctionne juste pour nous.

J'ai écrit ce que cela signifiait, A fois chaque vecteur propre.

Cela m'a donné le temps lambda le vecteur propre.

Et puis quand j'ai décollé les lambdas, ils étaient sur le côté droit, donc j'ai de nouveau S, ma matrice.

Et cette matrice, cette matrice diagonale, la matrice des valeurs propres, et je l'appelle lambda majuscule.

Utiliser des majuscules pour les matrices et le lambda pour m'indiquer que c'est, que ce sont les valeurs propres qui sont là.

Donc vous voyez que les valeurs propres sont juste assises sur cette diagonale ?

Si j'avais une colonne x2 ici, je voudrais que le lambda deux en position deux deux, en position diagonale, multiplie ce x2 et me donne le lambda deux x2. C'est ma formule.

D'ACCORD. C'est le -- vous voyez, c'est juste un calcul.

Maintenant -- j'ai mentionné, et je dois le mentionner encore, cette affaire au sujet de n vecteurs propres indépendants.

Dans l'état actuel des choses, tout va bien, que ce soit -- je veux dire, je pourrais répéter le même vecteur propre, mais -- cela ne m'intéresse pas.

Je veux pouvoir inverser S, et c'est là que cela entre en jeu.

Cette affaire de n vecteurs propres indépendants vient me dire que cette matrice est inversible.

Alors laissez-moi, sur le tableau suivant, écrire ce que j'ai.

Et maintenant je suis, je peux multiplier à gauche par S inverse.

Donc c'est vraiment -- je peux le faire, à condition que S soit inversible.

Pourvu que mon hypothèse de n vecteurs propres indépendants soit

satisfait. Et j'ai mentionné à la fin de la dernière fois, et je le répète, qu'il y a un petit nombre de matrices pour -- qui n'ont pas n vecteurs propres indépendants.

Je dois donc en discuter, ce point technique.

Mais la grande -- la plupart des matrices que nous voyons ont n di- n vecteurs propres indépendants, et nous pouvons diagonaliser.

Je pourrais aussi l'écrire, et je le ferai souvent, dans l'autre sens.

Si je multiplie à droite par S inverse, si je prends cette équation en haut et multiplie à droite par S inverse, je pourrais -- j'aurais A gauche ici.

Maintenant S inverse vient de la droite.

Alors, pouvez-vous garder ces deux droits ?

A multiplie ses vecteurs propres, c'est comme ça que je les garde

droit. Donc A multiplie S.

Et puis cet inverse S rend le tout diagonal.

Et c'est une autre façon de dire la même chose, en mettant les S de l'autre côté de l'équation.

C'est donc la, c'est la nouvelle factorisation.

C'est le remplacement de L U de l'élimination ou Q R de -- de Gram-Schmidt. Et remarquez que la matrice -- c'est donc une matrice multipliée par une matrice diagonale multipliée par l'inverse de la première.

C'est, c'est la combinaison que nous verrons tout au long de ce chapitre.

Cette combinaison avec un S et un S inverse.

D'ACCORD. Puis-je commencer à l'utiliser ?

Par exemple, qu'en est-il de A au carré ?

Quelles sont les valeurs propres et les vecteurs propres de A au carré ?

C'est une question simple avec un, avec une réponse absolument claire.

Alors laissez-moi, laissez-moi considérer A au carré.

Je commence donc par A x égal à lambda x.

Et je me dirige vers A au carré.

Alors permettez-moi de multiplier les deux côtés par A.

C'est une façon d'obtenir A au carré sur la gauche.

Donc -- je devrais écrire ces if-s ici.

Si A x est égal à lambda x, alors je multiplie par A, donc j'obtiens A au carré x égal -- eh bien, je multiplie par A, donc c'est lambda A x.

Ce lambda était un nombre, alors je l'ai juste mis à gauche.

Et qu'est-ce que je -- dis-moi comment faire pour que ça soit mieux.

Pourquoi ai-je ici si, si A a la valeur propre lambda et le vecteur propre x, que se passe-t-il avec A au carré ?

Un carré x, je viens de multiplier par A, mais maintenant pour Ax, je vais substituer lambda x.

J'ai donc lambda au carré x.

Donc, à partir de ce simple calcul, je -- ma conclusion est que les valeurs propres de A au carré sont lambda au carré.

Et les vecteurs propres -- je pense toujours aux deux

ceux. Que dire des valeurs propres ?

Que dire des vecteurs propres ?

Le même x que dans -- comme pour A.

Maintenant, permettez-moi de voir cela aussi à partir de cette formule.

Comment puis-je voir à quoi ressemble A au carré à partir de cette formule ?

Alors laissez-moi -- c'était une façon de le faire.

Laissez-moi le faire en prenant simplement A au carré.

Un carré est S lambda S inverse -- c'est A -- fois S lambda S inverse -- c'est A, qui est ?

C'est la beauté des valeurs propres, des vecteurs propres.

Ayant cet inverse S et S est l'identité, j'ai donc S lambda au carré S inverse.

Tu vois ce que ça me dit ?

C'est, ça me dit la même chose que je viens d'apprendre ici, mais sous la forme d'une matrice.

Cela me dit que le S est le même, les vecteurs propres sont les mêmes, mais les valeurs propres sont au carré.

Parce que c'est -- qu'est-ce que le lambda au carré ?

Il y a un petit lambda un au carré, un lambda deux au carré, jusqu'à lambda n au carré o- sur cette diagonale.

Ce sont les valeurs propres, comme nous venons de l'apprendre, de A au carré.

D'ACCORD. Donc -- d'une manière ou d'une autre, ces valeurs propres et vecteurs propres vous donnent vraiment un moyen de -- voir ce qui se passe à l'intérieur d'une matrice.

Bien sûr, je peux continuer cela pour -- à la puissance K, A à la puissance K.

Si je multiplie, si j'en ai K ensemble, voyez-vous comment S inverse S continuera à s'annuler dans le, à l'intérieur?

J'aurai le S à l'extérieur à l'extrême gauche, et lambda y sera K fois, et S inversé.

Cela me dit que les valeurs propres de A, de A à la puissance K sont les puissances K.

Les valeurs propres de A au cube sont les cubes des valeurs propres de

A. Et les vecteurs propres sont les mêmes, les mêmes.

D'ACCORD. En d'autres termes, les valeurs propres et les vecteurs propres donnent un excellent moyen de comprendre les puissances d'une matrice.

Si je prends le carré d'une matrice, ou la puissance centième d'une matrice, les pivots sont partout.

L U, si je multiplie L U fois L U fois L U fois L U cent fois, j'ai cent L Us.

Je ne peux rien faire avec eux.

Mais quand je multiplie S lambda S inverse par lui-même, quand je regarde l'image du vecteur propre cent fois, j'obtiens cent ou quatre-vingt-dix-neuf de ces types qui s'annulent à l'intérieur, et j'obtiens A au centième est S lambda au centième S inverse.

Je veux dire, les valeurs propres vous parlent des puissances d'une matrice d'une manière que nous n'avions aucun moyen d'aborder auparavant.

Par exemple, quand -- quand les puissances d'une matrice deviennent-elles nulles ?

J'appellerais cette matrice stable, peut-être.

Je pourrais donc écrire un théorème.

Je vais l'écrire comme un théorème juste pour utiliser ce mot pour souligner qu'ici j'obtiens ce grand fait de cette image de valeur propre.

D'ACCORD. A à K se rapproche de zéro à mesure que K augmente, à mesure que K grandit, si quoi?

Quel est le w- comment puis-je savoir, pour une matrice A, si ses puissances sont nulles ?

Qu'est-ce que -- quelque part à l'intérieur de cette matrice se trouve cette information.

Cette information n'est pas présente dans les pivots.

Il est présent dans les valeurs propres.

De quoi ai-je besoin pour que -- pour savoir que si je prends des puissances de A de plus en plus élevées, cette matrice devient de plus en plus petite ?

Eh bien, S et S inverse ne bougent pas.

C'est donc ce type qui doit devenir petit.

Et c'est facile à -- à comprendre.

L'exigence est constituée de toutes les valeurs propres -- alors quelle est l'exigence ?

Les valeurs propres doivent être inférieures à un.

Maintenant, je dois écrire cette valeur absolue, car ces valeurs propres pourraient être négatives, elles pourraient être des nombres complexes.

Je prends donc la valeur absolue.

Si tous sont inférieurs à un.

C'est, en fait, nous voyons pratiquement pourquoi.

Et laissez-moi juste dire que je fonctionne sur une hypothèse ici, et je dois continuer à me rappeler que cette hypothèse est toujours présente.

Cette hypothèse était que j'avais un ensemble complet de n vecteurs propres indépendants.

Si je ne l'ai pas, alors cette approche ne fonctionne pas.

Encore une fois, une approche aux valeurs propres pures, l'approche des vecteurs propres, a besoin de n vecteurs propres indépendants.

Si nous n'avons pas n vecteurs propres indépendants, nous ne pouvons pas diagonaliser la matrice.

Nous ne pouvons pas obtenir une matrice diagonale.

Cette diagonalisation n'est possible que si S inverse a un sens.

D'ACCORD. Puis-je, puis-je suivre ce point maintenant ?

Donc vous voyez pourquoi -- ce que nous obtenons et, et pourquoi nous le voulons, parce que nous obtenons des informations sur les puissances d'une matrice juste immédiatement à partir des valeurs propres.

Permettez-moi maintenant de poursuivre sur cette affaire dont les matrices sont diagonalisables.

Désolé pour ce long mot.

Donc, une matrice est, c'est sûr -- donc voici, voici le point principal.

A est sûr d'être -- d'avoir N vecteurs propres indépendants et, et d'être -- maintenant voici ce mot -- diagonalisable si, si -- donc nous pourrions aussi bien mettre le beau cas au grand jour.

Le bon cas est quand -- si tous les lambdas sont différents.

Cela signifie, cela signifie pas de valeurs propres répétées.

Si ma matrice, et la plupart -- si je fais une matrice aléatoire dans Matlab et calcule ses valeurs propres -- donc si je calcule si je prends eig de rand de dix dix, donne, donne cette commande Matlab, le -- nous obtiendrions une matrice aléatoire dix par dix, nous obtiendrions une liste de ses dix valeurs propres, et elles seraient différentes.

Ils seraient distincts est le meilleur mot.

J'aurais -- une matrice aléatoire aura dix valeurs distinctes -- une matrice dix par dix aura dix valeurs propres distinctes.

Et si c'est le cas, les vecteurs propres sont automatiquement indépendants.

Je vous renvoie au texte pour la preuve.

Cela, que A est sûr d'avoir n vecteurs propres indépendants si les valeurs propres sont différentes, si.

Si toutes les, si toutes les valeurs propres sont différentes.

C'est juste que si certains lambdas se répètent, alors je dois regarder de plus près.

Si une valeur propre se répète, je dois regarder, je dois compter, je dois vérifier.

A-t-il -- disons qu'il est répété trois fois.

Alors qu'est-ce qu'une possibilité pour le -- donc voici la, voici la possibilité répétée.

Et, et permettez-moi d'insister sur la conclusion.

Que si j'ai des valeurs propres répétées, je peux ou non, je peux ou non avoir, avoir n vecteurs propres indépendants.

Je, je, vous savez, ce n'est pas un cas complètement négatif.

La matrice d'identité -- supposons que je prenne la matrice d'identité dix par dix.

Quelles sont les valeurs propres de cette matrice ?

Alors, prenez la matrice la plus simple, l'identité.

Si je cherche ses valeurs propres, ce sont toutes des uns.

Donc cette valeur propre un est répétée dix fois.

Mais les vecteurs propres ne manquent pas pour la matrice identité.

En fait, tout vecteur est un vecteur propre.

Je peux donc prendre dix vecteurs indépendants.

Oh, eh bien, qu'arrive-t-il à tout -- si A est la matrice d'identité, pensons simplement à celle-ci dans notre tête.

Si A est la matrice d'identité, alors il y a beaucoup de vecteurs propres.

Je choisis dix vecteurs indépendants.

Et, et qu'est-ce que j'obtiens de S inverse A S?

Si A est l'identité -- et bien sûr c'est le bon lambda.

La matrice était déjà diagonale.

Donc, si la matrice est déjà diagonale, alors le lambda est le même que la matrice.

Une matrice diagonale a ses valeurs propres juste devant vous.

Maintenant, si c'est triangulaire, les valeurs propres sont toujours là, mais prenons donc un cas où c'est triangulaire.

Supposons que A ressemble à deux un deux zéro.

Il y a donc un cas qui va poser problème.

Il y a un cas qui va poser problème.

Tout d'abord, que sont les -- je veux dire, nous juste -- si nous commençons avec une matrice, la première chose que nous faisons, pratiquement sans réfléchir, est de calculer les valeurs propres et les vecteurs propres.

D'ACCORD. Alors quelles sont les valeurs propres ?

Vous pouvez me dire tout de suite ce qu'ils sont.

C'est une matrice triangulaire, donc quand je fais ce déterminant, dois-je faire ce déterminant de A moins lambda I ?

Je vais obtenir ce deux moins lambda un zéro deux moins lambda, non?

Je prends ce déterminant, donc je les transforme en barres verticales pour signifier déterminant.

Et quel est le déterminant ?

C'est deux moins lambda au carré.

Les valeurs propres sont donc lambda égale deux et deux.

Maintenant, la prochaine étape, trouver les vecteurs propres.

Alors je cherche des vecteurs propres, et qu'est-ce que je trouve pour ce type ? Vecteurs propres pour ce type, quand je soustrais deux moins l'identité, donc A moins deux j'ai des zéros ici.

Et je cherche l'espace nul.

Quoi, quels sont les vecteurs propres?

Ce sont les -- l'espace nul de A moins lambda I.

L'espace nul n'est qu'à une dimension.

C'est un cas où je n'ai pas assez de vecteurs propres.

Ma multiplicité algébrique est deux.

Je dirais, quand je vois, quand je compte combien de fois la valeur propre se répète, c'est la multiplicité algébrique.

C'est la multiplicité, combien de fois est-ce la racine du polynôme ?

Mon polynôme est deux moins lambda au carré.

Ma multiplicité algébrique est donc deux.

Mais la multiplicité géométrique, qui cherche des vecteurs, cherche des vecteurs propres, et -- ce qui signifie l'espace nul de cette chose, et le seul vecteur propre est un

zéro. C'est dans l'espace nul.

Zéro un n'est pas dans l'espace nul.

L'espace nul n'est qu'à une dimension.

Il y a donc une matrice, mon -- ce A ou le A original, qui ne sont pas diagonalisables.

Je ne trouve pas deux vecteurs propres indépendants.

D'ACCORD. Donc c'est le cas que je suis -- c'est un cas que je ne gère pas vraiment.

Par exemple, lorsque j'ai noté ici que les puissances étaient nulles si les valeurs propres étaient inférieures à un, je n'ai pas vraiment traité ce cas de valeurs propres répétées, car mon raisonnement était basé sur cette formule.

Et cette formule est basée sur n vecteurs propres indépendants.

D'ACCORD. Juste pour dire alors, il y a certaines matrices que nous sommes, cela, que nous ne couvrons pas par diagonalisation, mais la grande majorité nous le faisons.

D'ACCORD. Et nous, nous sommes toujours OK si nous avons des valeurs propres distinctes différentes.

OK, c'est le cas typique.

Parce que pour chaque valeur propre il y a au moins un vecteur propre.

La multiplicité algébrique est ici un pour chaque valeur propre et la multiplicité géométrique est un.

D'ACCORD. D'ACCORD. Maintenant, permettez-moi de revenir au cas important, quand, quand tout va bien.

Le cas important, quand on est diagonalisable.

Laissez-moi, regardez -- donc -- laissez-moi résoudre cette équation.

L'équation sera chacun -- je commence par certains -- commence par un vecteur donné u0. Et puis mon équation est à chaque pas, je multiplie ce que j'ai par A.

Ça, cette équation devrait être simple à gérer.

Et j'aimerais pouvoir le résoudre.

Comment pourrais-je trouver -- si je commence par un vecteur u0 et que je multiplie par A cent fois, qu'est-ce que j'ai ?

Eh bien, je pourrais certainement écrire une formule pour la réponse, alors quoi, quoi -- donc u1 est A u0. Et u2 est -- qu'est-ce que u2 alors ? u2, je multiplie -- u2 j'obtiens de u1 par un autre multipliant par A, donc j'ai A deux fois.

Et ma formule est uk, après k étapes, j'ai multiplié par A k fois le u0 d'origine. Tu vois ce que je fais ?

La section suivante va résoudre des systèmes d'équations différentielles.

Je vais avoir des dérivés.

Cette section est la bonne.

Il résout les équations aux différences.

J'appellerais cela une équation de différence.

C'est -- au premier ordre, j'appellerais cela un système de premier ordre, parce qu'il se connecte seulement -- il ne monte que d'un niveau.

Et je -- c'est un système parce que ce sont des vecteurs et c'est une matrice.

Et la solution n'est que cela.

C'est la formule la plus compacte que j'ai jamais pu obtenir. u100 serait A au cent u0. Mais comment trouverais-je réellement u100 ? Comment pourrais-je trouver -- comment découvrirais-je ce qu'est u100 ?

Laissez-moi, laissez-moi vous montrer comment.

Si -- donc pour résoudre, vraiment résoudre -- dirai-je, vraiment résoudre -- pour vraiment le résoudre, je prendrais ce vecteur initial u0 et je l'écrirais comme une combinaison de vecteurs propres.

Pour vraiment résoudre, écrivez u rien comme une combinaison, disons une certaine quantité du premier vecteur propre plus une certaine quantité du deuxième vecteur propre plus une certaine quantité du dernier vecteur propre.

Vous voulez -- vous devez voir la magie des vecteurs propres fonctionner ici.

A fois -- alors qu'est-ce que A -- je peux le séparer en n morceaux séparés, et c'est tout l'intérêt.

Que chacune de ces pièces se déroule à sa manière.

Chacune de ces pièces est un vecteur propre, et quand je multiplie par A, que devient cette pièce ?

C'est donc une partie du premier -- supposons que les vecteurs propres soient normalisés pour être des vecteurs unitaires.

Cela dit donc quel est le vecteur propre.

C'est un -- Et j'en ai besoin de plusieurs pour produire u0. D'ACCORD.

Maintenant, quand je multiplie par A, qu'est-ce que j'obtiens ?

J'obtiens c1, qui n'est qu'un facteur, multiplié par Ax1, mais Ax1 est lambda un x1. Lorsque je multiplie cela par A, j'obtiens c2 lambda deux x2. Et ici, je reçois cn lambda n xn.

Et supposons que je multiplie par A à la puissance centième maintenant.

Pouvons-nous, l'ayant fait, multiplié par A, multiplions par A au centième.

Qu'arrive-t-il à ce premier terme lorsque je multiplie par A au centième ?

Il a ce facteur lambda au centième.

C'est - c'est ce que je veux dire en suivant son petit bonhomme de chemin.

Elle, c'est un vecteur propre pur.

C'est exactement dans une direction où la multiplication par A apporte juste un facteur scalaire, un lambda.

Donc cent fois cela revient cent fois.

Cent fois lambda deux, cent fois lambda n.

En fait, nous sommes -- que voyons-nous ici ?

On voit, ce même, lambda majuscule lambda au centième comme dans le, comme dans la diagonalisation.

Et nous voyons la matrice S, la, la matrice S des vecteurs propres.

C'est ce à quoi cela doit aboutir -- cela doit s'élever à.

Une puissance lambda à la centième fois une S fois ce vecteur c qui nous dit combien de chacun est dans la chose originale.

Donc, si je devais vraiment trouver la puissance centième, je prendrais u0, je la développerais comme une combinaison de vecteurs propres - c'est vraiment S, la matrice de vecteurs propres, fois c, le, le vecteur de coefficient.

Et puis j'aurais tout de suite alors, en insérant ces puissances centièmes de valeurs propres, j'aurais la réponse.

Alors -- hein, il doit y avoir -- oh, voyons, OK. C'est -- alors, ouais.

Donc, si u100 est A au centième fois u0, et u0 est S c -- alors vous voyez que cette formule n'est que cette formule, qui est la façon dont j'obtiendrais réellement ceci, de ce u100, qui est -- laissez-moi mets-le ici. u100. La façon dont je saisirais cela, voir quelle est la solution après cent étapes, serait -- développer le vecteur initial en vecteurs propres et laisser chaque vecteur propre suivre son propre chemin, en multipliant par cent à -- par lambda à chaque pas, et donc par lambda à la puissance centième après cent pas.

Puis-je faire un exemple ? Voilà donc les formules.

Permettez-moi maintenant de prendre un exemple.

Je vais utiliser la séquence de Fibonacci comme exemple.

Vous vous souvenez des nombres de Fibonacci ?

Si nous commençons par un et un comme F0 -- oh, je pense que je commence par zéro, peut-être.

Soit zéro et un les premiers.

Il y a donc F0 et F1, les deux premiers nombres de Fibonacci.

Alors quelle est la règle pour les nombres de Fibonacci ?

Le suivant est la somme de ceux-ci, donc c'est un.

Le suivant est la somme de ceux-ci, donc c'est deux.

Le suivant est la somme de ceux-ci, donc c'est trois.

Eh bien, ça ressemble à un deux trois quatre cinq, mais d'une manière ou d'une autre, ça ne va pas se passer comme ça.

Le suivant est cinq, à droite.

Et le centième nombre de Fibonacci, c'est quoi ?

Comment pourrais-je obtenir une formule pour le centième nombre?

Et, par exemple, comment pourrais-je répondre à la question, à quelle vitesse grandissent-ils ?

À quelle vitesse ces nombres de Fibonacci augmentent-ils ?

Quelles que soient les valeurs propres de la matrice, elles ne sont pas inférieures à un.

Ces chiffres sont en croissance.

Mais à quelle vitesse grandissent-ils ?

La réponse réside dans la valeur propre.

Je dois donc trouver la matrice, alors laissez-moi écrire la règle de Fibonacci. F(k+2) = F(k+1)+Fk, non ?

Maintenant, ce n'est pas dans mon -- je veux écrire cela comme uk plus un et Auk.

Mais pour le moment, ce que j'ai, c'est une seule équation, pas un système, et c'est du second ordre. C'est comme avoir une équation différentielle du second ordre avec des dérivées secondes.

Je veux obtenir les premières dérivées.

Ici, je veux obtenir les premières différences.

Donc la façon, la façon de le faire est d'introduire uk sera un vecteur -- voyez, une petite astuce.

Soient uk un vecteur, F(k+1) et Fk.

Je vais donc obtenir un système deux par deux, du premier ordre, au lieu d'un -- au lieu d'un système scalaire, du deuxième ordre, par une simple astuce.

Je vais juste ajouter dans une équation F(k+1) est égal à F(k+1). Ce sera ma deuxième équation.

Alors c'est mon système, c'est mon inconnue, et quelle est mon équation en une étape ?

Donc, maintenant u(k+1), c'est -- donc u(k+1) est le côté gauche, et qu'est-ce que j'ai ici du côté droit ?

J'ai une matrice multipliant le Royaume-Uni.

Pouvez-vous faire -- pouvez-vous bien voir ça ?

si vous pouvez le voir, alors vous pouvez me dire quelle est la matrice.

Voyez-vous que je prends mon système ici.

J'en ai fait artificiellement un système.

J'ai artificiellement fait de l'inconnu un vecteur.

Et maintenant je suis prêt à regarder et voir ce que la matrice

est. Alors voyez-vous le côté gauche, u(k+1) est F(k+2) F(k+1), c'est exactement ce que je veux.

Sur le côté droit, rappelez-vous, ce Royaume-Uni ici -- laissez-moi pour le moment le mettre comme F(k+1) Fk. Alors, quelle est la matrice ?

Eh bien, cela a un un et un un, et cela a un un et un zéro.

Vous voyez que ça me donne le côté droit ?

Et voici notre ami britannique.

Nous avons donc -- donc cette astuce simple -- a changé le problème scalaire du second ordre en un système du premier ordre.

Deux b- u- avec deux inconnues.

Eh bien, avant même de réfléchir, je trouve ses valeurs propres et vecteurs propres.

Quels sont donc les valeurs propres et les vecteurs propres de cette matrice ?

J'ai toujours -- d'abord laissez-moi juste, genre, réfléchir une minute.

C'est deux par deux, donc cela ne devrait pas être impossible à faire.

Donc ma matrice, encore une fois, est un un un zéro.

Donc, ce que je saurai éventuellement sur les matrices symétriques, c'est que les valeurs propres seront réelles.

Je n'obtiendrai pas de nombres complexes ici.

Et les vecteurs propres, une fois que je les ai, seront en fait orthogonaux.

Mais deux par deux, je suis plus intéressé par les chiffres réels.

Que sais-je des deux nombres ?

Eh bien, si tu veux que je trouve ce déterminant de A moins

C'est donc le déterminant de un moins lambda un un zéro,

Il y aura deux valeurs propres.

Qu'est-ce qui va me dire à nouveau ce que je sais sur les deux valeurs propres avant d'aller plus loin.

Parlez-moi de ces deux valeurs propres.

Lambda un plus lambda deux c'est ?

Est le même que le tracé le long de la diagonale de la matrice.

Donc, lambda un plus lambda deux devraient être un.

Et lambda une fois lambda une fois lambda deux devrait être le déterminant, qui est moins un.

Je m'attends donc à ce que les valeurs propres s'ajoutent à un et se multiplient par moins un.

Mais voyons cela se produire ici.

Si je multiplie cela, j'obtiens -- que fois ce sera un lambda au carré moins lambda moins un.

Bon. Lambda au carré moins lambda moins un.

En fait, je -- vous voyez le b- comparez cela avec l'équation originale avec laquelle j'ai commencé. F(k+2) - F(k+1)-Fk est nul.

La récursivité que -- que satisfont les nombres de Fibonacci apparaît en quelque sorte directement ici pour les valeurs propres lorsque nous la mettons à zéro.

Eh bien, j'aimerais pouvoir prendre en compte cela, ce quadratique, mais je ferais mieux d'utiliser la formule quadratique.

Moins b est un plus ou moins la racine carrée de b au carré, qui est un, moins quatre fois ce qui est plus quatre, sur deux.

C'est donc la racine carrée de cinq.

Ainsi, les valeurs propres sont lambda un est la moitié d'un plus racine carrée de cinq, et lambda deux est la moitié d'un moins racine carrée de cinq.

Et bien sûr, ils -- ceux-ci s'additionnent à un et ils se multiplient pour donner moins un.

D'ACCORD. Ce sont les deux valeurs propres.

Comment -- quels sont ces chiffres approximativement ?

Racine carrée de cinq, eh bien, c'est plus que deux mais moins que trois.

Hmm. Ce serait bien de connaître ces chiffres.

Je pense, je pense que -- donc ce nombre est plus grand qu'un, n'est-ce pas ?

Ce nombre sort plus grand qu'un.

Il fait environ un virgule six un huit ou quelque chose comme ça.

Et supposons que ce soit un virgule six.

Est-ce que lambda deux est positif ou négatif ?

Négatif, n'est-ce pas, parce que je suis -- c'est évidemment négatif, et je savais que le -- donc c'est moins -- et ils totalisent un, donc moins le point six un huit, je suppose.

Ce sont les deux valeurs propres.

Une valeur propre supérieure à un, une valeur propre inférieure à

un. En fait, c'est une excellente situation dans laquelle se trouver.

Bien sûr, les valeurs propres sont différentes, donc il n'y a aucun doute, cette matrice est-elle diagonalisable ?

Cette matrice est-elle diagonalisable, cette matrice originelle A ?

Nous avons deux valeurs propres distinctes et nous pouvons trouver les vecteurs propres en un instant.

Mais ils seront indépendants, nous serons diagonalisables.

Et maintenant, vous, vous pouvez déjà répondre à ma toute première question.

À quelle vitesse ces nombres de Fibonacci augmentent-ils ?

Comment -- ceux -- ils augmentent,

droite? Ils ne doublent pas à chaque pas.

Permettez-moi -- regardons à nouveau ces chiffres.

Cinq, huit, treize, ce n'est pas évident.

Le prochain serait vingt et un, trente-quatre. Donc, pour avoir une idée de ce qu'est F cent, pouvez-vous me donner -- je veux dire le nombre crucial -- donc ces -- c'est approximativement -- qu'est-ce qui contrôle la croissance de ces nombres de Fibonacci ?

Et quelle valeur propre contrôle cette croissance ?

Donc F100 sera approximativement une constante, c1 je suppose, multipliée par ce lambda un, celui-ci plus la racine carrée de cinq sur deux, à la puissance centième.

Et le deux centième F -- en d'autres termes, la valeur propre -- les nombres de Fibonacci augmentent d'environ ce facteur.

Voyez-vous que nous avons des informations précises sur les, sur les nombres de Fibonacci à partir des valeurs propres ?

D'ACCORD. Et encore, pourquoi est-ce vrai ?

Laissez-moi aller sur ce tableau et montrer ce que je fais ici.

Le -- la valeur initiale d'origine est une combinaison de vecteurs propres.

Et puis quand on commence -- quand on commence à sortir les théories des nombres de Fibonacci, quand on commence à multiplier par A cent fois, c'est ce lambda un centième.

Ce terme est, est celui qui prend le dessus.

C'est -- je veux dire, c'est gros, comme un virgule six à la puissance centième.

Le deuxième terme n'est pratiquement rien, non?

Le virgule six, ou moins le virgule six, à la puissance centième est un nombre extrêmement petit, extrêmement petit.

Donc c'est -- il n'y a que deux termes, parce que nous sommes deux par deux.

This number is -- this piece of it is there, but it's, it's disappearing, where this piece is there and it's growing and controlling everything.

So, so really the -- we're doing, like, problems that are evolving.

We're doing dynamic u- instead of Ax=b, that's a static problem.

We're now we're doing dynamics.

A, A squared, A cubed, things are evolving in

temps. And the eigenvalues are the crucial, numbers.

D'ACCORD. I guess to complete this, I better write down the eigenvectors. So we should complete the, the whole process by finding the eigenvectors.

OK, well, I have to -- up in the corner, then, I have to look at A minus lambda I.

So A minus lambda I is this one minus lambda one one and minus lambda.

And now can we spot an eigenvector out of that?

That's, that's, for these two lambdas, this matrix is singular.

I guess the eigenvector -- two by two ought to be, I mean, easy.

So if I know that this matrix is singular, then u- seems to me the eigenvector has to be lambda and one, because that multiplication will give me the zero.

And this multiplication gives me -- better give me also zero.

This is the minus lambda squared plus lambda plus one.

It's the thing that's zero because these lambdas are special.

There's the eigenvector. x1 is lambda one one, and x2 is lambda two one.

I did that as a little trick that was available in the two by two case.

So now I finally have to -- oh, I have to take the initial u0 now. So to complete this example entirely, I have to say, OK, what was u0? u0 was F1 F0. So u0, the starting vector is F1 F0, and those were one and

zéro. So I have to use that vector.

So I have to look for, for a multiple of the first eigenvector and the second to produce u0, the one zero

vector. This is what will find c1 and c2, and then I'm done.

Do you -- so let me instead of, in the last five seconds, grinding out a formula, let me repeat the idea.

Because I'd really -- it's the idea that's central.

When things are evolving in time -- let me come back to this board, because the ideas are here.

When things are evolving in time by a first-order system, starting from an original u0, the key is find the eigenvalues and eigenvectors of A.

That will tell -- those eigenvectors -- the eigenvalues will already tell you what's happening.

Is the solution blowing up, is it going to zero, what's it doing.

And then to, to find out exactly a formula, you have to take your u0 and write it as a combination of eigenvectors and then follow each eigenvector separately.

And that's really what this formula, the formula for, -- that's what the formula for A to the K is doing.

So remember that formula for A to the K is S lambda to the K S inverse.

D'ACCORD. That's, that's difference equations.

And you just have to -- so the, the homework will give some examples, different from Fibonacci, to follow through.


Topology (Math 731)

Weekly assignments are due Wednesdays at 11am. Occasionally, as on the first day of class, you will be given one problem due at the start of the next class.

Diagostic exercises are indicated by DX these should not be submitted. All other exercises require written solutions. Check the errata for exercises marked *.

Assignment 1, due F., 9/2 [Do not discuss with others.]

Assignment 2, due W., 9/7
DX: 1.1, 1.3, 1.6, 1.7, 1.8, 1.9, 1.10, 1.11, 1.15
Required: 1.2, 1.4, 1.5, 1.12, 1.13 (1.12, 1.13 delayed until Asst 3)
Required: Prove that the interval [0,1) is uncountable using Cantor's diagonalization argument. (Do not look this up, unless you've tried it for a long time!)

Assignment 3, due W., 9/14
DX: 1.17, 1.25, 1.28, 1.29, 1.30, 1.31
Required: 1.12, 1.13, 1.14, 1.16, 1.19, 1.20 (defining a subbasis), 1.21, 1.27, 1.34*, 1.35
Required: Show that the separation axioms obey: T4 implies T3 implies T2.

Assignment 4, due W., 9/21
DX: 1.38, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8
Required: 1.22, 1.34*, 1.35, 1.39, 1.44, 2.1, 2.3, 2.10
Required: Show that the separation axioms obey: T4 implies T3 implies T2.

Assignment 5, due F., 9/23. We will present the proof of Theorem 2.15 (exercise 2.28) in class. There are 12 parts, so most of you will be randomly chosen to present. If you present, your grade is based upon that. If you don't, you will submit 3-4 parts in class to be graded.

Assignment 6, due W., 9/28
DX: 2.26, 2.27, 2.31
DX: Let T and T' are two topologies on X, with T coarser than T'. Show, for A a subset of X, that the interior of A under T is contained in the interior of A under T'. Similarly show that the closure of A under T contains the closure of A under T'.'
Required: 2.13, 2.14*, 2.18, 2.19*, 2.23, 2.24,
Challenge Problem: (Munkres 17.21) Consider the power set P(X) of X. The operations closure and complement may be viewed as maps P(X)->P(X). (a) Show that, starting from a given set A, one can form no more than 14 distinct sets by applying these operations. (b) Find a subset of the reals for which the maximum of 14 distinct sets is achieved.

Assignment 7, due W., 10/12
DX: 3.1-3.6, 3.9, 3.12, 3.13, 3.14, 3.18, 3.20, 3.23, 3.25, 3.28
Required: 2.29, 2.35, 3.7, 3.15, 3.17, 3.22, 3.26, 3.29, 3.30, 3.33
For 2.29, assume all intervals [c,d] have positive length, i.e., c&ned.

Assignment 8, due W., 10/19
DX: 3.40, 4.1, 4.2, 4.7
Required: 3.44, 4.3, 4.4, 4.5, 4.10, 4.12, 4.18, 4.19, 4.20, 4.21
Challenge problem: Describe the configuration space C3(S 1 ). What familiar space is it equivalent to?
Hint (3.44): The bonding angle of a water molecule is constant, roughly 104.5 degrees.

Assignment 10, due F., 11/11
DX: 4.38, 5.1, 5.2, 5.4, 5.5, 5.6, 5.10, 5.13, 5.16, 5.22, 5.26, 5.27, 5.30, 5.33, 6.1, 6.2, 6.5
Required: 5.3, 5.12, 5.14*, 5.24, 5.29**, 5.31, 5.35, 5.37, 5.41, 6.7b, 6.9, 6.18, 6.20, 6.27, 6.30
Problem [replacing 5.29b]. Show that for all c1>0, for all c2 satisfying 0< c2 &le c1(b-a), there exists f in C[a,b] s.t. &rhoM(f,0)=c1 and &rho(f,0)=c2.
Required: Read section 4.3. What is "gimbal lock"? How did NASA encounter and address it 40-50 years ago?
Attend either the colloquium on 11/10 and write a 1-page reaction, or do problem 6.24.

Assignment 12, due Tu., 11/22
DX: 7.1, 7.2, 7.3, 7.6, 7.9
Required: 6.41, 6.43, 6.44, 6.45, 7.5 (you must use open covers), 7.11


29: 15 Pre-Class Assignment - Diagonalization and Powers - Mathematics

Instructor: Prof. Zhong-Jin Ruan

Classroom: 141AH, TuTh 11:00am - 12:20pm

Office Hour: TuTh 1-2 pm, or by appointment.

Web page: https://math.uiuc.edu/

This course provides a careful development of elementary analysis for those who intend to take graduate courses in mathematics. Topics include completeness property of real number system basic topological properties of n-dimensional space convergence of numerical sequences and series of functions properties of continuous functions and basic theorems concerning differentiation and Riemann integration.

Textbook: Elementary Analysis: The Theory of Calculus by Kenneth Ross, 2nd edition, 2013.

Pre-requisite: Math 242 and Math 347, or equivalent.

Homework: Homework will be assigned each week and will be due in class on the following dates:
Part I: Thursdays Jan 26, Feb 2, 9, 16
Part II: Thursdays Mar 9, 16, 30, Apr 6
Part III: Tuesdays Apr 25, May 2.

No late homework will be accepted. If you have a reasonable excuse for missing an assignment, I will score it by the average of the other assignments.

Exams: We will have two midterm exams and a final exam.

Exam1: Thursday February 23
Exam2: Thursday April 13

Final Exam: Thursday May 11, 7-10pm at 141Altgeld Hall.

Grading policy: There will be total of 500 points, which can be computed as follows.

Devoirs:10 x 10 pts 100 pts
Examens:2 x 100 pts 200 pts
Final Exam: 200 pts
Total: 500 pts

Your grade will be based on the total scores.

HW#2: #8.2c),d), 8.4, 8.6a), 8.8a), 8.10. Due Thursday, February 2, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #9.1, 9.2, 9.4, 9.8a), c), 9.15.


HW#3: #10.6a), b), 10.7, 10.10, 12.2, 12.4, 12.10. Due Thursday, February 9, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): 10.1, 10.4, 12.3.


HW#4: #11.4 consider (x_n), (z_n) 11.6 12.6 a), c) 14.2 e), f), g) 14.4a), b) 14.12. Due Thursday February 16, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #11.11, 14.7, 14.10.

The 1st exam will be given on Thursday February 23, 2017 from 11:00am to 12:15pm Solution [pdf]"

HW#5: #13.4, 13.12, 13.13 17.10a), b), 17.12a), b). Due Thursday March 2, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in): #13.3, 13.9, 13.11 17.3, 17.9c), d).

HW#6: #18.2, 18.4, 18.6, 18.8, 19.2c), 19.6a), b). Due Thursday March 9, 2017. Solution [pdf]"

HW#7: #13.8a), 19.7a), b), 19.10, 21.2, 21.8, 21.10a),d). Due Thursday March 16, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #21.1, 21.3, 21.7.

HW#8: #22.2, 22.4a),b),c), 22.6a), 22.8, 23.2b),d), 23.6. Due Thursday March 30, 2017. Solution [pdf]"
(Hint: You may apply 22.3 to 22.4b).)
Practice HW (No need to hand in). #22.1, 22.5, 22.11, 23.1.

HW#9: #24.4, 24.6, 24.14, 25.4, 25.6, 25.10. Due Thursday April 6, 2017 Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #24.7, 24.11, 24.13, 25.5, 25.9.

For section 28 and 29, we only have practice homework (No need to hand in): #28.4, 28.6, 28.8, 28.14, 29.10, 29.12, 29.14.

The 2nd exam will be given on Thursday April 13, 2017 from 11am to 12:15pm. Solution [pdf]"

HW#10: #32.2, 32.6, 32.8, 33.4, 33.8a), 33.10. Due Tuesday April 25, 2017. Solution [pdf]"
Practice HW (No need to hand in) #33.3, 33.7

HW11: #33.14, 34.2a), 34.4, 34.6, 34.7, 34.8a). Due Tuesday May 2, 2017. Solution [pdf]"

Final Exam Review: I will hold a final exam review session at 343AH, 5pm - 6pm on Tuesday May 9, 2017.

Extra Office Hour: I will add an office hour on Thursday May 11, 11am-noon at my office 353AH.

Final Exam will be given at classroom (141 Altgeld Hall) on Thursday May 11, 2017 from 7pm to 10pm.
Notice 1: This is a close book exam. So no book, no notes, and no cell phone will be allowed during the exam.
Notice 2: Let me know if you have any potential conflicts. Otherwise, do not miss this final exam. I will not give any make-up exam unless you have a strong reason.


29: 15 Pre-Class Assignment - Diagonalization and Powers - Mathematics

Instructor: Nikola Petrov, 802 PHSC, (405)325-4316, npetrov AT math.ou.edu

Office Hours: Mon 2:30-3:30 p.m., Tue 4:30-5:30 p.m., or by appointment.

Prérequis: 2443 (Calculus and Analytic Geometry IV), 3413 (Physical Mathematics I).

Course catalog description: The Fourier transform and applications, a survey of complex variable theory, linear and nonlinear coordinate transformations, tensors, elements of the calculus of variations. Duplicates one hour of 3333 and one hour of 4103. (Sp)

Texte: D. A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers, University Science Books, Sausalito, CA, 2003. The course will cover (parts of) chapters 4-10, 17-20.

  • Homework 1, due Thu, Aug 30.
  • Homework 2, due Thu, Sep 6.
  • Homework 3, due Thu, Sep 13.
  • Homework 4, due Thu, Sep 27.
  • Homework 5, due Thu, Oct 4.
  • Homework 6, due Thu, Oct 11.
  • Homework 7, due Thu, Oct 18.
  • Homework 8, due Thu, Nov 1. SOLUTIONS
  • Homework 9, due Tue, Nov 13. SOLUTIONS
  • Homework 10, due Tue, Nov 27. SOLUTIONS
  • Homework 11, due Thu, Dec 6.

Hour exam 3 will be on Thursday, November 29, in class.
No formula sheets and calculators are allowed.

    Lecture 1 (Tue, Aug 21):Reminder: Fourier series: Fourier series of a periodic function (using complex exponents or sines and cosines), even and odd funcitons, sine and cosine series, convergence of Fourier series, Parseval's theorem, physical interpretation (Sec. 15.1-15.3).
    Fourier transform: definition of Fourier transform, examples (pages 845-849 of Sec. 17.5).

Présence: You are required to attend class on those days when an examination is being given attendance during other class periods is also strongly encouraged. You are fully responsible for the material covered in each class, whether or not you attend. Make-ups for missed exams will be given only if there is a compelling reason for the absence, which I know about beforehand and can document independently of your testimony (for example, via a note or a phone call from a doctor or a parent).

You should come to class on time if you miss a quiz because you came late, you won't be able to make up for it.

Devoirs: It is absolutely essential to solve a large number of problems on a regular basis! Homework assignments will be given regularly throughout the semester and will be posted on this web-site. Usually the homeworks will be due at the début of class on Thursday. Each homework will consist of several problems, of which some pseudo-randomly chosen problems will be graded. Your lowest homework grade will be dropped. All homework should be written on a 8.5"×11" paper with your name clearly written, and should be stapled. No late homework will be accepted!

You are encouraged to discuss the homework problems with other students. However, you have to write your solutions clearly and in your own words - this is the seulement way to achieve real understanding! It is advisable that you first write a draft of the solutions and then copy them neatly. Please write the problems in the same order in which they are given in the assignment.

Shortly after a homework assignment's due date, solutions to the problems from that assignment will be placed on restricted reserve in the Chemistry-Mathematics Library in 207 PHSC.

Quiz: Short pop-quizzes will be given in class at random times your lowest quiz grade will be dropped. Often the quizzes will use material that has been covered very recently (even in the previous lecture), so you have to make every effort to keep up with the material and to study the corresponding sections from the book right after they have been covered in class.

Exams: There will be three in-class midterms and a (comprehensive) final. The approximate dates for the midterms are September 18, October 23 and November 27. The final is scheduled for Tuesday, December 11, 1:30-3:30 p.m. All tests must be taken at the scheduled times, except in extraordinary circumstances. Please do not arrange travel plans that prevent you from taking any of the exams at the scheduled time.

Classement : Your grade will be determined by your performance on the following coursework:

Pop-quizzes (lowest grade dropped) 15%
Homework (lowest grade dropped) 15%
Three in-class midterms 15% each
Final Examination 25%

Academic calendar for Fall 2007.

Policy on W/I Grades : Through September 23, you can withdraw from the course with an automatic W . In addition, it is my policy to give any student a W grade, regardless of his/her performance in the course, through the extended drop period that ends on December 7. However, after October 29, you can only drop via petition to the Dean of your college. Such petitions are not often granted. Furthermore, even if the petition is granted, I will give you a grade of "Withdrawn Failing" if you are indeed failing at the time of your petition.

The grade of I (Incomplete) is ne pas intended to serve as a benign substitute for the grade of F . I only give the I grade if a student has completed the majority of the work in the course (for example everything except the final exam), the coursework cannot be completed because of compelling and verifiable problems beyond the student's control, and the student expresses a clear intention of making up the missed work as soon as possible.

Academic Misconduct: All cases of suspected academic misconduct will be referred to the Dean of the College of Arts and Sciences for prosecution under the University's Academic Misconduct Code. The penalties can be quite severe. Don't do it! For more details on the University's policies concerning academic misconduct see http://www.ou.edu/provost/integrity/. See also the Academic Misconduct Code, which is a part of the Student Code and can be found at http://www.ou.edu/studentcode/.

Students With Disabilities: The University of Oklahoma is committed to providing reasonable accommodation for all students with disabilities. Students with disabilities who require accommodations in this course are requested to speak with the instructor as early in the semester as possible. Students with disabilities must be registered with the Office of Disability Services prior to receiving accommodations in this course. The Office of Disability Services is located in Goddard Health Center, Suite 166: phone 405-325-3852 or TDD only 405-325-4173.


E-Lesson Plan for Mathematics Teachers

For a teacher it is important to make a lesson plan. In mathematics lesson planning is an art. With the help of good planning a teacher can achieve his goal in the classroom. In the link given below teacher can find beautiful lesson planning in mathematics.

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Math 171: Fundamental Concepts of Analysis, Spring 2016

Math 171 is Stanford's honors analysis class and will have a strong emphasis on rigor and proofs. The class will take an abstract approach, especially around metric spaces and related concepts. Math 171 is required for honors majors, and satisfies the WIM (Writing In the Major) requirement.

For some students, Math 115 may be a suitable alternative to 171. Both Math 115 and Math 171 cover similar material, but 171 will be more fast-paced and have a more abstract/proof-based flavor. If you are unsure which of these two classes will be more appropriate for you, please come and talk to me as soon as possible (well before the drop deadline, which is April 15).

Textbook and topics

Foundations of Mathematical Analysis by Johnsonbaugh and Pfaffenberger.

We will cover approximately chapters I-X of the book. Thematically, the content we will cover falls into three areas:

  • Real numbers, sequences, limits, series, functions. Much of this will be familiar to you already, and we will not cover it in detail. Specifically, we will not cover the following sections in complete detail: 1-8, 10-17, 22-33 and 48-50. Instead, these topics will be reviewed in the first two weeks. Here are some notes for the review, written by Prof. Leon Simon.
  • Metric spaces. Completeness, compactness. Introduction to topological spaces.
  • Integration. The Riemann integral. Introduction to the Lebesgue integral. We will make use of these notes written by Prof. Leon Simon.

A more detailed lecture plan (updated after each lecture) is below.

Course Grade

The course grade will be based on the following:

  • 25% Homework assignments,
  • 25% Midterm exam,
  • 15% Writing assigment,
  • 35% Final exam

Homework Assignments

Homeworks will be posted here on an ongoing basis (roughly a week before they are due) and will be due at 4pm on the date listed. You can hand write your solutions, but you are encouraged to consider typing your solutions with LaTeX (now is a good time to start learning LaTeX if you haven't already, as you will be required to typeset the WIM assignment). Please submit your homework either directly to our Course Assistant Alex if he is in his office (380-380M) or slide the homework under his door if he is away. If you have typed your solutions, you are welcome to simply e-mail your homework to to Alex.

Noter: we are looking not just for valid proofs, but also a readable, well explained ones (and indeed, you will be partly graded on readability). This means you should try to use complete sentences, insert explanations, and err on the side of writing out "for all" and "there exist", etc. symbols if there is any chance of confusion.

Late homeworks will not be accepted. In order to accomodate exceptional situations such as serious illness, your lowest homework score will be dropped at the end of the quarter. You are encouraged to discuss problems with each other, but you must work on your own when you write down solutions. The Honor Code applies to this and all other written aspects of the course.

As homeworks are completed, solutions (in PDF and LaTeX) will be uploaded here. The LaTeX files may be useful as templates for your own LaTeX work (whether on homework or the writing assignment).

Due date Mission
Fri, Apr 8 Homework 1. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 15 Homework 2. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 22 Homework 3. Solutions: PDF. TeX
Fri, Apr 29 Homework 4. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 6 Homework 5. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 13 Homework 6. Solutions: PDF. TeX
Fri, May 20 Homework 7 (half weight, in light of WIM assignment). Solutions: PDF. TeX
Fri, May 27 Homework 8 (not half weight, but also shorter than usual) Solutions: PDF. TeX

Writing Assignment

The writing assignment is now posted here. The first draft will be due Friday, May 20 at 4pm to Alex and the final draft will be due Tuesday, May 31 at 4pm to Alex ( edit: The deadline has been extended to June 1 at 4 pm, should you require an additional day.) Your paper should be about 4-7 pages in length. It is required that you typeset your assignment we strongly recommend you use LaTeX. We have made available copies of the TeX solutions to homework assignemnts above, in case they are helpful references as you learn LaTeX. A couple of the homework assignments will be shorter than usual, to give you time to work on the writing assignment.

Clear writing is an important part of mathematical communication, and is an important part of our course. The broad idea of this assignment is to write a clear exposition of a specific mathematical topic detailed in the assignment beyond what we have covered in class, which is accessible to someone at a similar stage in a similar class.

Professor Keith Conrad at the University of Connecticut has written a helpful guide to common errors in mathematical writing, available here.

Midterm and Final Exam

Midterm exam

The Midterm Exam was held on Wednesday April 27 de 8:30 am - 10:20 am in 380-380F. Here is a copy of the exam. Here is a set of solutions.

Also, here are some old exams from previous versions of the course which we used for practice (bear in mind that the exact topics, time of exam, and format all differ from year to year):

  • 2014 spring midterm exam (with solutions built in)
  • 2013 spring midterm exam (solution set here)
  • 2011 spring midterm exam (no solutions available).

Examen final

The Final Exam will be held on Saturday, June 4th de 8:30 am - 11:30 am in classroom 380-380X.

The final exam is a closed book, closed notes examen. The topics range through all of the topics we have covered in the class. Please see the Lecture Plan below for a review of all of the important topics and book sections (plus Professor Simon's review notes, and notes on integration) covered.

A helpful way to prepare for the final exam is to make sure you can solve all of the homework problems, and/or related problems in the book. It is also important to know and be able to articulate statements of all of the major definitions and Theorems/results covered in class to date (Indeed, a part of an exam question might even be to state an important result, before working with it. Or at the very least, when you are explaining your argument, you may need to cite such a result). You will not be asked to recall from memory proofs of important theorems, but you will certainly be asked to use these results, or reason through parts of their proof --- so some understanding of how various results are proved is definitely important.

Also, here is an old exam and some practice problems. See also the old midterm exams above (and note that some of them had problems which did not appear on our midterm, but might appear on the final)

  • Practice problems from the Spring 2013 Math 171 class final preparation here (a couple of these problems already appeared on our HW 8).
  • 2007 fall final exam (solutions available here).

Lecture Plan

Lecture topics by day will be posted on an ongoing basis below. Future topics are tentative and will be adjusted as necessary.


Math 416, Abstract Linear Algebra

This is a rigorous proof-oriented course in linear algebra. Topics include vector spaces, linear transformations, determinants, eigenvectors and eigenvalues, inner product spaces, Hermitian matrices, and Jordan Normal Form.

Conditions préalables: Math 241 required with Math 347 strongly recommended.

Texte requis : Friedberg, Insel, and Spence, Linear Algebra, 4th edition, 600 pages, Pearson 2002.

Supplementary text: Especially for the first quarter of the course, I will also refer to the libre text:

Breezer, A First Course in Linear Algebra, Version 3.5 (2015). Available online or as a downloadable PDF file.

Politiques de cours

Overall grading: Your course grade will be based on homework (16%), three in-class midterm exams (18% each), and a comprehensive final exam (30%).

Weekly homework: These are due at the beginning of class, typically on a Friday. Late homework will not be accepted however, your lowest two homework grades will be dropped, so you are effectively allowed two infinitely late assignments. Collaboration on homework is permitted, nay encouraged. However, you must write up your solutions individually and understand them completely.

In-class midterms: These three 50 minute exams will be held in our usual classroom on the following Wednesdays: February 17, March 16, and April 20.

Final exam: There will be a combined final exam for sections B13 and C13 of Math 416, which will be held on Friday, May 6 from 1:30-4:30 in Psychology 23.

Missed exams: There will be no make-up exams. Rather, in the event of a valid illness, accident, or family crisis, you can be excused from an exam so that it does not count toward your overall average. I reserve final judgment as to whether an exam will be excused. All such requests should be made in advance if possible, but in any event no more than one week after the exam date.

Tricherie: Cheating is taken very seriously as it takes unfair advantage of the other students in the class. Penalties for cheating on exams, in particular, are very high, typically resulting in a 0 on the exam or an F in the class.

Disabilities: Students with disabilities who require reasonable accommodations should see me as soon as possible. In particular, any accommodation on exams must be requested at least a week in advance and will require a letter from DRES.

James Scholar/Honors Learning Agreements/4th credit hour: These are not offered for these sections of Math 416. Those interested in such credit should enroll in a different section of this course.

Detailed Schedule

Includes scans of my lecture notes and the homework assignments. Here [FIS] and [B] refer to the texts by Friedberg et al. and Breezer respectively.

Jan 20 Introduction. Section 1.1 of [FIS]. Jan 22 Vectors spaces. Section 1.2 of [FIS]. Jan 25 Subspaces. Section 1.3 of [FIS]. Jan 27 Linear combinations and systems of equations. Section 1.4 of [FIS] and Section SSLE of [B]. Jan 29 Using matrices to encode and solve linear systems. Section RREF of [B]. HW 1 due. Solutions. Feb 1 Row echelon form and Gaussian elimination. Section RREF of [B]. Feb 3 Solution spaces to linear systems. Section TSS of [B]. Feb 5 Linear dependence and independence. Section 1.5 of [FIS]. HW 2 due. Solutions. Feb 8 Basis and dimension, part 1. Section 1.6 of [FIS]. Feb 10 Basis and dimension, part 2. Section 1.6 of [FIS]. Feb 12 Basis, dimension, and linear systems. HW 3 due. Solutions. Feb 15 Intro to linear transformations. Section 2.1 of [FIS]. Feb 17 Midterm the First. Handout. Solutions. Feb 19 The Dimension Theorem. Section 2.1 of [FIS]. Feb 22 Encoding linear transformations as matrices. Section 2.2 of [FIS]. Feb 24 Composing linear transformations and matrix multiplication. Section 2.3 of [FIS]. Feb 26 More on matrix multiplication. HW 4 due. Section 2.3 of [FIS]. Solutions. Feb 29 Isomorphisms and invertibility. Section 2.4 of [FIS]. Mar 2 Matrices: invertibility and rank. Section 2.4 of [FIS] and Sections MINM and CRS of [B]. Mar 4 Changing coordinates. Section 2.5 of [FIS]. HW 5 due. Solutions. Mar 7 Introduction to determinants. Section 4.1 of [FIS]. Mar 9 Definition of the determinant. Section 4.2 of [FIS]. Mar 11 The determinant and row operations. Section 4.2 of [FIS]. HW 6 due. Solutions. Mar 14 Elementary matrices and the determinant. Sections 3.1 and 4.3 of [FIS]. Mar 16 Midterm the Second. Handout. Solutions. Mar 18 Determinants and volumes. Section 4.3 of [FIS]. Mar 19 Spring Break starts. Mar 27 Spring Break ends. Mar 28 Diagonalization and eigenvectors. Section 5.1 of [FIS]. Mar 30 Finding eigenvectors. Sections 5.1 and 5.2 of [FIS]. Apr 1 Diagonalization Criteria. Section 5.2 of [FIS]. HW 7 due. Solutions. Apr 4 Proof of the Diagonalization Criteria. Section 5.2 of [FIS]. Apr 6 Matrix powers and Markov Chains. Section 5.3 of [FIS]. Apr 8 Convergence of Markov Chains. Section 5.3 of [FIS]. HW 8 due. Solutions. Apr 11 Inner products. Section 6.1 of [FIS]. Apr 13 Inner products and orthogonality. Sections 6.1 and 6.2 of [FIS]. Apr 15 Gram-Schmidt and friends. Section 6.2 of [FIS]. HW 9 due. Solutions. Apr 18 Orthogonal complements and projections. Sections 6.2 and 6.3 of [FIS]. Apr 20 Midterm the Third. Handout. Solutions. Apr 22 Projections and adjoints. Section 6.3 of [FIS]. Apr 25 Normal and self-adjoint operators. Section 6.4 of [FIS]. Apr 27 Diagonalizing self-adjoint operators. Section 6.4 of [FIS]. HW 10 due. Solutions. Apr 29 Orthgonal and unitary operators. Section 6.5 of [FIS]. (a) can be eliminated by noting that the proof of (a) => (b) is really shows (e) => (b) and then giving the one-line proof that (b) => (a). Second, one replace the proof on the theorem on page 5 by a formal manipulation: (Ax, Ay) = (Ay)^t (A x) = y^t (A^t A) x = (x, y) at the cost of making the proof of the corollary on the next page less obvious. May 2 Dealing with nondiagonalizable matrices. Section 6.7 and 7.1 of [FIS]. May 4 Linear approximation, diagonalizing symmetric matrices, and the second derivative test. HW 11 due. Solutions. May 6 Final exam from 1:30 - 4:30 pm in Psychology 23. Handout. Solutions.


SYLLABUS

  • Office: 300H LeConte College
  • Office hours: T Th 2-3 pm
  • E-mail:[email protected]
  • Course Web Page:www.math.sc.edu /

Description du cours This is an introduction to linear algebra and its applications. Main topics include matrix algebra, solution of linear systems, determinants, notions of vector space, basis, dimension, linear transformations, eigenvalues, and diagonaliztions. We will develop at each step the applications of these concepts to a range of problems in Mathematics, Engineering, and Economics.

Conditions préalables Math 241--familiarity with vectors.

Textbook Linear Algebra and it Applications, by David C. Lay, Second Edition.

Homework and Quizzes There will be weekly homework assignments due every Tuesday. Late homeworks will not be accepted.

Also, there will be weekly quizzes every Thursday. No calculators, textbooks, or notes will be allowed during quizzes. You should save copies of these quizzes as they are a very good source for preparing for the final and midterms. There may be a number of practice quizzes during the lectures as well.

Doing the homework problems is the most important part of any math class. You may work with a group of your classmates if you are all at about the same level however, you should definitely try to do many problems on your own. Further, try to practice doing at least some of the problems in settings which resemble that of the test and quizzes, i.e., without using your calculator or constantly referring to the textbook.

Lecture and Reading Schedule You should make a sincere effort to keep up with your reading assignments.

Rendez-vous Lectures
Jan 16
18
T
TH
1.1
1.2
Systems of Linear Equations
Row Reduction and Echelon Forms
23
25
T
TH
1.3
1.4
Vector Equations
The Matrix Equation Ax=b
30 T 1.5 Solutions of Linear Systems
Feb 1 TH 1.6 Linear Independence
6
8
T
TH
1.7
1.8
Intro to linear transformations
Matrix of a linear transformation
13
15
T
TH
1.9
.
Linear Models in Science
Midterm 1
20
22
T
TH
2.1
2.2
Matrix Operations
The Inverse of a Matrix
27 T 2.3 Characterizations of Invertible Matrices
Mar 1 E 2.8 Applications to Computer Graphics
6
8
T
TH
2.9
2.9
Subspaces of R^n
Subspaces of R^n
13
15
T
TH
.
.
Spring Break
Spring Break
20
22
T
TH
3.1
3.2, 3.3
Intro to Determinants
Properties, Volume
27
29
T
TH
.
.
Revoir
Midterm 2
Apr 3
5
T
TH
4.1
4.2, 4.3
Vector Spaces and Subspaces
Null Spaces, Column Spaces, and Bases
10
12
T
TH
4.4
4.5
Coordinate Systems
The Dimension of a vector Space
17
19
T
TH
4.7
5.1, 5.2
Change of basis
Eigenvalues, Characteristic Equation
24
26
T
TH
5.3
.
Diagonalization
Fibonacci Sequence
Mai 1 T . Revoir
9 W . Examen final

Devoirs You should plan to work on these problems over a period of several days. Getting a head start on each assignment is perhaps the most critical factor determining your success in this class.

Homework # Due Date Problèmes
1 Jan 23 1.1) 2, 6, 8, 12, 14, 24, 28, 34, 35
1.2) 2, 6, 10, 14, 31, 32, 33, 35.
2 Jan 30 1.3) 6, 8, 10, 12, 14, 23, 29
1.4) 4, 8, 10, 12, 14, 18.
3 Feb 6 1.5) 2, 6, 14, 16, 26, 36, 38
1.6) 4, 6, 10, 20, 22, 26, 28, 30, 32, 34, 36.
4 Feb 13 1.7)2, 4, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 24, 30, 34
1.8) 2, 6, 10, 12, 18, 24, 26, 28, 33.
5 Feb 20 1.9)2, 4, 10, 12
Chap 1 Supplementary Exercises) 1, 3, 6, 11.
6 Feb 27 2.1)2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 26, 30
2.2) 4, 6, 10, 12, 13, 25, 26.
7 Mar 6 2.2)23, 24, 30, 32, 34
2.3)4, 6, 8, 14, 16, 26, 28, 34
2.8)2, 4, 6, 8, 10, 11.
8 Mar 20 2.8)7,14
2.9)2, 4, 6, 8, 10, 16, 18, 22, 24, 26, 28, 34.
9 Mar 27 3.1)4, 10, 16, 20, 22, 28, 34, 42
3.2)16, 18, 22, 26, 28, 31, 32, 33, 34, 35
3.3) 20, 24, 29, 30, 31.
10 Apr 3 Chap 3 Supplementary Exercises) 4, 6, 7, 9, 12.
11 Apr 10 4.1) 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 24, 26, 28, 30
4.2) 2, 6, 8, 10, 26, 28, 34
4.3) 2, 4, 6, 11, 12, 23, 24.
12 Apr 17 4.4) 4, 6, 12, 14, 28
4.5) 2, 4, 9, 22, 24, 27, 28.
13 Apr 24 4.7) 8, 10, 14
5.1) 2, 6, 10, 24, 32
5.2) 4, 8, 10, 16, 25.
14 May 1 5.3) 2, 8, 10, 24
Handout) 2, 3, 4, 5, 7, 8.

Tests and Exams There will be two midterms, on Thursday Feb 15 and on Thursday Mar 29. The final exam will be on Wednesday May 9 at 5:30 pm. No calculators, or notes will be allowed during the exams. Note: bring a bluebook to the exams.

Classement The final grade is based on homeworks 10%, quizzes, 10%, midterms, 20% each, and the final exam, 40%.

A Few More Study Hints and Guidelines Learning Mathematics is a demanding affair. It requires a good deal of self discipline and hard work to appreciate the power and beauty of the subject. Further, solving math problems, much like playing a musical instrument, is a compétence, which can be developed only through persistent practice. You should plan to work on your exercises everyday, and for a total of au moins 8 hours each week. Also, it is very important that you faithfully attend all lectures.

A good deal of class time shall be devoted to working through problems. Do not get into the habit of sitting passively and expecting the professor to make you understand. Rather, you should take out your paper and pencil and try to do the problems at the same time with your instructor. If something is unclear to you, feel free to ask questions, and if you need more help, go see your instructor during the office hours. If you cannot come during the office hours, you are welcome to knock on the professor's door at another time, or send an email for an appointment.


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