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8.6 : Le problème des valeurs propres - Exercices


Exercice (PageIndex{1})

Argumenter comme dans la proposition 1 dans la discussion du développement en fractions partielles de la fonction de transfert que si (j e k) alors (D_{j}P_{k} = P_{j}D_{k} = 0 ).

Exercice (PageIndex{2})

Faites valoir à partir de l'équation de la discussion de la représentation spectrale que (D_{j}P_{j} = P_{j}D_{j} = D_{j}).

Exercice (PageIndex{3})

Les deux exercices précédents sont très utiles pour calculer les puissances des matrices. Par exemple, supposons que (B) soit 4x4, que (h = 2) et (m_{1} = m_{2} = 2). Utilisez la représentation spectrale de (B) avec les deux premiers exercices pour arriver à des formules simples pour (B^{2}) et (B^{3}).

Calculer la représentation spectrale de la matrice circulante

[B = egin{pmatrix} {2}&{8}&{6}&{4} {4}&{2}&{8}&{6} {6}&{4} &{2}&{8} {8}&{6}&{4}&{2} end{pmatrix} onumber]

Étiquetez soigneusement toutes les valeurs propres, projections propres et vecteurs propres.


8.6 : Le problème des valeurs propres - Exercices

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Valeurs propres et vecteurs propres

  • Comment trouver une ou plusieurs de ces racines ?
  • Quand les racines sont-elles distinctes ?
  • Quand les racines sont-elles réelles ?

Si est une valeur propre de , alors est une matrice singulière, et donc il y a au moins un vecteur non nul avec la propriété que . Cette équation s'écrit généralement

  • Comment calcule-t-on un vecteur propre ?
  • Quand y aura-t-il un ensemble complet de N vecteurs propres indépendants ?
  • Quand les vecteurs propres seront-ils orthogonaux ?
  • a les mêmes vecteurs propres que , et les valeurs propres
  • a les mêmes vecteurs propres que , et les mêmes valeurs propres , pour entier
  • a les mêmes vecteurs propres que , et les valeurs propres
  • Si est symétrique, toutes ses valeurs propres sont réelles et,
  • Si est inversible, alors a les mêmes valeurs propres que , avec des vecteurs propres différents mais liés.

Concevoir des appareils physiques

Nous avons commencé par une description relativement simple d'un problème de conception : pouvons-nous construire un système permettant aux étudiants d'étudier et de modéliser un problème de vibrations utile, utiliser la théorie des valeurs propres pour analyser ledit modèle, puis comparer les données mesurées et modélisées résultantes pour tirer des conclusions sur l'utilité des valeurs propres comme outils de modélisation. Après plusieurs mois de réflexion, de conversation et d'itération, nous avons conçu l'appareil décrit dans cet article. Ci-dessous, nous avons inclus un lien vers des documents qui vous guident sur la façon de créer une version d'un tel appareil.

La conception mise en évidence ci-dessus était la première conception fonctionnelle de l'appareil que nous avons utilisé dans notre article. Michael McCusker a construit cet appareil. Le Dr McCusker est un physicien expérimental de formation et a beaucoup d'expérience avec ces mains. Ainsi, cette première conception est idéale pour les personnes qui se sentent à l'aise de travailler avec leurs mains et peuvent faire preuve de créativité. Comme vous le remarquerez, cette conception est peu coûteuse. Vous trouverez ci-dessous une vidéo du Dr McCusker décrivant son travail et mettant en évidence les caractéristiques pertinentes de son appareil.

Afin de tester pour s'assurer que cette conception est accessible à d'autres instructeurs, Jeff a construit sa propre version sans l'aide du Dr McCusker. Jeff est mathématicien de formation et a très peu d'expérience du travail manuel. Le but de la construction d'une deuxième version de cet appareil était de prouver que même un fabricant novice (Jeff) peut construire un système fonctionnel pour un faible coût. Cette deuxième conception pourrait être utile pour les personnes qui se sentent moins à l'aise de travailler avec leurs mains, bien que le prix soit légèrement plus élevé que la version originale. Ci-dessous, nous renvoyons à une vidéo montrant la conception terminée et l'ensemble du processus de configuration.


8.6 : Problèmes

  • Contribution de Marcia Levitus
  • Professeur agrégé (Biodesign Institute) à l'Université d'État d'Arizona

Étant donné une équation d'état générique (P = P(V, T, n)), expliquez comment vous pouvez obtenir la dérivée

en utilisant les propriétés des dérivées partielles que nous avons apprises dans ce chapitre.

L'équation thermodynamique :

montre comment l'énergie interne d'un système varie avec le volume à température constante.

Considérons une mole d'un gaz de van der Waals (équation ef) et montrer que

Considérons un gaz de van der Waals (équation ef) et montrer que

Astuce : Calculez les dérivées les plus faciles à obtenir et utilisez les propriétés des dérivées partielles pour obtenir celle que le problème demande. N'utilisez pas la réponse dans votre dérivation, obtenez la dérivée en supposant que vous ne connaissez pas la réponse et simplifiez votre expression jusqu'à ce qu'elle ressemble à l'équation ci-dessus.

A partir des définitions du coefficient de dilatation ((alpha)) et de la compressibilité isotherme ((kappa)) :

indépendamment de l'équation d'état utilisée.

Remarque : Une erreur courante dans ce problème est de supposer une équation d'état particulière. Utilisez la règle du cycle pour trouver la relation requise indépendamment de toute équation d'état particulière.

Dérivez une équation similaire à l'équation ef, mais cela concerne

est connu sous le nom d'opérateur laplacien en deux dimensions.

Appliqué à une fonction (f(x,y)), on obtient :

Exprimez ( abla^2) en coordonnées polaires (2D) en supposant le cas particulier où (r=a) est une constante.

Calculer (int_<0>^<1>int_<1>^<2>int_<0>^<2>.) Essayez trois ordres d'intégration différents et vérifiez que vous obtenez toujours le même résultat.

Calculer (int_<0>^<2pi>int_<0>^int_<0>^r^5sin< heta>, dr, d heta, dphi>.) Utilisez uniquement la feuille de formule.

À quoi ressemblerait la figure (8.5.2), reproduite ci-dessous, pour un gaz parfait ? Esquissez l'énergie potentielle en fonction de la distance entre les atomes.

D'après tout ce que nous avons appris dans ce chapitre, et sans faire aucun calcul, nous devrions être capables de calculer le signe (>0, <0 ou 0) des dérivées suivantes :

Assurez-vous de pouvoir écrire une courte phrase expliquant vos réponses.

Le point critique est l'état auquel les phases liquide et gazeuse d'une substance deviennent pour la première fois indiscernables. Un gaz au-dessus de la température critique ne se condensera jamais en un liquide, quelle que soit la pression appliquée. Mathématiquement, au point critique :

Obtenir les constantes critiques d'un gaz de van der Waals (équation ef) en fonction des paramètres (a) et (b).

Astuce : obtenez les dérivées première et seconde de (P) par rapport à (V), rendez-les égales à zéro, et obtenez (T_c) et (V_c) à partir de ces équations. Enfin, remplacez ces expressions dans l'équation ef pour obtenir (P_c).


Eh bien, la question, après clarification, pourrait prendre un certain sens mathématique en écrivant :

puis invoquez le calcul opérationnel pour l'opérateur (vraisemblablement auto-adjoint) A pour obtenir le résultat.

En effet, il pourrait s'agir d'une faute de frappe dans ce que l'OP est en train de lire et non d'une exponentielle là, cas dans lequel on pourrait aussi donner un sens physique à l'expression mathématique.

Les autres solutions sont correctes en général. Pour le cas particulier où $psi$ est une valeur propre de $hat$, c'est encore plus simple.

Pour tout opérateur diagonal $hat$ avec des entrées $a_$, les entrées de $e^hat$ sont $e^<>>$ (c'est facile à prouver en utilisant le développement de Taylor montré ci-dessus). Puisque les entrées d'un opérateur diagonal sont les valeurs propres de cet opérateur, alors l'exponentiation transforme une valeur propre $a$ en $e^a$.

Pour transformer entre les bases d'exponentiation, notez que

Une fonction d'un opérateur est définie par son développement dans une série de Taylor, par exemple

Par analogie, vous devrez développer cette racine carrée de l'opérateur exponentiel 1/2 dans une série de Taylor afin de voir quelle valeur elle donne lorsqu'elle agit sur le psi.


8.6 : Chapitre 6 : Exercices (RÉVISER et AJOUTER des problèmes)

➢ Discutez des différences entre le coût variable et le coût d'absorption.

➢ Quand est-il approprié d'utiliser les coûts variables ou d'absorption dans les rapports financiers ?

➢ Dans quelles circonstances spécifiques vous attendriez-vous à ce que le revenu net soit plus important avec les coûts variables qu'avec les coûts d'absorption ? Quelle est la raison de cette différence ?

Exercice I Les données suivantes se rapportent à Socks Company pour l'exercice clos le 31 décembre 2013 :

Matériaux directs (variable) 360 000 $

Main-d'œuvre directe (variable) 504 000

Commissions de vente (variable) 108 000

Salaires de vente (fixes) 72 000

Frais administratifs (fixes) 144 000

Unités vendues (à 18 $ chacune) 120 000

Inventaire de début, 1er janvier 2013 -0­

Il n'y avait pas d'inventaires de départ. Supposons que les matériaux directs et la main-d'œuvre directe soient des coûts variables. Préparez deux comptes de résultat et un compte de résultat à coûts variables mdasha et un compte de résultat à coûts d'absorption.

Problème G Costner Company utilise un système de coûts d'absorption pour comptabiliser le produit unique qu'elle fabrique. Les données sélectionnées suivantes sont pour l'année

La société a produit 12 000 unités et vendu 10 000 unités. Les matériaux directs et la main-d'œuvre directe sont des coûts variables. Une unité de matière directe entre dans chaque unité de produits finis. Les frais généraux sont basés sur un volume de 12 000 unités et sont de 1,08 $ et 1,44 $ par unité pour les frais généraux variables et fixes, respectivement. L'inventaire final correspond aux 2 000 unités de produits finis disponibles à la fin de 2013. Il n'y avait pas d'inventaire au début de 2013.


7 char s[ 100 ] // définit un tableau de caractères de taille 100

10 // utilise get pour obtenir le texte de l'utilisateur

11 puts( "Entrez une ligne de texte :" )

13 puts( " La ligne en majuscule est :" )

15 // convertit chaque caractère en majuscule et en sortie

20 puts( " La ligne en minuscule est :" )

22 // convertit chaque caractère en minuscule et en sortie

Une ligne avec des lettres majuscules et minuscules

UNE LIGNE AVEC DES LETTRES MAJUSCULES ET MINUSCULES

une ligne avec des lettres majuscules et minuscules

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Correspondance de la valeur propre mesurée d'une matrice [fermé]

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Étant donné une matrice de la forme ci-dessous, nous avons 8 variables, $omega_$ et $J_$. nous voulons diagonaliser la matrice pour obtenir des valeurs correspondant à la valeur propre observée dans une expérience. c'est-à-dire $ar>$, $ar>$, $ar>$, $ar>$ sont les Valeur propre de la matrice diagonalisée (la matrice du bas) Question : Comment varie les valeurs de $J_$ et $omega$ , où $i,j = 1,2,3,4.$ jusqu'à ce que l'hamiltonien diagonalisé converge vers $ar>$=7, $ar>$=8, $ar>$=9, $ar>$ = 10.

Astuce : j'ai essayé de deviner les valeurs Js et les valeurs $omega $ en définissant tous les $omega_$ et $J_$ être égal et varier un à la fois, il s'avère extrêmement inefficace de deviner le J car le problème consiste en trop de degrés de liberté.

La raison pour laquelle cela peut sembler déroutant, car il s'agit d'un problème de physique, cela revient néanmoins à une simple diagonalisation de l'hamiltonien si nous avons un bon algorithme.


1 réponse approuvée

EE Chapitre 8, Problème 7E Q aeooanarlw Afficher toutes les étapes : CC. Iftk
Pour sonner le sous-par. utiliser les détails fournis et les données fournies dans l'exercice 14 ou. livre lexl
Étape 1 de 10 kk
Considérons que les vanahles aléatoires 2 et 2 ont la matrice de corrélation d'échantillon suivante. Pour calculer les composants principaux d'échantillon A et h, utilisez le logiciel SAS, la procédure est indiquée ci-dessous. La capture d'écran est donnée comme ci-dessous-ID données P13
-•
Dans la capture d'écran ci-dessus, le PROC PRINCOMP est une fonction qui est utilisée pour calculer les valeurs propres de Me et les vecteurs propres
Étape 3010 =,
2 Sélectionnez les codes ci-dessus et cliquez sur Soumettre Sutton La capture d'écran est donnée comme ci-dessous
D •10 BMOC f, [ A A, A AI 1 •4a)
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