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3.2 : Résoudre des systèmes linéaires à deux variables


Objectifs d'apprentissage

  • Résoudre des systèmes linéaires en utilisant la méthode de substitution.
  • Résoudre des systèmes linéaires en utilisant la méthode d'élimination.
  • Identifiez les forces et les faiblesses de chaque méthode.

La méthode de substitution

Dans cette section, nous passons en revue une technique complètement algébrique de résolution de systèmes, la substitution méthode11. L'idée est de résoudre une équation pour l'une des variables et de substituer le résultat dans l'autre équation. Après avoir effectué cette étape de substitution, nous nous retrouvons avec une seule équation avec une variable, qui peut être résolue à l'aide de l'algèbre.

Exemple (PageIndex{1}) :

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { l } { 2 x + y = - 3 } { 3 x - 2 y = - 8 } end{array} ight.).

Solution

Résolvez l'une ou l'autre des variables dans l'une ou l'autre équation. Si vous choisissez la première équation, vous pouvez isoler (y) en une seule étape.

Remplacez l'expression (-2x-3) par la variable (y) dans le autre équation.

Cela nous laisse avec une équation équivalente à une variable, qui peut être résolue en utilisant les techniques apprises jusqu'à présent. Résolvez pour la variable restante.

Arrière remplacer12 pour trouver l'autre coordonnée. Remplacez (x = −2) dans l'une des équations originales ou leurs équivalents. En règle générale, nous utilisons l'équation équivalente que nous avons trouvée lors de l'isolement d'une variable dans la première étape.

N'oubliez pas de présenter la solution sous la forme d'une paire ordonnée : ((−2, 1)). Vérifiez que ces coordonnées résolvent les deux équations du système d'origine :

Vérifier: ((-2,1))Équation 1Équation 2Tableau (PageIndex{1})

Le graphique de ce système linéaire est le suivant :

La méthode de substitution pour résoudre les systèmes est une méthode complètement algébrique. Ainsi, il n'est pas nécessaire de tracer les lignes.

Réponse:

((-2, 1))

Exemple (PageIndex{2}) :

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { l } { 3 x - 5 y = 9 } { 4 x + 2 y = - 1 } end{array} ight.).

Solution

Peu importe la variable que nous choisissons d'isoler en premier. Dans ce cas, commencez par résoudre (x) dans la première équation.

Ensuite, substituez dans la deuxième équation et résolvez (y).

Remplacement de retour dans l'équation utilisée dans l'étape de substitution :

Réponse:

(left( frac { 1 } { 2 } , - frac { 3 } { 2 } ight))

Exercice (PageIndex{1})

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { l } { 5 x - 4 y = 3 } { x + 2 y = 2 } end{array} ight.).

Réponse

(left( 1 , frac { 1 } { 2 } ight))

www.youtube.com/v/GzPhthhKeDA

Comme nous le savons, tous les systèmes linéaires n'ont pas une seule solution de paires ordonnées. Ensuite, nous explorons ce qui se passe lors de l'utilisation de la méthode de substitution pour résoudre un système dépendant.

Exemple (PageIndex{3}) :

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { l } { - 5 x + y = - 1 } { 10 x - 2 y = 2 } end{array} ight.).

Solution

Puisque la première équation a un terme avec le coefficient (1), nous choisissons de résoudre cette première équation.

Ensuite, remplacez cette expression par (y) dans la deuxième équation.

Ce processus a conduit à une véritable déclaration; donc l'équation est une identité et tout nombre réel est une solution. Cela indique que le système est dépendant. Les solutions simultanées prennent la forme ((x, mx + b)), ou dans ce cas, ((x, 5x − 1)), où (x) est un nombre réel quelconque.

Réponse:

(( x , 5 x - 1 ))

Pour mieux comprendre l'exemple précédent, réécrivez les deux équations sous forme d'intersection de pente et tracez-les sur le même ensemble d'axes.

Nous pouvons voir que les deux équations représentent la même ligne, et donc le système est dépendant. Explorez maintenant ce qui se passe lors de la résolution d'un système incohérent à l'aide de la méthode de substitution.

Exemple (PageIndex{4}) :

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { l } { - 7 x + 3 y = 3 } { 14 x - 6 y = - 16 } end{array} ight.) .

Solution

Résoudre (y) dans la première équation.

Remplacez dans la deuxième équation et résolvez.

La résolution conduit à une fausse déclaration. Cela indique que l'équation est une contradiction. Il n'y a pas de solution pour (x) et donc pas de solution pour le système.

Réponse:

(varrien)

Une fausse déclaration indique que le système est incohérent ou, en termes géométriques, que les lignes sont parallèles et ne se coupent pas. Pour illustrer cela, déterminez la forme à l'origine de la pente de chaque ligne et tracez-les sur le même ensemble d'axes.

Sous la forme à l'origine de la pente, il est facile de voir que les deux droites ont la même pente mais des points d'origine (y) différents.

Exercice (PageIndex{2})

Résoudre par substitution : (left{ egin{array} { r } { 2 x - 5 y = 3 } { 4 x - 10 y = 6 } end{array} ight.).

Réponse

(left( x , frac { 2 } { 5 } x - frac { 3 } { 5 } ight))

www.youtube.com/v/JKX9M-L9Wow

La méthode d'élimination

Dans cette section, l'objectif est de passer en revue une autre méthode complètement algébrique pour résoudre un système d'équations linéaires appelé le élimination méthode13 ou alors une addition méthode14. Cette méthode dépend de la propriété d'addition de équations15: étant donné les expressions algébriques A, B, C et D, nous avons

( ext{If} :A = B ext { et } C = D , ext { then } A + C = B + D)

On peut additionner les équations pour éliminer la variable (y).

Cela nous laisse avec une équation linéaire avec une variable qui peut être facilement résolue :

(egin{aligned} 2 x & = 6 x & = 3 end{aligned})

À ce stade, nous avons la coordonnée (x) de la solution simultanée, donc tout ce qui reste à faire est de resubstituer pour trouver la valeur (y) correspondante.

(egin{array} { r } { x + y = 5 } { color{OliveGreen}{3} color{Black}{+} y = 5 } { y = 2 } end{ déployer})

La solution du système est ((3, 2)). Bien sûr, la variable n'est pas toujours aussi facile à éliminer. En règle générale, nous devons trouver un système équivalent en appliquant la propriété de multiplication de l'égalité à l'une ou aux deux équations comme moyen d'aligner l'une des variables à éliminer. Le but est de faire en sorte que les termes (x) ou les termes (y) soient opposés, de sorte que lorsque les équations sont ajoutées, les termes s'éliminent.

Exemple (PageIndex{5}) :

Résoudre par élimination : (left{ egin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{array} ight.).

Solution

On choisit d'éliminer les termes de variable (y) car les coefficients ont des signes différents. Pour ce faire, on détermine d'abord le plus petit commun multiple des coefficients ; dans ce cas, le (LCM(3, 2)) est (6). Par conséquent, multipliez les deux côtés des deux équations par les valeurs appropriées pour obtenir les coefficients de (−6) et (6). Il en résulte le système équivalent suivant :

Les termes impliquant (y) sont maintenant alignés pour être éliminés. Additionnez les équations et résolvez (x).

Remplacement du dos.

(egin{aligned} 3 x + 2 y & = 7 3 ( color{OliveGreen}{1}color{Black}{ )} + 2 y & = 7 3 + 2 y & = 7 2 y & = 4 y & = 2 end{aligné})

La solution simultanée est donc ((1, 2)). Le contrôle suit.

Vérifier: ((1, 2))
Équation 1 :Équation 2 :
(egin{array} { r } { 3 x + 2 y = 7 } { 3 ( color{Cerulean}{1}color{Black}{ )} + 2 ( color{Cerulean}{2 }color{Noir}{ )} = 7 } { 3 + 4 = 7 } { 7 = 7 } ::color{Céruléen}{✓}end{array})
Tableau (PageIndex{2})

Réponse:

((1, 2))

Parfois, les systèmes linéaires ne sont pas donnés sous la forme standard (ax + by = c). Lorsque c'est le cas, il est préférable de réarranger les équations avant de commencer les étapes de résolution par élimination. En outre, nous pouvons éliminer l'une ou l'autre variable. Le but est d'obtenir une solution pour l'une des variables, puis de la substituer pour trouver une solution pour l'autre.

Exemple (PageIndex{6}) :

Résoudre par élimination : (left{ egin{aligned} 12 x + 5 y & = 11 3 x & = 4 y + 1 end{aligned} ight.).

Solution:

Tout d'abord, réécrivez la deuxième équation sous forme standard.

Il en résulte un système équivalent sous forme standard, où les termes similaires sont alignés en colonnes.

On peut éliminer le terme de variable (x) si on multiplie la deuxième équation par (−4).

Ensuite, nous ajoutons les équations ensemble,

Remplacement du dos.

(egin{array} { l } { 3 x = 4 y + 1 } { 3 x = 4 left( color{OliveGreen}{frac { 1 } { 3 }} ight) + 1 } { 3 x = frac { 4 } { 3 } + 1 } { 3 x = frac { 7 } { 3 } } { x = frac { 7 } { 3 } cdot frac { 1 } { 3 } } { x = frac { 7 } { 9 } } end{array})

Réponse:

(left( frac { 7 } { 9 } , frac { 1 } { 3 } ight))

Exercice (PageIndex{3})

Résoudre par élimination : (left{ egin{array} { l } { 2 x + 5 y = 5 } { 3 x + 2 y = - 9 } end{array} ight.).

Réponse

((-5, 3))

www.youtube.com/v/FX90hfggjbI

À ce stade, nous explorons ce qui se passe lors de la résolution de systèmes dépendants et incohérents à l'aide de la méthode d'élimination.

Exemple (PageIndex{7}) :

Résoudre par élimination : (left{ egin{array} { c } { 3 x - y = 7 } { 6 x - 2 y = 14 } end{array} ight.).

Solution

Pour éliminer la variable (x), on pourrait multiplier la première équation par (−2).

Ajoutons maintenant les équations que nous avons

Une déclaration vraie indique qu'il s'agit d'un système dépendant. Les lignes coïncident, et nous avons besoin de (y) en termes de (x) pour présenter l'ensemble de solutions sous la forme ((x, mx + b)). Choisissez l'une des équations originales et résolvez (y). Puisque les équations sont équivalentes, peu importe laquelle nous choisissons.

Réponse:

(( x , 3 x - 7 ))

Exercice (PageIndex{4})

Résoudre par élimination : (left{ egin{array} { l } { 3 x + 15 y = - 15 } { 2 x + 10 y = 30 } end{array} ight.).

Réponse

Pas de solution, (varrien)

www.youtube.com/v/E4B0lMLEliY

Étant donné un système linéaire où les équations ont des coefficients fractionnaires, il est généralement préférable d'effacer les fractions avant de commencer la méthode d'élimination.

Exemple (PageIndex{8}) :

Résoudre : (left{ egin{array} { l } { - frac { 1 } { 10 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 4 } { 5 } } { frac { 1 } { 7 } x + frac { 1 } { 3 } y = - frac { 2 } { 21 } } end{array} ight.).

Solution

Rappelons que nous pouvons effacer des fractions en multipliant les deux côtés d'une équation par le plus petit commun multiple des dénominateurs (LCD). Prenez soin de distribuer puis de simplifier.

Équation 1Équation 2
Tableau (PageIndex{3})

Il en résulte un système équivalent où les équations ont des coefficients entiers,

Résoudre en utilisant la méthode d'élimination.

Figure (PageIndex{7})

Remplacement du dos.

Réponse:

((-3,1))

Nous pouvons utiliser une technique similaire pour effacer les décimales avant de résoudre.

Exercice (PageIndex{5})

Résoudre par élimination : (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 2 } { 3 } y = 3 } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 1 } { 2 } y = frac { 8 } { 3 } } end{array} ight.).

Réponse

((5, -2))

www.youtube.com/v/ujlpeP7nakE

Résumé des méthodes de résolution de systèmes linéaires

Nous avons passé en revue trois méthodes de résolution de systèmes linéaires de deux équations à deux variables. Chaque méthode est valide et peut produire le même résultat correct. Dans cette section, nous résumons les forces et les faiblesses de chaque méthode.

La méthode graphique est utile pour comprendre ce qu'est un système d'équations et à quoi doivent ressembler les solutions. Lorsque les équations d'un système sont représentées graphiquement sur le même ensemble d'axes, nous pouvons voir que la solution est le point d'intersection des graphiques. La représentation graphique est facilitée lorsque les équations sont sous forme d'intersection de pente. Par exemple,

La solution simultanée ((−1, 10)) correspond au point d'intersection. Un inconvénient de cette méthode est qu'elle est très imprécise. Lorsque les coordonnées de la solution ne sont pas des nombres entiers, la méthode est pratiquement inutilisable. Si nous avons le choix, nous évitons généralement cette méthode en faveur des techniques algébriques plus précises.

La méthode de substitution, quant à elle, est une méthode complètement algébrique. Cela vous oblige à résoudre l'une des variables et à substituer le résultat dans l'autre équation. L'équation résultante a une variable pour laquelle vous pouvez résoudre. Cette méthode est particulièrement utile lorsqu'il existe une variable dans le système avec un coefficient de (1). Par exemple,

(left{ egin{array} { l } { 10 x + y = 20 } { 7 x + 5 y = 14 } end{array} ight. color{Cerulean}{Choisissez : la : substitution : méthode.} quad)

Dans ce cas, il est facile de résoudre (y) dans la première équation, puis de substituer le résultat dans l'autre équation. Un inconvénient de cette méthode est qu'elle conduit souvent à des équations équivalentes à coefficients fractionnaires, avec lesquelles il est fastidieux de travailler. S'il n'y a pas de coefficient de (1), il est généralement préférable de choisir la méthode d'élimination.

La méthode d'élimination est une méthode complètement algébrique qui utilise la propriété d'addition des équations. Nous multiplions une ou les deux équations pour obtenir des équations équivalentes où l'une des variables est éliminée si nous les additionnons. Par exemple,

Pour éliminer les termes impliquant (x), nous multiplierions les deux côtés de la première équation par (5) et les deux côtés de la seconde équation par (−2). Il en résulte un système équivalent où la variable (x) est éliminée lorsque nous additionnons les équations. Bien sûr, il existe d'autres combinaisons de nombres qui permettent d'obtenir le même résultat. On pourrait même choisir d'éliminer la variable (y). Quelle que soit la variable éliminée en premier, la solution sera la même. A noter que la méthode de substitution, dans ce cas, nécessiterait des calculs fastidieux avec des coefficients fractionnaires. Une faiblesse de la méthode d'élimination, comme nous le verrons plus loin dans notre étude de l'algèbre, est qu'elle ne fonctionne pas toujours pour les systèmes non linéaires.

Points clés à retenir

  • La méthode de substitution nécessite que nous résolvions l'une des variables, puis que nous substituions le résultat dans l'autre équation. Après avoir effectué l'étape de substitution, l'équation résultante a une variable et peut être résolue en utilisant les techniques apprises jusqu'à présent.
  • La méthode d'élimination est une autre méthode complètement algébrique pour résoudre un système d'équations. Multipliez une ou les deux équations d'un système par certains nombres pour obtenir un système équivalent où au moins une variable dans les deux équations a des coefficients opposés. L'addition de ces équations équivalentes élimine cette variable et l'équation résultante a une variable pour laquelle vous pouvez résoudre.
  • C'est une bonne pratique de réécrire d'abord les équations sous forme standard avant de commencer la méthode d'élimination.
  • Les solutions des systèmes de deux équations linéaires à deux variables, si elles existent, sont des paires ordonnées ((x, y)).
  • Si le processus de résolution d'un système d'équations conduit à une fausse déclaration, alors le système est incohérent et il n'y a pas de solution, (Ø).
  • Si le processus de résolution d'un système d'équations conduit à une identité, alors le système est dépendant et il existe une infinité de solutions qui peuvent être exprimées sous la forme ((x, mx + b)).

Exercice (PageIndex{6})

Résoudre par substitution.

  1. (left{ egin{array} { l } { y = - 5 x + 1 } { 4 x - 3 y = - 41 } end{array} ight.)
  2. (left{ egin{array} { l } { x = 2 y - 3 } { x + 3 y = - 8 } end{array} ight.)
  3. (left{ egin{array} { l } { y = x } { 2 x + 3 y = 10 } end{array} ight.)
  4. (left{ egin{array} { l } { y = frac { 1 } { 2 } x + frac { 1 } { 3 } } { x - 6 y = 4 } end{array } droite.)
  5. (left{ egin{array} { l } { y = 4 x + 1 } { - 4 x + y = 2 } end{array} ight.)
  6. (left{ egin{array} { l } { y = - 3 x + 5 } { 3 x + y = 5 } end{array} ight.)
  7. (left{ egin{array} { l } { y = 2 x + 3 } { 2 x - y = - 3 } end{array} ight.)
  8. (left{ egin{array} { l } { y = frac { 2 } { 3 } x - 1 } { 6 x - 9 y = 0 } end{array} ight.)
  9. (left{ egin{array} { l } { y = - 2 } { - 2 x - y = - 6 } end{array} ight.)
  10. (left{ egin{array} { l } { y = - frac { 1 } { 5 } x + 3 } { 7 x - 5 y = 9 } end{array} ight. )
  11. (left{ egin{array} { l } { x + y = 1 } { 3 x - 5 y = 19 } end{array} ight.)
  12. (left{ egin{array} { l } { x - y = 3 } { - 2 x + 3 y = - 2 } end{array} ight.)
  13. (left{ egin{array} { l } { 2 x + y = 2 } { 3 x - 2 y = 17 } end{array} ight.)
  14. (left{ egin{array} { l } { x - 3 y = - 11 } { 3 x + 5 y = - 5 } end{array} ight.)
  15. (left{ egin{array} { l } { x + 2 y = - 3 } { 3 x - 4 y = - 2 } end{array} ight.)
  16. (left{ egin{array} { l } { 5 x - y = 12 } { 9 x - y = 10 } end{array} ight.)
  17. (left{ egin{array} { l } { x + 2 y = - 6 } { - 4 x - 8 y = 24 } end{array} ight.)
  18. (left{ egin{array} { l } { x + 3 y = - 6 } { - 2 x - 6 y = - 12 } end{array} ight.)
  19. (left{ egin{array} { l } { - 3 x + y = - 4 } { 6 x - 2 y = - 2 } end{array} ight.)
  20. (left{ egin{array} { l } { x - 5 y = - 10 } { 2 x - 10 y = - 20 } end{array} ight.)
  21. (left{ egin{array} { l } { 3 x - y = 9 } { 4 x + 3 y = - 1 } end{array} ight.)
  22. (left{ egin{array} { l } { 2 x - y = 5 } { 4 x + 2 y = - 2 } end{array} ight.)
  23. (left{ egin{array} { l } { 2 x - 5 y = 1 } { 4 x + 10 y = 2 } end{array} ight.)
  24. (left{ egin{array} { l } { 3 x - 7 y = - 3 } { 6 x + 14 y = 0 } end{array} ight.)
  25. (left{ egin{array} { l } { 10 x - y = 3 } { - 5 x + frac { 1 } { 2 } y = 1 } end{array} ight. )
  26. (left{ egin{array} { l } { - frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 6 } y = frac { 2 } { 3 } } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 3 } y = - frac { 3 } { 2 } } end{array} ight.)
  27. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 3 } x + frac { 2 } { 3 } y = 1 } { frac { 1 } { 4 } x - frac { 1 } { 3 } y = - frac { 1 } { 12 } } end{array} ight.)
  28. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 7 } x - y = frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = 2 } end{array} ight.)
  29. (left{ egin{array} { l } { - frac { 3 } { 5 } x + frac { 2 } { 5 } y = frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 3 } x - frac { 1 } { 12 } y = - frac { 1 } { 3 } } end{array} ight.)
  30. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 2 } x = frac { 2 } { 3 } y } { x - frac { 2 } { 3 } y = 2 } end{tableau} ight.)
  31. (left{ egin{array} { l } { - frac { 1 } { 2 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 5 } { 8 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 1 } { 4 } } end{array} ight.)
  32. (left{ egin{array} { l } { x - y = 0 } { - x + 2 y = 3 } end{array} ight.)
  33. (left{ egin{array} { l } { y = 3 x } { 2 x - 3 y = 0 } end{array} ight.)
  34. (left{ egin{array} { l } { - 3 x + 4 y = 20 } { 2 x + 8 y = 8 } end{array} ight.)
  35. (left{ egin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{array} ight.)
  36. (left{ egin{array} { l } { - 3 x + 7 y = 2 } { 2 x + 7 y = 1 } end{array} ight.)
  37. (left{ egin{array} { l } { x = 5 } { x = - 2 } end{array} ight.)
  38. (left{ egin{array} { l } { y = 4 } { 5 y = 20 } end{array} ight.)
Réponse

1. ((-2,11))

3. ((2,2))

5. (varrien)

7. (( x , 2 x + 3 ))

9. (( 4 , - 2 ))

11. (( 3 , - 2 ))

13. (( 3 , - 4 ))

15. (left( - frac { 8 } { 5 } , - frac { 7 } { 10 } ight))

17. (gauche( x , - frac { 1 } { 2 } x - 3 droit))

19. (varrien)

21. (( 2 , - 3 ))

23. (gauche( frac { 1 } { 2 } , 0 droit))

25. (varrien)

27. (( 1,1 ))

29. (left( - frac { 11 } { 10 } , - frac { 2 } { 5 } ight))

31. (left( - frac { 1 } { 2 } , frac { 3 } { 4 } ight))

33. ((0,0))

35. ((1, 2))

37. (varrien)

Exercice (PageIndex{7})

Résoudre par élimination.

  1. (left{ egin{array} { l } { 6 x + y = 3 } { 3 x - y = 0 } end{array} ight.)
  2. (left{ egin{array} { l } { x + y = 3 } { 2 x - y = 9 } end{array} ight.)
  3. (left{ egin{array} { l } { x - y = - 6 } { 5 x + y = - 18 } end{array} ight.)
  4. (left{ egin{array} { l } { x + 3 y = 5 } { - x - 2 y = 0 } end{array} ight.)
  5. (left{ egin{array} { l } { - x + 4 y = 4 } { x - y = - 7 } end{array} ight.)
  6. (left{ egin{array} { l } { - x + y = 2 } { x - y = - 3 } end{array} ight.)
  7. (left{ egin{array} { l } { 3 x - y = - 2 } { 6 x + 4 y = 2 } end{array} ight.)
  8. (left{ egin{array} { l } { 5 x + 2 y = - 3 } { 10 x - y = 4 } end{array} ight.)
  9. (left{ egin{array} { l } { - 2 x + 14 y = 28 } { x - 7 y = 21 } end{array} ight.)
  10. (left{ egin{array} { l } { - 2 x + y = 4 } { 12 x - 6 y = - 24 } end{array} ight.)
  11. (left{ egin{array} { l } { x + 8 y = 3 } { 3 x + 12 y = 6 } end{array} ight.)
  12. (left{ egin{array} { l } { 2 x - 3 y = 15 } { 4 x + 10 y = 14 } end{array} ight.)
  13. (left{ egin{array} { l } { 4 x + 3 y = - 10 } { 3 x - 9 y = 15 } end{array} ight.)
  14. (left{ egin{array} { l } { - 4 x - 5 y = - 3 } { 8 x + 3 y = - 15 } end{array} ight.)
  15. (left{ egin{array} { l } { - 2 x + 7 y = 56 } { 4 x - 2 y = - 112 } end{array} ight.)
  16. (left{ egin{array} { l } { - 9 x - 15 y = - 15 } { 3 x + 5 y = - 10 } end{array} ight.)
  17. (left{ egin{array} { l } { 6 x - 7 y = 4 } { 2 x + 6 y = - 7 } end{array} ight.)
  18. (left{ egin{array} { l } { 4 x + 2 y = 4 } { - 5 x - 3 y = - 7 } end{array} ight.)
  19. (left{ egin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 1 } { 3 x + 2 y = 7 } end{array} ight.)
  20. (left{ egin{array} { l } { 7 x + 3 y = 9 } { 2 x + 5 y = - 14 } end{array} ight.)
  21. (left{ egin{array} { l } { 9 x - 3 y = 3 } { 7 x + 2 y = - 15 } end{array} ight.)
  22. (left{ egin{array} { l } { 5 x - 3 y = - 7 } { - 7 x + 6 y = 11 } end{array} ight.)
  23. (left{ egin{array} { l } { 2 x + 9 y = 8 } { 3 x + 7 y = - 1 } end{array} ight.)
  24. (left{ egin{array} { l } { 2 x + 2 y = 5 } { 3 x + 3 y = - 5 } end{array} ight.)
  25. (left{ egin{array} { l } { - 3 x + 6 y = - 12 } { 2 x - 4 y = 8 } end{array} ight.)
  26. (left{ egin{array} { l } { 25 x + 15 y = - 1 } { 15 x + 10 y = - 1 } end{array} ight.)
  27. (left{ egin{array} { l } { 2 x - 3 y = 2 } { 18 x - 12 y = 5 } end{array} ight.)
  28. (left{ egin{array} { l } { y = - 2 x - 3 } { - 3 x - 2 y = 4 } end{array} ight.)
  29. (left{ egin{array} { l } { 28 x + 6 y = 9 } { 6 y = 4 x - 15 } end{array} ight.)
  30. (left{ egin{array} { l } { y = 5 x + 15 } { y = - 5 x + 5 } end{array} ight.)
  31. (left{ egin{array} { l } { 2 x - 3 y = 9 } { 5 x - 8 y = - 16 } end{array} ight.)
  32. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 3 } y = frac { 1 } { 6 } } { frac { 5 } { 2 } x + y = frac { 7 } { 2 } } end{array} ight.)
  33. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 4 } x - frac { 1 } { 9 } y = 1 } { x + y = frac { 3 } { 4 } } end{tableau} ight.)
  34. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 2 } x - frac { 1 } { 4 } y = frac { 1 } { 3 } } { frac { 1 } { 4 } x + frac { 1 } { 2 } y = - frac { 19 } { 6 } } end{array} ight.)
  35. (left{ egin{array} { l } { - frac { 14 } { 3 } x + 2 y = 4 } { - frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 7 } y = frac { 4 } { 21 } } end{array} ight.)
  36. (left{ egin{array} { l } { 0,025 x + 0,1 y = 0,5 } { 0,11 x + 0,04 y = - 0,2 } end{array} ight.)
  37. (left{ egin{array} { l } { 1,3 x + 0,1 y = 0,35 } { 0,5 x + y = - 2,75 } end{array} ight.)
  38. (left{ egin{array} { l } { x + y = 5 } { 0,02 x + 0,03 y = 0,125 } end{array} ight.)
Réponse

1. (gauche( frac { 1 } { 3 } , 1 droit))

3. ((-4,2))

5. ((-8,-1))

7. (gauche( - frac { 1 } { 3 } , 1 droit))

9. (varrien)

11. (left( 1 , frac { 1 } { 4 } ight))

13. ((-1,-2))

15. ((-28,0))

17. (gauche( - frac { 1 } { 2 } , - 1 droit))

19. ((1,2))

21. ((-1,-4))

23. ((-5,2))

25. (gauche( x , frac { 1 } { 2 } x - 2 droit))

27. (left( - frac { 3 } { 10 } , - frac { 13 } { 15 } ight))

29. (gauche( frac { 3 } { 4 } , - 2 droit))

31. ((120,77))

33. (left( 3 , - frac { 9 } { 4 } ight))

35. (varrien)

37. (( 0.5 , - 3 ))

Exercice (PageIndex{8})

Résoudre en utilisant n'importe quelle méthode.

  1. (left{ egin{array} { l } { 6 x = 12 y + 7 } { 6 x + 24 y + 5 = 0 } end{array} ight.)
  2. (left{ egin{array} { l } { y = 2 x - 3 } { 3 x + y = 12 } end{array} ight.)
  3. (left{ egin{array} { l } { x + 3 y = - 5 } { y = frac { 1 } { 3 } x + 5 } end{array} ight.)
  4. (left{ egin{array} { l } { y = 1 } { x = - 4 } end{array} ight.)
  5. (left{ egin{array} { l } { y = frac { 1 } { 2 } } { x + 9 = 0 } end{array} ight.)
  6. (left{ egin{array} { l } { y = x } { - x + y = 1 } end{array} ight.)
  7. (left{ egin{array} { l } { y = 5 x } { y = - 10 } end{array} ight.)
  8. (left{ egin{array} { l } { y = - frac { 3 } { 2 } x + 1 } { - 2 y + 2 = 3 x } end{array} ight. )
  9. (left{ egin{array} { l } { 7 y = - 2 x - 1 } { 7 x = 2 y + 23 } end{array} ight.)
  10. (left{ egin{array} { l } { 5 x + 9 y - 14 = 0 } { 3 x + 2 y - 5 = 0 } end{array} ight.)
  11. (left{ egin{array} { l } { y = - frac { 5 } { 16 } x + 10 } { y = frac { 5 } { 16 } x - 10 } end{ tableau} droit.)
  12. (left{ egin{array} { l } { y = - frac { 6 } { 5 } x + 12 } { x = 6 } end{array} ight.)
  13. (left{ egin{array} { l } { 2 ( x - 3 ) + y = 0 } { 3 ( 2 x + y - 1 ) = 15 } end{array} ight. )
  14. (left{ egin{array} { l } { 3 - 2 ( x - y ) = - 3 } { 4 x - 3 ( y + 1 ) = 8 } end{array} ight. )
  15. (left{ egin{array} { l } { 2 ( x + 1 ) = 3 ( 2 y - 1 ) - 21 } { 3 ( x + 2 ) = 1 - ( 3 y - 2 ) } end{tableau} ight.)
  16. (left{ egin{array} { l } { frac { x } { 2 } - frac { y } { 3 } = - 7 } { frac { x } { 3 } - frac { y } { 2 } = - 8 } end{array} ight.)
  17. (left{ egin{array} { l } { - frac { 1 } { 7 } x + y = - frac { 2 } { 3 } } { - frac { 1 } { 14 } x + frac { 1 } { 2 } y = frac { 1 } { 3 } } end{array} ight.)
  18. (left{ egin{array} { l } { frac { x } { 4 } - frac { y } { 2 } = frac { 3 } { 4 } } { frac { x } { 3 } + frac { y } { 6 } = frac { 1 } { 6 } } end{array} ight.)
  19. (left{ egin{array} { l } { y = - frac { 5 } { 3 } x + frac { 1 } { 2 } } { frac { 1 } { 3 } x + frac { 1 } { 5 } y = frac { 1 } { 10 } } end{array} ight.)
  20. (left{ egin{array} { l } { frac { 1 } { 15 } x - frac { 1 } { 12 } y = frac { 1 } { 3 } } { - frac { 3 } { 10 } x + frac { 3 } { 8 } y = - frac { 3 } { 2 } } end{array} ight.)
  21. (left{ egin{array} { l } { 0,2 x - 0,05 y = 0,43 } { 0,3 x + 0,1 y = - 0,3 } end{array} ight.)
  22. (left{ egin{array} { l } { 0,1 x + 0,3 y = 0,3 } { 0,05 x - 0,5 y = - 0,63 } end{array} ight.)
  23. (left{ egin{array} { l } { 0,15 x - 0,25 y = - 0,3 } { - 0,75 x + 1,25 y = - 4 } end{array} ight.)
  24. (left{ egin{array} { l } { - 0,15 x + 1,25 y = 0,4 } { - 0,03 x + 0,25 y = 0,08 } end{array} ight.)
Réponse

1. (left( frac { 1 } { 2 } , - frac { 1 } { 3 } ight))

3. (gauche( - 10 , frac { 5 } { 3 } droit))

5. (gauche( - 9 , frac { 1 } { 2 } droit))

7. (( - 2 , - 10 ))

9. (( 3 , - 1 ))

11. (( 32,0 ))

13. (( x , - 2 x + 6 ))

15. (( - 4,3 ))

17. (varrien)

19. (left( x - frac { 5 } { 3 } x + frac { 1 } { 2 } ight))

21. (( 0.8 , - 5.4 ))

23. (varrien)

Exercice (PageIndex{9})

  1. Expliquez à un étudiant débutant en algèbre comment choisir une méthode pour résoudre un système de deux équations linéaires. Expliquez également à quoi ressemblent les solutions et pourquoi.
  2. Créez votre propre système linéaire avec deux variables et résolvez-le en utilisant les trois méthodes. Expliquez quelle méthode était préférable dans votre exercice.
Réponse

1. La réponse peut varier

Notes de bas de page

11Un moyen de résoudre un système linéaire en résolvant l'une des variables et en substituant le résultat dans l'autre équation.

12Une fois qu'une valeur est trouvée pour une variable, remplacez-la dans l'une des équations d'origine, ou son équivalent, pour déterminer la valeur correspondante de l'autre variable.

13Moyen de résoudre un système en ajoutant des équations équivalentes de manière à éliminer une variable.

14Souvent utilisé en référence à la méthode d'élimination pour résoudre les systèmes.

15Si (A, B, C) et (D) sont des expressions algébriques, où (A = B) et (C = D), alors (A + C = B + D) .


3.2 : Résoudre des systèmes linéaires à deux variables

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Résoudre des systèmes d'équations à l'aide de graphiques.
  • Résoudre des systèmes d'équations par substitution.
  • Résoudre des systèmes d'équations par addition.
  • Identifier des systèmes d'équations incohérents et dépendants contenant deux variables.
  • Résoudre les systèmes appliqués.

Figure 1. (crédit : Thomas Sørenes)

Un fabricant de skateboard présente une nouvelle gamme de planches. Le fabricant suit ses coûts, c'est-à-dire le montant qu'il dépense pour produire les planches, et ses revenus, c'est-à-dire le montant qu'il gagne grâce à la vente de ses planches. Comment l'entreprise peut-elle déterminer si elle fait un profit avec sa nouvelle ligne ? Combien de planches à roulettes doivent être produites et vendues avant qu'un profit ne soit possible ? Dans cette section, nous examinerons des équations linéaires à deux variables pour répondre à ces questions et à des questions similaires.


Résolution d'un système d'équations linéaires à deux variables - Problème 2

Carl a enseigné les mathématiques de niveau supérieur dans plusieurs écoles et dirige actuellement sa propre entreprise de tutorat. Il parie que personne ne peut battre son amour pour les activités de plein air intensives !

Résoudre un système d'équations linéaires à deux variables. Lorsque nous résolvons un système d'équations linéaires, nous avons deux outils à notre disposition, nous avons la substitution et nous avons l'élimination.

La substitution consiste simplement à prendre une variable d'une équation et à la brancher dans l'autre. En regardant le problème derrière moi, voyez si vous pouvez déterminer si la substitution est une bonne option. Ce que je vois si chaque variable a un coefficient. Ainsi, chaque x et chaque y ont un coefficient et il n'y a pas de facteurs communs entre les autres termes avec ces coefficients. Ce que je veux dire par là, c'est que si je voulais résoudre pour ce x, eh bien, je devrais diviser par deux mais je vais introduire une fraction là-dedans. Si je veux résoudre pour n'importe quelle variable, nous allons obtenir des fractions.

La plupart des gens ont tendance à ne pas aimer les fractions, je recommanderais donc d'essayer d'éviter les substitutions dans ce cas. Si vous aimez les fractions, n'hésitez pas à aller de l'avant, j'ai tendance à ne pas être tellement fan donc je vais essayer l'autre méthode qui est l'élimination.

Le principe de l'élimination est essentiellement d'obtenir le même coefficient sur l'une de nos variables de sorte que lorsque nous ajoutons ou soustrayons nos équations ensemble, ces coefficients disparaissent et nous nous retrouvons avec une seule variable. Donc, ce que nous pouvons faire, c'est multiplier une ou les deux équations par un nombre afin d'obtenir les mêmes coefficients.

En regardant cela, nous avons la possibilité d'essayer de se débarrasser du xs ou du ys. Nous n'avons pas vraiment trop de facteurs communs, nous avons 2 et -5, la plus petite chose qu'ils ont en commun est 10 ou 4 et 10, la plus petite chose qu'ils ont en commun est 20. Donc peu importe lequel un dont nous voulons nous débarrasser, je vais juste dire allons-y pour le xs. On pourrait aussi opter pour le oui.

Donc en multipliant les x, nous avons besoin que les deux coefficients soient 10. Multiplions l'équation du haut par 5, multiplions l'équation du bas par 2. En général, j'essaie d'avoir mes coefficients égaux et opposés, je trouve que les élèves font beaucoup moins d'erreurs vous ajoutez au lieu de soustraire. En soustrayant, vous devez distribuer ce négatif et les choses peuvent mal tourner. J'ai tendance à trouver un peu plus facile d'obtenir vos coefficients égaux et opposés, mais vous pouvez également soustraire et tant que vous faites bien vos signes, tout ira bien.

En distribuant ce 5 à travers, nous avons 10x moins 20y est égal à 15. Distribuer le 2 à travers, -10x plus 20y est égal à 14. Alors maintenant, j'inclus toujours le signe que je fais, je m'assure de garder tout droit. Donc je veux ajouter donc mes annulations 10 et -10, mais ce qui se passe, c'est que les 10 s'annulent, les 20 s'annulent donc il me reste vraiment zéro de ce côté puis 29 de l'autre. Maintenant, qu'est-ce que cela signifie?

Nous avons zéro est égal à 29. Ce n'est pas une affirmation vraie, donc ce que cela me dit, c'est qu'il n'y a aucun point sur ces deux lignes qui se coupent réellement. C'est donc faux ce qui me dit qu'il n'y a pas de solutions. Autrement dit, ces deux droites sont parallèles. Ils sont parallèles, deux lignes parallèles ne se croiseront jamais. Chaque fois que vous obtenez une fausse solution, chaque fois que vous obtenez zéro est égal à 29 ou une sorte d'énoncé qui n'a pas de sens, cela signifie généralement que vous n'avez pas de solution, les lignes ne vont pas se croiser.

Donc, prendre un système d'équations linéaires, essayer de comprendre quelle méthode nous voulons utiliser, substitution ou élimination, pour ensuite résoudre et interpréter nos résultats. Dans ce cas, nous avons une fausse déclaration, ce qui signifie que nous n'avons pas de solution.


Résoudre la paire d'équations linéaires suivante par la méthode de substitution.

Find the value of one variable in terms of other variable, say y in terms of x

Now we have to substitute the value of y in the other equation and reduce it to one equation of one variable.

By applying the value of y in (2).

Now,we have to apply the value of x in the equation

Find the value of one variable in terms of other variable, say s in terms of t

Now we have to substitute the value of s in the other equation and reduce it to an equation of one variable.

By simplifying the second equation, we get

By applying the value of s, we get

Now,we have to apply the value of t in the equation

(iii) 3x - y = 3 and 9x - 3y = 9

Find the value of one variable in terms of other variable, say y in terms of x

Now we have to substitute the value of y in the other equation and reduce it to an equation of one variable.

The statement is true, from this we can decide that the pair of linear equations has infinitely many solution.

After having gone through the stuff given above, we hope that the students would have understood how to solve  linear equations in two variables by substitution method.

Apart from the stuff given in this section ,    if you need any other stuff in math, please use our google custom search here

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Lesson Solving word problems using linear systems of two equations in two unknowns

Solving word problems using linear systems of two equations in two unknowns

In this lesson we present some typical word problems and show how to solve them using linear systems of two equations in two unknowns.

Problem 1. The Madison Local High School band

The Madison Local High School marching band sold gift wrap to earn money for a band trip to Orlando, Florida.
The gift wrap in solid colors sold for $4.00 per roll, and the print gift wrap sold for $6.00 per roll.
The total number of rolls sold was 480, and the total amount of money collected was $2340.
How many rolls of each kind of gift wrap were sold?

Let x be the unknown number of gift wrap in solid colors and y be the unknown number of print gift wraps.
Since the total number of rolls sold was 480, the first equation is
.
Now, the total cost of x gift wraps in solid colors sold for $4.00 per roll is equal to dollars,
while the total cost of y print gift sold for $6.00 per roll is equal to dollars.
Since the total amount of money collected was $2340, the second equation is
.

So, we reduced our problem to the solution of the linear system of two equations in two unknowns
.

Express from the first equation:
.
Substitute this to the second equation:
.
Open parentheses, collect common terms, and step-by-step simplify:
,
,
,

.
Substitute the found value of to the first equation and calculate :
,
.

As a result, you get , as the potential solution.

Vérifier
Substitute these values of and into the first and the second equations.
You have
for the left side of the first equation, and
for the left side of the second equation.

Answer . 1080 gift wrap in solid colors and 1260 print gift were sold.

Problem 2. Apples and oranges

If 4 apples and 2 oranges cost $1 and 2 apples and 3 orange cost .70, how much does each apple and each orange cost?
There are no quantity discounts.

Let be the unknown price for one apple as cents and be the unknown price for one orange as cents.
From the first condition you have the equation
,
while from the second problem condition you have another equation
.

So, our problem is reduced to the solution of the linear system of two equations in two unknowns
.

Let us apply the elimination method , which is multiplication and addition/subtraction method
(see the lesson Solution of the linear system of two equations in two unknowns by the Elimination method).

Keep the first equation as is and multiply the second equation by two:
,

Subtract the second equation from the first one:
,
.

Now, substitute the found value of into the first equation and calculate :
,
,
,
.

So, you get , as the potential solution.

Vérifier
Substitute these values of and into the first and the second equations.
You have
for the first equation left side, and
for the second equation left side.

Answer . Each apple costs 20 cents and each orange costs 10 cents.

Problem 3. Tickets

Tickets are sold at $4.00 for adults and $2.50 for students. If 100 tickets were sold for $355.00,
how many tickets were adult tickets?

Let "x" be the numbers of adult tickets, and
let "y" be the numbers of student tickets.

x + y = 100, (1) ("100 tickets were sold") and
4x + 2.5y = 355. (2) ("100 tickets were sold for $355.00")

To solve the system, express "x" from (1): x = 100 - y, and substitute it into (2). You will get a single equation for y:

So, we just found y, the number of student tickets.

Then x = 100 - y = 100 - 30 = 70. It is the number of adult tickets.

Check : 70*4 + 30*2.5 = 280 + 75 = 355. Correct !

Answer . 70 adult and 30 student tickets were sold.

Problem 4. Alloys

A piece of metal is 1 ft. long, 6 in. wide, and 4 in. thick, and weighs 189.8125 pounds.
It is composed of an alloy of gold and copper. Determine percentage of gold.
Gold density is 0.70 lbs. per cu. in.
Copper density is 0.32 lbs. per cu. in.

When they ask "Determine percentage of gold", they mean the ratio of the gold contents by WEIGHT to the total WEIGHT of the alloy
the ratio, expressed as percentage.

For more examples of solved problems see the lessons
- Problem on two-wheel and three-wheel bicycles,
- Problem on animals at a farm and
- Problem on pills in containers
under the topic Miscellaneous Word Problems of the section Word problems in this site.

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3.2: Solving Linear Systems with Two Variables


Intermediate Algebra
Tutorial 19: Solving Systems of Linear Equations
in Two Variables

  1. Know if an ordered pair is a solution to a system of linear equations in two variables or not.
  2. Solve a system of linear equations in two variables by graphing.
  3. Solve a system of linear equations in two variables by the substitution method.
  4. Solve a system of linear equations in two variables by the elimination method.

In this tutorial we will be specifically looking at systems that have two equations and two unknowns. Tutorial 20: Solving Systems of Linear Equations in Three Variables will cover systems that have three equations and three unknowns. We will look at solving them three different ways: graphing, substitution method and elimination method. This will lead us into solving word problems with systems, which will be shown in Tutorial 21: Systems of Linear Equations and Problem Solving. That is where we get to answer the infamous question, when will we use this? But first, we have to learn how to work with systems in general. That is why we use generic variables like X et oui at this point. If you know how to work it out in general, then when you have a specific problem that you are solving where the variables take on meaning like time or money (two things we don't ever seem to have enough of) you will be ready to go. So, let's go ahead and look at systems in general to get us ready for the word problems that are ahead of us.

System of Linear Equations

In this tutorial, we will be looking at systems that have only two linear equations and two unknowns.

In other words, it is where the two graphs intersect, what they have in common. So if an ordered pair is a solution to one equation, but not the other, then it is NOT a solution to the system.

UNE consistent system is a system that has at least one solution.

An inconsistent system is a system that has no solution.

The equations of a system are dependent if ALL the solutions of one equation are also solutions of the other equation. In other words, they end up being the same line.

The equations of a system are indépendant if they do not share ALL solutions. They can have one point in common, just not all of them.

If you do get one solution for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said consistent, give yourself a pat on the back!

If you do get one solution for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said independent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has one solution:

If you get no solution for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said inconsistent, you are right!

If you get no solution for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said independent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has no solution:

If you get an infinite number of solutions for your final answer, is this system consistent or inconsistent?
If you said consistent, you are right!

If you get an infinite number of solutions for your final answer, would the equations be dependent or independent?
If you said dependent, you are correct!

The graph below illustrates a system of two equations and two unknowns that has an infinite number of solutions:

Now, let’s check (3, -1) in the second equation:

Here is the big question, is (3, -1) a solution to the given system.
Since it was a solution to BOTH equations in the system, then it is a solution to the overall system.

Now let’s put (0, 2) into the first equation:

Finally, let’s put (0,2) into the second equation:

Here is the big question, is (0, 2) a solution to the given system.
Since it was not a solution to BOTH equations in the system, then it is not a solution to the overall system.

Three Ways to Solve Systems of Linear
Equations in Two Variables

The difference here is you will put it on the same coordinate system as the first. It is like having two graphing problems in one.

If the two lines are parallel, then they never intersect, so there is no solution.

If the two lines lie on top of each other, then they are the same line and you have an infinite number of solutions.. In this case you can write down either equation as the solution to indicate they are the same line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

Find another solution by letting X = 1.

X oui (x, y)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

*Inverse of mult. by -1 is div. by -1

Find another solution by letting X = 2.

*Inverse of mult. by -1 is div by -1

X oui (x, y)
1 0 (1, 0)
0 -1 (0, -1)
2 1 (2, 1)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

The answer is yes, they intersect at (2, 1).

The solution to this system is (2, 1).

Find another solution by letting X = 1.

X oui (x, y)
5 0 (5, 0)
0 5 (0, 5)
1 4 (1, 4)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

*Inverse of mult. by -1 is div. by -1

Find another solution by letting X = 1.

X oui (x, y)
3 0 (3, 0)
0 3 (0, 3)
1 2 (1, 2)

Plotting the ordered pair solutions and drawing the line:

The answer is no, they do not intersect. We have two parallel lines.

The answer is no solution.

Solve by the Substitution Method

To remove ( ): just use the distributive property.

To remove fractions: since fractions are another way to write division, and the inverse of divide is to multiply, you remove fractions by multiplying both sides by the LCD of all of your fractions.

You want to make it as simple as possible. If one of the equations is already solved for one of the variables, that is a quick and easy way to go.

If you need to solve for a variable, then try to pick one that has a 1 as a coefficient. That way when you go to solve for it, you won't have to divide by a number and run the risk of having to work with a fraction (yuck!!).

This will give you one equation with one unknown.

If you need a review on this, go to Tutorial 7: Linear Equations in One Variable.

If your variable drops out and you have a FALSE statement, that means your answer is no solution.

If your variable drops out and you have a TRUE statement, that means your answer is infinite solutions, which would be the equation of the line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

It does not matter which equation or which variable you choose to solve for. But it is to your advantage to keep it as simple as possible.

Second equation solved for oui :

*Inverse of sub. 20 is add 20

*Inverse of div. by -7 is mult. by -7

(-5, -6) is a solution to our system.

It does not matter which equation or which variable you choose to solve for. Just keep it simple.

Since the X in the first equation has a coefficient of 1, that would mean we would not have to divide by a number to solve for it and run the risk of having to work with fractions (YUCK!!) The easiest route here is to solve the first equation for X , and we definitely want to take the easy route. You would not be wrong to either choose the other equation and/or solve for y, again you want to keep it as simple as possible.

Solving the first equation for X we get:

*Variable dropped out AND false

As mentioned above if your variable drops out and you have a FALSE statement, then there is no solution. If we were to graph these two, they would be parallel to each other.

The answer is no solution.

Solve by the Elimination Method

To remove ( ): just use the distributive property.

To remove fractions: since fractions are another way to write division, and the inverse of divide is to multiply, you remove fractions by multiplying both sides by the LCD of all of your fractions.

If neither variable drops out, then we are stuck with an equation with two unknowns which is unsolvable.

It doesn't matter which variable you choose to drop out. You want to keep it as simple as possible. If a variable already has opposite coefficients than go right to adding the two equations together. If they don't, you need to multiply one or both equations by a number that will create opposite coefficients in one of your variables. You can think of it like a LCD. Think about what number the original coefficients both go into and multiply each separate equation accordingly. Make sure that one variable is positive and the other is negative before you add.

For example, if you had a 2 X in one equation and a 3 X in another equation, we could multiply the first equation by 3 and get 6 X and the second equation by -2 to get a -6 X . So when you go to add these two together they will drop out.

The variable that has the opposite coefficients will drop out in this step and you will be left with one equation with one unknown.

If you need a review on this, go to Tutorial 7: Linear Equations in One Variable.

If both variables drop out and you have a FALSE statement, that means your answer is no solution.

If both variables drop out and you have a TRUE statement, that means your answer is infinite solutions, which would be the equation of the line.

If it makes at least one of them false, you need to go back and redo the problem.

Multiplying each equation by it's respective LCD we get:

If we added them together the way they are now, we would end up with one equation and two variables, nothing would drop out. And we would not be able to solve it.

I propose that we multiply the second equation by -1, this would create a -3 in front of X and we will have our opposites.

Note that we could just as easily multiply the first equation by -1 and not the second one. Either way will get the job done.


Indexing & Abstracting


Solving Systems of Linear Equations by Substitution and Elimination

Hi, and welcome to this video on using substitution and elimination to solve linear systems!

“Solving” a system of equations means to determine the exact (x,y) coordinate that satisfies both of the equations in the system. The process of solving a system depends on the structure of the equations. Some systems can easily be solved by graphing both equations and determining the exact point of intersection, while other systems are more suitable to be solved Show Answer

The correct answer is B: ((6, -1)).

Let’s start by solving the second equation for X.
(x+y=5) becomes (x=5-y)

Now that we have isolated the variable X, let’s substitute this in for the X in the other equation.
(x-2y=8) becomes ((5-y)-2y=8)

From here we can solve for oui.
(y=-1)

Now let’s take this value for oui, and plug it in to one of our original equations. Let’s use the second original equation.
(x+y=5) becomes (x+(-1)=5) and when we solve for X, we have (x=6)

The solution is the ordered pair ((6, -1)).


Solve the system of equations using elimination.
(12x-9y=37)
(8x+9y=23)


Least Squares Regression Model

Up until this point, when we have found the linear regression model, we have just used the functions on the calculator to obtain the results, and it has been fairly easy and painless. Now we learn that the calculator is actually solving a system of linear equations to obtain the model.

Summation notation

The capital Greek letter sigma stands for sum. Normally, there is an index with a starting point (k=1) written below the sigma and an ending point (n, meaning k=n) written above the sigma. Then, each variable will have a subscript to let you know that it is a function or sequence that depends on the value of the index, k.

Confused? Well, maybe you should be. The book doesn't discuss sequences and series until chapter 7, and here you are in chapter 5 and they expect you to know how to do it.

I'm going to use a short hand notation to keep things simpler and easier to remember. Instead of writing it the way the book does, I'll just use a sigma symbol and then what I want to total.

Remember that sigma means sum, so sigma x means add up all the x's.

In statistics, we like to simplify things, and get a little sloppy, and drop all the index stuff and just know that it applies to all the points. In the notation above, I will use the form on the right. &sumx just means add up all the x values. Not too bad when you look at it that way.

Linear Regression

Consider the linear model y = ax + b. The values for a and b can be found by solving this system of linear equations.

Notice each term in the second equation has one more x in it than the corresponding term in the first equation. This pattern will repeat when we do quadratic regression (see problems 105-108 in section 5.3 or Appendix B.3 for an explanation), or cubic, or quartic, or .

You will add up each variable in the summation for each different point. The first summation is the sum of 1. So, if you add 1 for each point, you will simply have the number of points. The other values are the sum of the x's, the sum of the y's, the sum of the squares of the x's, and the sum of the products of the x's and y's.

Writing these ordered pairs in a columnar table, and then adding columns for the x 2 and xy will help. After you solve the system of linear equations, substitute the values for a and b into the equation y = ax + b to get the model.

Find the equation of the linear model that best fits the points (2,3), (5,2), (6,1), and (8,-1).

Set up a table with columns for x, y, x 2 , and xy.

X oui x 2 xy
2 3 4 6
5 2 25 10
6 1 36 6
8 -1 64 -8
21 5 129 14

The numbers in the bottom row represent the sums that go into the system. Since there are 4 points, the &sum1 = 4.

The system of linear equations to solve is 4b + 21a = 5 and 21b + 129a = 14. When you solve that, you get a = -49/75 and b = 117/25.

When you stick those back into the model, you get the y = -49/75 x + 117/25.