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3.1 : L'expansion du cofacteur


L'expansion du cofacteur

Dans la section [sec:2_4] nous avons défini le déterminant d'une matrice (2 imes 2) (A = leftBegin{array}{cc}a & b c & dend{array} rightB) comme suit :1 [func{det } A = left| egin{array}{cc}a & b c & dend{array} ight| = ad - bc] et a montré (dans l'exemple [exa:004261]) que (A) a un inverse si et seulement si det (A eq 0). L'un des objectifs de ce chapitre est de le faire pour tout matrice carrée A. Il n'y a pas de difficulté pour les matrices (1 imes 1) : Si (A = leftB a ightB), on définit (func{det} A = func{det} leftB a ightB = a) et notez que (A) est inversible si et seulement si (a eq 0).

Si (A) est (3 imes 3) et inversible, nous cherchons une définition appropriée de (func{det } A) en essayant de porter (A) à la matrice identité par ligne opérations. La première colonne n'est pas nulle ((A) est inversible); supposons que l'entrée (1, 1) (a) ne soit pas nulle. Ensuite, les opérations sur les lignes donnent [A = leftB egin{array}{ccc}a & b & c d & e & f g & h & iend{array} ightB ightarrowleftB egin {array}{ccc}a & b & c ad & ae & af ag & ah & aiend{array} ightB ightarrowleftB egin{array}{ccc}a & b & c & ae-bd & af-cd & ah-bg & ai-cgend{array} ightB=leftB egin{array}{ccc}a & b & c & u & af-cd & v & ai-cgend{array} ightB] où (u = ae - bd) et (v = ah - bg). Puisque (A) est inversible, l'un des (u) et (v) est différent de zéro (par exemple [exa:004627]); supposons que (u eq 0). Puis la réduction se poursuit [A ightarrow leftB egin{array}{ccc}a & b & c & u & af-cd & v & ai-cgend{array} ightB rightarrowleftB egin{array}{ccc}a & b & c & u & af-cd & uv & u(ai-cg)end{array} ightB ightarrowleftB egin {array}{ccc}a & b & c & u & af-cd & 0 & wend{array} ightB] où (w = u(ai - cg)- v( af - cd) = a(aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi)). Nous définissons [label{eq:detdefinition}func{det } A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi] et observons que (func{det } A eq 0) car ( a func{det } A = w eq 0) (est inversible).

Pour motiver la définition ci-dessous, rassemblez les termes de l'équation [eq:detdefinition] impliquant les entrées (a), (b) et (c) dans la ligne 1 de (A): [ begin{aligned}func{det } A = left| egin{array}{ccc}a & b & c d & e & f g & h & iend{array} ight| &= aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi &= a (ei-fh) - b(di-fg) + c(dh-eg) &= a left| egin{array}{cc}e & f h & iend{array} ight| - b gauche| egin{array}{cc}d & f g & iend{array} ight|+ c left| egin{array}{cc}d & e g & hend{array} ight|end{aligned}] Cette dernière expression peut être décrite comme suit : Pour calculer le déterminant d'un (3 fois 3) matrice (A), multipliez chaque entrée de la ligne 1 par un signe par le déterminant de la matrice (2 imes2) obtenu en supprimant la ligne et la colonne de cette entrée, et additionnez les résultats. Les signes alternent vers le bas de la ligne 1, en commençant par (+). C'est ce constat que nous généralisons ci-dessous.

007706 [egin{aligned}func{det}leftB egin{array}{rrr}2 & 3 & 7 -4 & 0 & 6 1 & 5 & 0end{array} ightB& = 2 gauche| egin{array}{rr}0 & 6 5 & 0end{array} ight|- 3 left| egin{array}{rr}-4 & 6 1 & 0end{array} ight|+ 7 left| egin{array}{rr}-4 & 0 1 & 5end{array} ight| &= 2 (-30) - 3(-6) + 7(-20) &= -182end{aligné}]

Cela suggère une méthode inductive de définition du déterminant de toute matrice carrée en termes de déterminants de matrices une taille plus petite. L'idée est de définir les déterminants des matrices (3 imes 3) en termes de déterminants des matrices (2 imes 2), puis on fait des matrices (4 imes 4) en termes de (3 fois 3) matrices, et ainsi de suite.

Pour décrire cela, nous avons besoin d'un peu de terminologie.

Cofacteurs d'une matrice007711 Supposons que les déterminants des matrices ((n - 1) imes (n - 1)) aient été définis. Étant donné la matrice (n imes n) (A), soit [A_{ij} mbox{ la matrice } (n - 1) imes (n - 1) mbox{ obtenue à partir de } A mbox{ en supprimant la ligne } i mbox{ et la colonne } j.] Puis le ((i,j))-cofacteur (c_{ij}(A)) est le scalaire défini par [c_{ij}(A) = (-1)^{i+j} func{det}(A_{ij})] Ici ((-1)^{i+j}) est appelé le signer de la position ((i, j)).

Le signe d'une position est clairement (1) ou (-1), et le schéma suivant est utile pour s'en souvenir : [leftB egin{array}{ccccc}+ & - & + & - & cdots - & + & - & + & cdots + & - & + & - & cdots - & + & - & + & cdots vdots & vdots & vdots & vdots & end{array} ightB] Notez que les signes alternent le long de chaque ligne et colonne avec (+) dans le coin supérieur gauche.

007723 Trouvez les cofacteurs des positions ((1, 2), (3, 1)) et ((2, 3)) dans la matrice suivante. [A = leftB egin{array}{rrr}3 & -1 & 6 5 & 2 & 7 8 & ​​9 & 4end{array} ightB]

Ici (A_{12}) est la matrice (leftB egin{array}{rr}5 & 7 8 & ​​4end{array} ightB) qui reste lorsque la ligne (1) et la colonne (2) sont supprimées. Le signe de la position ((1, 2)) est ((-1)^{1+2} = -1) (c'est aussi l'entrée ((1, 2)) dans le signe diagramme), donc le cofacteur ((1, 2)) est [c_{12}(A) = (-1)^{1+2} left| egin{array}{rr}5 & 7 8 & ​​4end{array} ight|=(-1)(5 cdot 4 - 7 cdot 8) = (-1)(-36)= 36] En prenant la position ((3, 1)), on trouve [c_{31}(A) = (-1)^{3+1}A_{31}= (-1)^{3 +1} gauche| egin{array}{rr}-1 & 6 2 & 7end{array} ight|=(+1)(-7-12)=-19] Enfin, le ((2, 3 ))-cofacteur est [c_{23}(A) = (-1)^{2+3}A_{23}= (-1)^{2+3} left| egin{array}{rr}3 & -1 8 & ​​9end{array} ight|=(-1)(27+8)=-35] Il est clair que d'autres cofacteurs peuvent être trouvés — il y en a neuf en tout, un pour chaque position dans la matrice.

On peut maintenant définir (func{det } A) pour toute matrice carrée (A)

Développement de cofacteur d'une Matrix007740 Supposons que les déterminants des matrices ((n - 1) imes (n - 1)) aient été définis. Si (A = leftB a_{ij} ightB) est (n imes n) définissez [func{det } A = a_{11}c_{11}(A) + a_{12} c_{12}(A) + cdots + a_{1n}c_{1n}(A)] C'est ce qu'on appelle le expansion du cofacteur de (func{det } A) le long de la ligne (1).

Il affirme que (func{det } A) peut être calculé en multipliant les entrées de la ligne (1) par les cofacteurs correspondants, et en ajoutant les résultats. La chose étonnante est que (func{det } A) peut être calculé en prenant le développement du cofacteur le long n'importe quelle ligne ou colonne: Il suffit de multiplier chaque entrée de cette ligne ou colonne par le cofacteur correspondant et d'ajouter.

Théorème de développement de cofacteur007747 Le déterminant d'une matrice (n imes n) (A) peut être calculé en utilisant le développement de cofacteur le long de n'importe quelle ligne ou colonne de (A). C'est-à-dire que (func{det } A) peut être calculé en multipliant chaque entrée de la ligne ou de la colonne par le cofacteur correspondant et en ajoutant les résultats.

La preuve sera donnée dans la Section [sec:3_6].

007753 Calculer le déterminant de (A = leftB egin{array}{rrr}3 & 4 & 5 1 & 7 & 2 9 & 8 & -6end{array} ightB).

Le développement du cofacteur le long de la première ligne est le suivant : [egin{aligned}func{det } A &= 3c_{11}(A) + 4c_{12}(A) + 5c_{13}(A) &= 3 gauche| egin{array}{rr}7 & 2 8 & ​​-6end{array} ight| - 4 gauche| egin{array}{rr}1 & 2 9 & -6end{array} ight| + 5gauche| egin{array}{rr}1 & 7 9 & 8end{array} ight| &= 3 (-58) - 4(-24) + 5(-55) &= -353end{aligned}] Notez que les signes alternent le long de la rangée (en effet le long tout ligne ou colonne). Maintenant, nous calculons (func{det } A) en développant le long de la première colonne. [egin{aligned}func{det } A &= 3c_{11}(A) + 1c_{21}(A) + 9c_{31}(A) &= 3 left| egin{array}{rr}7 & 2 8 & ​​-6end{array} ight| - gauche| egin{array}{rr}4 & 5 8 & ​​-6end{array} ight| + 9gauche| egin{array}{rr}4 & 5 7 & 2end{array} ight| &= 3 (-58) - (-64) + 9(-27) &= -353end{aligned}] Le lecteur est invité à vérifier que (func{det } A) peut être calculé en développant le long de n'importe quelle autre ligne ou colonne.

Le fait que l'expansion du cofacteur le long n'importe quelle ligne ou colonne d'une matrice (A) donne toujours le même résultat (le déterminant de (A)) est pour le moins remarquable. Le choix d'une ligne ou d'une colonne particulière peut simplifier le calcul.

007765 Calculer (func{det } A) où (A = leftB egin{array}{rrrr}3 & 0 & 0 & 0 5 & 1 & 2 & 0 2 & 6 & 0 & -1 -6 & 3 & 1 & 0end{array} ightB).

Le premier choix que nous devons faire est la ligne ou la colonne à utiliser dans l'expansion du cofacteur. L'expansion consiste à multiplier les entrées par des cofacteurs, de sorte que le travail est minimisé lorsque la ligne ou la colonne contient autant d'entrées nulles que possible. La ligne (1) est un meilleur choix dans cette matrice (la colonne (4) ferait aussi bien), et l'expansion est [egin{aligned}func{det } A &= 3c_{11}( A) + 0c_{12}(A) + 0c_{13}(A) + 0c_{14}(A) &= 3 gauche| egin{array}{rrr}1 & 2 & 0 6 & 0 & -1 3 & 1 & 0end{array} ight|end{aligned}] C'est la première étape du calcul, et nous avons réussi à exprimer le déterminant de la matrice (4 imes 4) (A) en termes de déterminant d'une matrice (3 imes 3). L'étape suivante implique cette matrice (3 imes 3). Encore une fois, nous pouvons utiliser n'importe quelle ligne ou colonne pour l'expansion du cofacteur. La troisième colonne est préférée (avec deux zéros), donc [egin{aligned}func{det } A &= 3 left( 0 left| egin{array}{rr}6 & 0 3 & 1end{array} ight| - (-1)left| egin{array}{rr}1 & 2 3 & 1end{array} ight|+ 0left| egin{array }{rr}1 & 2 6 & 0end{array} ight| ight) &= 3 [ 0 + 1(-5) + 0] &= -15end{aligned} ] Ceci termine le calcul.

Le calcul du déterminant d'une matrice (A) peut être fastidieux. Par exemple, si (A) est une matrice (4 imes 4), le développement du cofacteur le long d'une ligne ou d'une colonne implique le calcul de quatre cofacteurs, chacun impliquant le déterminant d'un (3 imes 3) matrice. Et si (A) est (5 imes 5), le développement fait intervenir cinq déterminants de matrices (4 imes 4) ! Il existe un besoin évident de certaines techniques pour réduire le travail.2

La motivation de la méthode est l'observation (voir l'exemple [exa:007765]) que le calcul d'un déterminant est grandement simplifié lorsqu'une ligne ou une colonne se compose principalement de zéros. (En fait, lorsqu'une ligne ou une colonne se compose entièrement de zéros, le déterminant est zéro - développez simplement le long de cette ligne ou colonne.)

Rappelez-vous ensuite qu'une méthode de création zéros dans une matrice consiste à lui appliquer des opérations élémentaires sur les lignes. Par conséquent, une question naturelle à se poser est de savoir quel effet une telle opération de ligne a sur le déterminant de la matrice. Il s'avère que l'effet est facile à déterminer et que les éléments élémentaires colonne opérations peuvent être utilisées de la même manière. Ces observations conduisent à une technique d'évaluation des déterminants qui réduit fortement la main d'œuvre. Les informations nécessaires sont données dans le théorème [thm:007779].

007779 Soit (A) une matrice (n imes n).

  1. Si A a une ligne ou une colonne de zéros, (func{det } A = 0).

  2. Si deux lignes (ou colonnes) distinctes de (A) sont interchangées, le déterminant de la matrice résultante est (- func{det } A).

  3. Si une ligne (ou colonne) de (A) est multipliée par une constante (u), le déterminant de la matrice résultante est (u(func{det } A)).

  4. Si deux lignes (ou colonnes) distinctes de (A) sont identiques, (func{det } A = 0).

  5. Si un multiple d'une ligne de (A) est ajouté à une ligne différente (ou si un multiple d'une colonne est ajouté à une colonne différente), le déterminant de la matrice résultante est (func{det } A ).

Nous prouvons les propriétés 2, 4 et 5 et laissons le reste en exercices.

Propriété 2. Si (A) est (n imes n), cela s'ensuit par induction sur (n). Si (n = 2), la vérification est laissée au lecteur. Si (n > 2) et deux lignes sont interverties, soit (B) la matrice résultante. Développez (func{det } A) et (func{det } B) le long d'une ligne autre que les deux qui ont été échangés. Les entrées de cette ligne sont les mêmes pour (A) et (B), mais les cofacteurs dans (B) sont les négatifs de ceux dans (A) (par induction) car le correspondant ((n - 1) imes (n - 1)) les matrices ont deux lignes interverties. Par conséquent, (func{det } B = - func{det } A), comme requis. Un argument similaire fonctionne si deux colonnes sont interverties.

Propriété 4. Si deux lignes de (A) sont égales, soit (B) la matrice obtenue en les intervertissant. Alors (B = A), donc (func{det } B = det A). Mais (func{det } B = -func{det } A) par la propriété 2, donc (func{det } A = func{det } B = 0). Encore une fois, le même argument fonctionne pour les colonnes.

Propriété 5. Soit (B) obtenu à partir de (A = leftB a_{ij} ightB) en ajoutant (u) fois la ligne (p) à la ligne (q). Alors la ligne (q) de (B) est [(a_{q1} + ua_{p1},a_{q2} + ua_{p2}, dots , a_{qn} + ua_{pn}) ] Les cofacteurs de ces éléments dans (B) sont les mêmes que dans (A) (ils n'impliquent pas la ligne (q)) : en symboles, (c_{qj}(B) = c_ {qj}(A)) pour chaque (j). Par conséquent, le développement de (B) le long de la ligne (q) donne [egin{aligned}func{det } B &= (a_{q1} + ua_{p1})c_{q1}(A) + (a_{q2} + ua_{p2})c_{q2}(A) + cdots + (a_{qn}+ua_{pn})c_{qn}(A) &= [a_{q1}c_ {q1}(A) + a_{q2}c_{q2}(A) + cdots + a_{qn}c_{qn}(A)] + u[a_{p1}c_{q1}(A) + a_ {p2}c_{q2}(A) + cdots + a_{pn}c_{qn}(A)] &= func{det } A + u func{det } Cend{aligned} ] où (C) est la matrice obtenue à partir de (A) en remplaçant la ligne (q) par la ligne (p) (et les deux développements se font le long de la ligne (q)). Parce que les lignes (p) et (q) de (C) sont égales, (func{det } C = 0) par la propriété 4. Par conséquent, (func{det } B = func{det } A), selon les besoins. Comme précédemment, une preuve similaire est valable pour les colonnes.

Pour illustrer le théorème [thm:007779], considérons les déterminants suivants.

lX[2] (left|egin{array}{rrr}3 & -1 & 2 2 & 5 & 1 & 0 & 0end{array} ight| =0) & (car la dernière ligne est constituée de zéros)

(left| egin{array}{rrr}3 & -1 & 5 2 & 8 & 7 1 & 2 & -1end{array} ight| = - left| egin{ array}{rrr}5 & -1 & 3 7 & 8 & 2 -1 & 2 & 1 end{array} ight|) & (car deux colonnes sont interverties)

(left|egin{array}{rrr}8 & 1 & 2 3 & 0 & 9 1 & 2 & -1end{array} ight|= 3 left|egin{array }{rrr}8 & 1 & 2 1 & 0 & 3 1 & 2 & -1end{array} ight|) & (car la deuxième ligne de la matrice à gauche est (3 ) fois la deuxième ligne de la matrice à droite)

(left|egin{array}{rrr}2 & 1 & 2 4 & 0 & 4 1 & 3 & 1end{array} ight| =0) & (car deux colonnes sont identique)

(left|egin{array}{rrr}2 & 5 & 2 -1 & 2 & 9 3 & 1 & 1end{array} ight|= left|egin{array} {rrr}0 & 9 & 20 -1 & 2 & 9 3 & 1 & 1end{array} ight|) & (car deux fois la deuxième ligne de la matrice à gauche a été ajoutée au première rangée)

Les quatre exemples suivants illustrent comment le théorème [thm:007779] est utilisé pour évaluer les déterminants.

007817 Évaluer (func{det } A) lorsque (A = leftB egin{array}{rrr}1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6end {array} ightB).

La matrice n'a aucune entrée, donc l'expansion le long (disons) de la deuxième ligne impliquerait un peu moins de travail. Cependant, une opération de colonne peut être utilisée pour obtenir un zéro à la position ((2, 3))—à savoir, ajouter la colonne 1 à la colonne 3. Comme cela ne change pas la valeur du déterminant, nous obtenons [func {det } A = gauche| egin{array}{rrr}1 & -1 & 3 1 & 0 & -1 2 & 1 & 6end{array} ight| = gauche| egin{array}{rrr}1 & -1 & 4 1 & 0 & 0 2 & 1 & 8end{array} ight|= - left| egin{array}{rr}-1 & 4 1 & 8end{array} ight|=12] où nous avons développé la deuxième matrice (3 imes 3) le long de la ligne 2.

007825 Si (func{det} leftB egin{array}{rrr}a & b & c p & q & r x & y & zend{array} ightB = 6), évalue (func{det } A) où (A = leftB egin{array}{ccc}a+x & b+y & c+z 3x & 3y & 3z -p & - q & -rend{array} ightB).

Retirez d'abord les facteurs communs des lignes 2 et 3. [func{det } A = 3(-1) func{det} leftB egin{array}{ccc}a+x & b+y & c+ z x & y & z p & q & rend{array} ightB] Soustrayez maintenant la deuxième ligne de la première et intervertissez les deux dernières lignes. [func{det } A = -3 func{det} leftB egin{array}{ccc}a & b & c x & y & z p & q & rend{array} ightB= 3 func{det} leftB egin{array}{ccc}a & b & c p & q & r x & y & zend{array} ightB= 3 cdot 6 = 18]

Le déterminant d'une matrice est la somme des produits de ses entrées. En particulier, si ces entrées sont des polynômes dans (x), alors le déterminant lui-même est un polynôme dans (x). Il est souvent intéressant de déterminer quelles valeurs de (x) rendent le déterminant nul, il est donc très utile si le déterminant est donné sous forme factorisée. Le théorème [thm:007779] peut aider.

007837 Trouver les valeurs de (x) pour lesquelles (func{det } A = 0), où (A = leftB egin{array}{ccc}1 & x & x x & 1 & x x & x & 1end{array} ightB).

Pour évaluer (func{det } A), soustrayez d'abord (x) fois la ligne 1 des lignes 2 et 3. [func{det } A = left| egin{array}{ccc}1 & x & x x & 1 & x x & x & 1end{array} ight|=left| egin{array}{ccc}1 & x & x & 1-x^2 & xx^2 & xx^2 & 1-x^2end{array} ight|=left | egin{array}{cc}1-x^2 & xx^2 xx^2 & 1-x^2end{array} ight|] A ce stade, nous pourrions simplement évaluer le déterminant (le résultat est (2x^3-3x^2+1)). Mais alors nous devrions factoriser ce polynôme pour trouver les valeurs de (x) qui le rendent nul. Cependant, cette factorisation peut être obtenue directement en factorisant d'abord chaque entrée dans le déterminant et en prenant un facteur commun de ((1-x)) de chaque ligne. [egin{aligned}func{det } A = left| egin{array}{cc}(1-x)(1+x) & x(1-x) x(1-x) & (1-x)(1+x)end{array} à droite| &=(1-x)^2 gauche| egin{array}{cc}1+x & x x & 1+xend{array} ight| &= (1-x)^2(2x+1)end{aligned}] Par conséquent, (func{det } A = 0) signifie ((1 - x)^2(2x + 1) = 0), c'est-à-dire (x = 1) ou (x = -frac{1}{2}).

007851 Si (a_1), (a_2) et (a_3) sont donnés, montrez que [func{det}leftB egin{array}{ccc}1 & a_1 & a_1^2 1 & a_2 & a_2^2 1 & a_3 & a_3^2end{array} ightB = (a_3-a_1)(a_3-a_2)(a_2-a_1)]

Commencez par soustraire la ligne 1 des lignes 2 et 3, puis développez le long de la colonne 1 : [func{det} leftB egin{array}{ccc}1 & a_1 & a_1^2 1 & a_2 & a_2^ 2 1 & a_3 & a_3^2end{array} ightB = func{det} leftB egin{array}{ccc}1 & a_1 & a_1^2 & a_2-a_1 & a_2^ 2-a_1^2 & a_3-a_1 & a_3^2-a_1^2end{array} ightB= func{det} leftB egin{array}{cc}a_2-a_1 & a_2^2 -a_1^2 a_3-a_1 & a_3^2-a_1^2end{array} ightB] Maintenant ((a_2 - a_1)) et ((a_3 - a_1)) sont des facteurs communs dans lignes 1 et 2, respectivement, donc [egin{aligned}func{det} leftB egin{array}{ccc}1 & a_1 & a_1^2 1 & a_2 & a_2^2 1 & a_3 & a_3^2end{array} ightB &= (a_2-a_1)(a_3-a_1)func{det} leftB egin{array}{cc}1& a_2+a_1 1 & a_3+a_1 end{array} ightB &= (a_2-a_1)(a_3-a_1)(a_3-a_2)end{aligned}]

La matrice de l'exemple [exa:007851] est appelée matrice de Vandermonde, et la formule de son déterminant peut être généralisée au cas (n imes n) (voir le théorème [thm:008552]).

Si (A) est une matrice (n imes n), former (uA) signifie multiplier tous ligne de (A) par (u). En appliquant la propriété 3 du théorème [thm:007779], nous pouvons retirer le facteur commun (u) de chaque ligne et ainsi obtenir le résultat utile suivant.

007870 Si A est une matrice (n imes n), alors (func{det}(uA) = u^n func{det } A) pour tout nombre (u).

L'exemple suivant affiche un type de matrice dont le déterminant est facile à calculer.

007875 Évaluer (func{det } A) si (A = leftB egin{array}{rrrr}a & 0 & 0 & 0 u & b & 0 & 0 v & w & c & 0 x & y & z & dend{array} ightB).

Développez le long de la ligne 1 pour obtenir (func{det } A = a left| egin{array}{rrr}b & 0 & 0 w & c & 0 y & z & dend{array } droit|). Maintenant, développez ceci le long de la rangée du haut pour obtenir (func{det } A = ab left| egin{array}{cc}c & 0 z & dend{array} ight| = abcd) , le produit des entrées diagonales principales.

Une matrice carrée est appelée matrice triangulaire inférieure si toutes les entrées au-dessus de la diagonale principale sont nulles (comme dans l'exemple [exa:007875]). De même, un matrice triangulaire supérieure est celui pour lequel toutes les entrées au-dessous de la diagonale principale sont nulles. UNE matrice triangulaire est une forme triangulaire supérieure ou inférieure. Le théorème [thm:007885] donne une règle simple pour calculer le déterminant de toute matrice triangulaire. La preuve est comme la solution de l'exemple [exa:007875].

007885 Si A est une matrice triangulaire carrée, alors det A est le produit des entrées sur la diagonale principale.

Le théorème [thm:007885] est utile dans les calculs informatiques car il est courant de transformer une matrice sous forme triangulaire en utilisant des opérations sur les lignes.

Les matrices de blocs telles que celles du théorème suivant apparaissent fréquemment dans la pratique, et le théorème donne une méthode simple pour calculer leurs déterminants. Cela concorde avec l'exemple [exa:004627].

007890 Considérons les matrices (leftB egin{array}{cc}A & X & Bend{array} ightB) et (leftB egin{array}{cc}A & 0 Y & Bend{array} ightB) sous forme de bloc, où (A) et (B) sont des matrices carrées. Alors [func{det} leftB egin{array}{cc}A & X & Bend{array} ightB = func{det } A func{det } B mbox{ et }func{det} leftB egin{array}{cc}A & 0 Y & Bend{array} ightB = func{det } A func{det } B]

Ecrire (T = func{det} leftB egin{array}{cc}A & X & Bend{array} ightB) et procéder par induction sur (k) où ( A) est (k fois k). Si (k = 1), c'est le développement du cofacteur le long de la colonne 1. En général, on note (S_i(T)) la matrice obtenue à partir de (T) en supprimant la ligne (i) et la colonne 1 . Ensuite, le développement du cofacteur de (func{det } T) le long de la première colonne est [label{eq:cofexpdeterminant}func{det } T = a_{11}func{det}(S_1(T ))-a_{21}func{det}(S_2(T)) + cdots pm a_{k1}func{det}(S_k(T))] où (a_{11}, a_{ 21}, cdots, a_{k1}) sont les entrées de la première colonne de (A). Mais (S_i(T) = leftB egin{array}{cc}S_i(A) & X_i & Bend{array} ightB) pour chaque (i = 1, 2, cdots , k), donc (func{det}(S_i(T)) = func{det}(S_i(A)) cdot func{det } B) par récurrence. Par conséquent, l'équation [eq:cofexpdeterminant] devient [egin{aligned}func{det } T &= left{ a_{11}func{det}(S_1(T))-a_{21}func {det}(S_2(T)) + cdots pm a_{k1}func{det}(S_k(T)) ight} func{det } B &= left{ func{ det } A ight} func{det } Bend{aligned}] comme requis. Le cas triangulaire inférieur est similaire.

007910 [func{det} leftB egin{array}{rrrr}2 & 3 & 1 & 3 1 & -2 & -1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 4 & 0 & 1end{tableau} ightB=- left| egin{array}{rrrr}2 & 1 & 3 & 3 1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 4 & 1end{array} droite|=-gauche| egin{array}{rr}2 & 1 1 & -1end{array} ight|left| egin{array}{rr}1 & 1 4 & 1end{array} ight|= - (-3)(-3) = -9]

Le résultat suivant montre que (func{det } A) est une transformation linéaire lorsqu'elle est considérée comme une fonction d'une colonne fixe de (A). La preuve est l'exercice [ex:3_1_21].

007914 Soit les colonnes (vect{c}_{1}, cdots , vect{c}_{j-1}, vect{c}_{j+1}, cdots , vect{c} _{n}) dans (RR^n), définissez (T: RR^n o RR) par [T(vect{x}) = func{det} leftB egin{array}{ccccccc}vect{c}_1 & cdots & vect{c}_{j-1} & vect{x} & vect{c}_{j+1} & cdots & vect{c}_nend{array} ightBmbox{ pour tout } vect{x} mbox{ in } RR^n] Ensuite, pour tout (vect{x}) et (vect{y}) dans (RR^n) et tout (a) dans (RR), [T(vect{x}+vect{y})= T(vect{x}) + T(vect{y}) quad mbox{ et } quad T(avect{x}) = aT(vect{x})]

Exercices pour 1

solutions

2

Calculer les déterminants des matrices suivantes.

(leftB egin{array}{rr}2 & -1 3 & 2end{array} ightB) (leftB egin{array}{rr}6 & 9 8 & ​​12 end{array} ightB) (leftB egin{array}{rr}a^2 & ab ab & b^2end{array} ightB) (leftB egin{array }{cc}a+1 & a a & a-1end{array} ightB) (leftB egin{array}{rr}cos heta & -sin heta sin heta & cos hetaend{array} ightB) (leftB egin{array}{rrr}2 & 0 & -3 1 & 2 & 5 & 3 & 0 end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrr}1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 7 & 8 & 9end{array} ightB) ( leftB egin{array}{rrr}0 & a & 0  & c & d & e & 0end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrr} 1 & b & c  & c & 1 c & 1 & bend{array} ightB) (leftB egin{array}{rrr}0 & a & b a & 0 & c  & c & 0end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}0 & 1 & -1 & 0 3 & 0 & 0 & 2 & 1 & 2 & 1 5 & 0 & 0 & 7end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}1 & 0 & 3 & 1 2 & 2 & 6 & 0 -1 & 0 & -3 & 1 4 & 1 & 12 & 0end{array} ightB) (le ftB egin{array}{rrrr}3 & 1 & -5 & 2 1 & 3 & 0 & 1 1 & 0 & 5 & 2 1 & 1 & 2 & -1end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}4 & -1 & 3 & -1 3 & 1 & 0 & 2 & 1 & 2 & 2 1 & 2 & - 1 & 1end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}1 & -1 & 5 & 5 3 & 1 & 2 & 4 -1 & -3 & 8 & 0 1 & 1 & 2 & -1end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}0 & 0 & 0 & a & 0 & b & p & c & q & k d & s & t & uend{array} ightB)

  1. (0)

  2. (-1)

  3. (-39)

  4. (0)

  5. (2abc)

  6. (0)

  7. (-56)

  8. (a B c d)

Montrez que (func{det } A = 0) si (A) a une ligne ou une colonne composée de zéros.

Montrer que le signe de la position dans la dernière ligne et la dernière colonne de (A) est toujours (+1).

Montrer que (func{det } I = 1) pour toute matrice identité (I).

Évaluez le déterminant de chaque matrice en la réduisant à la forme triangulaire supérieure.

(leftB egin{array}{rrr}1 & -1 & 2 3 & 1 & 1 2 & -1 & 3end{array} ightB) (leftB egin{array }{rrr}-1 & 3 & 1 2 & 5 & 3 1 & -2 & 1end{array} ightB) (leftB egin{array}{rrrr}-1 & - 1 & 1 & 0 2 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 2 1 & 3 & -1 & 2end{array} ightB) (leftB egin{array }{rrrr}2 & 3 & 1 & 1 & 2 & -1 & 3 & 5 & 1 & 1 1 & 1 & 2 & 5end{array} ightB)

  1. (-17)

  2. (106)

Évaluer par inspection superficielle :

  1. (func{det} leftB egin{array}{ccc}a & b & c a+1 & b+1 & c+1 a-1 & b-1 & c-1end {tableau} ightB)

  2. (func{det} leftB egin{array}{ccc}a & b & c a+b & 2b & c+b 2 & 2 & 2end{array} ightB)

  1. (0)

Si (func{det} leftB egin{array}{rrr}a & b & c p & q & r x & y & zend{array} ightB = -1) calculer :

  1. (func{det} leftB egin{array}{ccc}-x & -y & -z 3p+a & 3q+b & 3r+c 2p & 2q & 2rend{array} ightB)

  2. (func{det} leftB egin{array}{ccc}-2a & -2b & -2c 2p+x & 2q+y & 2r+z 3x & 3y & 3zend{array} ightB)

  1. (12)

Montre CA:

  1. (func{det} leftB egin{array}{rrr}p+x & q+y & r+z a+x & b+y & c+z a+p & b+q & c+rend{array} ightB = 2func{det} leftB egin{array}{rrr}a & b & c p & q & r x & y & zend{ tableau} ightB)

  2. (func{det} leftB egin{array}{rrr}2a+p & 2b+q & 2c+r 2p+x & 2q+y & 2r+z 2x+a & 2y+b & 2z+cend{array} ightB = 9func{det} leftB egin{array}{rrr}a & b & c p & q & r x & y & zend{ tableau} ightB)

  1. (func{det} leftB egin{array}{rrr}2a+p & 2b+q & 2c+r 2p+x & 2q+y & 2r+z 2x+a & 2y+b & 2z+cend{array} ightB)
    (= 3 func{det} leftB egin{array}{rrr}a+p+x & b+q+y & c+r+z 2p+x & 2q+y & 2r+z 2x+a & 2y+b & 2z+cend{array} ightB)
    (= 3 func{det} leftB egin{array}{rrr}a+p+x & b+q+y & c+r+z pa & qb & rc xp & yq & zr end{tableau} ightB)
    (= 3 func{det} leftB egin{array}{rrr}3x & 3y & 3z p-a & q-b & r-c x-p & y-q & z-rend{array} ightB cdots)

Dans chaque cas, prouvez l'affirmation ou donnez un exemple montrant qu'elle est fausse :

  1. (func{det}(A + B) = func{det } A + func{det } B.)

  2. Si (func{det } A = 0), alors (A) a deux lignes égales.

  3. Si (A) est (2 imes 2), alors (func{det}(A^T) = func{det } A).

  4. Si (R) est la forme échelonnée réduite de (A), alors (func{det } A = func{det } R).

  5. Si (A) est (2 imes 2), alors (func{det}(7A) = 49 func{det } A).

  6. (func{det}(A^T) = - func{det } A).

  7. (func{det}(-A) = - func{det } A).

  8. Si (func{det } A = func{det } B) où (A) et (B) ont la même taille, alors (A) = (B).

  1. Faux. (A = leftB egin{array}{rr}1 & 1 2 & 2end{array} ightB)

  2. Faux. (A = leftB egin{array}{rr}2 & 0 & 1end{array} ightB ightarrowR = leftB egin{array}{rr}1 & 0 & 1 end{tableau} ightB)

  3. Faux. (A = leftB egin{array}{rr}1 & 1 & 1end{array} ightB)

  4. Faux. (A = leftB egin{array}{rr}1 & 1 & 1end{array} ightB) et (B = leftB egin{array}{rr}1 & 0 1 & 1end{array} ightB)

Calculez le déterminant de chaque matrice, en utilisant le théorème [thm:007890].

  1. (leftB egin{array}{rrrrr}1 & -1 & 2 & 0 & -2 & 1 & 0 & 4 & 1 1 & 1 & 5 & 0 & 0 & 0 & 0 & 3 & -1 & 0 & 0 & 1 & 1end{array} ightB)

  2. (leftB egin{array}{rrrrr}1 & 2 & 0 & 3 & 0 -1 & 3 & 1 & 4 & 0 & 0 & 2 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 2 & 0 & 3 & 0 & 1end{array} ightB)

  1. (35)

Si (func{det } A = 2, func{det } B = -1), et (func{det } C = 3), trouvez :

(func{det} leftB egin{array}{ccc}A & X & Y & B & Z & 0 & Cend{array} ightB) (func{ det} leftB egin{array}{ccc}A & 0 & 0 X & B & 0 Y & Z & Cend{array} ightB) (func{det} leftB begin{array}{ccc}A & X & Y & B & 0 & Z & Cend{array} ightB) (func{det} leftB egin{array}{ ccc}A & X & 0 & B & 0 Y & Z & Cend{array} ightB)

  1. (-6)

  2. (-6)

Si (A) a trois colonnes avec seulement les deux premières entrées différentes de zéro, montrez que (func{det } A = 0).

  1. Trouvez (func{det } A) si (A) est (3 imes 3) et (func{det}(2A) = 6).

  2. Dans quelles conditions est (func{det}(-A) = func{det } A) ?

Évaluez en ajoutant d'abord toutes les autres lignes à la première ligne.

  1. (func{det } leftB egin{array}{ccc}x-1 & 2 & 3 2 & -3 & x-2 -2 & x & -2end{array} ightB )

  2. (func{det } leftB egin{array}{ccc}x-1 & -3 & 1 2 & -1 & x-1 -3 & x+2 & -2end{array }droitB)

  1. (-(x-2)(x^2 + 2x-12))

  1. Trouver (b) if (func{det} leftB egin{array}{rrr}5 & -1 & x 2 & 6 & y -5 & 4 & zend{array} ightB = hache + par + cz).

  2. Trouver (c) if (func{det} leftB egin{array}{rrr}2 & x & -1 1 & y & 3 -3 & z & 4end{array} ightB = hache + par + cz).

  1. (-7)

Trouver les nombres réels (x) et (y) tels que (func{det } A = 0) si :

(A = leftB egin{array}{rrr}0 & x & y y & 0 & x x & y & 0end{array} ightB) (A = leftB egin {array}{rrr}1 & x & x -x & -2 & x -x & -x & -3end{array} ightB) (A = leftB egin{array} {rrrr}1 & x & x^2 & x^3 x & x^2 & x^3 & 1 x^2 & x^3 & 1 & x x^3 & 1 & x & x^2end{array} ightB) (A = leftB egin{array}{rrrr}x & y & 0 & 0 & x & y & 0 & 0 & x & y y & 0 & 0 & xend{array} ightB)

  1. (pm frac{sqrt{6}}{2})

  2. (x = pm y)

Montre CA
(func{det} leftB egin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & 1 1 & 0 & x & x 1 & x & 0 & x 1 & x & x & 0end{tableau} ightB = -3x^2)

Montre CA
(func{det} leftB egin{array}{rrrr}1 & x & x^2 & x^3 a & 1 & x & x^2 p & b & 1 & x q & r & c & 1end{array} ightB = (1-ax)(1-bx)(1-cx).)

[ex:3.1.19] Étant donné le polynôme (p(x) = a + bx + cx^2 + dx^3 + x^4), la matrice (C = leftB egin{array}{rrrr }0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 -a & -b & -c & -dend{array} ightB) est appelé les matrice d'accompagnement de (p(x)). Montrez que (func{det}(xI - C) = p(x)).

Montre CA
(func{det} leftB egin{array}{rrr}a+x & b+x & c+x +x & c+x & a+x c+x & a+x & b+xend{array} ightB = (a+b+c+3x)[(ab+ac+bc)-(a^2+b^2+c^2)])

[exemple : 3_1_21]. Démontrer le théorème [thm:007914]. [Indice: Développer le déterminant le long de la colonne j.]

Soit (vect{x} = leftB egin{array}{c}x_1 x_2 vdots x_nend{array} ightB), (vect{y} = leftB egin{array}{c}y_1 y_2 vdots y_nend{array} ightB) et (A = leftB egin{array}{ccccc} vect{c}_1 & cdots & vect{x} + vect{y}& cdots & vect{c}_n end{array} ightB) où (vect{x} + vect{y}) est dans la colonne (j). Expanding (func{det } A) along column (j) (the one containing (vect{x} + vect{y})):

[egin{aligned}T(vect{x} + vect{y}) = func{det } A &= sum_{i=1}^{n} (x_i + y_i)c_{ij}(A) &= sum_{i=1}^{n} x_ic_{ij}(A) + sum_{i=1}^{n} y_ic_{ij}(A)&= T(vect{x}) + T(vect{y})end{aligned}]

Similarly for (T(avect{x}) = aT(vect{x})).

Show that [func{det} leftB egin{array}{ccccc}0 & 0 & cdots & 0 & a_1 & 0 & cdots & a_2 & * vdots & vdots & & vdots & vdots & a_{n-1} & cdots & * & * a_n & * & cdots & * & *end{array} ightB=(-1)^k a_1a_2 cdots a_n] where either (n = 2k) or (n = 2k + 1), and (*)-entries are arbitrary.

By expanding along the first column, show that: [func{det} leftB egin{array}{ccccccc}1 & 1 & 0 & 0 & cdots & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & cdots & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & cdots & 0 & 0 vdots & vdots & vdots & vdots & & vdots & vdots & 0 & 0 & 0 & cdots & 1 & 1 1 & 0 & 0 & 0 & cdots & 0 & 1 end{array} ightB= 1 + (-1)^{n+1}]

if the matrix is (n imes n, n geq 2).

Form matrix (B) from a matrix (A) by writing the columns of (A) in reverse order. Express (func{det } B) in terms of (func{det } A).

If (A) is (n imes n), then (func{det } B = (-1)^k func{det } A) where (n = 2k) or (n = 2k + 1).

Prove property 3 of Theorem [thm:007779] by expanding along the row (or column) in question.

Show that the line through two distinct points ((x_{1}, y_{1})) and ((x_{2}, y_{2})) in the plane has equation [func{det}leftB egin{array}{ccc}x & y & 1 x_1 & y_1 & 1 x_2 & y_2 & 1end{array} ightB = 0]

Let (A) be an (n imes n) matrix. Given a polynomial (p(x) = a_0 + a_1x + cdots + a_mx^m), we write
(p(A) = a_{0}I + a_1A + cdots + a_mA^m).

For example, if (p(x) = 2-3x+5x^2), then
(p(A) = 2I -3A +5A^2). Le characteristic polynomial of (A) is defined to be (c_A(x) = func{det} [xI - A]), and the Cayley-Hamilton theorem asserts that (c_A(A) = 0) for any matrix (A).

  1. 2
    1. (A = leftB egin{array}{rr}3 & 2 1 & -1end{array} ightB)

    2. (A = leftB egin{array}{rrr}1 & -1 & 1 & 1 & 0 8 & 2 & 2end{array} ightB)

  2. Prove the theorem for (A = leftB egin{array}{rr}a & b c & dend{array} ightB)


  1. Determinants are commonly written (|A| = func{det } A) using vertical bars. We will use both notations.↩

  2. If (A = leftB egin{array}{rrr}a & b & c d & e & f g & h & iend{array} ightB) we can calculate (func{det } A) by considering (leftB egin{array}{rrrrr}a & b & c & a & bd & e & f & d & e g & h & i & g & hend{array} ightB) obtained from (A) by adjoining columns (1) and (2) on the right. Then (func{det } A = aei + bfg + cdh - ceg - afh - bdi), where the positive terms (aei, bfg,) and (cdh) are the products down and to the right starting at (a,b), and (c), and the negative terms (ceg, afh), and (bdi) are the products down and to the left starting at (c, a), and (b). Warning: This rule does ne pas apply to (n imes n) matrices where (n > 3) or (n = 2).↩


Voir la vidéo: Cofacteur (Décembre 2021).