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6.5 : La formule des cotes


Le théorème suivant est le résultat clé de ce chapitre. Il met en relation la dimension du noyau et l'étendue d'une application linéaire.

Théorème 6.5.1. Laisser (V) un espace vectoriel de dimension finie et (T:Và W ​​) être une application linéaire. Puis (plage(T) ) est un sous-espace de dimension finie de (W) et
[ egin{equation} label{eq:dim formula}
dim(V) = dim(kernel(T)) + dim( ange(T)). ag{6.5.1}
end{équation}]

Preuve.

Soit (V ) un espace vectoriel de dimension finie et (Tin mathcal{L}(V,W) ). Puisque (kernel(T) ) est un sous-espace de (V ), nous savons que ( kernel(T) ) a une base ((u_1,ldots, u_m) ). Cela implique que (dim(kernel(T))=m ). Par le Théorème d'extension de base, il s'ensuit que ( (u_1,ldots,u_m) ) peut être étendu à une base de (V ), disons ((u_1,ldots,u_m,v_1,ldots,v_n) ), de sorte que (dim(V)=m+n ).

Le théorème suivra en montrant que ((Tv_1,ldots, Tv_n) ) est une base de ( ange(T) ) puisque cela impliquerait que ( ange(T) ) est de dimension finie et (dim( ange(T))=n ), prouvant l'équation 6.5.1.

Puisque ((u_1,ldots,u_m,v_1,ldots,v_n) ) s'étend sur (V ), chaque (vin V ) peut être écrit comme une combinaison linéaire de ces vecteurs ; c'est à dire.,

egin{équation*}
v = a_1 u_1 + cdots + a_m u_m + b_1 v_1 + cdots + b_n v_n,
end{équation*}
où (a_i,b_jin mathbb{F} ). En appliquant (T ) à (v ), on obtient
egin{équation*}
Tv = b_1 T v_1 + cdots + b_n T v_n,
end{équation*}

où les termes (Tu_i) ont disparu depuis (u_iin kernel(T)). Cela montre que ((Tv_1,ldots, Tv_n) ) s'étend bien sur ( ange(T) ).

Pour montrer que ((Tv_1,ldots, Tv_n) ) est une base de ( ange(T) ), il reste à montrer que cette liste est linéairement indépendante. Supposons que (c_1,ldots, c_n in mathbb{F} ) soient tels que

[ c_1 T v_1 + cdots + c_n T v_n =0.]

Par linéarité de (T ), cela implique que

[ T(c_1 v_1 + cdots + c_n v_n) = 0, ]

et donc (c_1 v_1 + cdots + c_n v_nin kernel(T) ). Puisque ((u_1,ldots,u_m) ) est une base de (kernel(T) ), il doit exister des scalaires (d_1,ldots,d_minmathbb{F} ) tels que

egin{équation*}
c_1 v_1 + cdots + c_n v_n = d_1 u_1 + cdots + d_m u_m.
end{équation*}

Cependant, par l'indépendance linéaire de ((u_1,ldots, u_m,v_1,ldots, v_n) ), cela implique que tous les coefficients (c_1=cdots =c_n=d_1=cdots =d_m=0 ). Ainsi, ((Tv_1,ldots, Tv_n)) est linéairement indépendant, et nous avons terminé.

Exemple 6.5.2. Rappelons que l'application linéaire (T:mathbb{R}^2 o mathbb{R}^2 ) définie par (T(x,y)=(x-2y,3x+y) ) a (kernel(T)={0} ) et ( ange(T)=mathbb{R}^2 ). Il s'ensuit que

[ dim(mathbb{R}^2) = 2 = 0+2 =dim(kernel(T)) + dim( ange(T)). ]

Corollaire 6.5.3. Laisser (T) dans (mathcal{L}(V,W) ).

  1. Si (dim(V)>dim(W) ), ensuite (T ) n'est pas injectif.
  2. Si (dim(V)ensuite (T ) n'est pas surjectif.

Preuve.

D'après le théorème 6.5.1, on a que

egin{équation*}
egin{split}
dim( oyau(T)) &= dim(V) - dim( ange(T))
&ge dim(V) - dim(W)>0.
end{split}
end{équation*}
Puisque (T ) est injectif si et seulement si (dim(kernel(T))=0 ), (T ) ne peut pas être injectif.
De la même manière,
egin{équation*}
egin{split}
dim( ange(T)) &= dim(V) - dim(kernel(T))
&le dim(V) < dim(W),
end{split}
end{équation*}
et donc ( ange(T) ) ne peut pas être égal à (W ). Par conséquent, (T ) ne peut pas être surjectif.


6.5 - Applications des matrices et des déterminants

Considérons un triangle avec des sommets en (x1, y1), (X2, y2), et (x3, y3). Si le triangle était un triangle rectangle, il serait assez facile de calculer l'aire du triangle en trouvant la moitié du produit de la base et de la hauteur.

Cependant, lorsque le triangle n'est pas un triangle rectangle, il existe deux autres façons de trouver la zone.

La formule du héron

Si vous connaissez les longueurs des trois côtés du triangle, vous pouvez utiliser la formule de Heron pour trouver l'aire du triangle.

Dans la formule de Heron, s est le demi-périmètre (la moitié du périmètre du triangle).

s = 1/2 ( a + b + c )
Aire = sqrt ( s ( s-a) ( s-b) ( s-c) )

Considérons le triangle avec des sommets à (-2,2), (1,5) et (6,1).

En utilisant les formules de distance, nous pouvons trouver que les longueurs des côtés (assignant arbitrairement a, b et c) sont a = 3 sqrt(2), b = sqrt(61) et c = sqrt(73).

L'utilisation de ces valeurs nous donne .

s = 1/2 ( 3 carré(2) + carré(61) + carré(73) )
s - a = 1/2 ( - 3 carré(2) + carré(61) + carré(73) )
s - b = 1/2 ( 3 carré(2) - carré(61) + carré(73) )
s - c = 1/2 ( 3 carré(2) + carré(61) - carré(73) )

s ( s - a ) ( s - b ) ( s - c ) = 1089 / 4

Lorsque vous prenez la racine carrée de cela, vous obtenez 33/2, donc l'aire de ce triangle est de 16,5.

Les problèmes avec la formule de Heron incluent

  • Doit connaître les longueurs des côtés du triangle. Si ce n'est pas le cas, vous devez utiliser la formule de distance pour trouver les longueurs des côtés du triangle.
  • Vous devez calculer le semi-périmètre, il y a donc de fortes chances que vous ayez des fractions avec lesquelles travailler.
  • Beaucoup de racines carrées sont impliquées. Pour les longueurs des côtés du triangle et pour l'aire du triangle.
  • Ce n'est pas la chose la plus facile au monde à travailler.

Technique géométrique

Le triangle peut être enfermé dans un rectangle. Les sommets du triangle couperont le rectangle en trois endroits, formant trois triangles rectangles. Ces triangles sont notés A, B et C sur l'image.

L'aire du triangle que nous désirons sera l'aire du rectangle moins les aires des trois triangles.

Les jambes des trois triangles peuvent être trouvées par simple soustraction de coordonnées et ensuite utilisées pour trouver l'aire puisque l'aire d'un triangle est la moitié de la base multipliée par la hauteur.

Aire du triangle A = 3 ( 3 ) / 2 = 9/2.
Aire du triangle B = 5 ( 6 ) / 2 = 15.
Aire du triangle C = 8 ( 3 ) / 2 = 12.

La somme des aires des triangles est 9/2 + 15 + 12 = 63 / 2 ou 31,5.

L'aire d'un rectangle est la base multipliée par la hauteur, donc le rectangle englobant a une aire = 8 ( 6 ) = 48.

L'aire du triangle du milieu est la différence entre le rectangle et la somme des aires des trois triangles extérieurs.

Aire du triangle = 48 - 31,5 = 16,5.

Déterminants

Il s'avère que l'aire d'un triangle peut également être trouvée à l'aide de déterminants. La dérivation de la formule est assez longue et la plupart d'entre vous ne se soucient pas de la voir, c'est donc sur une page séparée.

Ce que vous faites est de former un déterminant 3×3 où la première colonne est les x pour tous les points, la deuxième colonne sont les y pour tous les points, et la dernière colonne est tous les uns.

X oui 1
point 1 -2 2 1
point 2 1 5 1
point 3 6 -1 1

Évaluez ce déterminant. Je vais développer la colonne 1.

-2 2 1
1 5 1 = + (-2) 5 1 - 1 2 1 + 6 2 1
6 -1 1 -1 1 -1 1 5 1

= -2 ( 5 + 1 ) - 1 ( 2 + 1 ) + 6 ( 2 - 5 ) = -2 ( 6 ) - 1 ( 3 ) + 6 ( -3 ) = -12 - 3 - 18 = -33.

Il est possible que vous obteniez un déterminant négatif, comme nous l'avons fait ici. Ne vous inquiétez pas pour ça. Le signe est déterminé par l'ordre dans lequel vous placez les points et peut être facilement modifié en changeant simplement deux rangées du déterminant. La zone, en revanche, ne peut pas être négative, donc si vous obtenez un résultat négatif, supprimez simplement le signe et rendez-le positif. Enfin, divisez-le par 2 pour trouver la zone.

| -33 | = 33
33 / 2 = 16,5, qui était la zone.

Formule pour l'aire d'un triangle à l'aide de déterminants

Le plus/moins dans ce cas est censé prendre le signe nécessaire pour que la réponse soit positive (non négative). Ne dites pas que la zone est à la fois positive et négative.

Pourquoi ne pas utiliser la valeur absolue, demandez-vous ? Eh bien, pensez à quel point il serait déroutant d'avoir la valeur absolue d'un déterminant.


Programmation de réseaux de neurones - Apprentissage profond avec PyTorch

Vidéo

Formule de taille de sortie CNN - Transformations tensorielles

Bienvenue dans cette série de programmation de réseaux neuronaux avec PyTorch. Dans cet épisode, nous allons voir comment un tenseur d'entrée est transformé lorsqu'il traverse un CNN.

Sans plus tarder, commençons.

Aperçu de haut niveau de notre processus

Aperçu de notre réseau

Le CNN que nous utiliserons est celui avec lequel nous avons travaillé au cours des derniers articles et qui comporte six couches.

  1. Couche d'entrée
  2. Couche de conversion cachée
  3. Couche de conversion cachée
  4. Couche linéaire cachée
  5. Couche linéaire cachée
  6. Couche de sortie

Nous avons construit ce réseau à l'aide de la classe nn.Module de PyTorch, et la définition de la classe Network est la suivante :

Passer un lot de taille un (une seule image)

Dans un épisode précédent, nous avons vu comment nous pouvons transmettre une seule image en ajoutant une dimension de lot à l'aide de la méthode unsqueeze() de PyTorch. Nous transmettrons à nouveau ce tenseur au réseau, mais cette fois, nous passerons en revue la méthode forward() à l'aide du débogueur. Cela nous permettra d'inspecter notre tenseur au fur et à mesure des transformations.

#1 Couche d'entrée

Lorsque le tenseur arrive dans la couche d'entrée, nous avons :

Cette valeur dans chacune de ces dimensions représente les valeurs suivantes :

Étant donné que la couche d'entrée n'est que la fonction d'identité, la forme de sortie ne change pas.

#2 Couche convolutive (1)

Lorsque le tenseur entre dans cette couche, nous avons :

Après la première opération de convolution self.conv1 , on a :

La taille du lot est toujours de 1 . Cela a du sens car nous ne nous attendons pas à ce que la taille de notre lot change, et ce sera le cas tout au long de la passe avant.

Le nombre de canaux de couleur est passé de 1 à 6 . Après avoir dépassé la première couche convolutive, nous ne considérons plus les canaux comme des canaux de couleur. Nous les considérons simplement comme des canaux de sortie. La raison pour laquelle nous avons 6 canaux de sortie est due au nombre de out_channels que nous avons spécifié lors de la création de self.conv1.

Les opérations de convolution utilisent des filtres

Comme nous l'avons vu, ce nombre 6 est arbitraire. Le paramètre out_channels indique à la classe de couche nn.Conv2d de générer six filtres, également appelés noyaux, de forme 5 par 5 avec des valeurs initialisées de manière aléatoire. Ces filtres sont utilisés pour générer les six canaux de sortie.

Les filtres sont des tenseurs, et ils sont utilisés pour convoluer le tenseur d'entrée lorsque le tenseur est transmis à l'instance de couche, self.conv1 . Les valeurs aléatoires à l'intérieur des tenseurs de filtre sont les poids de la couche convolutive. Rappelez-vous cependant que nous n'avons pas en fait six tenseurs distincts. Les six filtres sont regroupés dans un seul tenseur de poids d'une hauteur et d'une largeur de cinq.

Une fois que les tenseurs de poids (filtres) sont utilisés pour convoluer le tenseur d'entrée, le résultat est les canaux de sortie.

Un autre nom pour les canaux de sortie est cartes de caractéristiques. Les termes ici sont interchangeables. Cela est dû au fait que la détection de motif qui émerge lorsque les poids sont mis à jour représentent des caractéristiques telles que les arêtes et d'autres motifs plus sophistiqués.

  1. Les canaux de couleur sont transmis.
  2. Les convolutions sont effectuées à l'aide du tenseur de poids (filtres).
  3. Les cartes des caractéristiques sont produites et transmises.

Conceptuellement, nous pouvons considérer les tenseurs de poids comme étant distincts. Cependant, ce que nous avons vraiment dans le code est un tenseur de poids unique qui a une dimension out_channels (filtres). Nous pouvons le voir en vérifiant la forme du tenseur de poids :

La forme de ce tenseur est donnée par :

La fonction d'activation relu()

L'appel à la fonction relu() supprime toutes les valeurs négatives et les remplace par des zéros. Nous pouvons le vérifier en vérifiant le min() du tenseur avant et après l'appel.

La fonction relu() peut être exprimée mathématiquement comme

L'opération de mutualisation max

L'opération de mise en commun réduit davantage la forme de notre tenseur en extrayant la valeur maximale de chaque emplacement 2x2 dans notre tenseur.

Résumé de la couche de convolution

Les formes du tenseur d'entrée et de sortie de la couche convolutive sont données par :

Résumé de chaque opération effectuée :

  1. La couche de convolution convolue le tenseur d'entrée à l'aide de six filtres 5x5 initialisés de manière aléatoire.
    • Cela réduit de quatre les dimensions en hauteur et en largeur.
  2. L'opération de la fonction d'activation relu mappe toutes les valeurs négatives sur 0 .
    • Cela signifie que toutes les valeurs du tenseur sont maintenant positives.
  3. L'opération de pooling max extrait la valeur max de chaque section 2x2 des six cartes de caractéristiques qui ont été créées par les convolutions.
    • Cela a réduit de douze les dimensions en hauteur et en largeur.

Formule de taille de sortie CNN

Examinons la formule de calcul de la taille de sortie du tenseur après avoir effectué des opérations de convolution et de regroupement.

Formule de taille de sortie CNN (carré)

  • Supposons que nous ayons une entrée (n imes n).
  • Supposons que nous ayons un filtre (f imes f).
  • Supposons que nous ayons un rembourrage de (p) et une foulée de (s).

La taille de sortie (O) est donnée par cette formule :

Cette valeur sera la hauteur et la largeur de la sortie. Cependant, si l'entrée ou le filtre n'est pas un carré, cette formule doit être appliquée deux fois, une fois pour la largeur et une fois pour la hauteur.

Formule de taille de sortie CNN (non carrée)

  • Supposons que nous ayons un (n_ fois n_) saisir.
  • Supposons que nous ayons un (f_ fois f_) filtre.
  • Supposons que nous ayons un rembourrage de (p) et une foulée de (s).

La hauteur de la taille de sortie (O_) est donnée par cette formule :

La largeur de la taille de sortie (O_) est donnée par cette formule :

#3 Couche convolutive (2)

La deuxième couche convolutive cachée self.conv2 , transforme le tenseur de la même manière que self.conv1 et réduit davantage les dimensions de la hauteur et de la largeur. Avant de parcourir ces transformations, vérifions la forme du tenseur de poids pour self.conv2 :

Cette fois, notre tenseur de poids a douze filtres d'une hauteur de cinq et d'une largeur de cinq, mais au lieu d'avoir un seul canal d'entrée, le nombre de canaux est de six, ce qui donne une profondeur aux filtres. Cela représente les six canaux de sortie de la première couche convolutive. La sortie résultante aura douze canaux.

Exécutons ces opérations maintenant.

La forme de la sortie résultante de self.conv2 nous permet de voir pourquoi nous remodelons le tenseur en utilisant 12*4*4 avant de passer le tenseur à la première couche linéaire, self.fc1 .

Comme nous l'avons vu dans le passé, ce remodelage particulier est appelé aplanissement le tenseur. L'opération d'aplatissement met tous les éléments du tenseur dans une seule dimension.

La forme résultante est 1x192 . Le 1 dans ce cas représente la taille du lot, et le 192 est le nombre d'éléments dans le tenseur qui sont maintenant dans la même dimension.

#4 #5 #6 Couches linéaires

Maintenant, nous avons juste une série de couches linéaires suivies d'une fonction d'activation non linéaire jusqu'à ce que nous atteignions la couche de sortie.

Ce tableau résume les opérations de changement de forme et la forme résultante de chacune :

Opération Forme de sortie
Fonction d'identité torche.Taille ([1, 1, 28, 28])
Convolution (5 x 5) torche.Taille ([1, 6, 24, 24])
Mise en commun maximale (2 x 2) torche.Taille ([1, 6, 12, 12])
Convolution (5 x 5) torche.Taille ([1, 12, 8, 8])
Mise en commun maximale (2 x 2) torche.Taille ([1, 12, 4, 4])
Aplatir (remodeler) torche.Taille([1, 192])
Transformation linéaire torche.Taille ([1, 120])
Transformation linéaire torche.Taille([1, 60])
Transformation linéaire torche.Taille([1, 10])

La formation du CNN est la prochaine

Nous devrions maintenant bien comprendre comment les tenseurs d'entrée sont transformés par les réseaux de neurones convolutifs, comment déboguer les réseaux de neurones dans PyTorch et comment inspecter les tenseurs de poids de toutes les couches.

Dans le prochain épisode, nous commencerons à entraîner notre réseau, ce qui conduira à la mise à jour des valeurs de notre tenseur de poids pour que la méthode directe de notre réseau mappe les entrées aux classes de sortie correctes. Je te verrai dans le prochain !


Étape 1 : Considérez les variables de taille de votre échantillon

Avant de pouvoir calculer une taille d'échantillon, vous devez déterminer quelques éléments concernant la population cible et le niveau de précision dont vous avez besoin :

1. Taille de la population

De combien de personnes parlez-vous au total ? Pour le savoir, vous devez être clair sur qui fait et ne fait pas partie de votre groupe. Par exemple, si vous voulez en savoir plus sur les propriétaires de chiens, vous inclurez tous ceux qui ont à un moment donné possédé au moins un chien. (Vous pouvez inclure ou exclure ceux qui possédaient un chien dans le passé, selon vos objectifs de recherche.) Ne vous inquiétez pas si vous ne pouvez pas calculer le nombre exact. Il est courant d'avoir un nombre inconnu ou une plage estimée.

2. Marge d'erreur (intervalle de confiance)

Les erreurs sont inévitables - la question est de savoir combien d'erreurs vous autoriserez. La marge d'erreur, AKA intervalle de confiance, est exprimée en nombres moyens. Vous pouvez définir la différence que vous autoriserez entre le nombre moyen de votre échantillon et le nombre moyen de votre population. Si vous avez déjà vu un sondage politique sur les nouvelles, vous avez vu un intervalle de confiance et comment il est exprimé. Cela ressemblera à ceci : « 68 % des votants ont dit oui à la proposition Z, avec une marge d'erreur de +/- 5 %.

3. Niveau de confiance

Il s'agit d'une étape distincte de l'intervalle de confiance du même nom à l'étape 2. Il traite de la façon dont vous voulez être sûr que la moyenne réelle se situe dans votre marge d'erreur. Les intervalles de confiance les plus courants sont de confiance à 90 %, de confiance à 95 % et de confiance à 99 %.

4. Écart type

Cette étape vous demande d'estimer dans quelle mesure les réponses que vous recevrez varieront les unes des autres et du nombre moyen. Un écart type faible signifie que toutes les valeurs seront regroupées autour du nombre moyen, tandis qu'un écart type élevé signifie qu'elles sont réparties sur une plage beaucoup plus large avec des chiffres aberrants très petits et très grands. Étant donné que vous n'avez pas encore mené votre enquête, un choix sûr est un écart type de 0,5 qui vous aidera à vous assurer que la taille de votre échantillon est suffisamment grande.


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Observation d'un podologue consultant sur l'anatomie du pied

Souple explique que la capacité de porter des talons hauts est liée à un os du pied appelé « talus ».

"La mesure est basée sur la flexibilité du talus, le seul os qui relie le pied et la jambe", déclare Supple. "Le talus est un os étrangement incurvé situé sur le dessus et à l'avant du pied, et la façon dont il se déplace dicte la hauteur du talon que vous devez porter."

Supple explique : « Si le talus s'incline vers le bas lorsque vous tenez la jambe droite et que vous détendez votre pied, vous avez une grande mobilité et pouvez facilement porter des talons hauts. Votre pied peut monter et descendre beaucoup plus. Mais si votre talus ne s'incline pas, vous serez alors plus à l'aise et beaucoup plus heureux dans des chaussures plates. Les chaussures plus plates donnent un angle droit au sol et ne nécessitent pas autant de mouvement du pied.

« Certaines femmes sont simplement conçues pour porter des talons vertigineux, tandis que d'autres seront mal à l'aise avec n'importe quelle taille de talon. Certaines femmes trouvent les talons incroyablement inconfortables, et elles ne peuvent rien y faire.

De plus, Supple mentionne que votre PHH est la hauteur de talon pour laquelle votre pied est le plus confortable en fonction de l'anatomie de votre pied.


4.5 Engrenages à vis

L'engrenage à vis comprend divers types d'engrenages utilisés pour entraîner des arbres non parallèles et non sécants où les dents d'un ou des deux éléments de la paire sont en forme de vis. La figure 4.14 montre l'engrènement des engrenages à vis. Deux engrenages à vis ne peuvent s'engrèner que dans les conditions où les modules normaux (mn1) et (mn2) et les angles de pression normaux (αn1, αn2) sont les mêmes.

Fig.4.14 Engrenages à vis d'axes non parallèles et non sécants

Soit une paire d'engrenages à vis ayant l'angle d'arbre Σ et les angles d'hélice β1 et β2 :

Si les engrenages à vis étaient décalés de profil, l'engrènement deviendrait un peu plus complexe. Soit βw1, βw2 le cylindre de pas de travail

Le tableau 4.21 présente les équations pour une paire d'engrenages à vis décalée par profil. Lorsque les coefficients de décalage de profil normal xn1=xn2=0, les équations et les calculs sont les mêmes que pour les engrenages standard.

Tableau 4.21 Les équations pour une paire d'engrenages à vis sur des axes non parallèles et non sécants dans le système normal

Les engrenages à vis standard ont les relations suivantes :

Annexe – Qu'est-ce qu'un engrenage à vis ?

Cet article est reproduit avec la permission.
Masao Kubota,Haguruma Nyumon, Tokyo : Ohmsha, Ltd., 1963.

L'engrenage à vis (ou engrenage hélicoïdal croisé) de la photo 5.1 est un type d'engrenage dont les deux axes ne sont ni parallèles ni croisés (engrenages obliques), et dont la surface de pas se compose de deux surfaces cylindriques circonscrites en un point sur la plus courte distance entre les deux axes . L'engrenage à vis est un engrenage à contact ponctuel qui se compose d'engrenages hélicoïdaux à mailles obliques dont la somme ou la différence de l'angle de torsion des traces de dents est égale à l'angle inclus des deux axes.


Image 5.1 Engrenage à vis

Fond d'engrenage à vis

Dans la figure 5.2, le point P en un point sur la distance la plus courte entre deux axes est appelépoint de tangage, où deux cylindres de rayon R1 ou R2 dont les axes I et II constituent l'entraxe A et l'angle inclus circonscrit au point P.

En supposant que les deux cylindres sont des surfaces courbes de référence pour la fabrication des dents d'engrenage, et que les engrenages s'engrènent au point de tangage P et à son voisinage. Pour que les deux flancs des dents entrent en contact au point P pour transmettre le mouvement, ils doivent partager la ligne normale, et la composante de vitesse des deux engrenages dans la direction de la ligne normale des flancs des dents doit être égale. Par conséquent, au point P, la direction des traces de dents doit être la même, et la composante de vitesse des deux engrenages à angle droit par rapport aux traces de dents doit être égale. Plus précisément, comme dans Pic5.2, la direction de la ligne verticale du point P vers les directions des vecteurs de vitesse de vitesse V1 et V2 au point P est égal à la composante de vitesse des deux engrenages (Vm), et l'angle droit (TT) à cette direction au point P devient la direction de la trace de la dent au point P. Les composantes de vitesse de V1 et V2 ne sont pas égaux dans le sens TT. C'est-à-dire qu'il y a un glissement dans le sens du tracé de la dent.


Image 5.2 Contexte de l'engrenage à vis

En supposant qu'il existe une crémaillère hélicoïdale, qui a la trace de dent dans la direction TT et son plan tangentiel aux deux cylindres primitifs au point P est le plan primitif. Quand il se déplace avec une vitesse de Vm, la courbe formée sur chaque engrenage en tant que surface enveloppe du flanc de dent de crémaillère devient le flanc de dent des deux engrenages. Lorsque le flanc de dent de la crémaillère hélicoïdale est plan, le flanc de dent des deux engrenages devient un hélicoïde à développante. C'est un engrenage à vis à développante et sa section normale est un profil de dent à développante.

La ligne de contact simultanée du flanc de la dent de chaque engrenage et crémaillère est la trace d'un pied de perpendiculaire depuis le point arbitraire sur le bus de chaque cylindre de pas jusqu'à la surface de la dent de la crémaillère en passant par le point de pas P (elle devient une ligne droite pour l'engrenage à vis à développante) . Les deux traces se croisent au pied d'une perpendiculaire allant du point primitif P au profil de dent de crémaillère. (Voir Image 5.3 (a) NUNE et nB) Par conséquent, les deux profils de dents se touchent à ce point.

La trace du point de contact est généralement la courbe passant par le point de pas P. Comme pour l'engrenage à vis à développante, la trace du point de contact devient une droite W qui passe par le point de pas P, car le plan du profil de la dent de crémaillère se déplace parallèlement . La ligne s'appelleligne d'action (voir Pic 5.3), la ligne de croisement des plans tangentiels des cylindres de base des engrenages, et c'est aussi la ligne fixe des contacts avec les deux cylindres de base. Identique aux engrenages normaux, le rapport de vitesse angulaire est égal au rapport réciproque du nombre de dents, et le module plan normal doit être égal pour les deux engrenages.

Pic 5.3 Maillage de l'engrenage à vis développante
Photo de gauche – Contact du flanc de la vis sans fin
(1) Ligne d'action
Image de droite - Relation des cylindres de base, ligne d'action, plan tangentiel, trace de dent de l'engrenage à vis
(2) Cylindre de base de l'engrenage I
(3) Ligne de vis orthogonale à la trace de la dent
(4) Ligne d'action
(5) Cylindre de base de l'engrenage II
(6) Ligne de vis orthogonale à la trace de la dent

Supposons que l'angle hélicoïdal de la trace de dent est 1 et β2, le module plan normal de la crémaillère hélicoïdale est mm, et le nombre de dents de chaque engrenage est z1 et z2, le rayon des cylindres de pas R1 et R2 sommes :

Par conséquent, 2A/mm=z1 / cosβ1 + z2 / cos(β – β1)

Par exemple, lorsque A, , z1, z2 et Mm sont donnés, β1 et β2 sont définis par la formule précédente. Cependant, β1>0, β2>0 dans l'image précédente.β1 et β2 pourraient être 0 ou un nombre négatif. En fait, =90° dans de nombreux cas. Lorsque β=90°, pour minimiser l'entraxe, régler dA / dβ1=0 et obtenir

Application d'engrenage à vis

Comme les engrenages à vis sont à contact ponctuel, la contrainte de contact au point de contact est importante et le film lubrifiant est facile à affiner et, par conséquent, les engrenages s'usent facilement. Par conséquent, les engrenages à vis ne sont pas adaptés à la transmission de grandes puissances. D'autre part, les engrenages s'engrènent en douceur et permettent un réglage de coupe facile, si fréquemment utilisé pour le mécanisme de transmission entre les arbres obliques dont l'entraxe est au milieu. De plus, il est bien connu que la relation d'engrènement de la fraise et de l'engrenage usiné au rasage des engrenages est similaire à celle des engrenages à vis. La relation d'engrènement de la plaque de cuisson et des engrenages à couper est également similaire à celle des engrenages à vis.

Lorsque l'un des engrenages à vis (engrenage mené) est un engrenage à crémaillère, ils peuvent entrer en contact avec la ligne et transmettre une charge lourde. Ils peuvent être utilisés pour l'entraînement de table d'une machine de planification. Le rasoir de type rack peut également être utilisé.

Seule la courbe qui va sur chaque flanc de dent en diagonale par le point de pas est utile pour l'engrènement des flancs de dent des engrenages à vis, et par conséquent la largeur de la face de travail est limitée. Cependant, augmenter un peu la largeur de la face et permettre aux engrenages de se déplacer vers l'axe évitera une usure locale excessive, et allongera la durée de vie de l'ensemble de l'engrenage.


Les formules suivantes montrent comment calculer les mètres carrés pour différentes formes. Des formules pour trouver une surface donnée en mètres et en pieds sont fournies pour simplifier la conversion.

Rectangle

Bordure rectangulaire

l = longueur extérieure
w = largeur extérieure
b = largeur de bordure

Cercle

Si vous connaissez le diamètre du cercle, vous pouvez trouver le rayon en divisant le diamètre par deux.

Triangle

a = bord a
b = bord b
c = bord c

Notre calculateur de surface a des formules pour beaucoup plus de formes.


Écriture de formules pour les composés ioniques contenant des ions polyatomiques

L'écriture d'une formule pour des composés ioniques contenant des ions polyatomiques implique également les mêmes étapes que pour un composé ionique binaire. Écrivez le symbole et la charge du cation suivis du symbole et de la charge de l'anion.

Exemple (PageIndex<4>) : Nitrate de Calcium

Écrivez la formule du nitrate de calcium.

Écrivez la formule chimique d'un composé ionique composé de l'ion potassium et de l'ion sulfate

Explication Réponse
Les ions potassium ont une charge de 1+, tandis que les ions sulfate ont une charge de 2&moins. Nous aurons besoin de deux ions potassium pour équilibrer la charge sur l'ion sulfate, donc la formule chimique appropriée est K2ALORS4. (K_2SO_4)

Écrivez la formule chimique d'un composé ionique composé de chaque paire d'ions.


Faits connexes

Exemples illustratifs

Par exemple, considérez avec la partition . Il y a quatre 3, trois 2 et cinq 1. Un exemple d'élément avec ce type de cycle est donné par la décomposition de cycle :

La taille de la classe de conjugaison correspondant à cette partition est :

Voici un autre exemple : . Il y a un 5 et deux 4, et on obtient :

Lorsqu'un particulier possède (c'est-à-dire qu'il n'apparaît qu'une seule fois dans la partition) alors le terme correspondant divisé est , donc ce qui précède peut être écrit plus brièvement :

De même, considérez . On a:

Traitement complet des petits diplômes

Dans les liens de la colonne de droite du tableau ci-dessous, vous pouvez voir des informations tabulées sur les tailles des classes de conjugaison, ainsi que la façon dont la formule est appliquée aux tailles de cycle pour calculer chaque taille spécifique. Les cas sont intégrés ci-dessous.


Voir la vidéo: Le Concept de Cotes au Poker et comment les calculer (Décembre 2021).