Des articles

3.3 : Visualiser les fractions (partie 2)


Fractions équivalentes du modèle

Pensons à nouveau à Andy et Bobby et à leur nourriture préférée. Si Andy mange (dfrac{1}{2}) d'une pizza et Bobby mange (dfrac{2}{4}) de pizza, ont-ils mangé la même quantité de pizza ? En d'autres termes, est-ce que (dfrac{1}{2} = dfrac{2}{4}) ? Nous pouvons utiliser des tuiles de fraction pour savoir si Andy et Bobby ont mangé équivalent parties de la pizza.

Définition : fractions équivalentes

Les fractions équivalentes sont des fractions qui ont la même valeur.

Les tuiles de fractions servent de modèle utile de fractions équivalentes. Vous pouvez utiliser des tuiles de fractions pour faire l'activité suivante. Ou vous pouvez faire une copie de la figure 4.3 et l'étendre pour inclure les huitièmes, les dixièmes et les douzièmes.

Commencez par une tuile (dfrac{1}{2}). Combien de quarts égalent la moitié ? Combien de tuiles (dfrac{1}{4}) couvrent exactement la tuile (dfrac{1}{2}) ?

Figure (PageIndex{7})

Puisque deux tuiles (dfrac{1}{4}) couvrent la tuile (dfrac{1}{2}), nous voyons que (dfrac{2}{4}) est le même que (dfrac{1}{2}), ou (dfrac{2}{4} = dfrac{1}{2}).

Combien de tuiles (dfrac{1}{6}) couvrent la tuile (dfrac{1}{2}) ?

Figure (PageIndex{8})

Puisque trois tuiles (dfrac{1}{6}) couvrent la tuile (dfrac{1}{2}), nous voyons que (dfrac{3}{6}) est le même que (dfrac{1}{2}). Donc, (dfrac{3}{6} = dfrac{1}{2}). Les fractions sont des fractions équivalentes.

Exemple (PageIndex{13}): fractions équivalentes

Utilisez des tuiles de fractions pour trouver des fractions équivalentes. Montrez votre résultat avec un chiffre.

  1. Combien de huitièmes égalent la moitié ?
  2. Combien de dixièmes égalent la moitié ?
  3. Combien de douzièmes égalent la moitié ?

Solution

  1. Il faut quatre tuiles (dfrac{1}{8}) pour couvrir exactement la tuile (dfrac{1}{2}), donc (dfrac{4}{8} = dfrac{1 }{2}).

  1. Il faut cinq tuiles (dfrac{1}{10}) pour couvrir exactement la tuile (dfrac{1}{2}), donc (dfrac{5}{10} = dfrac{1 }{2}).

  1. Il faut six tuiles (dfrac{1}{12}) pour couvrir exactement la tuile (dfrac{1}{2}), donc (dfrac{6}{12} = dfrac{1 }{2}).

Supposons que vous ayez des tuiles marquées (dfrac{1}{20}). Combien d'entre eux faudrait-il pour égaler (dfrac{1}{2}) ? Pensez-vous dix tuiles? Si c'est le cas, vous avez raison, car (dfrac{10}{20} = dfrac{1}{2}).

Nous avons montré que (dfrac{1}{2}, dfrac{2}{4}, dfrac{3}{6}, dfrac{4}{8}, dfrac{5}{10} , dfrac{6}{12}) et (dfrac{10}{20}) sont toutes des fractions équivalentes.

Exercice (PageIndex{25})

Utilisez des tuiles de fractions pour trouver des fractions équivalentes :

Réponse

(2)

Exercice (PageIndex{26})

Utilisez des tuiles de fractions pour trouver des fractions équivalentes : combien de douzièmes sont égaux à un quart ?

Réponse

(3)

Trouver des fractions équivalentes

Nous avons utilisé des tuiles de fractions pour montrer qu'il existe de nombreuses fractions équivalentes à (dfrac{1}{2}). Par exemple, (dfrac{2}{4}, dfrac{3}{6}) et (dfrac{4}{8}) sont tous équivalents à (dfrac{1}{ 2}). Lorsque nous avons aligné les tuiles de fraction, il a fallu quatre tuiles (dfrac{1}{8}) pour avoir la même longueur qu'une tuile (dfrac{1}{2}). Cela a montré que (dfrac{4}{8} = dfrac{1}{2}). Voir l'exemple (PageIndex{13}).

Nous pouvons également le montrer avec des pizzas. La figure (PageIndex{9a}) montre une seule pizza, coupée en deux morceaux égaux avec (dfrac{1}{2}) ombré. La figure (PageIndex{9b}) montre une deuxième pizza de la même taille, coupée en huit morceaux avec (dfrac{4}{8}) ombrée.

Figure (PageIndex{9})

C'est une autre façon de montrer que (dfrac{1}{2}) est équivalent à (dfrac{4}{8}). Comment pouvons-nous utiliser les mathématiques pour changer (dfrac{1}{2}) en (frac{4}{8}) ? Comment pourriez-vous prendre une pizza qui est coupée en deux morceaux et la couper en huit morceaux ? Vous pouvez couper chacun des deux plus gros morceaux en quatre petits morceaux ! La pizza entière serait alors coupée en huit morceaux au lieu de seulement deux. Mathématiquement, ce que nous avons décrit pourrait s'écrire ainsi :

[dfrac{1 cdot extcolor{blue}{4}}{2 cdot extcolor{blue}{4}} = dfrac{4}{8} onumber ]

Ces modèles conduisent à la propriété des fractions équivalentes, qui stipule que si nous multiplions le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, la valeur de la fraction ne change pas.

Définition : propriété des fractions équivalentes

Si (a), (b) et (c) sont des nombres où (b 0) et (c 0), alors

[dfrac{a}{b} = dfrac{a cdot c}{b cdot c}]

Lorsqu'on travaille avec des fractions, il est souvent nécessaire d'exprimer la même fraction sous différentes formes. Pour trouver des formes équivalentes d'une fraction, nous pouvons utiliser la propriété des fractions équivalentes. Par exemple, considérons la fraction de moitié.

[egin{split} dfrac{1 cdot extcolor{blue}{3}}{2 cdot extcolor{blue}{3}} = dfrac{3}{6} ; & alors ; dfrac{1}{2} = dfrac{3}{6} dfrac{1 cdot extcolor{blue}{2}}{2 cdot extcolor{blue}{2}} = dfrac {2}{4} ; & alors ; dfrac{1}{2} = dfrac{2}{4} dfrac{1 cdot extcolor{blue}{10}}{2 cdot extcolor{blue}{10}} = dfrac {10}{20} ; & alors ; dfrac{1}{2} = dfrac{10}{20} end{split} onumber ]

Donc, on dit que (dfrac{1}{2}, dfrac{2}{4}, dfrac{3}{6}), et (dfrac{10}{20}) sont fractions équivalentes.

Exemple (PageIndex{14}): fractions équivalentes

Trouvez trois fractions équivalentes à (dfrac{2}{5}).

Solution

Pour trouver une fraction équivalente à (dfrac{2}{5}), nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le même nombre (mais pas zéro). Multiplions-les par (2), (3) et (5).

[dfrac{2 cdot extcolor{blue}{2}}{5 cdot extcolor{blue}{2}} = dfrac{4}{10} qquad dfrac{2 cdot extcolor{ blue}{3}}{5 cdot extcolor{blue}{3}} = dfrac{6}{15} qquad dfrac{2 cdot extcolor{blue}{5}}{5 cdot textcolor{blue}{5}} = dfrac{10}{25} onumber ]

Ainsi, (dfrac{4}{10}, dfrac{6}{15}), et (dfrac{10}{25}) sont équivalents à (dfrac{2}{5} ).

Exercice (PageIndex{27})

Trouvez trois fractions équivalentes à (dfrac{3}{5}).

Réponse

Les réponses correctes incluent (dfrac{6}{10}, dfrac{9}{15}) et (dfrac{12}{20})

Exercice (PageIndex{28})

Trouvez trois fractions équivalentes à (dfrac{4}{5}).

Réponse

Les réponses correctes incluent (dfrac{8}{10}, dfrac{12}{15}) et (dfrac{16}{20})

Exemple (PageIndex{15}): fractions équivalentes

Trouvez une fraction avec un dénominateur de 21 qui équivaut à (dfrac{2}{7}).

Solution

Pour trouver des fractions équivalentes, nous multiplions le numérateur et le dénominateur par le même nombre. Dans ce cas, nous devons multiplier le dénominateur par un nombre qui donnera (21).

Puisque nous pouvons multiplier (7) par (3) pour obtenir (21), nous pouvons trouver la fraction équivalente en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par (3).

[dfrac{2}{7} = dfrac{2 cdot extcolor{blue}{3}}{7 cdot extcolor{blue}{3}} = dfrac{6}{21} onumber ]

Exercice (PageIndex{29})

Trouvez une fraction avec un dénominateur de (21) qui est équivalent à (dfrac{6}{7}).

Réponse

(dfrac{18}{21})

Exercice (PageIndex{30})

Trouvez une fraction avec un dénominateur de (100) qui est équivalent à (dfrac{3}{10}).

Réponse

(dfrac{30}{100})

Localisez les fractions et les nombres mixtes sur la droite numérique

Nous sommes maintenant prêts à tracer des fractions sur une droite numérique. Cela nous aidera à visualiser les fractions et à comprendre leurs valeurs.

Repérons (dfrac{1}{5}, dfrac{4}{5}, 3, 3 dfrac{1}{3}, dfrac{7}{4}, dfrac{9}{ 2}, 5) et (dfrac{8}{3}) sur la droite numérique. Nous commencerons par les nombres entiers (3) et (5) car ce sont les plus faciles à tracer.

Les fractions appropriées répertoriées sont (dfrac{1}{5}) et (dfrac{4}{5}). Nous savons que les fractions propres ont des valeurs inférieures à un, donc (dfrac{1}{5}) et (dfrac{1}{5}) sont situés entre les nombres entiers (0) et ( 1). Les dénominateurs sont tous les deux (5), nous devons donc diviser le segment de la droite numérique entre (0) et (1) en cinq parties égales. Nous pouvons le faire en traçant quatre marques équidistantes sur la droite numérique, que nous pouvons ensuite étiqueter comme (dfrac{1}{5}, dfrac{2}{5}, dfrac{3}{5} ), et (dfrac{4}{5}). Tracez maintenant les points à (dfrac{1}{5}) et (dfrac{4}{5}).

Le seul nombre mixte à tracer est (3 dfrac{1}{3}). Entre quels deux nombres entiers se trouve (3 dfrac{1}{3}) ? N'oubliez pas qu'un nombre fractionnaire est un nombre entier plus une fraction propre, donc (3 dfrac{1}{3} > 3). Comme il est supérieur à (3), mais pas supérieur à une unité entière, (3 dfrac{1}{3}) est compris entre (3) et (4). Nous devons diviser la partie de la droite numérique entre (3) et (4) en trois parties égales (tiers) et tracer (3 dfrac{1}{3}) à la première marque.

Enfin, regardez les fractions impropres (dfrac{7}{4}, dfrac{9}{2}) et (dfrac{8}{3}). La localisation de ces points sera plus facile si vous changez chacun d'eux en un nombre mixte.

[dfrac{7}{4} = 1 dfrac{3}{4}, qquad dfrac{9}{2} = 4 dfrac{1}{2}, qquad dfrac{8}{ 3} = 2 dfrac{2}{3} onumber ]

Voici la droite numérique avec tous les points tracés.

Exemple (PageIndex{16}): localiser et étiqueter

Localisez et nommez les éléments suivants sur une droite numérique : (dfrac{3}{4}, dfrac{4}{3}, dfrac{5}{3}, 4 dfrac{1}{5}) , et (dfrac{7}{2}).

Solution

Commencez par localiser la fraction appropriée (dfrac{3}{4}). Il est compris entre (0) et (1). Pour ce faire, divisez la distance entre (0) et (1) en quatre parties égales. Tracez ensuite (dfrac{3}{4}).

Ensuite, localisez le nombre mixte (4 dfrac{1}{5}). Il est compris entre (4) et (5) sur la droite numérique. Divisez la droite numérique entre (4) et (5) en cinq parties égales, puis tracez (4 dfrac{1}{5}) un cinquième de la distance entre (4) et (5).

Localisez maintenant les fractions impropres (dfrac{4}{3}) et (dfrac{5}{3}). Il est plus facile de les tracer si nous les convertissons d'abord en nombres mixtes.

[dfrac{4}{3} = 1 dfrac{1}{3}, qquad dfrac{5}{3} = 1 dfrac{2}{3} onumber]

Divisez la distance entre (1) et (2) en tiers.

Tracez ensuite (dfrac{7}{2}). Nous l'écrivons sous la forme d'un nombre mixte, (dfrac{7}{2} = 3 dfrac{1}{2}). Tracez-le entre (3) et (4).

La droite numérique montre tous les nombres situés sur la droite numérique.

Exercice (PageIndex{31})

Localisez et nommez les éléments suivants sur une droite numérique : (dfrac{1}{3}, dfrac{5}{4}, dfrac{7}{4}, 2 dfrac{3}{5}, dfrac{9}{2}).

Réponse

Exercice (PageIndex{32})

Localisez et nommez les éléments suivants sur une droite numérique : (dfrac{2}{3}, dfrac{5}{2}, dfrac{9}{4}, dfrac{11}{4}, 3 dfrac{2}{5}).

Réponse

Dans Introduction aux nombres entiers, nous avons défini l'opposé d'un nombre. C'est le nombre qui est à la même distance de zéro sur la droite numérique mais du côté opposé de zéro. Nous avons vu, par exemple, que l'opposé de (7) est (−7) et l'opposé de (−)7 est (7).

Les fractions ont aussi des contraires. Le contraire de (dfrac{3}{4}) est (− dfrac{3}{4}). C'est la même distance de (0) sur la droite numérique, mais du côté opposé de (0).

Considérer les fractions négatives comme l'opposé des fractions positives nous aidera à les localiser sur la droite numérique. Pour localiser (− dfrac{15}{8}) sur la droite numérique, pensez d'abord à l'endroit où se trouve (dfrac{15}{8}). C'est une fraction impropre, nous la convertissons donc d'abord en nombre mixte (1 dfrac{7}{8}) et voyons qu'elle sera comprise entre (1) et (2) sur la droite numérique . Donc son contraire, (− dfrac{15}{8}), sera compris entre (−1) et (−2) sur la droite numérique.

Exemple (PageIndex{17}): localiser et étiqueter

Localisez et nommez les éléments suivants sur la droite numérique : (dfrac{1}{4}, − dfrac{1}{4}, 1 dfrac{1}{3}, -1 dfrac{1}{3 }, dfrac{5}{2}) et (− dfrac{5}{2}).

Solution

Tracez une droite numérique. Marquez (0) au milieu, puis marquez plusieurs unités à gauche et à droite.

Pour localiser (dfrac{1}{4}), divisez l'intervalle entre (0) et (1) en quatre parties égales. Chaque partie représente un quart de la distance. Tracez donc (dfrac{1}{4}) à la première marque.

Pour localiser (− dfrac{1}{4}), divisez l'intervalle entre (0) et (−1) en quatre parties égales. Tracez (− dfrac{1}{4}) à la première marque à gauche de (0).

Puisque (1 dfrac{1}{3}) est compris entre (1) et (2), divisez l'intervalle entre (1) et (2) en trois parties égales. Tracez (1 dfrac{1}{3}) à la première marque à droite de (1). Alors comme (−1 dfrac{1}{3}) est l'opposé de (1 dfrac{1}{3}) il est compris entre (−1) et (−2). Divisez l'intervalle entre (−1) et (−2) en trois parties égales. Tracez (−1 dfrac{1}{3}) à la première marque à gauche de (−1).

Pour localiser (dfrac{5}{2}) et (− dfrac{5}{2}), il peut être utile de les réécrire sous la forme des nombres fractionnaires (2 dfrac{1}{2 }) et (−2 dfrac{1}{2}). Puisque (2 dfrac{1}{2}) est compris entre (2) et (3), divisez l'intervalle entre (2) et (3) en deux parties égales. Tracer (dfrac{5}{2}) à la marque. Alors puisque (−2 dfrac{1}{2}) est compris entre (−2) et (−3), divisez l'intervalle entre (−2) et (−3) en deux parties égales. Tracer (− dfrac{5}{2}) à la marque.

Exercice (PageIndex{33})

Localisez et nommez chacune des fractions données sur une droite numérique : (dfrac{2}{3}, − dfrac{2}{3}, 2 dfrac{1}{4}, -2 dfrac{1 }{4}, dfrac{3}{2}, − dfrac{3}{2})

Réponse

Exercice (PageIndex{34})

Localisez et nommez chacune des fractions données sur une droite numérique : (dfrac{3}{4}, − dfrac{3}{4}, 1 dfrac{1}{2}, -1 dfrac{1 }{2}, dfrac{7}{3}, − dfrac{7}{3})

Réponse

Fractions d'ordre et nombres mixtes

Nous pouvons utiliser les symboles d'inégalité pour ordonner les fractions. Rappelez-vous que (a > b) signifie que (a) est à droite de (b) sur la droite numérique. Lorsque nous nous déplaçons de gauche à droite sur une droite numérique, les valeurs augmentent.

Exemple (PageIndex{18}): ordre

Commandez chacune des paires de nombres suivantes, en utilisant (<) ou (>) :

  1. (− dfrac{2}{3})____(−1)
  2. (−3 dfrac{1}{2})____(−3)
  3. (− dfrac{3}{7})____(− dfrac{3}{8})
  4. (−2)____(− dfrac{16}{9})

Solution

  1. (− dfrac{2}{3} > -1)

  1. (−3 dfrac{1}{2} < −3)

  1. (− dfrac{3}{7} < − dfrac{3}{8})

  1. (−2 < − dfrac{16}{9})

Exercice (PageIndex{35})

Commandez chacune des paires de nombres suivantes, en utilisant (<) ou (>) :

  1. (− dfrac{1}{3})__(−1)
  2. (−1 dfrac{1}{2})__(− 2)
  3. (− dfrac{2}{3})__(− dfrac{1}{3})
  4. (−3)__(− dfrac{7}{3})
Répondre à un

(>)

Réponse b

(>)

Réponse c

(<)

Réponse d

(<)

Exercice (PageIndex{36})

Commandez chacune des paires de nombres suivantes, en utilisant (<) ou (>) :

  1. (−3)__(− dfrac{17}{5})
  2. (−2 dfrac{1}{4})__(−2)
  3. (− dfrac{3}{5})__(− dfrac{4}{5})
  4. (−4)__(− dfrac{10}{3})
Répondre à un

(>)

Réponse b

(<)

Réponse c

(>)

Réponse d

(<)

Concepts clés

  • Propriété de l'un
    • Tout nombre, sauf zéro, divisé par lui-même est un.
      (dfrac{a}{a}=1), où (a eq 0).
  • Numéros mixtes
    • Un nombre mixte se compose d'un nombre entier (a) et d'une fraction (dfrac{b}{c}) où (c eq 0).
    • Il s'écrit comme suit : (adfrac{b}{c}) (c eq 0)
  • Fractions correctes et impropres
    • La fraction (frac{a}{b}) est une fraction propre si (a
  • Convertir une fraction impropre en un nombre fractionnaire.
    1. Divisez le dénominateur dans le numérateur.
    2. Identifiez le quotient, le reste et le diviseur.
    3. Écrivez le nombre mixte sous la forme (dfrac{ ext{reste}}{ ext{divisor}}).
  • Convertir un nombre fractionnaire en fraction impropre.
    1. Multipliez le nombre entier par le dénominateur.
    2. Ajoutez le numérateur au produit trouvé à l'étape 1.
    3. Écrivez la somme finale sur le dénominateur original.
  • Propriété des fractions équivalentes
    • Si (a), (b) et (c) sont des nombres où (b eq 0), (c eq 0), alors (dfrac{a}{b} = dfrac{acdot c}{bcdot c}]).

Glossaire

fractions équivalentes

Les fractions équivalentes sont deux fractions ou plus qui ont la même valeur.

fraction

Une fraction s'écrit (dfrac{a}{b}). dans une fraction, (a) est le numérateur et (b) est le dénominateur. Une fraction représente des parties d'un tout. Le dénominateur (b) est le nombre de parties égales en lesquelles le tout a été divisé, et le numérateur (a) indique combien de parties sont incluses.

nombre mixte

Un nombre mixte se compose d'un nombre entier (a) et d'une fraction (dfrac{b}{c}) où (c eq 0). Il s'écrit (adfrac{b}{c}), où (c eq 0).

fractions propres et impropres

La fraction (dfrac{a}{b}) est propre si (ab).

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Dans les exercices suivants, ombrez des parties de cercles ou de carrés pour modéliser les fractions suivantes.

  1. (dfrac{1}{2})
  2. (dfrac{1}{3})
  3. (dfrac{3}{4})
  4. (dfrac{2}{5})
  5. (dfrac{5}{6})
  6. (dfrac{7}{8})
  7. (dfrac{5}{8})
  8. (dfrac{7}{10})

Dans les exercices suivants, utilisez des cercles de fractions pour former des touts, si possible, avec les pièces suivantes.

  1. 3 tiers
  2. 8 huitièmes
  3. 7 sixièmes
  4. 4 tiers
  5. 7 cinquièmes
  6. 7 quarts

Dans les exercices suivants, nommez les fractions impropres. Écris ensuite chaque fraction impropre sous forme de nombre fractionnaire.

Dans les exercices suivants, dessinez des cercles de fraction pour modéliser la fraction donnée.

  1. (dfrac{3}{3})
  2. (dfrac{4}{4})
  3. (dfrac{7}{4})
  4. (dfrac{5}{3})
  5. (dfrac{11}{6})
  6. (dfrac{13}{8})
  7. (dfrac{10}{3})
  8. (dfrac{9}{4})

Dans les exercices suivants, réécrivez la fraction impropre sous la forme d'un nombre fractionnaire.

  1. (dfrac{3}{2})
  2. (dfrac{5}{3})
  3. (dfrac{11}{4})
  4. (dfrac{13}{5})
  5. (dfrac{25}{6})
  6. (dfrac{28}{9})
  7. (dfrac{42}{13})
  8. (dfrac{47}{15})

Dans les exercices suivants, réécrivez le nombre fractionnaire sous forme de fraction impropre.

  1. (1 dfrac{2}{3})
  2. (1 dfrac{2}{5})
  3. (2 dfrac{1}{4})
  4. (2 dfrac{5}{6})
  5. (2 dfrac{7}{9})
  6. (2 dfrac{5}{7})
  7. (3 dfrac{4}{7})
  8. (3 dfrac{5}{9})

Dans les exercices suivants, utilisez des tuiles de fractions ou dessinez une figure pour trouver des fractions équivalentes.

  1. Combien de sixièmes égalent un tiers ?
  2. Combien de douzièmes égalent un tiers ?
  3. Combien de huitièmes égalent trois quarts ?
  4. Combien de douzièmes égalent trois quarts ?
  5. Combien de quarts égalent trois moitiés ?
  6. Combien de sixièmes égalent trois moitiés ?

Dans les exercices suivants, trouvez trois fractions équivalentes à la fraction donnée. Montrez votre travail, en utilisant des chiffres ou de l'algèbre.

  1. (dfrac{1}{4})
  2. (dfrac{1}{3})
  3. (dfrac{3}{8})
  4. (dfrac{5}{6})
  5. (dfrac{2}{7})
  6. (dfrac{5}{9})

Dans les exercices suivants, tracez les nombres sur une droite numérique.

  1. (dfrac{2}{3}, dfrac{5}{4}, dfrac{12}{5})
  2. (dfrac{1}{3}, dfrac{7}{4}, dfrac{13}{5})
  3. (dfrac{1}{4}, dfrac{9}{5}, dfrac{11}{3})
  4. (dfrac{7}{10}, dfrac{5}{2}, dfrac{13}{8}, 3)
  5. (2 dfrac{1}{3}, -2 dfrac{1}{3})
  6. (1 dfrac{3}{4}, -1 dfrac{3}{5})
  7. (dfrac{3}{4}, − dfrac{3}{4}, 1 dfrac{2}{3}, -1 dfrac{2}{3}, dfrac{5}{2} , − dfrac{5}{2})
  8. (dfrac{2}{5}, − dfrac{2}{5}, 1 dfrac{3}{4}, -1 dfrac{3}{4}, dfrac{8}{3} , − dfrac{8}{3})

Dans les exercices suivants, classez chacune des paires de nombres suivantes en utilisant < ou >.

  1. -1__(− dfrac{1}{4})
  2. -1__(− dfrac{1}{3})
  3. (−2 dfrac{1}{2})__− 3
  4. (−1 dfrac{3}{4})__− 2
  5. (− dfrac{5}{12})__(− dfrac{7}{12})
  6. (− dfrac{9}{10})__(− dfrac{3}{10})
  7. -3__(− dfrac{13}{5})
  8. -4__(− dfrac{23}{6})

Mathématiques de tous les jours

  1. Mesures musicales Une danse chorégraphiée est décomposée. Un compte (dfrac{1}{1}) a un pas dans un compte, un compte (dfrac{1}{2}) a deux pas dans un compte et un compte 1 3 a trois pas dans un compte. Combien y a-t-il d'étapes dans un compte (dfrac{1}{5}) ? Quel type de comptage comporte quatre étapes ?
  2. Mesures musicales Les fractions sont souvent utilisées en musique. Dans 4 4 temps, il y a quatre noires dans une mesure.
    1. Combien de mesures feraient huit noires ?
    2. La chanson "Happy Birthday to You" a 25 noires. Combien y a-t-il de mesures dans « Joyeux anniversaire ? »
  3. Pâtisserie Nina prépare cinq moules à fudge à servir après un récital de musique. Pour chaque casserole, elle a besoin de 1 2 tasse de noix.
    1. De combien de tasses de noix a-t-elle besoin pour cinq casseroles de fudge ?
    2. Pensez-vous qu'il est plus facile de mesurer ce montant lorsque vous utilisez une fraction impropre ou un nombre fractionnaire ? Pourquoi?

Exercices d'écriture

  1. Donnez un exemple tiré de votre expérience de vie (en dehors de l'école) où il était important de comprendre les fractions.
  2. Explique comment localiser la fraction impropre (dfrac{21}{4}) sur une droite numérique sur laquelle seuls les nombres entiers de 0 à 10 sont marqués.

Auto contrôle

(a) Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

(b) Si la plupart de vos chèques étaient :

… en toute confiance. Toutes nos félicitations! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées pour pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Être spécifique.

… avec un peu d'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de vous assurer d'avoir une base solide avant de passer à autre chose. A qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des tuteurs en mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées?

… non, je ne comprends pas ! Ceci est un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement ou vous serez rapidement débordé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour vous apporter l'aide dont vous avez besoin.


3.4 Fractions partielles

Cependant, nous ne disposons pas encore de technique permettant d'aborder des quotients arbitraires de ce type. Ainsi, il n'est pas immédiatement évident de savoir comment évaluer x 3 x x 2 − x − 2 d x . 3 x x 2 − x − 2 d x . Cependant, nous savons à partir du matériel développé précédemment que

En fait, en obtenant un dénominateur commun, on voit que

Dans cette section, nous examinons la méthode de décomposition en fractions partielles , qui nous permet de décomposer les fonctions rationnelles en sommes de fonctions rationnelles plus simples et plus facilement intégrées. En utilisant cette méthode, nous pouvons réécrire une expression telle que : 3 x x 2 − x − 2 3 x x 2 − x − 2 comme une expression telle que 1 x + 1 + 2 x − 2 . 1 x + 1 + 2 x − 2 .

Exemple 3.28

En intégrant ∫ P ( x ) Q ( x ) dx , ∫ P ( x ) Q ( x ) dx , où deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( x ) ) deg ( P ( x ) ) ≥ deg ( Q ( X ) )

Évaluer ∫ x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x . x 2 + 3 x + 5 x + 1 d x .

Solution

Médias

Visitez ce site Web pour un examen de la division longue des polynômes.

Facteurs linéaires non répétés

La preuve que de telles constantes existent dépasse le cadre de ce cours.

Dans cet exemple suivant, nous voyons comment utiliser des fractions partielles pour intégrer une fonction rationnelle de ce type.

Exemple 3.29

Fractions partielles avec facteurs linéaires non répétés

Évaluer ∫ 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x d x . 3 x + 2 x 3 − x 2 − 2 x d x .

Solution

Nous devons maintenant trouver ces constantes. Pour ce faire, nous commençons par obtenir un dénominateur commun à droite. Ainsi,

Maintenant, nous mettons les numérateurs égaux les uns aux autres, obtenant

Règle : Méthode d'équation des coefficients

L'équation des coefficients produit le système d'équations

Il est important de noter que le système produit par cette méthode est cohérent si et seulement si nous avons correctement mis en place la décomposition. Si le système est incohérent, il y a une erreur dans notre décomposition.

Règle : Méthode de substitution stratégique

Il est important de garder à l'esprit que si nous essayons d'utiliser cette méthode avec une décomposition qui n'a pas été configurée correctement, nous sommes toujours en mesure de trouver des valeurs pour les constantes, mais ces constantes n'ont pas de sens. Si nous choisissons d'utiliser la méthode de substitution stratégique, alors c'est une bonne idée de vérifier le résultat en recombinant les termes algébriquement.

L'évaluation de l'intégrale nous donne

Dans l'exemple suivant, nous intégrons une fonction rationnelle dans laquelle le degré du numérateur n'est pas inférieur au degré du dénominateur.

Exemple 3.30

Diviser avant d'appliquer des fractions partielles

Évaluer ∫ x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 d x . x 2 + 3 x + 1 x 2 − 4 d x .

Solution

Ensuite, nous effectuons une décomposition en fractions partielles sur 3 x + 5 x 2 − 4 = 3 x + 5 ( x + 2 ) ( x − 2 ) . 3 x + 5 x 2 − 4 = 3 x + 5 ( x + 2 ) ( x − 2 ) . On a

En réécrivant l'intégrale d'origine, on a

L'évaluation de l'intégrale produit

Comme nous le voyons dans l'exemple suivant, il peut être possible d'appliquer la technique de décomposition en fractions partielles à une fonction non rationnelle. L'astuce consiste à convertir la fonction non rationnelle en une fonction rationnelle par une substitution.

Exemple 3.31

Application de fractions partielles après une substitution

Évaluer ∫ cos x sin 2 x − sin x d x . cos x sin 2 x − sin x d x .

Solution

En appliquant la décomposition en fractions partielles à 1 / u ( u − 1 ) 1 / u ( u − 1 ) donne 1 u ( u − 1 ) = − 1 u + 1 u − 1 . 1 u ( u − 1 ) = − 1 u + 1 u − 1 .

Évaluer ∫ x + 1 ( x + 3 ) ( x − 2 ) d x . x + 1 ( x + 3 ) ( x − 2 ) d x .

Facteurs linéaires répétés

Pour certaines applications, nous devons intégrer des expressions rationnelles qui ont des dénominateurs avec des facteurs linéaires répétés, c'est-à-dire des fonctions rationnelles avec au moins un facteur de la forme ( ax + b ) n , ( ax + b ) n , où nn est un nombre positif entier supérieur ou égal à 2 . 2 . Si le dénominateur contient le facteur linéaire répété ( a x + b ) n , ( a x + b ) n , alors la décomposition doit contenir

Comme nous le voyons dans notre exemple suivant, la technique de base utilisée pour résoudre les coefficients est la même, mais elle nécessite plus d'algèbre pour déterminer les numérateurs des fractions partielles.

Exemple 3.32

Fractions partielles avec facteurs linéaires répétés

Évaluer ∫ x − 2 ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) d x . x − 2 ( 2 x − 1 ) 2 ( x − 1 ) d x .

Solution

Après avoir obtenu un dénominateur commun et égalisé les numérateurs, nous avons

Nous utilisons ensuite la méthode d'égalisation des coefficients pour trouver les valeurs de A , A , B , B et C . C.

Établir la décomposition en fractions partielles pour ∫ x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x − 4 ) 2 d x . x + 2 ( x + 3 ) 3 ( x − 4 ) 2 d x . (Ne pas résoudre pour les coefficients ou terminer l'intégration.)

La méthode générale

Maintenant que nous commençons à avoir une idée du fonctionnement de la technique de décomposition en fractions partielles, décrivons la méthode de base dans la stratégie de résolution de problèmes suivante.

Stratégie de résolution de problèmes

Stratégie de résolution de problèmes : décomposition en fractions partielles

Pour décomposer la fonction rationnelle P ( x ) / Q ( x ) , P ( x ) / Q ( x ) , procédez comme suit :

Facteurs quadratiques simples

Voyons maintenant intégrer une expression rationnelle dont le dénominateur contient un facteur quadratique irréductible. Rappelons que l'axe quadratique 2 + bx + cax 2 + bx + c est irréductible si ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx + c = 0 n'a pas de vrais zéros, c'est-à-dire si b 2 − 4 ac < 0 . b 2 − 4 a c < 0 .

Exemple 3.33

Expressions rationnelles avec un facteur quadratique irréductible

Évaluer ∫ 2 x − 3 x 3 + x d x . 2 x − 3 x 3 + x d x .

Solution

Après avoir obtenu un dénominateur commun et égalisé les numérateurs, nous obtenons l'équation

En remplaçant dans l'intégrale, on obtient

Exemple 3.34

Fractions partielles avec un facteur quadratique irréductible

Solution

Après avoir obtenu un dénominateur commun et égalisé les numérateurs, cela devient

En appliquant l'une ou l'autre méthode, nous obtenons A = 1 12 , B = − 1 12 , et C = − 1 3 . A = 1 12 , B = − 1 12 , et C = − 1 3 .

La substitution dans l'intégrale d'origine et la simplification donnent

Ici encore, on peut laisser tomber la valeur absolue si on le souhaite, puisque x 2 + 2 x + 4 > 0 x 2 + 2 x + 4 > 0 pour tout x . X .

Exemple 3.35

Trouver un volume

Trouvez le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner la région délimitée par le graphique de f ( x ) = x 2 ( x 2 + 1 ) 2 f ( x ) = x 2 ( x 2 + 1 ) 2 et le X-axe sur l'intervalle [ 0 , 1 ] [ 0 , 1 ] autour du oui-axe.

Solution

Commençons par esquisser la région à faire pivoter (voir Figure 3.11). D'après le croquis, nous voyons que la méthode shell est un bon choix pour résoudre ce problème.

Trouver un dénominateur commun et égaliser les numérateurs donne

Établir la décomposition en fractions partielles pour ∫ x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 d x . x 2 + 3 x + 1 ( x + 2 ) ( x − 3 ) 2 ( x 2 + 4 ) 2 d x .

Section 3.4 Exercices

Exprimez la fonction rationnelle comme la somme ou la différence de deux expressions rationnelles plus simples.

1 x 4 − 1 = 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + 1 ) 1 x 4 − 1 = 1 ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x 2 + 1 )

3 x 2 x 3 − 1 = 3 x 2 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 ) 3 x 2 x 3 − 1 = 3 x 2 ( x − 1 ) ( x 2 + x + 1 )

3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2 3 x 4 + x 3 + 20 x 2 + 3 x + 31 ( x + 1 ) ( x 2 + 4 ) 2

Utilisez la méthode des fractions partielles pour évaluer chacune des intégrales suivantes.

d x x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 ) ∫ d x x ( x − 1 ) ( x − 2 ) ( x − 3 )

∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x ∫ 2 x 2 + 4 x + 22 x 2 + 2 x + 10 d x

Évaluer les intégrales suivantes, qui ont des facteurs quadratiques irréductibles.

2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x ∫ 2 ( x − 4 ) ( x 2 + 2 x + 6 ) d x

x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x ∫ x 3 + 6 x 2 + 3 x + 6 x 3 + 2 x 2 d x

x ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x ∫ x ( x − 1 ) ( x 2 + 2 x + 2 ) 2 d x

Utilisez la méthode des fractions partielles pour évaluer les intégrales suivantes.

∫ 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 − x ) d x ∫ 3 x + 4 ( x 2 + 4 ) ( 3 − x ) d x

Utilisez la substitution pour convertir les intégrales en intégrales de fonctions rationnelles. Utilisez ensuite des fractions partielles pour évaluer les intégrales.

∫ sin x cos 2 x + cos x − 6 d x ∫ sin x cos 2 x + cos x − 6 d x

∫ cos x sin x ( 1 − sin x ) d x ∫ cos x sin x ( 1 − sin x ) d x

Utilisez la substitution donnée pour convertir l'intégrale en une intégrale d'une fonction rationnelle, puis évaluez.

Trouver le volume du solide généré lorsque la région délimitée par y = 1 / x ( 3 − x ) , y = 1 / x ( 3 − x ) , y = 0 , y = 0 , x = 1 , x = 1 , et x = 2 x = 2 tourne autour du X-axe.

La vitesse d' une particule se déplaçant le long d' une ligne est une fonction du temps donnée par v ( t ) = 88 t 2 t 2 + 1 . v ( t ) = 88 t 2 t 2 + 1 . Trouvez la distance parcourue par la particule après t = 5 t = 5 sec.

Résoudre le problème de la valeur initiale pour X en tant que fonction de t.

( t 2 − 7 t + 12 ) d x d t = 1 , ( t > 4 , x ( 5 ) = 0 ) ( t 2 − 7 t + 12 ) d x d t = 1 , ( t > 4 , x ( 5 ) = 0 )

( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > − 5 , x ( 1 ) = tan 1 ( t + 5 ) d x d t = x 2 + 1 , t > − 5 , x ( 1 ) = tan 1

( 2 t 3 − 2 t 2 + t − 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0 ( 2 t 3 − 2 t 2 + t − 1 ) d x d t = 3 , x ( 2 ) = 0

Trouvez le X-coordonnée du centre de gravité de la zone délimitée par

Trouvez le volume généré en faisant tourner l'aire délimitée par y = 1 x 3 + 7 x 2 + 6 x , x = 1 , x = 7 et y = 0 y = 1 x 3 + 7 x 2 + 6 x , x = 1 , x = 7 et y = 0 sur le oui-axe.

Évaluer l'intégrale d x x 3 + 1 . d x x 3 + 1 .

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    • Auteurs : Gilbert Strang, Edwin « Jed » Herman
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Calculus Volume 2
    • Date de parution : 30 mars 2016
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/calculus-volume-2/pages/3-4-partial-fractions

    © 21 décembre 2020 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    Multiplier et diviser des fractions

    Dans cette section, supposons que une, b, c, et sont tous des entiers non nuls. Le produit de deux fractions est la fraction formée par le produit des numérateurs et le produit des dénominateurs. En d'autres termes, pour multiplier des fractions, multipliez les numérateurs et multipliez les dénominateurs :

    Exemple 4 : Multiplier : 2 3 ⋅ 5 7 .

    Solution: Multipliez les numérateurs et multipliez les dénominateurs.

    Exemple 5 : Multiplier : 5 9 ( − 1 4 ) .

    Solution: Rappelons que le produit d'un nombre positif et d'un nombre négatif est négatif.

    Exemple 6 : Multiplier : 2 3 ⋅ 5 3 4 .

    Solution: Commencez par convertir 5 3 4 en une fraction impropre.

    Dans cet exemple, nous avons remarqué que nous pouvions réduire avant de multiplier les numérateurs et les dénominateurs. Réduire de cette manière est appelé annulation croisée. Annuler les facteurs communs au numérateur et au dénominateur des fractions avant de multiplier. , et peut gagner du temps lors de la multiplication de fractions.

    Deux nombres réels dont le produit est 1 sont appelés réciproques L'inverse d'un nombre non nul m est 1/m. . Par conséquent, a b et b a sont réciproques car a b ⋅ b a = a b a b = 1 . Par exemple,

    Parce que leur produit est 1, 2 3 et 3 2 sont réciproques. D'autres réciproques sont énumérés ci-dessous :

    Cette définition est importante car pour diviser des fractions, vous devez multiplier le dividende par l'inverse du diviseur.

    Exemple 7 : Diviser : 2 3 5 7 .

    Solution: Multipliez 2 3 par l'inverse de 5 7 .

    Vous devez également être conscient des autres formes de notation qui indiquent une division : / et -. Par exemple,

    Ce dernier est un exemple de fraction complexe Une fraction où le numérateur ou le dénominateur est constitué d'une ou plusieurs fractions. , qui est une fraction dont le numérateur, le dénominateur ou les deux sont des fractions.

    Les élèves demandent souvent pourquoi diviser équivaut à multiplier par l'inverse du diviseur. Une explication mathématique vient du fait que le produit des réciproques est 1. Si nous appliquons la propriété d'identité multiplicative et multiplions le numérateur et le dénominateur par l'inverse du dénominateur, alors nous obtenons ce qui suit :

    Avant de multiplier, recherchez les facteurs communs pour annuler cela élimine le besoin de réduire le résultat final.

    Exemple 8 : Diviser : 5 2 7 4 .

    Lors de la division par un entier, il est utile de le réécrire sous la forme d'une fraction sur 1.

    Exemple 9 : Diviser : 2 3 6 .

    Solution: Réécrivez 6 comme 6 1 et multipliez par son inverse.

    Notez également que nous n'annulons que lorsque nous travaillons avec la multiplication. Réécrivez tout problème de division en tant que produit avant annulation.

    Essaye ça! Diviser : 5 2 3 5 .

    Solution vidéo


    3.3 : Visualiser les fractions (partie 2)


    Addition et soustraction de fractions

    Dans cette addition et soustraction de fractions est couvert avec ce qui suit.

    • additionner ou soustraire les numérateurs de fractions similaires
    plan de leçon

    En nombres entiers, nous avions étudié ce qui suit.

    Ajout - Premiers principes : Deux nombres sont considérés, chacun représentant un comptage ou une mesure. Les quantités représentées par les nombres sont combinées pour former un résultat représentant un comptage ou une mesure combiné. Le comptage ou la mesure combinés est le résultat de l'addition.

    ex : 20 20 et 13 13 sont combinés ensemble 20 + 13 = 33 20 + 13 = 33 .

    13 13 est aussi un ajouter

    Soustraction - Premiers principes : Deux nombres sont considérés, chacun représentant un comptage ou une mesure. A partir d'un montant représenté par le premier nombre, le montant représenté par le second est soustrait pour former un résultat représentant le montant restant. Le compte ou la mesure du montant restant est le résultat de la soustraction.

    20 20 est le minute

    13 13 est le soustraire

    7 7 est le différence

    Il y a deux fractions représentées dans la figure en deux couleurs. La somme de ces deux fractions n'est pas une simple addition de 3 3 et 2 2 , car les fractions ont des valeurs de position différentes. Examinons les problèmes d'addition de fractions.

    Considérez deux autres fractions représentées dans les parties colorées. La valeur de position des deux fractions est donnée. Les fractions sont 3 8 3 8 et 2 8 2 8 . Puisque les valeurs de position sont les mêmes, nous pouvons additionner les nombres. Le montant combiné est de 5 5 pièces en valeur en place 8 8 . C'est la fraction 5 8 5 8 .

    Étant donné deux fractions 1 4 1 4 et 3 8 3 8 dans la figure. Ceux-ci peuvent-ils être combinés?

    Les quantités combinées ne sont pas la somme du nombre de pièces, car la pièce 1 1 de 1 4 1 4 est le double de la taille de 1 1 pièce de 3 8 3 8 . Il est donc préférable de convertir les fractions en morceaux de mêmes tailles.

    Étant donné deux fractions 1 4 1 4 et 3 8 3 8 dans la figure, la fraction 1 4 1 4 est convertie en fraction équivalente 2 8 2 8 .

    La valeur de position des fractions est la même, ou en d'autres termes, la taille des morceaux est la même.

    Maintenant, les pièces peuvent être comptées. La somme est calculée comme 2 8 + 3 8 = 5 8 2 8 + 3 8 = 5 8 .

    Pour additionner les deux fractions, les fractions sont d'abord converties en fractions similaires.

    Considérez deux autres fractions représentées dans les parties colorées. La valeur de position des deux fractions est donnée. Les fractions sont 3 8 3 8 et 2 8 2 8 .

    Soustraction de 2 8 2 8 de 3 8 3 8 : 3 8 − 2 8 3 8 - 2 8 . Puisque les valeurs de position ou les dénominateurs sont égaux, nous pouvons soustraire les comptes. Le montant restant est de 1 1 pièce en valeur en place 1 8 1 8 . C'est la fraction 1 8 1 8 .

    Considérez les deux fractions de la figure, 3 8 3 8 et 1 4 1 4 . Ceux-ci peuvent-ils être soustraits ?

    Comme le 1 1 morceau de 1 4 1 4 est le double de 1 1 morceau de 3 8 3 8 , ceux-ci ne peuvent pas être soustraits directement. Ainsi, les fractions sont converties en valeurs de même position.

    Étant donné deux fractions 3 8 3 8 et 1 4 1 4 dans la figure, la fraction 1 4 1 4 est convertie en fraction équivalente 2 8 2 8 . Les valeurs de position ou dénominateurs des fractions sont égales, ou en d'autres termes, la taille des morceaux est la même.

    Maintenant, les morceaux peuvent être emportés. La différence est calculée comme 3 8 − 2 8 = 1 8 3 8 - 2 8 = 1 8 .

    Pour soustraire les deux fractions, les fractions sont d'abord converties en fractions similaires.

    Convertissez les fractions en « fractions similaires » (ayant la même valeur de position) pour ajouter ou soustraire des numérateurs.

    Les fractions sont des nombres dirigés avec des valeurs positives et négatives.

    Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que les fractions positives lors de l'apprentissage de l'addition et de la soustraction. Considérons maintenant l'addition et la soustraction de fractions positives et négatives.

    Addition d'entiers -- Premiers principes : L'addition dirigée de nombres entiers combine les deux montants avec les informations de direction prises en compte.

    Les exemples sont :
    • reçu : 3 reçu : 3 + reçu : 2 reçu : 2 = reçu : 5 reçu : 5
    3 + 2 = 5 3 + 2 = 5

    • reçu : 3 reçu : 3 + donné : 2 donné : 2 = reçu : 1 reçu : 1
    3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1 3 + ( − 2 ) = 3 − 2 = 1

    • donné : 3 donné : 3 & reçu : 2 reçu : 2 = donné : 1 donné : 1
    − 3 + 2 = − 1 - 3 + 2 = - 1

    • reçu : 3 reçu : 3 & donné : 5 donné : 5 = donné : 2 donné : 2
    3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2 3 + ( − 5 ) = 3 − 5 = − 2

    • donné : 3 donné : 3 + donné : 2 donné : 2 = donné : 5 donné : 5
    − 3 + ( − 2 ) = − 5 − 3 + ( − 2 ) = − 5

    addition de fractions dirigées

    Additionner deux fractions − 1 4 - 1 4 et 1 2 1 2 .

    Les fractions sont différentes des fractions et sont donc d'abord converties en fractions similaires.
    − 1 4 = donné : 1 4 - 1 4 = donné : 1 4
    1 2 = reçu : 2 4 1 2 = reçu : 2 4

    Étant donné 1 compte et reçu 2 comptes ensemble, 1 compte est reçu.

    Donc, − 1 4 + 1 2 = + 1 4 - 1 4 + 1 2 = + 1 4

    Additionner deux fractions 1 4 1 4 et − 1 2 - 1 2 .

    Les fractions données sont différentes des fractions et sont donc converties en fractions similaires.

    1 4 = reçu : 1 4 1 4 = reçu : 1 4
    − 1 2 = donné : 2 4 - 1 2 = donné : 2 4

    Reçu 1 1 compte et donné 2 2 comptes ensemble est donné 1 1 compte.

    Donc, 1 4 + − 1 2 = − 1 4 1 4 + - 1 2 = - 1 4

    Additionner deux fractions − 1 4 - 1 4 et − 1 2 - 1 2 .

    Les fractions similaires au format dirigé sont
    − 1 4 = donné : 1 4 - 1 4 = donné : 1 4
    − 1 2 = donné : 2 4 - 1 2 = donné : 2 4

    Compte tenu de 1 1 compte et étant donné 2 2 comptes ensemble est donné 3 3 comptes.

    Donc, − 1 4 + − 1 2 = − 3 4 - 1 4 + - 1 2 = - 3 4

    à emporter numéros dirigés

    Soustraction d'entiers -- Premiers principes : La soustraction dirigée de nombres entiers enlève un montant à un autre avec les informations de direction prises en compte.

    Les exemples sont :
    • de reçu : 5 reçu : 5 , retrancher reçu : 2 reçu : 2 est équivalent, combiner reçu : 5 reçu : 5 et donné : 2 donné : 2
    5 − 2 = 5 + ( − 2 ) 5 - 2 = 5 + ( - 2 )
    • de reçu : 5 reçu : 5 , en retirant donné : 2 donné : 2 est équivalent, combinant reçu : 5 reçu : 5 et reçu : 2 reçu : 2
    5 − ( − 2 ) = 5 + ( + 2 ) 5 - ( - 2 ) = 5 + ( + 2 )
    • de donné : 5 donné : 5 , retrancher reçu : 2 reçu : 2 est équivalent, combiner donné : 5 donné : 5 et donné : 2 donné : 2
    ( − 5 ) − 2 = ( − 5 ) + ( − 2 ) ( - 5 ) - 2 = ( - 5 ) + ( - 2 )
    • de donné : 5 donné : 5 , retrancher donné : 2 donné : 2 est équivalent, combiner donné : 5 donné : 5 et reçu : 2 reçu : 2
    ( − 5 ) − ( − 2 ) = ( − 5 ) + ( + 2 ) ( - 5 ) - ( - 2 ) = ( - 5 ) + ( + 2 )

    enlever les fractions dirigées

    Soustraction − 1 4 − 1 2 - 1 4 - 1 2 .

    Les fractions données sont différentes des fractions et sont donc converties en fractions similaires.

    La soustraction est convertie en addition. = − 1 4 + − 2 4 = - 1 4 + - 2 4

    Addition de fractions : premiers principes L'addition n'est effectuée que lorsque les additions sont comme des fractions.

    Toutes les fractions différentes sont converties en fractions similaires pour effectuer l'addition.

    Les fractions sont des nombres dirigés, ayant des valeurs positives et négatives. L'information de direction est prise en compte lors de l'exécution de l'addition.

    Soustraction de Fractions : premiers principes La soustraction par soustraction est l'addition de l'inverse additif de la soustraction.

    Nous avons appris l'addition et la soustraction de fractions dans les premiers principes. En nombres entiers et entiers, nous avons étudié des procédures simplifiées. Passons en revue ces procédures et développons une procédure simplifiée pour l'addition et la soustraction de fractions.

    En nombres entiers, nous avions étudié ce qui suit.

    Addition par valeur de lieu avec regroupement -- procédure simplifiée : Deux numéros sont ajoutés selon la procédure suivante :

    • les positions de valeur de position sont rangées unités sous unités, 10 10 s sous 10 10 s, etc.

    • les unités sont additionnées et si le résultat a 10 10 nombres, alors il est reporté à la place des 10 10 s.

    • L'addition se poursuit jusqu'à la position de valeur de position supérieure. Le report est la simplification consistant à combiner 10 10 d'une valeur de position à une valeur de position supérieure.

    Ajout d'entiers Procédure simplifiée : Deux nombres de signe positif ou négatif sont additionnés comme suit.

    signe-propriété d'addition

    • +ve + + +ve est l'addition d'un nombre entier

    • +ve + + -ve est la soustraction comme indiqué ci-dessous
    les valeurs absolues des deux nombres sont comparées
    soustraire le nombre de plus petite valeur absolue du nombre de plus grande valeur absolue. La différence est la valeur absolue du résultat.
    le signe du résultat est le signe du nombre avec la plus grande valeur absolue

    • -ve + + -ve est l'addition de valeurs absolues de signe négatif.

    L'addition ou la soustraction de valeurs absolues dans la procédure sont détaillées dans addition par valeur de position et soustraction par valeur de position

    Procédure simplifiée de soustraction d'entiers : Signe-Propriété de la soustraction d'entiers :

    La soustraction d'entiers est traitée comme une addition d'entiers avec des additions (a) minuend et (b) le négatif de subtrahend.

    minuend - soustraire minuend - soustraire
    = minuend comme addend = minuend comme addend + négatif de subtrahend comme addend + négatif de subtrahend comme addend

    Convertir des fractions différentes en fractions similaires La simplification procédurale est la suivante.
    Deux fractions p q p q et l m l m sont données. Trouvez le LCM des dénominateurs q q et m m tels que LCM = q × i = m × j LCM = q × i = m × j . Convertissez ensuite les fractions en fractions équivalentes p × i q × i p × i q × i et l × j m × j l × j m × j . Ce sont comme des fractions.

    Addition ou soustraction de fractions : procédure simplifiée Convertissez les fractions différentes en fractions similaires et ajoutez/soustrayez les numérateurs sous forme d'entiers.

    L'addition et la soustraction du numérateur utilise ce qui suit à partir de nombres entiers et d'entiers

    • Ajout de la propriété du signe de l'entier

    • La soustraction est l'addition d'un additif inverse

    • Nombres entiers addition par valeur de lieu

    Trouvez la somme de 323 999 323 999 et 297 999 297 999 .
    La réponse est " 620 999 620 999 ".

    Ce problème utilise les procédures suivantes
    Nombre entier Addition par valeur de position

    Trouvez la somme de − 3 8 - 3 8 et 2 6 2 6 .
    La réponse est " - 1 24 - 1 24 ".

    Ce problème utilise les procédures suivantes
    conversion en fractions semblables
    signe propriété de l'addition d'entiers

    Trouvez la somme de 1 1 et − 1 4 - 1 4 .
    La réponse est " 3 4 3 4 ". Pour résoudre ce problème, les fractions sont converties en fractions similaires et la propriété signée de l'addition d'entiers est utilisée.

    Trouvez la différence de − 3 8 − 2 6 - 3 8 - 2 6 .
    La réponse est " − 17 24 - 17 24 "

    Ce problème utilise les procédures suivantes
    conversion en fractions semblables
    conversion de la soustraction en addition du négatif de la soustraction
    signe propriété de l'addition d'entiers

    Trouver la somme de 1 − − 1 4 1 - - 1 4
    La réponse est " 1 1 4 1 1 4 ".

    » Convertissez les fractions en fractions similaires et ajoutez des numérateurs
    → la soustraction est l'inverse de l'addition
    3 4 + 2 3 3 4 + 2 3
    = 9 12 + 8 12 = 9 12 + 8 12
    = 17 12 = 17 12

    Addition ou soustraction de fractions : procédure simplifiée Convertissez les fractions différentes en fractions semblables et ajoutez/soustrayez les numérateurs.

    L'addition et la soustraction du numérateur utilise ce qui suit à partir de nombres entiers et d'entiers


    Fractions de base : soustraction de fractions (partie 2)

    Dans cette section, vous apprendrez à soustraire une fraction d'un nombre mixte ou d'un nombre entier.

    Veuillez consulter ces sections si nécessaire :

    Soustraire une fraction d'un nombre mixte

    Notez que les fractions ont les mêmes dénominateurs et que la première fraction est plus grande que la seconde :

    Étape 1 : Notez le nombre entier sans le changer.

    Étape 2 : Effectuez la soustraction des fractions.

    Étape 3 : Ajoutez le résultat au nombre entier que vous avez écrit précédemment :

    Dans cet exemple, les fractions ont les mêmes dénominateurs mais la première fraction est plus petite que la seconde.

    La première étape consiste à modifier le nombre mixte comme ceci :

    Réduisez le nombre entier de 1.
    Changez le 1 en une fraction à ajouter à sa fraction d'origine.
    Vous avez maintenant un nouveau nombre fractionnaire avec une fraction impropre.

    Ce qui est facile à soustraire !

    Dans cet exemple, les fractions ont des dénominateurs différents ou dissemblables .

    La première chose à faire est de changer les fractions en leurs formes de fractions équivalentes afin qu'elles aient des dénominateurs similaires.

    Parcourez les tables de multiplication pertinentes jusqu'à ce que vous ayez un multiple commun. Dans cet exemple, le multiple commun est 15.

    Utilisez les fractions équivalentes pour soustraire :

    Remarque : si la première fraction est plus petite que la seconde, suivez la procédure de l'exemple 2 ci-dessus.

    Soustraire une fraction d'un nombre entier

    L'idée principale pour soustraire une fraction d'un nombre entier est de diviser l'un des nombres entiers en le nombre requis de portions.


    3.3 : Visualiser les fractions (partie 2)

    Travailler avec les quilles de fractions et les cercles de fractions a donné aux élèves l'occasion d'explorer les fractions en utilisant à la fois leurs sens visuel et tactile. Cette exploration fournit aux élèves une façon concrète (la méthode) d'utiliser le matériel aussi souvent que nécessaire pour arriver à comprendre le concept. L'étape suivante consiste à associer la quantité au symbole. Le symbole, ou la forme écrite de la fraction, est le concept d'apprentissage le plus abstrait, qui a été soutenu par l'apprentissage expérientiel qui a eu lieu avec les quilles et les encarts.

    Les équivalences (ou équivalents) de fractions sont des fractions qui représentent le même montant. Cependant, ils s'écrivent différemment car le tout n'est pas divisé en le même nombre de parties. Par exemple, 2/4 équivaut à 4/8, mais dans le premier cas le tout est divisé en quarts tandis que dans le second cas il est divisé en huitièmes.

    Les élèves des années 1 à 3 trouvent des équivalences en manipulant les cercles de fractions. Cela limite le nombre d'équivalences qu'ils peuvent trouver. Les ensembles d'équivalences qui peuvent être représentés à l'aide de cercles de fractions sont indiqués dans le tableau ci-dessous.

    Pour mieux comprendre le concept de numérateur et de dénominateur et voir comment les fractions sont écrites à l'aide de symboles.

    Cercles de fractions
    Petits bouts de papier
    Stylo ou crayon
    Carnets de mathématiques et crayons

    La plupart des enseignants Montessori présentent ce concept en année 1 et le révisent en année 2 et au besoin en année 3.
    - Invitez un élève à continuer à se renseigner sur les numérateurs et les dénominateurs et sur la façon dont les fractions s'écrivent.
    - Demander à l'élève de prendre les cercles de fractions et de les positionner en haut de la zone de travail.
    - Dites : « Quand nous écrivons une fraction, nous traçons une ligne ». Tracez une ligne sur une feuille de papier et pointez-la dessus. Rappelez à l'élève que cette ligne s'appelle le fractus.
    - Dites, nous écrivons un nombre en haut et un nombre en bas. » Écrivez un nombre en haut et un nombre en bas. Utilisez une fraction simple que l'élève a déjà entendue, comme 1/2.
    - Dites : « Nous avons appris que le nombre en bas nous indique la famille de fractions et le nombre de morceaux en lesquels le tout est divisé. C'est ce qu'on appelle le dénominateur ».
    - Encouragez l'élève à pointer vers le cercle de fraction représenté par le dénominateur. Pour la fraction 1/2, ce sera la famille des moitiés et le Cercle de Fraction pour les moitiés.
    - Dites : "Le nombre en haut nous indique combien de pièces sont prises en compte. C'est ce qu'on appelle le numérateur."
    - Demander à l'élève de sortir le(s) encadré(s) de fraction qui représentent le numérateur. Pour la fraction 1/2, l'élève retirera une des moitiés.
    - Demander à l'élève élève de placer le(s) morceau(x) de fraction sur la table ou le tapis pour faire la fraction. Pour la fraction 1/2, l'élève placera simplement un morceau de fraction sur le tapis. Pour une fraction telle que 2/5, l'élève placera côte à côte le nombre correspondant d'encarts de fraction.
    - Répétez avec d'autres fractions jusqu'à ce que l'élève comprenne bien comment les fractions sont écrites.
    - Demander à l'élève d'écrire une fraction dans son journal. Demandez-lui d'étiqueter le nombre supérieur « numérateur » et le nombre inférieur « dénominateur ». Les élèves plus jeunes peuvent simplement les étiqueter « N » et « D ».
    - En 2e et 3e années, demander à l'élève d'écrire la définition du numérateur, du fractus et du dénominateur dans son journal. Dénominateur : en combien de morceaux le tout est brisé. Numérateur : Combien de pièces sont prises en compte. Fractus : La ligne entre le numérateur et le dénominateur.

    Dans la classe, trouvez trois éléments ou groupes entiers et nommez les fractions qu'ils contiennent.
    Exemple : L'ensemble complet de chaises contient dix chaises, trois vertes et sept noires. Dans ce cas, 3/10 des chaises sont vertes et 7/10 sont noires.
    Exemple : Toute la classe a trois portes, deux fermées et une ouverte. Dans ce cas, 2/3 des portes sont fermées et 1/3 sont ouvertes.

    Apprendre à associer la quantité à la forme écrite pour les fractions 1/1 à 10/10

    Cercles de fractions
    Feuillets de fractions
    Carnets de mathématiques et crayons

    La plupart des enseignants Montessori présentent ce concept en année 1 et le révisent en année 2 et au besoin en année 3.
    - Inviter un élève à en apprendre davantage sur les fractions sous forme écrite. Demandez à l'élève de récupérer les cercles de fractions et de les placer sur une seule rangée en haut de la zone de travail.
    Noter: Il peut être nécessaire d'enseigner les symboles en plus d'une session.

    Partie 1 : Associer la quantité au symbole, 1/1 à 1/10

    - Disposez les tickets fractionnés du 1/1 au 1/10 sur la table ou le tapis sans ordre particulier.
    - Retirez l'ensemble du cercle de fractions du cadre et dites : « Ceci est un tout. »
    - Demander à l'élève s'il sait quel ticket de fraction représente un entier (1/1). S'il ne le sait pas, placez le ticket de fraction 1/1 à côté de tout l'encart.
    - Expliquez comment la forme écrite de la fraction 1/1 est égale à 1 (un entier). Expliquez plus en détail comment la fraction 1/1 signifie réellement que le numérateur de 1 est divisé par le dénominateur de 1.
    - Demandez-lui ce que 1 divisé par 1 est égal à (1). Confirmez qu'il a raison.
    - Invitez-le à déplacer le ticket de fraction pour 1/1 en dessous de l'encart.
    - Demander à l'élève de recopier le symbole d'un tout dans son journal de mathématiques.
    - Demander à l'élève de retirer les moitiés de l'encart du cadre et de le placer sous la planche et à droite de tout l'encart.
    - Encouragez l'élève à trouver le ticket de fraction pour le morceau de fraction.
    - Si nécessaire, aidez l'élève en lui rappelant le dénominateur (la famille de fractions) et le numérateur, et combien de pièces (ou de membres de la famille) vous avez.
    - Lui demander de placer le ticket de fraction sous la pièce de fraction.
    - S'assurer qu'il a raison.
    - Demander à l'élève de recopier le symbole pour une moitié dans son journal de mathématiques.
    - Continuer de la même manière avec les fractions 1/3 à 1/10.

    Partie 2 : Associer la quantité au symbole, 1/1 à 1/10

    Disposez les billets fractionnés du 1/1 au 10/10 sur la table ou le tapis afin que l'élève puisse voir chacun d'eux. L'enseignant peut souhaiter disposer des billets sélectionnés (par exemple, des billets à dix fractions) plutôt que tous pour permettre à l'élève de trouver plus facilement le bon billet.
    - À l'aide des pièces Fraction Circle, construisez une fraction telle que 4/7.
    - Inviter l'élève à trouver le ticket correspondant et à le placer sous les morceaux de fraction.
    - Si nécessaire, aidez l'élève en lui rappelant le dénominateur et la famille de fractions, ainsi que le numérateur et le nombre de pièces (ou de membres de la famille) dont vous disposez.
    - Demander à l'élève de dire le nom de la fraction, par exemple quatre septièmes, puis d'écrire la fraction dans son journal de mathématiques.
    - Encourager l'élève à replacer les morceaux de fraction dans leur cadre et à remettre le ticket de fraction dans le panier.
    - Continuez comme ci-dessus avec d'autres fractions (par exemple, 5/5), en encourageant l'élève à trouver les billets de fraction correspondants.
    Noter: Lorsque l'élève est capable de faire correspondre les billets aux fractions, rangez les billets et demandez à l'élève d'écrire les fractions à la place.

    Avec un camarade de classe, construisez des fractions à étiqueter.

    Apprendre à associer la forme écrite à la quantité pour les fractions 1/1 à 10/10

    Cercles de fractions
    Billets fractionnés
    Carnets de mathématiques et crayons

    La plupart des enseignants Montessori présentent ce concept en année 1 et le révisent en année 2 et au besoin en année 3.

    - Inviter un élève à poursuivre son apprentissage des fractions sous forme écrite.
    Noter: Il peut être nécessaire d'étaler cette présentation sur deux ou plusieurs séances selon la rapidité avec laquelle l'étudiant saisit le concept.

    Partie 1 : Associer le symbole à la quantité, 1/1 à 1/10

    - Demander à l'élève de choisir un billet dans le panier (ex : 1/4).
    - Demander à l'élève de lire la fraction à voix haute. Coachez-le si besoin.
    - Inviter l'élève à faire la fraction qui correspond au ticket en enlevant le cadre approprié du tableau et en le plaçant sur le tapis. Au besoin, discutez avec l'élève de la façon dont le dénominateur nous indique la famille de fractions et quel cadre choisir (quartiers). Ensuite, l'élève retirera le bon nombre de pièces (1) et le placera sur le tapis au-dessus du ticket de fraction.
    - Lorsque l'élève a correctement fait la fraction, demandez-lui de tracer les morceaux de fraction dans son journal de mathématiques, et étiquetez la fraction sous le dessin.
    - Demander à l'élève de remettre les fractions et le cadre au tableau.
    - Inviter l'élève à choisir un autre billet (ex : 1/7). Encouragez l'élève à continuer de la même manière jusqu'à ce qu'il soit compétent pour faire correspondre les fractions.

    Partie 2 : Associer le symbole à la quantité, 1/1 à 1/10

    - Inviter l'élève à choisir un billet dans le panier (ex : 7/10).
    - Demander à l'élève de lire la fraction à voix haute.
    - Encouragez l'élève à faire la fraction qui correspond au billet en retirant le cadre approprié du tableau pour représenter le dénominateur et en le plaçant sur le tapis (dixièmes).
    - Demander à l'élève de retirer le bon nombre de pièces pour représenter le numérateur (7), et de les placer ensemble au-dessus du ticket de fraction.
    - Confirmez qu'il a raison.
    - Demander à l'élève de tracer les fractions dans son journal de mathématiques et d'étiqueter la fraction sous le dessin.
    - Encouragez l'élève à remettre les morceaux de fractions et le cadre au tableau.

    Trouvez un camarade de classe avec qui vous entraîner à écrire des fractions. À tour de rôle, choisissez des billets fractionnés dans le panier et lisez-les les uns aux autres. La personne qui ne lit pas écrit correctement la fraction dans son journal.

    Utilisez une règle pour diviser une feuille de papier en trois colonnes. Dans la première colonne, écrivez une fraction en mots, par exemple, "une moitié". Dans la colonne du milieu, dessinez une image de la fraction, par exemple, en ombrant dans la moitié d'un cercle ou d'un carré. Dans la colonne de droite, écrivez le symbole de la fraction, par exemple 1/2. Utilisez une règle pour tracer une ligne horizontale sous le travail et continuez avec une autre fraction. Répétez cet exercice pour ces fractions un entier, un demi, trois quarts et des huitièmes fixes.

    Demandez à un élève de vous apporter de l'étagère à la fois le(s) encart(s) Fraction Circle et le ticket de fraction pour une fraction donnée (par exemple, 1/8).

    Pour apprendre à trouver des équivalences de fractions

    Cercles de fractions
    Carnets de mathématiques et crayons

    La plupart des enseignants Montessori présentent ce concept en année 1 et le révisent en année 2 et au besoin en année 3.

    Invitez un élève à apprendre à trouver des équivalences de fractions. Demandez à l'élève de récupérer les cercles de fractions et de les placer en haut de la zone de travail.

    Trouver des équivalences de 1/1

    - Déplacez les cadres et les encarts Fraction Circle pour un tout et des moitiés au milieu de la zone de travail.
    - Pointez sur chaque image et nommez-la.
    - Retirer tout l'encart du cadre et le positionner sous les cadres.
    - Démontrer à l'élève comment les deux moitiés s'emboîtent parfaitement à la place de tout l'encart.
    - Remettez les deux moitiés encarts dans le cadre des moitiés.
    - Descendre le cadre tiers et les encarts et positionner le cadre à droite des demi-cadres.
    - Demander à l'élève de trouver combien de tiers de pièces tiennent dans l'ensemble du cadre (3). Assurez-vous qu'elle a raison.
    - Demander à l'élève de continuer de la même manière pour toutes les fractions de cercles encarts jusqu'à 10/10.
    - Expliquez-lui que bien que le cadre soit composé de plusieurs parties, les parties couvrent le même espace donc nous appelons cela des fractions équivalentes (ou équivalences de fractions).
    - Demander à l'élève d'écrire ces fractions équivalentes dans son journal de mathématiques (par exemple, 1/1 = 2/2 - 3/3 = et ainsi de suite).
    - Encourager l'élève à remettre les encarts dans les cadres et les cadres au tableau.

    Trouver des équivalences de 1/2

    - Déplacez le cadre Fraction Circle et les inserts pour les moitiés au milieu de la zone de travail.
    - Pointez sur le cadre et nommez les encarts (moitiés).
    - Retirez une moitié de l'encart du cadre et replacez-la sur la planche. Le côté gauche du cadre reste vide afin qu'il puisse être rempli pour faire les équivalences.
    - Encourager l'élève à trouver des équivalences de 1/2, en utilisant les morceaux de fractions d'une seule image à la fois, en notant à chaque fois la fraction équivalente dans son journal.
    - Lorsque l'élève trouve une équivalence telle que 2/4 qui rentre dans le cadre avec les moitiés incrustées, encouragez l'élève à remarquer également que les moitiés incrustées s'insèrent dans l'espace laissé dans le quatrième cadre au tableau.
    - Encourager l'élève à trouver toutes les équivalences de 1/2. (Ils sont 2/4, 3/6, 4/8 et 5/10.)
    - Une fois que l'élève a trouvé toutes les équivalences de 1/2, invitez-le à remettre les encarts dans les cadres et le ou les cadres au tableau.

    Trouver des équivalences de 1/3, 1/4 et 1/5

    - Retirez le cadre du tiers de la planche et placez-le sur le tapis. Invitez l'élève à retirer un tiers du cercle de fractions et à le placer au tableau, en laissant un tiers du cercle de fractions ouvert pour recevoir les équivalences.
    - Encourager l'élève à rechercher des équivalences de 1/3, en notant à chaque fois les fractions équivalentes dans son journal. Ils sont 2/6 et 3/9.)
    - Une fois que l'élève a trouvé les deux équivalences pour 1/3, encouragez-le à remettre les encarts dans les cadres et le cadre au tableau.
    - Répétez l'exercice pour les quarts de Fraction Circle (1/4 = 2/8).
    - Répétez l'exercice pour les cinquièmes de Fraction Circle (1/5 = 2/10).

    Invitez un élève à utiliser les cercles de fractions pour trouver une équivalence pour chacune des fractions suivantes : 2/3, 3/4, 3/5.

    Demandez à un élève d'écrire toutes les équivalences de 1/2 sur une feuille de papier avec les numérateurs dans une colonne et les dénominateurs dans la colonne adjacente, comme illustré ci-dessous. Étudiez la régularité dans chaque colonne pour trouver les deux équivalences suivantes.


    Feuilles de calcul des fractions

    Plusieurs types de fiches de fractionnement sont disponibles dans les pages ci-dessous. Comprend des feuilles de calcul de fraction de base, des fractions équivalentes, la comparaison de fractions, l'ordre de fractions, etc.

    Jeux de fractions imprimables et feuilles de calcul imprimables Bandes de fractions manipulables, pizzas fractionnées imprimables, jeu de correspondance de mémoire, et plus encore.

    Cette page contient des feuilles de travail et des activités pour enseigner aux élèves les fractions équivalentes et réduire les fractions en termes les plus simples.

    Comparez et commandez des paires de fractions avec ces fiches de tâches, activités du centre d'apprentissage et feuilles de travail.

    Ces feuilles de calcul comportent toutes des fractions sur des droites numériques.

    Téléchargez et imprimez des activités sur le calcul des parties fractionnaires d'ensembles. (exemple : Qu'est-ce que 3/4 de 24 ?)

    Imprimables de nombres mixtes Inclut les nombres mixtes de base, ainsi que l'addition et la soustraction de nombres mixtes.

    Imprimez des feuilles de travail pour en savoir plus sur les fractions réciproques.


    Vidéos Face Time - Chapitre 4 (Unité 3)

    Vidéos d'aide sur les fractions 3.1 Fractions en décimales 3.1 Conversion de fractions en nombres décimaux avec une longue division ou une astuce intéressante pour les fractions 3.1 Conversion de nombres décimaux en fractions - partie 1 3.1 Conversion de nombres décimaux en fractions - Partie 2 3.2 Comparer des fractions 3.3 Ajouter et soustraire des décimales 3.3 Addition et soustraction (chanson courte) 3.3 Ajout de décimales (HELP) 3.3 Soustraction de décimales (HELP) 3.4 Multiplication de nombres décimaux à l'aide de grilles (Aide2) 3.4 Multiplication de nombres décimaux à l'aide de grilles (modèles/tableaux) 3.4 Multiplication de nombres décimaux à l'aide de grilles (modèles/tableaux) (Aide) 3.4 Multiplication de décimales 3.4 Multiplication de décimales (HELP-1) 3.4 Multiplication avec des décimales (HELP-2) 3.4 Multiplication avec des nombres décimaux (méthode de la boîte d'aide 3) 3.5 Division des décimales Division longue - AIDE 3.6 Ordre des opérations 3.6 Ordre des opérations avec décimales (K) 3.6 Division de décimales (HELP-1) 3.7 Relier les fractions, les décimales et le pourcentage (K) 3.8 Résolution des problèmes de pourcentage (K)

    Comment expliquer les fractions KS2 pour les enfants : aide à l'enseignement des mathématiques à la maison

    Quand il s'agit d'enseigner les mathématiques à la maison, vos enfants et vous aurez probablement du mal avec la plupart des fractions. Avec des mots comme numérateur, impropre, vinculum et autres qui font leur chemin dans les devoirs et les rapports scolaires, parfois même le nombre de termes relatifs aux fractions pour les enfants peut sembler un peu écrasant pour les parents.

    Savoir comment enseigner les fractions à votre enfant à la maison peut être difficile. Mais après avoir enseigné dans les écoles et dans les foyers, nous avons été là et l'avons fait et pouvons vous rassurer maintenant – il y a un moyen, vous n'avez qu'à le faire étape par étape.

    Fractions en bref – Les choses que vous avez peut-être oubliées depuis l'école !

    Nous comprenons que les fractions peuvent être frustrantes pour vous et votre enfant, alors voici tout ce que vous devez savoir à leur sujet en bref !

    Qu'est-ce qu'une fraction ?

    Les fractions sont utilisées pour représenter de plus petits morceaux (ou parties) d'un tout.

    Les parties peuvent constituer une chose, ou plus d'une chose. Quoi qu'il en soit, dans l'ensemble, ils constituent ce qu'on appelle un entier.

    Il est important de noter qu'un entier peut signifier plus d'une chose. Il est utile de penser à une confiserie comme une analogie. Pour partager un montant entier singulier, vous pouvez penser à une barre de chocolat, une barre à gâteau ou un muffin. Pour regrouper un montant en fractions, vous pouvez imaginer un sachet de bonbons – il y a beaucoup de bonbons dans le sachet, mais vous avez besoin de tous pour composer le entier sac.

    Quelle est la définition d'une fraction adaptée aux enfants ?

    Une définition simple d'une fraction pour les enfants est :

    Une fraction est une partie d'un groupe, un nombre ou un tout.

    Quelles sont les parties d'une fraction ?

    Une fraction a trois parties. Ils sont:

    Le numérateur qui est le nombre au-dessus de la barre.

    Le dénominateur qui est le nombre sous la barre.

    Le vinculum qui est la barre séparant les deux nombres.

    Qu'est-ce qu'une fraction unitaire ?

    Une fraction unitaire avec 1 comme numérateur (nombre du haut) et un nombre entier pour le dénominateur (nombre du bas).

    Qu'est-ce qu'une fraction non unitaire ?

    Une fraction non unitaire est une fraction avec un nombre supérieur à un comme numérateur (nombre du haut) et un nombre entier pour le dénominateur (nombre du bas).

    Utiliser des objets pour visualiser des fractions

    Lorsque vous commencez à enseigner aux enfants les fractions, les objets ou les images d'objets sont un excellent moyen de comprendre leur fonctionnement.

    Commencez avec des objets concrets, comme de la nourriture ou des comptoirs – vous pouvez utiliser des morceaux de pâtes ou des haricots secs à la place des comptoirs – puis dessinez-les sous forme d'images.

    Une fois que vous avez compris cela, vous pouvez passer à l'utilisation de nombres rationnels (le nom fantaisiste des fractions) pour les représenter. L'apprentissage des fractions dans cet ordre facilite l'élaboration ultérieure de fractions de nombres naturels.

    La chose la plus importante à retenir lorsque vous traitez des fractions est d'y aller lentement.

    Il y a tellement d'informations à traiter ! Même si quelque chose semble facile, prenez le temps supplémentaire de vraiment comprendre les concepts de base derrière les fractions. Cela vous facilitera grandement la vie lorsque vous aborderez des problèmes plus complexes impliquant la conversion ultérieure de fractions, de décimales et de pourcentages.

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    Exemples de fractions dans la vie quotidienne

    Vous ne le remarquerez peut-être même pas, mais les fractions sont partout autour de nous ! Voici quelques exemples de fractions de tous les jours :

    • Diviser une facture dans un restaurant en moitiés, en tiers ou en quarts
    • Faire des comparaisons de prix au supermarché quand quelque chose est à moitié prix
    • Déterminer les quantités dans la cuisine, par exemple une recette pourrait servir 10 personnes mais il n'y a que 4 personnes à manger, et cela signifie que vous aurez besoin de fractions pour déterminer la bonne quantité
    • Additionner des montants monétaires
    • Regarder le temps ! Une demi-heure et un quart d'heure sont deux choses courantes à entendre en ce qui concerne le temps !

    Pourquoi les fractions sont-elles si délicates en mathématiques à l'école primaire ?

    Dans les premières années d'école, vous apprenez comment fonctionnent les nombres. Vous apprenez à compter, et que le nombre 1 est égal à un objet, 2 est égal à deux objets, et ainsi de suite.

    Vous apprenez que lorsque vous comptez, les nombres ont plus de valeur. Et puis, juste au moment où vous pensez que vous maîtrisez les nombres, vous apprenez qu'il existe d'autres types de nombres, comme fractions .

    Enfant, vous donnez toujours un sens au monde. Ainsi, lorsque vous apprenez un ensemble de règles (comme comment compter avec des nombres entiers positifs), vous vous y accrochez. Le problème? Lorsque vous rencontrez des choses qui ne correspondent pas aux règles, c'est beaucoup plus difficile à comprendre.

    Les nombres entiers positifs (comme 1, 2 ou 65) sont simples. Ils gagnent en valeur à mesure qu'ils augmentent et ils signifient toujours la même chose (1 signifie toujours 1 et 2 signifie toujours 2). Ils sont également connus sous le nom nombres naturels . Les fractions sont appelées nombres rationnels , et ils suivent des règles différentes.

    Pour faire court, comprendre comment faire des fractions peut être difficile pour les enfants du primaire.

    Les fractions ne signifient pas toujours la même chose. ½ de gâteau n'est pas la même chose que ½ de trois gâteaux, ou ½ d'un sac de 12 bonbons ! C'est le premier obstacle – la valeur d'une fraction change en fonction de la taille de la numérateur (numéro supérieur) est. Deuxièmement, si le nombre inférieur (le dénominateur) d'une fraction augmente, la valeur diminue . En plus de tout cela, les noms des fractions ne sonnent pas toujours comme le nombre qu'elles représentent, comme un huitième pour ou un trimestre pour ¼ .

    Plus de soutien pour les mathématiques à la maison est disponible :

    Que doit savoir mon enfant sur les fractions dans KS1 et KS2 ?

    Avec des fractions pour les enfants qui changent d'année en année tout au long de l'école primaire, il y a beaucoup à couvrir dans le blog, mais pour vous aider, nous les avons ventilés d'une année à l'autre.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en KS1

    Dans KS1, presque la chose la plus importante avec laquelle vous pouvez aider votre enfant est de comprendre qu'une fraction fait partie d'un tout. Et une fraction unitaire est une partie égale d'un tout. S'ils peuvent comprendre cela, ils peuvent aller de l'avant.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 1ère année

    En ce qui concerne les fractions, la première année consiste à maîtriser les bases.

    Les fractions pour un enfant de 5 ou 6 ans expliquent comment utiliser des objets pour trouver des fractions simples comme ½ et ¼. La bonne nouvelle est que vous pouvez vous amuser beaucoup avec les fractions à cet âge !

    Faites preuve de créativité en les aidant à calculer des fractions

    Lors de la démonstration du partage en moitiés ou en quartiers, il est extrêmement important de montrer quelque chose qui est partagé en parties égales. En faisant cela, votre enfant pourra visualiser ce qui se passe lorsque vous créez la fraction, et cela l'aidera à comprendre.

    La pâte à modeler est un excellent point de départ pour aider votre enfant à calculer des fractions à un jeune âge, car elle est malléable et facile à adapter en différentes fractions.

    Cependant, un grand favori dans les classes du primaire utilise la nourriture pour représenter des fractions, et c'est ce que vous pouvez faire avec votre enfant à l'heure du dîner si la pizza est au menu !

    N'oubliez pas de souligner l'importance que chaque tranche de pizza soit de taille égale.

    Il s'agit d'une simple représentation visuelle d'une fraction, et vous pouvez l'adapter pour l'essayer également avec ¼.

    Vous pouvez utiliser n'importe quel aliment facile à diviser, mais assurez-vous d'utiliser le langage des fractions pendant que vous faites cela ( moitiés, quarts et diviser ).

    Les nombres avec lesquels votre enfant travaillera pour les fractions de l'année 1

    Au cours de la première année, votre enfant se concentrera en grande partie sur les nombres 0-20, mais il pourra également travailler sur des nombres spécifiques plus grands qui sont faciles à aborder à cet âge. Par exemple, ils peuvent vous dire que la moitié de 100 vaut 50, ou qu'un quart de 100 vaut 25.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 2e année

    Au cours de la deuxième année, l'accent est mis sur la recherche de fractions de longueurs, de formes et d'ensembles d'objets.

    Les fractions pour un enfant de 6 ou 7 ans impliquent l'utilisation continue d'objets physiques pour les aider à visualiser les fractions, c'est donc maintenant une bonne occasion de déchiffrer les compteurs (ou un remplacement approprié) pour une pratique facile !

    Ils apprendront également que certaines fractions sont également équivalentes – par exemple, 2 /4 est le même que ½, ou 2 /6 est le même que .

    Voici comment l'expliquer simplement en utilisant des comptoirs (les pâtes ou les haricots secs sont un remplacement approprié du placard).

    Pour aider votre enfant à comprendre pleinement les fractions équivalentes, indiquez-les chaque fois que vous le pouvez (en particulier ½ et 2 /4 à ce stade) car cette répétition continue les aidera à pratiquer jusqu'à ce qu'ils perfectionnent leurs connaissances.

    Une autre façon simple de s'entraîner consiste à ombrer différentes fractions de formes, comme ceci :

    Cette méthode simple mais visuelle est un excellent moyen pour votre enfant de travailler sur ses fractions en deuxième année.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en KS2

    KS2 est le moment où les fractions peuvent devenir un peu plus difficiles pour votre enfant, mais avec toute l'aide proposée ci-dessous, vous n'aurez aucun mal à les aider à tout apprendre sur les fractions à la maison !

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 3e année

    Les fractions pour les enfants de 7 et 8 ans en 3e année les amènent à s'éloigner de l'utilisation d'objets pour comprendre les fractions.

    Ils utiliseront toujours des aides visuelles lorsqu'ils travailleront avec des fractions, mais l'accent est davantage mis sur la compréhension de la façon d'écrire des fractions sous forme de nombres rationnels (la forme sous laquelle vous avez l'habitude de les voir).

    Notez que le symbole de division ressemble à ➗ car il montre une barre de fraction (ou – son nom propre – un vinculum) avec un point au-dessus et en dessous, le point du haut signifie un numérateur manquant et le point du bas représente un dénominateur manquant. Le symbole de division lui-même est un rappel constant du lien entre fractions et division !

    Fractions équivalentes en année 3

    À cet âge, l'enfant doit aussi connaître quelques fractions équivalentes à petits dénominateurs, et être capable de les mettre en ordre.

    Les fractions équivalentes sont un véritable saut pour de nombreux enfants, et la plupart des enseignants trouvent que c'est une véritable pierre d'achoppement pour de nombreux enfants dans leurs classes.

    Cependant, il existe trois moyens infaillibles d'aider votre enfant à comprendre comment faire des fractions équivalentes en 3e année, et vous pouvez les voir ci-dessous !

    Fraction équivalente pâte à modeler

    Il s'agit d'une activité simple mais très efficace qui peut aider votre enfant à visualiser des fractions équivalentes d'une manière qu'il comprendra.

    Comment gérer l'activité

    1. Donnez à votre enfant trois boules de pâte à modeler de taille égale.
    2. Faites-leur casser une boule en deux, une autre en quatre et la troisième en huit morceaux de taille égale.
    3. Maintenant, utilisez une échelle – de préférence une balance d'équilibre – pour montrer que la moitié est égale à deux quarts et quatre huitièmes. (En outre, qu'un quart est égal à deux huitièmes, et que trois quarts équivalent à six huitièmes.)
    4. Vous pouvez leur demander de reformer les trois boules de pâte à modeler originales, en les décomposant en trois, six et neuf morceaux égaux. Encore une fois, vous pouvez démontrer qu'un tiers est égal à deux sixièmes et trois neuvièmes, et que deux tiers sont égaux à quatre sixièmes et six neuvièmes.

    Bandes de papier de fraction équivalente

    Tout ce dont vous avez besoin pour cette activité est une feuille de papier, des ciseaux et un peu de patience pour couper les bandes !

    Comment gérer l'activité

    1. Tout d'abord, découpez des bandes de papier. Ils doivent être des bandes de papier d'égale longueur.
    2. Pliez la première bande en deux.
      Pliez la deuxième bande en quatre.
      Pliez la troisième bande en six parties égales ou sixièmes.
      Pliez une quatrième bande en huit parties égales ou huitièmes.
      Enfin, pliez une bande en douze.
    3. Ensuite, travaillez avec votre enfant pour étiqueter les bandes, de sorte que chaque partie de la première bande a ½ écrit sur chaque partie, la deuxième bande est étiquetée avec s, et ainsi de suite. Maintenant, vous/ils pouvez montrer qu'une moitié est égale à deux quarts, trois sixièmes, quatre huitièmes et six douzièmes.

    Vous pouvez alors montrer qu'un quart est égal à deux huitièmes et trois douzièmes.

    Vous pouvez répéter le processus à nouveau, en pliant des bandes de papier de longueur égale en trois, six, neuf et douze, montrant que deux sixièmes, trois neuvièmes et quatre douzièmes sont égaux à un tiers.

    En utilisant les bandes que vous avez faites, vous pouvez faire la même chose pour ¾ et ⅔ aussi ! C'est parti pour les courses !

    Comparer et ajouter et soustraire des fractions au cours de l'année 3

    Bien entendu, la valeur d'une fraction dépend du numérateur (le nombre du haut) et du dénominateur (le nombre du bas).

    Heureusement, en 3e année, il suffit de comparer des fractions de même dénominateur, ce qui facilite les choses.

    Lorsque les dénominateurs sont différents, il y a encore quelques étapes à suivre, que nous expliquerons plus loin dans ce blog.

    Vous serez ravi d'apprendre que l'addition et la soustraction de fractions ne sont pas trop effrayantes en troisième année.

    Comme les dénominateurs sont les mêmes à ce stade, vous ajoutez simplement les numérateurs, comme ceci :

    Ce qui peut être montré en utilisant à nouveau des bandes de papier :

    Le principe est le même pour la soustraction en 3e année.

    Exemple d'une leçon de mathématiques en ligne d'apprentissage dans le troisième espace travaillant sur la compréhension des élèves autour de la taille des fractions relatives - une idée fausse commune selon laquelle un dénominateur plus grand signifie que la fraction elle-même est plus grande.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 4e année

    Au cours de la quatrième année, votre enfant devrait commencer à comprendre les bases de la façon de faire des fractions et il se concentrera davantage sur l'utilisation de fractions abstraites.

    Il est probable qu'ils n'utiliseront pas autant de compteurs et d'autres ressources d'apprentissage physique, bien qu'il soit toujours important de les intégrer à leur apprentissage, ce qui signifie que vous ne devriez pas arrêter de vous entraîner avec eux à la maison !

    Les fractions pour les 8 et 9 ans consistent à maîtriser les bases avant que tout ne se complique beaucoup en 5e année.

    À la fin de la 4e année, votre enfant devra savoir :

    • Compter de haut en bas en dixièmes et centièmes
    • Calculer des fractions de montants
    • Additionner et soustraire des fractions (même dénominateur)
    • Reconnaître un certain nombre de fractions et de décimales équivalentes courantes.

    Problèmes de mots de fractions en 4e année

    À ce stade de l'école primaire, les problèmes de mots deviennent plus courants, impliquant généralement des unités de mesure, telles que mm, cm, m, km et g et kg, et de l'argent.

    Il est beaucoup plus facile de calculer des fractions de quantités si vous utilisez barres pour représenter les différentes parties.

    Prenons par exemple la question de :

    Si vous vouliez vous entraîner 2 /6 de 1200m, vous multiplieriez simplement la réponse par 1 /6 par 2. Pour 3 /6, vous le multiplieriez par 3.

    Les barres fonctionnent très bien pour les apprenants qui aiment voir les choses présentées visuellement. Ils peuvent également être utilisés pour d'autres domaines des mathématiques, allant de la division, de la multiplication, de l'addition et de la soustraction au rapport et à la proportion, pas seulement des fractions !

    Fractions équivalentes en année 4

    Le mot équivalent signifie simplement le même que .

    En 4e année, votre enfant a besoin de connaître les décimales (nombres avec des points décimaux) qui correspondent à des fractions simples.

    Vous pouvez les calculer manuellement (en divisant le numérateur par le dénominateur), mais c'est une bonne idée de mémoriser les plus communs afin de pouvoir y accéder rapidement.

    FractionDécimal
    ½ 0,5 (ou 0,50 – la valeur est la même)
    ¼ 0.25
    ¾ 0.75

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 5e année

    L'année 5 est probablement l'année la plus difficile pour l'apprentissage des fractions, et malheureusement, à part le travail acharné, il n'y a pas de moyen facile pour les enfants de 9 à 10 ans d'apprendre leurs fractions cette année.

    Mais si vous connaissez vraiment le concept derrière les fractions (qu'elles font partie d'un tout et qu'elles ont des règles différentes pour nombres naturels), alors tout ira bien.

    La raison pour laquelle l'année 5 peut être délicate est qu'il y a très peu de représentation concrète, A.K.A, la plupart des images et des éléments utilisés pour représenter les fractions ont maintenant disparu !

    Votre enfant commencera à additionner et à soustraire des fractions avec différents dénominateurs , ce qui signifie que quelques étapes supplémentaires sont nécessaires.

    Le langage utilisé peut également être difficile.

    Assurez-vous d'utiliser des mots comme dénominateur, numérateur, diviser, comparer, ordre, fraction impropre et nombre mixte souvent pour garder le vocabulaire clé frais dans l'esprit de votre enfant, car cela lui sera très utile pour le travail qu'il effectuera tout au long de la cinquième année.

    Comparer et ordonner des fractions en 5e année

    Comparer et ordonner des fractions ayant les mêmes dénominateurs est relativement simple.

    Cependant, au cours de l'année 5, vous devez savoir comment comparer et ordonner des fractions avec différents dénominateurs.

    Cependant, la plupart des écoles n'utiliseront pas la stratégie de calculatrice, car les calculatrices ne sont pas utilisées dans les SAT de 6e année (également appelées évaluations de fin de KS2).

    Si votre enfant a du mal à comprendre le concept de comparaison de fractions avec différents dénominateurs, la calculatrice est un bon point de départ.

    Calculatrice moyen gratuit pour travailler sur l'ordre des fractions

    Le processus de commande des fractions sans calculatrice peut prendre un peu plus de temps pour que votre enfant s'y habitue, mais c'est quelque chose qu'il devra savoir en 5e année.

    L'image ci-dessous montre comment ordonner les fractions si vous n'avez pas de calculatrice.

    La commande de fractions peut être beaucoup plus rapide si vous connaissez vos nombres décimaux et pourcentages équivalents.

    Voici les équivalents que vous devez connaître en 5e année.

    Nombres mixtes et fractions impropres en 5e année

    Lorsque vous avez un nombre entier et une fraction côte à côte, comme 1 ½ , cela s'appelle un nombre mixte . Vous pouvez le convertir en fraction, mais le numérateur sera plus grand que le dénominateur. Dans ce cas 3/2. C'est ce qu'on appelle un fraction impropre (vous pouvez également l'entendre s'appeler une fraction supérieure lourde).

    Comprendre comment faire des fractions impropres est quelque chose d'important en 5e année, et c'est quelque chose que vous pouvez aider votre enfant à faire.

    Addition et soustraction de fractions en 5e année

    Une autre compétence que votre enfant apprendra en 5e année est comment additionner et soustraire des fractions.

    L'addition et la soustraction de fractions avec le même dénominateur est simple car vous ajoutez simplement les numérateurs et gardez les dénominateurs identiques.

    Mais, lorsque les fractions ont des dénominateurs différents, elles doivent être identiques avant d'aller plus loin.

    L'année 5 est un bon moment pour s'habituer à trouver des dénominateurs communs (en rendant le nombre inférieur le même) comme dans l'année 6, une grande partie du travail sur les fractions que votre enfant fera dépend de sa capacité à le faire.

    Multiplier des fractions appropriées par des fractions en 5e année

    Ayant déjà beaucoup appris sur les fractions en 5e année, savoir comment multiplier (multiplier) les fractions est relativement simple par rapport à tous les autres processus que votre enfant a appris à ce stade.

    Vous multipliez simplement les numérateurs puis multipliez les dénominateurs, comme ceci :

    Multiplier des fractions par des nombres entiers en 5e année

    Lorsqu'on vous demande de multiplier un nombre entier par une fraction, cela semble un peu déroutant pour un enfant de 5e année. Par exemple:

    Pour surmonter ce problème redoutable, vous pouvez commencer par revenir aux bandes de papier, comme ceci :

    Ici, il est important de se rappeler que le dénominateur reste le même. Si cela s'avère une pierre d'achoppement, vous pouvez déployer le meilleur ami de tous les professeurs de mathématiques : la pizza.

    Mais si vous vous souvenez d'un simple fait, c'est beaucoup plus facile.

    Tout nombre entier peut être transformé en fraction en lui donnant un dénominateur de 1.

    C'est parce que 3/1est le même que 3 1, qui est 3.

    L'équation résultante est beaucoup plus facile à résoudre. Il suffit de multiplier les numérateurs ensemble, puis les dénominateurs ensemble.

    Comment aider à enseigner les fractions à votre enfant en 6e année

    À la sixième année, votre enfant aura couvert la majeure partie du matériel de fraction dont il aura besoin en mathématiques à l'école primaire.

    Bien qu'il y ait un ou deux nouveaux processus à apprendre, il est important de réviser les bases cette année à temps pour les SAT KS2 en mai - ils semblent toujours arriver beaucoup plus rapidement que prévu !

    L'une des choses les plus importantes pour s'assurer que votre enfant est confiant est de rendre les dénominateurs différents, comme si c'était le cas, ils se sentiraient beaucoup plus sûrs de leurs capacités dans le prochain chapitre du travail de fraction.

    Il est facile de se sentir dépassé par les fractions en 6e année, mais il y a encore des choses que vous pouvez faire pour aider votre enfant à surmonter toute frustration liée aux fractions !

    Comment simplifier les fractions en 6e année

    Une nouvelle exigence en 6e année est d'écrire les fractions dans leur forme la plus simple .

    Cela signifie simplement que nous utilisons les nombres les plus bas possibles lorsque nous calculons nos fractions.

    Nous faisons cela pour garder les choses simples – cela nous empêche de nous retrouver avec des fractions composées de nombres énormes (ce qui peut être déroutant).

    La simplification des fractions est un autre domaine qui met en évidence l'importance pour les enfants de maîtriser leurs tables de multiplication.

    Par exemple, même si nous savons que 2 /4 est une fraction parfaitement acceptable, nous la simplifions à 1 /2 pour garder les choses faciles (en utilisant notre connaissance de la table de 2 et, par conséquent, en réduisant de moitié).

    Vous pouvez simplifier les fractions en vous entraînant à trouver les facteurs communs les plus élevés de paires de nombres.

    Les arcs-en-ciel de facteurs sont une excellente technique pour trouver des facteurs, dont un exemple peut être vu ci-dessous.

    Comment diviser les fractions propres par des nombres entiers en 6e année

    Diviser des fractions est un processus simple, tant que vous vous souvenez que lorsque vous utilisez des nombres entiers dans un problème de fraction, vous pouvez mettre ce nombre sur 1 pour en faire une fraction également, comme ceci :

    Donc, si vous résolvez un problème comme 3 ¾ , transformez d'abord le 3 en fraction.

    Ensuite, retournez la deuxième fraction (en la transformant en sa réciproque) et changez l'opération en multiplication.

    Maintenant, c'est un simple problème de multiplication, il suffit de multiplier les numérateurs et les dénominateurs pour trouver votre réponse.

    N'oubliez pas de simplifier la réponse ! Dans ce cas, la réponse sera un nombre mixte.

    Fractions, décimales et pourcentages en 6e année

    Les fractions, les décimales et les pourcentages représentent tous des parties ou des morceaux d'un tout, il n'est donc pas surprenant qu'ils soient étroitement liés.

    Il est bon de savoir comment passer de l'un à l'autre, surtout lorsque vous commandez ou comparez des quantités.

    Votre enfant devrait apprendre par cœur les équivalents les plus courants (voir le tableau ci-dessus) – et apprendre les stratégies pour trouver des pourcentages communs.

    Par exemple, pour trouver 1%, ils doivent diviser le montant par 100, ou diviser le montant par 10 et le résultat de ce calcul de division par 10 à nouveau.

    Conversion de fractions pour les SAT KS2 en 6e année

    À la fin de la 6e année, votre enfant devra savoir convertir des fractions en nombres décimaux et des nombres décimaux en pourcentages.

    Conversion de fractions en nombres décimaux

    Divisez le numérateur par le dénominateur.

    S'ils ne connaissent pas leurs équivalences ou s'il s'agit d'une fraction plus obscure (ce qui est peu probable), ils devraient revenir à l'utilisation de la division courte (autrement connue sous le nom de division d'arrêt de bus).

    Conversion de décimales en pourcentages

    Multipliez la décimale par 100. Par exemple, 0,79 deviendrait 79 %.

    Conversion de pourcentages en décimales

    Divisez le pourcentage par 100. Ainsi, 87 % deviendraient 0,87.

    Convertir des pourcentages en fractions

    Mettez le pourcentage sur 100 (par exemple 75% = 75/100), puis simplifiez-le – dans ce cas ¾ .

    Bien qu'il existe des méthodes écrites pour reconvertir les nombres décimaux en fractions, à ce stade, il est préférable de se concentrer sur ce qui est requis pour le programme de mathématiques de l'école primaire et pour la plupart des équivalences simples comme 0,25 étant ¼ seront tout ce qui est requis (connaître les huitièmes est également utile, par exemple 0,375 étant égal à trois huitièmes).

    Cela vaut également la peine de lire cet article sur la comparaison des fractions décimales et des pourcentages.

    Fractions dans le raisonnement et la résolution de problèmes en 6e année

    En 6e année, il y a deux épreuves (épreuves 2 et 3) que votre enfant devra passer dans le cadre de son SAT.

    Ces articles portent sur la résolution de problèmes et le raisonnement. Les fractions apparaîtront également dans le papier 1 (arithmétique), mais elles ont tendance à être un peu plus délicates lorsqu'elles sont mises en contexte.

    Demandez à votre enfant d'essayer les questions suivantes du SAT pour avoir une idée du type de problèmes de mots qui se présentent.

    Suivez ces étapes pour les rendre un peu plus faciles :

    1. Lisez toute la question. Vérifiez le nombre de marques.
    2. Relisez la question en encerclant toute information importante (cela pourrait être des mots qui vous donnent une idée de l'opération nécessaire, comme réduire de moitié , partager etc.).
    3. Décidez quelle opération vous devez utiliser (addition, soustraction, multiplication ou division) et si vous devez faire plus d'une étape pour la résoudre.
    4. Utilisez les opérations et les étapes que vous avez choisies.
    5. Vérifiez la réponse. Cela a-t-il un sens dans le contexte de la question ?

    Exemple de questions sur les fractions SAT pour l'année 6

    Si vous avez du mal à aider votre enfant à comprendre et à apprendre les fractions à la maison, de l'aide est à portée de main. Nous pouvons fournir des cours de mathématiques en ligne abordables parfaitement adaptés aux besoins individuels de votre enfant. Si les fractions sont là où elles ont besoin d'aide, c'est pour cela que nous pouvons passer du temps avec elles.

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    Comment utiliser le calculateur de fractions

    Vous pouvez utiliser la calculatrice de fractions sans vous souvenir de toutes ces fonctions arithmétiques !

    Dans la boîte pour Fraction Un, entrez le numérateur de la première fraction. Dans la boîte pour Fraction deux, entrez le numérateur et le dénominateur de la deuxième fraction.

    Dans le Opération menu, choisissez la fonction à exécuter - voulez-vous ajouter (+), soustraire (-), multiplier (*) ou diviser (÷) les fractions ? Choisissez votre préférence dans le menu. Appuyez ensuite sur le Effectuer des calculs fractionnaires bouton.

    La réponse simplifiée automatiquement sera répertoriée dans le Résultat boîte.


    Voir la vidéo: Murtoluvun jakaminen kokonaisluvulla (Décembre 2021).