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9.1.1E : Ellipses (Exercices) - Mathématiques


exercices section 9.1

Dans les problèmes 1 à 4, associez chaque graphique à l'une des équations A-D.
A. (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{9} = 1)

B. (dfrac{x^2}{9} + dfrac{y^2}{4} = 1)

C. (dfrac{x^2}{9} + {y^2} = 1)

D. ({x^2} + dfrac{y^2}{9} = 1)

1. 2. 3. 4.

Dans les problèmes 5 à 14, trouvez les sommets, les extrémités du petit axe, la longueur du grand axe et la longueur du petit axe. Esquissez le graphique. Vérifiez à l'aide d'un utilitaire graphique.
5. (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{25} = 1)

6. (dfrac{x^2}{16} + dfrac{y^2}{4} = 1)

7. (dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1)

8. (x^2 + dfrac{y^2}{25} = 1)

9. (x^2+ 25y^2 = 25)

10. (16x^2 + y^2 = 16)

11. (16x^2 + 9y^2 = 144)

12. (16x^2 + 25y^2 = 400)

13. (9x^2 + y^2 = 18)

14. (x^2 + 4y^2 = 12)

Dans les problèmes 15-16, écris une équation pour le graphique.

15. 16.

Dans les problèmes 17 à 20, trouvez la forme standard de l'équation pour une ellipse satisfaisant les conditions données.

17. Centre (0,0), longueur du grand axe horizontal 64, longueur du petit axe 14

18. Centre (0,0), longueur du grand axe vertical 36, longueur du petit axe 18

19. Centre (0,0), sommet (0,3), (b = 2)

20. Centre (0,0), sommet (4,0), (b = 3)

Dans les problèmes 21 à 28, associez chaque graphique aux équations A-H.
A. (dfrac{left( {x - 2} ight)^2}{4} + dfrac{{(y - 1)}^2}{9} = 1)

E. (dfrac{left( {x + 2} ight)^2}{4} + dfrac{{(y + 1)}^2}{9} = 1)
B. (dfrac{left( {x - 2} ight)^2}{4} + dfrac{{(y - 1)}^2}{16} = 1)

F. (dfrac{left( {x + 2} ight)^2}{4} + dfrac{{(y + 1)}^2}{16} = 1)
C. (dfrac{left( {x - 2} ight)^2}{16} + dfrac{{(y - 1)}^2}{4} = 1)

G. (dfrac{left( {x + 2} ight)^2}{16} + dfrac{{(y + 1)}^2}{4} = 1)
D. (dfrac{left( {x - 2} ight)^2}{9} + dfrac{{(y - 1)}^2}{4} = 1)

H. (dfrac{left( {x + 2} ight)^2}{9} + dfrac{{(y + 1)}^2}{4} = 1)

21. 22. 23. 24.

25.26. 27. 28.

Dans les problèmes 29 à 38, trouvez les sommets, les extrémités du petit axe, la longueur du grand axe et la longueur du petit axe. Vérifiez à l'aide d'un utilitaire graphique.

29. (dfrac{(x - 1)^2}{25} + dfrac{(y + 2)^2}{4} = 1)

30. (dfrac{(x + 5)^2}{16} + dfrac{(y - 3)^2}{36} = 1)

31. ((x + 2)^2 + dfrac{(y - 3)^2}{25} = 1)

32. (dfrac{(x - 1)^2}{25} + (y - 6)^2 = 1)

33. (4x^2 + 8x + 4 + y^2 = 16)

34. (x^2 + 4y^2 + 16y + 16 = 36)

35. (x^2 + 2x + 4y^2 + 16y = - 1)

36. (4x^2 + 16x + y^2 - 8y = 4)

37. (9x^2 - 36x + 4y^2 + 8y = 104)

38. (4x^2 + 8x + 9y^2 + 36y = - 4)

Dans les problèmes 39 à 40, écris une équation pour le graphique.

39. 40.

Dans les problèmes 41 à 42, trouvez la forme standard de l'équation pour une ellipse satisfaisant les conditions données.

41. Centre (-4, 3), sommet (-4, 8), point sur le graphique (0, 3)

42. Centre (1, -2), sommet (-5, -2), point sur le graphique (1, 0)

43. La fenêtre Une fenêtre en forme de demi-ellipse mesure 12 pieds de large et 4 pieds de haut. Quelle est la hauteur de la fenêtre au-dessus de la base à 5 pieds du centre ?

44. La fenêtre Une fenêtre en forme de demi-ellipse mesure 16 pieds de large et 7 pieds de haut. Quelle est la hauteur de la fenêtre au-dessus de la base à 4 pieds du centre ?

45. Pont Un pont sur une rivière est soutenu par un arc semi-elliptique. La rivière mesure 150 mètres de large. Au centre, l'arche s'élève à 60 pieds au-dessus de la rivière. La chaussée est à 5 pieds au-dessus du centre de l'arche. Quelle est la distance verticale entre la chaussée et l'arche à 45 pieds du centre ?

46. ​​La rivière a une largeur de 1250 pieds. Au centre, l'arche s'élève à 175 pieds au-dessus de la rivière. La chaussée est à 3 pieds au-dessus du centre de l'arche. Quelle est la distance verticale entre la chaussée et l'arche à 600 pieds du centre ?

47. Piste de course Une piste de course elliptique mesure 100 pieds de long et 90 pieds de large. Quelle est la largeur de l'hippodrome à 20 pieds d'un sommet sur le grand axe ?

48. Piste de course Une piste de course elliptique mesure 250 pieds de long et 150 pieds de large. Quelle est la largeur de l'hippodrome à 25 pieds d'un sommet sur le grand axe ?

Dans les problèmes 49-52, trouvez les foyers.

49. (dfrac{x^2}{19} + dfrac{y^2}{3} = 1) 50. (dfrac{x^2}{2} + dfrac{y^2 }{38} = 1)

51. ((x + 6)^2 + dfrac{(y - 1)^2}{26} + = 1) 52. (dfrac{(x - 3)^2}{10} + (y + 5)^2 = 1)

Dans les problèmes 53-72, trouvez la forme standard de l'équation pour une ellipse satisfaisant les conditions données.

53. Sommets de l'axe majeur ((pm)3,0), (c= 2)

54. Sommets des grands axes (0, (pm)7), (c= 4)

55. Foyers (0, (pm)5) et longueur du grand axe 12

56. Foyers ((pm)3, 0) et grand axe longueur 8

57. Foyers ((pm)5, 0), sommets ((pm)7, 0)

58. Foyers (0,(pm)2), sommets (0,(pm)3)

59. Foyers (0, (pm)4) et (x)-intercepts ((pm)2, 0)

60. Foyers ((pm)3, 0) et (y)-intercepts (0, (pm)1)

61. Centre (0, 0), grand axe longueur 8, foyers sur l'axe (x), passe par le point (left( 2,sqrt 6 ight))

62. Centre (0, 0), longueur du grand axe 12, foyer sur l'axe (y), passe par le point (left( sqrt {10} ,4 ight))

63. Centre (-2, 1), sommet (-2, 5), foyer (-2, 3)

64. Centre (-1, -3), sommet (-7, -3), foyer (-4, -3)

65. Foyers (8, 2) et (-2, 2), longueur du grand axe 12

66. Foyers (-1, 5) et (-1, -3), longueur du grand axe 14

67. Sommets (3, 4) et (3, -6), (c= 2)

68. Sommets (2, 2) et (-4, 2), (c= 2)

69. Centre (1, 3), mise au point (0, 3), passe par le point (1, 5)

70. Centre (-1, -2), foyer (1, -2), passe par le point (2, -2)

71. Focus (-15, -1), sommets (-19, -1) et (15, -1)

72. Focus (-3, 2), sommets (-3, 4) et (-3, -8)

73. Galerie des murmures Si une galerie de chuchotement elliptique mesure 80 pieds de long et 25 pieds de large, à quelle distance du centre de la pièce quelqu'un doit-il se tenir sur l'axe principal de l'ellipse pour ressentir l'effet de chuchotement ? Arrondir à deux décimales.

74. Billard Certaines tables de billard sont elliptiques et ont les foyers marqués sur la table. Si celui-ci mesure 8 pieds de long et 6 pieds de large, à quelle distance sont les foyers du centre de l'ellipse ? Arrondir à deux décimales.

75. Orbites planétaires Les orbites des planètes autour du soleil sont approximativement elliptiques avec le soleil comme foyer. L'aphélie est la plus grande distance d'une planète au soleil et le périhélie est sa plus courte. La longueur du grand axe est la somme de l'aphélie et du périhélie. L'aphélie de la Terre est de 94,51 millions de miles et son périhélie est de 91,40 millions de miles. Écrivez une équation pour l'orbite de la Terre.

76. Orbites des satellites L'orbite d'un satellite autour de la Terre est elliptique avec le centre de la Terre comme foyer. La hauteur maximale du satellite au-dessus de la Terre est de 170 milles et sa hauteur minimale au-dessus de la Terre est de 90 milles. Écris une équation pour l'orbite du satellite. Supposons que la Terre est sphérique et a un rayon de 3960 miles.

77. Excentricité (e) d'une ellipse est le rapport (dfrac{c}{a}) où (c) est la distance d'un foyer au centre et a est la distance d'un sommet au centre. Écrivez une équation pour une ellipse avec une excentricité de 0,8 et des foyers à (-4, 0) et (4, 0).

78. Confocal les ellipses ont les mêmes foyers. Montrer que, pour (k > 0), toutes les ellipses de la forme (dfrac{x^2}{6 + k} + dfrac{y^2}{k} = 1) sont confocales.

79. Le latus rectum d'une ellipse est un segment de ligne avec des extrémités sur l'ellipse qui passe par un foyer et est perpendiculaire au grand axe. Montrer que (dfrac{2b^2}{a}) est la longueur du latus rectum de (dfrac{x^2}{a^2} + dfrac{y^2}{b^2 } = 1) où (a > b).

Réponse

1. D

3. B

5. Sommets ((0, pm 5)), extrémités de l'axe mineur ((pm 2, 0)), longueur majeure = 10, longueur mineure = 4

7. Sommets ((pm 5, 0)), extrémités de l'axe mineur ((0, pm 1)), longueur majeure = 4, longueur mineure = 2

9. Sommets ((pm 5, 0)), extrémités de l'axe mineur ((0, pm 1)), longueur majeure = 10, longueur mineure = 2

11. Sommets ((0, pm 4)), extrémités de l'axe mineur ((pm 3, 0)), longueur majeure = 8, longueur mineure = 6

13. Sommets ((0, pm 3sqrt{2})), extrémités de l'axe mineur ((pm sqrt{2}, 0)), longueur majeure = (6sqrt{2} ), longueur mineure = (2sqrt{2})

15. (dfrac{x^2}{16} + dfrac{y^2}{4} = 1)

17. (dfrac{x^2}{1024} + dfrac{y^2}{49} = 1)

19. (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{9} = 1)

21. B

23. C

25. F

27. G

29. Centre (1, -2), sommets (6, -2) et (-4, -2), extrémités des petits axes (1, 0) et (1, -4), longueur principale = 10, longueur secondaire = 4

31. Centre (-2, 3), sommets (-2, 8) et (-2, -2), extrémités des petits axes (-1, 3) et (-3, 3), longueur principale = 10, longueur secondaire = 2

33. Centre (-1, 0), sommets (-1, 4) et (-1, -4), extrémités des petits axes (-1, 0) et (3, 0), longueur principale = 8, longueur secondaire = 4

35. Centre (-1, -2), sommets (3, -2) et (-5, -2), extrémités des petits axes (-1, 0) et (-1, -4), longueur principale = 8, longueur mineure = 4

37. Centre (2, -1), sommets (2, 5) et (2, -7), extrémités des petits axes (6, -1) et (-2, -1), longueur principale = 12, longueur secondaire = 8

39. ((x - 3)^2 + dfrac{(y + 1)^2}{16} = 1)

41. (dfrac{(x + 4)^2}{16} + dfrac{(y - 3)^2}{25} = 1)

43. 2.211083 pieds

45. 17 pieds

47. 64 pieds

49. ((pm 4, 0))

51. (-6, 6) et (-6, -4)

53. (dfrac{x^2}{9} + dfrac{y^2}{5} = 1)

55. (dfrac{x^2}{11} + dfrac{y^2}{36} = 1)

57. (dfrac{x^2}{49} + dfrac{y^2}{24} = 1)

59. (dfrac{x^2}{4} + dfrac{y^2}{20} = 1)

61. (dfrac{x^2}{16} + dfrac{y^2}{8} = 1)

63. (dfrac{(x + 2)^2}{12} + dfrac{(y - 1)^2}{16} = 1)

65. (dfrac{(x - 3)^2}{36} + dfrac{(y - 2)^2}{11} = 1)

67. (dfrac{(x - 3)^2}{21} + dfrac{(y + 1)^2}{25} = 1)

69. (dfrac{(x - 1)^2}{4} + dfrac{(y - 3)^2}{5} = 1)

71. (dfrac{(x + 2)^2}{289} + dfrac{(y + 1)^2}{120} = 1)

73. 31,22 pieds

75. (dfrac{x^2}{8640.632025} + dfrac{y^2}{8638.214} = 1)

77. (dfrac{x^2}{25} + dfrac{y^2}{9} = 1)

79. Le centre est à (0, 0). Puisque (a > b), l'ellipse est horizontale. Soit ((c), 0) le foyer sur l'axe des x positif. Soit ((c, h)) l'extrémité du quadrant 1 du latus rectum passant par ((c),0).

La distance entre le foyer et le point final du latus rectum peut être trouvée en substituant ((c),0) et ((c,h)) dans la formule de distance (h = sqrt{(x_1 - x_2)^ 2 + (y_1 - y_2)^2}) ce qui donne (h = sqrt{(c - c)^2 + (h - 0)^2} = h). Donc (h) est la moitié de la distance latus rectum. Substituer ((c), (h)) dans l'équation de l'ellipse pour trouver (h) donne (dfrac{c^2}{a^2} + dfrac{h^2}{b ^2} = 1). La résolution de (h) donne (h^2 = b^2(1 - dfrac{c^2}{a^2}) = b^2 (dfrac{a^2}{a^2} - dfrac{c^2}{a^2}) = b^2 (dfrac{a^2 - c^2}{a^2}) = b^2(dfrac{b^2}{a ^2}) = dfrac{b^4}{a^2}). donc (h = sqrt{dfrac{b^4}{a^2}} = dfrac{b^2}{a}). La distance du latus rectum est (2h = dfrac{2b^2}{a}).