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4.8 : YBC 6504 #4 - Mathématiques


Tour.

11 Autant la longueur sur la largeur va au-delà, fait rencontre, de l'intérieur de la surface j'ai arraché :

12 (8^{prime} 20^{prime prime}). (20^{prime}) la largeur, sa longueur quoi ?

13 (20^{prime}) a fait la rencontre : (6^{prime} 40^{prime prime}) vous posez.

14 (6^{prime} 40^{prime prime}) à (8^{prime} 20^{prime prime}) vous rejoignez : (15^{prime}) vous posez.

15 Par (15^{prime}), (30^{prime}) est égal. (30^{prime}), la longueur, vous posez.

Jusqu'à présent, tout ce que nous avons examiné était mathématiquement correct, à l'exception de quelques erreurs de calcul et de copie. Mais quiconque pratique les mathématiques commet parfois aussi des erreurs dans l'argumentation ; pas étonnant alors que les Babyloniens le fassent parfois.

Le présent texte en offre un exemple. Traduit en symboles, le problème est le suivant :

((ell, w)-square(ell-w)=8^{prime} 20^{prime prime} quad, quad w=20^{prime}).

Étonnamment, la longueur se trouve comme celle qui "est égale par"
((ell, w)-square(ell-w)+square(w))—c'est-à-dire, après une transformation et exprimé en symboles, comme (sqrt{(3 w-ell) cdot ell}).

L'erreur semble difficile à expliquer, mais l'examen de la géométrie de l'argument révèle son origine (figure 4.15). En plus, la procédure est présentée dans des proportions déformées ; on voit que la « jointure » de (square(w)) suppose que le rectangle mutilé soit découpé en pointillé et ouvert en pseudo-gnomon. Il est clair que ce qui résulte de la réalisation de cette configuration est ne pas (square(ell)) mais à la place—si on compte bien—((3 w-ell, ell)). Ci-dessous, nous voyons la même chose, mais maintenant dans les proportions du problème réel, et maintenant l'erreur n'est plus flagrante. Ici, (ell = 30^{prime}) et (2 = 20^{prime}), et donc (ell-w=w-(ell-w)). En conséquence le rectangle mutilé s'ouvre comme un vrai gnomon, et la figure complétée correspond à square(t) — mais seulement parce que (ell=frac{3}{2} w).

Cette erreur illustre un aspect important de la géométrie « naïve » : comme c'est généralement le cas pour les démonstrations géométriques, une attention scrupuleuse doit être portée afin que l'on ne soit pas induit en erreur par ce qui est « immédiatement » vu. la rareté de telles erreurs est la preuve de la grande compétence des calculateurs de l'Ancien Babylone et montre qu'ils étaient presque toujours capables de distinguer les grandeurs données d'un problème d'après ce qu'ils en savaient de plus.


Racine carrée

En mathématiques, un racine carrée d'un nombre X est un nombre oui tel que oui 2 = X en d'autres termes, un nombre oui à qui carré (le résultat de la multiplication du nombre par lui-même, ou ouioui ) est X . [1] Par exemple, 4 et −4 sont des racines carrées de 16, car 4 2 = (−4) 2 = 16 . Tout nombre réel non négatif X a une unique racine carrée non négative, appelée racine carrée principale, qui est noté x , >,> [2] où le symbole

Chaque nombre positif X a deux racines carrées : x , >,> qui est positif, et − x , >,> qui est négatif. Ensemble, ces deux racines sont notées ± x >> (voir ± abrégé). Bien que la racine carrée principale d'un nombre positif ne soit qu'une de ses deux racines carrées, la désignation "les racine carrée" est souvent utilisé pour désigner la racine carrée principale. Pour le positif X , la racine carrée principale peut également être écrite en notation d'exposant, comme X 1/2 . [4] [5]

Les racines carrées des nombres négatifs peuvent être discutées dans le cadre des nombres complexes. Plus généralement, les racines carrées peuvent être envisagées dans tout contexte dans lequel une notion de « carré » d'un objet mathématique est définie. Il s'agit notamment des espaces de fonctions et des matrices carrées, entre autres structures mathématiques.


Abstrait

Pendant la période de COVID-19, le nombre de résidents infectés dans les communautés urbaines a continué d'augmenter, ce qui implique que la plupart des aménagements actuels des bâtiments ne peuvent pas résister efficacement à la propagation des maladies infectieuses, et l'épidémie de COVID-19 a conduit à la besoin de changements pour l'environnement actuel du bâtiment. Par conséquent, la prévention de l'épidémie doit être prise en compte dans la conception des bâtiments résidentiels et la conception de la santé de la communauté résidentielle doit être réalisée du point de vue de la prévention des épidémies. Afin d'améliorer la capacité de prévention épidémique des bâtiments résidentiels et de faire face à la pandémie soudaine et à la grippe à l'ère post-épidémique, un système d'évaluation sain pour la prévention des épidémies dans les bâtiments résidentiels (HASRBEP) a été développé en fonction de l'impact épidémique sur les bâtiments résidentiels, de la conception et des mesures de prévention épidémique pour les bâtiments résidentiels et les Chinois Norme d'évaluation pour un bâtiment sain (T/ASC 02-2016). La méthode du poids entropique et la méthode de notation experte ont été utilisées pour déterminer le poids spécifique de l'indice. Le HASRBEP comprend une évaluation des éléments de contrôle, une évaluation préliminaire et une évaluation d'extension. Le nouveau HASRBEP a été utilisé pour évaluer les bâtiments résidentiels de la communauté de construction Yulongzhuang située à Quanzhou, dans la province du Fujian, en Chine. Les résultats montrent que le HASRBEP peut être utilisé pour guider la conception sanitaire et de prévention des épidémies des bâtiments résidentiels.


Préface

Høyrup, Jens (2017). Préface. Dans: Algèbre en cunéiforme : introduction à une ancienne technique géométrique babylonienne. Berlin : Max-Planck-Gesellschaft zur Förderung der Wissenschaften.

Ce livre présente un aspect important des mathématiques babyloniennes, à savoir la technique ou la discipline généralement connue sous le nom d'« algèbre babylonienne ». on en parle dans la plupart des exposés généraux de l'histoire des mathématiques. Cependant, la plupart de ces expositions reposent sur des traductions et des interprétations remontant aux années 1930. Le présent ouvrage, en revanche, s'appuie sur des recherches récentes.

L'interprétation traditionnelle permettait d'établir une liste des résultats obtenus par les Babyloniens des calculs qu'ils étaient capables d'effectuer et, pour ainsi dire, des formules qu'ils connaissaient. Mais comme son point de départ était la pensée mathématique contemporaine, il n'a pas été en mesure de reconstituer le différent pensant qui se cache derrière les résultats babyloniens. L'objectif du présent ouvrage est de mettre en évidence cette différence, et ainsi de montrer que les mathématiques peuvent être pensées de plusieurs manières.

Une première version du livre a été écrite pour les élèves du système scolaire danois en 1998, une autre version révisée et augmentée est parue en français en 2010. Celle-ci, ainsi que la présente version mise à jour, s'adresse à ceux qui s'intéressent à l'histoire. de mathématiques mais qui n'ont pas nécessairement des compétences mathématiques au-delà de ce qui est acquis au secondaire. Il s'adresse en outre aux assyriologues qui souhaitent une introduction aux connaissances récentes des mathématiques babyloniennes.

Les enseignants peuvent utiliser le livre avec leurs élèves à différents niveaux.

Une première approche (en enseignement comme en étude privée) peut se concentrer sur l'équation du premier degré TMS XVI #1, et les équations de base du deuxième degré, c'est-à-dire BM 13901 #1 et #2, YBC 6967 et TMS IX # 1 et #2. L'introduction et les chapitres 6𔃆 fournissent un aperçu général.

Pour approfondir le sujet, on peut lire les autres textes des chapitres 2 et 3, et les textes TMS IX #3, AO 8862 #2, BM 13901 #23 et YBC 6504 #4 du chapitre 4.

Ceux qui deviennent passionnés peuvent lire tous les textes des chapitres 2 & 82115, puis essayer de se familiariser avec les textes de l'annexe A.

Dans l'annexe B, ceux qui connaissent les rudiments (ou plus) de la langue et de la grammaire babyloniennes trouveront des translittérations de la plupart des textes des chapitres 2 & 82115 et de l'annexe A.

Je remercie l'Institut d'histoire des sciences naturelles de l'Académie chinoise des sciences de m'avoir invité à donner un cours sur le sujet du livre. Cela m'a incité à préparer cette version anglaise et m'a permis d'y apporter la touche finale lors de mon séjour.

Je dédie le livre à la mémoire de Peter Damerow, qui fut pendant de nombreuses années mon compagnon de voyage dans le vaste domaine des mathématiques mésopotamiennes.


Avis des clients

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Le manuel de solutions A History of Mathematics A History of Mathematics était incroyable car il contenait presque toutes les solutions aux questions des manuels scolaires que je cherchais depuis longtemps. Je recommande vivement leurs services abordables et de qualité.

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TMS XVI #2

13 Le 4ème de la largeur à celui par lequel la longueur dépasse la largeur, pour joindre,

14 15′. Toi, 15′ à 4 relance, 1 tu vois, qu'est-ce que c'est ?

16 Dispersion 15′. 10′, le dépassement, et 5′, le joint, posent. 20′, la largeur,

17 à 10′, le dépassement, joindre, 30′ la longueur, et 20′, arracher, poser. 5′ à 4 relance,

18 20′ vous voyez. 20′, la largeur, à 4 augmenter, 1䓔′ vous voyez.

19 30 & 8242, la longueur, à 4 augmenter, 2 vous voyez. 20′, la largeur,

20 de 1䓔′ arracher, 1 tu vois. 1

21 à partir de 2, les longueurs, arracher, 1 tu vois, c'est quoi ?

22 A partir de 4, du quatrième, 1 arracher, 3 tu vois. igi 4 détacher, 15′ vous voyez.

23 15′ à 3 augmenter, 45′ vous voyez, autant (il y a) de largeurs en position. Pose à déchirer.

24 1 autant que (il y a) de longueurs postulent. [. ] 1 prise, à 1 longueur

25 augmenter, 30′ vous voyez. 20′ la largeur, 20′ à 45′, (autant qu'il y a de) largeurs, augmenter,

26 15′ vous voyez, 15′ à 15′ rejoindre, 30′ vous voyez, 30 la longueur.

Commentaire : voir #1 de la même tablette, page 27 .


Anecdotes sur les mathématiques

En mathématiques, un racine carrée d'un nombre X est un nombre r tel que r 2 = X, ou, en d'autres termes, un nombre r à qui carré (le résultat de la multiplication du nombre par lui-même, ou r × r) est X. [1] Par exemple, 4 est une racine carrée de 16 car 4 2 = 16.

Tout nombre réel non négatif X a une racine carrée unique non négative, appelée racine carrée principale, désigné par un signe radical comme . Pour le positif X, la racine carrée principale peut également être écrite en notation d'exposant, comme X 1/2 . Par exemple, la racine carrée principale de 9 est 3, notée , car 3 2 = 3 × 3 = 9 et 3 est non négatif. Bien que la racine carrée principale d'un nombre positif ne soit qu'une de ses deux racines carrées, la désignation “les racine carrée” est souvent utilisée pour désigner la principal racine carrée.

Chaque nombre positif X a deux racines carrées : , ce qui est positif, et , ce qui est négatif. Ensemble, ces deux racines sont notées (voir ± abrégé ). Les racines carrées des nombres négatifs peuvent être discutées dans le cadre des nombres complexes. Plus généralement, les racines carrées peuvent être envisagées dans tout contexte dans lequel une notion de « quadrature » de certains objets mathématiques est définie (notamment les algèbres de matrices, les anneaux d'endomorphisme, etc.)

Les racines carrées des nombres entiers qui ne sont pas des carrés parfaits sont toujours nombres irrationnels : nombres non exprimables comme un rapport de deux entiers (c'est-à-dire qu'ils ne peuvent pas être écrits exactement comme m/m, où m et m sont des nombres entiers). C'est le théorème Euclide X, 9 presque certainement dû à Théétète datant d'environ 380 av. [2] Le cas particulier est supposé remonter plus tôt aux Pythagoriciens et est traditionnellement attribué à Hippase. C'est exactement la longueur de la diagonale d'un carré de côté 1.

Le terme dont la racine est considérée est connu sous le nom de radicande. Par exemple, dans l'expression , un B + 2 est le radicande. Le radicande est le nombre ou l'expression sous le signe radical.

Temps de chute mesuré d'une petite sphère en acier tombant de différentes hauteurs. Les données sont en bon accord avec le temps de chute prévu de , où h est la hauteur et g est l'accélération de la pesanteur.

La fonction racine carrée principale (généralement simplement appelée “fonction racine carrée”) est une fonction qui mappe l'ensemble des nombres réels non négatifs sur lui-même. En termes géométriques, la fonction racine carrée mappe l'aire d'un carré à sa longueur de côté.

La racine carrée de X est rationnel si et seulement si X est un nombre rationnel qui peut être représenté comme un rapport de deux carrés parfaits. (Voir racine carrée de 2 pour les preuves qu'il s'agit d'un nombre irrationnel et irrationnel quadratique pour une preuve pour tous les nombres naturels non carrés.) La fonction racine carrée mappe les nombres rationnels en nombres algébriques (un sur-ensemble des nombres rationnels).

Pour tous les nombres réels non négatifs X et oui,

La fonction racine carrée est continue pour tout non négatif X et différentiable pour tout positif X. Si F désigne la fonction racine carrée, sa dérivée est donnée par :

La série de Taylor de 1 + X à propos de X = 0 converge pour |X| 1 et est donné par

qui est un cas particulier d'une série binomiale.

Le graphique de la fonction , constitué d' une demi - parabole de directrice verticale .

Calcul

La plupart des calculatrices de poche ont une clé racine carrée. Les tableurs informatiques et autres logiciels sont également fréquemment utilisés pour calculer les racines carrées. Les calculatrices de poche implémentent généralement des routines efficaces pour calculer la fonction exponentielle et le logarithme népérien ou le logarithme commun, et les utilisent pour calculer la racine carrée d'un nombre réel positif X en utilisant l'identité

ou alors

La même identité est exploitée lors du calcul de racines carrées avec des tables logarithmiques ou des règles à calcul.

La méthode itérative la plus courante de calcul manuel de la racine carrée est connue sous le nom de "méthode babylonienne" ou "méthode du héron" d'après le philosophe grec du premier siècle Héron d'Alexandrie, qui l'a décrit le premier. [3] La méthode utilise le même schéma itératif que le processus de Newton-Raphson lorsqu'il est appliqué à la fonction , en utilisant le fait que sa pente en tout point est , mais la précède de plusieurs siècles. [4] Il s'agit d'un algorithme simple, qui donne un nombre plus proche de la racine carrée réelle à chaque fois qu'il est répété. L'idée de base est que si X est une surestimation à la racine carrée d'un nombre réel non négatif une ensuite sera une sous-estimation et donc on peut raisonnablement s'attendre à ce que la moyenne de ces deux nombres fournisse une meilleure approximation (bien que la preuve formelle de cette affirmation dépende de l'inégalité des moyennes arithmétiques et géométriques qui montre que cette moyenne est toujours une surestimation de la racine carrée , comme indiqué ci-dessous, assurant ainsi la convergence). Trouver X :

  1. Commencer avec une valeur de départ positive arbitraire X (plus proche de la racine carrée de une, moins il faudra d'itérations pour obtenir la précision souhaitée).
  2. Remplacer X par la moyenne entre X et une/X, C'est: , représentant le schéma de Newton-Raphson résultant en ,

(Il suffit de prendre une valeur approximative de la moyenne pour assurer la convergence)

Si une est positif, la convergence est "quadratique", ce qui signifie qu'en approchant de la limite, le nombre de chiffres corrects double à peu près à chaque itération suivante. Si une = 0, la convergence n'est que linéaire.

le calcul de la racine carrée d'un nombre positif peut être réduit à celui d'un nombre de l'intervalle [1, 4). Cela simplifie la recherche d'une valeur de départ pour la méthode itérative proche de la racine carrée, pour laquelle une approximation polynomiale ou linéaire par morceaux peut être utilisée.

La complexité temporelle pour calculer une racine carrée avec m chiffres de précision équivaut à multiplier deux m-numéros à chiffres.

Racines carrées des nombres négatifs et complexes

Le carré de tout nombre positif ou négatif est positif et le carré de 0 est 0. Par conséquent, aucun nombre négatif ne peut avoir de racine carrée réelle. Cependant, il est possible de travailler avec un ensemble de nombres plus inclusif, appelé nombres complexes , qui contient des solutions à la racine carrée d'un nombre négatif. Ceci est fait en introduisant un nouveau nombre, noté par je (quelquefois j, en particulier dans le contexte de l'électricité où “je” représente traditionnellement le courant électrique) et appelé l'unité imaginaire , qui est défini tel que je 2 = –1. En utilisant cette notation, on peut penser à je comme la racine carrée de –1, mais notez que nous avons aussi (–je) 2 = je 2 = –1 et donc –je est aussi une racine carrée de –1. Par convention, la racine carrée principale de –1 est je, ou plus généralement, si X est un nombre positif, alors la racine carrée principale de -X est

Le côté droit (ainsi que son négatif) est en effet une racine carrée de –X, puisque

Pour tout nombre complexe non nul z il existe exactement deux nombres w tel que w 2 = z: la racine carrée principale de z (défini ci-dessous), et son négatif.

Racine carrée d'un nombre imaginaire

La racine carrée de je est donné par

Ce résultat peut être obtenu algébriquement en trouvant une et b tel que

Le choix de la racine principale donne alors

Le résultat peut également être obtenu en utilisant la formule et le réglage de de Moivre

Deuxième feuille de la racine carrée complexe En utilisant la surface de Riemann de la racine carrée, on peut voir comment les deux feuilles s'emboîtent Les racines carrées de je dans le plan complexe

Racine carrée principale d'un nombre complexe

Pour trouver une définition de la racine carrée qui nous permette de choisir systématiquement une valeur unique, appelée valeur principale , nous commençons par observer que tout nombre complexe X + oui peut être considéré comme un point dans le plan, (X, oui), exprimée en coordonnées cartésiennes . Le même point peut être réinterprété en utilisant des coordonnées polaires comme la paire (r, ), où r 0 est la distance du point à l'origine, et φ est l'angle que fait la ligne de l'origine au point avec le réel positif (X) axe. En analyse complexe, cette valeur s'écrit classiquement r e je suis . Si

on définit alors la racine carrée principale de z comme suit:

La fonction racine carrée principale est ainsi définie en utilisant l'axe réel non positif comme coupe de branche. La fonction racine carrée principale est holomorphe partout sauf sur l'ensemble des nombres réels non positifs (sur les réels strictement négatifs, elle n'est même pas continue). La série de Taylor ci-dessus pour √1 + X reste valable pour les nombres complexes X avec |X| < 1.

Ce qui précède peut également être exprimé en termes de fonctions trigonométriques :

Formule algébrique

Lorsque le nombre est exprimé en coordonnées cartésiennes, la formule suivante peut être utilisée pour la racine carrée principale : [5] [6]

où le signe de la partie imaginaire de la racine est considéré comme étant le même que le signe de la partie imaginaire du nombre d'origine, et

est la valeur absolue ou le module du nombre d'origine. La partie réelle de la valeur principale est toujours non négative.

L'autre racine carrée est simplement -1 fois la racine carrée principale, c'est-à-dire les deux racines carrées d'un nombre totalisant O.

En raison de la nature discontinue de la fonction racine carrée dans le plan complexe, la loi √zw = √zw est en général pas vrai. (De manière équivalente, le problème se produit à cause de la liberté dans le choix de la branche . La branche choisie peut ou non donner l'égalité en fait, le choix de la branche pour la racine carrée n'a pas besoin de contenir la valeur dezw du tout, conduisant à l'échec de l'égalité. Un problème similaire apparaît avec le logarithme complexe et le log de relation z + journal w = log(zw).) En supposant à tort que cette loi sous-tend plusieurs “preuves”, par exemple la suivante montrant que –1 = 1 :

La troisième égalité ne peut pas être justifiée (voir preuve invalide ). Il peut être maintenu en changeant la signification de de sorte que cela ne représente plus la racine carrée principale (voir ci-dessus) mais sélectionne une branche pour la racine carrée qui contient (√–1)·(√–1). Le côté gauche devient soit

si la branche comprend +je ou alors

si la branche comprend –je, tandis que le côté droit devient

où la dernière égalité, √1 = –1, est une conséquence du choix de branche dans la redéfinition de √.

Racines carrées des matrices et opérateurs

Si UNE est une matrice ou un opérateur défini positif, alors il existe précisément une matrice ou un opérateur défini positif B avec B 2 = UNE on définit alors UNE 1/2 = √UNE = B. En général, les matrices peuvent avoir plusieurs racines carrées ou même une infinité d'entre elles. Par exemple, la matrice identité 2×2 a une infinité de racines carrées.

Unicité des racines carrées dans les anneaux généraux

Dans un anneau, nous appelons un élément b une racine carrée de une si ssi b 2 = une.

Dans un domaine intégral, supposons que l'élément une a une racine carrée b, alors b 2 = une. Alors cette racine carrée n'est pas nécessairement unique, mais elle est “presque unique” dans le sens suivant : si X est aussi une racine carrée de une, ensuite X 2 = une = b 2 . Alors X 2 – b 2 = 0, soit, par commutativité , (X + b)(Xb) = 0. Puisqu'il n'y a pas de diviseurs nuls dans le domaine intégral, nous concluons qu'un facteur est nul, et X = ±b. La racine carrée de une, s'il existe, est donc unique à un signe près , en domaines entiers.

Pour voir que la racine carrée n'a pas besoin d'être unique pour signer dans un anneau général, considérons l'anneau de l'arithmétique modulaire. Ici, l'élément 1 a quatre racines carrées distinctes, à savoir ±1 et ±3. En revanche, l'élément 2 n'a pas de racine carrée. Voir aussi l'article résidu quadratique pour plus de détails.

Un autre exemple est fourni par les quaternions dans laquelle l'élément −1 a une infinité de racines carrées incluant ±je, ±j, et ±k. En fait, l'ensemble des racines carrées de -1 est exactement

Les racines carrées des carrés parfaits (1, 4, 9, 16, etc.) sont des nombres entiers. Dans tous les autres cas, les racines carrées sont des nombres irrationnels et, par conséquent, leurs représentations décimales sont des décimales non répétitives.

1
1.414213562373095048801688724209698078569671875376948073176679737990732478462 ( article ) 1 million de chiffres , 2 millions , 5 millions , 10 millions
1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806979451933016909 ( article ) 1 million de chiffres
2
2.236067977499789696409173668731276235440618359611525724270897245410520925638 ( article ) 1 million de chiffres
2.449489742783178098197284074705891391965947480656670128432692567250960377457 1 million de chiffres
2.645751311064590590501615753639260425710259183082450180368334459201068823230 1 million de chiffres
2.828427124746190097603377448419396157139343750753896146353359475981464956924 1 million de chiffres
3
3.162277660168379331998893544432718533719555139325216826857504852792594438639 1 million de chiffres
3.316624790355399849114932736670686683927088545589353597058682146116484642609
3.464101615137754587054892683011744733885610507620761256111613958903866033818
3.605551275463989293119221267470495946251296573845246212710453056227166948293
3.741657386773941385583748732316549301756019807778726946303745467320035156307
3.872983346207416885179265399782399610832921705291590826587573766113483091937
4
4.123105625617660549821409855974077025147199225373620434398633573094954346338
4.242640687119285146405066172629094235709015626130844219530039213972197435386
4.358898943540673552236981983859615659137003925232444936890344138159557328203
4.472135954999579392818347337462552470881236719223051448541794490821041851276

Notez que si le radicande n'est pas sans carré on peut simplifier, par exemple et .

En tant qu'extensions dans d'autres systèmes numériques

Les racines carrées des carrés parfaits (1, 4, 9, 16, etc.) sont des nombres entiers. Dans tous les autres cas, les racines carrées sont des nombres irrationnels et, par conséquent, leurs représentations dans tout système de notation positionnelle standard ne se répètent pas.

Les racines carrées des petits entiers sont utilisées dans les conceptions de fonction de hachage SHA-1 et SHA-2 pour ne rien fournir dans mes numéros de manche.

Sous forme de fractions continues périodiques

L'un des résultats les plus intrigants de l'étude des nombres irrationnels en tant que fractions continues a été obtenu par Joseph Louis Lagrange environ 1780. Lagrange a constaté que la représentation de la racine carrée de tout entier positif non carré en tant que fraction continue est périodique. C'est-à-dire qu'un certain modèle de dénominateurs partiels se répète indéfiniment dans la fraction continue. Dans un sens, ces racines carrées sont les nombres irrationnels les plus simples, car elles peuvent être représentées avec un simple motif répétitif d'entiers.

[1 2, 2, …]
[1 1, 2, 1, 2, …]
[2]
[2 4, 4, …]
[2 2, 4, 2, 4, …]
[2 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, …]
[2 1, 4, 1, 4, …]
[3]
[3 6, 6, …]
[3 3, 6, 3, 6, …]
[3 2, 6, 2, 6, …]
[3 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, …]
[3 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, …]
[3 1, 6, 1, 6, …]
[4]
[4 8, 8, …]
[4 4, 8, 4, 8, …]
[4 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, …]
[4 2, 8, 2, 8, …]

La notation entre crochets utilisée ci-dessus est une sorte de raccourci mathématique pour économiser de l'espace. Écrit dans une notation plus traditionnelle, la fraction continue simple pour la racine carrée de 11 - [3 3, 6, 3, 6, …] - ressemble à ceci :

où le motif à deux chiffres <3, 6> se répète encore et encore dans les dénominateurs partiels. Puisque 11 = 3 2 +2, ce qui précède est également identique aux fractions continues généralisées suivantes :

Construction géométrique de la racine carrée

Une racine carrée peut être construite avec une boussole et une règle. Dans ses Éléments, Euclide (fl. 300 av. J.-C.) a donné la construction de la moyenne géométrique de deux quantités en deux endroits différents : Proposition II.14 et Proposition VI.13. Puisque la moyenne géométrique de une et b est , on peut construire simplement en prenant b = 1.

La construction est aussi donnée par Descartes dans son La Géométrie , voir figure 2 à la page 2 . Cependant, Descartes ne prétendait pas à l'originalité et son public aurait été assez familier avec Euclide.

La deuxième preuve d'Euclide dans le livre VI dépend de la théorie des triangles similaires. Soit AHB un segment de droite de longueur a + b avec AH = une et HB = b. Construire le cercle avec AB comme diamètre et soit C l'une des deux intersections de la corde perpendiculaire en H avec le cercle et notons la longueur CH comme h. Ensuite, en utilisant le théorème de Thalès et comme dans la preuve du théorème de Pythagore par des triangles similaires, le triangle AHC est similaire au triangle CHB (comme en effet les deux le sont au triangle ACB, bien que nous n'en ayons pas besoin mais c'est l'essence de la preuve du théorème de Pythagore’) de sorte que AH:CH est comme HC:HB c'est-à-dire d'où l'on conclut par multiplication croisée que et enfin que . Notez en outre que si vous deviez marquer le milieu O du segment de droite AB et tracer le rayon OC de longueur alors clairement OC > CH c'est-à-dire = sqrt ” /> (avec égalité quand et seulement quand une = b), qui est l'inégalité moyenne arithmétique-géométrique pour deux variables et, comme indiqué ci-dessus, est la base de la compréhension grecque antique de la méthode "Héron"

Une autre méthode de construction géométrique utilise les triangles rectangles et l'induction : peut, bien sûr, être construit, et une fois a été construit, le triangle rectangle avec 1 et car ses pattes ont une hypoténuse de . La Spirale de Théodore est construite de cette manière en utilisant des racines carrées successives.

La tablette d'argile Yale Babylonian Collection YBC 7289 a été créée entre 1800 avant JC et 1600 avant JC, montrant et comme 124,51,10 et 4225,35 nombres de base 60 sur un carré traversé par deux diagonales.

Le papyrus mathématique de Rhind est une copie de 1650 av. J.-C. d'un ouvrage encore plus ancien et nous montre comment les Égyptiens extrayaient les racines carrées.

Dans l' Inde ancienne , la connaissance des aspects théoriques et appliqués de la racine carrée et de la racine carrée était au moins aussi ancienne que Sutra Sulba , daté d'environ 800-500 avant JC (peut-être beaucoup plus tôt) [ citation requise ] . Une méthode pour trouver de très bonnes approximations des racines carrées de 2 et 3 est donnée dans le Sutra Baudhayana Sulba . Aryabhata dans le Aryabhatiya (section 2.4), a donné une méthode pour trouver la racine carrée des nombres ayant plusieurs chiffres.

Dans le travail mathématique chinois Écrits sur le calcul , écrit entre 202 av. J.-C. et 186 av. J.-C. au début de la dynastie Han, la racine carrée est approximée en utilisant une méthode d'« excès et de déficience » qui dit de « combiner l'excès et la déficience en tant que diviseur (prendre) le numérateur du déficit multiplié par le dénominateur excédentaire et le numérateur excédentaire multiplié par le dénominateur du déficit, combinez-les comme dividende.”

Selon l'historien des mathématiques D.E. Smith, la méthode d'Aryabhata pour trouver la racine carrée a été introduite pour la première fois en Europe par Cataneo en 1546.

Le symbole √ pour la racine carrée a été utilisé pour la première fois en version imprimée en 1525 dans Christoph Rudolff ‘s Coss, qui a également été le premier à utiliser les nouveaux signes ‘+’ et ‘-‘.


Go Math Grade 4 Corrigé Chapitre 2 Multiplier par des nombres à 1 chiffre

La pratique de chaque question expliquée étape par étape fournira des résultats immenses. Les élèves peuvent facilement comprendre les sujets du chapitre 2 Multiplier par des nombres à 1 chiffre via la clé de correction Go Math 4e année. Vous rechercherez clairement les concepts appelés comparaisons de multiplication, multiplication à l'aide de la propriété distributive et de la forme développée, produits d'estimation, etc. grâce à ce chapitre 2 de la clé de correction Go Math Grade 4 Multiplier par des nombres à 1 chiffre pour une connaissance standard du sujet.

Leçon 1 : Algèbre • Comparaisons de multiplication

Leçon 2 : Algèbre • Problèmes de comparaison

Leçon 3 : Multiplier des dizaines, des centaines et des milliers

Leçon 4 : Estimer les produits

Leçon 5 : Étudier • Multiplier à l'aide de la propriété de distribution

Leçon 6 : Multiplier à l'aide d'une forme développée

Leçon 7 : Multiplier à l'aide de produits partiels

Leçon 8 : Multiplier en utilisant le calcul mental

Leçon 9 : Résolution de problèmes • Problèmes de multiplication à plusieurs étapes

Leçon 10 : Multiplier des nombres à 2 chiffres avec regroupement

Leçon 11 : Multiplier des nombres à 3 chiffres et à 4 chiffres avec regroupement

Leçon 12 : Algèbre • Résoudre des problèmes à plusieurs étapes à l'aide d'équations

Chapitre 2 Révision/Test

Noyau commun – Comparaisons de multiplication – Page n° 67

Écris une phrase de comparaison.

Question 1.
6 × 3 = 18
6 fois plus que 3 font 18 .

Réponse : 63 est 7 fois plus que 9.

Explication:

Réponse : 5 fois plus que 4 font 20.

Réponse : 48 est 6 fois plus que 8.

Explication:

Écris une équation.

Question 5.
2 fois plus que 8 font 16.

Explication:

Question 6.
42 est 6 fois plus que 7.

Explication:

Question 7.
3 fois plus que 5 font 15.

Explication:

Question 8.
36 est 9 fois plus que 4.
Réponse : 36 = 9 × 4

Explication:

Question 9.
72 est 8 fois plus que 9.
Réponse : 72 = 8 × 9

Explication:

Question 10.
5 fois plus que 6 font 30.
Réponse : 5 × 6 = 30

Explication:

Résolution de problème

Question 11.
Alain a 14 ans. C'est deux fois plus vieux que son frère James. Quel âge a Jacques ?

Explication:
L'âge d'Alan est de 14 ans et son frère est James est deux fois plus jeune qu'Alan, donc l'âge de James est de 14÷2=7.

Question 12.
Il y a 27 campeurs. C'est neuf fois plus que le nombre de conseillers. Combien y a-t-il de conseillers ?

Explication : 27 campeurs= 9× nombre d'animateurs,
Donc, le nombre de conseillers est 27÷9 = 3.

Dessinez un modèle et écrivez une équation pour représenter « 4 fois plus que 3 font 12 ». Expliquez votre travail.

Explication:

Noyau commun – Comparaisons de multiplication – Vérification de la leçon – Page n° 68

Question 1.
Quelle équation représente le mieux la phrase de comparaison ?
24 est 4 fois plus que 6.
Options :
une. 24 × 4 = 6
b. 24 = 4 × 6
c. 24 = 4 + 6
ré. 4 + 6 = 24

Explication:

Question 2.
Quelle phrase de comparaison représente le mieux l'équation ?
5 × 9 = 45
Options :
une. 5 plus que 9 vaut 45.
b. 9 est 5 fois plus que 45.
c. 5 est 9 fois plus que 45.
ré. 45 est 5 fois plus que 9.

Explication:

Revue en spirale

Question 3.
Lequel des énoncés suivants compare correctement les nombres ?
Options :
une. 273 915 et 274 951
b. 134 605 & 143 605
c. 529 058 & 530 037
ré. 452 731 et 452 819

Explication : 134 605 est inférieur à 143 605.

Question 4.
Quel est le formulaire standard pour
200,000 + 80,000 + 700 + 6?
Options :
une. 2 876
b. 28 706
c. 208 706
ré. 280 706

Explication : 200 000+80 000+700+6= 280 706.

Question 5.
Sean et Leah jouent à un jeu informatique. Sean a marqué 72 491 points. Leah a marqué 19 326 points de plus que Sean. Combien de points Léa a-t-elle marqué ?
Options :
une. 53 615
b. 91 717
c. 91 815
ré. 91 817

Explication : le score de Sean est de 72 491 et le score de Leah est de 19 326 de plus que le score de Sean. Le score de Sean est donc de 72 491 + 19 326 = 91 817.

Question 6.
Un stade de baseball compte 38 496 places. Arrondi au millier le plus proche, combien de sièges cela représente-t-il ?
Options :
une. 38 000
b. 38 500
c. 39 000
ré. 40 000

Explication : Arrondir au millier le plus proche est 38 000.

Comparaisons de multiplication – Page n°71

Question 1.
Le chien de Maria pèse 6 fois plus que son lapin. Ensemble, les animaux pèsent 56 livres. Combien pèse le chien de Maria ? Dessinez un modèle. Soit n représentant l'inconnu.

Réponse : 48 livres.

Explication : Soit le poids du lapin X et le poids du chien est 6X. Le poids des deux animaux de compagnie est de 56 livres, c'est-à-dire 6X+X=56, 7X=56 puis X est 8.
Le poids du lapin est de 8 et le poids du chien est de 6 × 8 = 48.

Dessinez un modèle. Écris une équation et résous.

Question 2.
Le mois dernier, Kim a entraîné 3 fois plus de chiens que de chats. Si le nombre total de chats et de chiens qu'elle a entraînés le mois dernier est de 28, combien de chats Kim a-t-elle entraînés ?

Explication : Laissez les chats dressés pour être X et les chiens dressés pour être 3X.
Le nombre total de chats et de chiens qu'elle a entraînés est de 28, puis X+3X= 28 et X= 7.
Par conséquent, les chats dressés ont 7 ans.

Question 3.
Combien de chiens de plus que de chats Kim a-t-il entraînés ?

Entraînement : Copier et résoudre Dessiner un modèle.
Écris une équation et résous.

Question 4.
A l'exposition canine, il y a 4 fois plus de boxeurs que d'épagneuls. S'il y a un total de 30 chiens, combien de chiens sont des épagneuls ?

Explication : Soit les épagneuls S et les boxeurs 4S. Comme le total est de 30, S+4S=30 puis 5S=30.
Donc S vaut 6. Les épagneuls sont 6 et les boxeurs sont 4 fois plus nombreux que les épagneuls. Donc les boxeurs sont 4×6=24.

Question 5.
Il y a 5 fois plus de labos jaunes que de terriers dans le parc canin. S'il y a un total de 18 chiens, combien de chiens sont des terriers ?

Explication : Que les Terriers soient T et les laboratoires jaunes 5T. Comme le total des chiens est de 18, 5T+T=18, et donc T=18/6 qui est 3. Les terriers sont 3.

Question 6.
Ben a 3 fois plus de guppys que de poissons rouges. S'il a un total de 20 poissons, combien de guppys a-t-il ?

Explication : Soit Goldfish X et Guppies 3X, donc X+3X= 20.
Donc X= 5. Donc les guppys sont 3×5= 15.

Question 7.
Carlita a vu 5 fois plus de rouges-gorges que de cardinaux en observant les oiseaux. Elle a vu un total de 24 oiseaux. Combien de rouges-gorges a-t-elle vus de plus que de cardinaux ?

Réponse : 4 cardinaux et 20 rouges-gorges.

Explication : Soit les cardinaux X et les rouges-gorges 5X. Alors le total est 5X+X=24 puis X= 4. Donc Carlita a vu 4 cardinaux et 5×4= 20 rouges-gorges.

Comparaisons de multiplication – Page n° 72

Question 8.
Pour se rendre à une exposition canine, M. Luna conduit d'abord à 7 milles à l'ouest de son domicile, puis à 3 milles au nord. Ensuite, il tourne vers l'est et parcourt 11 miles. Enfin, il tourne vers le nord et parcourt 4 miles jusqu'à l'exposition canine. À quelle distance au nord de la maison de M. Luna se trouve l'exposition canine ? Pour résoudre le problème, Dara et Cliff ont dessiné des diagrammes. Quel schéma est correct ? Expliquer.

Réponse : Le diagramme Cliff est correct.

Explication : les voyages de M. Luna vers l'est et l'ouest ne sont pas pertinents pour la question. Alors qu'il conduit 3 milles au nord, il conduit ensuite 4 milles supplémentaires au nord. 3 + 4 = 7, donc M. Luna se retrouve à 7 miles au nord de sa maison.

Question 9.
Use Reasoning Valerie et Bret ont un total de 24 rubans d'exposition canine. Bret a deux fois plus de rubans que Valérie. Combien de rubans chacun a-t-il ?
Rubans Valérie : ______ Rubans Bret : ______

Réponse : Valérie en a 8 et Bret en a 16.

Explication : Soit les rubans Valérie X et les rubans Bret’s 2X et le total X+2X= 24. Donc X= 8.
Valérie en a 8 et Bret en a 2×8 = 16.

Question 10.
Noah a construit un parc pour chiens clôturé de 8 mètres de long et 6 mètres de large. Il a placé des poteaux à chaque coin et chaque mètre le long de la longueur et de la largeur de la piste. Combien de postes a-t-il utilisé ?

Réponse : 2×7+2×5+4(comme il a posté à chaque coin)= 14+10+4= 28 postes

Explication : Comme il y a 7 poteaux le long d'un côté de 8 mètres et 5 poteaux le long d'un côté de 6 mètres, il a donc utilisé 2×7+2×5+4 (comme il a posté à chaque coin)= 14+10+4= 28 poteaux

Question 11.
Le week-end dernier, Mandy a récolté 4 fois plus de coquillages que Cameron. Ensemble, ils ont collecté 40 coquillages. Combien de coquillages Mandy a-t-elle collectés ? Complétez le modèle de barre. Ensuite, écrivez une équation et résolvez-la.

Noyau commun – Problèmes de comparaison – Page n° 73

Dessinez un modèle. Écris une équation et résous.

Question 1.
Stacey a fait un collier en utilisant 4 fois plus de perles bleues que de perles rouges. Elle a utilisé un total de 40 perles. Combien de perles bleues Stacey a-t-elle utilisées ?

Question 2.
Au zoo, il y avait 3 fois plus de singes que de lions. Tom a compté un total de 24 singes et lions. Combien y avait-il de singes ?
______ singes

Explication:

Question 3.
La grenouille de Fred a sauté 7 fois plus loin que la grenouille d'Al. Les deux grenouilles ont sauté un total de 56 pouces. Jusqu'où la grenouille de Fred a-t-elle sauté ?

Explication:

Question 4.
Sheila a 5 fois plus de marqueurs que Dave. Ensemble, ils ont 18 marqueurs. Combien de marqueurs Sheila a-t-elle ?

Explication : 15 marqueurs.

Résolution de problème

Question 5.
Rafael a compté un total de 40 voitures blanches et jaunes. Il y avait 9 fois plus de voitures blanches que de voitures jaunes. Combien de voitures blanches Rafael a-t-il compté ?

Explication : Soit les voitures jaunes X, Comme les voitures blanches sont 9 fois plus nombreuses que les voitures jaunes, Donc les voitures blanches sont 9X. Donc 9X+X=40, X=4. Donc, le nombre de voitures blanches est 9 × 4 = 36.

Question 6.
Sue a marqué un total de 35 points en deux matchs. Elle a marqué 6 fois plus de points dans le deuxième match que dans le premier. Combien de points a-t-elle encore marqué lors du deuxième match ?

Explication : Soit les premiers points de jeu X et les deuxièmes points de jeu 6X. Le score total de Sue est de 35 points en deux jeux, donc 6X+X= 35 alors X est 5. Par conséquent, le score du deuxième jeu est 6×5= 30.

Question 7.
Écrivez un problème impliquant combien plus que et résolvez-le. Expliquez comment dessiner un diagramme vous a aidé à résoudre le problème.

Réponse : Mike a 10 chocolats et John a 5 chocolats. Combien de chocolats Chirs a-t-il encore ?
5 chocolats de plus pour Chirs.

Explication : Comme Mike a 10 chocolats et Jean a 5 chocolats, Chirs a 5 chocolats de plus que John.

Noyau commun – Problèmes de comparaison – Vérification de la leçon – Page n° 74

Question 1.
Sari a 3 fois plus de gommes à crayons que Sam. Ensemble, ils ont 28 gommes. Combien de gommes a Sari ?
Options :
une. 7
b. 14
c. 18
ré. 21

Explication : que les X soient les gommes au crayon des gommes Sam et Sari soient 3X. Comme Sari et Sam ont ensemble 28 gommes. Donc 3X+X= 28. Et X vaut 7. Alors Sari a 3×7= 21.

Question 2.
Dans l'aquarium de Sean, il y a 6 fois plus de poissons rouges que de guppys. Il y a un total de 21 poissons dans le réservoir. Combien y a-t-il de plus de poissons rouges que de guppys ?
Options :
une. 5
b. 12
c. 15
ré. 18

Explication : Soit Guppies X et Goldfishes 6X. Et le total des poissons est de 21, donc X+6X= 21 puis X= 3.
Les poissons rouges sont donc 6 × 3 = 18.

Revue en spirale

Question 3.
Barbara a 9 peluches. Trish a 3 fois plus de peluches que Barbara. Combien d'animaux en peluche Trish a-t-elle ?
Options :
une. 3
b. 12
c. 24
ré. 27

Explication : Barbara a 9 peluches et Trish a 3 fois Barbara, donc 9×3=27.

Question 4.
Il y a 104 élèves en quatrième année à l'école d'Allison. Un jour, 15 élèves de CM1 étaient absents. Combien d'élèves de CM1 étaient à l'école ce jour-là ?
Options :
une. 89
b. 91
c. 99
ré. 119

Explication : Le nombre total d'élèves en quatrième année est de 104, car 15 élèves étaient absents 104-15 = 89.

Question 5.
Joshua a 112 roches. José a 98 rochers. Albert a 107 roches. Quel est l'ordre correct des garçons du plus petit au plus grand nombre de pierres possédées ?
Options :
une. José, Albert, Josué
b. José, Josué, Albert
c. Albert, José, Josué
ré. Josué, Albert, José

Explication : Comme 98<107<112. Alors José, Albert, Josué.

Question 6.
Alicia a 32 autocollants. C'est 4 fois plus d'autocollants que Benita. Combien d'autocollants Benita a-t-elle ?
Options :
une. 6
b. 8
c. 9
ré. 28

Explication : Soit les autocollants Benita S et Alicia a 32 autocollants, donc 4 × S = 32. Par conséquent, les autocollants Benita sont 8.

Problèmes de comparaison – Page n° 77

Question 1.
Utilisez le dessin pour trouver 2 × 500.

Explication : 2×500 est 2 fois 5 centaines, ce qui est égal à 10 centaines et 10 centaines sont égal à 1000.

Complétez le motif.

Question 2.
3 × 8 = 2
je. 3 × 80 = _____
ii. 3 × 800 = _____
iii. 3 × 8 000 = _____

Explication : 3×80= 240
3×800= 2400
3×8000= 24,000

Question 3.
6 × 2 = 12
je. 6 × 12 = _____
ii. 6 × 120 = _____
iii. 6 × 1 200 = _____

Explication : 6×12= 72
6×120= 720
6×1200= 7200.

Question 4.
je. 4 × 5 = _____
ii. 4 × 50 = _____
iii. 4 × 500 = _____
iv. 4 × 5 000 = _____

Explication : 4×5= 20
4×50= 200
4×500= 2000
4×5,000= 20,000.

Trouvez le produit.

Question 5.
6 × 500 = 6 × _____ centaines
= _____ centaines
= _____

Réponse : 6×5 centaines = 30 centaines.

Explication : 6 × 500 = 6 × 5 centaines = 30 centaines = 3000

Question 6.
9 × 5 000 = 9 × _____ milliers
= _____ milliers
= _____

Réponse : 9 × 5 milliers = 45 milliers.

Explication : 9 × 5 milliers = 45 milliers. = 45 000.

Trouvez le produit.

Question 7.
7 × 6,000 = _____

Explication:

Explication:

Explication:

Utilisez l'algèbre de raisonnement Trouvez le facteur manquant.

Question 10.
_____ × 9,000 = 63,000

Question 11.
7 × _____ = 56,000

Question 12.
8 × _____ = 3,200

Question 13.
Communiquer Comment le nombre de zéros dans le produit de 8 et 5 000 se compare-t-il au nombre de zéros dans les facteurs ? Expliquer.

Explication : Il y a 4 zéros dans le produit et 3 zéros seulement dans les facteurs. Parce qu'il y a un zéro dans le fait de base comme 8×5=40.

Problèmes de comparaison – Page n° 78

Question 14.
Joe's Fun and Sun loue des chaises de plage. Le magasin a loué 300 chaises de plage chaque mois en avril et en mai. Le magasin a loué 600 chaises de plage chaque mois de juin à septembre. Combien de chaises de plage le magasin a-t-il louées pendant les 6 mois ?
une. Que veux-tu savoir?

Réponse : Nous avons besoin de connaître le nombre total de chaises de plage louées pendant les 6 mois.

Question 14.
b. Comment trouverez-vous le nombre de chaises de plage ?

Réponse : 300 × 2 = 600 et 600 × 4 = 2400. Le nombre total de chaises de plage est de 3000

Explication : On multipliera 2 fois 300 et 4 fois 600 et on ajoutera le produit.

Question 14.
c. Montrez les étapes que vous utilisez pour résoudre le problème.

Réponse : 300 × 2 = 600 et 600 × 4 = 2400. Le nombre total de chaises de plage est de 3 000.

Question 14.
ré. Complétez les phrases.
Pour avril et mai, un total de ______ chaises de plage ont été louées.

Explication : Comme le magasin a loué 300 transats en avril et mai, donc 300×2= 600.

Question 14.
De juin à septembre, un total de _____ chaises de plage ont été louées.

Explication : Comme le magasin a loué 600 transats de juin à septembre, donc 600×4= 2400.

Question 14.
Joe's Fun and Sun a loué _____ chaises de plage pendant les 6 mois.

Explication : 300 × 2 = 600 et 600 × 4 = 2400. Le nombre total de chaises de plage est de 3000.

Question 15.
Mariah fabrique des colliers de perles. Les perles sont emballées dans des sachets de 50 et des sachets de 200. Mariah a acheté 4 sachets de 50 perles et 3 sachets de 200 perles. Combien de perles Mariah a-t-elle achetées ?

Explication : Mariah a acheté 4 sachets de 50 perles soit 4×50 = 200 perles. Et 3 sachets de 200 perles soit 3×200= 600. Le total des perles que Mariah a achetées sont de 200+600= 800.

Question 16.
Carmen possède trois carnets de 20 timbres et cinq carnets de 10 timbres. Combien de timbres Carmen possède-t-elle ? Complétez l'équation en utilisant les nombres sur les tuiles.

______ × 20 + ______ × 10 = ______

Noyau commun – Multiplier des dizaines, des centaines et des milliers – Page n ° 79

Trouvez le produit.

Question 1.
4 × 7,000 = 28,000
Pensez : 4 × 7 = 28
Donc, 4 × 7 000 = 28 000

Question 4.
5 × 6,000 = _____

Question 7.
6 × 3,000 = _____

Question 8.
3 × 8,000 = _____

Question 10.
9 × 4,000 = _____

Question 11.
7 × 7,000 = _____

Question 13.
4 × 5,000 = _____

Question 14.
2 × 9,000 = _____

Résolution de problème

Question 15.
Un caissier de banque a 7 rouleaux de pièces. Chaque rouleau contient 40 pièces. Combien de pièces le caissier a-t-il ?

Explication : Le caissier de banque a 7 rouleaux de pièces. Comme chaque rouleau contient 40 pièces, le total des pièces est donc de 7 × 40 = 280

Question 16.
Théo achète 5 paquets de papier. Il y a 500 feuilles de papier dans chaque paquet. Combien de feuilles de papier Théo achète-t-il ?

Explication : Le nombre total de feuilles de papier dans chaque paquet est de 500, et Theo achète 5 paquets de papiers. Le nombre total de feuilles de papier achetées par Theo est donc de 500 × 5 = 2 500.

Tronc commun – Multiplier des dizaines, des centaines et des milliers – Vérification de la leçon – Numéro de page 80

Question 1.
Un avion voyage à une vitesse de 400 milles à l'heure. Quelle distance l'avion parcourra-t-il en 5 heures ?
Options :
une. 200 milles
b. 2 000 milles
c. 20 000 milles
ré. 200 000 milles

Explication : La vitesse de l'avion est de 400 miles par heure. En 5 heures, l'avion peut parcourir 400 × 5 = 2 000 miles.

Question 2.
Une semaine, une usine de vêtements a fabriqué 2 000 chemises dans chacune de 6 couleurs différentes. Combien de chemises l'usine a-t-elle fabriquées en tout ?
Options :
une. 2 000
b. 12.000
c. 120 000
ré. 200 000

Explication : Les chemises confectionnées en une semaine sont au nombre de 2000 en 6 couleurs différentes. Le nombre total de chemises fabriquées est donc de 2000 × 6 = 12 000.

Revue en spirale

Question 3.
Quelle phrase de comparaison représente le mieux l'équation ?
6 × 7 = 42
Options :
une. 7 est 6 fois plus que 42.
b. 6 est 7 fois plus que 42.
c. 42 est 6 fois plus que 7.
ré. 6 plus que 7 fait 42.

Explication : En comparant 42= 6×7 représente l'équation.

Question 4.
La population de Middleton est de six mille cinquante-quatre personnes. Lequel des éléments suivants montre ce nombre écrit sous forme standard ?
Options :
une. 654
b. 6 054
c. 6 504
ré. 6 540

Explication : Six mille cinquante-quatre est égal à 6 054.

Question 5.
Lors d'une élection à la mairie, 85 034 personnes ont voté pour Carl Green et 67 952 personnes ont voté pour Maria Lewis. Par combien de voix Carl Green a-t-il remporté les élections ?
Options :
une. 17 082
b. 17 182
c. 22 922
ré. 152 986

Explication : Le nombre total de votes obtenus par Carl Green est de 85 034 et Maria Lewis de 67 952. Par 85 034-67 952 = 17 082 voix, Carl Green a remporté l'élection.

Question 6.
Meredith a cueilli 4 fois plus de poivrons verts que de poivrons rouges. Si elle a cueilli un total de 20 poivrons, combien de poivrons verts a-t-elle cueillis ?
Options :
une. 4
b. 5
c. 16
ré. 24

Explication : Que les poivrons rouges soient X et les poivrons verts soient 4X, et le total qu'elle a choisi est de 20 poivrons. Donc X+4X=20,
Alors X=4. Les poivrons verts qu'elle a cueillis sont 4 × 4 = 16.

Multipliez des dizaines, des centaines et des milliers – Page n ° 83

Question 1.
Estimer le produit en arrondissant.
5 × 2,213
_____ × _____ = _____

Explication : L'arrondi pour 2 213 est 2000. Donc 5 × 2000 = 10 000.

Question 2.
Estimez le produit en trouvant deux nombres entre lesquels se situe la réponse exacte.
5 × 2,213

Réponse : 5×2000= 10 000 et 5×3000= 15 000.

Explication : L'arrondi pour 2 213 est 2000 et 3000. Donc 5 × 2000 = 10 000 et 5 × 3000 = 15 000.

Dites si la réponse exacte est raisonnable.

Question 3.
Kira doit faire des copies couleur d'un dépliant de concours hippique. L'imprimante peut faire 24 copies en 1 minute. Kira dit que l'imprimante fait 114 copies en 6 minutes.

Explication : Comme l'imprimante peut faire 24 copies en 1 minute, donc si on prend 24 arrondis à 20 ou 30 alors l'imprimante fait 120 ou 180 copies. Donc Kira a tort.

Question 4.
Jones Elementary organise un lave-auto pour amasser des fonds pour un sentier équestre communautaire. Chaque billet de lavage de voiture coûte 8 $. Tiara dit que l'école recevra 1 000 $ si 125 billets sont vendus.

Réponse : Tiara dit correct.

Explication : Comme 1000÷125= 8 qui est le coût de chaque billet de lavage de voiture. La réponse est donc raisonnable.

Dites si la réponse exacte est raisonnable.

Question 5.
Évaluer le caractère raisonnable Mme Hense vend un rouleau de foin de cheval des Bermudes pour 58 $. Elle dit qu'elle gagnera 174 $ si elle vend 3 rouleaux.

Réponse : La réponse est raisonnable.

Explication : 174 étant l'arrondi le plus proche à 180. La réponse est donc raisonnable.

Question 6.
M. Brown vend des fournitures pour chevaux. Une paire de gants d'équitation se vend 16 $. Il dit qu'il gagnera 144 $ s'il vend 9 paires.

Réponse : La réponse est raisonnable

Explication : Comme 144 est compris entre 90 et 180, la réponse est donc raisonnable. Ici, nous allons arrondir pour 9 comme 10 et 20. La réponse doit donc être comprise entre 90 et 180.

Question 7.
Le chemin A et le chemin B sont des sentiers pédestres utilisés pour les chevaux. Le chemin A mesure 118 pieds de long. Le chemin B mesure 180 pieds de long. Carlos promène son cheval dans chaque chemin 3 fois. Quel chemin Carlos a-t-il utilisé pour promener son cheval sur environ 500 pieds ? Expliquer.

Explication : 118 est arrondi à 100 puis multiplié par 3, 100 Ensuite, arrondissez à 180 à 200 et multipliez par 3, 200 Comme 500 est plus proche de l'estimation de 600 par rapport à 300. Le chemin B est donc correct.

Question 8.
Les élèves de troisième année vendent 265 billets pour la pièce de théâtre de l'école. Les élèves de quatrième année vendent 3 fois plus de billets que les élèves de troisième année. Estimez le nombre de billets vendus par les élèves de quatrième année en trouvant les deux nombres entre lesquels se trouve la réponse exacte.
Les étudiants ont vendu entre

Explication : 1on arrondit à 265 200 et 300. Comme les élèves de CM1 vendent 3 fois plus que les élèves de CE1, les billets So 200 et 300 So se vendent entre 600 et 900.

Multipliez des dizaines, des centaines et des milliers – Page n ° 84

Prédisez si la réponse exacte sera inférieure ou supérieure à l'estimation. Expliquez votre réponse.

Question 9.
Le stand de nourriture du zoo a vendu 2 514 livres de hamburger le mois dernier. Le coût moyen d'une livre de hamburger est de 2 $. Jeremy estime qu'environ 6 000 $ de hamburgers ont été vendus le mois dernier.

Réponse : Moins que la quantité réelle de hamburger.

Explication : Comme la quantité de hamburger vendue est de 468 livres de moins que le montant estimé de 3000 livres. Ainsi, la réponse sera inférieure à celle estimée.

Question 10.
Un zoo a acheté 2 240 livres de nourriture fraîche pour les ours ce mois-ci. Le coût moyen d'une livre de nourriture est de 4 $. Jeremy estime qu'environ 8 000 $ ont été dépensés en nourriture fraîche pour les ours ce mois-ci.

Réponse : supérieure à la quantité réelle de nourriture achetée.

Explication : La quantité réelle de nourriture achetée pour les ours ce mois-ci était de 240 livres supérieure à la quantité estimée de 2 000 livres. Ainsi, la réponse sera supérieure au montant estimé.

Common Core – Estimate Products – Page No. 85

Estimer le produit en arrondissant.

Question 1.
4 × 472
4 × 472

4 × 500 = 2,000

Explication : L'arrondi le plus proche pour 6 254 est 6 000. Donc 2 × 6 000 = 12 000.

Explication : L'arrondi le plus proche pour 54 est 50. Donc 9×50= 450.

Explication : L'arrondi le plus proche pour 5 503 est 6 000. Donc 5 × 6 000 = 30 000.

Explication : L'arrondi le plus proche pour 832 est 800. Donc 3 × 800 = 2 400.

Réponse : L'arrondi le plus proche pour 98 est 100. Donc 6 × 100 = 600.

Réponse : L'arrondi le plus proche pour 3 250 est 3 000. Donc 8 × 3 000 = 24 000.

Explication : L'arrondi le plus proche pour 777 est 800. Donc 7 × 800 = 5 600.

Trouvez deux nombres entre lesquels se trouve la réponse exacte.

Explication : L'arrondi pour 567 est 500 et 600. Donc 3×500= 1500 et 3×600= 1800.

Explication : L'arrondi pour 7 381 est 7 000 et 8 000. Donc 6×7000= 42.000 et 6×8000= 48.000.

Explication : L'arrondi pour 94 est 90 et 100. Donc 4×90= 360 et 4×100= 400.

Explication : L'arrondi pour 684 est 600 et 700. Donc 6×600= 3600 et 6×700= 4200.

Résolution de problème

Question 13.
Isaac boit 8 verres d'eau chaque jour. Il dit qu'il boira 2 920 verres d'eau en une année de 365 jours. La réponse exacte est-elle raisonnable ? Expliquer

Explication : Comme l'arrondi pour 365 peut être 300 ou 400. Donc 8×300= 2400 et 8×400= 3200. La réponse estimée peut se situer entre 2 400 et 3 200. Donc, la réponse est oui.

Question 14.
La plupart des Américains jettent environ 1 365 livres de déchets chaque année. Est-il raisonnable d'estimer que les Américains jettent plus de 10 000 livres de déchets en 5 ans ? Expliquer.

Explication : Comme l'arrondi pour 1 365 peut être 1 000 ou 2 000. Donc 5 × 1 000 = 5 000 et 5 × 2 000 = 10 000. La réponse estimée peut être comprise entre 5 000 et 10 000.

Common Core – Estimation des produits – Vérification de la leçon – Page n° 86

Question 1.
Un théâtre compte 4 650 places.Si le théâtre vend tous les billets pour chacun de ses 5 spectacles, combien de billets environ le théâtre vendra-t-il au total ?
Options :
une. 2500
b. 10 000
c. 25 000
ré. 30 000

Explication : L'arrondi le plus proche pour 4 650 est 5 000. Donc 5 000 × 5 = 25 000.

Question 2.
L'école élémentaire de Washington compte 4 358 élèves. Jefferson High School compte 3 fois plus d'élèves que Washington Elementary. Combien d'élèves environ le lycée Jefferson compte-t-il ?
Options :
une. 16 000
b. 12.000
c. 10 000
ré. 1 200

Explication : L'arrondi le plus proche pour 4 358 étant de 4 000. Donc 4 000 × 3 = 12 000.

Revue en spirale

Question 3.
Diego a 4 fois plus de balles de baseball dédicacées que Mélanie. Diego a 24 balles de baseball dédicacées. Combien de balles de baseball dédicacées Melanie a-t-elle ?
Options :
une. 28
b. 20
c. 8
ré. 6

Explication : Que les balles de baseball Melanie soient S. Comme Diego en a 4 fois plus que Melanie et que Diego a un total de 24 balles de baseball. Donc 4×S= 24, Alors S= 24÷4 qui est 6.

Question 4.
M. Turkowski a acheté 4 boîtes d'enveloppes au magasin de fournitures de bureau. Chaque boîte contient 500 enveloppes. Combien d'enveloppes M. Turkowski a-t-il achetées ?
Options :
une. 200
b. 504
c. 2 000
ré. 20 000

Explication : Turkowski a 4 boîtes d'enveloppes et chaque boîte contient 500 enveloppes, donc le nombre total d'enveloppes que Turkowski a achetées est de 4 × 500 = 2 000.

Question 5.
La Pennsylvanie a une superficie de miles carrés 44 816. Lequel des énoncés suivants montre la superficie de la Pennsylvanie arrondie à la centaine la plus proche ?
Options :
une. 44 000 milles carrés
b. 44 800 milles carrés
c. 44 900 milles carrés
ré. 45 000 milles carrés

Explication : L'arrondi le plus proche pour 44 816 est 44 800.

Question 6.
Le tableau montre les types de DVD que les clients ont loués à Sunshine Movie Rentals l'année dernière.

Combien de films de comédie et d'action ont été loués au cours de l'année dernière ?
Options :
une. 13 620
b. 13.000
c. 12 260
ré. 10 752

Explication : Les films de comédie et d'action loués l'année dernière sont 6 720+5 540 = 12 260.

Estimer les produits – Page n° 89

Modélisez le produit sur la grille. Enregistrez le produit.

Question 1.
3 × 13

3 × 13 = _____

Explication : 3×13= 3×(10+3)
=(3×10)+ (3×3)
=30+9
=39

Question 2.
5 × 14

5 × 14 = _____

Explication : 5×14 = 5×(10+4)
= (5×10)+(5×4)
= 50+20
= 70

Trouvez le produit.

Question 3.
6 × 14

6 × 14 = ______

Explication : 6×14= 6×(10+4)
= (6×10)+(6×4)
= 60+24
= 84

Question 4.
5 × 18

5 × 18 = ______

Explication : 5 × 18 =5 × (10+8)
= (5 × 10)+ (5 ×8)
= 50+40
= 90.

Question 5.
4 × 16

4 × 16 = ______

Explication : 4 × 16= (4 × 10)+( 4 ×6)
= 40+24
= 64.

Utilisez du papier quadrillé ou des blocs de base dix pour modéliser le produit.
Ensuite, enregistrez le produit.

Explication : 7×12 = 7×(10+2)
=(7×10)+(7×2)
=70+14
84

Explication : 5×16= 5×(10+6)
=(5×10)+(5×6)
= 50+30
= 80

Explication : 9 × 13 = 9 × (10+3)
=(9×10)+(9×3)
=90+27
=117

Question 9.
Expliquez comment la modélisation de produits partiels peut être utilisée pour trouver les produits de plus grands nombres.

Réponse : 25 3= (20+5) 3
=(20×3)+(5×3)= 60+15=75

Explication : La multiplication est facile. Par exemple si on prend 25 3= (20+5) 3
=(20×3)+(5×3)= 60+15=75

Question 10.
Utilisez la propriété distributive pour modéliser le produit sur la grille. Enregistrez le produit.
4 × 14 = _____

Estimation des produits – Page n° 90

Question 11.
Kyle est allé à un marché aux fruits. Le marché vend une grande variété de fruits et légumes. L'image de droite montre un étalage d'oranges. Écrivez un problème qui peut être résolu en utilisant l'image.

Réponse : Un commerçant a des oranges. Il garde ses oranges dans le panier à 6 rangées et chaque rangée a 12 oranges. Alors combien d'oranges il possédait.

Explication : Sur l'image ci-dessus, nous pouvons voir 6 rangées et 12 colonnes d'oranges. Donc totale
non. des oranges sont 6 12 = 72 oranges.

Question 12.
Décrivez comment vous pourriez changer le problème en changeant le nombre de rangées d'oranges et le nombre d'espaces vides dans l'image. Ensuite, résolvez le problème.

Noyau commun – Multiplier à l'aide de la propriété de distribution – Page n ° 91

Modélisez le produit sur la grille. Enregistrez le produit.

Question 1.
4 × 19 = 76

4 × 10 = 40 et 4 × 9 = 36
40 + 36 = 76

Question 2.

5 × 13 = ______

Explication:
5×10= 50 et 5×3= 15
50+15= 65.

Trouvez le produit.

Question 3.

4 × 14 = ______

Explication:
4×10= 40 et 4×4= 16
40+16= 56.

Question 4.

3 × 17 = ______

Explication:
3×10=30 et 3×7=21
30+21= 51

Question 5.

6 × 15 = ______

Explication:
6×10= 60 et 6×5= 30
60+30= 90

Résolution de problème

Question 6.
Michael a disposé ses sous dans l'affichage suivant.

Combien de centimes Michael a-t-il en tout ?

Explication : Comme il y a 7 colonnes et 13 lignes, donc 13×7= 91.

Question 7.
Un agriculteur a un verger de pommiers avec les arbres disposés comme indiqué ci-dessous.

Si le fermier veut cueillir une pomme sur chaque arbre, combien de pommes cueillera-t-il ?

Explication : Comme il y a 5 colonnes et 14 lignes, donc 5×14 = 70.

Noyau commun – Multiplier à l'aide de la propriété distributive – Vérification de la leçon – Page n° 92

Question 1.
Le modèle montre comment Maya a planté des fleurs dans son jardin.

Combien de fleurs Maya a-t-elle plantées ?
Options :
une. 15
b. 18
c. 30
ré. 45

Explication : Comme 3×10= 30 et 3×5= 15
30+15= 45.

Question 2.
Le modèle ci-dessous représente l'expression 5 x 18.

Combien de dizaines y aura-t-il dans le produit final ?
Options :
une. 5
b. 6
c. 8
ré. 9

Explication : Comme 5×18 vaut 90 et 90÷10= 9. La réponse est donc 9.

Revue en spirale

Question 3.
Centre-ville a une population de vingt et un mille soixante-dix personnes. Lequel des énoncés suivants montre la population écrite sous forme standard ?
Options :
une. 21 007
b. 21 070
c. 21 077
ré. 21 700

Explication : Vingt et un mille soixante-dix est égal à 21 070.

Question 4.
L'école centrale a collecté 12 516 livres de journaux à recycler. L'école Eastland a collecté 12 615 livres de journaux. Combien de kilos de journaux en plus
Eastland School a-t-elle collecté que Central School?
Options :
une. 99 livres
b. 101 livres
c. 199 livres
ré. 1 099 livres

Explication : L'école centrale a collecté 12 516 livres et l'école d'Eastland a collecté 12 615 livres. Alors
12,615-12,516= 99.

Question 5.
Allison a 5 fois plus de cartes de baseball que de cartes de football. En tout, elle a 120 cartes de baseball et de football. Combien de cartes de baseball Allison a-t-elle ?
Options :
une. 20
b. 24
c. 96
ré. 100

Explication : Les cartes de football sont X et les cartes de baseball sont 5X. Donc 5X+X= 120 où X= 20. Comme Allison a 5 fois plus de cartes de baseball que de cartes de football. Donc 5×20 = 100.

Question 6.
Un colibri à gorge rubis bat des ailes environ 53 fois par seconde. Combien de fois environ un colibri à gorge rubis bat-il des ailes en 5 secondes ?
Options :
une. 25
b. 58
c. 250
ré. 300

Explication : Comme l'arrondi le plus proche pour 53 est 50, donc 50 × 5 = 250.

Multiplier à l'aide de la propriété distributive – Page n ° 95

Question 1.
Trouvez 4 × 213. Utilisez la forme développée.


_____

Enregistrez le produit. Utilisez le formulaire développé pour vous aider.

Explication : 4×(50+9)
= (4×50)+(4×9)
= 200+36
= 236.

Explication : 3×(200+80+8)
= (3×200)+(3×80)+(3×8)
= 600+240+24
= 864.

Enregistrez le produit. Utilisez le formulaire développé pour vous aider.

Explication : 4×(20+1)
= (4×20)+(4×1)
= 80+4
= 84.

Explication : 6×(30+5)
= (6×30)+(6×5)
= 180+30
= 210.

Question 6.
Un hôtel compte 128 chambres à chaque étage. Il y a 4 étages en tout. Si 334 des chambres de l'hôtel ont été nettoyées, combien de chambres doivent encore être nettoyées ?

Explication : Le nombre total d'étages dans un hôtel est de 4 et chaque étage compte 128 chambres. Le nombre total de chambres dans l'hôtel est donc de 128 × 4 = 512.
Dans 512 chambres, 334 ont été nettoyées et les chambres restantes à nettoyer sont 512-334 = 178.

Question 7.
Ben veut acheter 2 chandails bleus à 119 $ chacun et 3 chandails bruns à 44 $ chacun. Combien Ben dépensera-t-il pour les cinq pulls ?

Explication : Ben veut acheter 2 pulls bleus à 119 $ chacun, donc 119 × 2 = 238. Et 3 pulls marrons à 44 $ chacun, ce qui signifie 44 × 3 = 132. Le total qu'il a dépensé pour cinq chandails est de 238 + 132 = 370.

Question 8.
Un bijoutier a 36 pouces de chaîne en argent. Elle a besoin de 5 fois plus pour faire des colliers et 3 fois plus pour faire des bracelets. De combien de chaîne en argent le bijoutier a-t-il besoin pour fabriquer ses colliers et bracelets ?

Explication : Comme la bijoutière a 36 pouces de chaîne en argent et qu'elle a besoin de 5 fois pour faire des colliers, ce qui signifie 36 × 5 = 180 et 3 fois pour faire un bracelet, ce qui signifie 36 × 3 = 108. Ainsi, le ruban total dont elle a besoin est de 180. +108= 288.

Question 9.
Gretchen promène son chien 3 fois par jour. Chaque fois qu'elle promène le chien, elle parcourt 1 760 mètres. Combien de mètres parcourt-elle son chien en 3 jours ?

Explication : Gretchen marche 3 fois par jour ce qui veut dire que pendant 3 jours ce sera 9 fois. Alors qu'elle parcourt 1 760 mètres, donc 1760 × 9 = 15 840.

Question 10.
Écrivez une expression Quelle expression pourriez-vous écrire pour montrer comment multiplier 9 × 856 en utilisant la valeur de position et la forme développée ?

Explication : La valeur de position est la valeur de chaque chiffre d'un nombre. Ainsi, 856 peut être étendu en 800+50+6.

Question 11.
Jennifer a acheté 4 paquets de punaises. Il y a 48 clous dans un paquet. Elle a utilisé 160 des punaises pour mettre des affiches. Combien de clous lui reste-t-il ? Expliquer.

Explication : Jennifer a acheté 4 paquets de punaises et chaque paquet contient 48 punaises. Le total des virements est donc de 48 × 4 = 192.
Comme elle a utilisé 160 virements au total, il lui reste 192-160 = 32

Multiplier à l'aide de la propriété distributive – Page n° 96

Utilisez le tableau pour 12-13.

Question 12.
Quel est le coût total de 3 cyprès italiens ?

Explication : Le coût de chaque cyprès italien est de 79 $. Le coût total de 3 cyprès italiens est de 79 × 3 = 237.

Question 13.
Quelle est l'erreur ? Tanya dit que la différence entre le coût de 4 cerisiers en fleurs et de 4 myrtes de crêpe Muskogee est de 80 $. A-t-elle raison ? Expliquer.

Réponse : Non, car elle a utilisé un prix normal au lieu d'un prix réduit.

Explication : Pour 4 arbres et plus, il y a un prix réduit. Elle a donc tort.

Question 14.
Quel est le plus grand produit possible d'un nombre à 2 chiffres et d'un nombre à 1 chiffre ? Explique comment tu le sais.

Explication : Le plus grand nombre à 2 chiffres est 99 et le plus grand nombre à un chiffre est 9. Le produit est donc
99×9= 891.

Question 15.
Multipliez 5 × 381 en utilisant la valeur de position et la forme développée. Sélectionnez un nombre dans chaque case pour compléter l'expression.

Explication : La forme développée de 381 est 300+80+1.

Noyau commun – Multiplier à l'aide de la forme développée – Page n° 97

Enregistrez le produit. Utilisez le formulaire développé pour vous aider.

Question 1.
7 × 14 = 98
7 × 14 = 7 × (10 + 4)
= (7 × 10) + (7 × 4)
= 70 + 28
= 98

Explication : 8×(40+3)
= (8×40)+(8×3)
= 320+24
= 344.

Explication : 6×(500+30+2)
= (6×500)+(6×30)+(6×2)
= 3000+180+12
= 3,192.

Explication : 5×923= 5×(900+20+3)
=(5×900)+(5×20)+(5×3)
=4500+100+15
=4,615.

Question 5.
4 × 2,371 = _____

Explication : 4×2,371= 4×(2000+300+70+1)
= (4×2,000)+(4×300)+(4×70)+(4×1)
=8000+1200+280+4
=9,484

Question 6.
7 × 1,829 = _____

Explication : 7×1 829= 7×(1 000+800+20+9)
=(7×1,000)+( 7×800)+( 7×20)+( 7×9)
=7,000+5600+140+63
=12,803

Résolution de problème

Question 7.
Les élèves de quatrième année de l'école Riverside partent en excursion. Il y a 68 élèves dans chacun des 4 bus. Combien d'étudiants participent à la sortie scolaire ?

Explication : Le nombre de bus est de 4 et sur chaque bus, il y a 68 étudiants. Donc 68 4= 272.

Question 8.
Il y a 5 280 pieds dans un mile. Hannah aime marcher 5 miles chaque semaine pour faire de l'exercice. Combien de pieds Hannah marche-t-elle chaque semaine ?

Explication : Il y a 5 280 pieds dans un mile et Hannah marche 5 miles chaque semaine, donc 5 280 5 = 26 400.

Noyau commun – Multiplier à l'aide du formulaire développé – Vérification de la leçon – Page n° 98

Question 1.
Quelle expression montre comment multiplier 7 × 256 en utilisant la forme développée et la propriété distributive ?
Options :
une. (7 × 2) + (7 × 5) + (7 × 6)
b. (7 × 200) + (7 × 500) + (7 × 600)
c. (7 × 2) + (7 × 50) + (7 × 600)
ré. (7 × 200) + (7 × 50) + (7 × 6)

Explication : Par propriété distributive de multiplication 7×256=(7×200)+(7×50)+(7×6)

Question 2.
Sue utilise l'expression (8 × 3 000) + (8 × 200) + (8 × 9) pour aider à résoudre un problème de multiplication. Quel est le problème de multiplication de Sue ?
Options :
une. 8 × 329
b. 8 × 3 029
c. 8 × 3 209
ré. 8 × 3 290

Explication : L'expression (8×3000)+(8×200)+(8×9) est écrite dans la propriété distributive de multiplication. Donc 8×3.029.

Revue en spirale

Question 3.
Quelle est une autre façon d'écrire 9 × 200 ?
Options :
une. 18 uns
b. 18 dizaines
c. 18 centaines
ré. 18 mille

Question 4.
Quelle est la valeur du chiffre 4 dans 46 000 ?
Options :
une. 4 dizaines de milliers
b. 4 milliers
c. 4 centaines
ré. 4 dizaines

Explication : La valeur de position de 4 sur 46 000 est 40 000.

Question 5.
Chris a acheté 6 paquets de serviettes pour son restaurant. Il y avait 200 serviettes dans chaque paquet. Combien de serviettes Chris a-t-il achetées ?
Options :
une. 120
b. 1 200
c. 12.000
ré. 120 000

Explication : Le nombre total de paquets est de 6 et chaque paquet contient 200 serviettes. Donc 6 200=1 200.

Question 6.
Lequel des nombres suivants énumère les nombres du plus petit au plus grand ?
Options :
une. 8 512 8 251 8 125
b. 8 251 8 125 8 512
c. 8 125 8 512 8 251
ré. 8 125 8 251 8 512

Multiplier à l'aide du formulaire développé – Page n° 101

Question 1.
Utilisez le modèle pour trouver 2 × 137.

Explication : 2×137= 2×(100+30+7)
=(2×100)+(2×30)+(2×7)
=200+60+14
=274.

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Question 2.
1 9 0
× 3
———–
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 600
Produit : 570.

Explication : Arrondissez 190 à 200 et 200×3= 600. Et le produit est 190×3= 570.

Question 3.
4 7 1
× 4
———–
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 2000
Produit : 1884.

Explication : Arrondissez 471 à 500 et 500×4= 2000. Et le produit est 471×4= 1884.

Question 4.
3, 439
× 7
———–
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 24 500
Produit : 24 073.

Explication : Arrondissez 3 439 à 3 500 et 3 500 × 7 = 24 500. Et le produit est 35000 × 7 = 24 073.

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Question 5.
$ 5 3
× 4
———–
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 240 $
Produit : 212 $

Explication : Arrondissez 53 à 60 et 60×4= 240. Et le produit est 53×4= 212.

Question 6.
$ 4 7 3
× 4
———–
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 2 000 $
Produit : 1 892 $.

Explication : Arrondissez 473 à 500 et 500 × 4 = 2 000. Et le produit est 473×4 = 1892.

Question 7.
6 0 8
× 6
———–
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 4 200
Produit : 3 648

Explication : Arrondissez 608 à 700 et 700×6 = 4 200. Et le produit est 608 × 6 = 3 648.

Pratique : Copiez et résolvez l'estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Question 8.
2 × 78 =
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 200
Produit : 156

Explication : Arrondissez 78 à 100 et 100×2= 200. Et le produit est 78×2= 156.

Question 9.
2 × $210 =
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 600 $
Produit : 420 $

Explication : Arrondissez 210 à 300 et 300×2= 600. Et le produit est 210×2= 420.

Question 10.
2 × $682 =
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 1 400 $.
Produit : 1 364 $

Explication : Arrondissez 682 à 700 et 700×2= 1400. Et le produit est 682×2= 1364.

Question 11.
8 × 8,145 =
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 68 000.
Produit : 65 160.

Explication : Arrondissez 8 145 à 8 500 et 8 500 × 8 = 68 000. Et le produit est 8145 × 8 = 65 160.

Utilisez l'algèbre de raisonnement Trouvez le chiffre manquant.

Question 16.
Un magasin a acheté 9 caisses d'ampoules en mai et 8 caisses en juin. Il y a 48 ampoules dans un étui. Combien d'ampoules le magasin a-t-il achetées en mai et juin ?

Explication : Les ampoules en mai sont 9 cas et en juin sont 8 cas. Et chaque cas a 48 ampoules. Donc 9×48= 432 en mai et 8×48= 384 en juin. Le nombre total d'ampoules en mai et juin est donc de 384 + 432 = 816.

Question 17.
M. Wilson a économisé 2 500 $ pour acheter des billets d'avion pour sa famille. Il a acheté 6 billets d'avion pour 372 $ chacun. Quelle part de ses économies M. Wilson a-t-il après avoir acheté les billets ?

Explication : M. Wilson a acheté 6 billets et chacun coûte 372 $, donc 372 × 6 = 2 232. L'argent total épargné par M. Wilson est de 2 500 $. Les économies totales sont de 2500-2232 = 268 $.

Question 18.
L'entraîneur Ramirez a acheté 8 caisses d'eau en bouteille pour une course sur route. Il y a 24 bouteilles dans chaque caisse. Après la course, il restait 34 bouteilles d'eau. Combien de bouteilles ont été utilisées lors de la course ? Expliquer.

Explication : Ramirez a acheté 8 caisses d'eau et chaque caisse contient 24 bouteilles. Le total des bouteilles est donc de 8×24=192 et il reste 34 bouteilles. Par conséquent, les bouteilles utilisées sont 192-34 = 158.

Multiplier à l'aide du formulaire développé – Page n° 102

Question 19.
Utilisez des diagrammes Regardez l'image. Kylie a 832 chansons sur son lecteur multimédia portable. Lance a 3 fois plus de chansons. Combien de chansons de moins Lance peut-il ajouter à son lecteur que Kylie ne peut en ajouter au sien ?

Explication : Le nombre total de chansons dans les lecteurs multimédias portables est de 9 000, et Kylie a 832 chansons. Kylie peut donc ajouter 9 000 à 832 = 8 168 chansons. Lance a 3 fois plus de chansons que Kylie, donc Lance en a 832 × 3 = 2 496. Il peut ajouter 9000-2496= 6504 à son lecteur. Par conséquent, 8168-6504=1664 Lance peut ajouter 1664 chansons de moins à son lecteur que Kylie.

Question 20.
James veut acheter le nouveau lecteur multimédia portable présenté. Il a 5 fois plus de chansons que Susan. Susan a 1146 chansons. Toutes ses chansons tiendront-elles sur le lecteur multimédia portable ? Combien de chansons James a-t-il ?

Réponse : 5 730 chansons. Oui, s'adaptera au lecteur multimédia portable.

Explication : Susan a 1 146 chansons et James a 5 fois plus de chansons que Susan, donc 1 146 5 = 5 730 chansons pourront tenir sur le lecteur multimédia portable.

Question 21.
La somme d'un nombre à 3 chiffres et d'un nombre à 1 chiffre est 217. Le produit des nombres est 642. Si un nombre est compris entre 200 et 225, quels sont les nombres ?

Explication : Comme le produit donné est 642 et que le nombre à 3 chiffres est compris entre 200 et 225, le nombre à 1 chiffre est donc 3 car si nous multiplions 200 et 225 par 3, nous obtiendrons le produit comme 600 et 675 et 642 se trouvent entre eux . Donc 642 3 = 214. Et le nombre à un chiffre est 3.

Question 22.
Mme Jackson a acheté 6 gallons de jus pour une fête. Chaque gallon contient 16 tasses. Après la fête, il restait 3 tasses de jus.À la fête, combien de tasses les gens ont-ils bu ? Montrez votre travail et expliquez comment vous avez trouvé votre réponse.

Explication : Mme Jackson a acheté 6 gallons de jus et chaque gallon contient 16 tasses. Le nombre total de tasses de jus est donc de 16 6 = 96 tasses. Et en cela, il restait 3 tasses de jus après la fête. Donc 96-3 = 93 tasses de jus que les gens ont bu.

Noyau commun – Multiplier à l'aide de produits partiels – Page n° 103

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Réponse:
Estimation : 1800
Produit : 1920.

Explication : En arrondissant 640 à 600, le produit estimé est 600 3 = 1800 et 640 3 = 1920.
6 4 0
× 3
——————
1800
+120
+0
——————
1920

Réponse:
Estimation : 500 $
Produit : 745 $

Explication : En arrondissant 149 à 100, le produit estimé est 100 5= 500 et 149 5= 745.
$ 1 4 9
× 5
——————
500
+200
+45
——————
745

Réponse:
Estimation : 5600
Produit : 5768

Explication : En arrondissant 721 à 700, le produit estimé est 700 8= 5600 et 721 8= 5768.
7 2 1
× 8
——————
5600
+160
+8
——————
5,768

Réponse:
Estimation : 1 200
Produit : 1 172

Réponse:
Estimation : 2400 $
Produit : 2496 $

Réponse:
Estimation : 2000
Produit : 1922

Réponse:
Estimation : 7 200
Produit : 7 533

Explication : En arrondissant 837 à 800, le produit estimé est 800 9= 7200 et
837 9= 7533.

Réponse:
Estimation : 2 800
Produit : 2 608

Réponse:
Estimation : 900
Produit : 921

Explication : : en arrondissant 307 à 300, le produit estimé est 300 3= 900 et
307 3= 921.
3 0 7
× 3
——–
900
+21
——
921

Réponse:
Estimation : 3500
Produit : 3 801

Explication : : Arrondir 543 à 500 puis le produit estimé est 500 7= 3500 et
543 7= 3801.
5 4 3
× 7
——————
3500
+280
+21
—————–
3801

Réponse:
Estimation : 4 000 $.
Produit : 4 110 $.

Explication : Explication : : Arrondir 822 à 800 puis le produit estimé est 800 5= 4000 et
822 5= 4110.
$ 8 2 2
× 5
——————
4000
+100
+10
——————
4110

Résolution de problème

Question 13.
Un labyrinthe à une foire de comté est fait de 275 balles de foin. Le labyrinthe de la foire d'État est composé de 4 fois plus de balles de foin. Combien de balles de foin sont utilisées pour le labyrinthe de la foire d'État ?

Explication : Le nombre de balles de foire de campagne est de 275 et les balles de foire d'État sont 4 fois plus nombreuses que les balles de foire de campagne. Donc 275 4 = 1100

Question 14.
Pedro dort 8 heures par nuit. Combien d'heures Pedro dort-il dans une année avec 365 jours ?

Explication : Pedro dort 8 heures chaque nuit et 365 jours Pedro dort 365 8 = 2 920 heures.

Noyau commun – Multiplier à l'aide de produits partiels – Vérification de la leçon – Page n° 104

Question 1.
Un avion de ligne vole à une vitesse moyenne de 548 milles à l'heure. A cette vitesse, combien de kilomètres l'avion parcourt-il en 4 heures ?
Options :
une. 2 092 milles
b. 2 112 milles
c. 2 192 milles
ré. 2 480 milles

Explication : La vitesse moyenne des jets de passagers est de 548 milles à l'heure. Et l'avion voyage en 4 heures soit 548 4 = 2 192 milles.

Question 2.
Utilisez le modèle pour trouver 3 x 157.

Options :
une. 300 171
b. 300 157
c. 471
ré. 451

Explication : Par propriété distributive de multiplication 3 x 157= 3 x(100+50+7)
=(3 x100)+(3吮)+(3࡭)
=300+150+21
=471

Revue en spirale

Question 3.
La fête foraine de l'école a rapporté 1 768 $ en jeux et 978 $ en ventes de nourriture. Combien d'argent la fête foraine a-t-elle gagné sur les jeux et les ventes de nourriture?
Options :
une. 2 636 $
b. 2 646 $
c. 2 736 $
ré. 2 746 $

Explication : L'argent gagné sur les jeux est de 1 768 $ et sur la vente de nourriture est de 978 $. L'argent total gagné sur les jeux et les ventes de nourriture est donc de 1768 + 978 = 2746.

Question 4.
Utilisez le tableau ci-dessous.

Lequel des énoncés suivants répertorie les états de la population la moins à la plus grande ?
Options :
une. Alaska, Dakota du Nord, Vermont
b. Vermont, Alaska, Dakota du Nord
c. Dakota du Nord, Vermont, Alaska
ré. Vermont, Dakota du Nord, Alaska

Explication : le Vermont en compte 621 760, le Dakota du Nord 646 844 et l'Alaska 698 473.
Donc Vermont, Dakota du Nord, Alaska.

Question 5.
Un parc national couvre 218 375 acres. Quel est ce nombre écrit sous forme développée ?
Options :
une. 200 000 + 10 000 + 8 000 + 300 + 70 + 5
b. 20 000 + 1 000 + 800 + 30 + 75
c. 218 + 375
ré. 218 mille 375

Explication : 218 375 est étendu comme 200 000 + 10 000 + 8 000 + 300 + 70 + 5

Question 6.
L'année dernière, une entreprise a réalisé des bénéfices de 8 000 $. Cette année, ses bénéfices sont 5 fois plus importants. Quels sont les bénéfices de cette année ?
Options :
une. 4 000 $
b. 40 000 $
c. 44 000 $
ré. 400 000 $

Explication : Bénéfice de 8 000 $ l'an dernier et 5 fois plus cette année. Donc, cette année, le bénéfice est de 8 000 5 = 40 000.

Multiplier à l'aide de produits partiels – Page n° 105

Choisissez le meilleur terme dans la case pour compléter la phrase.

Question 1.
Pour trouver le produit d'un nombre à deux chiffres et d'un nombre à 1 chiffre, vous pouvez multiplier les dizaines, multiplier les uns et trouver la somme de chaque ________________.

Explication : Les facteurs sont les nombres qui divisent complètement le nombre d'origine.

Question 2.
Le _____________ stipule que multiplier une somme par un nombre revient à multiplier chaque addition par le nombre, puis à additionner les produits.

Réponse : propriété distributive

Explication : La propriété distributive signifie que si nous multiplions une somme par un nombre, cela revient à multiplier chaque addition par le nombre et à additionner les produits.

Écris une phrase de comparaison.

Question 3.
5 × 9 = 45
______ fois plus que ______ est ______ .

Réponse : 5 fois plus que 9 font 45

Explication:

Question 4.
24 = 6 × 4
______ est ______ fois plus que ______ .

Réponse : 24 est 6 fois plus que 4.

Explication:

Question 5.
54 = 6 × 9
______ est ______ fois plus que ______ .

Réponse : 54 est 6 fois plus que 9

Explication:

Question 6.
8 × 6 = 48
______ fois plus que ______ est ______ .

Réponse : 48 est 8 fois plus que 6.

Explication:

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Réponse:
Estimation : 500
Produit : 375

Explication : En arrondissant 75 à 100, la valeur estimée est 100 × 5 = 500 et 75 × 5 = 375

Réponse:
Estimation : 60
Produit : 72

Explication : En arrondissant de 12 à 10, la valeur estimée est 10×6= 60 et 12×6= 72

Réponse:
Estimation : 90
Produit : 84

Explication : Arrondir 28 à 30, la valeur estimée est 30×3= 90 et 28×3= 84

Réponse:
Estimation : 300
Produit : 258

Explication : Arrondir 43 à 50, la valeur estimée est 50×6= 300 et 43×6= 258

Enregistrez le produit. Utilisez le formulaire développé pour vous aider.

Explication : 5 × 64= 5×(60+4)
=(5×60)+(5×4)
=300+20
=320

Question 12.
3 × 272 = _____

Explication : 3 × 272= 3×(200+70+2)
=(3×200)+(3×70)+(3×2)
=600+210+6
= 812

Multiplier à l'aide de produits partiels – Page n° 106

Question 13.
Il y a 6 fois plus de chiens que de chats. Si le nombre total de chiens et de chats est de 21, combien y a-t-il de chiens ?

Explication : Les chats sont X et les chiens jusqu'à 6, donc les chiens sont 6X. Comme le nombre total de chats et de chiens est X+6X=21, Et X= 3 donc les chiens sont 6×3= 18

Question 14.
Le tableau ci-dessous montre le nombre de calories dans 1 tasse de différents types de baies. Combien de calories dans 4 tasses de mûres ?

Explication : Le nombre de calories de mûres dans une tasse est de 62 et dans 4 tasses est de 62 × 4 = 248.

Question 15.
La patinoire a loué 218 paires de patins au mois d'avril et 3 fois plus en mai. Combien de paires de patins la patinoire a-t-elle louée en avril et mai ?

Explication : Le nombre de paires de raies en avril est de 218 et 3 fois plus en mai. Alors
3 × 218 = 654. Le nombre total de raies en avril et mai est de 218 + 654 = 872

Multiplier à l'aide de produits partiels – Page n° 109

Question 1.
Décomposez le facteur 112 pour trouver 7 × 112 en utilisant le calcul mental et l'addition.
7 × 112 = 7 × (_____ + 12)

Explication : 7 × 112 = 7 × (100 + 12)
= 7×(100+12)
= 700+84
= 784

Trouvez le produit. Dites quelle stratégie vous avez utilisée.

Question 2.
4 × 6 × 50 = _____

Réponse : 1200, Propriété associative.

Explication:
4 × 6 × 50= 4 ×(6×50)
=4×(300)
=1200.

Explication : 420= 400+20
5×420= 5×(400+20)
=(5×400)+(5×20)
=2000+100
=2100.

Réponse : 1788, Propriété distributive.

Explication : 6×298 = 6×(200+90+8)
= (6×200)+( 6×90)+( 6×8)
= 1200+540+48
= 1788

Trouvez le produit. Dites quelle stratégie vous avez utilisée.

Réponse : 700, diviser par deux et doubler.

Explication : 14×50= (14×25)+(7×50)
= 350+350
= 700

Explication : 32 × 25= 32× (20+5)
=(32×20)+(32×5)
=640+160
=800

Question 7.
8 × 25 × 23 = _____

Réponse : 4 600, Propriété associative.

Explication : 8×25×23=(8×25)× 23
=(200) ×23
4,600

Pratique : copier et résoudre Utilisez une stratégie pour trouver le produit.

Question 8.
16 × 400 = _____

Réponse : 6400, Propriété distributive.

Explication : 16×400= (8+8)×400
=(8×400)+ (8×400)
=3200+3200
=6400

Question 9.
3 × 31 × 10 = _____

Réponse : 930, Propriété associative.

Explication : 3×31×10= (3×31)×10
=(93) ×10
=930

Question 10.
3 × 199 = _____

Réponse : 597, Propriété distributive.

Explication : 3×199=3×(100+90+9)
=(3×100)+(3×90)+(3×9)
=300+270+27
= 597

Question 11.
3 × 1,021 = _____

Réponse : 3063, Propriété distributive.

Explication : 3×1021= 3×(1000+20+1)
=(3×1000)+(3×20)+(3×1)
=3000+60+3
=3063

Identifier les relations Algèbre Utilisez le calcul mental pour trouver le nombre inconnu.

Question 12.
21 × 40 = 840, donc
21 × 42 = _____

Explication : Par propriété distributive 21 × 42= 21 (40+2)
=(21×40)+(21×2)
=840+42
=882

Question 13.
9 × 60 = 540, donc
18 × 30 = _____

Explication : Comme un facteur est réduit de moitié et l'autre est doublé et le résultat est une expression équivalente.

Question 14.
Le musée des sciences vend des modèles de dinosaures aux écoles et aux bibliothèques pour 107 $ chacun. La bibliothèque municipale achète 3 modèles. L'école primaire de la ville achète 5 modèles. Quel est le coût total des modèles achetés par la ville ?

Explication : Le coût de chaque modèle de dinosaure est de 107 $, et la bibliothèque de la ville achète 3 modèles qui coûtent 107×3= 321, et l'école primaire de la ville achète 5 modèles qui coûtent 107×5= 535. Le coût total est de 321+535= 856.

Question 15.
Kyle et Karen ont chacun acheté 6 carnets de tickets de course à la foire. Chaque livre contient 15 billets. Combien de billets ont-ils achetés en tout ?

Explication : Kyle et Karen ont chacun acheté 6 livres chacun, ce qui signifie un total de 12 livres et chaque livre contient 15 billets. Donc le total des billets achetés tous les deux est de 12 × 15 = 180

Multiplier à l'aide de produits partiels – Page n° 110

Utilisez le tableau pour 16-18.

Question 16.
Trois mille quarante-trois personnes achètent des billets à la porte pour la section N et cent personnes achètent des billets à la porte pour la section L. Combien d'argent est collecté pour les sections N et L à la porte ?

Explication : Comme 3043 personnes ont acheté des billets à la porte pour la section N, donc 3043 × 25 = 76075 $ et 100 personnes ont acheté des billets à la porte pour la section L, donc 100 × 35 = 3 500 $. L'argent total collecté par les deux sections est de 76075+3500= 79575.

Question 17.
Utilisez les diagrammes Tina et 3 de ses amis achètent le plan de la saison complète pour la section M. S'il y a 45 matchs dans la saison complète, combien d'argent dépensent-ils ?

Explication : Tina et 3 de ses amis, ce qui signifie un total de 4 membres ont acheté une saison complète pour la section M qui coûte 25 $ pour chacun, donc le coût total est de 25 × 4 = 100. S'il y a 45 matchs en saison complète, alors 45 × 100 = $4500.

Question 18.
Lorsque les billets de saison complète ont été mis en vente pour la première fois, 2 000 billets de saison complète ont été vendus pour la section N. Deux semaines après la première mise en vente des billets, 1 500 autres billets de saison complète ont été vendus pour la section N. Combien d'argent a été dépensé en billets de saison complète pour Section N au total ? Combien plus d'argent a été dépensé lors de la première mise en vente des billets qu'après les deux premières semaines ?
_____ $ ont été dépensés en billets de saison complète pour la section N au total

Explication : Les premiers billets de vente vendus sont de 2 000 pour la section N soit 2 000 × 20 = 40 000.
Et lors de la prochaine vente, 1500 billets ont été vendus, soit 1500 × 20 = 30 000. L'argent total dépensé est de 40 000 + 30 000 = 70 000.

Question 19.
Trouvez 6 × 407. Montrez votre travail et expliquez pourquoi la stratégie que vous avez choisie fonctionne le mieux avec les facteurs.

Explication : En utilisant la propriété de distribution 6×407= 6×(400+7)
=(6×400)+(6×7)
=2400+42
=2,442.

Tronc commun – Multiplier en utilisant le calcul mental – Page n° 111

Trouvez le produit. Dites quelle stratégie vous avez utilisée.

Question 1.
6 × 297
Pensez : 297 = 300 – 3
6 × 297 = 6 × (300 – 3)
= (6 × 300) – (6 × 3)
= 1,800 – 18
= 1,782
utiliser la soustraction

Question 2.
8 × 25 × 23 = _____

Réponse : 4 600. Propriété associative.

Explication : La propriété associative indique que les termes d'un problème d'addition ou de multiplication peuvent être regroupés de différentes manières et que la réponse reste la même.
8 × 25 × 23= (8×25)×23
=200×23
=4600

Explication : 604= 600+4
8×604= 8×(600+4)
=(8×600)+(8×4)
=4800+32
=4832.

Réponse : 1400, réduire de moitié et doubler.

Explication : 50×28= (25×28)+(50×14)
=700+700
=1400

Explication : Par propriété distributive 9 × 199= 9 × (100+90+9)
=(9×100)+(9×90)+(9×9)
=900+810+81
= 1791

Question 6.
20 × 72 × 5 = _____

Explication : La propriété associative indique que les termes d'un problème d'addition ou de multiplication peuvent être regroupés de différentes manières et que la réponse reste la même.
20 × 72 × 5= (20×72) ×5
=1440×5
=7,200.

Explication : Multiplication.
32×25= 800.

Résolution de problème

Question 8.
La section J dans une arène a 20 rangées. Chaque rangée a 15 sièges. Tous les billets coûtent 18 $ chacun. Si tous les sièges sont vendus, combien d'argent l'arène collectera-t-elle pour la section J ?

Explication : Le nombre total de rangées dans l'arène est de 20 rangées et chaque rangée a 15 sièges. Le nombre total de sièges est donc de 20 × 15 = 300 sièges. Et chaque billet coûte 18 $, donc le prix total du billet est de 300 × 15 = 5400.

Question 9.
Dans un gymnase de lycée, les gradins sont divisés en 6 sections égales. Chaque section peut accueillir 395 personnes. Combien de personnes peuvent être assises dans le gymnase ?

Explication : Le nombre total de sections est de 6 et chaque section contient 395 personnes. Le nombre total de membres pouvant être assis dans le gymnase est donc de 395 × 6 = 2 370 personnes.

Tronc commun – Multiplier à l'aide de calcul mental – Vérification de la leçon – Page n° 112

Question 1.
Les crayons sont livrés en cartons de 24 boîtes. Une école a acheté 50 cartons de crayons pour la rentrée. Chaque boîte de crayons coûte 2 $. Combien l'école a-t-elle dépensé
aux crayons ?
Options :
une. 240 $
b. 1 200 $
c. 2 400 $
ré. 4 800 $

Explication : Le nombre total de boîtes de crayons est de 24 et une école a acheté 50 boîtes de crayons. Donc non. des boîtes sont de 24×50=1200 et chaque boîte de crayons coûte 2 $. Donc 1200×2= 2400 l'école a dépensé.

Question 2.
L'école a également acheté 195 paquets de marqueurs. Il y a 6 marqueurs dans un paquet. Combien de marqueurs l'école a-t-elle achetés?
Options :
une. 1 170
b. 1 195
c. 1 200
ré. 1 230

Explication : L'école a acheté 195 paquets de marqueurs et chaque paquet contient 6 marqueurs, le nombre total de marqueurs est donc de 195 × 6 = 1170

Revue en spirale

Question 3.
Alex a 175 cartes de baseball. Rodney a 3 fois plus de cartes de baseball qu'Alex. Combien de cartes de moins Alex a-t-il que Rodney ?
Options :
une. 700
b. 525
c. 450
ré. 350

Explication : Alex a 175 cartes de baseball et Rodney en a 3 fois plus qu'Alex, donc non. des cartes que Rodney a sont 175 × 3 = 525. Et Alex a 525-175 = 350 cartes de moins que Rodney.

Question 4.
Un théâtre peut accueillir 1 860 personnes. Les 6 derniers spectacles sont complets. Quelle est la meilleure estimation du nombre total de personnes ayant assisté aux 6 derniers spectacles ?
Options :
une. moins de 6 000
b. environ 6 000
c. moins de 12.000
ré. plus de 20 000

Explication : Le nombre de places dans un théâtre est de 1 860 personnes et les 6 derniers spectacles ont été complets, donc 1 860×6 = 11 160 soit moins de 12 000.

Question 5.
Lors d'un match de basket, il y avait 1 207 personnes qui regardaient. Au match suivant, il y avait 958 personnes. Combien de personnes en tout étaient présentes aux deux matchs ?
Options :
une. 2 155
b. 2 165
c. 2 265
ré. 10 787

Explication : Il y a 1207 personnes qui regardent le match de basket et au prochain match 958 personnes sont là. Donc pas du tout. des personnes sont 1 207 + 958 = 2 165.

Question 6.
Bill a acheté 4 puzzles. Chaque puzzle a 500 pièces. Combien y a-t-il de pièces dans tous les puzzles en tout ?
Options :
une. 200
b. 900
c. 2 000
ré. 20 000

Explication : Bill a acheté 4 puzzles et chaque puzzle a 500 pièces. Donc, au total, les pièces sont 500 × 4 = 2000.

Multiplier en utilisant le calcul mental – Page n ° 115

Question 1.
Les places dans les sections A et B du stade sont toutes prises pour le dernier spectacle. La section A comprend 8 rangées de 14 sièges chacune. La section B comprend 6 rangées de 16 sièges chacune. Combien de personnes sont assises dans les sections A et B pour le dernier spectacle ?
Tout d'abord, dessinez et étiquetez un diagramme. Ensuite, trouvez le nombre de sièges dans chaque section.

Enfin, trouvez le nombre total de sièges.
_____ + _____ = _____

Explication : Comme la section A a 8 rangées et 14 sièges chacune, donc 14 × 8 = 112 et la section B a 6 rangées et 16 sièges chacune, donc 16 × 6 = 96. Total non. des personnes sont assises dans la section A et la section B sont
112+96= 208.

Question 1.
Il y a _____________ personnes assises dans les sections A et B pour le dernier spectacle.

Explication : Comme la section A compte 112 personnes et la section B 96 personnes, donc 112+96= 208.

Question 2.
Et si les sections A et B avaient chacune 7 lignes ? Combien de personnes auraient été assises dans les sections A et B ?

Explication : Comme la section A a 7 rangées et 14 sièges chacune, donc 14×7= 98 et la section B a 7 rangées et 16 sièges chacune, donc 16×7= 112. Total non. des personnes sont assises dans la section A et la section B sont
112+98= 210.

Question 3.
Le potager de Brenda a 13 rangées avec 8 plantes dans chaque rangée. Brenda prévoit de planter des poivrons dans les 2 premiers rangs et les 2 derniers rangs du jardin. Le reste des rangées sera des tomates. Combien de plants de tomates Brenda va-t-elle planter ?

Explication : le potager de Brenda a 13 rangs avec 8 plants dans chaque rang car elle prévoit de planter les 2 premiers rangs et les 2 derniers rangs avec du poivre, donc 13-4= 9 rangs contiennent des plants de tomates et chaque rang contient 8 plants, donc 9×8 = 72 plants de tomates.

Question 4.
Il y a 8 rangées de 22 chaises mises en place pour une cérémonie de remise des prix à l'école. Dans chaque rangée, les 2 chaises à chaque extrémité sont réservées aux étudiants récompensés. Le reste des chaises est réservé aux invités. Combien de chaises y a-t-il pour les invités ?

Explication : Comme il y a 8 rangées avec 22 chaises dans chaque rangée, donc total non. de chaises est de 22 × 8 = 176 chaises. Comme 2 chaises à chaque extrémité sont réservées aux étudiants recevant le prix, le nombre total de chaises réservées est donc de 8 × 4 = 32. Les chaises restantes sont donc 176-32 = 144.

Multiplier en utilisant le calcul mental – Page n° 116

Utilisez le graphique pour 5-6.

Question 5.
M. Torres a emmené ses élèves au spectacle des dauphins. Chaque rangée du stade avait 11 sièges. Un adulte était assis à chaque extrémité d'une rangée et chaque groupe de 4 étudiants était assis entre 2 adultes. M. Torres s'assit seul. Combien y avait-il d'adultes ?
_____ adultes dont M. Torres

Explication : Nous devons d'abord trouver le non total.de lignes, comme il y a 24 étudiants, chaque groupe contient 4 étudiants, donc 24 4 = 6 lignes. Et un adulte s'est assis à chaque extrémité de la rangée, donc dans 6 rangées, 2 personnes seront assises. Par conséquent, le nombre total d'adultes est de 6 × 2 = 12 adultes + M. Torres = 13 adultes.

Question 6.
Une autre section du stade compte 24 rangées de 10 sièges chacune. Décrivez au moins deux façons dont la classe de Mme Allen peut s'asseoir si un nombre égal d'élèves sont assis dans chaque rangée.

Réponse : 9 rangées de 4 élèves ou 6 rangées de 6 élèves.

Explication : Comme il y a 36 élèves dans la classe de Mme Allen. Ainsi, les élèves peuvent s'asseoir en 6 rangées de 6 élèves ou 9 rangées de 4 élèves.

Question 7.
Carol, Ann et Liz ont chacune acheté un poisson jouet. Le poisson de Carol mesure 10 pouces de plus que le poisson d'Ann. Le poisson de Liz mesure 2 pouces de plus que deux fois la longueur du poisson d'Ann. Le poisson d'Ann mesure 12 pouces de long. Trouvez la longueur de chaque poisson jouet.
Celle de Carol : _____ po. Celle de Liz : _____ po.

Réponse : celle de Carol : 22 pouces, celle de Liz : 26 pouces.

Explication : le poisson d'Ann mesure 12 pouces de plus et le poisson de Carol est 10 pouces de plus que le poisson d'Ann, ce qui signifie 10 + 12 = 22 pouces, donc le poisson de Carol mesure 22 pouces. Le poisson de Liz mesure 2 pouces de plus que le double du poisson d'Ann, ce qui signifie (2×12) +2=24+2=26 pouces.

Question 8.
Évaluer les relations Nell a créé un code secret. Chaque mot de code a 2 lettres. Chaque mot commence par une consonne et se termine par une voyelle. Combien de mots de code Nell peut-il faire avec 3 consonnes et 2 voyelles ?
_____ mots de code

Explication : Comme chaque mot commence par une consonne et se termine par une voyelle, la première lettre peut être l'une des 3 consonnes et la deuxième lettre peut être l'une des 2 voyelles. Donc Nell peut faire 3×2=6 voies.

Question 9.
Allie construit un patio. Le patio aura 8 tuiles dans chacune des 13 rangées. Elle a déjà construit la section centrale avec 4 tuiles dans chacune des 7 rangées. Combien de tuiles supplémentaires sont nécessaires pour compléter le patio ? Montre ton travail.

Explication : Allie avait 8 tuiles dans chacune des 13 rangées, ce qui signifie 13 × 8 = 104 tuiles. Et la section centrale a été construite par 4 tuiles dans chacune des 7 rangées, ce qui signifie 4 × 7 = 28 tuiles. Donc 104-28 = 76 tuiles de plus nécessaires pour compléter le patio.

Noyau commun – Résolution des problèmes de multiplication à plusieurs étapes – Page n° 117

Résoudre chaque problème.

Question 1.
Un parc communautaire a 6 tables avec un échiquier peint sur le dessus. Chaque plateau comporte 8 rangées de 8 cases. Lorsqu'un jeu est mis en place, 4 rangées de 8 cases sur chaque plateau sont recouvertes de pièces d'échecs. Si un jeu est installé sur chaque table, combien de cases au total ne sont PAS couvertes par des pièces d'échecs ?

4 × 8 = 32
32 × 6 = 192 carrés

Question 2.
Jonas et ses amis vont cueillir des pommes. Jonas remplit 5 paniers. Chaque panier contient 15 pommes. Si 4 des amis de Jonas cueillent la même quantité que Jonas, combien de pommes Jonas et ses amis cueillent-ils en tout ? Faites un schéma pour résoudre le problème.

Explication : Alors que Jonas remplit 5 paniers contenant 15 pommes, Jonas a donc cueilli 15 × 5 = 75 pommes.
Et 4 de ses amis cueillent la même quantité de pommes, ce qui signifie 75×4=300. Le total de pommes que Jonas et ses amis ont ramassés est donc de 300 + 75 = 375 pommes.

Question 3.
Il y a 6 rangées de 16 chaises installées pour le jeu de troisième année. Dans les 4 premiers rangs, 2 chaises à chaque extrémité sont réservées aux enseignants. Le reste des chaises est réservé aux étudiants. Combien y a-t-il de chaises pour les étudiants ?

Explication : Comme il y a 6 rangées de 16 chaises, ce qui signifie 16 × 6 = 96 chaises au total. Et les 4 premières rangées 2 chaises à chaque extrémité sont réservées aux enseignants, ce qui signifie que 4×4 = 16 chaises sont réservées aux enseignants. Donc 96-16= 80 chaises sont laissées pour les étudiants.

Noyau commun – Résolution des problèmes de multiplication à plusieurs étapes – Vérification de la leçon – Page n° 118

Question 1.
Dans une ferme arboricole, il y a 9 rangées de 36 épinettes. Dans chaque rangée, 14 des épinettes sont des épinettes bleues. Combien d'épinettes ne sont PAS des épinettes bleues ?
Options :
une. 126
b. 198
c. 310
ré. 324

Explication : Il y a 9 rangées de 36 épinettes, ce qui signifie 9×36 = 324 épinettes. Et dans cela, chaque rangée a 14 épinettes bleues, ce qui signifie 14 × 9 = 126. Donc 324-126 = 198 épinettes ne sont pas bleues.

Question 2.
Ron carre un plan de travail. Il doit placer 54 tuiles carrées dans chacune des 8 rangées pour couvrir le comptoir. Il veut placer au hasard 8 groupes de 4 tuiles bleues chacun et que le reste des tuiles soit blanc. De combien de carreaux blancs Ron aura-t-il besoin ?
Options :
une. 464
b. 432
c. 400
ré. 32

Explication : Ron place 54 tuiles carrées dans chacune des 8 rangées, ce qui signifie 54×8=432 tuiles. Et il place au hasard 8 groupes de 4 tuiles bleues, ce qui signifie que 8×4 = 32 tuiles bleues sont placées. Donc non. des carreaux blancs sont 432-32 = 400.

Question 3.
Juan lit un livre de 368 pages. Savannah lit un livre avec 172 pages de moins que le livre de Juan. Combien de pages y a-t-il dans le livre que Savannah lit ?
Options :
une. 196
b. 216
c. 296
ré. 540

Explication : Juan lit un livre de 368 pages et Savannah lit un livre de 172 pages de moins que celui de Juan, ce qui signifie que 368-172 = 196 pages sont dans la lecture de Savannah.

Question 4.
Hailey a des bouteilles qui contiennent 678 centimes chacune. Combien de centimes environ dispose-t-elle si elle a 6 bouteilles remplies de centimes ?
Options :
une. 3 600
b. 3 900
c. 4 200
ré. 6 000

Explication : arrondissons 678 à 700 et Hailey a des bouteilles qui contiennent 700 centimes chacune et si elle a 6 bouteilles remplies de centimes, cela signifie 700 × 6 = 4 200.

Question 5.
Terrence plante un jardin qui a 8 rangées de fleurs, avec 28 fleurs dans chaque rangée. Combien de fleurs Terrence a-t-il plantées ?
Options :
une. 1 664
b. 224
c. 164
ré. 36

Explication : Comme le jardin a 8 rangées de fleurs avec 28 fleurs dans chaque rangée, donc non. de fleurs est 28×8 = 224.

Question 6.
Kevin a 5 poissons dans son aquarium. Jasmine a 4 fois plus de poissons que Kevin. Combien de poissons possède Jasmine ?
Options :
une. 15
b. 20
c. 25
ré. 30

Explication : Comme Kevin a 5 poissons et Jasmine en a 4 fois plus que Kevin, ce qui signifie 5×4 = 20 poissons que Jasmine a.

Résolution de problèmes Problèmes de multiplication à plusieurs étapes – Page n° 121

Question 1.
Utilisez le modèle pour trouver le produit.

2 × 36 = _____

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Réponse:
Estimation : 160
Produit : 168

Explication : Arrondissez 42 à 40 et la valeur estimée est 40×4= 160 et 42×4= 168
4 2
× 4
——-
168

Réponse:
Estimation : 60
Produit : 64

Explication : Arrondissez 32 à 30 et la valeur estimée est 30×2= 60 et 32×2= 64.
3 2
× 2
——
64

Réponse:
Estimation : 400
Produit : 405

Explication : Arrondissez 81 à 80 et la valeur estimée est 80×5= 400 et 81×5= 405.
81
× 5
——
405

Réponse:
Estimation : 420
Produit : 441

Explication : Arrondissez 63 à 60 et la valeur estimée est 60×7= 420 et 63×7= 441.
$63
× 7
——
441

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Réponse:
Estimation : 60
Produit : 66

Explication : Arrondissez 33 à 30 et la valeur estimée est 30×2= 60 et 33×2= 66.
3 3
× 2
——
66

Réponse:
Estimation : 90
Produit : 75

Explication : Arrondissez 25 à 30 et la valeur estimée est 30×3= 90 et 25×3= 75.
$25
× 3
——
75

Réponse:
Estimation : 320
Produit : 288

Explication : Arrondissez 36 à 40 et la valeur estimée est 40×8= 320 et 36×8= 288.
36
× 8
——
288

Réponse:
Estimation : 450
Produit : 470

Explication : Arrondissez 94 à 90 et la valeur estimée est 90×5= 450 et 94×5= 470.
$94
× 5
——
470

Pratique : Copiez et résolvez l'estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Question 10.
3 × 82
Estimation: _________
Produit: _________

Réponse:
Estimation : 240
Produit : 246

Explication : Arrondissez 82 à 80 et la valeur estimée est 80×3= 240 et 82×3= 246.
3 2
× 2
——
246

Question 11.
9 × 41
Estimation: _________
Produit: _________

Réponse:
Estimation : 360
Produit : 369

Explication : Arrondissez 41 à 40 et la valeur estimée est 40×9= 360 et 41×9= 369.
41
×9
——
369

Question 12.
7 × $23
Estimation : _________ $
Produit : _________ $

Réponse:
Estimation : 140
Produit : 161

Explication : Arrondissez 23 à 20 et la valeur estimée est 20×7= 140 et 23×7= 161.
23
× 7
——
161

Question 13.
8 × $54
Estimation : _________ $
Produit : _________ $

Réponse:
Estimation : 400
Produit : 432

Explication : Arrondissez 54 à 50 et la valeur estimée est 50×8= 400 et 54×8= 432.
54
×8
——
432

Identifier les relations Algèbre Écrivez une règle. Trouvez les nombres inconnus.

Question 15.

Explication : Si 1 carton contient 12 œufs alors 3 cartons auront 3×12= 36 et 5 cartons contiennent 5×12= 60.

Question 16.

Explication : Si 2 rangées ont 32 sièges alors 5 rangées auront 5×32= 160 et 6 rangées auront 6×32= 192 sièges

Question 17.
Il en coûtera 73 $ de l'heure pour louer un voilier et 88 $ de l'heure pour louer un bateau de ski. Combien coûtera plus cher la location d'un bateau de ski qu'un voilier pendant 4 heures ?

Explication : Le coût du voilier à louer par heure est de 73 $ et pour 4 heures, il coûte 73 $ × 4 = 292 $. Et le coût du bateau de ski à louer par heure est de 88 $ et pour 4 heures, il coûte 88 $ × 4 = 352 $. Donc 352 $ - 292 $ = 60 $ beaucoup plus cher pour un bateau de ski qu'un voilier.

Utilisez le tableau pour les 18-19.

Question 18.
Aux vitesses indiquées, combien plus loin un lièvre à queue noire pourrait-il courir qu'un lapin du désert en 7 secondes ?

Explication : le lièvre à queue noire court à une vitesse de 51 pieds par seconde, donc en 7 secondes le lièvre court 51 × 7 = 357 pieds et le lapin du désert court à une vitesse de 22 pieds par seconde, donc en 7 secondes il court 22 × 7 = 154 pieds. Donc, 357-154 = 203 pieds pourraient un lièvre à queue noire courir qu'un lapin du désert en 7 secondes.

Question 19.
Un lièvre à queue noire saute d'environ 7 pieds en un seul saut. Jusqu'où peut-il sauter en 5 secondes ?
environ ______ houblon

Explication : Comme le lièvre à queue noire saute d'environ 7 pieds en un seul saut, donc en 5 secondes, il saute 7 × 5 = 35.

Question 20.
M. Wright a acheté un sac de 3 livres de nourriture pour chats et un sac de 5 livres de nourriture pour chiens. Il y a 16 onces dans chaque livre. Combien d'onces de nourriture pour animaux de compagnie M. Wright a-t-il achetées ?

Explication : M. Wright a acheté un sac de 3 livres de nourriture pour chats et il y a 16 onces dans chaque livre, donc 3 × 16 = 48 onces et un sac de 5 livres de nourriture pour chiens comme 5 × 16 = 80 onces. Ainsi, le nombre total d'onces de nourriture pour animaux de compagnie est de 48 + 80 = 128 onces.

Question 21.
La somme de deux nombres est 31. Le produit des deux nombres est 150. Quels sont les nombres ?

Explication : Soit les nombres X et Y, donc la somme de deux nombres est 31 ce qui signifie X+Y=31 et le produit de deux nombres est 150 ce qui signifie X×Y=150. Donc X=31-Y puis remplacer X=31-Y, So (31-Y)×Y= 150, puis 31Y-Y^ 2 = 150 qui est Y^ 2 – 31Y+ 150 = 0. Par factorisation Y= 25 et X×25= 150 alors X= 6. Donc X= 6 et Y= 25.

Question 22.
Utiliser le raisonnement 6 × 87 est supérieur à 5 × 87. De combien plus? Explique comment tu sais sans multiplier.

Explication : Comme 6 est supérieur à 5, donc 6 × 87 est supérieur à 5 × 87

Question 23.
Multipliez 6 × 73. Pour 23a–23d, sélectionnez Vrai ou Faux pour chaque énoncé.
une. Une estimation raisonnable du produit est de 420 $.
je. Vrai
ii. Faux

Question 23.
b. En utilisant des produits partiels, les produits sont 42 et 180.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : Les produits partiels sont 420 et 18

Question 23.
c. En utilisant le regroupement, 18 unités sont regroupées en 8 dizaines et 1 unité.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : 8 dizaines et 1 un signifie 81.

Question 23.
ré. Le produit est 438.
je. Vrai
ii. Faux

Noyau commun – Multiplier les nombres à 2 chiffres avec regroupement – Numéro de page 123

Estimation. Ensuite, enregistrez le produit.

Question 1.
Estimation : 150

Question 2.
3 2
× 8
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 240
Produit : 256

Explication : Arrondissez 32 à 30 et 30×8=240.
3 2
× 8
————
256

Réponse:
Estimation : 240
Produit : 256

Explication : Arrondissez 32 à 30 et 30×8=240.
3 2
× 8
————
256

Réponse:
Estimation : 240
Produit : 256

Explication : Arrondissez 32 à 30 et 30×8=240.
3 2
× 8
————
256

Question 3.
$5 5
× 2
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 120 $
Produit : 110 $

Explication : Arrondissez 55 à 60 et 60×2 = 120.
$5 5
× 2
————-
$110

Question 4.
6 1
× 8
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 480
Produit : 488

Explication : Arrondissez 61 à 60 et 60×8= 480.
6 1
× 8
———–
488

Question 5.
3 7
× 9
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 360
Produit : 333

Explication : Arrondissez 37 à 40 et 40×6= 360.
3 7
× 9
———–
333

Question 6.
$1 8
× 7
Estimation : ________ $
Produit : ________$

Réponse:
Estimation : 140 $
Produit : 126 $

Explication : Arrondissez 18 à 20 et 20×7 = 140.
$1 8
× 7
———-
$126

Question 7.
8 3
× 5
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 400
Produit : 415

Explication : Arrondissez 83 à 80 et 80×5= 400.
8 3
× 5
——-
415

Question 8.
9 5
× 8
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 800
Produit : 760

Explication : Arrondissez 95 à 100 et 100×8= 800.
9 5
× 8
——–
760

Question 9.
9 4
× 9
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 810
Produit : 846

Explication : Arrondissez 94 à 90 et 90×9 = 810.
9 4
× 9
——-
846

Question 10.
5 7
× 6
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 360
Produit : 342

Explication : Arrondissez 57 à 60 et 60×6= 360.
5 7
× 6
——
342

Question 11.
7 2
× 3
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 210
Produit : 216

Explication : Arrondissez 72 à 70 et 70×3= 210.
7 2
× 3
——-
216

Question 12.
$7 9
× 8
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 640 $
Produit : 632 $

Explication : Arrondissez 79 à 80 et 80×8= 640.
$7 9
× 8
——-
$632

Résolution de problème

Question 13.
Sharon mesure 54 pouces. Un arbre dans son jardin est 5 fois plus grand qu'elle. Le sol de sa cabane dans les arbres est à une hauteur deux fois plus grande qu'elle. Quelle est la différence, en pouces, entre le sommet de l'arbre et le sol de la cabane ?

Explication : Sharon mesure 54 pouces et un arbre dans son jardin est 5 fois plus grand qu'elle, ce qui signifie 54 × 5 = 270. Et sa cabane dans les arbres est deux fois plus grande qu'elle, ce qui signifie 54 × 2 = 108 pouces. Ainsi, la différence entre le sommet de l'arbre et le sol de la cabane est de 270-108 = 162 pouces.

Question 14.
La classe de M. Diaz fait une excursion au musée des sciences. Il y a 23 étudiants dans la classe et un billet d'admission étudiant est de 8 $. Combien l'étudiant
coût des billets?

Explication : Nombre total. des étudiants ont 23 ans et le coût des billets est de 8 $, donc 23 × 8 = 184 $.

Noyau commun – Multiplier les nombres à 2 chiffres avec regroupement – Vérification de la leçon – Page n° 124

Question 1.
Un ferry fait quatre voyages vers une île chaque jour. Le ferry peut contenir 88 personnes. Si le ferry est plein à chaque voyage, combien de passagers sont transportés par le ferry
chaque jour?
Options :
une. 176
b. 322
c. 332
ré. 352

Explication : Le nombre total de voyages effectués par le ferry-boat chaque jour est de 4 et il peut contenir 88 personnes, donc 88×4 = 352 passagers sont transportés par ferry-boat chaque jour.

Question 2.
Julian a compté le nombre de fois où il a traversé le Seven Mile Bridge pendant ses vacances dans les Florida Keys. Il a traversé le pont 34 fois. Combien de kilomètres en tout Julian a-t-il parcouru pour traverser le pont ?
Options :
une. 328 milles
b. 248 milles
c. 238 milles
ré. 218 milles

Explication : Le nombre de fois où Julian a traversé le pont est de 7 miles et il a traversé le pont 34 fois, donc 34×7 = 238 miles.

Revue en spirale

Question 3.
Sébastien a écrit la population de sa ville sous la forme 300 000 + 40 000 + 60 + 7. Lequel des énoncés suivants montre la population de la ville de Sébastien écrite sous forme standard ?
Options :
une. 346 700
b. 340 670
c. 340 607
ré. 340 067

Explication : 300 000+40 000+60+7= 340 067.

Question 4.
Un avion a parcouru 2 190 kilomètres de Chicago à Flagstaff. Un autre avion a parcouru 2 910 kilomètres de Chicago à Oakland. Combien plus loin l'avion qui a volé à Oakland a-t-il volé que l'avion qui a volé à Flagstaff?
Options :
une. 720 kilomètres
b. 820 kilomètres
c. 5 000 kilomètres
ré. 5 100 kilomètres

Explication : L'avion a volé de Chicago à Flagstaff est de 2 190 km et un autre avion a volé de Chicago à Oakland est de 2 910, donc 2910-2190 = 720 km.

Question 5.
Tori achète 27 paquets de voitures de course miniatures. Chaque paquet contient 5 voitures. Combien de voitures de course miniatures Tori achète-t-il ?
Options :
une. 15
b. 32
c. 100
ré. 150

Explication : Arrondissons 27 colis à 30 et chaque colis contient 5 voitures, soit 30×5=150.

Question 6.
Laquelle des équations suivantes représente la propriété de distribution ?
Options :
une. 3 × 4 = 4 × 3
b. 9 × 0 = 0
c. 5 × (3 + 4) = (5 × 3) + (5 × 4)
ré. 6 × (3 × 2) = (6 × 3) × 2

Explication : La propriété distributive signifie que si nous multiplions une somme par un nombre, cela revient à multiplier chaque addition par le nombre et à additionner les produits.

Multiplier des nombres à 2 chiffres avec regroupement – Page n° 127

Question 1.
Dites ce qui se passe à l'étape 1 du problème.

Explication : À l'étape 1 Multiplier 4×6= 24.

Estimation. Trouvez ensuite le produit.

Question 2.
6 0 3
× 4
————
2,400
Estimation: __________
Produit: ___________

Réponse:
Estimation : 2400
Produit : 2412

Explication : Arrondir 603 à 600 puis 600×4= 2400.
6 0 3
× 4
——–
2412

Question 3.
1,935
× 7
————
Estimation: __________
Produit: ___________

Réponse:
Estimation : 14 000.
Produit : 13 545.

Explication : Arrondir 1935 à 2000 puis 2000×7 = 14 000.
1,935
× 7
———
13,545

Question 4.
$ 8,326
× 5
————
Estimation : __________ $
Produit : ___________ $

Réponse:
Estimation : 40 000
Produit : 41 630

Explication : Arrondir 8326 à 8000 puis 8000×5 = 40 000.
$ 8,326
× 5
———-
41,630

Estimation. Trouvez ensuite le produit.

Réponse:
Estimation : 24 000.
Produit : 26 528.

Explication : Arrondir 3316 à 3000 puis 3000×8= 24000.
$ 3,316
× 8
———
26,528

Réponse:
Estimation : 21 000.
Produit : 20 300

Explication : Arrondir 2900 à 3000 puis 3000×7= 21 000.
$ 2,900
× 7
———-
20,300

Réponse:
Estimation : 24 000.
Produit : 24 738

Explication : Arrondir 4 123 à 4 000 puis 4 000 × 6 = 24 000.
$ 4,123
× 6
———–
24,738

Question 8.
M. Jackson a 5 400 $ pour acheter des fournitures pour le laboratoire informatique de l'école. Il achète 8 boîtes d'encre d'imprimante qui coûtent 149 $ chacune et 3 imprimantes qui coûtent 1 017 $ chacune. Combien d'argent restera-t-il à M. Jackson après avoir acheté l'encre et les imprimantes ?

Explication : Comme 8 boîtes d'encre d'imprimante coûtent 149 $ chacune, soit 149 $ × 8 = 1 192 $ et 3 imprimantes coûtent 1 017 $, soit 1 017 $ × 3 = 3 051 $. Donc 3051 + 1192 = 4 243 au total dépensés par M. Jackson pour l'encre d'imprimante et les imprimantes. L'argent restant est de 5 400 $ à 4 243 $ = 1 157.

Pratique : Copier et résoudre la comparaison. Écrivez <, > ou = .

Question 9.
5 × 352 _____ 4 × 440

Explication : Comme 5 × 352 = 1 760 et 4 × 440 = 1 760

Question 10.
6 × 8,167 _____ 9,834 × 5

Explication : Comme 6 × 8 167= 49 002 et 9 834 × 5= 49 170. Donc 6 × 8 167 < 9 834 × 5

Question 11.
3,956 × 4 _____ 5 × 7,692

Explication : Comme 3 956 × 4 = 15 824 et 5 × 7 692 = 38 460. Donc 3 956 × 4 < 5 × 7 692

Question 12.
740 × 7 _____ 8 × 658

Explication : Comme 740 × 7 = 5180 et 8 × 658= 5264. Donc 740 × 7 < 8 × 658

Question 13.
4 × 3,645 _____ 5 × 2,834

Explication : Comme 4 × 3 645 = 14 580 et 5 × 2 834 = 14 170. Donc 4 × 3 645 > 5 × 2 834.

Question 14.
6,573 × 2 _____ 4,365 × 3

Explication : Comme 6 573 × 2 = 13 146 et 4 365 × 3 = 13 095. Donc 6 573 × 2 > 4 365 × 3.

Multiplier des nombres à 2 chiffres avec regroupement – Page n° 128

Question 15.
Les billets d'avion pour Fairbanks, en Alaska, coûteront 958 $ chacun. Les billets d'avion pour Vancouver, Canada, coûteront 734 $. Combien les quatre membres de la famille Harrison peuvent-ils économiser sur les billets d'avion en passant leurs vacances à Vancouver ?

Explication : Le coût des billets d'avion pour l'Alaska est de 958 $ chacun. Comme la famille Harrison compte 4 membres, cela coûtera 958 $ × 4 = 3 832 $ et pour Vancouver, cela coûte 734 $ chacun. Donc 734 $ × 4 = 2 936 $ et la famille Harrison économise entre 3832 $ et 2936 $ = 896 $.

Question 16.
Philadelphie, en Pennsylvanie, est à 2 147 milles de Salt Lake City, dans l'Utah, et à 2 868 milles de Portland, dans l'Oregon. Quelle est la différence entre les distances aller-retour entre Philadelphie et chacune des deux autres villes ? Expliquez si vous avez besoin d'une estimation ou d'une réponse exacte.

Explication : La distance entre Philadelphie et Salt Lake est de 2 147 milles et la distance aller-retour est de 2 × 2 147 = 4 294 milles. Et la distance entre Philadelphie et Portland est de 2 868 miles et la distance aller-retour est de 2 × 2868 = 5736 miles. Donc la différence est
5 736-4 294 = 1442 milles.

Question 17.
Vérifier le raisonnement des autres Joe dit que le produit d'un nombre à 4 chiffres et d'un nombre à 1 chiffre est toujours un nombre à 4 chiffres. La déclaration de Joe a-t-elle un sens ? Expliquer.

Réponse : Non, la déclaration de Joe est incorrecte.

Explication : Comme il y a des milliers regroupés, le produit d'un nombre à 4 chiffres et d'un nombre à 1 chiffre peut avoir 5 chiffres.

Question 18.
Quel nombre vaut 150 de plus que le produit de 5 et 4 892 ? Explique comment tu as trouvé la réponse.

Explication : Trouvons le produit de 5 × 4 892 = 54 460, puis ajoutons 150 au produit, donc 24 460 + 150 = 24 610.

Noyau commun – Multiplier les nombres à 3 et 4 chiffres avec regroupement – Page n° 129

Estimation. Trouvez ensuite le produit.

Question 1.
Estimation : 4 000

Réponse:
Estimation : 30 000
Produit : 32 034

Explication : Arrondissez 5 339 à 5 000 puis 5 000 × 6 = 30 000.
5,339
× 6
———-
32,034

Réponse:
Estimation : 7 200 $.
Produit : 7 032 $.

Explication : Arrondissez 879 à 900 puis 900×8 = 7 200.
$879
× 8
——–
7,032

Réponse:
Estimation : 15 000
Produit : 15 910

Explication : Arrondissez 3 182 à 3 000 puis 3 000 × 5 = 15 000.
3,182
× 5
———-
15,910

Réponse:
Estimation : 15 000
Produit : 13 848

Explication : Arrondissez 4 616 à 5 000 puis 5 000 × 3 = 15 000.
4,616
× 3
———
13,848

Réponse:
Estimation : 27 000
Produit : 25 686

Explication : Arrondissez 2 854 à 3 000 puis 3 000 × 9 = 27 000.
2,854
× 9
———
25,686

Réponse:
Estimation : 16 000
Produit : 15 000

Explication : Arrondissez 7 500 à 8 000 puis 8 000 × 2 = 16 000.
7,500
× 2
———
15,000

Question 8.
9 4 8
× 7
————-
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 6 300
Produit : 6 636

Explication : Explication : Arrondissez 948 à 900 puis 900×7 = 6 300.
9 4 8
× 7
——-
6,636

Réponse:
Estimation : 12.000.
Produit : 10 512.

Explication : Explication : Arrondir 1 752 à 2 000 puis 2 000 × 6 = 12 000.
1,752
× 6
———–
10,512

Question 10.
5 5 0
× 9
————-
Estimation: ________
Produit: ________

Réponse:
Estimation : 5 400
Produit : 4 950

Explication : Arrondissez 550 à 600 puis 600×9 = 5 400.
5 5 0
× 9
——–
4,950

Réponse:
Estimation : 28 000
Produit : 27 356

Explication : Arrondissez 6 839 à 7 000 puis 7 000 × 4 = 28 000.
6,839
× 4
———-
27,356

Réponse:
Estimation : 60 000.
Produit : 57 684.

Explication : Arrondissez 9 614 à 10 000 puis 10 000 × 6 = 60 000.
$9,614
× 6
———-
57,684

Résolution de problème

Question 13.
Le comté de Lafayette a une population de 7022 personnes. La population du comté de Columbia est 8 fois plus importante que celle du comté de Lafayette. Quelle est la population du comté de Columbia ?

Explication : Le comté de Lafayette a une population de 7 022 personnes et la population du comté de Columbia est 8 fois supérieure au comté de Lafayette, ce qui signifie 7 022 × 8 = 56 176.

Question 14.
Une entreprise de fruits de mer a vendu 9 125 livres de poisson le mois dernier. Si 6 entreprises de produits de la mer ont vendu la même quantité de poisson, combien de poisson les 6 entreprises ont-elles vendu au total le mois dernier ?

Explication : Comme la société de fruits de mer a vendu 9 125 livres de poissons le mois dernier et 6 sociétés de fruits de mer ont également vendu le même montant, ce qui signifie 9 125 × 6 = 54 750 livres.

Noyau commun – Multiplier les nombres à 3 et 4 chiffres avec regroupement – Vérification de la leçon – Page n° 130

Question 1.
En recyclant 1 tonne de papier, 6 953 gallons d'eau sont économisés. Combien de gallons d'eau sont économisés en recyclant 4 tonnes de papier ?
Options :
une. 24 602 gallons
b. 27 612 gallons
c. 27 812 gallons
ré. 28 000 gallons

Explication : Comme 1 tonne de papier permet d'économiser 6 953 gallons d'eau, donc 4 tonnes de papier peuvent économiser 6 953 × 4 = 27 812.

Question 2.
Esteban a compté le nombre de pas qu'il lui a fallu pour se rendre à l'école à pied. Il a compté 1 138 pas. Combien de pas fait-il pour se rendre à l'école et en revenir chaque jour ?
Options :
une. 2 000
b. 2 266
c. 2 276
ré. 22 616

Explication : Comme Esteban a compté 1 138 pas vers l'école et depuis l'école, ce sera 1 138+1 138=2 276 pas

Revue en spirale

Question 3.
Un site Web compte 13 406 personnes inscrites. Quelle est la forme verbale de ce nombre ?
Options :
une. trente mille quatre cent six
b. treize mille quatre cent soixante
c. treize mille quatre cent six
ré. treize mille six cent six

Explication : 13 406 en mots font treize mille quatre cent six.

Question 4.
En un an, la famille McAlister a conduit sa voiture sur 15 680 milles. Au millier près, combien de kilomètres ont-ils parcouru cette année-là ?
Options :
une. 15 000 milles
b. 15 700 milles
c. 16 000 milles
ré. 20 000 milles

Explication : 15 680 mille le plus proche est 16 000

Question 5.
Connor a marqué 14 370 points dans un match. Amy a marqué 1 089 points de moins que Connor. Combien de points Amy a-t-elle marqué ?
Options :
une. 12 281
b. 13 281
c. 15 359
ré. 15 459

Explication : Connor a marqué 14 370 points et Amy a marqué 1 089 points de moins, donc le score d'Amy est de 14 370 à 1089 = 13 281.

Question 6.
Léa achète 6 voitures miniatures qui coûtent chacune 15 $. Elle achète également 4 bouteilles de peinture qui coûtent chacune 11 $. Combien Lea dépense-t-elle en tout pour les voitures miniatures et la peinture ?
Options :
une. 134 $
b. 90 $
c. 44 $
ré. 36 $

Explication : Lea achète 6 modèles de voitures qui coûtent chacune 15 $, donc le coût total pour les voitures est de 15 $ × 6 = 90 $.
Et 4 bouteilles de peinture qui coûtent chacune 11 $, donc le coût total des peintures est de 11 $ × 4 = 44 $. Puis
$90+$44= $134.

Multiplier des nombres à 3 et 4 chiffres avec regroupement – Page No. 133

Question 1.
Utilisez l'ordre des opérations pour trouver la valeur de n.
5 × 17 + 5 × 20 – 32 = n
n = ______

Explication : (5×17)+5×20 –32=
= 85+100-32
=185-32
=153

Trouvez la valeur de n.

Question 2.
3 × 22 + 7 × 41 – 24 = n
n = ______

Explication : 3×22+7×41-24
=66+287-24
=329.

Question 3.
4 × 34 + 6 × 40 – 66 = n
n = ______

Explication : 4×34+6×40–66=
=136+240-66
=310.

Question 4.
2 × 62 + 8 × 22 – 53 = n
n = ______

Explication : 2×62+8×22–53=
= 124+176-53
=300-53
=247.

Question 5.
6 × 13 + 9 × 34 – 22 = n
n = ______

Explication : 6×13+9×34–22=
=78+306-22
=384-22
=362.

Trouvez la valeur de n.

Question 6.
8 × 42 + 3 × 59 – 62 = n
n = ______

Explication : 8×42+3×59–62=
=336+177-62
=513-62
=451.

Question 7.
6 × 27 + 2 × 47 – 83 = n
n = ______

Explication : 6×27+2×47–83=
=162+94-83
=256-83
=173

Question 8.
Maggie a 3 classeurs avec 25 timbres dans chaque classeur. Elle a 5 classeurs avec 24 cartes de baseball dans chaque classeur. Si elle donne 35 timbres à un ami, combien de timbres et de cartes lui reste-t-il ?

Explication : Maggie a 3 classeurs avec 25 timbres chaque classeur, donc le nombre total de tampons est de 3 × 25 = 75. Et 5 classeurs avec 24 cartes de baseball dans chaque classeur. Le total des cartes de baseball est donc de 24 × 5 = 120.
Comme elle a donné 35 timbres à un ami, donc 75-35 = 40. Total des timbres et des cartes qu'elle a
120+40= 160

Question 9.
Évaluer Maddox a 4 boîtes avec 32 billes dans chaque boîte. Il a 7 boîtes avec 18 coquillages dans chaque boîte. S'il obtient 20 billes d'un ami, combien de billes et de coquillages a-t-il ?

Explication : Maddox a 4 cases et 32 ​​billes dans chaque case, donc 4×32 = 128. Et 7 cases avec 18 coquillages dans chaque case ce qui signifie 7×18 = 126. Et il a obtenu 20 billes d'un ami, donc
128+20= 148 billes. Donc au total de billes et de coquillages, il a 148 + 126 = 274.

Question 10.
L'équipe de soccer vend 54 bagels au fromage à la crème à 2 $ chacun et 36 muffins à 1 $ chacun lors d'une vente de pâtisseries. L'entraîneur utilise l'argent pour acheter des chaussettes pour les 14 joueurs. Les chaussettes coûtent 6 $ la paire. Combien d'argent reste-t-il à l'entraîneur? Explique comment tu as trouvé ta réponse.

Explication : L'équipe de football vend 54 bagels au fromage à la crème pour 2 $ chacun, donc 54 × 2 = 108 $ montant total collecté en vendant des bagels au fromage à la crème. Et 36 muffins pour 1 $ chacun, ce qui signifie 36 × 1 $ = 36 $ collectés en vendant des muffins. Le montant total collecté est donc de 108 $ + 36 $ = 144 $. Et il utilise l'argent pour acheter des chaussettes pour 14 joueurs et chaque paire coûte 6 $, donc 14 × 6 $ = 84 $ nécessaires pour acheter des chaussettes pour les joueurs. Donc 144 $-84 $ = 60 $ restants avec l'entraîneur après avoir acheté des chaussettes pour les joueurs.

Multiplier des nombres à 3 et 4 chiffres avec regroupement – Page No. 134

Question 11.
Quelle est l'erreur ? Dominic a 5 livres avec 12 cartes postales dans chaque livre. Il a 4 boîtes avec 20 pièces dans chaque boîte. S'il donne 15 cartes postales à un ami, combien de cartes postales et de pièces possède-t-il ?

Dominique a dessiné ce modèle.

Dominic a utilisé ces étapes pour résoudre.
5 × 12 + 4 × 20 – 15 = n
60 + 4 × 20 – 15 = n
64 × 20 – 15 = n
1 280 – 15 = n
1 265 = n
Regardez les étapes que Dominic a utilisées pour résoudre ce problème. Trouvez et décrivez son erreur.

Réponse : Dominic n'a pas suivi l'ordre des opérations

Question 11.
Utilisez les étapes correctes pour résoudre le problème.

Réponse:
5 × 12 + 4 × 20 – 15 = n
60+4×20-15=n
60+80-15=n
140-15=n
125=n

Noyau commun – Résoudre les problèmes en plusieurs étapes à l'aide d'équations – Page n° 135

Trouvez la valeur de n.

Question 1.
4 × 27 + 5 × 34 – 94 = n
108 + 5 × 34 – 94 = n
108 + 170 – 94 = n
278 – 94 = n
184 = n

Question 2.
7 × 38 + 3 × 45 – 56 = n
_____ = n

Explication : 7×38+3×45-56=
=266+135-56
=401-56
=345

Question 3.
6 × 21 + 7 × 29 – 83 = n
_____ = n

Explication : 6×21+7×29-83=
=126+203-83
=329-83
=246

Question 4.
9 × 19 + 2 × 57 – 75 = n
_____ = n

Explication : 9×19+2×57-75=
=171+114-75
=285-75
=210.

Question 5.
5 × 62 + 6 × 33 – 68 = n
_____ = n

Explication : 5 × 62 + 6 × 33 – 68=
=310+198-68
=508-68
=440

Question 6.
8 × 19 + 4 × 49 – 39 = n
_____ = n

Explication : 8×19+4×49-39=
=152+196-39
=348-39
=309

Résolution de problème

Question 7.
Une boulangerie a 4 plateaux avec 16 muffins sur chaque plateau. La boulangerie dispose de 3 plateaux de cupcakes avec 24 cupcakes sur chaque plateau. Si 15 cupcakes sont vendus, combien reste-t-il de muffins et cupcakes ?

Réponse : 121 muffins et cupcakes.

Explication : 4×16+3×24-15=n
64+3×24-15=n
64+72-15=n
136-15=n
121=n

Question 8.
Katy a acheté 5 paquets d'autocollants avec 25 autocollants dans chaque paquet. Elle a également acheté 3 boîtes de marqueurs avec 12 marqueurs dans chaque boîte. Si elle reçoit 8 autocollants d'un ami, combien d'autocollants et de marqueurs Katy a-t-elle maintenant ?

Réponse : 169 autocollants et marqueurs.

Explication : 5×25+3×12+8=n
125+3×12+8=n
125+36+8=n
169=n

Noyau commun – Résoudre les problèmes en plusieurs étapes à l'aide d'équations – Vérification de la leçon – Page n° 136

Question 1.
Quelle est la valeur de n ?
9 × 23 + 3 × 39 – 28 = n
Options :
une. 240
b. 296
c. 2 310
ré. 8 162

Explication : 9×23+3×39–28=
=207+117-28
=324-28
=296

Question 2.
Quelle expression a une valeur de 199 ?
Options :
une. 4 × 28 + 6 × 17 – 15
b. 4 × 17 + 6 × 28 – 38
c. 4 × 38 + 6 × 15 – 28
ré. 4 × 15 + 6 × 38 – 88

Explication : 4×28+6×17-15=
=112+102-15
=214-15
=199.

Revue en spirale

Question 3.
Quelle expression montre comment vous pouvez multiplier 9 × 475 en utilisant la forme développée et la propriété de distribution ?
Options :
une. (9 × 4) + (9 × 7) + (9 × 5)
b. (9 × 4) + (9 × 70) + (9 × 700)
c. (9 × 400) + (9 × 70) + (9 × 5)
ré. (9 × 400) + (9 × 700) + (9 × 500)

Explication : La propriété distributive signifie que si nous multiplions une somme par un nombre, cela revient à multiplier chaque addition par le nombre et à additionner les produits.
9 × 475= (9×400)+(9×70)+(9×5)

Question 4.
Quelle équation représente le mieux la phrase de comparaison ?
32 est 8 fois plus que 4
Options :
une. 32 = 8 × 4
b. 32 × 8 = 4
c. 32 = 8 + 4
ré. 8 + 4 = 32

Question 5.
Entre quelle paire de nombres se trouve le produit exact de 379 et 8 ?
Options :
une. entre 2 400 et 2 500
b. entre 2 400 et 2 800
c. entre 2 400 et 3 000
ré. entre 2 400 et 3 200

Question 6.
Lequel des énoncés suivants montre la stratégie de réduction de moitié et de doublement pour trouver 28 × 50 ?
Options :
une. 28 × 50 = 14 × 100
b. 28 × 50 = (14 × 25) × (14 × 25)
c. 28 × 50 = (20 × 50) × (8 × 50)
ré. 28 × 50 = 2 × (14 × 25)

Révision/Test – Page n° 137

Pour 1 à 3, utilisez le tableau.

Question 1.
Quel est le coût de 3 chênes à gros fruits ? Montre ton travail.

Explication : Chaque chêne à gros fruits coûte 32 $ pour 3 et plus, donc 32 $ × 3 = 96 $.

Question 2.
M. Tan achète 4 pins blancs et 5 bouleaux. Quel est le prix des arbres ? Montrez votre travail et expliquez comment vous avez trouvé la réponse.

Explication : Comme 4 pins blancs coûtent 37 $ chacun, donc 37 $ × 4 = 148 $ et 5 bouleaux coûtent 8 $ chacun, donc 5 × 8 $ = 40 $. Le coût total des arbres est de 148 $ + 40 $ = 188 $.

Question 3.
Rudy achètera 3 arbres Ivory Silk Lilas ou 2 arbres Bur Oak. Il veut acheter les arbres qui coûtent moins cher. Quels arbres va-t-il acheter ? Combien va-t-il économiser ? Montre ton travail.

Réponse : Rudy prendra 3 sapins Ivory Silk Lilas qui coûtent 66 $.

Explication : Si Rudy achète 3 arbres Ivory Silk Lilas qui coûtent 22 $ chacun, donc 22 $ × 3 = 66 $. Et si le prix de 2 chênes à gros fruits est de 35 $ chacun, ce qui signifie 35 $ × 2 = 70 $. Comme Rudy veut acheter les arbres qui coûtent moins cher, il prendra donc 3 arbres Ivory Silk Lilac qui coûtent 66 $.

Révision/Test – Page n° 138

Question 4.
Pour les nombres 4a à 4d, sélectionnez Vrai ou Faux pour chaque équation.
une. 7 × 194 = 1 338
je. Vrai
ii. Faux

Question 4.
b. 5 × 5 126 = 25 630
je. Vrai
ii. Faux

Question 4.
c. 8 × 367 = 2 926
je. Vrai
ii. Faux

Question 4.
ré. 4 × 3 952 = 15 808
je. Vrai
ii. Faux

Question 5.
Partie A
Tracez une ligne pour faire correspondre chaque section du modèle au produit partiel qu'elle représente.

Question 5.
Partie B
Trouvez ensuite 3 × 146. Montrez votre travail et expliquez.

Explication : Par propriété distributive
3×146= 3×(100+40+6)
=(3×100)+(3×40)+( 3×6)
=300+120+18
=438.

Révision/Test – Page n° 139

Question 6.
Pour les nombres 6a à 6c, écris une équation ou une phrase de comparaison en utilisant les nombres sur les tuiles.
une.


______ fois plus que ______ est ______ .

Réponse : 8 fois plus que 4 font 32.

Question 6.
b.

______ × ______ = ______

Réponse : 6 fois plus que 8 font 48.

Question 6.
c.
9 × 3 = 27
______ fois plus que ______ est ______ .

Réponse : 9 fois plus que 3 font 27

Question 7.
Multipliez 7 × 43. Pour 7a–7d, sélectionnez Vrai ou Faux pour chaque énoncé.
une. Une estimation raisonnable du produit est de 280.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : 7×43= 301. Prendre 43 et arrondir à 40 puis 40×7= 280.

Question 7.
b. En utilisant des produits partiels, les produits sont 21 et 28.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : 7×43= 7×(40+3)
=(7×40)+(7×3)
=280+21. Les produits partiels sont donc 280 et 21.

Question 7.
c. En utilisant le regroupement, 21 uns sont regroupés en 1 dix et 2 uns.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : 1 dix et 2 uns font 12

Question 7.
ré. Le produit est 301.
je. Vrai
ii. Faux

Explication : 7×43= 7×(40+3)
=(7×40)+(7×3)
=280+21
=301.

Question 8.
Il en coûte 9 328 points pour construire chaque immeuble dans le jeu informatique Big City Building. Quel est le coût de construction de 5 immeubles à appartements? Montre ton travail.

Explication : Le coût de chaque immeuble d'appartements est de 9 328 points. Pour construire 5 appartements, cela coûte 9 3287×5 = 46 640 points.

Révision/Test – Page n° 140

Question 9.
Multipliez 7 × 462 en utilisant la valeur de position et la forme développée.
Choisissez le nombre dans la case pour compléter l'expression.

Question 10.
Pour les nombres 10a-10b, utilisez la valeur de position pour trouver le produit.
une.
3 × 600 = 3 × ______ centaines
= ______ centaines
______

Réponse : 6 centaines, 18 centaines, 1800

Explication : 3 × 600 = 3 × 6 centaines
= 18 centaines
= 1800.

Question 10.
b.
5 × 400 = 5 × ______ centaines
______ centaines
______

Réponse : 4 cents, 20 cents, 2 000.

Explication : 5 × 400 = 5 × 4 centaines
= 20 centaines
= 2,000.

Question 11.
Liam a 3 boîtes de cartes de baseball avec 50 cartes dans chaque boîte. Il a également 5 boîtes avec 40 cartes de basket-ball dans chaque boîte. Si Liam va au magasin et achète 50 cartes de baseball supplémentaires, combien de cartes de baseball et de basketball Liam possède-t-il ? Montre ton travail.

Réponse : Liam a 400 cartes de baseball et de baseball.

Explication : Liam a 3 boîtes de cartes de baseball et il y a 50 cartes dans chaque boîte, donc le total des cartes est de 50 × 3 = 150 cartes de baseball. Et il a 5 boîtes avec 40 cartes de baseball dans chaque boîte, ce qui signifie 5 × 40 = 200. Le total des cartes de baseball est donc de 150 + 200 = 350. Et il est allé au magasin pour acheter 50 autres cartes de baseball, donc le total des cartes de baseball est de 350. +50=400.

Révision/Test – Page n° 141

Question 12.
Il y a une vente de livres à la bibliothèque. Le prix de chaque livre est de 4 $. Quelle expression peut être utilisée pour montrer combien d'argent la bibliothèque gagnera si elle vend 289 livres ? Utilisez les chiffres sur les tuiles pour compléter votre réponse.

(4 × ______) + (4 × ______) + (4 × ______)

Explication : Comme le prix de chaque livre est de 4$, donc pour 289 livres ce sera 4×289
= 4×(200+80+9)
=(4×200)+(4×80)+(4×9)
=800+320+36
=1,156.

Question 13.
Trouvez 8 × 397. Montrez votre travail et expliquez pourquoi la stratégie que vous avez choisie fonctionne le mieux avec les facteurs.

Explication : 8×397= 8×(300+90+7)
=(8×300)+(8×90)+(8×7)
=2400+720+56
=3,176.

Question 14.
Un clown a acheté 6 sacs de ballons ronds avec 24 ballons dans chaque sac. Le clown a également acheté 3 sacs de longs ballons avec 36 ballons dans chaque sac.
Partie A
Combien de ballons plus longs que de ballons ronds le clown a-t-il acheté ? Montre ton travail.
______ des ballons

Explication : Comme le clown a acheté 6 sacs de ballons ronds avec 24 ballons dans chaque sac, donc
6×24= 144 et 3 sachets de ballons longs avec 36 ballons dans chaque sachet, donc 3×36= 108, So
144-108= 36.

Question 14.
Partie B
Le clown a également acheté 5 sacs de ballons en forme de cœur avec 14 ballons dans chaque sac. Lorsque le clown a fait exploser tous les ballons ronds, longs et en forme de cœur, 23 ballons ont éclaté. Combien de ballons gonflés restait-il ? Expliquez votre réponse.
______ ballons gonflés

Explication : Le non. de ballons en forme de cœur 5 × 14 = 70. Ajoutez ensuite ce nombre au nombre de ballons ronds et de ballons longs 70 + 144 + 108 = 322 ballons au total. Soustrayez ensuite le nombre de ballons éclatés, donc 322-23 = 299 ballons restants.

Révision/Test – Page n° 142

Question 15.
Hector a planté 185 fleurs en 2 jours. Il y avait 5 volontaires, dont Hector, qui ont chacun planté à peu près le même nombre de fleurs. Combien de fleurs environ ont-ils plantées ?

Explication : Hector a planté 185 fleurs en 2 jours, donc 5 volontaires peuvent planter 185×5 = 925.

Question 16.
Jay et Blair sont allés pêcher. Ensemble, ils ont pêché 27 poissons. Jay a pêché 2 fois plus de poissons que Blair. Combien de poissons Jay et Blair ont-ils pris chacun ? Écris une équation et résous. Expliquez votre travail.
Geai : ______ poisson Blair : ______ poisson

Réponse : Blair a attrapé 9 poissons et Jay a attrapé 18 poissons.

Explication : Blair a attrapé n poissons et Jay a attrapé 2 × n poissons. Ensemble, ils ont attrapé 3 × n poissons, alors
3×n= 27 et n= 9 poissons, et 2×n= 18 poissons. Blair a attrapé 9 poissons et Jay a attrapé 18 poissons

Question 17.
À la foire aux animaux, le chien de Darlene pesait 5 fois plus que le chien de Leah. Ensemble, les chiens pesaient 84 livres. Combien pesait chaque chien ? Complétez le modèle de barre. Écris une équation et résous.

Chien de Leah : ______ livres Chien de Darlene : ______ livres

Réponse : Le chien de Leah pèse 14 livres et le poids du chien de Darlene est de 70 livres.

Explication:

Que le poids du chien de Leah soit X et que celui de Darlene soit 5 fois plus important que celui de Leah, donc le poids du chien de Darlene soit 5X. Comme le poids total est de 84 livres, alors X + 5X = 84 et X = 14. Ainsi, le poids du chien de Leah est de 14 et celui de Darlene est de 5 × 14 = 70.

Question 18.
Utilisez la propriété distributive pour modéliser le produit sur la grille.
Enregistrez le produit.

4 × 12 = ______

Numéro de page 147

Question 1.
Trouvez 20 × 27. Dites quelle méthode vous avez choisie. Expliquez ce qui se passe à chaque étape.

Explication : C'est du calcul mental. Parce que 2×27= 54 et 20×27= 540.

Choisissez une méthode. Trouvez ensuite le produit.

Question 2.
10 × 12 = ______

Explication : Calcul mental, comme 1×12=12 et 10×12=120

Question 3.
20 × 20 = ______

Explication : Calcul mental, comme 2×2=4 et 20×20= 400

Question 4.
40 × 24 = ______

Explication : Calcul mental, comme 4×24=96 et 40×24= 960

Question 5.
11 × 60 = ______

Explication : Calcul mental, comme 11×6=66 et 11×60= 660

Choisissez une méthode. Trouvez ensuite le produit.

Question 6.
70 × 55 = ______

Explication : Calcul mental, comme 7×55=385 et 70×55= 3850

Question 7.
17 × 30 = ______

Explication : Calcul mental, comme 17×3=51 et 17×30= 510

Question 8.
30 × 60 = ______

Explication : Calcul mental, comme 30×60=1800 et 30×60= 1800

Question 9.
12 × 90 = ______

Explication : calcul mental, comme 12×9=108 et 12×90=1080.

Raison Quantitativement Algèbre Trouvez le chiffre inconnu dans le nombre.

Question 10.
64 × 40 = 2,56■
■ = ______

Explication : Calcul mental, comme 64×4=256 et 64×40= 510

Question 11.
29× 50 = 1,★50
★ = ______

Explication : Calcul mental, comme 29×5=145 et 29×50= 1450

Question 12.
3⧫× 47 = 1,410
⧫ = ______

Explication : Calcul mental, comme 3×47=1410 et 30×47= 1410

Question 13.
Caroline emballe 12 pots de confiture dans une boîte. Elle a 40 boîtes. Elle a 542 pots de confiture. Combien de pots de confiture lui restera-t-il lorsque toutes les boîtes seront pleines ?

Explication : Caroline emballe 12 pots dans une boîte et elle en a 40, donc le nombre total de boîtes est
12×40= 480 boîtes. Comme elle a 542 pots de confiture, le nombre total de pots restants est de 542-480 = 62 pots.

Question 14.
Alison se prépare pour un concours de mathématiques. Chaque jour, elle travaille sur des problèmes de multiplication pendant 20 minutes et des problèmes de division pendant 10 minutes. Combien de minutes Alison pratique-t-elle les problèmes de multiplication et de division en 15 jours ?

Explication : Comme Alison travaille sur des problèmes de multiplication pendant 20 minutes et 10 minutes sur des problèmes de division, le temps total pris par Alison est donc de 20+10=30 minutes. Alors pendant 15 jours, Alison prend
15×30= 450 min.

Numéro de page 148

Utilisez le tableau pour 15-16.

Question 15.
Utiliser des graphiques Combien d'images a-t-il fallu pour produire 50 secondes de Pinocchio ?

Explication : Le nombre total d'images est de 50 × 19 = 950 images.

Question 16.
Y a-t-il moins d'images en 10 secondes de Flintstones ou en 14 secondes de The Enchanted Drawing ? Quelle est la différence dans le nombre d'images ?

Explication : Les images Flintstone en 10 secondes sont 10×24= 240 et les images The Enchanted Drawing sont 14×20= 280. Donc la différence entre elles est 280-240= 40.

Question 17.
Le produit de mon nombre et du double de mon nombre est 128. Quelle est la moitié de mon nombre ? Expliquez comment vous avez résolu le problème.

Explication : Faites d'abord un tableau pour tester les nombres inférieurs à 10 puisque 10×20= 200, et 2×8= 16 puis 8×16= 128 et 8÷2= 4.

Question 18.
Tanya dit que le produit d'un multiple de dix et d'un multiple de dix n'aura toujours qu'un zéro. A-t-elle raison ? Expliquer.

Explication : Le produit de deux multiples de dix aura toujours au moins 2 zéros.

Question 19.
Pour les numéros 19a à 19e, sélectionnez Oui ou Non pour indiquer si la réponse est correcte.
une. 28 × 10 = 280
je. Oui
ii. non


17 réponses 17

C'est un méchant, ExecutionEngineException. À partir de .NET 4.0, cette exception met immédiatement fin au programme. La cause générique est la corruption de l'état du tas de récupération de mémoire. Ce qui à son tour est invariablement causé par du code non managé. L'emplacement exact dans le code auquel cette exception est déclenchée n'est pas utile, la corruption s'est généralement produite bien avant que le dommage ne soit détecté.

Trouver la cause exacte de cela va être difficile. Passez en revue tout code non géré que votre service pourrait utiliser. Suspectez des problèmes environnementaux s'il n'y a pas de candidat évident, les scanners de logiciels malveillants qui se comportent mal sont notoires. Si cela se répète très mal, suspectez des problèmes matériels tels que des erreurs de RAM logicielle.

Un bug dans l'implémentation simultanée du Garbage Collection sur x64.Net 4 peut provoquer cela comme indiqué dans l'entrée suivante de la base de connaissances Microsoft :

Vous devez d'abord effectuer une exploration approfondie du minidump pour vous assurer que le problème s'est produit lors d'un ramassage de la mémoire.

L'emplacement du minidump se trouve généralement dans une entrée de rapport d'erreurs Windows dans le journal des événements après l'entrée de plantage. Alors, amusez-vous avec WinDbg !

La dernière documentation sur l'utilisation de l'élément de configuration <gcConcurrent/>, pour désactiver la récupération de place en arrière-plan simultanée ou (dans .NET 4 et versions ultérieures), est disponible ici.

J'ai rencontré des "erreurs internes" dans le runtime .NET qui se sont avérées être causées par des bogues dans mon code, je ne pense pas que ce n'est pas parce qu'il s'agissait d'une "erreur interne" dans le runtime .NET qu'il n'y a pas de bogue dans votre code comme cause racine. Toujours toujours blâmer votre propre code avant de blâmer celui de quelqu'un d'autre.

J'espère que vous disposez d'informations de journalisation et de trace d'exception/pile pour vous indiquer où commencer à chercher, ou que vous pouvez répéter l'état du système avant le crash.

Pour ceux qui arrivent ici de google, je suis finalement tombé sur cette question SO, et cette réponse spécifique a résolu mon problème. J'ai contacté Microsoft pour le correctif via le chat en direct sur support.microsoft.com et ils m'ont envoyé un lien vers le correctif par e-mail.

Après des années de lutte avec ce problème dans un certain nombre d'applications, il semble que Microsoft l'ait finalement accepté comme un bogue dans .NET 4 CLR qui provoque ce problème. http://support.microsoft.com/kb/2640103.

Auparavant, je l'avais "réparé" en forçant le ramasse-miettes à s'exécuter en mode serveur (gcServer enabled="true" dans app.config) comme décrit dans l'article Microsoft lié par Think Before Coding. Cela force essentiellement tous les threads de l'application à s'arrêter pendant la collecte, éliminant ainsi la possibilité que d'autres threads accèdent à la mémoire et soient manipulés par le GC. Je suis heureux de constater que mes années de recherche en vain d'un "bug" dans mon code ou dans d'autres bibliothèques non gérées tierces n'ont été fructueuses que parce que le bogue résidait dans le code de Microsoft, pas dans le mien.

J'ai eu exactement la même erreur sur la boîte WinXP avec la dernière version de mon code .NET 4. J'ai vérifié les versions précédentes - maintenant elles plantent aussi ! D'accord alors ce n'est pas moi :). Aucune suggestion ici/ci-dessus n'a aidé.

Rapport beaucoup plus récent (2018-05-09) du même problème : Application Crash avec le code de sortie 80131506.

UNE: Nous recevions une erreur similaire, mais nous pensons que la nôtre a été causée par l'optimiseur de mémoire Citrix.
La résolution consistait à forcer une régénération des bibliothèques principales .Net sur le ou les hôtes sur lesquels le problème se produisait :
C:WindowsMicrosoft.NETFramework64v4.0.30319 gen.exe mise à jour/force

La cause première est encore inconnue (la machine n'est pas mise à jour et a peu d'utilité), mais ça l'a fait pour moi!

Dans mon cas, cette exception s'est produite lorsque l'espace disque était épuisé et que .NET ne peut pas allouer de mémoire dans la mémoire virtuelle Windows.

Dans le journal des événements, j'ai vu cette erreur :

Popup d'application : Windows - Virtual Memory Minimum Too Low : Votre système manque de mémoire virtuelle. Windows augmente la taille de votre fichier d'échange de mémoire virtuelle. Au cours de ce processus, les demandes de mémoire pour certaines applications peuvent être refusées.

Le disque C: est à pleine capacité ou presque. Vous devrez peut-être supprimer certains fichiers.

Dans mon cas, le problème était une bibliothèque C++/CLI dans laquelle il y avait parfois un appel à NtQuerySystemInformation pour une raison quelconque (et sous circonstances mystérieuses), lorsqu'il a été appelé, le tas CLR a été corrompu et l'application s'est écrasée.

J'ai résolu le problème en utilisant un "tas personnalisé" créé avec HeapCreate et en y allouant les tampons utilisés par cette fonction.

Je ne suis pas sûr que cela puisse aider tout le monde, mais je pourrais contourner ce problème en courant

J'ai eu les erreurs suivantes dans le journal des événements et VS ne faisait que planter et redémarrer tout le temps :

25 projets) au SDK .NET Core, dirigé par un projet d'application Web presque vide qui a remplacé l'ancien WAP avant la conversion. Apparemment, certains paramètres persistants se heurtaient aux attentes d'IISExpress dans le nouveau projet. &ndash Tomas Aschan 15 août 18 à 7:16

Dans mon cas, le problème était dû à des redirections de liaison en double dans mon web.config. Plus d'infos ici.

Je suppose que c'était à cause de la modification des redirections de liaison par NuGet, mais par exemple, cela ressemblait à ceci :

La suppression de tous les doublons a résolu le problème.

Dans mon cas, cette erreur s'est produite lors de la connexion à l'application SAP Business One 9.1. Dans les événements Windows, je pouvais également trouver un autre événement d'erreur en plus de celui signalé par l'OP :

La machine fonctionne sous Windows 8.1, avec .NET Framework 4.0 installé et sans la version 4.5. Comme il semblait sur Internet que cela pouvait aussi être un bogue dans .NET 4, j'ai essayé installer .NET Framework 4.5.2 et j'ai résolu le problème.

Version du framework : v4.0.30319 Description : le processus a été interrompu en raison d'une exception non gérée. Informations sur les exceptions : System.Reflection.TargetInvocationException

J'ai été confronté à cette erreur, l'application fonctionnait correctement sur certains PC et sur certains PC donnant l'erreur ci-dessus. J'ai désinstallé le Framework 4.5 et réinstallé cela a résolu mon problème.

Il peut s'agir d'une exception survenant dans le finaliseur. Si vous faites le modèle de

Class () < Dispose (false) > vérifiez ce que vous supprimez en tant que ressource non gérée. Il suffit d'essayer.. attrapez-le et tout devrait bien se passer.

Nous avons trouvé le problème car nous avons eu cet échec mystérieux sans journaux. Nous avons suivi le schéma habituel recommandé d'utiliser un "void Dispose (bool disposing)".

En regardant les réponses à cette question sur le finaliseur, nous avons trouvé un endroit possible où l'élimination des ressources non gérées pourrait lever une exception.

Il s'avère que quelque part nous n'avons pas correctement supprimé l'objet, le finaliseur a donc pris en charge la suppression des ressources non gérées. Voici donc une exception s'est produite.

Dans ce cas, nous utilisions l'API Kafka Rest pour nettoyer le client de Kafka. Il semble que cela ait levé une exception à un moment donné, puis ce problème s'est produit.


Le numérateur du rapport 138,4:24,4 contient 1 décimale et le dénominateur contient 1 décimale

Le rapport équivalent de nombre entier le plus bas possible du rapport 138,4:24,4 est :

Si vous souhaitez exprimer le rapport 138,4:24,4 comme n à 1, alors le rapport serait :

Si vous souhaitez exprimer le rapport 138,4:24,4 comme 1 à n, alors le rapport serait :

Le rapport 138,4:24,4 exprimé sous forme de fraction est [calculé à l'aide du calculateur de rapport à fraction] :

Le ratio 138,4:24,4 exprimé en pourcentage est [calculé à l'aide du calculateur de ratio/pourcentage] :


Voir la vidéo: Corrige concours médecine 2021: mathématique (Décembre 2021).