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6.1 : Dessins ? - Mathématiques


Tous les textes qui ont été discutés ci-dessus ont été illustrés par des dessins géométriques. Cependant, seules deux des tablettes portaient des diagrammes géométriques, et dans les deux cas, ceux-ci illustraient l'énoncé du problème, pas la procédure.

De nombreux aspects des procédures sont inexplicables dans l'interprétation arithmétique traditionnelle mais naturellement expliqués dans une lecture géométrique. en conséquence, certains sorte de géométrie doit avoir participé au raisonnement des Babyloniens. Il n'est cependant pas très plausible que les Babyloniens aient utilisé des dessins tranquilles comme les nôtres. Au contraire, de nombreux textes nous donnent des raisons de croire qu'ils étaient étouffés par des schémas de structure rudimentaires ; voir par exemple page 52 sur le changement d'échelle dans un sens. L'absence de noms particuliers pour (L = 3lambda) et (W = 21phi) dans TMS IX #3 (voir page 59) suggère également qu'aucun nouveau schéma n'a été créé dans lequel ils pourraient être identifiés, tandis que (lambda) et (phi) pouvait être identifiés comme des côtés de la "surface 2".

Après tout, ce n'est pas étonnant. Celui qui est familier avec les techniques de l'Ancien Babylone n'aura besoin que d'une esquisse pour suivre le raisonnement ; il n'y a même pas besoin d'effectuer les divisions et les déplacements, le seul dessin du rectangle permet de saisir le procédé à utiliser. de la même manière que nous pouvons effectuer un calcul mental, en prenant au plus des notes pour un ou deux résultats intermédiaires, nous pouvons aussi nous familiariser avec la « géométrie mentale », au plus assisté d'un schéma grossier.

Un bon nombre de plans de terrain réalisés par des scribes mésopotamiens ont survécu ; la partie gauche de la figure 6.1 montre l'un d'eux. Ils ont précisément le caractère de diagrammes de structure ; elles ne visent pas à être fidèles dans le rendu des proportions linéaires, comme on le verra si l'on compare avec la version en proportions correctes à droite. À cet égard, ils sont similaires à la figure 4.5, dont les vraies proportions sont visibles sur la figure 4.6— pages 65 et 68, respectivement. Ils ne sont pas non plus intéressés à montrer correctement les angles, hormis les angles « pratiquement droits » qui servent aux calculs d'aire et ont donc un de construction rôle.

Pratiquer la « géométrie mentale » suppose d'avoir d'abord formé la géométrie concrète ; de vrais dessins de quelque sorte doivent donc avoir existé. Cependant, les opérations de copier-coller ne sont pas faciles à réaliser sur une tablette d'argile. Le boulier à poussière, utilisé par les calculateurs phéniciens au premier millénaire avant notre ère puis repris par les géomètres grecs,1 est beaucoup plus pratique à cet effet. Ici, il est facile d'annuler une partie d'une figure et de la redessiner dans une nouvelle position. Une cour d'école jonchée de sable (cf. page 33) conviendrait également.

De la même manière, la poussière ou le sable semblent avoir servi dans les premières étapes de l'apprentissage du script. De cette phase initiale, on connaît les tablettes sur lesquelles sont inscrites Les modèles les élèves sont censés avoir reproduit pour apprendre les caractères cunéiformes. De le suivant phase, nous avons aussi les tablettes d'argile écrites par les élèves - mais dès la première phase le travail des élèves n'a laissé aucune trace archéologique, ce qui signifie qu'elles auront probablement été dessinées dans du sable ou de la poussière. Il n'y a donc pas lieu de s'étonner que les dessins géométriques de l'enseignement de l'algèbre et de la quasi-algèbre n'aient pas été retrouvés.


“Zone intuitionniste” aurait été un peu plus précise

Je suis à peu près sûr qu'il y a des zones de géométrie elliptique dans la région du triangle de recherche de la Caroline du Nord, il y a des routes et des intersections décidément non cartésiennes!

Qu'est-ce qui serait bon pour le rendement ? Domaine?

Peut-être une série pour la limite de poids comme la limite de vitesse ?

One Way me donne vraiment envie d'autres numéros. sqrt(2) voie, 1/2 voie, …

Ooh, j'aime l'idée des variations sur le panneau à sens unique.

Je suppose qu'une rue à demi-voie aurait une dimension fractale inférieure? Par exemple, l'ensemble ternaire de Cantor pourrait être une rue à sens ln(2)/ln(3) ?

Semi-pertinent : alors que je conduisais l'autre jour, j'ai passé un panneau « détour » sans aucune indication de ce par quoi il s'agit d'un détour. Mais ensuite, j'ai réalisé que ce n'était pas un problème : c'était un détour par presque tous les chemins !


Les mathématiques du dessin en perspective

Les peintres utilisent différentes techniques pour créer des peintures réalistes. Vincent Van Gogh’s Parterres de fleurs en Hollande en est un exemple. Compte tenu de la bonne distance, vous la prendriez pour une photo décolorée.

Mais comment les peintres mettent-ils autant de vie dans leurs œuvres ? Comment placent-ils l'espace réel (3 dimensions) sur une surface plane (2 dimensions) ?

L'une des techniques utilisées par les peintres s'appelle perspective. La perspective est l'art de dessiner des objets de manière à leur donner de la profondeur et à montrer leur distance par rapport à l'observateur. Cela donne à un dessin l'illusion d'un espace tridimensionnel.

En perspective à un point, les dessins guidés par la géométrie des lignes convergentes. Les lignes se rejoignent en un point appelé Point de fuite comme le montre la deuxième figure. Van Gogh a utilisé cette technique dans la peinture ci-dessus.

Les mathématiques du dessin en perspective reposent sur les rapports des objets dessinés. Dans une perspective à un point, les objets sont proportionnels (lisez Introduction à la similarité pour une explication mathématique détaillée). Cela signifie, comme indiqué ci-dessous, que le quotient , où est la hauteur de l'arbre et est la distance du point de fuite est toujours le même. Autrement dit, si nous faisons les représentations suivantes

: hauteur de “plus grand arbre” sur le dessin
: distance de “plus grand arbre” au point de fuite
: hauteur de l'arbre du milieu dans le dessin
: distance de l'arbre du milieu au point de fuite
: hauteur de “arbre le plus court” sur le dessin
: distance du “plus petit arbre” au point de fuite

Notez que j'ai placé les guillemets sur l'arbre le plus grand et l'arbre le plus court car si les arbres étaient réels, ils auraient la même hauteur.

La perspective en un point n'est qu'une des nombreuses techniques du dessin en perspective. Il y a aussi perspective à deux points, perspective en trois points, et perspective atmosphérique. La combinaison de ces techniques crée des dessins réalistes et réalistes.


7.1 Dessins à l'échelle

Dans cette unité, les élèves apprennent à comprendre et à utiliser les termes « copie à l'échelle », « à l'échelle », « facteur d'échelle », « dessin à l'échelle » et « échelle » et à reconnaître quand deux images ou figures planes sont ou ne sont pas mises à l'échelle. copies les unes des autres. Ils utilisent des tableaux pour raisonner sur les mesures dans les copies à l'échelle et reconnaissent que les mesures d'angle sont conservées dans les copies à l'échelle, mais les longueurs sont mises à l'échelle par un facteur d'échelle et les aires par le carré du facteur d'échelle. Ils font, interprètent et raisonnent sur des dessins à l'échelle. Ceux-ci incluent des cartes et des plans d'étage qui ont des échelles avec et sans unités.

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Dessins à l'échelle

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Contenu

Le mot esthétique est dérivé du grec αἰσθητικός (aisthétikos, signifiant « esthétique, sensible, sensible, se rapportant à la perception sensorielle »), qui à son tour était dérivé de αἰσθάνομαι (aisthanomai, signifiant "Je perçois, sens, sens" et lié à αἴσθησις (aisthsis, "sensation"). [7] On a dit que l'esthétique dans ce sens central a commencé avec la série d'articles sur « Les plaisirs de l'imagination » que le journaliste Joseph Addison a écrit dans les premiers numéros du magazine Le spectateur en 1712. [8] Le terme « esthétique » a été approprié et forgé avec un nouveau sens par le philosophe allemand Alexander Baumgarten dans sa thèse Meditationes philosophicae de nonnullis ad poema pertinentibus ("Considérations philosophiques de certaines questions concernant le poème") en 1735 [9] Baumgarten a choisi "l'esthétique" parce qu'il souhaitait mettre l'accent sur l'expérience de l'art comme moyen de savoir. La définition de Baumgarten de l'esthétique dans le fragment Esthétique (1750) est parfois considérée comme la première définition de l'esthétique moderne. [dix]

L'esthétique est à l'artiste ce que l'ornithologie est aux oiseaux.

Certains séparent l'esthétique et la philosophie de l'art, affirmant que la première est l'étude de la beauté et du goût tandis que la seconde est l'étude des œuvres d'art. Mais l'esthétique considère généralement des questions de beauté aussi bien que d'art. Il examine des sujets tels que les œuvres d'art, l'expérience esthétique et les jugements esthétiques. [13] Certains considèrent l'esthétique comme un synonyme de la philosophie de l'art depuis Hegel, tandis que d'autres insistent sur le fait qu'il existe une distinction significative entre ces domaines étroitement liés. En pratique, le jugement esthétique fait référence à la contemplation ou à l'appréciation sensorielle d'un objet (pas nécessairement une œuvre d'art), tandis que le jugement artistique fait référence à la reconnaissance, l'appréciation ou la critique de l'art ou d'une œuvre d'art.

L'esthétique philosophique doit non seulement parler et juger l'art et les œuvres d'art, mais aussi définir l'art. Un point de désaccord commun concerne la question de savoir si l'art est indépendant de tout objectif moral ou politique.

Les esthéticiens comparent une conception culturellement contingente de l'art à une conception purement théorique. Ils étudient les variétés d'art en relation avec leurs environnements physiques, sociaux et culturels. Les esthéticiennes utilisent également la psychologie pour comprendre comment les gens voient, entendent, imaginent, pensent, apprennent et agissent en relation avec les matériaux et les problèmes de l'art. La psychologie esthétique étudie le processus créatif et l'expérience esthétique. [14]

Jugement esthétique Modifier

L'esthétique examine la réponse du domaine affectif à un objet ou à un phénomène. Les jugements de valeur esthétique reposent sur la capacité de discriminer au niveau sensoriel. Pourtant, jugements esthétiques vont généralement au-delà de la discrimination sensorielle.

Pour David Hume, la délicatesse du goût n'est pas seulement "la capacité à déceler tous les ingrédients d'une composition", mais aussi la sensibilité "aux douleurs comme aux plaisirs, qui échappent au reste de l'humanité". [15] Ainsi, la discrimination sensorielle est liée à la capacité de plaisir.

Pour Emmanuel Kant (Critique du jugement, 1790), la « jouissance » est le résultat lorsque le plaisir naît de la sensation, mais juger quelque chose comme « belle » a une troisième exigence : la sensation doit faire naître le plaisir en engageant une contemplation réflexive. Les jugements de beauté sont à la fois sensoriels, émotionnels et intellectuels. Kant (1790) a observé d'un homme « S'il dit que le vin des Canaries est agréable, il est tout à fait satisfait si quelqu'un d'autre corrige ses termes et lui rappelle de dire à la place : Il est agréable de moi, " parce que " chacun a son (sens du) goût) ". Le cas de la " beauté " est différent de la simple " amabilité " car " s'il proclame que quelque chose est belle, alors il exige le même goût des autres qu'il juge ensuite pas seulement pour lui-même mais pour tout le monde, et parle de la beauté comme si c'était une propriété des choses."

On peut parfois observer que les interprétations de la beauté par le spectateur possèdent deux concepts de valeur : l'esthétique et le goût. L'esthétique est la notion philosophique de la beauté. Le goût est le résultat d'un processus d'éducation et d'une prise de conscience des valeurs culturelles de l'élite acquises par l'exposition à la culture de masse. Bourdieu a examiné comment l'élite de la société définit les valeurs esthétiques comme le goût et comment différents niveaux d'exposition à ces valeurs peuvent entraîner des variations selon la classe, l'origine culturelle et l'éducation. [16] Selon Kant, la beauté est subjective et universelle, donc certaines choses sont belles pour tout le monde. [17] De l'avis de Władysław Tatarkiewicz, il existe six conditions pour la présentation de l'art : la beauté, la forme, la représentation, la reproduction de la réalité, l'expression artistique et l'innovation. Cependant, on peut ne pas être en mesure de cerner ces qualités dans une œuvre d'art. [18]

La question de savoir s'il existe des faits sur les jugements esthétiques appartient à la branche de la métaphilosophie connue sous le nom de méta-esthétique. [19]

Facteurs impliqués dans le jugement esthétique Modifier

Le jugement esthétique est intimement lié au dégoût. Des réponses comme le dégoût montrent que la détection sensorielle est liée de manière instinctive aux expressions faciales, y compris aux réponses physiologiques comme le réflexe nauséeux. Le dégoût est déclenché en grande partie par la dissonance, comme l'a souligné Darwin, voir une bande de soupe dans la barbe d'un homme est dégoûtant même si ni la soupe ni les barbes ne sont elles-mêmes dégoûtantes. Les jugements esthétiques peuvent être liés à des émotions ou, comme les émotions, partiellement incorporés dans des réactions physiques. Par exemple, la crainte inspirée par un paysage sublime peut se manifester physiquement par une augmentation du rythme cardiaque ou une dilatation des pupilles.

Comme on le voit, les émotions sont conformes à des réactions « culturelles », donc l'esthétique est toujours caractérisée par des « réponses régionales », comme Francis Grose a été le premier à l'affirmer dans ses « Règles pour dessiner des caricatures : avec un essai sur la peinture comique » (1788), publié dans W. Hogarth, The Analysis of Beauty, Bagster, Londres sd (1791? [1753]), p. 1-24. Francis Grose peut donc être revendiqué comme le premier « régionaliste esthétique » critique à proclamer l'anti-universalité de l'esthétique par opposition à la dictature périlleuse et toujours renaissante de la beauté. [20] Le « régionalisme esthétique » peut ainsi être vu comme une déclaration et une position politique qui s'oppose à toute notion universelle de beauté pour sauvegarder la contre-tradition de l'esthétique liée à ce qui a été considéré et qualifié de non-beau simplement parce que sa culture ne le contempler, par exemple Le sublime d'E. Burke, ce qui est généralement défini comme l'art « primitif », ou l'art non harmonieux et non cathartique, l'art du camp, que la « beauté » pose et crée, de manière dichotomique, comme son contraire, sans même avoir besoin d'énoncés formels, mais qui sera « perçu » comme laid. [21]

De même, les jugements esthétiques peuvent être culturellement conditionnés dans une certaine mesure. Les Victoriens en Grande-Bretagne considéraient souvent la sculpture africaine comme laide, mais quelques décennies plus tard, le public édouardien considérait les mêmes sculptures comme belles. Les évaluations de la beauté peuvent très bien être liées à la désirabilité, peut-être même à la désirabilité sexuelle. Ainsi, les jugements de valeur esthétique peuvent devenir liés à des jugements de valeur économique, politique ou morale. [22] Dans un contexte actuel, une Lamborghini peut être jugée belle en partie parce qu'elle est souhaitable en tant que symbole de statut, ou elle peut être jugée répugnante en partie parce qu'elle signifie une surconsommation et offense les valeurs politiques ou morales. [23]

Le contexte de sa présentation affecte également la perception des œuvres d'art présentées dans un contexte muséal classique sont plus appréciées et jugées plus intéressantes que lorsqu'elles sont présentées dans un contexte de laboratoire stérile. Bien que les résultats spécifiques dépendent fortement du style de l'œuvre d'art présentée, dans l'ensemble, l'effet du contexte s'est avéré plus important pour la perception de l'œuvre d'art que l'effet de l'authenticité (que l'œuvre d'art soit présentée comme originale ou comme fac-similé/copie) . [24]

Les jugements esthétiques peuvent souvent être très fins et contradictoires en interne. De même, les jugements esthétiques semblent souvent être au moins en partie intellectuels et interprétatifs. Ce qu'une chose signifie ou symbolise est souvent ce qui est jugé. Les esthéticiens modernes ont affirmé que la volonté et le désir étaient presque dormants dans l'expérience esthétique, mais la préférence et le choix ont semblé une esthétique importante pour certains penseurs du 20e siècle. Le point est déjà fait par Hume, mais voir Mary Mothersill, « Beauty and the Critic's Judgment », dans Le guide Blackwell de l'esthétique, 2004. Ainsi, les jugements esthétiques pourraient être considérés comme étant basés sur les sens, les émotions, les opinions intellectuelles, la volonté, les désirs, la culture, les préférences, les valeurs, le comportement subconscient, la décision consciente, la formation, l'instinct, les institutions sociologiques ou une combinaison complexe de ceux-ci. , selon exactement quelle théorie est employée.

Un troisième sujet majeur dans l'étude des jugements esthétiques est de savoir comment ils sont unifiés à travers les formes d'art. Par exemple, la source de la beauté d'une peinture a un caractère différent de celui de la belle musique, suggérant que leur esthétique diffère en nature. [25] L'incapacité manifeste du langage à exprimer un jugement esthétique et le rôle de la construction sociale obscurcissent davantage cette question.

Universaux esthétiques Modifier

Le philosophe Denis Dutton a identifié six signatures universelles dans l'esthétique humaine : [26]

  1. Expertise ou virtuosité. Les humains cultivent, reconnaissent et admirent les compétences artistiques techniques.
  2. Plaisir non utilitaire. Les gens aiment l'art pour l'art et n'exigent pas qu'il les garde au chaud ou qu'il mette de la nourriture sur la table. . Les objets et performances artistiques satisfont à des règles de composition qui les placent dans un style reconnaissable.
  3. Critique. Les gens se font un devoir de juger, d'apprécier et d'interpréter les œuvres d'art.
  4. Imitation. À quelques exceptions importantes comme la peinture abstraite, les œuvres d'art simulent des expériences du monde.
  5. Focus spécial. L'art est mis à l'écart de la vie ordinaire et fait un foyer dramatique de l'expérience.

Des artistes comme Thomas Hirschhorn ont indiqué qu'il y avait trop d'exceptions aux catégories de Dutton. Par exemple, les installations de Hirschhorn évitent délibérément la virtuosité technique. Les gens peuvent apprécier une Madone de la Renaissance pour des raisons esthétiques, mais de tels objets avaient souvent (et ont parfois encore) des fonctions dévotionnelles spécifiques. « Règles de composition » que l'on pourrait lire dans les Fontaine ou celui de John Cage 4′33″ ne situez pas les œuvres dans un style reconnaissable (ou certainement pas dans un style reconnaissable au moment de la réalisation des œuvres). De plus, certaines des catégories de Dutton semblent trop larges : un physicien pourrait entretenir des mondes hypothétiques dans son imagination au cours de la formulation d'une théorie. Un autre problème est que les catégories de Dutton cherchent à universaliser les notions européennes traditionnelles de l'esthétique et de l'art en oubliant que, comme André Malraux et d'autres l'ont souligné, il y a eu un grand nombre de cultures dans lesquelles de telles idées (y compris l'idée « art » elle-même) n'étaient pas -existant. [27]

Éthique esthétique Modifier

L'éthique esthétique fait référence à l'idée que la conduite et le comportement humains doivent être régis par ce qui est beau et attrayant. John Dewey [28] a souligné que l'unité de l'esthétique et de l'éthique se reflète en fait dans notre compréhension du comportement « juste » – le mot ayant un double sens d'attirant et de moralement acceptable. Plus récemment, James Page [29] [30] a suggéré que l'éthique esthétique pourrait être considérée comme une justification philosophique de l'éducation à la paix.

La beauté est l'un des principaux sujets de l'esthétique, avec l'art et le goût. [31] [32] Beaucoup de ses définitions incluent l'idée qu'un objet est beau si le percevoir s'accompagne d'un plaisir esthétique. Parmi les exemples de beaux objets figurent les paysages, les couchers de soleil, les humains et les œuvres d'art. La beauté est une valeur esthétique positive qui contraste avec la laideur comme contrepartie négative. [33]

Différentes intuitions communément associées à la beauté et à sa nature sont en conflit les unes avec les autres, ce qui pose certaines difficultés pour la comprendre. [34] [35] [36] D'une part, la beauté est attribuée aux choses comme une caractéristique objective et publique. D'un autre côté, cela semble dépendre de la réponse émotionnelle et subjective de l'observateur. On dit, par exemple, que « la beauté est dans l'œil du spectateur ». [37] [31] Il est peut-être possible de concilier ces intuitions en affirmant que cela dépend à la fois des caractéristiques objectives de la belle chose et de la réponse subjective de l'observateur. Une façon d'y parvenir est de considérer qu'un objet est beau s'il a le pouvoir de provoquer certaines expériences esthétiques chez le sujet percevant. Ceci est souvent combiné avec l'idée que le sujet doit avoir la capacité de percevoir et de juger correctement la beauté, parfois appelée « sens du goût ». [31] [35] [36] Diverses conceptions de la façon de définir et de comprendre la beauté ont été suggérées. Conceptions classiques mettre l'accent sur le côté objectif de la beauté en la définissant en termes de relation entre le bel objet dans son ensemble et ses parties : les parties doivent se tenir dans la bonne proportion les unes par rapport aux autres et ainsi composer un tout harmonieux intégré. [31] [33] [36] Conceptions hédonistes, d'autre part, concentrez-vous davantage sur le côté subjectif en établissant un lien nécessaire entre le plaisir et la beauté, par ex. que pour qu'un objet soit beau, c'est pour qu'il fasse plaisir désintéressé. [38] D'autres conceptions consistent à définir les beaux objets en fonction de leur valeur, d'une attitude amoureuse à leur égard ou de leur fonction. [39] [33] [31]

Au cours de la première moitié du vingtième siècle, un changement significatif vers la théorie esthétique générale a eu lieu qui a tenté d'appliquer la théorie esthétique entre diverses formes d'art, y compris les arts littéraires et les arts visuels, les unes aux autres. Cela a entraîné la montée de l'école de la nouvelle critique et le débat concernant le sophisme intentionnel. La question était de savoir si les intentions esthétiques de l'artiste dans la création de l'œuvre d'art, quelle que soit sa forme spécifique, devaient être associées à la critique et à l'évaluation du produit final de l'œuvre d'art, ou, si l'œuvre d'art doit être évalué selon ses propres mérites, indépendamment des intentions de l'artiste.

En 1946, William K. Wimsatt et Monroe Beardsley ont publié un essai New Critical classique et controversé intitulé "The Intentional Fallacy", dans lequel ils ont fortement argumenté contre la pertinence de l'intention d'un auteur, ou "signification intentionnelle" dans l'analyse d'une œuvre littéraire. . Pour Wimsatt et Beardsley, les mots sur la page étaient tout ce qui comptait. L'importation de significations extérieures au texte était considérée comme non pertinente et potentiellement gênante.

Dans un autre essai, "The Affective Fallacy", qui a servi comme une sorte d'essai sœur de "The Intentional Fallacy", Wimsatt et Beardsley ont également écarté la réaction personnelle/émotionnelle du lecteur à une œuvre littéraire comme moyen valable d'analyser un texte. Cette erreur sera plus tard répudiée par les théoriciens de l'école de la théorie littéraire de la réponse du lecteur. L'un des principaux théoriciens de cette école, Stanley Fish, a lui-même été formé par New Critics. Fish critique Wimsatt et Beardsley dans son essai "Literature in the Reader" (1970). [40]

Comme le résument Berys Gaut et Livingston dans leur essai « La création de l'art » : « Les théoriciens et critiques structuralistes et post-structuralistes ont vivement critiqué de nombreux aspects de la nouvelle critique, en commençant par l'accent mis sur l'appréciation esthétique et la soi-disant autonomie de art, mais ils ont réitéré l'attaque contre l'hypothèse des critiques biographiques selon laquelle les activités et l'expérience de l'artiste étaient un sujet critique privilégié. » [41] Ces auteurs soutiennent que : « Les anti-intentionnalistes, tels que les formalistes, soutiennent que les intentions impliquées dans la fabrication de l'art ne sont pas pertinentes ou périphériques pour interpréter correctement l'art. Ainsi, les détails de l'acte de créer une œuvre, bien que potentiellement intéressants en eux-mêmes, n'ont aucune incidence sur l'interprétation correcte de l'œuvre. [42]

Gaut et Livingston définissent les intentionnalistes comme distincts des formalistes en déclarant que : « Les intentionnalistes, contrairement aux formalistes, soutiennent que la référence aux intentions est essentielle pour fixer l'interprétation correcte des œuvres. Ils citent Richard Wollheim déclarant que « la tâche de la critique est la reconstruction du processus créatif, où le processus créatif doit à son tour être considéré comme quelque chose qui ne s'arrête pas à, mais se termine sur l'œuvre d'art elle-même. » [42]

Un grand nombre de formes dérivées de l'esthétique se sont développées en tant que formes de recherche contemporaines et transitoires associées au domaine de l'esthétique, qui incluent le post-moderne, psychanalytique, scientifique et mathématique, entre autres.

Esthétique post-moderne et psychanalyse Modifier

Les artistes, poètes et compositeurs du début du XXe siècle ont remis en question les notions existantes de beauté, élargissant le champ de l'art et de l'esthétique. En 1941, Eli Siegel, philosophe et poète américain, a fondé le réalisme esthétique, la philosophie selon laquelle la réalité elle-même est esthétique et que « le monde, l'art et le moi s'expliquent : chacun est l'unité esthétique des contraires ». [43] [44]

Diverses tentatives ont été faites pour définir l'esthétique post-moderne. La remise en cause de l'hypothèse selon laquelle la beauté était au cœur de l'art et de l'esthétique, considérée comme originale, est en fait continue avec la théorie esthétique plus ancienne Aristote a été le premier dans la tradition occidentale à classer la « beauté » en types comme dans sa théorie du drame, et Kant fait une distinction entre la beauté et le sublime. Ce qui était nouveau, c'était le refus d'attribuer le statut supérieur de certains types, où la taxonomie impliquait une préférence pour la tragédie et le sublime pour la comédie et le rococo.

Croce a suggéré que « l'expression » est centrale de la même manière que la beauté était autrefois considérée comme centrale. George Dickie a suggéré que les institutions sociologiques du monde de l'art étaient le ciment liant l'art et la sensibilité en unités. [45] Marshall McLuhan a suggéré que l'art fonctionne toujours comme un « contre-environnement » conçu pour rendre visible ce qui est habituellement invisible dans une société. [46] Theodor Adorno a estimé que l'esthétique ne pouvait pas procéder sans confronter le rôle de l'industrie culturelle dans la marchandisation de l'art et de l'expérience esthétique. Hal Foster a tenté de dépeindre la réaction contre la beauté et l'art moderniste dans L'anti-esthétique : essais sur la culture postmoderne. Arthur Danto a qualifié cette réaction de « kalliphobie » (d'après le mot grec signifiant beauté, kallos). [47] André Malraux explique que la notion de beauté était liée à une conception particulière de l'art née à la Renaissance et encore dominante au XVIIIe siècle (mais supplantée plus tard). La discipline esthétique, née au XVIIIe siècle, a pris cet état de fait passager pour une révélation du caractère permanent de l'art. [48] ​​Brian Massumi propose de reconsidérer la beauté en suivant la pensée esthétique de la philosophie de Deleuze et Guattari. [49] Walter Benjamin a fait écho à Malraux en croyant que l'esthétique était une invention relativement récente, un point de vue qui s'est avéré faux à la fin des années 1970, lorsque Abraham Moles et Frieder Nake ont analysé les liens entre la beauté, le traitement de l'information et la théorie de l'information. Denis Dutton dans "The Art Instinct" a également proposé qu'un sens esthétique était un facteur d'évolution vital.

Jean-François Lyotard réinvoque la distinction kantienne entre le goût et le sublime. La peinture sublime, à la différence du réalisme kitsch, ". ne nous permettra de voir qu'en rendant impossible de voir elle ne plaira qu'en faisant souffrir". [50] [51]

Sigmund Freud a inauguré la pensée esthétique en psychanalyse principalement via l'« étrangeté » en tant qu'affect esthétique. [52] À la suite de Freud et Merleau-Ponty, [53] Jacques Lacan a théorisé l'esthétique en termes de sublimation et de Chose. [54]

La relation entre l'esthétique marxiste et l'esthétique post-moderne est encore un sujet de débat controversé.

Esthétique récente Modifier

Guy Sircello a été le pionnier des efforts de la philosophie analytique pour développer une théorie rigoureuse de l'esthétique, en se concentrant sur les concepts de beauté, [55] d'amour [56] et de sublimité. [57] Contrairement aux théoriciens romantiques, Sircello a plaidé pour l'objectivité de la beauté et a formulé une théorie de l'amour sur cette base.

Le philosophe et théoricien britannique de l'esthétique de l'art conceptuel, Peter Osborne, fait remarquer que « l'esthétique de l'art post-conceptuel ne concerne pas tant un type particulier d'art contemporain que la condition historico-ontologique de la production d'art contemporain en général. ". [58] Osborne a noté que l'art contemporain est « post-conceptuel » dans une conférence publique donnée en 2010.

Gary Tedman a proposé une théorie d'une esthétique sans sujet dérivée du concept d'aliénation de Karl Marx et de l'antihumanisme de Louis Althusser, en utilisant des éléments de la psychologie de groupe de Freud, définissant un concept de « niveau esthétique de la pratique ». [59]

Gregory Loewen a suggéré que le sujet est la clé de l'interaction avec l'objet esthétique. L'œuvre d'art sert de véhicule pour la projection de l'identité de l'individu dans le monde des objets, tout en étant la source irruptive d'une grande partie de ce qui est étrange dans la vie moderne. De plus, l'art est utilisé pour commémorer des biographies individualisées d'une manière qui permet aux personnes d'imaginer qu'elles font partie de quelque chose de plus grand qu'elles-mêmes. [60]

Esthétique et science Modifier

Le domaine de l'esthétique expérimentale a été fondé par Gustav Theodor Fechner au 19ème siècle. L'esthétique expérimentale de l'époque était caractérisée par une approche inductive, basée sur le sujet. L'analyse de l'expérience et du comportement individuel basée sur des méthodes expérimentales est un élément central de l'esthétique expérimentale. En particulier, la perception d'œuvres d'art, [61] de musique ou d'objets modernes tels que des sites Web [62] ou d'autres produits informatiques [63] est étudiée. L'esthétique expérimentale est fortement orientée vers les sciences naturelles. Les approches modernes sont majoritairement issues des domaines de la psychologie cognitive ou des neurosciences (neuroesthétique [64] ).

Dans les années 1970, Abraham Moles et Frieder Nake ont été parmi les premiers à analyser les liens entre l'esthétique, le traitement de l'information et la théorie de l'information. [65] [66]

In the 1990s, Jürgen Schmidhuber described an algorithmic theory of beauty which takes the subjectivity of the observer into account and postulates: among several observations classified as comparable by a given subjective observer, the aesthetically most pleasing one is the one with the shortest description, given the observer's previous knowledge and his particular method for encoding the data. [67] [68] This is closely related to the principles of algorithmic information theory and minimum description length. One of his examples: mathematicians enjoy simple proofs with a short description in their formal language. Another very concrete example describes an aesthetically pleasing human face whose proportions can be described by very few bits of information, [69] [70] drawing inspiration from less detailed 15th century proportion studies by Leonardo da Vinci and Albrecht Dürer. Schmidhuber's theory explicitly distinguishes between what's beautiful and what's interesting, stating that interestingness corresponds to the first derivative of subjectively perceived beauty. Here the premise is that any observer continually tries to improve the predictability and compressibility of the observations by discovering regularities such as repetitions and symmetries and fractal self-similarity. Whenever the observer's learning process (which may be a predictive artificial neural network see also Neuroesthetics) leads to improved data compression such that the observation sequence can be described by fewer bits than before, the temporary interestingness of the data corresponds to the number of saved bits. This compression progress is proportional to the observer's internal reward, also called curiosity reward. A reinforcement learning algorithm is used to maximize future expected reward by learning to execute action sequences that cause additional interesting input data with yet unknown but learnable predictability or regularity. The principles can be implemented on artificial agents which then exhibit a form of artificial curiosity. [71] [72] [73] [74]

Truth in beauty and mathematics Edit

Mathematical considerations, such as symmetry and complexity, are used for analysis in theoretical aesthetics. This is different from the aesthetic considerations of applied aesthetics used in the study of mathematical beauty. Aesthetic considerations such as symmetry and simplicity are used in areas of philosophy, such as ethics and theoretical physics and cosmology to define truth, outside of empirical considerations. Beauty and Truth have been argued to be nearly synonymous, [75] as reflected in the statement "Beauty is truth, truth beauty" in the poem "Ode on a Grecian Urn" by John Keats, or by the Hindu motto "Satyam Shivam Sundaram" (Satya (Truth) is Shiva (God), and Shiva is Sundaram (Beautiful)). The fact that judgments of beauty and judgments of truth both are influenced by processing fluency, which is the ease with which information can be processed, has been presented as an explanation for why beauty is sometimes equated with truth. [76] Recent research found that people use beauty as an indication for truth in mathematical pattern tasks. [77] However, scientists including the mathematician David Orrell [78] and physicist Marcelo Gleiser [79] have argued that the emphasis on aesthetic criteria such as symmetry is equally capable of leading scientists astray.

Computational approaches Edit

Computational approaches to aesthetics emerged amid efforts to use computer science methods "to predict, convey, and evoke emotional response to a piece of art. [80] It this field, aesthetics is not considered to be dependent on taste but is a matter of cognition, and, consequently, learning. [81] In 1928, the mathematician George David Birkhoff created an aesthetic measure M = O/C as the ratio of order to complexity. [82]

Since about 2005, computer scientists have attempted to develop automated methods to infer aesthetic quality of images. [83] [84] [85] [86] Typically, these approaches follow a machine learning approach, where large numbers of manually rated photographs are used to "teach" a computer about what visual properties are of relevance to aesthetic quality. A study by Y. Li and C.J. Hu employed Birkhoff's measurement in their statistical learning approach where order and complexity of an image determined aesthetic value. [87] The image complexity was computed using information theory while the order was determined using fractal compression. [87] There is also the case of the Acquine engine, developed at Penn State University, that rates natural photographs uploaded by users. [88]

There have also been relatively successful attempts with regard to chess [ further explanation needed ] and music. [89] Computational approaches have also been attempted in film making as demonstrated by a software model developed by Chitra Dorai and a group of researchers at the IBM T.J. Watson Research Center. [90] The tool predicted aesthetics based on the values of narrative elements. [90] A relation between Max Bense's mathematical formulation of aesthetics in terms of "redundancy" and "complexity" and theories of musical anticipation was offered using the notion of Information Rate. [91]

Evolutionary aesthetics Edit

Evolutionary aesthetics refers to evolutionary psychology theories in which the basic aesthetic preferences of Homo sapiens are argued to have evolved in order to enhance survival and reproductive success. [92] One example being that humans are argued to find beautiful and prefer landscapes which were good habitats in the ancestral environment. Another example is that body symmetry and proportion are important aspects of physical attractiveness which may be due to this indicating good health during body growth. Evolutionary explanations for aesthetical preferences are important parts of evolutionary musicology, Darwinian literary studies, and the study of the evolution of emotion.

Applied aesthetics Edit

As well as being applied to art, aesthetics can also be applied to cultural objects, such as crosses or tools. For example, aesthetic coupling between art-objects and medical topics was made by speakers working for the US Information Agency. [93] Art slides were linked to slides of pharmacological data, which improved attention and retention by simultaneous activation of intuitive right brain with rational left. It can also be used in topics as diverse as cartography, mathematics, gastronomy, fashion and website design. [94] [95] [96] [97] [98]

The philosophy of aesthetics as a practice has been criticized by some sociologists and writers of art and society. Raymond Williams, for example, argues that there is no unique and or individual aesthetic object which can be extrapolated from the art world, but rather that there is a continuum of cultural forms and experience of which ordinary speech and experiences may signal as art. By "art" we may frame several artistic "works" or "creations" as so though this reference remains within the institution or special event which creates it and this leaves some works or other possible "art" outside of the frame work, or other interpretations such as other phenomenon which may not be considered as "art". [99]

Pierre Bourdieu disagrees with Kant's idea of the "aesthetic". He argues that Kant's "aesthetic" merely represents an experience that is the product of an elevated class habitus and scholarly leisure as opposed to other possible and equally valid "aesthetic" experiences which lay outside Kant's narrow definition. [100]

Timothy Laurie argues that theories of musical aesthetics "framed entirely in terms of appreciation, contemplation or reflection risk idealizing an implausibly unmotivated listener defined solely through musical objects, rather than seeing them as a person for whom complex intentions and motivations produce variable attractions to cultural objects and practices". [101]


Lesson 1

Lin and Tyler are drawing circles. Tyler's circle has twice the diameter of Lin’s circle. Tyler thinks that his circle will have twice the area of Lin’s circle as well. Do you agree with Tyler?

Solution

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Problème 2

Jada and Priya are trying to solve the equation (frac23+x=4) .

Jada says, “I think we should multiply each side by (frac32) because that is the reciprocal of (frac23) .”

Priya says, “I think we should add ( ext-frac23) to each side because that is the opposite of (frac23) .”

Which person’s strategy should they use? Pourquoi?

Write an equation that can be solved using the other person’s strategy.

Solution

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Problème 3

What are the missing operations?

  1. 48 ? (-8) = (-6)
  2. (-40) ? 8 =( -5)
  3. 12 ? (-2) = 14
  4. 18 ? (-12) = 6
  5. 18 ? (-20) = -2
  6. 22 ? (-0.5) = -11

Solution

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Problème 4

In football, the team that has the ball has four chances to gain at least ten yards. If they don't gain at least ten yards, the other team gets the ball. Positive numbers represent a gain and negative numbers represent a loss. Sélectionner tous of the sequences of four plays that result in the team getting to keep the ball.

Solution

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Problem 5

A sandwich store charges $ 20 to have 3 turkey subs delivered and $ 26 to have 4 delivered.

  1. Is the relationship between number of turkey subs delivered and amount charged proportional? Explique comment tu le sais.
  2. How much does the store charge for 1 additional turkey sub?
  3. Describe a rule for determining how much the store charges based on the number of turkey subs delivered.

Solution

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Problem 6

Which question cannot be answered by the solution to the equation (3x=27) ?

Elena read three times as many pages as Noah. She read 27 pages. How many pages did Noah read?

Lin has 27 stickers. She gives 3 stickers to each of her friends. With how many friends did Lin share her stickers?

Diego paid $ 27 to have 3 pizzas delivered and $ 35 to have 4 pizzas delivered. What is the price of one pizza?

The coach splits a team of 27 students into 3 groups to practice skills. How many students are in each group?

Solution

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Kindergarten Lesson Plans, Worksheets and Homework

Lesson 1: Analyze to find two objects that are exactly the same or not exactly the same. (Solutions)

Lesson 2: Analyze to find two similar objects-these are the same but. (Solutions)

Lesson 4: Classify items into two pre-determined categories. (Solutions)

Lesson 5: Classify items into three categories, determine the count in each, and reason about how the last number named determines the total. (Solutions)

Lesson 7: Sort by count in vertical columns and horizontal rows (linear configurations to 5). Match to numerals on cards. (Solutions)

Lesson 8: Answer how many questions to 5 in linear configurations (5-group), with 4 in an array configuration. Compare ways to count 5 fingers. (Solutions)

Lesson 9: Within linear and array dot configurations of numbers 3, 4, and 5 find hidden partners. (Solutions)

Lesson 10: Within circular and scattered dot configurations of numbers 3, 4, and 5 find hidden partners. (Solutions)

Lesson 12: Understand the meaning of zero. Write the numeral 0. (Solutions)

Lesson 13: Order and write numerals 0-3 to answer how many questions. (Solutions)

Lesson 14: Writer numerals 1-3. Represent decompositions with materials, drawings, and equations, 3 = 2 + 1 and 3 = 1 + 2. (Solutions)

Lesson 15: Order and write numerals 4 and 5 to answer how many questions in categories sort by count. (Solutions)

Lesson 17: Count 4 to 6 objects in vertical and horizontal linear configurations and array (i.e., 3 and 3, 3 twos) configurations. Match 6 objects to the numeral 6. (Solutions)

Lesson 18: Count 4 to 6 objects in circular and scattered configurations. Count 6 items out of a larger set. Write numerals 1 to 6 in order. (Solutions)

Lesson 19: Count 5 to 7 linking cubes in linear configurations. Match with numeral 7. Count on fingers from 1 to 7 and connect to 5-group images. (Solutions)

Lesson 20: Reason about sets of 7 varied objects in circular and scattered configurations. Find a path through the scattered configuration. Write numeral 7. Ask, "How is your seven different than mine?" (Solutions)

Lesson 21: Compare counts of 8. For example, 8 cubes or 8 cotton balls in linear and array i.e., 4 and 4 or 4 twos) configurations. Match with numeral 8. (Solutions)

Lesson 23: Organize and count 9 varied geometric objects in linear and array (3 threes) configurations. Place objects on 5-group dot mat. Match with numeral 9. (Solutions)

Lesson 24: Strategize to count 9 objects in circular (around a paper plate) and scattered configurations printed on paper. Write numeral 9. Represent a path through the scatter count with a pencil. Number each object. (Solutions)

Lesson 25, Lesson 26: Count 10 objects in linear and array configurations (5 and 5). Match with numeral 10. Place on the 5-group dot mat. Dialogue about 9 and 10 on the mat. Write numeral 10. (Solutions)

Lesson 27: Count 10 objects and move between all configurations. (Solutions)

Lesson 29: Order and match numeral and dot cards from 1 to 10. State 1 more than a given number. (Solutions)

Lesson 30: Exploration: Make math stairs from 1 to 10 in cooperative groups. (Solutions)

Lesson 31: Arrange, analyze, and draw 1 more up to 10 in configurations other than towers. (Solutions)

Lesson 33: Order quantities from 10 to 1 and match numerals. (Solutions)

Lesson 34: Count down from 10 to 1 and state 1 less than a given number. (Solutions)

Lesson 35: Arrange number towers in order from 10 to 1 and describe the pattern. (Solutions)

Lesson 36: Arrange, analyze, and draw sequences of quantities that are 1 less in configurations other than towers. (Solutions)

Lesson 37: Culminating task-Materials for this task include 5-group cards from 0 to 10.

Lesson 1: Find and describe flat triangles, squares, rectangles, hexagons, and circles using informal language without naming. (Solutions)

Lesson 2: Explain decisions about classifications of triangles into categories using variants and non-examples. Identify shapes as triangles. (Solutions)

Lesson 3: Explain decisions about classifications of rectangles into categories using variants and non-examples. Identify shapes as rectangles. (Solutions)

Lesson 4: Explain decisions about classifications of hexagons and circles and identify them by name. Make observations using variants and non-examples. (Solutions)

Lesson 6: Find and describe solid shapes using informal language without naming. (Solutions)

Lesson 7: Explain decisions about classification of solid shapes into categories. Name the solid shapes. (Solutions)

Lesson 9: Identify and sort shapes as two-dimensional or three-dimensional and recognize two-dimensional and three-dimensional shapes in different orientations and sizes. (Solutions)

Lesson 1: Compare lengths using taller than et shorter than with aligned and non-aligned endpoints. (Solutions)

Lesson 2: Compare length measurements with string. (Solutions)

Lesson 4: Compare the length of linking cube sticks to a 5-stick. (Solutions)

Lesson 5: Determine which linking cube stick is taller than or shorter than the other. (Solutions)

Lesson 6: Compare the length of linking cube sticks to various objects. (Solutions)

Lesson 8: Compare using heavier than et lighter than with classroom objects. (Solutions)

Lesson 9: Compare objects using heavier than, lighter than, et the same as with balance scales. (Solutions)

Lesson 10: Compare the weight of an object to a set of unit weights on a balance scale. (Solutions)

Lesson 11: Observe conservation of weight on the balance scale. (Solutions)

Lesson 13: Compare volume using more than, less than, et the same as by pouring. (Solutions)

Lesson 14: Explore conservation of volume by pouring. (Solutions)

Lesson 16: Make informal comparison of area. (Solutions)

Lesson 17: Compare to find if there is enough. (Solutions)

Lesson 18: Compare using more than et the same as (Solutions)

Lesson 22: Identify and create a set that has the same number of objects. (Solutions)

Lesson 23: Reason to identify and make a set that has 1 more. (Solutions)

Lesson 25: Match and count to compare a number of objects. State which quantity is more. (Solutions)

Lesson 26: Match and count to compare two sets of objects. State which quantity is less. (Solutions)

Lesson 27: Strategize to compare two sets. (Solutions)

Lesson 29: Observe cups of colored water of equal volume poured into a variety of container shapes.

Lesson 30: Use balls of clay of equal weights to make sculptures.

Lesson 31: Use benchmarks to create and compare rectangles of different lengths to make a city.

Lesson 1: Model composition and decomposition of numbers to 5 using actions, objects, and drawings. (Solutions)

Lesson 2: Model composition and decomposition of numbers to 5 using fingers and linking cube sticks. (Solutions)

Lesson 3: Represent composition story situations with drawings using numeric number bonds. (Solutions)

Lesson 4: Represent decomposition story situations with drawings using numeric number bonds. (Solutions)

Lesson 5: Represent composition and decomposition of numbers to 5 using pictorial and numeric number bonds. (Solutions)

Lesson 7: Model decompositions of 6 using a story situation, objects, and number bonds. (Solutions)

Lesson 8: Model decompositions of 7 using a story situation, sets, and number bonds. (Solutions)

Lesson 9: Model decompositions of 8 using a story situation, arrays, and number bonds. (Solutions)

Lesson 10: Model decompositions of 6 to 8 using linking cube sticks to see patterns. (Solutions)

Lesson 11: Represent decompositions for 6 to 8 using horizontal and vertical number bonds. (Solutions)

Lesson 13: Represent decomposition and composition addition stories to 6 with drawings and equations with no unknown. (Solutions)

Lesson 14: Represent decomposition and composition addition stories to 7 with drawings and equations with no unknown. (Solutions)

Lesson 15: Represent decomposition and composition addition stories to 8 with drawings and equations with no unknown. (Solutions)

Lesson 16: Solve add to with result unknown word problems to 8 with equations. Box the unknown. (Solutions)

Lesson 17: Solve put together with total unknown word problems to 8 using objects and drawings. (Solutions)

Lesson 19: Use objects and drawings to find how many are left. (Solutions)

Lesson 20: Solve take from with result unknown expressions and equations using the minus sign with no unknown. (Solutions)

Lesson 21: Represent subtraction story problems using objects, drawings, expressions, and equations. (Solutions)

Lesson 22: Decompose the number 6 using 5-group drawings by breaking off or removing a part, and record each decomposition with a drawing and subtraction equation. (Solutions)

Lesson 23: Decompose the number 7 using 5-group drawings by hiding a part, and record each decomposition with a drawing and subtraction equation. (Solutions)

Lesson 25: Model decompositions of 9 using a story situation, objects, and number bonds. (Solutions)

Lesson 26: Model decompositions of 9 using fingers, linking cubes, and number bonds. (Solutions)

Lesson 27: Model decompositions of 10 using a story situation, objects, and number bonds. (Solutions)

Lesson 29: Represent pictorial decomposition and composition addition stories to 9 with 5-group drawings and equations with no unknown. (Solutions)

Lesson 30: Represent pictorial decomposition and composition addition stories to 10 with 5-group drawings and equations with no unknown. (Solutions)

Lesson 31: Solve add to with total unknown et put together with total unknown problems with totals of 9 and 10. (Solutions)

Lesson 33: Solve take from equations with no unknown using numbers to 10.

Lesson 34: Represent subtraction story problems by breaking off, crossing out, and hiding a part.

Lesson 35: Decompose the number 9 using 5-group drawings, and record each decomposition with a subtraction equation.

Lesson 37: Add or subtract 0 to get the same number and relate to word problems wherein the same quantity that joins a set, separates.

Lesson 38: Add 1 to numbers 1-9 to see the pattern of the next number using 5-group drawings and equations.

Lesson 39: Find the number that makes 10 for numbers 1-9, and record each with a 5-group drawing.

Lesson 40: Find the number that makes 10 for numbers 1-9, and record each with an addition equation.

Count the Regular Way and Count the Say Ten Way (Math Way) (Video) Module 5 Overview

Lesson 1: Count straws into piles of ten count the piles as 10 ones. (Solutions)

Lesson 2: Count 10 objects within counts of 10 to 20 objects, and describe as 10 ones and ___ ones. (Solutions)

Lesson 3: Count and circle 10 objects within images of 10 to 20 objects, and describe as 10 ones and ___ ones. (Solutions)

Lesson 4: Count straws the Say Ten way to 19 make a pile for each ten. (Solutions)

Lesson 6: Model with objects and represent numbers 10 to 20 with place value or Hide Zero cards. (Solutions)

Lesson 7: Model and write numbers 10 to 20 as number bonds. (Solutions)

Lesson 8: Model teen numbers with materials from abstract to concrete. (Solutions)

Lesson 11: Show, count, and write numbers 11 to 20 in tower configurations increasing by 1 (a pattern of 1 larger). (Solutions)

Lesson 12: Represent numbers 20 to 11 in tower configurations decreasing by 1 (a pattern of 1 smaller). (Solutions)

Lesson 13: Show, count, and write to answer how many questions in linear and array configurations. (Solutions)

Lesson 15: Count up and down by tens to 100 with Say Ten and regular counting. (Solutions)

Lesson 16: Count within tens by ones. (Solutions)

Lesson 17: Count across tens when counting by ones through 40. (Solutions)

Lesson 18: Count across tens by ones to 100 with and without objects.

Lesson 20: Represent teen number compositions and decompositions as addition sentences. (Solutions)

Lesson 21: Represent teen number decompositions as 10 ones and some ones and find a hidden part. (Solutions)

Lesson 22: Decompose teen numbers as 10 ones and some ones compare some ones to compare the teen numbers. (Solutions)

Lesson 23: Reason about and represent situations, decomposing teen numbers into 10 ones and some ones and composing 10 ones and some ones into a teen number.

Lesson 1: Describe the systematic construction of flat shapes using ordinal numbers.

Lesson 2: Build flat shapes with varying side lengths and record with drawings.

Lesson 3: Compose solids using flat shapes as a foundation.

Lesson 5: Compose flat shapes using pattern blocks and drawings.

Lesson 6: Decompose flat shapes into two or more shapes.

Lesson 7: Compose simple shapes to form a larger shape described by an outline.

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6.1 : Dessins ? - Mathematics

  1. Reflexivity → p p p B
  2. Anti-symmetric → p q and q p iff p=q
  3. Transitivity → if p q and q r then p r

Example-1: Draw Hasse diagram for (<3, 4, 12, 24, 48, 72>, /)

Explanation – According to above given question first, we have to find the poset for the divisibility.
Let the set is A.
A=<(3 12), (3 24), (3 48), (3 72), (4 12), (4 24), (4 48), (4 72), (12 24), (12 48), (12 72), (24 48), (24 72)>
So, now the Hasse diagram will be:

In above diagram, 3 and 4 are at same level because they are not related to each other and they are smaller than other elements in the set. The next succeeding element for 3 and 4 is 12 i.e, 12 is divisible by both 3 and 4. Then 24 is divisible by 3, 4 and 12. Hence, it is placed above 12. 24 divides both 48 and 72 but 48 does not divide 72. Hence 48 and 72 are not joined.
We can see transitivity in our diagram as the level is increasing.

Example-2: Draw Hasse diagram for (D , /)

Explanation – Here, D means set of positive integers divisors of 12.
So, D = <1, 2, 3, 4, 6, 12>
poset A = <(1 2), (1 3), (1 4), (1 6), (1
12), (2 4), (2 6), (2 12), (3 6), (3 12), (4 12), (6 12)>
So, now the Hasse diagram will be-

In above diagram, 1 is the only element that divides all other elements and smallest. Hence, it is placed at the bottom. Then the elements in our set are 2 and 3 which do not divide each other hence they are placed at same level separately but divisible by 1 (both joined by 1). 4 is divisible by 1 and 2 while 6 is divisible by 1, 2 and 3 hence, 4 is joined by 2 and 6 is joined by 2 and 3. 12 is divisible by all the elements hence, joined by 4 and 6 not by all elements because we have already joined 4 and 6 with smaller elements accordingly.

  • Maximal element is an element of a POSET which is not less than any other element of the POSET. Or we can say that it is an element which is not related to any other element. Top elements of the Hasse Diagram.
  • Example- In the diagram above, we can say that 4,2,3,6,1 are related to 12 (ordered by division e.g. (4,/) ) but 12 is not related to any other. (As Hasse Diagram is upward directional).
  • Minimal element is an element of a POSET which is not greater than any other element of the POSET. Or we can say that no other element is related to this element. Bottom elements of the Hasse Diagram.
  • Example- In the diagram above, we can say that 1 is related to 2,3,4,6,12 (ordered by division e.g. (4,/) ) but no element is related to 1. (As Hasse Diagram is upward directional).
  • Greatest element (if it exists) is the element succeeding all other elements.
  • Least element is the element that precedes all other elements.

Note – Greatest and Least element in Hasse diagram are only one.

In Example-1,
Maximal elements are 48 and 72 since they are succeeding all the elements.
Minimal elements are 3 and 4 since they are preceding all the elements.
Greatest element does not exist since there is no any one element that succeeds all the elements.
Least element does not exist since there is no any one element that precedes all the elements.

In Example-2,
Maximal and Greatest element is 12 and Minimal and Least element is 1.

REMARQUE: An element can be both maximal and minimal

Here a,b,c are maximal as well as minimal.

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