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5.4 : Produits cartésiens - Mathématiques


APERÇU DE L'ACTIVITÉ (PageIndex{1}) : une équation à deux variables

Dans la section 2.3, nous avons introduit le concept de ensemble de vérité d'une phrase ouverte avec une variable. Cela a été défini comme étant l'ensemble de tous les éléments de l'ensemble universel qui peuvent être substitués à la variable pour faire de la phrase ouverte une déclaration vraie.

Dans les cours de mathématiques précédents, nous avons également eu de l'expérience avec des phrases ouvertes à deux variables. Par exemple, si nous supposons que x et y représentent des nombres réels, alors l'équation

(2x + 3y = 12)

est une phrase ouverte à deux variables. Un élément de l'ensemble de vérité de cette phrase ouverte (également appelée solution de l'équation) est une paire ordonnée ((a), (b)) de nombres réels de sorte que lorsque (a) est substitué à (x) et (b) est substitué à (y), la phrase ouverte devient un énoncé vrai (une équation vraie dans ce cas). Par exemple, nous voyons que la paire ordonnée (6, 0) est dans l'ensemble de vérité pour cette phrase ouverte puisque

(2 cdot 6 + 3 = 12)

est une affirmation vraie. D'autre part, la paire ordonnée (4, 1) n'est pas dans l'ensemble de vérité pour cette phrase ouverte puisque

(2 cdot 4 + 3 cdot 1 = 12)

est une fausse déclaration.

Note importante: L'ordre des deux nombres dans la paire ordonnée est très important. Nous utilisons la convention selon laquelle le premier nombre doit être remplacé par (x) et le deuxième nombre doit être remplacé par (y). Avec cette convention, (3, 2) est une solution de l'équation (2x + 3y = 12), mais (2, 3) n'est pas une solution de cette équation.

  1. Énumérez six éléments différents de l'ensemble de vérité (souvent appelé l'ensemble de solutions) de la phrase ouverte avec deux variables (2x + 3y = 12).
  2. D'après les cours de mathématiques précédents, nous savons que le graphique de l'équation (2x + 3y = 12) est une droite. Tracez le graphique de l'équation (2x + 3y = 12) dans le plan de coordonnées (xy). Que montre le graphique de l'équation (2x + 3y = 12) ?
  3. Écrivez une description de l'ensemble solution (S) de l'équation (2x + 3y = 12) en utilisant la notation du constructeur d'ensembles.

APERÇU DE L'ACTIVITÉ (PageIndex{1}) : le produit cartésien de deux ensembles

Dans l'activité d'aperçu (PageIndex{1}), nous avons travaillé avec des paires ordonnées sans fournir de définition formelle d'une paire ordonnée. Nous nous sommes plutôt appuyés sur vos travaux antérieurs avec des paires ordonnées, principalement à partir d'équations graphiques à deux variables. Voici une définition formelle d'une paire ordonnée.

Définition : paire ordonnée

Soient (A) et (B) des ensembles. Une paire ordonnée (avec le premier élément de (A) et le deuxième élément de (B)) est une seule paire d'objets, notée ((a), (b)), avec (a in A ) et (b in B) et un ordre implicite. Cela signifie que pour que deux paires ordonnées soient égales, elles doivent contenir exactement les mêmes objets dans le même ordre. Autrement dit, si (a, c in A) et (b, d in B), alors

((a), (b)) = ((c), (d)) si et seulement si (a = c) et (b = d).

Les objets de la paire ordonnée sont appelés les coordonnées de la paire commandée. Dans la paire ordonnée ((a), (b)), (a) est le première coordonnée et (b) est le deuxième coordonnée.

Nous allons maintenant introduire une nouvelle opération ensembliste qui permet de combiner des éléments de deux ensembles donnés pour former des paires ordonnées. L'idée de base est que nous allons créer un ensemble de paires ordonnées.

Définition : produit cartésien

Si (A) et (B) sont des ensembles, alors le produit cartésien, (A imes B), de (A) et (B) est l'ensemble de toutes les paires ordonnées ((x), (y)) où (x in A) et (y in B). Nous utilisons la notation (A imes B) pour le produit cartésien de (A) et (B), et en utilisant la notation set builder, nous pouvons écrire

(A imes B = {(x, y) | x in A ext{ et } y in B}).

Nous lisons fréquemment (A imes B) comme "(A) croix (B)." Dans le cas où les deux ensembles sont les mêmes, on écrira (A^2) pour (A imes A). C'est-à-dire,

(A^2 = A imes A = {(a, b) | a in A ext{ et } b in A}).

Soit (A = ) {1, 2, 3} et (B = ) {(a), (b)}.

  1. Le couple ordonné (3, (a)) est-il dans le produit cartésien (A imes B) ? Expliquer.
  2. Le couple ordonné (3, (a)) est-il dans le produit cartésien (A imes A) ? Expliquer.
  3. Le couple ordonné (3, 1) est-il dans le produit cartésien (A imes A) ? Expliquer.
  4. Utilisation de la méthode roster pour spécifier tous les éléments de (A imes B). (Rappelez-vous que les éléments de (A imes B) seront des paires ordonnées.
  5. Utilisez la méthode roster pour spécifier tous les éléments de l'ensemble (A imes A = A^2).
  6. Pour tout ensemble (C) et (D), expliquez soigneusement ce que signifie dire que la paire ordonnée ((x), (y)) n'est pas dans le produit cartésien (C imes RÉ).

Produits cartésiens

Lorsque vous travaillez avec des produits cartésiens, il est important de se rappeler que le produit cartésien de deux ensembles est lui-même un ensemble. Dans ce cas, les éléments d'un produit cartésien sont des paires ordonnées. Nous devrions considérer une paire ordonnée comme un seul objet composé de deux autres objets dans un ordre spécifié. Par exemple,

  • Si (a e 1), alors la paire ordonnée (1, (a)) n'est pas égale à la paire ordonnée ((a), 1). C'est-à-dire, (1, (a)) ( e) ((a), 1).
  • Si (A = ) {1, 2, 3} et (B =) {(a), (b)}, alors la paire ordonnée (3, (a)) est un élément de l'ensemble (A imes B). C'est-à-dire (3, (a)) (in A imes B).
  • Si (A = ) {1, 2, 3} et (B =) {(a), (b)}, alors la paire ordonnée (5, (a)) n'est pas un élément de l'ensemble (A imes B) puisque (5 otin A). C'est-à-dire ((5, a) otin A imes B).

Dans la section 5.3, nous avons étudié certaines propriétés de l'union d'ensembles, de l'intersection d'ensembles et des compléments d'ensembles, que nous avons appelées l'algèbre des ensembles. Nous allons maintenant commencer quelque chose de similaire pour les produits cartésiens. Nous commençons par examiner quelques exemples spécifiques dans Progress Check 5.23 et un peu plus tard dans Progress Check 5.24.

contrôle d'avancement 5.23 (relations entre produits cartésiens)

Soit (A =) {1, 2, 3}, (T =) {a, b}, et (C =) {a, c}. Nous pouvons alors former de nouveaux ensembles à partir de toutes les opérations d'ensemble que nous avons étudiées. Par exemple, (B cap C =) {(a)}, et ainsi

(A fois (B cap C) = {(1, a), (2, a), (3, a)}.)

  1. Utilisez la méthode roster pour répertorier tous les éléments (paires ordonnées) dans chacun des ensembles suivants :

    (a) (A fois B)
    (b) (T fois B)
    (c) (A fois C)
    (d) (A fois (B cap C))
    (e) ((A fois B) cap (A fois C))
    (f) (A fois (B coupe C))
    (g) ((A fois B) coupe (A fois C))
    (h) (A fois (B - C))
    (i) ((A fois B) - (A fois C))
    (j) (B fois A)

  2. Énumérez toutes les relations entre les ensembles de la partie (1) que vous observez.
Réponse

Ajoutez des textes ici. Ne supprimez pas ce texte en premier.

Le plan cartésien

Dans l'activité d'aperçu (PageIndex{1}), nous avons esquissé le graphique de l'équation (2x + 3y = 12) dans le plan (xy). Ce (xy)-plan, que vous connaissez bien, est une représentation de l'ensemble (mathbb{R} imes mathbb{R}) ou (mathbb{R} ^2). Cet avion s'appelle le plan cartesien.

L'idée de base est que chaque paire ordonnée de nombres réels correspond à un point du plan, et chaque point du plan correspond à une paire ordonnée de nombres réels. Cette représentation géométrique de (mathbb{R} ^2) est une extension de la représentation géométrique de (mathbb{R}) comme une droite dont les points correspondent à des nombres réels.

Puisque le produit cartésien (mathbb{R} ^2) correspond au plan cartésien, le produit cartésien de deux sous-ensembles de (mathbb{R}) correspond à un sous-ensemble du plan cartésien. Par exemple, si (A) est l'intervalle [1, 3] et (B) est l'intervalle [2, 5], alors

(A imes B = {(x, y) in mathbb{R} ^2 | 1 le x le 3 ext{ et } 2 le y le 5}.)

Un graphe de l'ensemble (A imes B) peut alors être tracé dans le plan cartésien comme le montre la figure 5.6.

Ceci illustre que le graphe d'un produit cartésien de deux intervalles de longueur finie dans (mathbb{R}) correspond à l'intérieur d'un rectangle et éventuellement à tout ou partie de sa frontière. La ligne continue pour la frontière dans la Figure 5.6 indique que la frontière est incluse. Dans ce cas, le produit cartésien contenait toute la frontière du rectangle. Lorsque le graphique ne contient pas une partie de la frontière, nous dessinons généralement cette partie de la frontière avec une ligne pointillée.

Remarque : Une mise en garde concernant la notation. La notation standard pour un intervalle ouvert dans (mathbb{R}) est la même que la notation pour une paire ordonnée, qui est un élément de (mathbb{R} imes mathbb{R}) . Nous devons utiliser le contexte dans lequel la notation est utilisée pour déterminer quelle interprétation est envisagée. Par exemple,

  • Si nous écrivons ((sqrt 2), 7) (in mathbb{R} imes mathbb{R}), alors nous utilisons ((sqrt 2), 7) pour représenter un ordre paire de nombres réels.
  • Si nous écrivons (1, 2) ( imes) {4}, alors nous interprétons (1, 2) comme un intervalle ouvert. On pourrait écrire

(1, 2) (fois) {4} = {((x), 4) | 1 < (x) < 2}.

Le contrôle de progression suivant explore certaines des mêmes idées explorées dans le contrôle de progression 5.23, sauf que des intervalles de nombres réels sont utilisés pour les ensembles.

Contrôle de progression 5.24 : Produits cartésiens d'intervalles

Nous utiliserons les intervalles suivants qui sont des sous-ensembles de (mathbb{R}).

(A =) [0, 2] (T =) (1, 2) (B =) [2, 4) (C =) (3, 5]

  1. Tracez un graphique de chacun des sous-ensembles suivants du plan cartésien et écrivez chaque sous-ensemble en utilisant la notation du constructeur d'ensembles.

    (a) (A fois B)
    (b) (T fois B)
    (c) (A fois C)
    (d) (A fois (B cap C))
    (e) ((A fois B) cap (A fois C))
    (f) (A fois (B coupe C))
    (g) ((A fois B) coupe (A fois C))
    (h) (A fois (B - C))
    (i) ((A fois B) - (A fois C))
    (j) (B fois A)

  2. Énumérez toutes les relations entre les ensembles de la partie (1) que vous observez.
Réponse

Ajoutez des textes ici. Ne supprimez pas ce texte en premier.

L'un des objectifs des travaux en cours de vérification 5.23 et 5.24 était d'indiquer la plausibilité de bon nombre des résultats contenus dans le théorème suivant.

Théorème 5.25

Soit (A), (B). et (C) être des ensembles. Puis

  1. (A fois (B cap C) = (A fois B) cap (A fois C))
  2. (A fois (B coupe C) = (A fois B) coupe (A fois C))
  3. ((A cap B) fois C = (A fois C) cap (B fois C))
  4. ((A coupe B) fois C = (A fois C) coupe (B fois C))
  5. (A fois (B - C) = (A fois B) - (A fois C))
  6. ((A - B) fois C = (A fois C) - (B fois C))
  7. Si (T subseteq A), alors (T imes B subseteq A imes B).
  8. Si (T subseteq B), alors (A imes Y subseteq A imes B).

Nous ne prouverons pas tous ces résultats ; nous allons plutôt prouver la partie (2) du théorème 5.25 et laisser une partie du reste aux exercices. En construisant ces preuves, nous devons garder à l'esprit que les produits cartésiens sont des ensembles, et donc nous suivons bon nombre des mêmes principes pour prouver les relations d'ensemble qui ont été introduites dans les sections 5.2 et 5.3.

L'autre chose à retenir est que les éléments d'un produit cartésien sont des paires ordonnées. Ainsi, lorsque nous commençons une preuve d'un résultat tel que la partie (2) du théorème 5.25, l'objectif principal est de prouver que les deux ensembles sont égaux. Nous allons le faire en prouvant que chacun est un sous-ensemble de l'autre. Donc, si nous voulons prouver que (A imes (B cup C) subseteq (A imes B) cup (A imes C)), nous pouvons commencer par choisir un élément arbitraire de (A fois (B cup C)). Le but est alors de montrer que cet élément doit être dans ((A imes B) cup (A imes C)). Lorsque nous commençons par choisir un élément arbitraire de (A imes (B cup C)), nous pourrions donner un nom à cet élément. Par exemple, nous pourrions commencer par laisser

[u ext{ être un élément de } A imes (B cup C).]

Nous pouvons alors utiliser la définition de "paire ordonnée" pour conclure que

[ ext{il existe } x in A ext{ et il existe } y in B cup C ext{ tel que } u = (x, y).]

Afin de prouver que (A imes (B cup C) subseteq (A imes B) cup (A imes C)), nous devons maintenant montrer que la paire ordonnée (u) de ( 5.4.1) est dans (A imes (B cup C) subseteq (A imes B) cup (A imes C)). Pour ce faire, nous pouvons utiliser la définition de l'union d'ensembles et prouver que

[u in (A imes B) ext{ ou } u in (A imes C).]

Puisque (u = (x, y)), on peut prouver (5.4.3) en prouvant que

[(x in A ext{ et } y in B) ext{ ou } (x in A ext{ et } y in C).]

Si nous regardons les phrases de (5.4.2) et (5.4.4), il semblerait que nous soyons très proches de prouver que (A imes (B cup C) subseteq (A imes B) tasse (A fois C)). Voici une preuve de la partie (2) du théorème 5.25.

Théorème 5.25 (Partie (2)).

Soit (A), (B). Puis

(A fois (B coupe C) = (A fois B) coupe (A fois C))

Preuve

Soit (A), (B). Nous allons prouver que (A imes (B cup C)) est égal à ((A imes B) cup (A imes C)) en prouvant que chaque ensemble est un sous-ensemble de l'autre ensemble .

Pour prouver que (A imes (B cup C) subseteq (A imes B) cup (A imes C)), on laisse (u in A imes (B cup C) ). Alors il existe (x in A) et il existe (y in B cup C) tel que (u = (x, y)). Puisque (y in B cup C), on sait que (y in B) ou (y in C).

Dans le cas où (y in B), on a (u = (x, y)), où (x in A) et (y in B). Donc dans ce cas, (u in A imes B), et donc (u in (A imes B) cup (A imes C)). De même, dans le cas où (y in C), on a (u = (x, y)), où (x in A) et (y in C). Donc dans ce cas, (u in A imes C) et, par conséquent, (u in (A imes B) cup (A imes C)).

Dans les deux cas, (u in (A imes B) cup (A imes C)). Par conséquent, nous pouvons conclure que si (u) est un élément de (A imes (B cup C)), alors (u in (A imes B) cup (A imes C) ), et cela prouve que

[A imes (B cup C) subseteq (A imes B) cup (A imes C).]

Nous devons maintenant prouver que ((A imes B) cup (A imes C) subseteq A imes (B cup C)). On laisse donc (v in (A imes B) cup (A imes C)). Puis (v in (A imes B)) ou (v in (A imes C)).

Dans le cas où (v in (A imes B)), on sait qu'il existe (s in A) et qu'il existe (t in B) tel que (v = (s , t)). Mais parce que (t in C), nous pouvons conclure que (t in B cup C) et, par conséquent, (v in A imes (B cup C)).

Dans les deux cas, (v in A imes (B cup C)). Par conséquent, nous pouvons conclure que si (v in (A imes B) cup (A imes C)), alors (v in A imes (B cup C)), et cela prouve ce

[(A imes B) cup (A imes C) subseteq A imes (B cup C).]

Les relations de (5.4.5) et (5.4.6) prouvent que (A imes (B cup C) = (A imes B) cup (A imes C)).

Remarque finale.

La définition d'une paire ordonnée dans l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}) peut sembler une longue définition, mais dans certains domaines des mathématiques, une définition encore plus formelle et précise de « paire ordonnée » est nécessaire. Cette définition est explorée dans l'exercice (10).

Exercices pour la section 5.4

  1. Soit (A =) {1, 2}, (B =) {(a), (b), (c), (d)}, et (C = ) {1, (a), (b)}. Utilisez la méthode roster pour répertorier tous les éléments de chacun des ensembles suivants :

    (a) (A fois B)
    (b) (B fois A)
    (c) (A fois C)
    (d) (A^2)
    (e) (A fois (B cap C))
    (f) ((A fois B) cap (A fois C))
    (g) (A imes emptyset)
    (h) (B fois {2})

  2. Tracez un graphique de chacun des produits cartésiens suivants dans le plan cartésien.

    (a) [0, 2] (fois) [1, 3]
    (b) (0, 2) (fois) (1, 3]
    (c) [2, 3] (fois) {1}
    (d) {1} (fois) [2, 3]
    (e) (mathbb{R}) (fois) (2, 4)
    (f) (2, 4) (fois) (mathbb{R})
    (g) (mathbb{R}) (fois) {-1}
    (h) {-1} (fois) [1, +(infty))

  3. Démontrer le théorème 5.25, partie (1) : (A imes (B cap C) = (A imes B) cap (A imes C)).
  4. Démontrer le théorème 5.25, partie (4) : ((A cup B) imes C = (A imes C) cup (B imes C)).
  5. Démontrer le théorème 5.25, partie (5) : (A imes (B - C) = (A imes B) - (A imes C)).
  6. Démontrer le théorème 5.25, partie (7) : Si (T subseteq A), alors (T imes B subseteq A imes B).
  7. Soit (A =) {1}, (B =) {2} et (C =) {3}.

    (a) Expliquez pourquoi (A imes B e B imes A).
    (b) Expliquez pourquoi (A imes B) imes C e A imes (B imes C)).

  8. Soient (A) et (B) des ensembles non vides. Montrer que (A imes B = B imes A) si et seulement si (A = B).
  9. La proposition suivante est-elle vraie ou fausse ? Justifiez votre conclusion.

    Soient (A), (B) et (C) avec (A e emptyset). Si (A fois B = A fois C), alors (B = C). Expliquez où l'hypothèse que (A e emptyset) est nécessaire.

    Explorations et activités

  10. (Une définition théorique d'ensemble d'une paire ordonnée) En mathématiques élémentaires, la notion de paire ordonnée introduite au début de cette section suffira. Cependant, si nous nous intéressons à un développement formel du produit cartésien de deux ensembles, nous avons besoin d'une définition plus précise du couple ordonné. Voici une façon de procéder en termes d'ensembles. Cette définition est attribuée à Kazimierz Kuratowski (1896 – 1980). Kuratowski était un célèbre mathématicien polonais dont les travaux principaux étaient dans les domaines de la topologie et de la théorie des ensembles. Il a été nommé directeur de l'Académie polonaise des sciences et a occupé ce poste pendant 19 ans.

    Soit (x) un élément de l'ensemble (A), et soit (y) un élément de l'ensemble (B). Le paire ordonnée ((x), (y)) est défini comme étant l'ensemble ({{x}, {x, y}}). C'est-à-dire,
    [(x, y) = {{x}, {x, y}}.]
    (a) Expliquez comment cette définition nous permet de distinguer les paires ordonnées (3, 5) et (5, 3).

    (b) Soient (A) et (B) des ensembles et soit (a, c in A) et (b, d in B). Utilisez cette définition d'une paire ordonnée et le concept d'égalité des ensembles pour prouver que ((a, b) = (c, d)) si et seulement si (a = c) et (b = d) .

    Un triplet ordonné peut être considéré comme un triplet unique d'objets, noté ((a), (b), (c)), avec un ordre implicite. Cela signifie que pour que deux triplets ordonnés soient égaux, ils doivent contenir exactement les mêmes objets dans le même ordre. Soit ((a, b, c) = (p, q, r)) si et seulement si (a = p), (b = q) et (c = r).

    (c) Soient (A), (B) et (C) des ensembles, et soit (x in A), (y in B), et (z in C). Écrivez une définition théorique des ensembles du triplet ordonné ((x, y, z)) similaire à la définition théorique des ensembles de « paire ordonnée ».

Réponse

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Le gauche droite (horizontal) la direction est communément appelée X.
Le de haut en bas (verticale) la direction est communément appelée Oui.
Mettez-les ensemble sur un graphique.

L'endroit où ils se croisent est le point "0",
on mesure tout à partir de là
.

  • Le Axe X passe horizontalement par zéro
  • Le Axe Y passe verticalement par zéro

Axe: La ligne de référence à partir de laquelle les distances sont mesurées.

Le pluriel de Axis est Haches, et se prononce hache-eez

Exemple:

6 unités à travers (dans le X sens), et

4 unités plus (dans le oui direction)

Longez 6 puis remontez 4 puis "tracez le point".

Et vous pouvez vous rappeler quel axe est lequel en :

x est UNE CROIX, donc x est à TRAVERS la page.


N tuples commandés

Définition: Soit $A_<1>, A_<2>$ et $A_<3>$ des ensembles non – vides et $a_ <1>in A_<1>, a_ <2>in A_<2>$ et $a_ <3>in A_<3>$.

Commandé triple des éléments $a_<1>,a_<2>$ et $a_<3>$, notés $(a_<1>,a_<2>,a_<3>)$ , est un ensemble

Définition: Soit $A_<1>, ldots, A_$ être des ensembles non – vides et $a_ <1>in A_<1>,ldots, a_ dans un_$.

Commandé n – tuple des éléments $a_<1>, ldots, a_$, noté $(a_<1>, ldots ,a_)$ , est un ensemble


Structures discrètes appliquées

Soient (A) et (B) des ensembles. Le produit cartésien de (A) et (B ext<,>) noté (A imes B ext<,>) est défini comme suit : (A imes B = <( a, b) mid a in A quad extrmquad b in B> ext<,>) c'est-à-dire (A imes B) est l'ensemble de toutes les paires ordonnées possibles dont la première composante vient de (A) et dont la deuxième composante vient de (B exte<.>)

Exemple 1.3.2 . Quelques produits cartésiens.

La notation en mathématiques est souvent développée pour une bonne raison. Dans ce cas, quelques exemples montreront pourquoi le symbole ( imes) est utilisé pour les produits cartésiens.

Soit (A = <1, 2, 3>) et (B = <4, 5> ext<.>) Alors (A imes B = <(1, 4) , (1, 5), (2, 4), (2, 5), (3, 4), (3, 5)> ext<.>) Notez que (|A imes B| = 6 = lvert A vert imes lvert B vert ext<.>)

Ces deux exemples illustrent la règle générale selon laquelle si (A) et (B) sont des ensembles finis, alors (lvert A imes B vert = lvert A vert imes lvert B vert ext <.>)

Nous pouvons définir le produit cartésien de trois (ou plus) ensembles de la même manière. Par exemple, (A imes B imes C = <(a, b, c):a in A, b in B, c in C> ext<.>)

Il est courant d'utiliser des exposants si les ensembles dans un produit cartésien sont les mêmes :

Sous-section 1.3.2 Ensembles de puissance

Définition 1.3.3. Ensemble de puissance.

Si (A) est un ensemble quelconque, l'ensemble de puissance de (A) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de (A ext<,>) noté (mathcal

(A) exte<.>)

Les deux cas extrêmes, l'ensemble vide et tout (A ext<,>) sont tous deux inclus dans (mathcal

(A) exte<.>)

Exemple 1.3.4 . Quelques ensembles de puissance.

Nous vous laisserons deviner une formule générale pour le nombre d'éléments dans l'ensemble de puissance d'un ensemble fini. Dans le chapitre 2, nous discuterons des règles de comptage qui nous aideront à dériver cette formule.

Sous-section 1.3.3 Remarque SageMath : Produits cartésiens et ensembles de puissance

Voici un exemple simple de produit cartésien de deux ensembles :

Voici la cardinalité du produit cartésien.

L'ensemble de puissance d'un ensemble est un itérable, comme vous pouvez le voir à partir de la sortie de cette cellule suivante

Vous pouvez itérer sur un ensemble de puissance. Voici un exemple trivial.

Exercices 1.3.4 Exercices

Soit (A = <0, 2, 3> ext<,>) (B = <2, 3> ext<,>) (C = <1, 4> ext<,>) et soit l'ensemble universel (U = <0, 1, 2, 3, 4> ext<.>) Lister les éléments de

(displaystyle A fois Bfois C)

(displaystyle U imes emptyset)

(displaystyle B imes mathcal

(B))

  1. (displaystyle <(0, 2), (0, 3), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)>)
  2. (style d'affichage <(2, 0), (2, 2), (2, 3), (3, 0), (3, 2), (3, 3)>)
  3. (displaystyle <(0, 2, 1), (0, 2, 4), (0, 3, 1), (0, 3, 4), (2, 2, 1), (2, 2 , 4), (2, 3, 1), (2, 3, 4), (3, 2, 1), (3, 2, 4), (3, 3, 1), (3, 3 , 4)>)
  4. (displaystyle emptyset)
  5. (displaystyle <(0, 1), (0, 4), (2, 1), (2, 4), (3, 1), (3, 4)>)
  6. (style d'affichage <(2, 2), (2, 3), (3, 2), (3, 3)>)
  7. (displaystyle <(2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 3, 2), (2, 3, 3), (3, 2, 2), (3, 2 , 3), (3, 3, 2), (3, 3, 3)>)
  8. (displaystyle <(2, emptyset ), (2, <2>), (2, <3>), (2, <2, 3>), (3, emptyset ), (3, <2>), (3, <3>), (3, <2, 3>)>)

Supposons que vous soyez sur le point de lancer une pièce puis de lancer un dé. Soit (A = ) et (B = <1, 2, 3, 4, 5, 6> exte<.>)

Comment interpréter l'ensemble (A imes B) ?

Lister tous les ensembles à deux éléments dans (mathcal

())

Lister tous les ensembles à trois éléments dans (mathcal

() exte<.>)

Combien y a-t-il d'ensembles singleton (à un élément) dans (mathcal

(A)) si (lvert A vert =n) ?

Il existe (n) sous-ensembles singletons, un pour chaque élément.

Une personne a quatre pièces dans sa poche : un centime, un centime, un centime et un quart. Combien de sommes d'argent différentes peut-il retirer s'il retire 3 pièces à la fois ?

Lister les éléments de (A imes B)

Combien d'éléments (A ^4) et ((A imes B)^3) ont-ils ?

(displaystyle 16 extrm < et >512)

Lister les éléments de (A imes B) et (B imes A ext<.>) Les parenthèses et les virgules dans une paire ordonnée ne sont pas nécessaires dans des cas comme celui-ci où les éléments de chaque ensemble sont individuels symboles.

Identifiez l'intersection de (A imes B) et (B imes A) pour le cas ci-dessus, puis devinez une règle générale pour l'intersection de (A imes B) et (B fois A exte<,>) où (A) et (B) sont deux ensembles quelconques.

Soient (A) et (B) des ensembles non vides. Quand (A imes B) et (B imes A) sont-ils égaux ?


Théorie

2.2 SCHÉMAS D'ARGAND

La représentation des nombres complexes sur des coordonnées cartésiennes est souvent évoquée au chapitre 4 . Ce processus consiste simplement à tracer la coordonnée imaginaire du nombre complexe sur l'axe des y et la composante réelle sur l'axe des x. La figure résultante est connue sous le nom de diagramme d'Argand et un exemple de l'un d'entre eux est présenté à la figure 2.2.1.

Figure 2.2.1. Un exemple de diagramme d'Argand.

Dans cette figure, le nombre complexe 2 + 3i peut également être exprimé sous la forme r(cosθ + isinθ) où r est le module. Ceci est souvent appelé forme polaire ou forme module-argument. Le module est la longueur de l'hypoténuse et est souvent exprimé sous la forme d'un nombre entre parenthèses tel que |4| ou |25| par exemple. est l'angle que fait l'hypoténuse avec l'axe réel.


Description du livre

La définition et la résolution des problèmes d'ingénierie reposent sur la capacité de représenter les systèmes et leur comportement en termes mathématiques.

Mathematics for Electrical Technicians 4/5 fournit un guide simple et pratique des compétences mathématiques fondamentales indispensables aux techniciens et ingénieurs. Cette deuxième édition a été révisée et élargie pour couvrir le module BTEC Higher - « Mathématiques pour les ingénieurs » pour les certificats et diplômes nationaux supérieurs en génie électrique et électronique. Il répondra également aux besoins des étudiants de première et deuxième année en génie électrique.


Produits tensoriels des modules et groupes abéliens libres basés sur le produit cartésien

Je lis le livre de Donald S. Passmore "A Course in Ring Theory" .

Je me concentre actuellement sur le chapitre 9 des produits tenseurs. .

J'ai besoin d'aide pour bien comprendre le groupe abélien libre impliqué dans la construction du produit tensoriel. .

Le texte de Passmore concernant le groupe abélien libre impliqué dans la construction du produit tensoriel est le suivant :


Ma question porte sur la nature du groupe abélien libre S dont les éléments sont des sommes finies de la forme .

Donc (displaystyle 3(a_3, b_5) + 4(a_7, b_5)) et (displaystyle 1(a_1, b_1)) sont membres de (displaystyle S) .


Mais comment fonctionne ce groupe'. et comment fait-on de l'arithmétique (si on peut ?) avec les éléments . et comment nous retrouvons-nous avec des éléments comme (displaystyle (a_1 + a_2, b)) qui jouent un rôle dans la formation du quotient du produit tensoriel . .

(Je m'excuse si j'ai déjà posé une question similaire. Je pense que la réponse est peut-être que nous ne pouvons former que des sommes formelles et ne pouvons pas faire d'arithmétique avec les éléments. .)

Pour permettre aux membres du MHB d'être conscients du contexte de ma question, je fournis l'introduction de Passmore à son chapitre sur les produits tensoriels qui comprend le texte donné ci-dessus. . comme suit:


Sous-section 1.3.1 Produits cartésiens

Définition 1.3.1. Produit cartésien.

Soient (A) et (B) des ensembles. Le produit cartésien de (A) et (B ext<,>) noté (A imes B ext<,>) est défini comme suit :

c'est-à-dire que (A imes B) est l'ensemble de toutes les paires ordonnées possibles dont le premier composant vient de (A) et dont le deuxième composant vient de (B ext<.>)

Exemple 1.3.2 . Quelques produits cartésiens.

La notation en mathématiques est souvent développée pour une bonne raison. Dans ce cas, quelques exemples montreront pourquoi le symbole ( imes ) est utilisé pour les produits cartésiens.

Notez que (|A imes B| = 6 = lvert A vert imes lvert B vert ext<.>)

Notez que (|A imes A| = 9 = ^2 ext<.>)

Ces deux exemples illustrent la règle générale selon laquelle si (A) et (B) sont des ensembles finis, alors (lvert A imes B vert = lvert A vert imes lvert B vert ext <.>)

Nous pouvons définir le produit cartésien de trois (ou plus) ensembles de la même manière. Ce sera l'ensemble de tous les (n)-uplets ordonnés où le premier composant vient du premier ensemble, le deuxième composant vient du deuxième ensemble, . et le (n^

) le composant vient du (n^) ensemble. Par exemple,

Il est courant d'utiliser des exposants si les ensembles dans un produit cartésien sont les mêmes :

Sous-section 1.3.2 Ensembles de puissance

Définition 1.3.3. Ensemble de puissance.

Si (A) est un ensemble quelconque, l'ensemble de puissance de (A) est l'ensemble de tous les sous-ensembles de (A ext<,>) noté (mathcal

(A) exte<.>)

Les deux cas extrêmes, l'ensemble vide et tout (A ext<,>) sont tous deux inclus dans (mathcal

(A) exte<.>)

Exemple 1.3.4 . Quelques ensembles de puissance.

Nous vous laisserons deviner une formule générale pour le nombre d'éléments dans l'ensemble de puissance d'un ensemble fini. Dans le chapitre 2, nous discuterons des règles de comptage qui nous aideront à dériver cette formule.

Sous-section 1.3.3 Remarque SageMath : Produits cartésiens et ensembles de puissance

Les deuxième et quatrième cellules dépendent des cellules qui les précèdent, veuillez évaluer de haut en bas.

Voici un exemple simple de produit cartésien de deux ensembles :

Voici la cardinalité du produit cartésien.

L'ensemble de puissance d'un ensemble est un itérable, comme vous pouvez le voir à partir de la sortie de cette cellule suivante

Vous pouvez itérer sur un ensemble de puissance. Voici un exemple trivial.

Exercices 1.3.4 EXERCICES POUR LA SECTION 1.3

Soit (A = <0, 2, 3> ext<,>) (B = <2, 3> ext<,>) (C = <1, 4> ext<,>) et soit l'ensemble universel (U = <0, 1, 2, 3, 4> ext<.>) Lister les éléments de


5.4 : Produits cartésiens - Mathématiques

Le produit cartésien d'une paire d'ensembles et , noté est l'ensemble de toutes les paires ordonnées , avec et .

Ici, l'ensemble est considéré comme se trouvant le long de l'axe « horizontal » ou - et l'ensemble le long de l'axe « vertical » ou -.

Si nous avons trois ensembles , et , nous pensons aux produits et comme étant essentiellement les mêmes, alors nous écrivons juste et nous pensons à cela comme l'ensemble de tous les triplets ordonnés , avec , et .

Cependant, n'est pas considéré comme identique à et n'est pas non plus identique à .

Plus généralement, pour tout , le produit cartésien d'une liste ordonnée d'ensembles , est l'ensemble de tous les -uplets ordonnés, , avec , pour chaque .

Si tous les ensembles d'un produit sont les mêmes, nous écrivons pour le produit cartésien -fold de avec lui-même (si , nous mettons ).

Par exemple est l'ensemble de tous les triplets ordonnés avec , et dans .

Il est également possible de définir le produit cartésien d'un nombre infini d'ensembles, mais ici il faut être prudent : il n'est pas évident que de tels produits soient non vides, même si chaque élément du produit est non vide : en effet, cela nécessite un axiome mathématique, appelé l'axiome du choix, qui peut ou non être acceptable.
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