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5.4 : Théorie des systèmes d'équations différentielles - Mathématiques


Il s'avère que la théorie des systèmes d'équations différentielles linéaires ressemble à la théorie des équations différentielles d'ordre supérieur. Cette discussion adoptera la notation suivante. Considérons le système d'équations différentielles

[egin{align*} & x_1'= p_{11}(t)x_1+dots+ p_{1n}(t)+ g_1(t) & vdots qquad vdots qquad qquad qquad ;;; vdots qquad quad ;; vdots & x_n'= p_{n1}(t)x_1+dots+ p_{nn}(t)+ g_n(t). end{align*}]

Nous écrivons ce système comme

[ extbf{x}' = extbf{P}(t) extbf{x} + extbf{g}(t).]

Un vecteur ( extbf{x} = extbf{f}(t)) est une solution du système d'équation différentielle si

[ extbf(f)'= extbf{P}(t) extbf{f}+ extbf{g}(t).]

Si ( extbf{g}(t) = 0) le système d'équations différentielles est appelé homogène. Sinon, il s'appelle non homogène.

Théorème : L'espace des solutions est un espace vectoriel

Supposons que ( extbf{x}^{(1)}), ( extbf{x}^{(2)}), ... , ( extbf{x}^{(k) }) sont des solutions du système homogène d'équations différentielles

[ extbf{x}' = extbf{P}(t) extbf{x}]

ensuite

[ c_1 extbf{x}^{(1)} + c_2 extbf{x}^{(2)} + , ..., + c_k extbf{x}^{(k)} ]

est aussi une solution pour toutes les constantes (c_1), (c_2), ... , (c_k).

Tout comme nous avions le Wronskian pour les équations différentielles linéaires d'ordre supérieur, nous pouvons définir une bête similaire pour les systèmes d'équations différentielles linéaires.

Si

[ extbf{x}^{(1)}, extbf{x}^{(2)},dots, extbf{x}^{(n)}]

sont (n) solutions d'un système (n imes n), alors les Wronskian de cet ensemble est le déterminant de la matrice dont la colonne (i^{th}) est ( extbf{x}^{(i)}).

Exemple (PageIndex{1})

Laisser

[ extbf{x}^{(1)}=egin{pmatrix} e^t e^{-t} end{pmatrix}, ;;; x^{(2)}=egin{pmatrix} 2e^{(t)} 3e^{(-t)} end{pmatrix}. pas de numéro]

Puis

[W(t)=egin{vmatrix} e^t &2e^t e^{-t} &3e^{-t} end{vmatrix} = 3-2 =1 . pas de numéro]

C'est une conséquence directe de l'algèbre linéaire que les solutions sont linéairement indépendantes si et seulement si le Wronskian est non nul. En fait, plus est vrai. Il existe une généralisation du théorème d'Abel pour les systèmes d'équations différentielles linéaires.

[ dfrac{W}{dt} = (p_{11} + p_{22} + ... p_{nn})W]

Le théorème principal sur l'unicité et l'existence de solutions de systèmes d'équations différentielles est également vrai. Nous l'indiquons ci-dessous.

Théorème : Existence et unicité des systèmes

Laisser

[ extbf{x}' = extbf{P}(t) extbf{x} ]

une équation différentielle avec (p_{ij}) continue pour tout (i) et (j) sur l'intervalle (a < t < b). Alors il existe (n) solutions uniques linéairement indépendantes. Si la valeur initiale

[ extbf{x}(0) = extbf{x}_0]

est donnée, alors il existe une unique solution dans l'intervalle ((a,b)).

En particulier, si

[ extbf{x}^{(1)}, extbf{x}^{(2)},dots, extbf{x}^{(n)}]

sont des solutions du système homogène, et si le Wronskien est non nul, alors

[ extbf{y}=c_1 extbf{x}^{(1)} + c_2 extbf{x}^{(2)}+dots+c_k extbf{x}^{(k)} ]

est la solution générale du système. On appelle ( extbf{x}^{(1)}, extbf{x}^{(2)},dots, extbf{x}^{(n)}) un ensemble fondamental de solutions du système d'équations différentielles.

En particulier, si la matrice wronskienne en (t_0) est la matrice identité ((W(t_0) = I)) alors son déterminant est un, donc non nul. Cela nous donne le théorème suivant.

Théorème

Laisser

[e^{(1)}=egin{pmatrix} 1 vdots 0 end{pmatrix}, e^{(2)}=egin{pmatrix} 0 1 vdots 0 end{pmatrix}, dots, e^{(n)}=egin{pmatrix} 0 vdots 1 end {pmatrice}. ]

Si ( extbf{x}^{(1)}, extbf{x}^{(2)},dots, extbf{x}^{(n)} ) sont des solutions du système homogène de équations différentielles satisfaisant les conditions

[ extbf{x}^{(1)}(t_0)=e^{(1)}, extbf{x}^{(2)}(t_0)=e^{(2)},dots , extbf{x}^{(n)}(t_0)=e^(n) ]

elles forment alors un ensemble fondamental de solutions.


5.4 : Théorie des systèmes d'équations différentielles - Mathématiques

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Éditeur d'expressions mathématiques

Nous montrons comment les systèmes linéaires peuvent être écrits sous forme matricielle, et nous faisons de nombreuses comparaisons avec des sujets que nous avons étudiés précédemment.

Systèmes linéaires d'équations différentielles

Un système d'équations différentielles du premier ordre qui s'écrit sous la forme

s'appelle un système linéaire.

Le système linéaire (éq:10.2.1) peut être écrit sous forme matricielle comme

où nous appelons le matrice de coefficients de (éq:10.2.2) et le fonction forçage. Nous dirons cela et sommes continu si leurs entrées sont continues. Si , alors (éq:10.2.2) est homogène sinon, (éq:10.2.2) est non homogène.

Un problème de valeur initiale pour (eq:10.2.2) consiste à trouver une solution de (eq:10.2.2) qui est égale à un vecteur constant donné en un point initial . Nous écrivons ce problème de valeur initiale sous la forme

Le théorème suivant donne des conditions suffisantes pour l'existence de solutions de problèmes de valeurs initiales pour (éq:10.2.2). Nous omettons la preuve.

item:10.2.1c Nous devons choisir et dans (eq:10.2.4) pour que ce qui est équivalent à Résoudre ce système donne , , de même que la solution de (eq:10.2.5).

Source du texte

Trench, William F., "Équations différentielles élémentaires" (2013). Livres et CD rédigés et édités par la faculté. 8. (CC-BY-NC-SA)


5.4 : Théorie des systèmes d'équations différentielles - Mathématiques

оличество зарегистрированных ащихся: 43 тыс.

Ce cours porte sur les équations différentielles et couvre le matériel que tous les ingénieurs devraient connaître. La théorie de base et les applications sont enseignées. Au cours des cinq premières semaines, nous apprendrons les équations différentielles ordinaires et la dernière semaine, les équations aux dérivées partielles. Le cours est composé de 56 courtes vidéos de cours magistrales, avec quelques problèmes simples à résoudre après chaque cours magistral. Et après chaque sujet important, il y a un petit quiz pratique. Des solutions aux problèmes et des quiz de pratique peuvent être trouvées dans les notes de cours fournies par l'instructeur. Il y a un total de six semaines dans le cours, et à la fin de chaque semaine, il y a un quiz évalué. Téléchargez les notes de cours : http://www.math.ust.hk/

machas/differential-equations-for-engineers.pdf Regardez la vidéo promotionnelle : https://youtu.be/eSty7oo09ZI

Олучаемые навыки

Équation différentielle ordinaire, Équation aux dérivées partielles (EDP), Mathématiques de l'ingénieur

Ецензии

Meilleur cours. ont expliqué les aspects théoriques et pratiques des équations différentielles et en même temps couvert une partie substantielle du sujet d'une manière très facile et didactique.

Je pense que ce cours est très approprié pour tout esprit curieux. Vous pouvez apprendre des concepts très importants et nécessaires avec ce cours. Les cours enseignés par le professeur Dr. Chasnov sont excellents.

Systèmes d'équations différentielles

Nous apprenons à résoudre un système couplé d'équations différentielles homogènes du premier ordre à coefficients constants. Ce système d'odes peut être écrit sous forme matricielle, et nous apprenons à convertir ces équations en un problème de valeurs propres d'algèbre matricielle standard. Les solutions bidimensionnelles sont visualisées à l'aide de portraits de phase. Nous apprenons ensuite l'application importante des oscillateurs harmoniques couplés et le calcul des modes normaux. Les modes normaux sont les mouvements pour lesquels les masses individuelles qui composent le système oscillent avec la même fréquence.

Реподаватели

Jeffrey R. Chasnov

Екст идео

Dans cette vidéo, je veux parler de ce que je pense être un problème très intéressant. C'est le cas lorsque vous avez deux masses reliées par un ressort puis reliées par deux autres ressorts à un mur. Nous voulons comprendre si vous déplacez ces masses et les laissez osciller, comment comprenons-nous l'oscillation de ces masses ? La solution de ce problème fera appel à notre système d'équations que nous venons d'étudier et aux valeurs propres et vecteurs propres. Alors, commençons par regarder une simulation de ce problème que j'ai faite sur MathLab. D'accord, nous regardons l'oscillation de deux masses avec des conditions initiales aléatoires. Vous voyez que les masses vont et viennent. Le mouvement semble aléatoire mais en fait ce mouvement n'est pas aléatoire. Ce mouvement est en fait très simple, mais vous ne pourrez pas le voir à moins de résoudre les mathématiques. C'est ce que je veux faire. Bon, alors, nous avons notre situation ici. Les x un et x deux sont mesurés à partir des positions d'équilibre de ces masses. Nous avons trois ressorts. Les deux à l'extrémité ont une constante de ressort de petit k. Celui du milieu a une constante de ressort de grand K. Les deux masses sont les mêmes. J'ai construit cette situation pour que nous ayons une très belle symétrie ici. Que vous regardiez cette situation du haut ou du bas, elle se ressemble exactement. Cela signifie que la solution aura une belle symétrie. Nous supposons également qu'il n'y a pas de friction ici. Disons donc que c'est une vue de dessus et que les masses glissent sur la glace, de sorte qu'il y a très peu de friction. Il y a deux lois physiques dont nous avons besoin pour écrire l'équation gouvernante. La première est la loi de Newton que tout le monde connaît, qui est juste la force est égale à la masse multipliée par l'accélération. L'accélération est bien entendu la dérivée seconde de la position par rapport au temps. La deuxième loi est appelée loi de Hooke, qui est une loi utilisée pour comprendre le mouvement sous les forces du ressort. Ceci est écrit comme F est égal à moins kx, où x est le déplacement de la masse à partir de sa position d'équilibre et k est ce qu'on appelle la constante de ressort. Donc ici, nous avons noté quelles devraient être les constantes de ressort. D'accord. Alors, comment écrivons-nous les équations gouvernantes? Nous devons considérer les forces sur chaque masse séparément. Donc, ne considérons pas d'abord la force sur la première masse. Donc, nous avons la masse multipliée par l'accélération. Donc, ce sera la masse multipliée par l'accélération de la première masse qui est la dérivée seconde de la position x un, d au carré x un d t au carré ou x un double point. C'est censé être égal aux forces qui s'exercent dessus. Les forces sur la première masse sont uniquement dues aux ressorts. Ainsi, la force due au premier ressort est juste la loi de Hooke moins kx un. La force due au deuxième ressort est également la loi de Hooke moins Kx un majuscule, sauf que la complication est que ce ressort est également connecté à la deuxième masse. Donc, si x un et x deux étaient égaux, donc ces deux masses se déplacent de la même quantité vers la droite, le ressort du milieu ne changera pas sa longueur. La force nette due à l'extension ou à la compression du ressort sur cette masse serait toujours nulle. Cela signifie donc que nous devons prendre en compte moins x deux ici. Bon, alors, la force due au ressort du milieu est ce moins K x un moins x deux, en tenant compte du fait que le ressort du milieu est connecté à la fois à la première masse et à la deuxième masse. Encore une fois, nous faisons la même équation pour la deuxième masse m x deux doubles points. Nous avons le ressort tout à droite, c'est juste la loi de Hooke moins k x deux. Le ressort de gauche serait moins K majuscule x deux. Mais nous devons tenir compte du fait que ce ressort intermédiaire est également connecté à la première masse. Donc, moins x un. D'accord, c'est notre système d'équations différentielles. Ils sont du second ordre au lieu d'un premier ordre mais ils sont aussi linéaires et homogènes, comme la situation que nous avons résolue précédemment. On peut mettre cette équation sous forme matricielle. A quoi cela ressemblerait-il ? Nous aurions la masse multipliée par la dérivée seconde par rapport au temps du vecteur de position x un, x deux équivaut à une matrice. Donc, à partir de la première équation est l'équation pour x un double point, donc, nous avons besoin des termes proportionnels à x un. Ce serait moins le petit k moins le grand K. Donc, nous avons un moins le petit k plus le grand K dans le premier élément. Alors le terme proportionnel à x deux, serait plus grand K x deux. Donc, nous avons un plus gros K ici. Dans la deuxième équation, tout ça va être multiplié par x un, x deux. Donc, c'est la première équation. Ainsi, la deuxième équation a un plus grand K x un. Il a un moins petit k x deux moins grand K x deux. Donc, il a un moins petit k plus un grand K. D'accord, vous voyez à quel point cette matrice est belle. Il a le même élément sur les diagonales et c'est une matrice symétrique. Bon, on peut simplifier la notation. Nous pouvons écrire cela simplement comme, permettez-moi de le mettre ici, comme m et ensuite, si nous définissons x comme étant ce vecteur colonne, alors ce serait mx double point et c'est égal à cette matrice deux par deux a fois x. Ce sera l'équation que nous aurons besoin de résoudre où la matrice a est donnée par cette matrice deux par deux. Je le ferai dans la prochaine vidéo. Alors maintenant, permettez-moi de résumer ce que nous faisons. Nous considérons un exemple de modèle qui montrera la puissance d'analyser un système d'équations en utilisant des valeurs propres et des vecteurs propres. C'est ce qu'on appelle un problème de mode normal. Ici, par exemple, je fais un cas très symétrique, où nous avons trois ressorts et le ressort du milieu est différent des deux sur les côtés et deux masses égales. Nous pouvons utiliser des lois physiques pour écrire l'équation qui régit, c'est-à-dire la loi de Newton et la loi phénoménologique, sur le comportement du ressort, appelée loi de Hooke. Ensuite, si vous considérez attentivement la position de ces masses, vous pouvez écrire deux équations différentielles du second ordre et les mettre sous forme matricielle. Nous aborderons la solution de cette équation dans la vidéo suivante. Je'm Jeff Chasnov. Merci d'avoir regardé. Je te verrai la prochaine fois.


5.4 : Théorie des systèmes d'équations différentielles - Mathématiques

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Ce cours porte sur les équations différentielles et couvre le matériel que tous les ingénieurs devraient connaître. La théorie de base et les applications sont enseignées. Au cours des cinq premières semaines, nous apprendrons les équations différentielles ordinaires et la dernière semaine, les équations aux dérivées partielles. Le cours est composé de 56 courtes vidéos de cours magistrales, avec quelques problèmes simples à résoudre après chaque cours magistral. Et après chaque sujet important, il y a un petit quiz pratique. Des solutions aux problèmes et des quiz de pratique peuvent être trouvées dans les notes de cours fournies par l'instructeur. Il y a un total de six semaines dans le cours, et à la fin de chaque semaine, il y a un quiz évalué. Téléchargez les notes de cours : http://www.math.ust.hk/

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Équation différentielle ordinaire, Équation aux dérivées partielles (EDP), Mathématiques de l'ingénieur

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Meilleur cours. ont expliqué les aspects théoriques et pratiques des équations différentielles et en même temps couvert une partie substantielle du sujet d'une manière très facile et didactique.

Je pense que ce cours est très approprié pour tout esprit curieux. Vous pouvez apprendre des concepts très importants et nécessaires avec ce cours. Les cours enseignés par le professeur Dr. Chasnov sont excellents.

Systèmes d'équations différentielles

Nous apprenons à résoudre un système couplé d'équations différentielles du premier ordre homogènes à coefficients constants. Ce système d'odes peut être écrit sous forme matricielle, et nous apprenons à convertir ces équations en un problème de valeurs propres d'algèbre matricielle standard. Les solutions bidimensionnelles sont visualisées à l'aide de portraits de phase. Nous apprenons ensuite l'application importante des oscillateurs harmoniques couplés et le calcul des modes normaux. Les modes normaux sont les mouvements pour lesquels les masses individuelles qui composent le système oscillent avec la même fréquence.

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Voyons donc le dernier type de portrait de phase. Un pour les points en spirale, ici l'équation différentielle est x_1 point est égal à moins la moitié de x_1 plus x_2, x_2 point est égal à moins x_1 moins la moitié de x_2. La matrice est moins la moitié 1 moins 1 moins la moitié. Si vous effectuez l'analyse des valeurs propres et des vecteurs propres sur cette matrice, vous obtenez des valeurs propres conjuguées complexes. Ainsi, l'une des valeurs propres est moins un demi plus i et son vecteur propre associé est un i, et vous avez alors la paire conjuguée complexe. Si nous écrivons la solution en construisant deux solutions réelles, nous obtiendrons que x est égal à cette exponentielle décroissante fois a fois ce cosinus t moins sinus t plus b fois le sinus t cosinus t. Ce type de solution est circulaire et a ensuite une décroissance exponentielle, c'est pourquoi vous obtenez une spirale. Alors laissez-moi vous montrer à quoi pourrait ressembler la solution. Ainsi, l'origine est le point fixe et sa décroissance exponentielle, de sorte que le point fixe est stable et la solution en spirale dans l'origine. Donc ça pourrait ressembler à quelque chose comme ça, et ensuite vous spiralez dans l'origine, et parce que c'est stable, ça rentre. Mais nous ne sommes pas vraiment sûrs que c'est à quoi ça ressemble parce qu'il y a deux façons de spiraler dans l'origine. C'est l'une des façons, ici vous voyez que le mouvement est si vous ressemblez à une horloge, c'est dans le sens des aiguilles d'une montre, donc c'est une spirale dans le sens des aiguilles d'une montre. D'un autre côté, si nous avons une spirale dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, souvenez-vous donc qu'il s'agit de x_1 et x_2, x_1 et x_2, une spirale dans le sens inverse des aiguilles d'une montre se dirigera vers l'origine, mais dans l'autre sens, comme cela. Ainsi, la solution peut ressembler à l'une de celles-ci, c'est une spirale dans l'origine, mais peut être dans le sens des aiguilles d'une montre ou dans ce cas, dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Alors comment savoir lequel c'est ? Le moyen le plus simple consiste simplement à regarder le point sur l'axe x_2. Nous avons donc ici x_1 égal à 0, à ce stade, et ici aussi. Si nous regardons x_1 égal à 0, alors nous avons x_1 point égal à x_2. Donc x_1 point est égal à x_2 ce qui signifie que vous vous déplacez vers la droite. Donc dans le diagramme du haut, la trajectoire se déplace vers la droite, et dans le diagramme du bas, la trajectoire se déplace vers la gauche. Nous substituons donc dans x_1 égal à 0, x_2 est positif, alors x_1 point est positif ici, et cela devrait être, c'est correct. Mais ici x_1 point est négatif, donc celui-ci est incorrect, celui-ci est correct. D'accord. Examinons un portrait de phase généré par ordinateur à l'aide de MATLAB. Vous voyez donc ici comment les trajectoires sont toutes en spirale jusqu'à l'origine. D'accord. Permettez-moi donc de revoir, dans ce dernier et dernier cas, nous avons considéré des points en spirale. Ici, les valeurs propres sont complexes, elles apparaissent sous forme de paires conjuguées complexes. La clé ici est la partie réelle de la valeur propre. Donc si la partie réelle est négative, alors c'est une spirale stable, toutes les solutions spiralent vers l'origine, si la partie réelle est positive, alors c'est une spirale instable, toutes les solutions sortent de l'origine. Ensuite, vous avez deux choix, qu'il s'agisse d'une spirale dans le sens des aiguilles d'une montre ou d'une spirale dans le sens inverse des aiguilles d'une montre. Je'm Jeff Jasanoff, merci d'avoir regardé. Je te verrai dans la prochaine vidéo.


Théorie qualitative des systèmes différentiels planaires

Auteurs: Dumortier, Freddy, Llibre, Jaume, Artés, Jeanne C.

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  • ISBN 978-3-540-32902-2
  • Filigrané numériquement, sans DRM
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  • ISBN 978-3-540-32893-3
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L'ouvrage traite essentiellement des systèmes d'équations différentielles ordinaires autonomes polynomiales à deux variables réelles. L'accent est principalement qualitatif, bien que l'attention soit également accordée à des aspects plus algébriques comme une étude approfondie du problème centre/foyer et des résultats récents sur l'intégrabilité. Dans les deux derniers chapitres est présenté l'outil logiciel performant P4 : basé à la fois sur la manipulation algébrique et le calcul numérique, il a été conçu dans le but de tracer des "Polynomial Planar Phase Portraits" sur une partie du plan, ou sur une compactification de Poincaré, ou encore sur une compactification Poincaré-Lyapunov de l'avion.

Dès le départ, les systèmes différentiels sont représentés par des champs de vecteurs permettant, à pleine puissance, une approche systémique dynamique. Toutes les notions essentielles, y compris les variétés invariantes, les formes normales, la désingularisation des singularités, la théorie des indices et les cycles limites, sont introduites et les principaux résultats sont prouvés pour les systèmes lisses avec les spécifications nécessaires pour les systèmes analytiques et polynomiaux.

Le livre est très approprié pour un premier cours de systèmes dynamiques, présentant les notions de base dans l'étude des systèmes individuels à deux dimensions. Non seulement il fournit des preuves simples et appropriées, mais il contient également de nombreux exercices et présente un tour d'horizon de résultats intéressants avec les références nécessaires à la littérature.

FREDDY DUMORTIER est professeur ordinaire à l'Université d'Hasselt (Belgique), et membre de l'Académie royale flamande de Belgique pour les sciences et les arts. Il a été un visiteur de longue date dans différentes universités et instituts de recherche importants. Il est l'auteur de nombreux articles et ses principaux résultats portent sur les singularités et leur déroulement, les perturbations singulières, les équations de Liénard et le 16 ème problème de Hilbert.

JAUME LLIBRE est professeur titulaire à l'Université Autonome de Barcelone (Espagne), il est membre de l'Académie Royale des Sciences et des Arts de Barcelone. Il a été un visiteur de longue date dans différentes universités et instituts de recherche importants. Il est l'auteur de nombreux articles et a eu un grand nombre de doctorants. Ses principaux résultats portent sur les orbites périodiques, l'entropie topologique, les champs de vecteurs polynomiaux, les systèmes hamiltoniens et la mécanique céleste.

JOAN C. ARTES est professeur à l'Université Autonome de Barcelone (Espagne). Ses principaux résultats portent sur des champs de vecteurs polynomiaux, plus concrètement quadratiques. Il a programmé, il y a une vingtaine d'années, la première version de P4 (uniquement pour les systèmes quadratiques) à partir de laquelle le programme P4 a été développé avec l'aide de Chris Herssens et Peter De Maesschalck.

"La théorie qualitative des systèmes différentiels planaires est une introduction de niveau universitaire aux systèmes d'équations différentielles autonomes polynomiales à deux variables réelles. … Ce texte traite les résultats de base de la théorie qualitative avec compétence et clarté. … le matériel du texte est bien- intégré et facilement accessible aux étudiants diplômés ou aux étudiants de premier cycle avancés particulièrement compétents." (William J. Satzer, MathDL, décembre 2006)

"Ce manuel, écrit par des scientifiques de renom dans le domaine de la théorie qualitative des équations différentielles ordinaires, présente une introduction complète aux sujets fondamentaux et essentiels des systèmes autonomes différentiels planaires réels. … L'accent est principalement mis sur le qualitatif, bien que l'attention soit également accordée à des aspects plus algébriques. Il y a une longue liste de références. La monographie est bien écrite et contient beaucoup d'illustrations et d'exemples. Elle sera utile pour les étudiants, les enseignants et les chercheurs. (Alexander Grin, Zentralblatt MATH, Vol. 1110 (12), 2007)

« Les systèmes différentiels planaires qui font l'objet de ce livre sont des systèmes d'équations différentielles autonomes … . Ce livre contient une mine d'informations et de techniques, dont certaines ne sont pas disponibles en dehors de la littérature de recherche. … De plus, l'exposition est précise, claire et bien -motivé. … ce travail pourrait bien servir à la fois de manuel pour un cours sur les systèmes dynamiques lisses sur des régions planes, et de référence dans laquelle les outils importants de la recherche actuelle sont expliqués en détail et leur utilisation illustrée. (Douglas S. Shafer, Revues mathématiques, numéro 2007 f)


5.4 : Théorie des systèmes d'équations différentielles - Mathématiques

Heures de bureau : L-V 10h05-10h50, L-V 16h-16h30, chaque fois que je suis dans mon bureau (cliquez ici pour mon horaire)

Sessions de révision d'AT : dimanche de 21 h à 23 h au CLARK 204 et lundi de 21 h à 23h au BRONFMAN 106

LA FINALE EST LE SAMEDI 23 MAI À 13H30 AU BRONFMAN 105

Sessions de révision : Jeudi 14 mai de 13h30 à 15h30 à Bronfman 107

Jeudi 21 mai de 14h à 16h, ven 22 mai de 10h à 11h et de 13h30 à 14h30 (tous à Bronfman 104)

DESCRIPTION DU COURS: Historiquement, beaucoup de belles mathématiques sont nées de tentatives pour expliquer le flux de chaleur, les réactions chimiques, les processus biologiques ou les champs magnétiques. Quelques techniques ingénieuses résolvent une fraction étonnamment importante des équations aux dérivées ordinaires et partielles associées. Nous allons commencer par les équations aux différences. Ce sont les analogues discrets des équations différentielles, et ont de nombreuses applications à la fois en mathématiques pures et appliquées (par exemple, une généralisation des nombres de Fibonacci explique pourquoi le double plus un vous mettra presque sûrement en faillite si vous jouez à la roulette à Las Vegas !) . Après les avoir étudiés, nous passerons aux équations différentielles, décrivant à la fois les théorèmes généraux d'existence et d'unicité ainsi que les techniques pour résoudre les systèmes (qui vont des solutions complètes aux approximations numériques). Des exemples seront tirés des mathématiques pures, de la physique, de la biologie, ainsi que des demandes de classe. Si le temps le permet, nous décrirons des fonctions spéciales et des sujets avancés (les possibilités incluent la théorie des matrices aléatoires et le calcul des variations). Format : conférence/débat. L'évaluation sera basée sur des ensembles de problèmes, des tests horaires et un examen final. Prérequis : Mathématiques 102 (ou maîtrise démontrée d'un test de diagnostic voir Mathématiques 101). Aucune limite d'inscription (attendu : 30).

DEVOIRS / EXAMENS / NOTATION : Je vous encourage à travailler en groupe, mais chacun doit soumettre son propre travail HW. Le matériel doit être remis à temps, agrafé et soigné - le matériel en retard, bâclé ou non agrafé ne sera pas classé. Veuillez montrer votre travail sur le matériel et les examens (sinon vous risquez d'obtenir aucun crédit). La notation sera : 20% devoirs, 40% mi-sessions (il y en aura deux), 40% final. Vous pouvez également faire un projet impliquant des équations différentielles, qui compteraient pour 10 % de votre note (et les autres catégories seraient réduites de 10 % chacune). Tous les examens sont cumulatifs. Cliquez ici pour un exemple sur la façon de rédiger un devoir (c'est la solution aux deux premiers problèmes d'équation aux différences).

PROGRAMME / GENERALITES : Le manuel sera la 9 e édition de Boyce et DiPrima`s « Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems » (VOUS POUVEZ UTILISER LA HUITIÈME ÉDITION POUR CETTE CLASSE -- SI LES PROBLÈMES MATÉRIELS DIFFÉRENT, JE POSTE LE PROBLÈME À PARTIR DE LA NEUVIÈME ÉDITION.). Nous suivrons le livre de près, couvrant une grande partie des 8 premiers chapitres, en complétant occasionnellement avec du matériel supplémentaire provenant d'autres sources. Mes notes de cours sont également disponibles en ligne ici (cliquez ici pour des commentaires supplémentaires sur chaque cours) notez, bien sûr, qu'il s'agit de notes approximatives pour m'aider à donner chaque cours et qu'elles n'incluront donc pas tout ce qui est mentionné en classe. Aussi, n'hésitez pas à passer par mon bureau ou à mentionner avant, pendant ou après le cours toute question ou préoccupation que vous avez au sujet du cours. Si vous avez des suggestions d'améliorations, allant de la méthode de présentation au choix d'exemples, faites-le moi savoir. Si vous préférez faire ces suggestions de manière anonyme, vous pouvez envoyer un e-mail à partir de [email protected] (le mot de passe est constitué des sept premiers nombres de Fibonacci, 11235813).

OBJECTIFS: Ce cours a deux objectifs principaux : apprendre à résoudre des équations aux différences et différentielles, et apprendre à modéliser des problèmes du monde réel et à attaquer leur solution. Nous mettrons constamment l'accent sur les techniques que nous utilisons pour résoudre des problèmes, car ces techniques sont applicables à un large éventail de problèmes scientifiques.

DEVOIRS ET LECTURE : Nous couvrirons les sections suivantes (ainsi que d'autres si le temps le permet) :

Chapitre 1 : Introduction : 1.1, 1.2, 1.3.

Chapitre 2 : Équations linéaires du premier ordre : Nous commencerons par les équations aux différences (voir aussi Section 2.9), 2.2, 2.5 (voir aussi Do Dogs Know Bifurcations de Tim Penning), 2.6, 2.7, 2.8.

Chapitre 3 : Équations linéaires du second ordre : 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7.


La théorie des équations différentielles : classique et qualitative

Le comité de la liste des bibliothèques de base suggère que les bibliothèques de mathématiques de premier cycle envisagent d'acquérir ce livre.

C'est un très bon livre sur les équations différentielles. C'est le genre de livre que j'utiliserais en classe et que je recommanderais à un étudiant pour une étude indépendante. Je peux le voir utilisé comme manuel pour un cours d'équations différentielles, tout au long de l'année si le calcul et l'algèbre linéaire doivent être renforcés, ou dans un cours d'un semestre pour les majors en mathématiques.

Le livre n'inclut pas les solutions en série, la transformée de Laplace ou les méthodes numériques, il peut donc ne pas être immédiatement utile aux étudiants en ingénierie. Par contre, il construit la théorie des équations différentielles, et il le fait bien. La théorie de Floquet est au chapitre 2, les systèmes autonomes sont discutés au chapitre 3 et le chapitre 4 contient les méthodes de perturbation. Il peut sembler que ces sujets ne sont pas à leur place dans un manuel pour un premier cours d'équations différentielles, mais à travers leur choix d'exemples et d'exercices, les auteurs font en sorte que les sujets se déroulent à un rythme naturel.

Il y a de jolis petits sujets secondaires, tels que la construction de fonctions sinus et cosinus et la preuve des identités trigonométriques de base basées uniquement sur le théorème d'existence et d'unicité, ainsi que des sujets moins habituels, tels que les théorèmes de factorisation.

Les chapitres 5 à 8 guident le lecteur à travers les problèmes de Sturm-Liouville, le calcul des variations, les systèmes d'ordre supérieur, les ODE non linéaires et les théorèmes classiques d'existence et d'unicité. Ces sujets sont suffisamment riches pour que chacun d'eux fasse l'objet d'un livre séparé. Le présent texte les traite au point où des théorèmes substantiels peuvent être discutés, et en même temps laisse le lecteur désireux de savoir ce qu'il peut en dire de plus. Les références sont appropriées et renvoient à des pages spécifiques des textes classiques (Coddington et Levinson, Hartman, etc.).

Je crois que les instructeurs aimeraient enseigner à partir de ce livre et que les étudiants pourraient l'étudier (soit dans le cadre d'un cours, soit de manière indépendante) à un bon rythme. Et ils en apprendraient beaucoup sur les équations différentielles.

Florin Catrina est professeur adjoint de mathématiques à l'Université St. John's dans le Queens, New York.

Chapitre 1 Équations différentielles du premier ordre
1.1 Résultats de base
1.2 Équations linéaires du premier ordre
1.3 Équations autonomes
1.4 Équation Logistique Généralisée
1.5 Bifurcation
1.6 Exercices

Chapitre 2 Systèmes linéaires
2.1 Présentation
2.2 L'équation vectorielle x' = A(t)x
2.3 La fonction exponentielle matricielle
2.4 Norme matricielle induite
2.5 Théorie du Floquet
2.6 Exercices

Chapitre 3 Systèmes autonomes
3.1 Présentation
3.2 Diagrammes de plan de phase
3.3 Diagrammes de plan de phase pour les systèmes linéaires
3.4 Stabilité des systèmes non linéaires
3.5 Linéarisation des systèmes non linéaires
3.6 Existence et inexistence de solutions périodiques
3.7 Systèmes tridimensionnels
3.8 Équations différentielles et Mathematica
3.9 Exercices

Chapitre 4 Méthodes de perturbation
4.1 Présentation
4.2 Solutions périodiques
4.3 Perturbations singulières
4.4 Exercices

Chapitre 5 L'équation différentielle du second ordre auto-adjointe
5.1 Définitions de base
5.2 Un exemple intéressant
5.3 Fonction de Cauchy et formule de variation des constantes
5.4 Sturm-Liouville Problems
5.5 Zeros of Solutions and Disconjugacy
5.6 Factorizations and Recessive and Dominant Solutions
5.7 The Riccati Equation
5.8 Calculus of Variations
5.9 Green’s Functions
5.10 Exercises

Chapter 6 Linear Differential Equations of Order n
6.1 Basic Results
6.2 Variation of Constants Formula
6.3 Green’s Functions
6.4 Factorizations and Principal Solutions
6.5 Adjoint Equation
6.6 Exercises

Chapter 7 BVPs for Nonlinear Second-Order DEs
7.1 Contraction Mapping Theorem (CMT)
7.2 Application of the CMT to a Forced Equation
7.3 Applications of the CMT to BVPs
7.4 Lower and Upper Solutions
7.5 Nagumo Condition
7.6 Exercises

Chapter 8 Existence and Uniqueness Theorems
8.1 Basic Results
8.2 Lipschitz Condition and Picard-Lindelof Theorem
8.3 Equicontinuity and the Ascoli-Arzela Theorem
8.4 Cauchy-Peano Theorem
8.5 Extendability of Solutions
8.6 Basic Convergence Theorem
8.7 Continuity of Solutions with Respect to ICs
8.8 Kneser’s Theorem
8.9 Differentiating Solutions with Respect to ICs
8.10 Maximum and Minimum Solutions
8.11 Exercises


Differential Equations: Theory and Applications

The book provides a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations at the graduate level and includes applications to Newtonian and Hamiltonian mechanics. It not only has a large number of examples and computer graphics, but also has a complete collection of proofs for the major theorems, ranging from the usual existence and uniqueness results to the Hartman-Grobman linearization theorem and the Jordan canonical form theorem.

The book can be used almost exclusively in the traditional way for graduate math courses, or it can be used in an applied way for interdisciplinary courses involving physics, engineering, and other science majors. For this reason an extensive computer component using Maple is provided on Springer’s website.

This new edition has been extensively revised throughout, particularly the chapters on linear systems, stability theory and Hamiltonian systems.

The computer component is an in-depth supplement and complement to the material in the text and contains an introduction to discrete dynamical systems and iterated maps, special-purpose Maple code for animating phase portraits, stair diagrams, N-body motions, and rigid-body motions, and numerous tutorial Maple worksheets pertaining to all aspects of using Maple to study the topics in the text.

Review from first edition:

"This book is intended for first- and second- year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. . The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood. " (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

"This book is a comprehensive reader-friendly introduction to differential equations. … The theory is illustrated by a great number of nice examples, applications, figures. … I can warmly recommend the book for graduate mathematics, physic students and also students in applied sciences. Finally, I would like to encourage students, their professors and researchers to do computer experiments … for improving their study, teaching and scientific work." (János Karsai, Acta Scientiarum Mathematica, Vol. 70, 2004)

"The book under review is intended for a one or two semester graduate course in ordinary differential equations. A novel feature of the book is the incorporation of Maple into the presentation … . This well written book offers an application-minded instructor great flexibility in designing a course. All the necessary theory is included, as well as wide range of examples from physics and engineering … ." (J. E. Paullet, Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, Vol. 84 (6), 2004)

"This book is one of the few graduate differential equations texts that use the computer to enhance the concepts and theory normally taught to first- and second-year graduate students in mathematics. The author gives a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems … ." (Wei Nian Zhang, Mathematical Reviews, 2002 b)

"This book is intended to serve as a comprehensive introduction to the theory of ordinary differential equations … . the material is organized so that it can be also used in a wider setting within today’s modern university and society. … The book makes every attempt to blend together the traditional theoretical material on differential equations and the new techniques afforded by computer algebra systems … ." (International Aerospace Abstracts, Vol. 42 (5), 2002)

"This book is intended for first- and second-year graduate students in mathematics and also organized to be used for interdisciplinary courses in applied mathematics, physics, and engineering. … The book is well written and provides many interesting examples. The author gives a comprehensive introduction to the theory on ordinary differential equations with a focus on mechanics and dynamical systems. The exposition is clear and easily understood." (Yuan Rong, Zentralblatt MATH, Vol. 993 (18), 2002)

From the reviews of the second edition:

“This textbook is intended as a comprehensive introduction to ordinary differential equations for graduate students. … This is a very readable text that is enhanced with good supporting figures. Especially striking are hand-drawn figures reproduced to look like blackboard sketches. The proofs throughout the book are particularly … detailed. There are also well-designed exercises for every section in the text. This is one graduate-level graduate differential equations text that really would support self-study.” (William J. Satzer, The Mathematical Association of America, February, 2010)

“The book is an introduction to the theory of ordinary differential equations and intended for first- or second-year graduate students. … The main feature of this book is its comprehensive structure, many examples and illustrations, and complementary electronic material. The electronic material is now provided on the Springer’ website and consists of about 40 Maple-worksheets.” (Sergiy Yanchuk, Zentralblatt MATH, Vol. 1192, 2010)

“This is the updated edition of a comprehensive introduction to ordinary differential equations from the view point of dynamical systems. … The book is written in a concise style suitable for advanced undergraduate and beginning graduate students. … all chapters including the online materials have been revised and enhanced. Moreover, many new examples and exercises have been added.” (G. Teschl, Monatshefte für Mathematik, Vol. 162 (3), March, 2011)

“This is quite a good … intermediate level textbook on ordinary differential equations. It emphasizes dynamical systems and mechanics, nicely illustrating geometric ideas with good graphics … . this textbook has lots to recommend it.” (Robert E. O’Malley, Jr., SIAM Review, Vol. 52 (2), 2010)


Calculus Early Transcendentals: Integral & Multi-Variable Calculus for Social Sciences

Many physical phenomena can be modeled using the language of calculus. For example, observational evidence suggests that the temperature of a cup of tea (or some other liquid) in a room of constant temperature will cool over time at a rate proportional to the difference between the room temperature and the temperature of the tea.

In symbols, if (t) is the time, (M) is the room temperature, and (f(t)) is the temperature of the tea at time (t) then (f'(t) = k(M-f(t))) where (k>0) is a constant which will depend on the kind of tea (or more generally the kind of liquid) but not on the room temperature or the temperature of the tea. This is and the equation that we just wrote down is an example of a . Ideally we would like to solve this equation, namely, find the function (f(t)) that describes the temperature over time, though this often turns out to be impossible, in which case various approximation techniques must be used. The use and solution of differential equations is an important field of mathematics, because differential equations help us to predict future behaviour based on how current values are related and how they change with respect to each other (perhaps over time). Here we see how to solve some simple but useful types of differential equation.

Informally, a differential equation is an equation in which one or more of the derivatives of some function appears. Typically, a scientific theory will produce a differential equation (or a system of differential equations) that describes or governs some physical process, but the theory will not produce the desired function or functions directly.

Definition 5.1 .

A is a mathematical equation for an unknown function of one (or several) variables that relates the function to its derivatives.

A to a differential equation is a function that satisfies the differential equation.

Noter: Le terme Differential Equation is often abbreviated with , and so DEs stands for differential equations.

The following are examples of differential equations:

Clearly, there are many different characteristics of a differential equation. The characteristics that are used throughout the notes are introduced below. However, there are additional ways to classify differential equations, which we leave to the interested reader, who pursues this field of study.


5.4: Theory of Systems of Differential Equations - Mathematics

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