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3.7 : Graphes de fonctions - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Utilisez le test de la ligne verticale
  • Identifier des graphiques de fonctions de base
  • Lire les informations d'un graphique d'une fonction

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Évaluez : (2^3) ⓑ (3^2).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  2. Évaluer : (|7|) ⓑ (|−3|).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].
  3. Évaluez : ⓐ (sqrt{4}) ⓑ (sqrt{16}).
    Si vous avez manqué ce problème, passez en revue [relier].

Utilisez le test de ligne verticale

Dans la dernière section, nous avons appris à déterminer si une relation est une fonction. Les relations que nous avons examinées étaient exprimées sous la forme d'un ensemble de paires ordonnées, d'une application ou d'une équation. Voyons maintenant comment savoir si un graphe est celui d'une fonction.

Une paire ordonnée ((x,y)) est une solution d'une équation linéaire, si l'équation est un énoncé vrai lorsque le X- et oui-les valeurs de la paire ordonnée sont substituées dans l'équation.

Le graphique d'une équation linéaire est une ligne droite où chaque point de la ligne est une solution de l'équation et chaque solution de cette équation est un point de cette ligne.

Dans Chiffre, on peut voir que, dans le graphe de l'équation (y=2x−3), pour tout X-valeur il n'y en a qu'un oui-valeur, comme indiqué dans le tableau ci-joint.

Une relation est une fonction si chaque élément du domaine a exactement une valeur dans la plage. Donc la relation définie par l'équation (y=2x−3) est une fonction.

Si nous regardons le graphique, chaque ligne pointillée verticale ne coupe la ligne qu'en un seul point. Cela a du sens comme dans une fonction, pour chaque X-valeur il n'y en a qu'un oui-valeur.

Si la ligne verticale frappe le graphique deux fois, le X-value serait mappé sur deux oui-values, et donc le graphique ne représenterait pas une fonction.

Cela nous amène au test de la ligne verticale. Un ensemble de points dans un système de coordonnées rectangulaires est le graphique d'une fonction si chaque ligne verticale coupe le graphique en au plus un point. Si une ligne verticale coupe le graphique en plusieurs points, le graphique ne représente pas une fonction.

TEST DE LIGNE VERTICALE

Un ensemble de points dans un système de coordonnées rectangulaires est le graphique d'une fonction si chaque ligne verticale coupe le graphique en au plus un point.

Si une ligne verticale coupe le graphique en plusieurs points, le graphique ne représente pas une fonction.

Exemple (PageIndex{1})

Déterminez si chaque graphique est le graphique d'une fonction.

Réponse

Comme toute ligne verticale coupe le graphique en au plus un point, le graphique est le graphique d'une fonction.

ⓑ L'une des lignes verticales représentées sur le graphique, la coupe en deux points. Ce graphique ne représente pas une fonction.

Exemple (PageIndex{2})

Déterminez si chaque graphique est le graphique d'une fonction.

Réponse

oui ⓑ non

Exemple (PageIndex{3})

Déterminez si chaque graphique est le graphique d'une fonction.

Réponse

non ⓑ oui

Identifier les graphiques des fonctions de base

Nous avons utilisé l'équation (y=2x−3) et son graphique pour développer le test de la ligne verticale. Nous avons dit que la relation définie par l'équation (y=2x−3) est une fonction.

Nous pouvons écrire cela comme dans la notation de fonction (f(x)=2x−3). Cela signifie toujours la même chose. Le graphe de la fonction est le graphe de toutes les paires ordonnées ((x,y)) où (y=f(x)). Nous pouvons donc écrire les paires ordonnées sous la forme ((x,f(x))). Cela semble différent, mais le graphique sera le même.

Comparez le graphique de (y=2x−3) précédemment montré dans Chiffre avec le graphique de (f(x)=2x−3) montré dans Chiffre. Rien n'a changé sauf la notation.

GRAPHIQUE D'UNE FONCTION

Le graphe d'une fonction est le graphe de toutes ses paires ordonnées, (x,y)(x,y) ou en notation de fonction, (x,f(x))(x,f(x)) où y=f( x).y=f(x).

[egin{array} {ll} {f} &{ ext{nom de la fonction}} {x} &{ ext{x-coordonnée de la paire ordonnée}} {f(x)} &{ ext{y-coordonnée de la paire ordonnée}} onumber end{array}]

Au fur et à mesure que nous avançons dans notre étude, il est utile de se familiariser avec les graphiques de plusieurs fonctions de base et de pouvoir les identifier.

Grâce à nos travaux antérieurs, nous sommes familiarisés avec les graphiques d'équations linéaires. Le processus que nous avons utilisé pour décider si (y=2x−3) est une fonction s'appliquerait à toutes les équations linéaires. Toutes les équations linéaires non verticales sont des fonctions. Les lignes verticales ne sont pas des fonctions comme le X-valeur a une infinité de oui-valeurs.

Nous avons écrit des équations linéaires sous plusieurs formes, mais il nous sera très utile ici d'utiliser la forme à l'origine de la pente de l'équation linéaire. La forme à l'origine de la pente d'une équation linéaire est (y=mx+b). En notation fonctionnelle, cette fonction linéaire devient (f(x)=mx+b) où m est la pente de la droite et b est le oui-intercepter.

Le domaine est l'ensemble de tous les nombres réels, et la plage est également l'ensemble de tous les nombres réels.

FONCTION LINÉAIRE

Nous utiliserons les techniques graphiques que nous avons utilisées précédemment pour représenter graphiquement les fonctions de base.

Exemple (PageIndex{4})

Graphique : (f(x)=−2x−4).

Réponse
(f(x)=−2x−4)
Nous reconnaissons cela comme une fonction linéaire.
Trouvez la pente et oui-intercepter.(m=−2)
(b=−4)
Graphique utilisant l'interception de la pente.

Exemple (PageIndex{5})

Graphique : (f(x)=−3x−1)

Réponse

Exemple (PageIndex{6})

Graphique : (f(x)=−4x−5)

Réponse

La fonction suivante dont nous allons examiner le graphique est appelée fonction constante et son équation est de la forme (f(x)=b), où b est un nombre réel. Si nous remplaçons le (f(x)) par y, nous obtenons (y=b). Nous reconnaissons cela comme la ligne horizontale dont oui-intercepter est b. Le graphe de la fonction (f(x)=b), est aussi la droite horizontale dont oui-intercepter est b.

Notez que pour tout nombre réel que nous mettons dans la fonction, la valeur de la fonction sera b. Cela nous indique que la plage n'a qu'une seule valeur, b.

FONCTION CONSTANTE

Exemple (PageIndex{7})

Graphique : (f(x)=4).

Réponse
(f(x)=4)
Nous reconnaissons cela comme une fonction constante.
Le graphique sera une ligne horizontale passant par ((0,4)).

Exemple (PageIndex{8})

Graphique : (f(x)=−2).

Réponse

Exemple (PageIndex{9})

Graphique : (f(x)=3).

Réponse

La fonction identité, (f(x)=x) est un cas particulier de la fonction linéaire. Si nous l'écrivons sous forme de fonction linéaire, (f(x)=1x+0), nous voyons que la pente est 1 et le oui-intercept est 0.

FONCTION D'IDENTITÉ

La prochaine fonction que nous examinerons n'est pas une fonction linéaire. Le graphique ne sera donc pas une ligne. La seule méthode dont nous disposons pour représenter graphiquement cette fonction est le tracé de points. Comme il s'agit d'une fonction inconnue, nous nous assurons de choisir plusieurs valeurs positives et négatives ainsi que 0 pour nos valeurs x.

Graphique : (f(x)=x^2).

Réponse

Nous choisissons X-valeurs. Nous les substituons, puis créons un graphique comme indiqué.

Exemple (PageIndex{11})

Graphique : (f(x)=x^2).

Réponse

Exemple (PageIndex{12})

(f(x)=−x^2)

Réponse

En regardant le résultat dans Exemple, nous pouvons résumer les caractéristiques de la fonction carrée. Nous appelons ce graphe une parabole. Lorsque nous considérons le domaine, notez que tout nombre réel peut être utilisé comme un X-valeur. Le domaine est composé de nombres réels.

La plage n'est pas uniquement constituée de nombres réels. Notez que le graphique se compose des valeurs de oui ne descend jamais en dessous de zéro. Cela a du sens car le carré d'un nombre ne peut pas être négatif. Ainsi, la plage de la fonction carrée est constituée de tous les nombres réels non négatifs.

FONCTION CARRÉ

La prochaine fonction que nous examinerons n'est pas non plus une fonction linéaire, donc le graphique ne sera pas une ligne. Encore une fois, nous utiliserons le tracé de points et veillerons à choisir plusieurs valeurs positives et négatives ainsi que 0 pour notre X-valeurs.

Graphique : (f(x)=x^3).

Réponse

Nous choisissons X-valeurs. Nous les substituons et créons ensuite un graphique.

Exemple (PageIndex{14})

Graphique : (f(x)=x^3).

Réponse

Exemple (PageIndex{15})

Graphique : (f(x)=−x^3).

Réponse

En regardant le résultat dans Exemple, nous pouvons résumer les caractéristiques de la fonction cube. Le domaine est composé de nombres réels.

La plage est constituée de nombres réels. Cela a du sens car le cube de tout nombre différent de zéro peut être positif ou négatif. Ainsi, la plage de la fonction cube est constituée de tous les nombres réels.

FONCTION CUBE

La prochaine fonction que nous examinerons ne place pas au carré ou au cube les valeurs d'entrée, mais prend plutôt la racine carrée de ces valeurs.

Représentons graphiquement la fonction (f(x)=sqrt{x}) puis résumons les caractéristiques de la fonction. N'oubliez pas que nous ne pouvons prendre que la racine carrée des nombres réels non négatifs, notre domaine sera donc les nombres réels non négatifs.

Exemple (PageIndex{16})

(f(x)=sqrt{x})

Réponse

Nous choisissons X-valeurs. Puisque nous allons prendre la racine carrée, nous choisissons des nombres qui sont des carrés parfaits, pour faciliter notre travail. Nous les substituons et créons ensuite un graphique.

Exemple (PageIndex{17})

Graphique : (f(x)=x).

Réponse

Exemple (PageIndex{18})

Graphique : (f(x)=−sqrt{x}).

Réponse

FONCTION RACINE CARREE

Notre dernière fonction de base est la fonction de valeur absolue, (f(x)=|x|). Gardez à l'esprit que la valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro. Étant donné que nous ne mesurons jamais la distance sous forme de nombre négatif, nous n'obtiendrons jamais un nombre négatif dans la plage.

Graphique : (f(x)=|x|).

Réponse

Nous choisissons X-valeurs. Nous les substituons et créons ensuite un graphique.

Exemple (PageIndex{20})

Graphique : (f(x)=|x|).

Réponse

Exemple (PageIndex{21})

Graphique : (f(x)=−|x|).

Réponse

FONCTION VALEUR ABSOLUE

Lire les informations d'un graphique d'une fonction

Dans les sciences et les affaires, les données sont souvent collectées puis représentées graphiquement. Le graphique est analysé, des informations sont obtenues à partir du graphique et souvent des prédictions sont faites à partir des données.

Nous allons commencer par lire le domaine et l'étendue d'une fonction à partir de son graphe.

Rappelez-vous que le domaine est l'ensemble de tous les X-valeurs dans les paires ordonnées dans la fonction. Pour trouver le domaine, nous regardons le graphique et trouvons toutes les valeurs de X qui ont une valeur correspondante sur le graphique. Suivez la valeur X haut ou bas verticalement. Si vous frappez le graphique de la fonction alors X est dans le domaine.

Rappelez-vous que la plage est l'ensemble de tous les oui-valeurs dans les paires ordonnées dans la fonction. Pour trouver la plage, nous regardons le graphique et trouvons toutes les valeurs de oui qui ont une valeur correspondante sur le graphique. Suivez la valeur oui à gauche ou à droite horizontalement. Si vous frappez le graphique de la fonction alors oui est dans la gamme.

Exemple (PageIndex{22})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver son domaine et sa plage. Écrivez le domaine et la plage en notation d'intervalle.

Réponse

Pour trouver le domaine, nous regardons le graphique et trouvons toutes les valeurs de X qui correspondent à un point du graphique. Le domaine est surligné en rouge sur le graphique. Le domaine est ([−3,3]).

Pour trouver la plage, nous regardons le graphique et trouvons toutes les valeurs de oui qui correspondent à un point du graphique. La plage est surlignée en bleu sur le graphique. La plage est ([−1,3]).

Exemple (PageIndex{23})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver son domaine et sa plage. Écrivez le domaine et la plage en notation d'intervalle.

Réponse

Le domaine est ([−5,1]). La plage est ([−4,2]).

Exemple (PageIndex{24})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver son domaine et sa plage. Écrivez le domaine et la plage en notation d'intervalle.

Réponse

Le domaine est ([−2,4]). La plage est ([−5,3]).

Nous allons maintenant lire les informations du graphique que vous pourrez voir dans les futurs cours de mathématiques.

Exemple (PageIndex{25})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver les valeurs indiquées.

Rechercher : (f(0)).
Rechercher : (f(32pi)).
Trouver : (f(−12pi)).
Trouvez les valeurs pour X lorsque (f(x)=0).
Trouvez le X-interceptions.
Trouvez le oui-interceptions.
Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation d'intervalle.
Trouvez la gamme. Écrivez-le en notation d'intervalle.

Réponse

ⓐ Lorsque (x=0), la fonction croise le oui-axe à 0. Donc, (f(0)=0).
ⓑ Lorsque (x=32pi), le oui-valeur de la fonction est (−1). Donc, (f(32pi)=−1).
ⓒ Lorsque (x=−12pi), le oui-valeur de la fonction est (−1). Donc, (f(−12pi)=−1).
ⓓ La fonction est 0 aux points, ((−2pi,0), (−pi,0), (0,0),(pi,0),(2pi,0)) . Le X-valeurs lorsque (f(x)=0) sont (−2pi,−pi,0,pi,2pi).
Le X- les interceptions se produisent lorsque (y=0). Alors le X- les interceptions se produisent lorsque (f(x)=0). Le XLes interceptions sont ((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)).
Le oui- les interceptions se produisent lorsque x=0.x=0. Alors le oui- les interceptions se produisent à (f(0)). Le oui-intercept est ((0,0)).
Cette fonction a une valeur lorsque X est de (−2pi) à (2pi). Par conséquent, le domaine en notation d'intervalle est ([−2pi,2pi]).
Cette fonction valorise, ou ouiles valeurs vont de (−1) à 1. Par conséquent, la plage, en notation d'intervalle, est ([−1,1]).

Exemple (PageIndex{26})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver les valeurs indiquées.

Trouver : f(0).f(0).
ⓑ Rechercher : f(12pi).f(12pi).
Trouver : f(−32pi).f(−32pi).
Trouvez les valeurs pour X lorsque f(x)=0.f(x)=0.
Trouvez le X-interceptions.
Trouvez le oui-interceptions.
Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation d'intervalle.

Réponse

(f(0)=0) ⓑ (f=(pi2)=2) ⓒ (f=(−3pi2)=2) ⓓ (f(x)=0) pour (x=−2pi,−pi,0,pi,2pi) ⓔ ((−2pi,0),(−pi,0),(0,0), (pi,0),(2pi,0)) (0,0)(0,0) ⓖ ([−2pi,2pi]) ⓗ ([−2,2 ])

Exemple (PageIndex{27})

Utilisez le graphique de la fonction pour trouver les valeurs indiquées.

Rechercher : (f(0)).
Rechercher : (f(pi)).
Trouver : (f(−pi)).
Trouvez les valeurs pour X lorsque (f(x)=0).
Trouvez le X-interceptions.
Trouvez le oui-interceptions.
Trouvez le domaine. Écrivez-le en notation d'intervalle.

Réponse

ⓐ (f(0)=1) ⓑ (f(pi)=−1) ⓒ (f(−pi)=−1) ⓓ (f(x)=0) pour (x=−3pi2,−pi2,pi2,3pi2) ⓔ ((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0), (2pi,0)) ⓕ ((0,1)) ⓖ ([−2pi,2pi]) ⓗ ([−1,1])

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  • Trouver le domaine et la plage


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