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3.2 : Équations linéaires du premier ordre - Mathématiques


Une équation différentielle du premier ordre est dite ( extcolor{blue}{mbox{linear}} ) si elle peut s'écrire sous la forme

egin{equation}label{eq:3.3.1}
y'+p(x)y=f(x),
end{équation}

Une équation différentielle du premier ordre qui ne peut pas être écrite comme ceci est ( extcolor{blue}{mbox{nonlinear}} ). On dit que eqref{eq:3.3.1} est ( extcolor{blue}{mbox{homogenous}} ) if (fequiv0); sinon c'est ( extcolor{blue}{mbox{nonhomogeneous}} ).

Puisque (yequiv0) est évidemment une solution de l'équation homogène (y'+p(x)y=0), nous l'appelons la ( extcolor{blue}{mbox{solution triviale}} ). Toute autre solution est ( extcolor{blue}{mbox{non trivial}} ).

Exemple (PageIndex{1})

Les équations du premier ordre

egin{eqnarray*}
x^2y'+3y=x^2
xy'-8x^2y=sin x
xy'+(ln x)y=0
y'=x^2y - 2
end{eqnarray*}

ne sont pas sous la forme eqref{eq:3.3.1}, mais ils sont linéaires, car ils peuvent être réécrits comme

egin{eqnarray*}
y'+{3sur x^2}y=1
y'-8xy={sin xover x}
y'+{ln xsur x}y=0
y'-x^2y=-2
end{eqnarray*}

Solution générale d'une équation du premier ordre linéaire

Pour motiver une définition dont nous aurons besoin, considérons l'équation linéaire simple du premier ordre

egin{equation}label{eq:3.3.2}
y'={1sur x^2}.
end{équation}

D'après le calcul, nous savons que (y) satisfait cette équation si et seulement si

egin{equation}label{eq:3.3.3}
y=-frac{1}{x}+c,
end{équation}

où (c) est une constante arbitraire.

Nous appelons (c) un ( extcolor{blue}{mbox{parameter}} ) et disons que eqref{eq:3.3.2} définit un ( extcolor{blue}{mbox{one --parameter family}} ) de fonctions. Pour chaque réel (c), la fonction définie par eqref{eq:3.3.3} est une solution de eqref{eq:3.3.2} sur ((-infty,0)) et ((0,infty)); de plus, toute solution de eqref{eq:3.3.2} sur l'un ou l'autre de ces intervalles est de la forme eqref{eq:3.3.3} pour un certain choix de (c). On dit que eqref{eq:3.3.3} est ( extcolor{blue}{mbox{la solution générale}} ) de eqref{eq:3.3.2}.

Nous verrons qu'une situation similaire se produit en relation avec toute équation linéaire du premier ordre

egin{equation}label{eq:3.3.4}
y'+p(x)y=f(x);
end{équation}

c'est-à-dire que si (p) et (f) sont continus sur un intervalle ouvert ((a,b)) alors il existe une formule unique (y=y(x,c)) analogue à eqref{eq:3.3.3} qui implique (x) et un paramètre (c) et a ces propriétés :

Pour chaque valeur fixe de (c), la fonction résultante de (x) est une solution de eqref{eq:3.3.4} sur ((a,b)). Si (y) est une solution de eqref{eq:3.3.4} sur ((a,b)), alors (y) peut être obtenu à partir de la formule en choisissant (c) de manière appropriée . Nous appellerons (y=y(x,c)) le ( extcolor{blue}{mbox{general solution}} ) de eqref{eq:3.3.4}. Une fois cela établi, il s'ensuit qu'une équation de la forme

egin{equation}label{eq:3.3.5}
P_0(x)y'+P_1(x)y=F(x)
end{équation}

a une solution générale sur tout intervalle ouvert ((a,b)) sur lequel (P_0), (P_1) et (F) sont tous continus et (P_0) n'a pas de zéros, puisque dans ce cas on peut réécrire eqref{eq:3.3.5} sous la forme eqref{eq:3.3.4} avec (p=P_1/P_0) et (f=F/P_0), ce qui sont tous deux continus sur ((a,b)).

Pour éviter des formulations maladroites dans les exemples et les exercices, nous ne spécifierons pas l'intervalle ((a,b)) lorsque nous demanderons la solution générale d'une équation linéaire du premier ordre spécifique. Admettons que cela signifie toujours que nous voulons la solution générale sur tout intervalle ouvert sur lequel (p) et (f) sont continus si l'équation est de la forme eqref{eq:3.3.4}, ou sur où (P_0), (P_1) et (F) sont continus et (P_0) n'a pas de zéros, si l'équation est de la forme eqref{eq:3.3.5}. Nous vous laissons le soin d'identifier ces intervalles dans des exemples et des exercices spécifiques.

Pour être complet, précisons que si (P_0), (P_1), et (F) sont tous continus sur un intervalle ouvert ((a,b)), mais (P_0) ( extcolor{blue}{mbox{does}} ) ont un zéro dans ((a,b)), alors eqref{eq:3.3.5} peut ne pas avoir de solution générale sur (( a,b)) au sens qui vient d'être défini. Comme il ne s'agit pas d'un point majeur à développer en profondeur, nous n'en discuterons pas davantage.

Équations linéaires homogènes du premier ordre

Nous commençons par le problème de trouver la solution générale d'une équation linéaire homogène du premier ordre. L'exemple suivant rappelle un résultat familier du calcul.

Exemple (PageIndex{2})

Soit (a) une constante.

a) Trouvez la solution générale de egin{equation} y'-ay=0.label{eq:3.3.6} end{equation}

b) Résoudre le problème de la valeur initiale (y'-ay=0,quad y(x_0)=y_0)

Réponse

a) Vous savez déjà par le calcul que si (c) est une constante, alors (y=ce^{ax}) satisfait eqref{eq:3.3.6}. Cependant, supposons que vous l'ayez oublié et utilisons ce problème pour illustrer une méthode générale de résolution d'une équation linéaire homogène du premier ordre. Nous savons que eqref{eq:3.3.6} a la solution triviale (equiv0). Supposons maintenant que (y) est une solution non triviale de eqref{eq:3.3.6}. Puis, puisqu'une fonction différentiable doit être continue, il doit y avoir un intervalle ouvert (I) sur lequel (y) n'a pas de zéros.

Nous réécrivons eqref{eq:3.3.6} comme ({y'over y}=a) pour (x) dans (I). L'intégration de ceci montre que (ln|y|=ax+k), donc (|y|=e^ke^{ax}) où (k) est une constante arbitraire. Puisque (e^{ax}) ne peut jamais être égal à zéro, (y) n'a pas de zéro, donc (y) est soit toujours positif, soit toujours négatif. Par conséquent, nous pouvons réécrire (y) comme

egin{equation}label{eq:3.3.7} y=ce^{ax} end{equation}

où (c=left{egin{array}{cl}phantom{-}e^k&mbox{if } y>0, -e^k&mbox{if } y<0. fin{tableau}droit.)

Cela montre que toute solution non triviale de eqref{eq:3.3.6} est de la forme (y=ce^{ax}) pour une constante non nulle (c). Puisque le réglage (c=0) donne la solution triviale, les solutions ({color{blue}it all}) de eqref{eq:3.3.6} sont de la forme eqref{eq:3.3. 7}. Inversement, eqref{eq:3.3.7} est une solution de eqref{eq:3.3.6} pour chaque choix de (c), puisque la différenciation de eqref{eq:3.3.7} donne (y' =as^{ax}=ay). La figure (PageIndex{1} ) montre les graphiques de quelques solutions correspondant à différentes valeurs de (c)

b) Imposer la condition initiale (y(x_0)=y_0) donne (y_0=ce^{ax_0}), donc (c=y_0e^{-ax_0}) et (y=y_0e^{ -ax_0}e^{ax}=y_0e^{a(x-x_0)})

Exemple (PageIndex{3})

a) Trouvez la solution générale de egin{equation} xy'+y=0.label{eq:3.3.8} end{equation}

b) Résoudre le problème de la valeur initiale egin{equation} xy'+y=0,quad y(1)=3.label{eq:3.3.9} end{equation}

Réponse

a) On réécrit eqref{eq:3.3.8} comme egin{equation}label{eq:3.3.10} y'+{1over x}y=0, end{equation} où (x ) est limité à ((-infty,0)) ou ((0,infty)). Si

(y) est une solution non triviale de eqref{eq:3.3.10}, il doit y avoir un intervalle ouvert (I) sur lequel (y) n'a pas de zéros. Nous pouvons réécrire eqref{eq:3.3.10} comme ({y'over y}=-{1over x}) pour (x) dans (I). L'intégration montre que (ln|y|=-ln|x|+k) donc (|y|={e^kover|x|}).

Puisqu'une fonction qui satisfait la dernière équation ne peut pas changer de signe sur ((-infty,0)) ou ((0,infty)), nous pouvons réécrire ce résultat plus simplement comme egin{equation }label{eq:3.3.11} y={cover x} end{equation}

où (c=left{egin{array}{cl}phantom{-}e^k&mbox{if } y>0, -e^k&mbox{if } y<0. fin{tableau}droit.)

Nous avons maintenant montré que chaque solution de eqref{eq:3.3.10} est donnée par eqref{eq:3.3.11} pour un certain choix de (c). (Même si nous avons supposé que (y) n'était pas trivial pour dériver eqref{eq:3.3.11}, nous pouvons obtenir la solution triviale en définissant (c=0) dans eqref{eq:3.3.11} .) Inversement, toute fonction de la forme eqref{eq:3.3.11} est une solution de eqref{eq:3.3.10}, puisque la différenciation de eqref{eq:3.3.11} donne (y'=- {cover x^2}), et en substituant ceci et eqref{eq:3.3.11} dans eqref{eq:3.3.10} donne

egin{eqnarray*}
y'+{1over x}y=-{frac{c} {x^2}}+{frac{1}{x}}{frac{c}{x}}=-{ frac{c}{x^2}}+{frac{c}{x^2}}=0.
end{eqnarray*}

La figure (PageIndex{2} ) montre les graphiques de quelques solutions correspondant à différentes valeurs de (c)

b) Imposer la condition initiale (y(1)=3) dans eqref{eq:3.3.11} donne (c=3). Par conséquent, la solution de eqref{eq:3.3.9} est (y={3over x}).

L'intervalle de validité de cette solution est ((0,infty)).

Les résultats de l'exemple 3 sont des cas particuliers du théorème suivant.

Théorème (PageIndex{1})

Si (p) est continue sur ((a,b),) alors la solution générale de l'équation homogène egin{equation}label{eq:3.3.12} y'+p(x)y= 0 end{equation} sur ((a,b)) est (y=ce^{-P(x)}),

où egin{equation}label{eq:3.3.13} P(x)=int p(x),dx end{equation} est une primitive quelconque de (p) sur ((a,b );) C'est,

egin{equation}label{eq:3.3.14} P'(x)=p(x),quad a

Preuve

Si (y=ce^{-P(x)}), en différenciant (y) et en utilisant eqref{eq:3.3.14} montre que (y'=-P'(x)ce^{ -P(x)}=-p(x)ce^{-P(x)}=-p(x)y,) donc (y'+p(x)y=0); c'est-à-dire que (y) est une solution de eqref{eq:3.3.12}, pour tout choix de (c).

Nous allons maintenant montrer que toute solution de eqref{eq:3.3.12} peut être écrite comme (y=ce^{-P(x)}) pour une constante (c). La solution triviale peut être écrite de cette façon, avec (c=0). Supposons maintenant que (y) est une solution non triviale. Ensuite, il y a un sous-intervalle ouvert (I) de ((a,b)) sur lequel (y) n'a pas de zéros. Nous pouvons réécrire eqref{eq:3.3.12} comme egin{equation}label{eq:3.3.15} {y'over y}=-p(x) end{equation} pour (x ) dans (I). L'intégration de eqref{eq:3.3.15} et le rappel de eqref{eq:3.3.13} donnent (ln|y|=-P(x) + k,) où (k) est une constante. Cela implique que (|y|=e^ke^{-P(x)}.)

Puisque (P) est défini pour tout (x) dans ((a,b)) et qu'une exponentielle ne peut jamais être égale à zéro, nous pouvons prendre (I=(a,b)), donc (y) a des zéros sur ((a,b)) donc nous pouvons réécrire la dernière équation comme (y=ce^{-P(x)}),

où (c=left{egin{array}{cl}phantom{-}e^k&mbox{if } y>0mbox{ on } (a,b), -e^k& mbox{if } y<0mbox{ sur }(a,b).end{array} ight.)

Réécrire une équation différentielle du premier ordre pour qu'un côté ne dépende que de (y) et (y') et l'autre ne dépende que de (x) est appelé ( extcolor{blue}{mbox{separation de variables}} ). En réécrivant eqref{eq:3.3.12} en eqref{eq:3.3.15}. Nous appliquerons cette méthode aux équations non linéaires dans la section 3.2.

Équations linéaires non homogènes du premier ordre

Nous allons maintenant résoudre l'équation non homogène egin{equation}label{eq:3.3.16} y'+p(x)y=f(x). end{équation}

En considérant cette équation, nous appelons (y'+p(x)y=0) la ( extcolor{blue}{mbox{équation complémentaire}} ).

On trouvera des solutions de eqref{eq:3.3.16} sous la forme (y=uy_1), où (y_1) est une solution non triviale de l'équation complémentaire et (u) est à déterminer . Cette méthode d'utilisation d'une solution de l'équation complémentaire pour obtenir des solutions d'une équation non homogène est un cas particulier d'une méthode appelée ( extcolor{blue}{mbox{variation of parameters}} ), que vous rencontrerez plusieurs fois dans ce livre.

(Évidemment, (u) ne peut pas être constant, car si c'était le cas, le côté gauche de eqref{eq:3.3.16} serait zéro. Reconnaissant cela, les premiers utilisateurs de cette méthode ont vu (u ) comme un ``paramètre'' qui varie; d'où le nom "variation de paramètres.'')

Si (y=uy_1) alors ( y'=u'y_1+uy_1'). La substitution de ces expressions pour (y) et (y') dans eqref{eq:3.3.16} donne (u'y_1+u(y_1'+p(x)y_1)=f(x), ) qui se réduit à egin{equation}label{eq:3.3.17} u'y_1=f(x) end{equation}

puisque (y_1) est une solution de l'équation complémentaire ; c'est-à-dire (y_1'+p(x)y_1=0.)

Dans la preuve du théorème 3.2.1 nous avons vu que (y_1) n'a pas de zéros sur un intervalle où (p) est continu. On peut donc diviser eqref{eq:3.3.17} par (y_1) pour obtenir (u'=f(x)/y_1(x).) On peut intégrer ceci (en introduisant une constante d'intégration) , et multipliez le résultat par (y_1) pour obtenir la solution générale de eqref{eq:3.3.16}. Avant de passer à la preuve formelle de cette affirmation, considérons quelques exemples.

Exemple (PageIndex{4}) :

Trouvez la solution générale de egin{equation}label{eq:3.3.18} y'+2y=x^3e^{-2x}.end{equation}

Réponse

En appliquant la partie(a) de l'exemple 3.2.3 avec (a=-2), on voit que (y_1=e^{-2x}) est une solution de l'équation complémentaire (y'+2y= 0). On cherche donc des solutions de eqref{eq:3.3.18} sous la forme (y=ue^{-2x}), de sorte que egin{equation} label{eq:3.3.19} y'=u 'e^{-2x}-2ue^{-2x} ext{ et } y'+2y=u'e^{-2x}-2ue^{-2x}+2ue^{-2x}=u'e ^{-2x} end{equation}

Donc (y) est une solution de eqref{eq:3.3.18} si et seulement si (u'e^{-2x}=x^3e^{-2x}) ou, de façon équivalente, ( u'=x^3.)

Donc (u={x^4over4}+c ) et (y=ue^{-2x}=e^{-2x}left({x^4over4}+c ight) ) est la solution générale de eqref{eq:3.3.18}.

La figure (PageIndex{3} ) montre quelques courbes intégrales pour eqref{eq:3.3.18}.

Exemple (PageIndex{5}) :

(a) Trouvez la solution générale egin{equation}label{eq:3.3.20} y'+(cot x)y=xcsc x.end{equation}

(b) Résoudre le problème de la valeur initiale egin{equation}label{eq:3.3.21} y'+(cot x)y=xcsc x,quad y(pi/2)=1. fin{équation}

Réponse

(a) Ici (p(x)=cot x) et (f(x)= xcsc x) sont tous les deux continus sauf aux points (x=rpi), où ( r) est un entier. On cherche donc les solutions de eqref{eq:3.3.20} sur les intervalles (left(rpi, (r+1)pi ight)). Nous avons besoin d'une solution non triviale (y_1) de l'équation complémentaire ; ainsi, (y_1) doit satisfaire (y_1'+(cot x)y_1=0), que nous réécrivons comme egin{equation}label{eq:3.3.22} {y_1'over y_1} =-cot x=-{cos xoversin x} end{equation}

L'intégration donne (ln|y_1|=-ln|sin x|,) où nous prenons la constante d'intégration à zéro puisque nous n'avons besoin que de ( extcolor{blue}{mbox{one}} ) fonction qui satisfait eqref{eq:3.3.22}. Il est clair que (y_1=1/sin x) est un choix approprié. On cherche donc des solutions de eqref{eq:3.3.20} sous la forme (y={uoversin x},) pour que egin{equation} label{eq:3.3.23} y' ={u'oversin x}-{ucos xoversin^2x} end{equation}

et egin{equation}label{eq:3.3.24} y'+(cot x)y={u' over sin x}-{u cos x over sin^2x}+{u cot x over sin x}={u' over sin x}-{u cos x oversin^2x}+{ucos xoversin^2 x}={u' oversin x}.end{equation}

Donc (y) est une solution de eqref{eq:3.3.20} si et seulement si (frac{u'}{sin x}=xcsc x=frac{x}{sin x}) ou, de manière équivalente, ( u'=x.)

L'intégration de ce rendement

egin{equation}label{eq:3.3.25} u={x^2over2}+c, ext y={uoversin x}= {x^2over 2sin x} + {coversin x}. end{équation}

est la solution générale de eqref{eq:3.3.20} sur chaque intervalle (left(rpi,(r+1)pi ight)) ((r=integer)).

(b) Imposer la condition initiale (y(pi/2)=1) dans eqref{eq:3.3.25} donne (1=frac{pi^2}{8}+c) ou (c=1-frac{pi^2}{8}.)

Ainsi,(y={x^2over 2sin x}+{(1-pi^2/8)oversin x}) est une solution de eqref{eq:3.3.21} . L'intervalle de validité de cette solution est ((0,pi));

La figure (PageIndex{4} ) montre son graphique.

Il n'était pas nécessaire de faire les calculs eqref{eq:3.3.23} et eqref{eq:3.3.24} dans l'exemple (PageIndex{5}) puisque nous avons montré dans la discussion précédente l'exemple ( PageIndex{5}) que si (y=uy_1) où (y_1'+p(x)y_1=0), alors (y'+p(x)y=u'y_1). Nous avons effectué ces calculs afin que vous puissiez voir cela se produire dans cet exemple spécifique. Nous vous recommandons d'inclure ces calculs « inutiles » dans vos exercices, jusqu'à ce que vous soyez sûr de bien comprendre la méthode. Après cela, omettez-les.

Nous résumons la méthode de variation des paramètres pour résoudre egin{equation} label{eq:3.3.26} y'+p(x)y=f(x) end{equation} comme suit :

(a) Trouvez une fonction (y_1) telle que ({y_1'over y_1}=-p(x).)

Pour plus de commodité, prenez la constante d'intégration égale à zéro.

(b) Écrivez egin{equation} label{eq:3.3.27} y=uy_1 end{equation} pour vous rappeler ce que vous faites.

(c) Écrivez (u'y_1=f) et résolvez pour (u'); ainsi, (u'=f/y_1).

(d) Intégrer (u') pour obtenir (u), avec une constante d'intégration arbitraire.

(e) Substituer (u) dans eqref{eq:3.3.27} pour obtenir (y).

Pour résoudre une équation écrite sous la forme (P_0(x)y'+P_1(x)y=F(x)) nous vous recommandons de diviser par (P_0(x)) pour obtenir une équation de la forme eqref{eq:3.3.26} puis suivez cette procédure.

Solutions sous forme intégrale

Parfois, les intégrales résultant de la résolution d'une équation linéaire du premier ordre ne peuvent pas être évaluées en termes de fonctions élémentaires. Dans ce cas, la solution doit être laissée en termes d'intégrale.

Exemple (PageIndex{6}) :

(a) Trouver la solution générale de (y'-2xy=1.)

(b) Résoudre le problème de la valeur initiale egin{equation}label{eq:3.3.28} y'-2xy=1, y(0)=y_0. end{équation}

Réponse

(a) Pour appliquer la variation des paramètres, nous avons besoin d'une solution non triviale (y_1) de l'équation complémentaire ; ainsi, (y_1'-2xy_1=0), que nous réécrivons comme ({y_1'over y_1}=2x.)

Intégrer ceci et prendre la constante d'intégration à zéro donne (ln|y_1|=x^2, |y_1|=e^{x^2}.)

On choisit (y_1=e^{x^2}) et on cherche les solutions de eqref{eq:3.3.28} sous la forme (y=ue^{x^2}), où (u' e^{x^2}=1, u'=e^{-x^2}).

Donc (u=c+int e^{-x^2}dx,) mais on ne peut pas simplifier l'intégrale de droite car il n'y a pas de fonction élémentaire de dérivée égale à (e^{-x^2} )

Par conséquent, la meilleure forme disponible pour la solution générale de eqref{eq:3.3.28} est egin{equation}label{eq:3.3.29} y=ue^{x^2}= e^{x^2 }left(c+int e^{-x^2}dx ight). end{équation}

(b) Puisque la condition initiale dans eqref{eq:3.3.28} est imposée à (x_0=0), il est commode de réécrire eqref{eq:3.3.29} comme (y=e^{ x^2}left(c+int^x_0 e^{-t^2} dt ight), int_0^0e^{-t^2},dt=0.)

Le réglage (x=0) et (y=y_0) ici montre que (c=y_0). Par conséquent, la solution du problème de la valeur initiale est egin{equation}label{eq:3.3.30} y=e^{x^2}left(y_0 +int^x_0 e^{-t^2}dt ight).end{equation}

Pour une valeur donnée de (y_0) et chaque (x fixe), l'intégrale de droite peut être évaluée par des méthodes numériques. Une autre procédure consiste à appliquer les procédures d'intégration numérique discutées au chapitre 3 directement au problème de la valeur initiale eqref{eq:3.3.28}.

La figure~ ef{figure:2.1.5} montre des graphiques de eqref{eq:3.3.30} pour plusieurs valeurs de (y_0).

egin{figure}[H]

centrage

scalebox{.9}{

includegraphics[bb=-78 148 689 643,width=5.67in,height=3.66in,keepaspectratio]{fig020105} }

Couleur bleue}

caption{Solutions de $y'-2xy=1$, $y(0)=y_{0}$}

label{figure:2.1.5}

fin{figure}

Un théorème d'existence et d'unicité

La méthode de variation des paramètres conduit à ce théorème.

Théorème (PageIndex{2})

Supposons (p) et (f) continus sur un intervalle ouvert ((a,b),) et soit (y_1) une solution quelconque non triviale de l'équation complémentaire (y'+p( x)y=0) sur ((a,b)).

Puis:

(a) La solution générale de l'équation non homogène egin{equation}label{eq:3.3.31} y'+p(x)y=f(x) end{equation} sur ((a,b) ) est

egin{equation}label{eq:3.3.32} y=y_1(x)left(c +int f(x)/y_1(x),dx ight) end{equation}

(b) Si (x_0) est un point arbitraire dans ((a,b)) et (y_0) est un nombre réel arbitraire, alors le problème de la valeur initiale (y'+p(x)y =f(x),quad y(x_0)=y_0) a l'unique solution

(y=y_1(x)left({y_0over y_1(x_0)} +int^x_{x_0} {f(t)over y_1(t)}, dt ight)) sur ((un B))

Preuve

(a) Pour montrer que eqref{eq:3.3.32} est la solution générale de eqref{eq:3.3.31} sur ((a,b)), nous devons prouver que :

(i) Si (c) est une constante, la fonction (y) dans eqref{eq:3.3.32} est une solution de eqref{eq:3.3.31} sur ((a,b )).

(ii) Si (y) est une solution de eqref{eq:3.3.31} sur ((a,b)) alors (y) est de la forme eqref{eq:3.3.32 } pour une constante (c).

Pour prouver part{i}, on observe d'abord que toute fonction de la forme eqref{eq:3.3.32} est définie sur ((a,b)), puisque (p) et (f ) sont continues sur ((a,b)). Différencier eqref{eq:3.3.32} donne (y'=y_1'(x)left(c +int f(x)/y_1(x),dx ight)+f(x). )

Puisque (y_1'=-p(x)y_1), ceci et eqref{eq:3.3.32} impliquent que egin{eqnarray*} y'&=&-p(x)y_1(x)left (c +int f(x)/y_1(x), dx ight)+f(x)&=&-p(x)y(x)+f(x),end{eqnarray* }

ce qui implique que (y) est une solution de eqref{eq:3.3.31}.

Pour prouver part{ii}, supposons que (y) soit une solution de eqref{eq:3.3.31} sur ((a,b)). D'après la preuve du théorème~ ef{thmtype:3.3.1}, nous savons que (y_1) n'a pas de zéros sur ((a,b)), donc la fonction (u=y/y_1) est défini sur ((a,b)).

De plus, puisque (y'=-py+f y_1'=-py_1,)

egin {eqnarray*}u'&=&{y_1y'-y_1'yover y_1^2}&=&{y_1(-py+f)-(-py_1)yover y_1^2}= {fover y_1}end{eqnarray*}

L'intégration de (u'=f/y_1) donne (u=left(c +int f(x)/y_1(x), dx ight),) ce qui implique eqref{eq:3.3. 32}, depuis (y=uy_1).

(b) Nous avons prouvé part{a}, où (int f(x)/y_1(x),dx) dans eqref{eq:3.3.32} est une primitive arbitraire de (f /y_1). Maintenant, il est pratique de choisir la primitive qui est égale à zéro lorsque (x=x_0), et d'écrire la solution générale de eqref{eq:3.3.31} comme (y=y_1(x)left(c +int ^x_{x_0} {f(t)sur y_1(t)}, dt ight).)

Puisque (y(x_0)= y_1(x_0)left(c +int^{x_0}_{x_0} {f(t)over y_1(t)}, dt ight)=cy_1(x_0) ,) on voit que (y(x_0)=y_0) si et seulement si (c=y_0/y_1(x_0)).


3.2 : Équations linéaires du premier ordre - Mathématiques

Une opération est linéaire si elle se comporte "bien" par rapport à la multiplication par une constante et à l'addition. Le nom vient de l'équation d'une droite passant par l'origine, $f(x)=mx$, et les deux propriétés suivantes de cette Tout d'abord, $f(cx)=m(cx)=c(mx)=cf(x)$, donc la constante $c$ peut être "déplacée à l'extérieur" ou "déplacée à travers" la fonction $f$ Deuxièmement, $f(x+y)=m(x+y)=mx+my= f(x)+f(y)$, donc le symbole d'addition peut également être déplacé dans la fonction.

Les propriétés correspondantes pour la dérivée sont :

Il est facile de voir, ou du moins de croire, que celles-ci sont vraies en pensant à l'interprétation distance/vitesse des dérivés. Si un objet est à la position $f(t)$ au temps $t$, nous savons que sa vitesse est donnée par $f'(t)$. Supposons qu'un autre objet soit à la position $5f(t)$ au temps $t$, c'est-à-dire qu'il soit toujours 5 fois plus loin sur la route que le premier objet. Ensuite, il "doit'' aller 5 fois plus vite à tout moment.

La deuxième règle est un peu plus compliquée, mais voici une façon de l'imaginer. Supposons qu'un wagon plat se trouve à la position $f(t)$ au temps $t$, donc le wagon se déplace à une vitesse de $f'(t)$ (pour être précis, disons que $f(t) $ donne la position sur la voie de l'extrémité arrière de la voiture). Supposons qu'une fourmi rampe de l'arrière de la voiture vers l'avant de sorte que sa position dans la voiture est $g(t)$ et sa vitesse par rapport à la voiture est $g'(t)$. Alors en réalité, à l'instant $t$, la fourmi est à la position $f(t)+g(t)$ le long de la piste, et sa vitesse est "évidemment'' $f'(t)+g'(t) $.

Nous ne voulons pas nous fier à une interprétation physique plus ou moins évidente pour déterminer ce qui est vrai mathématiquement, voyons donc comment vérifier ces règles par calcul. Nous en ferons un et laisserons l'autre pour les exercices. $eqalign< (f(x)+g(x)) &= lim_ cr &= lim_ cr &= lim_ cr &= lim_ left( + ight) cr &= lim_ + lim_ cr &=f'(x)+g'(x)cr >$ Ceci est parfois appelé le règle de somme pour les dérivés.

Exemple 3.2.1 Trouver la dérivée de $ds f(x)=x^5+5x^2$. Nous devons ici invoquer la linéarité deux fois : $f'(x) = (x^5+5x^2) = x^5 + (5x^2) = 5x^4+5(x^2) = 5x^4+5cdot 2x^1 = 5x^4+10x.$

Parce que c'est si facile avec un peu de pratique, nous pouvons généralement combiner toutes les utilisations de la linéarité en une seule étape. L'exemple suivant montre un calcul suffisamment détaillé.

Exemple 3.2.2 Trouver la dérivée de $ds f(x)=3/x^4-2x^2+6x-7$. $f'(x) = left( <3over x^4>-2x^2+6x-7 ight) = (3x^<-4>-2x^2+6x-7) = -12x^<-5>-4x+6.$


Équations linéaires du premier ordre

UNE équation différentielle linéaire du premier ordre a la forme suivante :

La solution générale est donnée par

appelé facteur d'intégration. Si une condition initiale est donnée, utilisez-la pour trouver la constante C .

Voici quelques étapes pratiques à suivre : 1. Si l'équation différentielle est donnée sous la forme

2. Trouvez le facteur d'intégration

3. Évaluez l'intégrale 4. Écrivez la solution générale

5. Si on vous donne un IVP, utilisez la condition initiale pour trouver la constante C .


Exemple : Trouver la solution particulière de :

Solution : Utilisons les étapes : Étape 1: Il n'est pas nécessaire de réécrire l'équation différentielle. On a

Étape 2: Facteur d'intégration

Étape 4: La solution générale est donnée par

Étape 5 : Afin de trouver la solution particulière à l'IVP donné, nous utilisons la condition initiale pour trouver C . En effet, nous avons

La solution est donc

Notez que vous n'aurez peut-être pas à faire la dernière étape si on vous demande de trouver la solution générale (pas un IVP).


Glossaire

Mathématique n'est pas seulement un programme puissant pour les mathématiques symboliques, il est également capable de gérer des calculs numériques sophistiqués. En fait, presque toutes les opérations symboliques ont une contrepartie numérique. Mathématique utilise une lettre spéciale N pour les évaluations numériques. L'un des problèmes les plus courants rencontrés en mathématiques numériques est la résolution d'équations. Ils sont définis dans Mathématique par un double signe égal. La commande de base dans Mathématique pour résoudre des équations est Résoudre. Cependant, pour les évaluations numériques, nous avons besoin d'autres procédures.

Supposons que nous ayons besoin de résoudre l'équation algébrique

pour certaines fonctions fluides f(x) et g(x). Mathématique a deux commandes de base, Un point fixe et NRésoudre, pour résoudre ces équations numériquement. Plus de détails peuvent être trouvés dans les trois premières sections de la partie III. Rappeler que PointFixe[f,expr] commence par expr, puis applique f à plusieurs reprises jusqu'à ce que le résultat ne change plus. NRésoudre fonctionne lorsqu'il est limité aux réels :

Exemple : supposons que nous voulions trouver une racine carrée de 4,5. Tout d'abord, nous appliquons Un point fixe commander:

ou 2.121320343559643. Une autre option est

qui est en fait la même valeur que la méthode de Newton fournit : 2.121320343559643

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Sous-section Analyse compartimentale ¶ lien permanent

Trouvez la solution générale egin y' + 3y = 2xe^ <-3x>end

Trouvez la solution générale egin 2xy' + y = 10sqrt finir

Trouver la solution particulière egin xy' + y = 3xy qquad y(1)=0 end

Trouver la solution particulière egin y' = (1-y)cos x qquad y(pi)=2 end

5 Équation de Bernoulli

L'équation egin frac + 2y = xy^ <-2>étiquette ag <2.3.4>end est un exemple d'équation de Bernoulli.

Montrer que la substitution (v=y^3) réduit l'équation (2.3.4) à l'équation egin frac + 6v = 3x étiquette ag <2.3.5>end

Résoudre l'équation (2.3.5) pour (v ext<.>) Puis faire la substitution (v=y^3) pour obtenir la solution de l'équation (2.3.4).

Un réservoir de 400 gal contient initialement 100 gal de saumure contenant 50 lb de sel. De la saumure contenant 1 lb de sel par gallon pénètre dans le réservoir à raison de 5 gal ⁄s, et la saumure bien mélangée dans le réservoir s'écoule à un débit de 3 gal ⁄s. Quelle quantité de sel le réservoir contiendra-t-il lorsqu'il sera plein de saumure ?


Calcul APEX

Dans la section précédente, nous avons exploré une technique spécifique pour résoudre un type spécifique d'équation différentielle appelée équation différentielle séparable. Dans cette section, nous développons et pratiquons une technique pour résoudre un type d'équation différentielle appelée linéaire du premier ordre équation différentielle.

Rappelons qu'une équation algébrique linéaire à une variable peut s'écrire (ax + b = 0 ext<,>) où (a) et (b) sont des nombres réels. Notez que la variable (x) apparaît à la première puissance. Les équations (sqrt+1=0) et (sin(x)-3x = 0) sont tous deux non linéaires. Une équation différentielle linéaire est une équation dans laquelle la variable dépendante et ses dérivées n'apparaissent qu'à la première puissance. Nous nous concentrons sur les équations du premier ordre, qui impliquent des dérivées de premier ordre (mais pas d'ordre supérieur) de la variable dépendante.

Figure 8.3.1. Introduction à la section 8.3 et présentation de l'exemple 8.3.3

Sous-section 8.3.1 Résolution d'équations linéaires du premier ordre

Définition 8.3.2 . Équation différentielle linéaire du premier ordre.

A est une équation différentielle qui s'écrit sous la forme

où (p) et (q) sont des fonctions arbitraires de la variable indépendante (x ext<.>)

Exemple 8.3.3. Classification des équations différentielles.

Classez chaque équation différentielle comme linéaire du premier ordre, séparable, les deux ou aucune.

  1. (displaystyle displaystyle yp = xy)
  2. (displaystyle displaystyle yp = e^y + 3x)
  3. (displaystyle displaystyle yp - (cos(x))y = cos(x))
  4. (displaystyle displaystyle yyp -3xy = 4ln(x))

Tous les deux. On identifie (p(x) = -x) et (q(x) = 0 ext<.>) La forme séparée de l'équation est (displaystyle frac = x,dx exte<.>)

Ni. Le terme (e^y) rend l'équation non linéaire. En raison de l'addition, il n'est pas possible d'écrire l'équation sous forme séparée.

Linéaire du premier ordre. On identifie (p(x) = -cos(x)) et (q(x) = cos(x) ext<.>) L'équation ne peut pas être écrite sous forme séparée.

Ni. Notez que la division par (y) donne le terme non linéaire (displaystyle frac<4ln(x)> ext<.>) Il n'est pas possible d'écrire l'équation sous forme séparée.

Notez que la linéarité dépend de la variable dépendante (y ext<,>) pas de la variable indépendante (x ext<.>) Les fonctions (p(x)) et (q(x) ) n'a pas besoin d'être linéaire, comme démontré dans la partie (c) de l'exemple 8.3.3. Ni (cos(x)) ni (sin(x)) ne sont des fonctions linéaires de (x ext<,>) mais l'équation différentielle est toujours linéaire.

Avant d'élaborer une technique générale pour résoudre les équations différentielles linéaires du premier ordre, nous examinons un exemple spécifique. Considérons l'équation différentielle

C'est une équation différentielle facile à résoudre. A gauche, la primitive de la dérivée est simplement la fonction (xy ext<.>) En utilisant la substitution (u = sin(x)) à droite et en intégrant les résultats dans la solution implicite

La résolution de (y) donne la solution explicite

Bien qu'elle ne soit pas évidente, l'équation différentielle ci-dessus est en fait une équation différentielle linéaire. En utilisant la règle du produit et la différenciation implicite, nous pouvons écrire (displaystyle fracgrand(xygrand) = xfrac + y ext<.>) Notre équation différentielle originale peut être écrite

Si on divise par (x ext<,>) on a

qui correspond à la forme de la définition 8.3.2. Inverser nos pas nous ramènerait à la forme originale de notre équation différentielle.

Dans les exemples de la section précédente, nous avons effectué des opérations sur la constante arbitraire (C ext<,>) mais toujours appelé le résultat (C ext<.>) La justification est que le résultat après l'opération est encore un contenu arbitraire. Ici, nous divisons (C) par (x ext<,>) donc le résultat dépend explicitement de la variable indépendante (x ext<.>) Puisque (C/x) est ne pas contant, nous ne pouvons pas simplement l'appeler (C ext<.>)

Comme motivé par le problème que nous venons d'explorer, l'idée de base derrière la résolution des équations différentielles linéaires du premier ordre est de multiplier les deux côtés de l'équation différentielle par une fonction, appelée un facteur d'intégration, ce qui fait que le côté gauche de l'équation ressemble à une règle de produit étendue. Nous condensons ensuite le membre de gauche dans la dérivée d'un produit et intégrons les deux côtés. Une question évidente est : « Comment trouvez-vous ce facteur d'intégration ? »

Figure 8.3.4 . Utilisation d'un facteur d'intégration pour résoudre une équation différentielle linéaire

Considérons l'équation linéaire du premier ordre

Appelons le facteur d'intégration (mu(x) ext<.>) Nous multiplions les deux membres de l'équation différentielle par (mu(x)) pour obtenir

Bien que nous utilisions (mu(x)) pour notre facteur d'intégration, le symbole est sans importance. The notation (mu(x)) is a common choice, but other texts my use (alpha(x), I(x) ext<,>) or some other symbol to designate the integrating factor.

Our goal is to choose (mu(x)) so that the left hand side of the differential equation looks like the result of a Product Rule. The left hand side of the equation is

Using the Product Rule and Implicit Differentiation,

Equating (frac ig ( mu(x) y ig )) and (mu(x) left ( frac + p(x)y ight )) gives

In order for the integrating factor (mu(x)) to perform its job, it must solve the differential equation above. But that differential equation is separable, so we can solve it. The separated form is

Following the steps outlined in the previous section, we should technically end up with (mu(x) = Ce^ ext<,>) where (C) is an arbitrary constant. Because we multiply both sides of the differential equation by (mu(x) ext<,>) the arbitrary constant cancels, and we omit it when finding the integrating factor.

If (mu(x)) is chosen this way, after multiplying by (mu(x) ext<,>) we can always write the differential equation in the form

Integrating and solving for (y ext<,>) the explicit solution is

Though this formula can be used to write down the solution to a first order linear equation, we shy away from simply memorizing a formula. The process is lost, and it's easy to forget the formula. Rather, we always always follow the steps outlined in Key Idea 8.3.5 when solving equations of this type.

Key Idea 8.3.5 . Solving First Order Linear Equations.

Write the differential equation in the form

Compute the integrating factor

Multiply both sides of the differential equation by (mu(x) ext<,>) and condense the left hand side to get

Integrate both sides of the differential equation with respect to (x ext<,>) taking care to remember the arbitrary constant.

Solve for (y) to find the explicit solution to the differential equation.

Let's practice the process by solving the two first order linear differential equations from Example 8.3.3.

Example 8.3.6 . Solving a First Order Linear Equation.

Find the general solution to (yp = xy ext<.>)

We solve by following the steps in Key Idea 8.3.5. Unlike the process for solving separable equations, we need not worry about losing constant solutions. The answer we find will be the general solution to the differential equation. We first write the equation in the form

By identifying (p(x) = -x ext<,>) we can compute the integrating factor

Multiplying both side of the differential equation by (mu(x) ext<,>) we have

The left hand side of the differential equation condenses to yield

The step where the left hand side of the differential equation condenses to the derivative of a product can feel a bit magical. The reality is that we choose (mu(x)) so that we can get exactly this condensing behavior. It's not magic, it's math! If you're still skeptical, try using the Product Rule and Implicit Differentiation to evaluate (displaystyle fracleft (e^<-frac<1><2>x^2>y ight) ext<,>) and verify that it becomes (e^<-frac<1><2>x^2>left(displaystyle frac - xy ight) ext<.>)

We integrate both sides with respect to (x) to find the implicit solution

Example 8.3.7 . Solving a First Order Linear Equation.

Find the general solution to (yp -(cos(x))y = cos(x) ext<.>)

The differential equation is already in the correct form. The integrating factor is given by

Multiplying both sides of the equation by the integrating factor and condensing,

Using the substitution (u = -sin(x) ext<,>) we can integrate to find the implicit solution

The explicit form of the general solution is

We continue our practice by finding the particular solution to an initial value problem.

Example 8.3.8 . Solving a First Order Linear Initial Value Problem.

Solve the initial value problem (displaystyle xyp - y = x^3ln(x) ext<,>) with (y(1)=0 ext<.>)

We first divide by (x) to get

The integrating factor is given by

Multiplying both sides of the differential equation by the integrating factor and condensing the left hand side, we have

Using Integrating by Parts to find the antiderivative of (xln(x) ext<,>) we find the implicit solution

Solving for (y ext<,>) the explicit solution is

The initial condition (y(1) = 0) yields (C = 1/4 ext<.>) The solution to the initial value problem is

Differential equations are a valuable tool for exploring various physical problems. This process of using equations to describe real world situations is called mathematical modeling, and is the topic of the next section. The last two examples in this section begin our discussion of mathematical modeling.

Example 8.3.9 . A Falling Object Without Air Resistance.

Suppose an object with mass (m) is dropped from an airplane. Find and solve a differential equation describing the vertical velocity of the object assuming no air resistance.

The basic physical law at play is Newton's second law,

Using the fact that acceleration is the derivative of velocity, mass × acceleration can be writting (mv' ext<.>) In the absence of air resistance, the only force of interest is the force due to gravity. This force is approximately constant, and is given by (mg ext<,>) where (g) is the gravitational constant. The word equation above can be written as the differential equation

Because (g) is constant, this differential equation is simply an integration problem, and we find

Since (v = C) with (t=0 ext<,>) we see that the arbitrary constant here corresponds to the initial vertical velocity of the object.

The process of mathematical modeling does not stop simply because we have found an answer. We must examine the answer to see how well it can describe real world observations. In the previous example, the answer may be somewhat useful for short times, but intuition tells us that something is missing. Our answer says that a falling object's velocity will increase linearly as a function of time, but we know that a falling object does not speed up indefinitely. In order to more fully describe real world behavior, our mathematical model must be revised.

Figure 8.3.10 . Video presentation of Examples 8.3.9–8.3.11

Example 8.3.11 . A Falling Object with Air Resistance.

Suppose an object with mass (m) is dropped from an airplane. Find and solve a differential equation describing the vertical velocity of the object, taking air resistance into account.

We still begin with Newon's second law, but now we assume that the forces in the object come both from gravity and from air resistance. The gravitational force is still given by (mg ext<.>) For air resistance, we assume the force is related to the velocity of the object. A simple way to describe this assumption might be (kv^

ext<,>) where (k) is a proportionality constant and (p) is a positive real number. The value (k) depends on various factors such as the density of the object, surface area of the object, and density of the air. The value (p) affects how changes in the velocity affect the force. Taken together, a function of the form (kv^

) is often called a power law. The differential equation for the velocity is given by

(Notice that the force from air resistance opposes motion, and points in the opposite direction as the force from gravity.) This differential equation is separable, and can be written in the separated form

For arbitrary positive (p ext<,>) the integration is difficult, making this problem hard to solve analytically. In the case that (p=1 ext<,>) the differential equation becomes linear, and is easy to solve either using either separation of variables or integrating factor techniques. We assume (p=1 ext<,>) and proceed with an integrating factor so we can continue practicing the process. Writing


Kansas State University

Étape 1: Find the integrating factor $ mu(x)=e^=e^<2log(x)>=x^2 $ Étape 2: Multiply through by the integrating factor $ x^2frac+2xy=4x^2 $ Étape 3: Recognize the left hand side as the derivative of $mu y$. $ frac(x^2y)=4x^2 $ Étape 4: Integrate both sides $ x^2y=int 4x^2,dx=(4/3)x^3+C $ Étape 5 : Solve for $y$. $ y(x)=(4/3)x+Cx^ <-2>$ EXAMPLE: Solve the initial value problem $dy/dx+2xy=1, y(1)=2$.

FIRST: Find the general solution.

Step 4: $displaystyle e^y=int e^,dx=. $

Unfortunately, I don't know the indefinite integral of $e^$. So I leave the integral as a definite integral with $x$ as the upper limit to give me a function of $x$ and $1$ as the lower limit because the initial value is given at $1$ (you'll see why that matters in a second). And I won't forget the constant of integration.

Step 4: (Take Two) $displaystyle e^y=int_1^x e^,ds+C$

SECOND: Solve the initial value problem by plugging in. $ egin y(1)=e^<-1^2>int_1^1 e^,ds+Ce^<-1^2>&<uildrel extover => 2 C&=2e end $ While I don't know the indefinite integral of $e^$, I do know that the integral of anything from $1$ to $1$ is $. That is the advantage of choosing the lower limit to be the same as the place where the initial value is given. So the final answer is $y(x)=e^<-x^2>int_1^x e^,ds+2e^<1-x^2>$


Linear Equations

A linear first order ordinary differential equation (ODE) can be used as a mathematical model for a variety of phenomena, either physical or non-physical. Examples of such phenomena include the following: heat flow problems (thermodynamics), simple electrical circuits (electrical engineering), force problems (mechanics), rate of bacterial growth (biological science), rate of decomposition of radioactive material (atomic physics), crystallization rate of a chemical compound (chemistry), and rate of population growth (statistics). Most of these problems, however, appear in systems of differential equations that are considered in the second course.

A differential equation, written in the normal form:

is called the linear equation, où a(x) is a coefficient function and f(x) is the forcing, driving, input, or nonhomogeneous term. If the driving term f(x) is not identically zero, then the linear equation is called nonhomogeneous/inhomogeneous or driven. Otherwise, it is called the homogeneous equation.

Theorem: Laisser a(x) et f(x) be continuous functions on the open interval (a,b), and let ( x_0 in (a,b) . ) Then for each ( x in (a,b) ) there exists a unique solution ( y = phi (x) ) to the differential equation ( y' + a(x),y = f(x) ) that also satisfies the initial value condition that ( y(x_0 ) = y_0 ) for any real number oui0. Moreover, this initial value problem has no singular solution. ■

Note that if the interval in the above theorem is the largest possible interval on which a(x) et f(x) are continuous, then the interval is the interval of validity for the solution. This means, that for linear first order differential equations, we won't need to actually solve the differential equation in order to find the largest possible interval where the solution exists and continuous (such interval is called the validity interval). Notice as well that the interval of validity will depend only partially on the initial condition. The interval must contain X0, but the value of oui0 has no effect on the interval of validity.

Example: validity interval

Example: validity interval: Determine the validity interval for the initial value problem

Solution: First, in order to use the theorem to find the interval of validity, we must rewrite the differential equation in the normal form given in the theorem. So we need to divide out by the coefficient of the derivative.

Next, we need to identify where the two functions ( a(x) = frac<3> ) and ( f(x) = frac ) are not continuous. This will allow us to find all possible intervals of validity for the differential equation. Alors, a(x) is discontinuous at ( x= pm 2 , ) while f(x) is also undefined at X = 7. Now, with these points in hand, we can break up the real number line into four intervals where both a(x) et f(x) will be continuous. These four intervals are,

A linear homogeneous (also called not driven) equation

Exemple: Consider the homogeneous linear equation

For nonhomogeneous linear equation, there are known two systematic methods to find their solutions: integrating factor method and the Bernoulli method.

Integrating factor method allows us to reduce a linear differential equation in normal form ( y' + a(x),y = f(x) ) to an exact equation. There always exists an integrating factor &mu(x) as a function of X:

The Bernoulli method suggests to seek a solution of the inhomogeneous linear differential equation (it does not matter whether the equation is in normal form or not) ( y' + a(x),y = f(x) ) in the form of the product of two functions:

Exemple: Consider the nonhomogeneous equation

Its solution can be obtained in one line Mathematica code:

Now we apply the Bernoulli method: ( y(x) = u(x),v(x) , ) where vous is a solution of the homogeneous equation

Exemple: Consider another example for a linear equation with variable coefficients:

We use an integrating factor method by solving the corresponding homogeneous/separable equation for &mu(x):

Now we demonstrate the Bernoulli method: ( y(x) = u(x), v(x) , ) where u(x) is a solution of the homogeneous part ( x, u' -5,u =0 ) and v(x) is obtained upon solving the separable equation ( x,u, v' = 27, x^7 , e^x . ) Integrating these sequential equations

Exemple: Solve the IVP: ( 3ty' +2y=t^2 , quad y(1)=1 . ) We try to find its solution using Mathematica:

Exemple: Using Mathematica, solve the linear differential equation: ( y' = e^ <-2x>-3,y , ) and plot some its solutions.

In DSolve command, the first argument (y'[x]==Exp[-2 x]-3 y[x]) represents the differential equation, the second argument (y[x]) instructs Mathematica that we are solving for y=y(x), and the third argument (x) instructs Mathematica that the independent variable is x.
Note that gensol is a nested list. The first part of gensol, extracted with gensol[[1]], is the list (y(x)->E^(-2 x) + E^(-3 x) C[1])
and the first part of this list, extracted with gensol[[1,1,1]], is y(x) while the second part of this list
(which represents the formula for the solution), extracted with gensol[[1,1,2]], is y=E^(-2 x) + E^(-3 x) C[1]

Exemple: In mining, “mine tailing” are what is left after everything valuable (such as a mineral, coal, or oil) has been removed. The material that is left over after the minerals, coal, or oil is extracted often presents a great deal of hazard to the environment. One of the ways of processing mine tailing is to store them in a pong this method is commonly used when water is used in the mining extraction. This method allows any particles that are suspended in the water to settle at the bottom of the pond. The water can then be treated and recycled.

Suppose that we have a gold mining operation and we are storing our tailing in a pond that has an initial volume of 100,000 cubic meters. When we begin our operation, the pond is filled with clean water. The pond has a stream flowing into it, and water is also being pumped out of the pond. Chemicals are used as a way to process gold ore, which is the material being extracted in this operation. Chemicals that are used, like sodium cyanide, are often highly poisonous and harmful to the environment. Thus, the water must be treated before it is released into the watershed. Suppose that 3,000 cubic meters per day flow into the pond from stream, and 3,000 cubic meters are pumped out of the pond each day to be processed and recycled. Since inflow and outflow are equal, the water level of the pond remains constant.

At time t=0, the water from stream becomes contaminated with chemicals from the mining operation at a rate of 10 kilograms of chemicals per 1000 cubic meters. We will assume that water in our tailing pond is well mixed so that the concentration of chemicals throughout the pond is uniform. In addition, any matter pumped into the pond from the stream settles to the bottom of the pond at a rate of 100 cubic meters per day. Thus, the volume of the pond is reduced by 100 cubic meters each day, and will become full after 500 days of operation. We shall assume that the particulate matter and the chemicals are included in the 1000 cubic meters that flow into the pond from the stream each day.

We want to find a differential equation that will model the amount of chemicals in the tailing pond at any particular time. Laisser y(t) be the amount of chemicals in the pond at time t. Then ( < ext d>y/< ext d>t ) is the difference between the rate at which the chemicals enter the pond and the rate at which the chemicals leave the pond.

Since water flows into the pond from the stream at a rate of 1000 cubic meters per day, the rate as which the chemicals enter the pond is 10 kilograms per day. On the other hand, the rate at which the chemicals leave the pond will depend on the amount of chemicals in the pond at time t. The volume of the pond is decreasing due to sediment, and at time t it is V(t)=100000−100t. Thus, the concentration of chemicals in the pond at time t est y/(100000−100t), and the rate at which the chemicals are flowing out of the pond to be recycled is

Notice that the above equation is not autonomous. In fact, it is not even separable. We will have to use a different approach to find a solution. First, we will rewrite the equation in the form suitable for an integrating factor

Example: Mixing Models. Many applications involve the mixing of two or more substances together. We can model how petroleum products are mixed together in a refinery, how various ingredients are mixed together in a brewery, or how greenhouse gases mix and move across various layers of the earth's atmosphere. Basically, it consists of finding a formula for the amount of some "pollutant" in a container, into which pollutant is entering at a fixed rate and also flowing out at a fixed rate. The general physical rule used to describe this situation is

Suppose that a 400-liter tank initially contains 200 liters of salt water containing 2 kilograms of salt. A brine mixture containing 1/10 kilograms of salt per liter flows into the top of the tank at a rate of 4 liters per minute. A well-mixed solution leaves the tank at rate of 3 liters per minute. We wish to know how much salt is in the tank, when the tank is full.

To construct our model, we will let t be the time (measured in minutes) and set up a differential equation that will measure how fast the amount of salt at time t, y(t), is changing. We have the initial condition y(0) = 5, et

Example: gas in magma affects volcanic eruptions. Many andesitic volcanoes exhibit effusive eruption activity, with magma volumes as large as 10 7 -- 10 9 m 3 erupted at rates of 1 -- 10 m 3 /s over periods of years or decades. During such eruptions, many complex cycles in eruption rates have been observed, with periods ranging from hours to years. Longerterm trends have also been observed, and are thought to be associated with the continuing recharge of magma from deep in the crust and with waning of overpressure in the magma reservoir. Here we present a model which incorporates effects due to compressibility of gas in magma. The eruption duration and volume of erupted magma may increase by up to two orders of magnitude if the stored internal energy associated with dissolved volatiles can be released into the magma chamber. This mechanism would be favored in shallow chambers or volatile-rich magmas and the cooling of magma by country rock may enhance this release of energy, leading to substantial increases in eruption rate and duration.

Consider a magma with bulk density &rho in a chamber of volume V undergoing a mass recharge rate Qi and eruption rate Q0. Conservation of mass indicates that

It is known that the rate of change in volume of the chamber, ( < ext d>V / < ext d>t , ) is related to the associated rate of change in pressure, ( < ext d>p / < ext d>t , ) as a result of deformation of the surrounding rock by:

Although the initial equation has partial derivatives, it can be assumed for the sake of this model that temperature is constant throughout the eruption thus the equation can be simplified to an ODE and solved both numerically and analytically.

Example: adding milk to coffee. Usually, there is a gap in time between you drink coffee and add cold mild to hot coffee. The temperature inside a mug of coffee is governed by the Newtons's equation.

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    1. Ordinary Differential Equations (11 equations)
      (0 equations) (3 equations) (3 equations) (1 equations) (1 equations) (2 equations) (1 equations)
      (3 equations) (0 equations) (1 equations)
      (12 equations) (13 equations) (7 equations) (2 equations) (24 equations) (1 equations)
      (17 equations) (41 equations) (0 equations) (106 equations) (21 equations) (5 equations) (27 equations) (1 equations)
      (4 equations) (1 equations) (5 equations) (4 equations) (1 equations) (8 equations)
      (2 equations) (1 equations) (9 equations) (0 equations)

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    First Order Differential Equations

    The first technique, for use on first order 'separable' differential equations, is separation of variables. A first order differential equation (dy/dt) is said to be separable if it can be written in the form:

    Then, separation of variables means to divide through by (f(y)) and then integrate with respect to (t), i.e.:

    There's really no more to it than that! Though of course the integrals on the left and right hand sides may not be particularly simple ones they'l often require you to make a substitution. That's one of the reasons why knowing A-Level integration inside out is of key importance and you should consider going through Module 10 as well for some hints and tips there.

    The Method of Integrating Factors

    Our second technique exploits the product rule for differentiation to solve first order differential equations that can be written in the form:

    Our aim is to be able to write the left hand side as ( frac

    [g(t)y]) for some function (g(t)). You don't need to worry too much about why, but if we take (g(t)=e^ ) then we have what we want. (g) here is what we usually refer to as our integrating factor. Specifically, this means our steps are:

    Now, as a hopefully illuminating example, lets take the simple case:

    Then our integrating factor is:

    And we have jumping to the final formula above:

    So, they're the two techniques you'll need to become familiar with to begin to tackle STEP first order differential equation problems. To really test things out though, lets proceed to work through part of a past STEP question.

    Exemple

    This extract is from Question 6 on STEP III 2008 and it gives a nice introduction to first order differential equations in STEP. Firstly, we're first asked to differentiate (y) with respect to (x). The import thing to remember is that (p) is itself a function of (x) and so we're doing implicit differentiation. We find:

    Then, realising the LHS (dy/dx) can be replaced by (p) and rearranging suitabily we find:

    So, now we've got ourselves a differential equation for (x) that we need to solve. We ask ourselves firstly if it is separable, and the answer should hopefully clearly be no. But, it is of the form that allows us to use integrating factors. This should be a lot clearer if we write it as:

    First then, we need to find our integrating factor. Here it is given by:

    Therefore multiplying through and proceeding along the steps we went through in general earlier, or jumping to the final formula, we have:

    as required. Then our condition (p=-3), (x=2) gives us (A):

    (hspace <1.7 in>2=-frac<2><3>(-3)+A frac<1> <(-3)^2>Rightarrow 2=2+A frac<1> <9>Rightarrow A=0. )

    So, we have (x=-frac<2><3>p) or (p=-frac<3><2>x), and substituting this in our original equation for (y) we have our final answer:


    Voir la vidéo: Équations différentielles linéaires de 1er ordre partie1 (Décembre 2021).