Des articles

Exercices de substitution en U 5.5E & 5.6E


5.5 : Remplacement

Dans les exercices suivants, trouvez la primitive.

261) (displaystyle∫(x+1)^4dx)

Réponse:
(displaystylefrac{1}{5}(x+1)^5+C)

262) (displaystyle∫(x−1)^5dx)

263) (displaystyle∫(2x−3)^{−7}dx)

Réponse:
(displaystyle−frac{1}{12(3−2x)^6}+C)

264) (displaystyle∫(3x−2)^{−11}dx)

265) (displaystyle∫frac{x}{sqrt{x^2+1}}dx)

Réponse:
(displaystylesqrt{x^2+1}+C)

266) (displaystyle∫frac{x}{sqrt{1−x^2}}dx)

267) (displaystyle∫(x−1)(x^2−2x)^3dx)

Réponse:
(displaystylefrac{1}{8}(x^2−2x)^4+C)

268) (displaystyle∫(x^2−2x)(x^3−3x^2)^2dx)

269) (displaystyle∫cos^3θdθ(Indice :cos^2θ=1−sin^2θ))

Réponse:
(displaystylesinθ−frac{sin^3θ}{3}+C)

270) (displaystyle∫sin^3θdθ(Indice :sin^2θ=1−cos^2θ))

271) (displaystyle∫x(1−x)^{99}dx)

Solution : (displaystylefrac{(1−x)^{101}}{101}−frac{(1−x)^{100}}{100}+C)

272) (displaystyle∫t(1−t^2)^{10}dt)

273) (displaystyle∫(11x−7)^{−3}dx)

Réponse:
(displaystyle−frac{1}{22(7−11x^2)}+C)

274) (displaystyle∫(7x−11)^4dx)

275) (displaystyle∫cos^3θsinθdθ)

Réponse:
(displaystyle−frac{cos^4θ}{4}+C)
276) (displaystyle∫sin^3θdθ;u=cosθ (Indice :sin^2θ=1−cos^2θ))

(exercices supprimés 277-280)

281) (displaystyle∫frac{x^2}{(x^3−3)^2}dx)

Réponse:
(displaystyle−frac{1}{3(x^3−3)}+C)

Dans les exercices suivants, évaluez l'intégrale définie.

292) (displaystyle∫^1_0xsqrt{1−x^2}dx)

293) (displaystyle∫^1_0frac{x}{sqrt{1+x^2}}dx)

Réponse:
(displaystyle u=1+x^2,du=2xdx,frac{1}{2}∫^2_1u^{−1/2}du=sqrt{2}−1)

294) (displaystyle∫^2_0frac{t}{sqrt{5+t^2}}dt)

295) (displaystyle∫^1_0frac{t}{sqrt{1+t^3}}dt)

Réponse:
(displaystyle u=1+t^3,du=3t^2,frac{1}{3}∫^2_1u^{−1/2}du=frac{2}{3}(sqrt{ 2}−1))

296) (displaystyle∫^{π/4}_0sec^2θtanθdθ)

297) (displaystyle∫^{π/4}_0frac{sinθ}{cos^4θ}dθ)

Réponse:
(displaystyle u=cosθ,du=−sinθdθ,∫^1_{1/sqrt{2}}u^{−4}du=frac{1}{3}(2sqrt{2}−1 ))

J5.5.1)

J5.5.2)

5.6 : Intégrales impliquant des fonctions exponentielles et logarithmiques

Dans les exercices suivants, calculez chaque intégrale indéfinie.

320) (displaystyle e^{2x}dx)

321) (displaystyle e^{−3x}dx)

Réponse:
(displaystyle frac{−1}{3}e^{−3x}+C)

322) (displaystyle ∫2^xdx)

323) (displaystyle ∫3^{−x}dx)

Réponse:
(displaystyle −frac{3^{−x}}{ln3}+C)

324) (displaystyle ∫frac{1}{2x}dx)

325) (displaystyle ∫frac{2}{x}dx)

Réponse:
(displaystyle ln(x^2)+C) ou (displaystyle 2ln|x|+C)

326) (displaystyle ∫frac{1}{x^2}dx)

327) (displaystyle ∫frac{1}{sqrt{x}}dx)

Réponse:
(displaystyle 2sqrt{x}+C)

Dans les exercices suivants, trouvez chaque intégrale indéfinie en utilisant les substitutions appropriées.

328) (displaystyle frac{lnx}{x}dx)

329) (displaystyle frac{dx}{x(lnx)^2})

Réponse:
(displaystyle −frac{1}{lnx}+C)

336) (displaystyle ∫xe^{−x^2}dx)

337) (displaystyle ∫x^2e^{−x^3}dx)

Réponse:
(displaystyle frac{−e^{−x^3}}{3}+C)

338) (displaystyle e^{sinx}cosxdx)

339) (displaystyle e^{tanx}sec^2xdx)

Réponse:
(displaystyle e^{tanx}+C)

340) (displaystyle e^{lnx}frac{dx}{x})

341) (displaystyle frac{e^{ln(1−t)}}{1−t}dt)

Réponse:
(style d'affichage t+C)

Dans les exercices suivants, évaluez l'intégrale définie.

355) (displaystyle ∫^2_1frac{1+2x+x^2}{3x+3x^2+x^3}dx)

Réponse:
(displaystyle frac{1}{3}ln(frac{26}{7}))

356) (displaystyle ∫^{π/4}_0tanxdx)

357) (displaystyle ∫^{π/3}_0frac{sinx−cosx}{sinx+cosx}dx)

Réponse:
(displaystyle ln(sqrt{3}−1))

358) (displaystyle ∫^{π/2}_{π/6}cscxdx)

359) (displaystyle ∫^{π/3}_{π/4}cotxdx)

Réponse:
(displaystyle frac{1}{2}lnfrac{3}{2})

Dans les exercices suivants, intégrez en utilisant la substitution indiquée.

360) (displaystyle frac{x}{x−100}dx;u=x−100)

361) (displaystyle frac{y−1}{y+1}dy;u=y+1)

Réponse:
(displaystyle y−2ln|y+1|+C)

362) (displaystyle frac{1−x^2}{3x−x^3}dx;u=3x−x^3)

363) (displaystyle ∫frac{sinx+cosx}{sinx−cosx}dx;u=sinx−cosx)

Réponse:
(displaystyle ln|sinx−cosx|+C)

364) (displaystyle e^{2x}sqrt{1−e^{2x}}dx;u=e^{2x})

365) (displaystyle ln(x)frac{sqrt{1−(lnx)^2}}{x}dx;u=lnx)

Réponse:
(displaystyle −frac{1}{3}(1−(lnx^2))^{3/2}+C)

Dans les exercices suivants, (displaystyle f(x)≥0) pour (displaystyle a≤x≤b). Trouvez l'aire sous le graphique de (displaystyle f(x)) entre les valeurs données a et b en intégrant.

372) (displaystyle f(x)=frac{log_{10}(x)}{x};a=10,b=100)

373) (displaystyle f(x)=frac{log_2(x)}{x};a=32,b=64)

Réponse:
(displaystyle frac{11}{2}ln2)

374) (displaystyle f(x)=2^{−x};a=1,b=2)

375) (displaystyle f(x)=2^{−x};a=3,b=4)

Réponse:
(displaystyle frac{1}{ln(65,536)})

376) Trouvez l'aire sous le graphe de la fonction (displaystyle f(x)=xe^{−x^2}) entre (displaystyle x=0) et (displaystyle x=5) .

377) Calculer l'intégrale de (displaystyle f(x)=xe^{−x^2}) et trouver la plus petite valeur de N tel que l'aire sous le graphe (displaystyle f(x)=xe^{−x^2}) entre (displaystyle x=N) et (displaystyle x=N+10) est, au plus 0,01.

Réponse:
(displaystyle ∫^{N+1}_Nxe^{−x^2}dx=frac{1}{2}(e^{−N^2}−e^{−(N+1)^2 }).) La quantité est inférieure à 0,01 lorsque (displaystyle N=2).

378) Trouver la limite, lorsque N tend vers l'infini, de l'aire sous le graphe de (displaystyle f(x)=xe^{−x^2}) entre (displaystyle x=0) et (style d'affichage x=5).

379) Montrer que (displaystyle ∫^b_afrac{dt}{t}=∫^{1/a}_{1/b}frac{dt}{t}) quand (displaystyle 0< a≤b).

Réponse:
(displaystyle ∫^b_afrac{dx}{x}=ln(b)−ln(a)=ln(frac{1}{a})−ln(frac{1}{b})= ∫^{1/a}_{1/b}frac{dx}{x})

380) Supposons que (displaystyle f(x)>0) pour tout X et cela F et g sont différenciables. Utilisez l'identité (displaystyle f^g=e^{glnf}) et la règle de la chaîne pour trouver la dérivée de (displaystyle f^g).

381) Utilisez l'exercice précédent pour trouver la primitive de (displaystyle h(x)=x^x(1+lnx)) et évaluez (displaystyle ∫^3_2x^x(1+lnx)dx).

Réponse:
23

382) Montrer que si (displaystyle c>0), alors l'intégrale de (displaystyle 1/x) de ac à avant JC (displaystyle (0une à b.

Les exercices suivants sont destinés à dériver les propriétés fondamentales du logarithme naturel à partir de la définition (displaystyle ln(x)=∫^x_1frac{dt}{t}), en utilisant les propriétés de l'intégrale définie et en ne faisant aucune suppositions supplémentaires.

383) Utilisez l'identité (displaystyle ln(x)=∫^x_1frac{dt}{t}) pour dériver l'identité (displaystyle ln(frac{1}{x})=−lnx ).

Solution : On peut supposer que (displaystyle x>1),donc (displaystyle frac{1}{x}<1.) Alors, (displaystyle ∫^{1/x}_{1 }frac{dt}{t}). Faites maintenant la substitution (displaystyle u=frac{1}{t}), donc (displaystyle du=−frac{dt}{t^2}) et (displaystyle frac{du }{u}=−frac{dt}{t}), et modifiez les points de terminaison : (displaystyle ∫^{1/x}_1frac{dt}{t}=−∫^x_1frac{du }{u}=−lnx.)

384) Utiliser un changement de variable dans l'intégrale (displaystyle ∫^{xy}_1frac{1}{t}dt) pour montrer que (displaystyle lnxy=lnx+lny) pour (displaystyle x,y>0).

385) Utilisez l'identité (displaystyle lnx=∫^x_1frac{dt}{x}) pour montrer que (displaystyle ln(x)) est une fonction croissante de X sur (displaystyle [0,∞)), et utilisez les exercices précédents pour montrer que la plage de (displaystyle ln(x)) est (displaystyle (−∞,∞)). Sans aucune autre hypothèse, concluez que (displaystyle ln(x)) a une fonction inverse définie sur (displaystyle (−∞,∞).)

386) Imaginez, pour le moment, que nous ne savons pas que (displaystyle e^x) est la fonction inverse de (displaystyle ln(x)), mais gardez à l'esprit que (displaystyle ln( x)) a une fonction inverse définie sur (displaystyle (−∞,∞)). Appeler E. Utilisez l'identité (displaystyle lnxy=lnx+lny) pour en déduire que (displaystyle E(a+b)=E(a)E(b)) pour tout nombre réel un B.

387) Imaginez, pour le moment, que nous ne savons pas que (displaystyle e^x) est la fonction inverse de (displaystyle lnx), mais gardez à l'esprit que (displaystyle lnx) a un fonction inverse définie sur (displaystyle (−∞,∞)). Montrez que (displaystyle E'(t)=E(t).)

Solution : (displaystyle x=E(ln(x)).) Ensuite, (displaystyle 1=frac{E'(lnx)}{x}) ou (displaystyle x=E'( lnx)). Puisque n'importe quel nombre t peut être écrit (displaystyle t=lnx) pour certains X, et pour un tel t nous avons (displaystyle x=E(t)), il s'ensuit que pour tout (displaystyle t,E'(t)=E(t).)

388) L'intégrale sinus, définie comme (displaystyle S(x)=∫^x_0frac{sint}{t}dt) est une quantité importante en ingénierie. Bien qu'il n'ait pas de formule fermée simple, il est possible d'estimer son comportement pour un grand x. Montrez que pour (displaystyle k≥1,|S(2πk)−S(2π(k+1))|≤frac{1}{k(2k+1)π}.) (Indice : ( displaystyle sin(t+π)=−sint))

389) [T] La distribution normale en probabilité est donnée par (displaystyle p(x)=frac{1}{σsqrt{2π}}e^{−(x−μ)^2/2σ^2 }), où σ est l'écart type et μ est la moyenne. La distribution normale standard en probabilité, (displaystyle p_s), correspond à (displaystyle μ=0) et (displaystyle σ=1). Calculez les estimations du point final gauche (displaystyle R_{10}) et (displaystyle R_{100}) de (displaystyle ∫^1_{−1}frac{1}{sqrt{2π}} e^{−x^{2/2}}dx.)

Solution : (displaystyle R_{10}=0.6811,R_{100}=0.6827)

390) [T] Calculer les bonnes estimations de point final (displaystyle R_{50}) et (displaystyle R_{100}) de (displaystyle ∫^5_{−3}frac{1}{2 sqrt{2π}}e^{−(x−1)^2/8}).


Analyse du système d'écoulement des eaux souterraines dans le régolithe de Dodowa sur les plaines d'Accra, Ghana

L'unité structurale Togo est altérée en une saprolite d'au plus 50 m d'épaisseur composée à la fois de parties non confinées et confinées d'un aquifère peu profond.

Dans l'unité structurelle du Dahomey, des eaux souterraines ont été rencontrées dans des fractures dans des conditions confinées et non confinées.

L'infiltration des eaux usées a donné lieu à des eaux souterraines polluées avec des valeurs de conductivité électrique élevées et des concentrations élevées de nitrate.

Les faibles transmissivités (<5.8e–5 m2/s (=5 m2/d)) limitent l'utilisation des eaux souterraines à un approvisionnement à petite échelle.

Le développement du système d'eau souterraine dans la région est limité à la région de Dodowa.


Q : Expliquez, en utilisant des limites, pourquoi f(x) = - n'est pas continue à x = 0.

A : Pour déterminer : expliquez à l'aide de limites pourquoi f(x)=1x n'est pas continue à x=0. Donné : nous avons une fonctionf.

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : (a) Estimez le temps de doublement de la fonction exponentielle illustrée dans la figure ci-dessous. P 240 180 120 .

A : Étant donné que le graphique de la fonction exponentielle : À partir du graphique de la fonction exponentielle, à t=0, P=.

Q : Étant donné que f(x) = 3x3 + 4x2 - 5x + 3, utilisez le théorème du reste pour trouver f(-4).

R : Cliquez pour voir la réponse

A : La fonction f(x) est, f(x)=x2+5xx3-25x=x(x+5)x(x2-52)=x(x+5)x(x-5)(x+5 )=1x-5 Le dénominateur du .

Q : Trouvez la dérivée de la fonction, arcsin 3r a. # 45. g(x)

R : puisque vous avez posé plusieurs questions dans une seule demande, nous ne répondrons qu'à la première question.

Q : Si f(8)=4, f'(8)--6, g(8)--4, et g'(8)-1 et h(x)-5f(x)-3g( X)

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : Donnez la valeur de départ a, le taux de croissance r et le taux de croissance continue k. Q = 12,3 · 10-0,15 t.

A : Soit : L'équation Q=12.3⋅10−0.15t .

Q : Convertissez Q = 5e" sous la forme Q = ab' . Arrondissez votre réponse pour b à trois décimales. Q =

R : Nous utiliserons la formule : xmn=xmn à l'envers. Q=5e6tQ=5(e6)t Q=5(403.429)t En comparant avec Q=abt, nous .


Q : Expliquez, en utilisant des limites, pourquoi f(x) = - n'est pas continue à x = 0.

A : Pour déterminer : expliquez à l'aide de limites pourquoi f(x)=1x n'est pas continue à x=0. Donné : nous avons une fonctionf.

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : (a) Estimez le temps de doublement de la fonction exponentielle illustrée dans la figure ci-dessous. P 240 180 120 .

A : Étant donné que le graphique de la fonction exponentielle : À partir du graphique de la fonction exponentielle, à t=0, P=.

Q : Étant donné que f(x) = 3x3 + 4x2 - 5x + 3, utilisez le théorème du reste pour trouver f(-4).

R : Cliquez pour voir la réponse

A : La fonction f(x) est, f(x)=x2+5xx3-25x=x(x+5)x(x2-52)=x(x+5)x(x-5)(x+5 )=1x-5 Le dénominateur du .

Q : Trouvez la dérivée de la fonction, arcsin 3r a. # 45. g(x)

R : puisque vous avez posé plusieurs questions dans une seule demande, nous ne répondrons qu'à la première question.

Q : Si f(8)=4, f'(8)--6, g(8)--4, et g'(8)-1 et h(x)-5f(x)-3g( X)

R : Cliquez pour voir la réponse

Q : Donnez la valeur de départ a, le taux de croissance r et le taux de croissance continue k. Q = 12,3 · 10-0,15 t.

A : Soit : L'équation Q=12.3⋅10−0.15t .

Q : Convertissez Q = 5e" sous la forme Q = ab' . Arrondissez votre réponse pour b à trois décimales. Q =

R : Nous utiliserons la formule : xmn=xmn à l'envers. Q=5e6tQ=5(e6)t Q=5(403.429)t En comparant avec Q=abt, nous .


5.2 Fréquence

Comme mentionné ci-dessus, le terme terrain fait référence à la « hauteur » ou à la « basse » d'un ton particulier. Le sifflement strident d'une bouilloire à thé est un exemple d'aigu. Le klaxon profond et résonnant d'un énorme cargo est un exemple de son grave. Il est important de se rappeler, cependant, que l'aigu et le grave sont relatifs - ceci est particulièrement important lors de la description des tons musicaux, où des changements subtils de hauteur peuvent avoir des effets dramatiques sur l'expérience d'un auditeur. Une tonalité musicale aiguë, en d'autres termes, peut être décrite comme basse par rapport à une autre tonalité encore plus aiguë.

Les termes « highness » et « lowness » sont assez courants dans les discussions sur la hauteur. L'image qu'ils suggèrent - des hauteurs placées le long d'un axe vertical dans l'espace physique - n'est cependant qu'une analogie. Quand on parle de la grande vitesse d'un train, on ne fait pas référence à l'élévation des voies et en musique il n'y a rien d'inhérent à un ton aigu qui le place physiquement au dessus de tout autre. Néanmoins, l'imagerie verticale est utile, en particulier en ce qui concerne la façon dont les emplacements sont écrits en notation de portée, comme nous le verrons dans un instant.

Bien qu'une discussion détaillée de l'acoustique musicale dépasse le cadre de ce livre, nous pouvons définir la hauteur avec plus de précision en considérant les phénomènes physiques qui produisent le son. Lorsqu'un objet vibre, il met en mouvement l'air qui l'entoure. Les molécules d'air sont comprimées et décompressées en correspondance avec le mouvement de l'objet vibrant. Ces minuscules vagues de pression émanent alors vers l'extérieur, loin de leur source. Les oreilles humaines sont capables de percevoir ces vibrations dans l'air comme des sons. Si les impulsions de compression se produisent régulièrement, elles seront perçues comme ayant de la hauteur.

Le pitch correspond à la fréquence de ces vibrations : les objets produisant des aigus vibrent très vite, les objets produisant des graves moins le sont. Le pas est mesuré en hertz (Hz), une unité indiquant le nombre de vibrations se produisant sur une période d'une seconde. L'exemple 5-1 présente une tonalité de 440 Hz, une hauteur produite par des vibrations se produisant 440 fois par seconde :

Changer la fréquence des vibrations change la hauteur. Lorsque les vibrations se produisent plus fréquemment, nous percevons une tonalité plus élevée. L'exemple 5–2 présente une tonalité de 493,88 Hz. Il sonne légèrement « plus haut » – plus urgent ou énergique – que le ton de l'exemple 5-1.

Écoutez chacune des paires de notes suivantes et déterminez laquelle des deux est la plus élevée. (Vous devrez consulter ce chapitre dans la version en ligne de ce livre pour effectuer cette activité.)

Exercice 5–1a :

Question

Laquelle des notes suivantes est la plus haute, la première ou la seconde ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le premier pas est plus haut.

Exercice 5-1b :

Question

Laquelle des notes suivantes est la plus haute, la première ou la seconde ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le deuxième pas est plus haut.

Exercice 5-1c :

Question

Lequel des emplacements suivants est le plus élevé, le premier ou le deuxième ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le deuxième pas est plus haut.

Exercice 5-1d :

Question

Laquelle des notes suivantes est la plus haute, la première ou la seconde ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le premier pas est plus haut.

Exercice 5-1e :

Question

Laquelle des notes suivantes est la plus haute, la première ou la seconde ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le premier pas est plus haut.

Exercice 5-1f :

Question

Lequel des emplacements suivants est le plus élevé, le premier ou le deuxième ?

La hauteur semble-t-elle monter ou descendre de la première note à la seconde ?

Le deuxième pas est plus haut.

Il existe un nombre infini d'emplacements. Il s'ensuit donc qu'il y a aussi un nombre infini de hauteurs entre deux emplacements quelconques. Certaines hauteurs sont si proches en fréquence qu'il est impossible de discerner la différence entre elles. De plus, certaines hauteurs sont soit si hautes soit si basses en fréquence qu'elles sont imperceptibles à l'oreille humaine. De manière générale, les humains sont capables d'entendre des hauteurs dans la plage de 20 Hz à 20 000 Hz. Dans la musique d'art occidentale tonale, cependant, les hauteurs que l'on rencontre ont tendance à être beaucoup plus limitées en portée et en nombre.


Mise à niveau

Au fur et à mesure que votre personnage part à l'aventure et surmonte des défis, il acquiert de l'expérience, représentée par des points d'expérience. Un personnage qui atteint un total de points d'expérience spécifié augmente ses capacités. Cette avancée s'appelle gagner un niveau.

Lorsque votre personnage gagne un niveau, sa classe accorde souvent des fonctionnalités supplémentaires, comme détaillé dans la description de la classe. Certaines de ces fonctionnalités vous permettent d'augmenter vos scores de capacité, soit en augmentant deux scores de 1 chacun, soit en augmentant un score de 2. Vous ne pouvez pas augmenter un score de capacité au-dessus de 20. De plus, le bonus de compétence de chaque personnage augmente à certains niveaux.

Chaque fois que vous gagnez un niveau, vous gagnez 1 dé de vie supplémentaire. Lancez ce dé de vie, ajoutez votre modificateur de Constitution au jet et ajoutez le total à votre maximum de points de vie. Alternativement, vous pouvez utiliser la valeur fixe indiquée dans votre entrée de classe, qui est le résultat moyen du jet de dé (arrondi au supérieur).

Lorsque votre modificateur de Constitution augmente de 1, votre maximum de points de vie augmente de 1 pour chaque niveau que vous avez atteint. Par exemple, si votre combattant de niveau 7 a un score de Constitution de 18, lorsqu'il atteint le niveau 8, il augmente son score de Constitution de 17 à 18, augmentant ainsi son modificateur de Constitution de +3 à +4. Son maximum de points de vie augmente alors de 8.

Le tableau d'avancement du personnage résume l'XP dont vous avez besoin pour progresser dans les niveaux du niveau 1 au niveau 20, et le bonus de maîtrise pour un personnage de ce niveau. Consultez les informations dans la description de classe de votre personnage pour voir quelles autres améliorations vous gagnez à chaque niveau.


Exercices de substitution en U 5.5E & 5.6E

SOLUTION 10 : Intégrer . Utilisez u-substitution. Laisser

de sorte que (N'oubliez pas d'utiliser la règle de la chaîne sur e - x .)

du = 3 e - x (-1) dx = -3 e - x dx ,

Cependant, comment remplacer le terme e -3 x dans le problème initial ? Notez que

nous pouvons "back remplacer" avec

Substituez dans le problème d'origine, en remplaçant toutes les formes de x , en obtenant

(Rappelez-vous que ( AB ) C = A C B C .)

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 11 : Intégrer . Utilisez u-substitution. Laisser

de sorte que (N'oubliez pas d'utiliser la règle de la chaîne sur e 2 x .)

Substituez dans le problème d'origine, en remplaçant toutes les formes de x , en obtenant

(Ne faites pas l'ERREUR TRÈS COURANTE suivante : . Pourquoi est-ce INCORRECT ?)

Cliquez ICI pour revenir à la liste des problèmes.

SOLUTION 12 : Intégrer . Tout d'abord, factorisez e 9 x à l'intérieur des parenthèses. Puis

(Rappelez-vous que ( AB ) C = A C B C .)

(Rappelez-vous que ( A B ) C = A BC .)

Maintenant, utilisez la substitution u. Laisser

de sorte que (N'oubliez pas d'utiliser la règle de la chaîne sur e 3 x .)

Substituez dans le problème d'origine, en remplaçant toutes les formes de x et en obtenant


Exercices de substitution en U 5.5E & 5.6E

Nous devons maintenant revenir en arrière et revoir la règle de substitution telle qu'elle s'applique aux intégrales définies. À un certain niveau, il n'y a vraiment pas grand-chose à faire dans cette section. Rappelez-vous que la première étape pour faire une intégrale définie est de calculer l'intégrale indéfinie et que cela n'a pas changé. Nous allons toujours calculer l'intégrale indéfinie en premier. Cela signifie que nous savons déjà comment les faire. Nous utilisons la règle de substitution pour trouver l'intégrale indéfinie et ensuite faire l'évaluation.

Il existe cependant deux manières de traiter l'étape d'évaluation. L'une des façons de faire l'évaluation est probablement la plus évidente à ce stade, mais elle a également un point dans le processus où nous pouvons avoir des ennuis si nous ne faisons pas attention.

Travaillons un exemple illustrant les deux façons de faire l'étape d'évaluation.

Commençons par examiner la première façon de traiter l'étape d'évaluation. Nous devrons être prudents avec cette méthode car il y a un moment dans le processus où si nous ne faisons pas attention, nous obtiendrons la mauvaise réponse.

Nous devrons d'abord calculer l'intégrale indéfinie en utilisant la règle de substitution. Notez cependant que nous nous rappellerons constamment qu'il s'agit d'une intégrale définie en mettant les limites de l'intégrale à chaque étape. Sans les limites, il est facile d'oublier que nous avions une intégrale définie lorsque nous avons calculé l'intégrale indéfinie.

Dans ce cas, la substitution est,

Le brancher dans l'intégrale donne,

Notez que nous n'avons pas encore fait l'évaluation. C'est là que le problème potentiel se pose avec cette méthode de solution. Les limites données ici proviennent de l'intégrale d'origine et sont donc des valeurs de (t). Nous avons (u) dans notre solution. Nous ne pouvons pas insérer les valeurs de (t) pour (u).

Par conséquent, nous devrons revenir aux (t) avant de faire la substitution. C'est l'étape standard dans le processus de substitution, mais on l'oublie souvent lorsqu'on fait des intégrales définies. Notez également que dans ce cas, si nous ne revenons pas aux (t) nous aurons un petit problème dans la mesure où l'une des évaluations finira par nous donner un nombre complexe.

Donc, finir ce problème donne,

C'était donc la première méthode de résolution. Jetons un coup d'œil à la deuxième méthode.

Notez que cette méthode de solution n'est pas vraiment si différente de la première méthode. Dans cette méthode, nous allons nous rappeler que lors d'une substitution, nous voulons éliminer tous les (t) dans l'intégrale et tout écrire en termes de (u).

Quand nous disons tout ici, nous pensons vraiment tout. En d'autres termes, rappelez-vous que les limites de l'intégrale sont aussi des valeurs de (t) et nous allons convertir les limites en valeurs de (u). La conversion des limites est assez simple puisque notre substitution nous dira comment relier (t) et (u) donc tout ce que nous avons à faire est de brancher les limites d'origine (t) dans la substitution et nous allons obtenir les nouvelles limites (u).

Voici la substitution (c'est la même que la première méthode) ainsi que les conversions limites.

[commenceru & = 1 - 4hspace <0.25in>du = - 12dthspace <0.25in>Rightarrow hspace <0.25in>dt = - frac<1><<12>>du t & = - 2hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>u = 1 - 4 ight )^3> = 33 t & = 0hspace <0.65in>Rightarrow hspace<0.5in>u = 1 - 4 = 1end]

Comme pour la première méthode, arrêtons-nous ici un instant pour nous rappeler ce que nous faisons. Dans ce cas, nous avons converti les limites en (u) et nous avons également notre intégrale en termes de (u) et donc ici, nous pouvons simplement brancher les limites directement dans notre intégrale. Notez que dans ce cas, nous ne rebrancherons pas notre substitution. Faire cela ici poserait des problèmes car nous aurions des (t) dans l'intégrale et nos limites seraient celles de (u). Voici le reste de ce problème.

Nous avons obtenu exactement la même réponse et cette fois, nous n'avons pas eu à nous soucier de revenir aux (t) dans notre réponse.

Ainsi, nous avons vu deux techniques de solution pour calculer des intégrales définies qui nécessitent la règle de substitution. Les deux sont des méthodes de résolution valides et chacune a son utilité. Nous utiliserons cependant presque exclusivement la seconde car elle facilite un peu l'étape d'évaluation.

Travaillons d'autres exemples.

  1. ( displaystyle int_<<, - 1>>^<<,5>>< ight)<> ight)>^5>,dw>>)
  2. ( displaystyle int_<<, - 2>>^<<, - 6>><<<< ight)>^3>> > - frac<5><<1 + 2x>>,dx>>)
  3. ( displaystyle int_<<,0>>^<<,frac<1><2>>><<<<f>^y> + 2cos left( ight),dy>>)
  4. ( displaystyle int_<<,frac<3>>>^<<,0>><<3sin left( <2>> ight) - 5cos left( ight),dz>>)

Puisque nous avons fait pas mal d'intégrales de règles de substitution jusqu'à présent, nous n'allons pas faire beaucoup d'efforts pour expliquer la partie substitution des choses ici.

Les limites de substitution et converties sont,

Parfois, une limite restera la même après le remplacement. Ne vous énervez pas quand cela se produit et ne vous attendez pas à ce que cela se produise tout le temps.

Ne vous enthousiasmez pas pour les grands nombres de réponses ici. Parfois, ils le sont. C'est la vie.

Voici la substitution et les limites converties pour ce problème,

Cette intégrale doit être divisée en deux intégrales puisque le premier terme ne nécessite pas de substitution et le second le fait.

Voici la substitution et les limites converties pour le deuxième terme.

Cette intégrale nécessitera deux substitutions. Donc d'abord diviser l'intégrale afin que nous puissions faire une substitution sur chaque terme.

Il y a les deux substitutions pour ces intégrales.

Voici l'intégrale de ce problème.

La prochaine série d'exemples est conçue pour s'assurer que nous n'oublions pas un point très important concernant les intégrales définies.

Soyez prudent avec cette intégrale. Le dénominateur est zéro à (t = pm frac<1><2>) et les deux sont dans l'intervalle d'intégration. Par conséquent, cet intégrande n'est pas continu dans l'intervalle et donc l'intégrale ne peut pas être faite.

Soyez prudent avec les intégrales définies et soyez à l'affût des problèmes de division par zéro. Dans la section précédente, ils étaient faciles à repérer puisque tous les problèmes de division par zéro que nous avions là étaient où la variable était elle-même nulle. Une fois que nous entrons dans les problèmes de substitution, ils ne seront pas toujours aussi faciles à repérer, alors assurez-vous d'abord de jeter un coup d'œil rapide à l'intégrande et de voir s'il y a des problèmes de continuité avec l'intégrande et s'ils se produisent dans l'intervalle d'intégration.

Or, dans ce cas l'intégrale peut être faite car les deux points de discontinuité, (t = pm frac<1><2>), sont tous les deux en dehors de l'intervalle d'intégration. Les limites de substitution et converties dans ce cas sont,

Travaillons avec une autre série d'exemples. Ceux-ci sont un peu plus durs (au moins en apparence) que les sets précédents.

  1. ( displaystyle int_<<,0>>^ <<,ln left( <1 + pi > ight)>><<<<f>^x>cos left( <1 - <<f>^x>> droit)>>,dx)
  2. ( displaystyle int_<<<<f>^2>>>^<<<<f>^6>>>< ight]>^4>>>,dt>>)
  3. ( displaystyle int_<<<12>>>>^<<,frac<9>>>< ight) an left( <3P> ight)>>< ight)>>>>,dP>>)
  4. ( displaystyle int_<<, - pi >>^<<,frac<2>>><droite),dx>>)
  5. ( displaystyle int_<<<50>>>>^<2><>^>>>><<>>,dw>>)

Les limites sont un peu inhabituelles dans ce cas, mais cela arrivera parfois, alors ne vous en faites pas trop. Voici le remplacement.

Voici la substitution et les limites converties pour ce problème.

Voici la substitution et les limites converties et ne vous enthousiasmez pas trop pour la substitution. C'est un peu compliqué dans le cas, mais cela peut arriver à l'occasion.

[commenceru & = 2 + sec left( <3P> ight),,,,,,,,du = 3sec left( <3P> ight) an left ( <3P> ight)dP,,,,, Rightarrow ,,,,,sec left( <3P> ight) an left( <3P> right)dP = frac<1><3>du P & = frac<<12>>hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in>u = 2 + sec left( <4>> ight) = 2 + sqrt 2 P & = frac<9>hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.25in> u = 2 + sec left( <3>> ight) = 4end]

Donc, non seulement la substitution était désordonnée, mais nous avons également une réponse désordonnée, mais encore une fois, c'est la vie à l'occasion.

Ce problème n'est pas aussi grave qu'il n'y paraît. Voici les limites de substitution et converties.

[commenceru & = sin xhspace<0.25in>du = cos x,dx x & = frac<2>hspace<0.25in>,,,, Rightarrow hspace<0.25in>,u = sin frac <2>= 1hspace<0.5in>x = - pi hspace<0.25in>,,,,, ,, Rightarrow hspace<0.25in>,,,,,,u = sin left( < - pi > ight) = 0end]

Le cosinus à l'avant de l'intégrande sera remplacé dans le différentiel et donc cet intégrande se simplifie considérablement. Voici l'intégrale.

Ne vous enthousiasmez pas pour ce genre de réponses. À l'occasion, nous nous retrouverons avec des évaluations de fonctions trigonométriques comme celle-ci.

C'est aussi une substitution délicate (au moins jusqu'à ce que vous la voyiez). C'est ici,

Dans cette dernière série d'exemples, nous avons vu des substitutions délicates et des limites désordonnées, mais ce sont une réalité de la vie avec certains problèmes de substitution et nous devons donc être prêts à les gérer lorsqu'ils se produisent.


Dictionnaire de données V1.5 FPDS-NG

Un contrat sur les besoins prévoit de remplir toutes les exigences d'achat réelles d'activités gouvernementales désignées pour des fournitures ou des services pendant une période de contrat spécifiée, les livraisons ou les performances devant être programmées en passant des commandes auprès de l'entrepreneur. Un IDC ou un contrat multi-agences est un contrat pour tous les besoins de l'agence pour les fournitures ou les services spécifiés, et en vigueur pour la période indiquée, dans l'IDC ou le contrat multi-agences. Après l'attribution, le marché est une source obligatoire pour l'agence pour les fournitures ou les services spécifiés. Les quantités de fournitures ou de services spécifiées dans l'IDC ou le contrat multi-agences ne sont que des estimations et ne sont pas achetées par ce contrat. Sauf disposition contraire du présent contrat, si les exigences du Gouvernement n'aboutissent pas à des commandes dans les quantités décrites comme « estimées » ou « maximum » dans l'annexe, ce fait ne constitue pas la base d'un ajustement de prix équitable.

Un contrat à durée indéterminée prévoit une quantité indéterminée, dans des limites fixées, de fournitures ou de services pendant une période déterminée. Le gouvernement passe des commandes pour les besoins individuels. Les limites de quantité peuvent être indiquées en nombre d'unités ou en dollars. Une quantité indéfinie est un contrat pour les fournitures ou les services spécifiés, et en vigueur pour la période indiquée, dans l'IDC ou le contrat multi-agences. Les quantités de fournitures et de services spécifiées dans l'IDC ou le contrat multi-agences ne sont que des estimations et ne sont pas achetées par ce contrat.

Un contrat à quantité déterminée prévoit la livraison d'une quantité déterminée de fournitures ou de services spécifiques pour une période déterminée, les livraisons ou les prestations devant être programmées à des endroits désignés lors de la commande. Un IDC ou un contrat multi-agences en quantité définie est un contrat de livraison à durée indéterminée pour les fournitures ou les services spécifiés, et en vigueur pour la période indiquée, dans l'IDC ou le contrat multi-agences.


Exercices de substitution en U 5.5E & 5.6E

COM HO ESCRIVIM JOGUINES O JUGUINES?

COM HO ESCRIV M TURRÓ O TORRÓ?

La coincidència de so de la "o" i de la "u" àtones (NO FORTES ) origina dubtes, que es poden resoldre si se seguieixen les regles següents:

Si el so de la [u] a l'ultima síl·laba de la paraula. TOR [U] que escrivim U o O.

Els substantius (noms) masculins que acabin fr [u] normalité s-escriuen amb -o:

  • exemple : gerro, toro suro carro
  • exceptions : musevous corrélervous tribuvous

Els noms i adjectius que fan el pluriel fr ALORS [nous] normalité s-escriuen amb -os final:

exemple : exceptions :
abus -> abussystème d'exploitation musevous -> museus
gras -> grasssystème d'exploitation activous -> actius
bosc -> boscsystème d'exploitation motivous -> motius
feliç -> feliçsystème d'exploitation europevous -> europeus
anis -> anisssystème d'exploitation

POSEM U en els noms invariables acabats en -us:

POSEM U en les paraules acabades en diftong decreixent (au, eu, iu, ou):

POSEM O a la primera persona del singular del present d’indicatiu:

A l'interior de la paraula.

Per saber si hem d’escriur e "O " o " U" , quan es troben al mig d’una paraula, cal que busquem una paraula de la mateixa família que tingui la lletra (vo c al) en posició tònica.(forta)

S'escriu O
Perquè prove del derivat de: S'escriu U
Perquè prové del derivat de:
foscor fosc duresa dur
novè non llunyà lluny
pomera poma gruixut gruix
boirós boire fuster fuste

català amb O / cast. amb U

atordir, atorrollar, atribolar (atribolat -ada) o tribular (tribulació), avorrir (avorriment), bordell, botifarra,
brúixola, calorós -osa, capítol, cartolina, colobra, complir, cònsol (consolat), corbat -ada, embotir, escapolirse, escrúpol, esdrúixol -a, gola (engolir), Hongria (hongarès -esa), Joan, joglar joglaressa, joguet, joguina, Josep, joventut, muntar (i der., muntatge), nodrir, ombria, ordir, pèndol, ploma (plomatge, plomar), podrir, polir, pols (polsera, polsació), rigorós -osa, robí, roí roïna, Romania, rossinyol, sofrir, solc (solcar), sorgir, sorgir (ressorgir), sospir (sospirar), sostraure o sostreure, tamboret, tenidoria, títol, tomba (ultratomba), tonyina, torba (torbar, torbació, torbador -ora), torró, torticoli, triomf .

català amb U / cast. amb O


ateneu, bufetada, butlletí, cacau, continu -ínua, correu, cuirassa, escullera, fetus, focus, fòrum, individu,
ingenu -ènua, muntanya, porus, ritu, saurí saurina, sèrum, suborn (subornar), sufocar, supèrbia, suport,
(suportar, insuportable), tètanus, tramuntana, trofeu, turment (turmentar)


Voir la vidéo: Microéconomie: la fonction dutilité Théorie du consommateur #6 (Décembre 2021).