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13.6 : Plans tangents et différentiels - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Déterminer l'équation d'un plan tangent à une surface donnée en un point.
  • Utilisez le plan tangent pour approximer une fonction de deux variables en un point.
  • Expliquer quand une fonction de deux variables est dérivable.
  • Utilisez le différentiel total pour approximer le changement dans une fonction de deux variables.

Dans cette section, nous considérons le problème de trouver le plan tangent à une surface, ce qui est analogue à trouver l'équation d'une ligne tangente à une courbe lorsque la courbe est définie par le graphique d'une fonction d'une variable, ( y= f(x)). La pente de la tangente au point ( x=a) est donnée par ( m=f′(a)); quelle est la pente d'un plan tangent ? Nous avons appris l'équation d'un plan dans Equations of Lines and Planes in Space; dans cette section, nous voyons comment il peut être appliqué au problème en question.

Plans tangents

Intuitivement, il semble clair que, dans un plan, une seule droite peut être tangente à une courbe en un point. Cependant, dans l'espace tridimensionnel, de nombreuses lignes peuvent être tangentes à un point donné. Si ces lignes se trouvent dans le même plan, elles déterminent le plan tangent en ce point. Une façon plus intuitive de penser à un plan tangent est de supposer que la surface est lisse en ce point (pas de coins). Ensuite, une ligne tangente à la surface à ce point dans n'importe quelle direction n'a pas de changements brusques de pente car la direction change en douceur. Par conséquent, dans un voisinage suffisamment petit autour du point, un plan tangent touche la surface à ce point uniquement.

Définition : lignes tangentes

Soit ( P_0=(x_0,y_0,z_0)) un point sur une surface ( S), et soit ( C) une courbe passant par ( P_0) et se situant entièrement dans ( S ). Si les lignes tangentes à toutes ces courbes ( C) en ( P_0) se trouvent dans le même plan, alors ce plan est appelé le plan tangent à ( S) à ( P_0) (Figure (PageIndex{1})).

Pour qu'un plan tangent à une surface existe en un point de cette surface, il suffit que la fonction qui définit la surface soit dérivable en ce point. Nous définissons ici le terme plan tangent, puis explorons l'idée intuitivement.

Définition : plans tangents

Soit ( S) une surface définie par une fonction dérivable ( z=f(x,y),) et soit ( P_0=(x_0,y_0)) un point dans le domaine de ( f ). Alors, l'équation du plan tangent à ( S) en ( P_0) est donnée par

[z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0). label{tanplane}]

Pour voir pourquoi cette formule est correcte, trouvons d'abord deux lignes tangentes à la surface ( S). L'équation de la tangente à la courbe qui est représentée par l'intersection de ( S) avec la trace verticale donnée par ( x=x_0) est ( z=f(x_0,y_0)+f_y(x_0, y_0)(y−y_0)). De même, l'équation de la tangente à la courbe qui est représentée par l'intersection de ( S) avec la trace verticale donnée par ( y=y_0) est ( z=f(x_0,y_0)+f_x( x_0,y_0)(x−x_0)). Un vecteur parallèle à la première ligne tangente est ( vecs a=,hat{mathbf j}+f_y(x_0,y_0),hat{mathbf k}); un vecteur parallèle à la deuxième ligne tangente est (vecs b=hat{mathbf i}+f_x(x_0,y_0),hat{mathbf k}). On peut faire le produit croisé de ces deux vecteurs :

[egin{align*} vecs a imes vecs b &=(,hat{mathbf j}+f_y(x_0,y_0),hat{mathbf k})×(, chapeau{mathbf i}+f_x(x_0,y_0),hat{mathbf k})[4pt] &=egin{vmatrix}hat{mathbf i} & hat{mathbf j} & hat{mathbf k}[4pt] 0 & 1 & f_y(x_0,y_0)[4pt] 1 & 0 & f_x(x_0,y_0)end{vmatrix} [4pt] &= f_x(x_0,y_0),hat{mathbf i}+f_y(x_0,y_0),hat{mathbf j}−,hat{mathbf k}. end{align*}]

Ce vecteur est perpendiculaire aux deux droites et est donc perpendiculaire au plan tangent. On peut utiliser ce vecteur comme vecteur normal au plan tangent, avec le point ( P_0=(x_0,y_0,f(x_0,y_0))) dans l'équation pour un plan :

[ egin{align*}vecs n·((x−x_0),hat{mathbf i}+(y−y_0),hat{mathbf j}+(z−f(x_0, y_0)),hat{mathbf k}) &=0 [4pt] (f_x(x_0,y_0),hat{mathbf i}+f_y(x_0,y_0),hat{ mathbf j}-,hat{mathbf k})·((x−x_0),hat{mathbf i}+(y−y_0),hat{mathbf j}+(z−f (x_0,y_0)),hat{mathbf k}) &=0 [4pt] f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)−(z −f(x_0,y_0)) &=0. end{align*}]

La résolution de cette équation pour (z) donne l'équation ef{tanplane}.

Exemple ( PageIndex{1}) : Recherche d'un plan tangent

Trouver l'équation du plan tangent à la surface définie par la fonction ( f(x,y)=2x^2−3xy+8y^2+2x−4y+4) au point ( (2,−1) .)

Solution

Tout d'abord, nous devons calculer ( f_x(x,y)) et ( f_y(x,y)), puis utiliser l'équation avec ( x_0=2) et ( y_0=−1):

[egin{align*} f_x(x,y) &=4x−3y+2 [4pt] f_y(x,y) &=−3x+16y−4 [4pt] f(2,− 1) &=2(2)^2−3(2)(−1)+8(−1)^2+2(2)−4(−1)+4=34 [4pt] f_x(2 ,−1) &=4(2)−3(−1)+2=13 [4pt] f_y(2,−1) &=−3(2)+16(−1)−4=−26 .end{align*}]

Alors l'équation ef{tanplane} devient

[egin{align*} z &=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0) [4pt] z &=34 +13(x−2)−26(y−(−1)) [4pt] z &=34+13x−26−26y−26 [4pt] z &=13x−26y−18. end{align*} ]

(Voir la figure suivante).

Exercice ( PageIndex{1})

Trouver l'équation du plan tangent à la surface définie par la fonction ( f(x,y)=x^3−x^2y+y^2−2x+3y−2) au point ( (−1, 3)).

Astuce

Tout d'abord, calculez ( f_x(x,y)) et ( f_y(x,y)), puis utilisez l'équation ef{tanplane}.

Réponse

( z=7x+8y−3)

Exemple ( PageIndex{2}) : Recherche d'un autre plan tangent

Trouver l'équation du plan tangent à la surface définie par la fonction ( f(x,y)=sin(2x)cos(3y)) au point ( (π/3,π/4). )

Solution

Calculez d'abord ( f_x(x,y)) et ( f_y(x,y)), puis utilisez l'équation ef{tanplane} avec ( x_0=0/3) et ( y_0=π/ 4):

[egin{align*} f_x(x,y) &=2cos(2x)cos(3y) [4pt] f_y(x,y) &=−3sin(2x)sin( 3y) [4pt] fleft(dfrac{π}{3},dfrac{π}{4} ight) &=sinleft(2left(dfrac{π}{3} ight) ight)cosleft(3left(dfrac{π}{4} ight) ight)=left(dfrac{sqrt{3}}{2} ight)left (−dfrac{sqrt{2}}{2} ight)=−dfrac{sqrt{6}}{4} [4pt] f_xleft(dfrac{π}{3}, dfrac{π}{4} ight) &=2cosleft(2left(dfrac{π}{3} ight) ight)cosleft(3left(dfrac{π} {4} ight) ight)=2left(−dfrac{1}{2} ight)left(−dfrac{sqrt{2}}{2} ight)=dfrac{ sqrt{2}}{2} [4pt] f_y left(dfrac{π}{3},dfrac{π}{4} ight) &=−3sinleft(2left( dfrac{π}{3} ight) ight)sinleft(3left(dfrac{π}{4} ight) ight)=−3left(dfrac{sqrt{3 }}{2} ight)left(dfrac{sqrt{2}}{2} ight)=−dfrac{3sqrt{6}}{4}. end{align*}]

Alors l'équation ef{tanplane} devient

[egin{align*} z &=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0) [4pt] &=− dfrac{sqrt{6}}{4}+dfrac{sqrt{2}}{2}gauche(x−dfrac{π}{3} ight)−dfrac{3sqrt{6} }{4}gauche(y−dfrac{π}{4} ight) [4pt] &=dfrac{sqrt{2}}{2}x−dfrac{3sqrt{6} }{4}y−dfrac{sqrt{6}}{4}−dfrac{πsqrt{2}}{6}+dfrac{3πsqrt{6}}{16} end{align *}]

Un plan tangent à une surface n'existe pas toujours en chaque point de la surface. Considérons la fonction par morceaux

[f(x,y)=egin{cas}dfrac{xy}{sqrt{x^2+y^2}}, & & (x,y)≠(0,0)[4pt ] 0, & & (x,y)=(0,0)end{cases}. label{fonction impaire}]

Le graphique de cette fonction suit.

Figure (PageIndex{3}) : Graphique d'une fonction qui n'a pas de plan tangent à l'origine. Figurine dynamique alimentée par CalcPlot3D.

Si soit ( x=0) soit ( y=0), alors ( f(x,y)=0,) donc la valeur de la fonction ne change pas sur le (x)- ou (y)-axe. Par conséquent, ( f_x(x,0)=f_y(0,y)=0), de sorte que soit ( x) soit ( y) s'approchent de zéro, ces dérivées partielles restent égales à zéro. Les substituer à l'équation donne ( z=0) comme équation de la ligne tangente. Cependant, si nous approchons l'origine d'une direction différente, nous obtenons une histoire différente. Par exemple, supposons que nous approchions de l'origine le long de la ligne ( y=x). Si nous mettons ( y=x) dans la fonction d'origine, cela devient

[f(x,x)=dfrac{x(x)}{sqrt{x^2+(x)^2}}=dfrac{x^2}{sqrt{2x^2}}= dfrac{|x|}{sqrt{2}}.]

Lorsque ( x>0,) la pente de cette courbe est égale à ( sqrt{2}/2); lorsque ( x<0), la pente de cette courbe est égale à ( −(sqrt{2}/2).) Ceci pose un problème. Dans la définition du plan tangent, nous avons supposé que toutes les lignes tangentes passant par le point ( P) (dans ce cas, l'origine) se trouvaient dans le même plan. Ce n'est clairement pas le cas ici. Lorsque nous étudierons les fonctions dérivables, nous verrons que cette fonction n'est pas dérivable à l'origine.

Approximations linéaires

Rappelons de Linear Approximations and Differentials que la formule pour l'approximation linéaire d'une fonction ( f(x)) au point ( x=a) est donnée par

[y≈f(a)+f'(a)(x−a).]

Le diagramme pour l'approximation linéaire d'une fonction d'une variable apparaît dans le graphique suivant.

La ligne tangente peut être utilisée comme une approximation de la fonction ( f(x)) pour des valeurs de ( x) raisonnablement proches de ( x=a). Lorsque vous travaillez avec une fonction de deux variables, la ligne tangente est remplacée par un plan tangent, mais l'idée d'approximation est sensiblement la même.

Définition : Approximation linéaire

Étant donné une fonction ( z=f(x,y)) avec des dérivées partielles continues qui existent au point ( (x_0,y_0)), l'approximation linéaire de (f) au point ( (x_0 ,y_0)) est donnée par l'équation

[L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0). label{environ}]

Notez que cette équation représente également le plan tangent à la surface définie par ( z=f(x,y)) au point ( (x_0,y_0)). L'idée derrière l'utilisation d'une approximation linéaire est que s'il existe un point ( (x_0,y_0)) auquel la valeur précise de ( f(x,y)) est connue, alors pour les valeurs de ( ( x,y)) raisonnablement proche de ( (x_0,y_0)), l'approximation linéaire (c. ) (Illustration). De plus, le plan utilisé pour trouver l'approximation linéaire est également le plan tangent à la surface au point ( (x_0,y_0).)

Exemple ( PageIndex{3}) : Utilisation d'une approximation du plan tangent

Étant donné la fonction ( f(x,y)=sqrt{41−4x^2−y^2}), approximez ( f(2.1,2.9)) en utilisant le point ( (2,3)) pour ( (x_0,y_0).) Quelle est la valeur approximative de ( f(2.1,2.9)) à quatre décimales ?

Solution

Pour appliquer l'équation ef{approx}, nous devons d'abord calculer ( f(x_0,y_0), f_x(x_0,y_0),) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=2) et ( y_0=3:)

[egin{align*} f(x_0,y_0) &=f(2,3)=sqrt{41−4(2)^2−(3)^2}=sqrt{41−16−9 }=sqrt{16}=4 [4pt] f_x(x,y) &=−dfrac{4x}{sqrt{41−4x^2−y^2}} ext{ so} ; f_x(x_0,y_0)=−dfrac{4(2)}{sqrt{41−4(2)^2−(3)^2}}=−2 [4pt] f_y(x,y) &=−dfrac{y}{sqrt{41−4x^2−y^2}} ext{ so}; f_y(x_0,y_0)=−dfrac{3}{sqrt{41−4(2)^2−(3)^2}}=−dfrac{3}{4}. end{align*}]

Maintenant, nous substituons ces valeurs dans l'équation ef{approx} :

[egin{align*} L(x,y) &=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0) [4pt ] &=4−2(x−2)−dfrac{3}{4}(y−3) [4pt] &=dfrac{41}{4}−2x−dfrac{3}{4 }y. end{align*} ]

Enfin, nous substituons ( x=2.1) et ( y=2.9) dans (L(x,y):)

[ L(2.1,2.9)=dfrac{41}{4}−2(2.1)−dfrac{3}{4}(2.9)=10.25−4.2−2.175=3.875. onuméro ]

La valeur approximative de ( f(2.1,2.9)) à quatre décimales est

[ f(2.1,2.9)=sqrt{41−4(2.1)^2−(2.9)^2}=sqrt{14.95}≈3.8665, onumber]

ce qui correspond à une erreur d'approximation ( 0,2%).

Exercice ( PageIndex{2})

Étant donné la fonction ( f(x,y)=e^{5−2x+3y},) approximatif ( f(4.1,0.9)) en utilisant le point ( (4,1)) pour ( ( x_0,y_0)). Quelle est la valeur approximative de ( f(4.1,0.9)) à quatre décimales ?

Astuce

Calculez d'abord ( f(x_0,y_0),f_x(x_0,y_0),) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=4) et ( y_0=1), puis utilisez Équation ef{environ}.

Réponse

( L(x,y)=6−2x+3y,) donc ( L(4.1,0.9)=6−2(4.1)+3(0.9)=0.5) ( f(4.1,0.9) =e^{5−2(4.1)+3(0.9)}=e^{−0.5}≈0.6065.)

Différenciation

Lorsqu'on travaille avec une fonction ( y=f(x)) d'une variable, la fonction est dite dérivable en un point ( x=a) si ( f′(a)) existe. De plus, si une fonction d'une variable est dérivable en un point, le graphique est « lisse » en ce point (c'est-à-dire qu'il n'existe aucun coin) et une ligne tangente est bien définie en ce point.

L'idée derrière la différentiabilité d'une fonction de deux variables est liée à l'idée de régularité à ce point. Dans ce cas, une surface est considérée comme lisse au point ( P) si un plan tangent à la surface existe en ce point. Si une fonction est dérivable en un point, alors un plan tangent à la surface existe en ce point. Rappelons que la formule (Equation ef{tanplane}) pour un plan tangent en un point ( (x_0,y_0)) est donnée par

[z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0) onumber]

Pour qu'un plan tangent existe au point ( (x_0,y_0),) les dérivées partielles doivent donc exister en ce point. Cependant, ce n'est pas une condition suffisante pour la régularité, comme cela a été illustré sur la figure. Dans ce cas, les dérivées partielles existaient à l'origine, mais la fonction avait également un coin sur le graphe à l'origine.

Définition : fonctions dérivables

Une fonction ( f(x,y)) est différenciable en un point ( P(x_0,y_0)) si, pour tous les points ( (x,y)) d'un disque ( δ) autour de ( P), on peut écrire

[f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)+E(x,y), label{ diff1}]

où le terme d'erreur ( E) satisfait

[lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}=0 . label{diff2}]

Le dernier terme de l'équation ef{diff1} est comme le terme d'erreur et il représente la proximité du plan tangent à la surface dans un petit voisinage (( δ) disque) du point ( P). Pour que la fonction ( f) soit dérivable en ( P), la fonction doit être lisse, c'est-à-dire que le graphe de ( f) doit être proche du plan tangent pour les points proches de ( P) .

Exemple ( PageIndex{4}) : Démonstration de la différentiabilité

Montrer que la fonction ( f(x,y)=2x^2−4y) est dérivable au point ( (2,−3).)

Solution

Premièrement, nous calculons ( f(x_0,y_0),f_x(x_0,y_0),) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=2) et ( y_0=−3, ) alors nous utilisons l'équation ef{diff1} :

[egin{align*} f(2,−3) &=2(2)^2−4(−3)=8+12=20 [4pt] f_x(2,−3) &=4 (2)=8 [4pt] f_y(2,−3) &=−4. end{align*} ]

Donc ( m_1=8) et ( m_2=−4,) et l'équation ef{diff1} devient

[ egin{align*} f(x,y) &=f(2,−3)+f_x(2,−3)(x−2)+f_y(2,−3)(y+3)+ E(x,y) [4pt] 2x^2−4y &=20+8(x−2)−4(y+3)+E(x,y) [4pt] 2x^2−4y &=20+8x−16−4y−12+E(x,y) [4pt] 2x^2−4y &=8x−4y−8+E(x,y) [4pt] E(x ,y) &=2x^2−8x+8. end{align*} ]

Ensuite, nous calculons la limite dans l'équation ef{diff2} :

[egin{align*} lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x+0)^2+(y− y_0)^2}} &=lim_{(x,y)→(2,−3)}dfrac{2x^2−8x+8}{sqrt{(x−2)^2+(y+ 3)^2}} [4pt]
&=lim_{(x,y)→(2,−3)}dfrac{2(x^2−4x+4)}{sqrt{(x−2)^2+(y+3)^ 2}} [4pt]
&=lim_{(x,y)→(2,−3)}dfrac{2(x−2)^2}{sqrt{(x−2)^2+(y+3)^2} } [4pt]
&=lim_{(x,y)→(2,−3)}dfrac{2((x−2)^2+(y+3)^2)}{sqrt{(x−2)^ 2+(y+3)^2}} [4pt]
&=lim_{(x,y)→(2,−3)}2sqrt{(x−2)^2+(y+3)^2} [4pt]
&=0. end{align*}]

Puisque ( E(x,y)≥0) pour toute valeur de ( x) ou ( y), la limite d'origine doit être égale à zéro. Par conséquent, ( f(x,y)=2x^2−4y) est dérivable au point ( (2,−3)).

Exercice ( PageIndex{3})

Montrer que la fonction ( f(x,y)=3x−4y^2) est dérivable au point ((−1,2)).

Astuce

Tout d'abord, calculez ( f(x_0,y_0),f_x(x_0,y_0),) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=−1) et ( y_0=2), puis utilisez l'équation ef{diff2} pour trouver ( E(x,y)). Enfin, calculez la limite.

Réponse

[egin{align*} f(−1,2) &=−19,quad f_x(−1,2)=3, quad f_y(−1,2)=−16, quad E(x ,y)=−4(y−2)^2. [4pt]
lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}} &=lim_ {(x,y)→(−1,2)}dfrac{−4(y−2)^2}{sqrt{(x+1)^2+(y−2)^2}} [4 points]
&≤lim_{(x,y)→(−1,2)}dfrac{−4((x+1)^2+(y−2)^2)}{sqrt{(x+1) ^2+(y−2)^2}} [4pt]
&=lim_{(x,y)→(2,−3)}−4sqrt{(x+1)^2+(y−2)^2} [4pt]
&=0. end{align*}]

Cette fonction de (Équation ef{oddfunction})

[ f(x,y)=egin{cas}dfrac{xy}{sqrt{x^2+y^2}}, & & (x,y)≠(0,0)[4pt ] 0, & & (x,y)=(0,0)end{cases} onumber]

n'est pas différentiable à l'origine (Figure (PageIndex{3})). Nous pouvons le voir en calculant les dérivées partielles. Cette fonction est apparue plus haut dans la section, où nous avons montré que ( f_x(0,0)=f_y(0,0)=0). En substituant cette information aux équations ef{diff1} et ef{diff2} en utilisant ( x_0=0) et ( y_0=0), nous obtenons

[egin{align*} f(x,y) &=f(0,0)+f_x(0,0)(x−0)+f_y(0,0)(y−0)+E(x ,y) [4pt] E(x,y) &=dfrac{xy}{sqrt{x^2+y^2}}. end{align*} ]

Calculer

[ lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}}]

donne

[egin{align*} lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0) ^2}} &=lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{dfrac{xy}{sqrt{x^2+y^2}}}{sqrt{x^2 +y^2}} [4pt] &=lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{xy}{x^2+y^2}. end{align*}]

Selon le chemin emprunté vers l'origine, cette limite prend des valeurs différentes. Par conséquent, la limite n'existe pas et la fonction ( f) n'est pas dérivable à l'origine comme le montre la figure suivante.

La différentiabilité et la continuité pour les fonctions de deux variables ou plus sont liées, de la même manière que pour les fonctions d'une variable. En fait, avec quelques ajustements de notation, le théorème de base est le même.

THÉORÈME : La différentiabilité implique la continuité

Soit ( z=f(x,y)) une fonction de deux variables avec ( (x_0,y_0)) dans le domaine de ( f). Si ( f(x,y)) est dérivable en ( (x_0,y_0)), alors ( f(x,y)) est continue en ( (x_0,y_0).)

La note montre que si une fonction est dérivable en un point, alors elle y est continue. Cependant, si une fonction est continue en un point, alors elle n'est pas nécessairement dérivable en ce point. Par exemple, la fonction décrite ci-dessus (Équation ef{oddfunction})

[f(x,y)=egin{cas}dfrac{xy}{sqrt{x^2+y^2}}, & & (x,y)≠(0,0)[4pt ] 0, & & (x,y)=(0,0)end{cases} onumber]

est continu à l'origine, mais c'est non différentiable à l'origine. Cette observation est également similaire à la situation dans le calcul à une seule variable.

Nous pouvons explorer davantage le lien entre la continuité et la différentiabilité en un point. Ce théorème suivant dit que si la fonction et ses dérivées partielles sont continues en un point, la fonction est dérivable.

Théorème : La continuité des premiers partiels implique la différentiabilité

Soit ( z=f(x,y)) une fonction de deux variables avec ( (x_0,y_0)) dans le domaine de ( f). Si (f(x,y)), (f_x(x,y)) et (f_y(x,y)) existent tous dans un voisinage de ((x_0,y_0)) et sont continues en ((x_0,y_0)), alors (f(x,y)) y est dérivable.

Rappelons que plus tôt nous avons montré que la fonction dans l'équation ef{oddfunction} n'était pas dérivable à l'origine. Calculons les dérivées partielles ( f_x) et ( f_y):

[ dfrac{∂f}{∂x}=dfrac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}]

et

[dfrac{∂f}{∂y}=dfrac{x^3}{(x^2+y^2)^{3/2}}.]

La contraposée du théorème précédent stipule que si une fonction n'est pas dérivable, alors au moins une des hypothèses doit être fausse. Explorons la condition selon laquelle ( f_x(0,0)) doit être continu. Pour que cela soit vrai, il doit être vrai que

[ lim_{(x,y)→(0,0)} f_x(x,y)=f_x(0,0)]

donc

[ lim_{(x,y)→(0,0)}f_x(x,y)=lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{y^3}{(x^ 2+y^2)^{3/2}}.]

Soit ( x=ky). Puis

[egin{align*} lim_{(x,y)→(0,0)}dfrac{y^3}{(x^2+y^2)^{3/2}} &= lim_{y→0}dfrac{y^3}{((ky)^2+y^2)^{3/2}} [4pt]
&=lim_{y→0}dfrac{y^3}{(k^2y^2+y^2)^{3/2}} [4pt]
&=lim_{y→0}dfrac{y^3}{|y|^3(k^2+1)^{3/2}} [4pt]
&=dfrac{1}{(k^2+1)^{3/2}}lim_{y→0}dfrac{|y|}{y}. end{align*}]

Si ( y>0), alors cette expression est égale à ( 1/(k^2+1)^{3/2}); si ( y<0), alors il est égal à ( −(1/(k^2+1)^{3/2})). Dans les deux cas, la valeur dépend de ( k), donc la limite n'existe pas.

Différentiels

Dans Approximations linéaires et différentielles, nous avons d'abord étudié le concept de différentielles. La différentielle de ( y), notée ( dy), est définie comme ( f′(x)dx). Le différentiel est utilisé pour approximer ( Δy=f(x+Δx)−f(x)), où ( Δx=dx). L'extension de cette idée à l'approximation linéaire d'une fonction de deux variables au point ( (x_0,y_0)) donne la formule du différentiel total pour une fonction de deux variables.

Définition : différentiel total

Soit ( z=f(x,y)) une fonction de deux variables avec ( (x_0,y_0)) dans le domaine de ( f), et soit ( Δx) et ( Δy ) être choisi de telle sorte que ( (x_0+Δx,y_0+Δy)) soit aussi dans le domaine de ( f). Si ( f) est dérivable au point ( (x_0,y_0)), alors les différentiels ( dx) et ( dy) sont définis comme

[dx=Δx]

et

[dy=Δy.]

Le différentiel ( dz), aussi appelé le différentiel total de ( z=f(x,y)) à ( (x_0,y_0)), est défini comme

[dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy. label{total}]

Notez que le symbole ( ∂) n'est pas utilisé pour désigner le différentiel total ; à la place, ( d) apparaît devant ( z). Définissons maintenant ( Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y).) Nous utilisons ( dz) pour approximer ( Δz), donc

[Δz≈dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy.]

Par conséquent, le différentiel est utilisé pour approximer le changement de la fonction ( z=f(x_0,y_0)) au point ( (x_0,y_0)) pour des valeurs données de ( Δx) et ( Δy ). Puisque ( Δz=f(x+Δx,y+Δy)−f(x,y)), cela peut être utilisé pour approximer encore ( f(x+Δx,y+Δy):)

[ f(x+Δx,y+Δy)=f(x,y)+Δz≈f(x,y)+fx(x_0,y_0)Δx+f_y(x_0,y_0)Δy.]

Voir la figure suivante.

Une telle application de cette idée est de déterminer la propagation d'erreurs. Par exemple, si nous fabriquons un gadget et que nous avons un certain retard dans la mesure d'une quantité donnée, le différentiel peut être utilisé pour estimer l'erreur dans le volume total du gadget.

Exemple ( PageIndex{5}) : Approximation par différentiels

Trouver le différentiel ( dz) de la fonction ( f(x,y)=3x^2−2xy+y^2) et l'utiliser pour approximer ( Δz) au point ( (2,−3 ).) Utilisez ( Δx=0.1) et ( Δy=−0.05.) Quelle est la valeur exacte de ( Δz) ?

Solution

Premièrement, nous devons calculer ( f(x_0,y_0),f_x(x_0,y_0),) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=2) et ( y_0=−3 : )

[egin{align*} f(x_0,y_0) &=f(2,−3)=3(2)^2−2(2)(−3)+(−3)^2=12+12 +9=33 [4pt] f_x(x,y) &=6x−2y [10pt] f_y(x,y) &=−2x+2y [4pt] f_x(x_0,y_0) &= fx(2,−3) [4pt] &=6(2)−2(−3)=12+6=18 [10pt] f_y(x_0,y_0) &=f_y(2,−3) [4pt] &=−2(2)+2(−3) [4pt] &=−4−6=−10. end{align*}]

Ensuite, nous substituons ces quantités dans l'équation ef{total} :

[egin{align*} dz &=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy [4pt] dz &=18(0.1)−10(−0.05)=1,8+0,5=2,3 . end{align*}]

C'est l'approximation de ( Δz=f(x_0+Δx,y_0+Δy)−f(x_0,y_0).) La valeur exacte de ( Δz) est donnée par

[egin{align*} z &=f(x_0+Δx,y_0+Δy)−f(x_0,y_0) [4pt] &=f(2+0.1,−3−0.05)−f(2 ,−3) [4pt] &=f(2.1,−3.05)−f(2,−3) [4pt] &=2.3425. end{align*}]

Exercice ( PageIndex{4})

Trouver le différentiel ( dz) de la fonction ( f(x,y)=4y^2+x^2y−2xy) et l'utiliser pour approximer ( Δz) au point ( (1,−1 )). Utilisez ( Δx=0.03) et ( Δy=−0.02). Quelle est la valeur exacte de ( Δz) ?

Astuce

Tout d'abord, calculez ( f_x(x_0,y_0)) et ( f_y(x_0,y_0)) en utilisant ( x_0=1) et ( y_0=−1), puis utilisez l'équation ef{total} .

Réponse

( dz=0.18)

( Δz=f(1.03,−1.02)−f(1,−1)=0.180682)

Différentiabilité d'une fonction de trois variables

Tous les résultats précédents pour la différentiabilité des fonctions de deux variables peuvent être généralisés aux fonctions de trois variables. Tout d'abord, la définition :

Définition : différentiabilité en un point

Une fonction ( f(x,y,z)) est dérivable en un point ( P(x_0,y_0,z_0)) si pour tous les points ( (x,y,z)) dans un ( δ) disque autour de ( P) on peut écrire

[f(x,y)=f(x_0,y_0,z_0)+f_x(x_0,y_0,z_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0,z_0)(y−y_0)+f_z(x_0, y_0,z_0)(z−z_0)+E(x,y,z),]

où le terme d'erreur E satisfait

[lim_{(x,y,z)→(x_0,y_0,z_0)}dfrac{E(x,y,z)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0) ^2+(z−z_0)^2}}=0.]

Si une fonction de trois variables est dérivable en un point ((x_0,y_0,z_0)), alors elle y est continue. De plus, la continuité des premières dérivées partielles à ce stade garantit la différentiabilité.

Concepts clés

  • L'analogue d'une ligne tangente à une courbe est un plan tangent à une surface pour les fonctions de deux variables.
  • Les plans tangents peuvent être utilisés pour approximer les valeurs des fonctions proches des valeurs connues.
  • Une fonction est dérivable en un point si elle est « lisse » en ce point (c'est-à-dire qu'il n'existe pas de coins ou de discontinuités à ce point).
  • Le différentiel total peut être utilisé pour approximer le changement d'une fonction ( z=f(x_0,y_0)) au point ( (x_0,y_0)) pour des valeurs données de ( Δx) et ( Δy ).

Équations clés

  • plan tangent

( z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0))

  • Approximation linéaire

( L(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0))

  • Différentiel total

( dz=f_x(x_0,y_0)dx+f_y(x_0,y_0)dy).

  • Différentiabilité (deux variables)

( f(x,y)=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)+E(x,y),)

où le terme d'erreur ( E) satisfait

(displaystyle lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y−y_0)^2}} =0).

  • Différentiabilité (trois variables)

( f(x,y)=f(x_0,y_0,z_0)+f_x(x_0,y_0,z_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0,z_0)(y−y_0)+f_z(x_0, y_0,z_0)(z−z_0)+E(x,y,z),)

où le terme d'erreur ( E) satisfait

(displaystyle lim_{(x,y,z)→(x_0,y_0,z_0)}dfrac{E(x,y,z)}{sqrt{(x−x_0)^2+(y− y_0)^2+(z−z_0)^2}}=0).

Glossaire

différenciable

une fonction ( f(x,y)) est dérivable en ( (x_0,y_0)) si ( f(x,y)) peut s'exprimer sous la forme ( f(x,y)= f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0)+E(x,y),)

où le terme d'erreur ( E(x,y)) satisfait ( lim_{(x,y)→(x_0,y_0)}dfrac{E(x,y)}{sqrt{(x−x_0 )^2+(y−y_0)^2}}=0)

approximation linéaire
étant donné une fonction ( f(x,y)) et un plan tangent à la fonction en un point ( (x_0,y_0)), nous pouvons approximer ( f(x,y)) pour les points proches de ( (x_0,y_0)) en utilisant la formule du plan tangent
plan tangent
étant donné une fonction ( f(x,y)) dérivable en un point ( (x_0,y_0)), l'équation du plan tangent à la surface ( z=f(x,y)) est donné par ( z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)(x−x_0)+f_y(x_0,y_0)(y−y_0))
différentiel total
le différentiel total de la fonction ( f(x,y)) en ( (x_0,y_0)) est donné par la formule ( dz=f_x(x_0,y_0)dx+fy(x_0,y_0)dy )

Contributeurs et attributions

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


Différence entre l'espace tangent et le plan tangent

J'ai évité de suivre de nombreux cours (en le regrettant un peu), mais j'ai une certaine compréhension. Soit $p$ un point sur une surface $S:U o Bbb^3$, on définit :

L'espace tangent à $S$ à $p$, $T_p(S)=<>^3midexists extrm< une courbe >gamma:(-ε,ε) o S extrm< avec >gamma(0)=p,gamma'(0)=k>$.

Le plan tangent à $S$ à $p$ comme le plan $p+T_p(S)subseteqBbb^3$.

Ma compréhension actuelle est que, dans le diagramme ci-dessous, le plan tangent est le plan représenté, tandis que l'espace tangent serait p moins chaque élément du plan, d'où le plan correspondant passant par l'origine. Est-ce correct ou est-ce incorrect ? Je suis un cours appelé géométrie des courbes et des surfaces et le fait d'être incertain à ce sujet rend difficile la compréhension des sujets ultérieurs.


2 réponses 2

Je suis d'accord avec la réponse de Trandus, mais voici une version légèrement différente.

Question 1 : Votre $varphi$ est différentiable uniquement lorsque $x^2 + y^2 > 1$ cela apparaît lorsque vous examinez les dénominateurs dans votre calcul de $Dvarphi$ . Ce serait bien de l'utiliser si la question ne demandait pas le plan tangent aux points $(x,y,0)$ qui ont exactement $x^2 + y^2 =1$ . En d'autres termes, la question demande des plans tangents aux points où ce plan est vertical, il ne sera donc pas possible d'utiliser une fonction de $(x,y)$ pour les décrire.

Vous pouvez trouver une autre paramétrisation en décrivant votre surface sous forme de graphique sur, disons, le plan $(y,z)$ : la résolution de l'équation donnée pour $x$ donne $x = pmsqrt<1 + z^2 - y ^2>$ , puis définir $psi(y,z) = (sqrt<1 + z^2 -y^2>, y, z)$ est une paramétrisation que vous pouvez utiliser pour trouver des plans tangents aux points $ (x,y,0)$ avec $x >0$ . Pour $x < 0$ choisissez l'autre signe pour la racine carrée, et si $x= 0$ faites une résolution de construction similaire pour $y$ à la place.

Question 2. Comme le dit Trandus, les colonnes du différentiel de $psi$ donneront une base pour le plan tangent. Si vous préférez trouver une équation du plan plutôt qu'une base, une autre méthode est de se rappeler que le gradient d'une fonction est toujours normal aux level sets. En regardant la fonction $f(x,y,z) = x^2 + y^2 - z^2$ , votre surface est le level set $f(x,y,z) = 1$ . Calculez donc que le gradient est $ abla f = langle 2x, 2y, -2z angle$ , ce qui vous donne un vecteur normal au plan souhaité. Au point $(a,b,0)$ cela devient $langle 2a, 2b, 0 angle$ , et le plan avec ce vecteur normal est donné par l'équation $ 2a(xa) + 2b(yb) = 0 $ Notez que dans le ``langage de géométrie différentielle'', le fait que $ abla f$ est un vecteur normal pour la tangente à la level set est exprimé par le fait que l'espace tangent de la level set de $f$ à un point $p$ est égal au noyau du différentiel de $f$ en $p$ .


13.6 : Plans tangents et différentiels - Mathématiques

Nous avons vu plus haut comment les deux dérivées partielles () et () peuvent être considérés comme les pentes des traces. Nous voulons étendre un peu cette idée dans cette section. Le graphe d'une fonction (z = fleft( ight)) est une surface dans (^3>)(espace tridimensionnel) et nous pouvons donc maintenant commencer à penser au plan qui est « tangent » à la surface comme un point.

Commençons par un point (left( <,> ight)) et laissons () représentent la trace vers (fleft( ight)) pour le plan (y = ) (c'est à dire. permettant à (x) de varier avec (y) maintenu fixe) et nous laisserons () représentent la trace vers (fleft( ight)) pour le plan (x = ) (c'est à dire. permettant à (y) de varier avec (x) maintenu fixe). Maintenant, nous savons que (gauche( <,> ight)) est la pente de la tangente à la trace () et (gauche( <,> ight)) est la pente de la tangente à la trace (). Alors, laissez () être la tangente à la trace () et soit () être la tangente à la trace ().

Le plan tangent sera alors le plan qui contient les deux droites () et (). Géométriquement, ce plan aura le même objectif qu'une ligne tangente dans Calculus I. Une ligne tangente à une courbe était une ligne qui touchait juste la courbe à ce point et était "parallèle" à la courbe au point en question. Les plans bien tangents à une surface sont des plans qui touchent juste la surface au point et sont « parallèles » à la surface au point. Notez que cela nous donne un point qui est sur l'avion. Puisque le plan tangent et la surface se touchent à (left( <,> ight)) le point suivant sera à la fois sur la surface et sur le plan.

Ce que nous devons faire maintenant est de déterminer l'équation du plan tangent. On sait que l'équation générale d'un plan est donnée par,

[agauche( > droite) + bgauche( > ight) + cleft( > droit) = 0]

où (gauche( <,,> ight)) is a point that is on the plane, which we have. Let’s rewrite this a little. We’ll move the (x) terms and (y) terms to the other side and divide both sides by (c). Faire cela donne,

Now, let’s rename the constants to simplify up the notation a little. Let’s rename them as follows,

With this renaming the equation of the tangent plane becomes,

and we need to determine values for (A) and (B).

Let’s first think about what happens if we hold (y) fixed, c'est à dire. if we assume that (y = ). In this case the equation of the tangent plane becomes,

This is the equation of a line and this line must be tangent to the surface at (left( <,> ight)) (since it’s part of the tangent plane). In addition, this line assumes that (y = ) (c'est à dire. fixed) and (A) is the slope of this line. But if we think about it this is exactly what the tangent to () is, a line tangent to the surface at (left( <,> ight)) assuming that (y = ). In other words,

is the equation for () and we know that the slope of () is given by (left( <,> ight)). Therefore, we have the following,

If we hold (x) fixed at (x = ) the equation of the tangent plane becomes,

However, by a similar argument to the one above we can see that this is nothing more than the equation for () and that it’s slope is (B) or (left( <,> ight)). Alors,

The equation of the tangent plane to the surface given by (z = fleft( ight)) at (left( <,> ight)) is then,

Also, if we use the fact that ( = fleft( <,> ight)) we can rewrite the equation of the tangent plane as,

We will see an easier derivation of this formula (actually a more general formula) in the next section so if you didn’t quite follow this argument hold off until then to see a better derivation.

There really isn’t too much to do here other than taking a couple of derivatives and doing some quick evaluations.

The equation of the plane is then,

[eginz - 0 & = 2left( ight) + left( 1 ight)left( ight) z & = 2x + y - 1end]

One nice use of tangent planes is they give us a way to approximate a surface near a point. As long as we are near to the point (left( <,> ight)) then the tangent plane should nearly approximate the function at that point. Because of this we define the linear approximation to be,

and as long as we are “near” (left( <,> ight)) then we should have that,

So, we’re really asking for the tangent plane so let’s find that.

The tangent plane, or linear approximation, is then,

[Lleft( ight) = 5 - frac<1><2>left( ight) + frac<2><3>left( ight)]

For reference purposes here is a sketch of the surface and the tangent plane/linear approximation.


Tangent Planes

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JOEL LEWIS: Hi. Welcome back to recitation. In lecture, you've been learning about using gradients to compute tangent planes to surfaces. So I have an example of a practice problem here for you. So what I'd like you to do in part a is to use gradients to find the tangent plane to the surface z equals x cubed plus 3x y squared at the point (1, 2, 13). And in part b, I'd like you to do something similar, which is to use gradients to find the tangent line to the curve x cubed plus 2xy plus y squared equals 9 at the point (1, 2). So why don't you pause the video, have a couple goes at those. Come back and we can work on them together.

So hopefully, you had some good luck working on these problems. Let's just take a look at them. So for part a, you're given a function in the sort of usual form that we use to graph it, which is you're given z equals a function of x and y. But in order to apply this gradient method, what we really want is we want to look at this surface as if it were a level surface of some function of three variables. So in order to do that, what we want to do always is to bring the x, y and z all together on the same side with just a zero or a constant on the other side.

So let me do that. So I'm going to rewrite the defining equation of this surface as 0 equals x cubed plus 3x y squared minus z, and I'm going to define this right-hand side to be a new function w of x, y, z. All right? So if I call this thing w, then our surface in question is just a level surface of w. It's the level surface w equals 0. And so we know in that situation that the gradient of w is perpendicular to its level surfaces. It's orthogonal to its level surfaces. So the normal to our surface is exactly the gradient of w. All right?

So gradient of w is the normal to our surface, and a normal is what we use to write down the equation for a tangent line-- oh, tangent plane, excuse me. So, OK, so let's compute the gradient of w. Well, that's not hard to do. We just take the partial derivatives with respect to x, y and z. So the partial derivative of w with respect to x is 3 x squared plus 3 y squared. The partial derivative with respect to y is 6xy, and the partial derivative with respect to z is minus 1.

So one thing to notice is that when you do this method, when you have the function given at z, when you have the surface given in the form z as a function of x and y, you're going to bring the z over, and you always have a minus 1 there when you set the problem up this way. Because you'll have a minus z, and then you'll just take the partial with respect to z, and the other terms will only involve x and y, so they'll be killed by the partial derivative.

So in any case, this is our gradient, so we want the normal vector. We were asked for the tangent plane at a particular point, I believe. Yes, at the point (1, 2, 13). So we need to compute the gradient at that particular point and that will be our normal vector. So the gradient at this point is-- well, we just plug in, so the gradient at (1, 2, 13). So x is 1. So this is 3 times 1 plus 3 times 4, so that's going to be 15, and 6xy is 12, and minus 1 is just minus 1. So this is the gradient vector at our point (1, 2, 13).

So now we have a point, the point (1, 2, 13), and we have the normal vector 15, 12, minus 1, so that gives us the equation for the tangent plane right off. So the equation for the tangent plane, I just dot the normal vector with the vector connecting our point to the point (x, y, z). so that gives us 15 times-- well, our point is (1, 2, 3)-- so it's 15 times x minus 1 plus 12 times y minus 2 minus 1 times z minus 13 equals 0. So in point-normal form, this is the equation for that plane. Great. And if you wanted, you could rewrite this a whole bunch of different ways, but I'll just leave it there.

So let's do part b. I guess I'll just start it right below here. So for part b, we have a curve x cubed plus 2xy plus y squared equals 9. So this is a curve that is defined by this implicit relationship between x and y. All right? And so what I want to do is I can do exactly the same process. We're going to do exactly the same thing. We're going to find the normal-point form for the tangent line, and so we're going to do that by defining a function f of x, y. In this case, it's a function of just two variables, because we're only working with a curve in two dimensions. Before, we had a surface in three dimensions, so we had a function of three variables. So f of x, y, and so then our curve is exactly a level curve of the graph of f, right? It's the level curve f equals 9.

So in order to find the tangent line, I can do exactly the same thing. I can find the gradient. The gradient is normal to the tangent line and then I can use normal-point form. So the gradient of f is-- again, f is just a polynomial function so its gradient is easy to compute. It's 3 x squared plus 2y comma 2x plus 2y. And so we're interested in this tangent line at a particular point. So we're interested at the point (1, 2). So the gradient of f at (1, 2), well, I just plug in again, so I get 3 plus 4. That's 7. And 2 plus 4 is 6. And so again, the same analysis as we used in the tangent plane case works in the tangent line case.

Let's come over here. So (x, y) is on the tangent line if and only if we have that the gradient dot-- so that's the gradient, [7, 6]-- dot the vector x minus 1, y minus 2-- this is the vector connecting the point (x, y) to our point (1, 2)-- is equal to 0, if and only if those two things are orthogonal. So this is-- i.e. 7 times x minus 1 plus 6 times y minus 2 is equal to 0. So this is the point-normal form for the equation of that line. And again, you could, you know, expand out and rewrite this in whichever forms you happen to like to see your equations of lines.

So there you go. Using the gradient, we can compute tangent planes to surfaces. Similarly, we can use the same idea to compute tangent lines to curves. The point is that the gradient vector of a function is orthogonal to the level curves of that function. And so we use that to get the normal vectors to our curves or our surfaces, and with the normal vector, we can then easily compute the tangent plane or the tangent line. So I'll stop there.


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