Des articles

1.1 : Données expérimentales, croissance bactérienne.


La croissance démographique a été historiquement l'un des premiers concepts explorés en biologie mathématique et elle continue d'être d'une importance centrale. Thomas Malthus en 1821 a affirmé une théorie

« que la population humaine a tendance à augmenter à un rythme plus rapide que ses moyens de subsistance et qu'à moins qu'elle ne soit freinée par une contrainte morale ou un désastre (comme la maladie, la famine ou la guerre), une pauvreté et une dégradation généralisées en résultent inévitablement ». 2

Ce faisant, il suivait les flèches en gras de la figure 1.1. La population mondiale a été multipliée par six depuis le terrible avertissement de Malthus, et des ajustements à l'aide du réseau supplémentaire de la carte sont toujours en cours de discussion.

Noter

Duane Nykamp de l'Université du Minnesota écrit Math Insight, mathinsight.org, une collection de pages Web et d'applets conçus pour faire la lumière sur les concepts sous-jacents à quelques sujets en mathématiques. L'une des pages, mathinsight.org/bacterial_growth_initial_model, est un excellent affichage du matériel de cette section.

Les données de croissance bactérienne d'un V. natriegens l'expérience sont présentées dans le tableau 1.1. La population a été cultivée dans un milieu de croissance nutritif couramment utilisé, mais le pH du milieu a été ajusté à un pH de 6,25 3.

Tableau 1.1 : Mesures de la densité bactérienne. Les unités de « Densité de population » sont celles de l'absorbance mesurée par le spectrophotomètre.
pH 6,25
Temps (min)Indice de temps (t)Densité de population (B_t)Pop Change/Unité de temps ((B_{t+1} − B_{t}) / 1)
000.0220.014
1610.0360.024
3220.0600.041
4830.1010.068
6440.1690.097
8050.266

Comment mesurer la densité des bactéries ? Idéalement, vous placeriez, disons 1 microlitre, de milieu de croissance sous une lame de microscope et vous compteriez les bactéries qu'il contient. C'est difficile, de sorte que la procédure couramment utilisée consiste à faire passer un faisceau de lumière à travers un échantillon de milieu de croissance et à mesurer la quantité de lumière absorbée. Plus la densité bactérienne est élevée, plus la lumière est absorbée et donc la densité bactérienne est mesurée en termes de absorbance unités. L'instrument utilisé pour ce faire s'appelle un spectrophotomètre.

Le spectrophotomètre vous donne une mesure de l'absorbance lumineuse qui est directement proportionnelle à la densité bactérienne (c'est-à-dire que l'absorbance lumineuse est une constante multipliée par la densité bactérienne). L'absorbance est en fait définie par

[ ext { Absorbance } quad=quad-log _{10} frac{I_{t}}{I_{0}}]

où (I_0) est l'intensité lumineuse traversant le milieu sans bactéries présentes et C'est l'intensité lumineuse traversant le milieu avec bactéries au temps (t). Il peut sembler plus naturel d'utiliser

[frac{I_{0}-I_{t}}{I_{0}}]

comme mesure de l'absorbance. La raison de l'utilisation de (log_{10} frac{I_t}{I_0}) est liée à notre prochain exemple d'absorbance de la lumière sous la surface d'un lac, mais n'est facile à expliquer qu'après l'étude des modèles continus. Voir chapitre ?? (Exercer ??).

1.1.1 Étapes vers la construction d'un modèle mathématique.

Cette section illustre une séquence possible d'étapes menant à un modèle mathématique de croissance bactérienne.

Étape 1. Modèle mathématique préliminaire : Description de la croissance bactérienne. Les populations bactériennes augmentent rapidement lorsqu'elles sont cultivées à de faibles densités bactériennes dans des nutriments abondants. L'augmentation de la population est due à la fission binaire - des cellules individuelles se divisent de manière asexuée en deux cellules, puis les deux cellules se divisent pour former quatre cellules, et ainsi de suite. Le temps nécessaire à une cellule pour mûrir et se diviser est approximativement le même pour deux cellules.

Étape 2. Notation. La première étape vers la construction d'équations pour un modèle mathématique est une introduction à la notation. Dans ce cas, les données concernent le temps et la densité bactérienne, et il est facile de laisser (t) désigner le temps et (B_t) désigner la densité bactérienne au temps t. Cependant, les données ont été lues en multiples de 16 minutes, et cela aidera notre notation à redimensionner le temps de sorte que (t) soit 0, 1, 2, 3, 4 ou 5. Ainsi B3 est la densité bactérienne au moment (3 x 16 = 48) minutes. Le temps remis à l'échelle est indiqué sous « Index de temps » dans le tableau 1.1.

Étape 3. Dérivez une équation dynamique. Dans certains cas, votre modèle mathématique sera suffisamment explicite pour que vous puissiez écrire l'équation dynamique directement à partir du modèle. Pour ce développement, nous examinons d'abord des calculs supplémentaires et des graphiques des données.

Étape 3a. Calcul des taux de variation à partir des données. Le tableau 1.1 contient une colonne calculée, « Changement de population par unité de temps ». Dans le modèle mathématique, le temps nécessaire à une cellule pour mûrir et se diviser est approximativement constant, et la variation globale de la population par unité de temps devrait fournir des informations utiles.

Explorer 1.1.1 Faites ceci. C'est important. Supposons que le temps nécessaire à une cellule pour mûrir et se diviser soit de τ minutes. Quelle fraction des cellules doit se diviser chaque minute ?

En utilisant nos notations,

[B_{0}=0.022, quad B_{1}=0.036, quad B_{2}=0.060, quad ext { etc. }]

et

[B_{1}-B_{0}=0.014, quad B_{2}-B_{1}=0.024, quad ext { etc. }]

Étape 3b. Graphiques des données. Une autre étape importante de la modélisation consiste à obtenir une image visuelle des données. La figure 1.1.1 montre trois graphiques qui illustrent la croissance bactérienne. Croissance bactérienne A est un graphique de la colonne 3 par rapport à la colonne 2, B est un graphique de la colonne 4 par rapport à la colonne 2 et C est un graphique de la colonne 4 par rapport à la colonne 3 du tableau 1.1.

Figure (PageIndex{1}) : (A) Densité de population bactérienne, (B_t) , en fonction de l'indice temporel, t. (B) Changement de densité de population par unité de temps, (B_{t+1} − B_t) , en fonction de l'indice de temps, (t). (C) Changement de densité de population par unité de temps, (B_{t+1} − B_t) , vs densité de population, (B_t) .

Noter

En traçant des données, l'expression « tracer B contre A » signifie que B est la coordonnée verticale et A est la coordonnée horizontale. Les étudiants inversent parfois les axes et perturbent une convention couramment utilisée qui a commencé il y a environ 350 ans. En traçant la densité bactérienne en fonction du temps, les élèves peuvent mettre la densité bactérienne sur l'axe horizontal et le temps sur l'axe vertical, contrairement à la pratique largement utilisée. Peut-être que si le mathématicien qui a introduit la géométrie analytique, René DesCartes de France et de Belgique, avait vécu en Chine où les documents sont lus de haut en bas par colonnes et de droite à gauche, le tracé des données suivrait une autre convention.

Nous vous suggérons d'utiliser la convention établie.

Le graphique Croissance bactérienne A est une image classique de croissance à faible densité avec le graphique courbé vers le haut indiquant un taux de croissance croissant. Observez à partir de la croissance bactérienne B que le taux de croissance (colonne 4, échelle verticale) augmente avec le temps.

Le graphique Croissance bactérienne C est un graphique important pour nous, car il relie l'augmentation bactérienne à la densité bactérienne, et l'augmentation bactérienne est basée sur la division cellulaire décrite dans notre modèle mathématique. Parce que les points se trouvent approximativement sur une ligne droite, il est facile d'obtenir une équation descriptive de cette relation. Remarque : voir Explorer 1.1.1.

Étape 3c. Une équation descriptive des données. La figure 1.1.2 montre une reproduction du graphique Croissance bactérienne C dans laquelle le point (0,15, 0,1) est marqué d'un « + » et une ligne est tracée entre (0, 0) et (0,15, 0,1). La pente de la droite est de 2/3. La ligne est « ajustée à l'œil nu » aux quatre premiers points. La ligne peut être « ajustée » de manière plus quantitative, mais il n'est pas nécessaire de le faire à ce stade.

Explorer 1.1.2 Faites ceci.

  1. Pourquoi la ligne de la figure 1.1.2 devrait-elle passer par (0, 0) ?
  2. Supposons que la pente de la droite soit 2/3. Estimez le temps nécessaire à une cellule pour mûrir et se diviser.

Le cinquième point, qui est ((B_{4}, B_{5} − B_{4}) = (0,169, 0,097)) se trouve en dessous de la ligne. Parce que la ligne est si proche des quatre premiers points, il y a une suggestion qu'au cours de la quatrième période, la croissance, (B_{5} − B_{4} = 0.97), est inférieure aux attentes, ou peut-être, (B_{5} = 0,266) est une erreur de mesure et doit être plus grande. Ces bactéries ont effectivement été cultivées et mesurées pendant 160 minutes et nous trouverons dans le Volume II, Chapitre 14 que la valeur mesurée (B_{5} = 0,266) est cohérente avec les données restantes. La croissance bactérienne ralentit après (t = 4), ou après 64 minutes.

Figure (PageIndex{2}) : Une ligne ajustée aux quatre premiers points de données de croissance bactérienne. La ligne contient (0,0) et (0,15, 0,1) et a une pente = 2/3.

La pente de la droite dans Bacterial Growth C est (frac{0.1}{0.15}=frac{2}{3}) et l'ordonnée à l'origine est 0. Par conséquent, une équation de la droite est

[y=frac{2}{3} x]

Étape 3d. Convertir une équation de données en une équation dynamique. Les points de la croissance bactérienne C ont été tracés en laissant (x = B_t) et (y = B_{t+1} − B_{t}) pour (t) = 0, 1, 2, 3, et 4. Si nous substituons x et y dans l'équation de données (y = frac{2}{3} x) nous obtenons [B_{t+1}-B_{t}=frac{2} {3} B_{t} label{1.1}] L'équation ef{1.1} est notre première instance d'une équation dynamique décrivant un processus biologique.

Étape 4. Améliorer le modèle mathématique préliminaire de l'étape 1. Le modèle mathématique préliminaire de l'étape 1 décrit la division cellulaire microscopique et peut être étendu pour décrire la densité cellulaire macroscopique qui a été observée dans l'expérience. On pourrait extrapoler à partir de la déclaration originale, mais les données observées guident le développement.

En mots, l'équation ef{1.1} dit que la croissance pendant l'intervalle de temps (t^{th}) est (frac{2}{3}) fois (B_t) , les bactéries présentes à temps (t), le début de la période. Le nombre (frac{2}{3}) est appelé le taux de croissance relatif - la croissance par intervalle de temps est des deux tiers de la taille actuelle de la population. Plus généralement, on peut dire :

Modèle mathématique 1.1.1 Croissance bactérienne. Une fraction fixe de cellules se divise à chaque période. (Dans ce cas, les deux tiers des cellules se divisent toutes les 16 minutes.)

Étape 5. Calculez une solution à l'équation dynamique. Nous calculons d'abord les estimations de (B_1) et (B_2) prédites par l'équation dynamique. L'équation dynamique ef{1.1} spécifie le changement de densité bactérienne ((B_{t+1} − B_{t})) de (t) au temps (t + 1). Pour être utile, une valeur initiale de (B_0) est requise. Nous supposons le point de données d'origine, (B_0 = 0,022) comme point de référence. Il sera commode de changer (B_{t+1} − B_{t} = frac{2}{3} B_t) en ce que nous appelons un itération équation:

[B_{t+1}-B_{t}=frac{2}{3} B_{t} quad B_{t+1}=frac{5}{3} B_{t} label{ 1.2}]

L'équation d'itération ef{1.2} est un raccourci pour au moins cinq équations

[B_{1}=frac{5}{3} B_{0}, quad B_{2}=frac{5}{3} B_{1}, quad B_{3}=frac{ 5}{3} B_{2}, quad B_{4}=frac{5}{3} B_{3}, quad ext { et } quad B_{5}=frac{5}{ 3} B_{4}]

En commençant par (B_{0} = 0,022) nous pouvons calculer

[egin{array}{l}
B_{1}=frac{5}{3} B_{0}=frac{5}{3} 0,022=0,037
B_{2}=frac{5}{3} B_{1}=frac{5}{3} 0,037=0,061
end{tableau}]

Explorer 1.1.3 Utilisez (B_{0} = 0,022) et (B_{t+1} = frac{5}{3} B_t) pour calculer (B_{1}, B_{2}, B_{3} , B_{4}) et (B_{5}). Il existe également des notations importantes utilisées pour décrire les valeurs de (B_t) déterminées par l'itération (B_{t+1}=frac{5}{3} B_{t}). Nous pouvons écrire

[egin{array}{lll}
B_{1} & =frac{5}{3} B_{0}
B_{2} & =frac{5}{3} B_{1} & B_{2}=frac{5}{3}gauche(frac{5}{3} B_{0}droit) & =frac{5}{3} frac{5}{3} B_{0}
B_{3} & =frac{5}{3} B_{2} & B_{3}=frac{5}{3}gauche(frac{5}{3} frac{5}{3 } B_{0} ight) & =frac{5}{3} frac{5}{3} frac{5}{3} B_{0}
end{tableau}]

Explorer 1.1.4 Écrivez une équation pour B4 en fonction de B0, en utilisant la régularité des dernières équations.

A l'intervalle de temps 5, on obtient

[B_{5}=frac{5}{3} frac{5}{3} frac{5}{3} frac{5}{3} frac{5}{3} B_{0 }]

ce qui est encombrant et s'écrit généralement

[B_{5}=gauche(frac{5}{3}droit)^{5} B_{0}]

La forme générale est

[B_{t}=gauche(frac{5}{3} ight)^{t} B_{0}=B_{0}gauche(frac{5}{3} ight)^{ t} label{1.3}]

En utilisant la densité de population de départ, (B_{0} = 0,022), l'équation ef{1.3} devient

[B_{t}=0.022left(frac{5}{3} ight)^{t} label{1.4}]

et est la solution de la condition initiale et de l'équation dynamique ef{1.1}

[B_{0}=0.022, quad B_{t+1}-B_{t}=frac{2}{3} B_{t}]

Populations dont la croissance est décrite par une équation de la forme

[P_{t}=P_{0} R^{t} quad ext { avec } quad R>1]

sont dits avoir une croissance exponentielle.

L'équation ef{1.4} est écrite en termes d'indice de temps, (t). En termes de temps, (T) en minutes, (T = 16t) et l'équation ef{1.4} peuvent s'écrire

[B_{T}=0.022left(frac{5}{3} ight)^{T/16}=0.022 (1.032)^{T} label{1.5}]

Étape 6. Comparez les prédictions du modèle mathématique avec les données d'origine. Comment avons-nous fait? C'est-à-dire, dans quelle mesure les valeurs calculées de la densité bactérienne, (B_t) , correspondent-elles aux valeurs observées ? Les valeurs d'origine et calculées sont illustrées à la figure 1.1.3.

pH 6,25
Temps (min)Indice de tempsDensité de populationDensité calculée
000.0220.022
1610.0360.037
3220.0600.061
4830.1010.102
6440.1690.170
8050.2660.283

Figure (PageIndex{3}) : Comparaison tabulaire et graphique des densités bactériennes réelles (o) avec les densités bactériennes calculées à partir de l'équation 1.3 (+).

Les valeurs calculées correspondent étroitement aux valeurs observées, sauf pour la dernière mesure où la valeur observée est inférieure à la valeur prédite à partir du modèle mathématique. L'effet de l'encombrement cellulaire ou de la contamination environnementale ou de l'âge des cellules commence à apparaître après une heure d'expérimentation et le modèle n'en tient pas compte. Nous reviendrons sur cette population avec des données pour les 80 prochaines minutes de croissance dans la section 15.6.1 et développerons un nouveau modèle qui tiendra compte du taux de croissance décroissant à mesure que la taille de la population augmente.

1.1.2 Concernant la validité d'un modèle.

Nous avons utilisé le modèle de population une fois et avons constaté qu'il correspond assez bien aux données. La validité d'un modèle, cependant, n'est établie qu'après de multiples utilisations dans de nombreux laboratoires et un examen critique des forces et des interactions qui conduisent aux équations du modèle. Les modèles évoluent au fur et à mesure que les connaissances s'accumulent. Le modèle de l'humanité de l'univers a évolué de la croyance que la Terre est le centre de l'univers, au modèle copernicien que le soleil est le centre de l'univers, à la réalisation que le soleil n'est qu'une seule étoile parmi quelque 200 milliards galaxie, à la réalisation étonnamment récente (Hubble, 1923) que notre galaxie de la Voie lactée n'est qu'une seule galaxie parmi un énorme univers de galaxies.

Il est heureux que notre équation de solution corresponde aux données, mais il faut reconnaître que deux paramètres cruciaux, (P_0) et (r), ont été calculés à partir des données, de sorte qu'un ajustement peut ne pas être une grande surprise. D'autres équations correspondent également aux données. La parabole, (y = 0,0236 + 0,000186 t + 0,00893 t^2), calculée par les moindres carrés ajustés aux cinq premiers points de données est illustrée à la figure 1.1.4, et elle correspond aux données tout comme (P_ {t} = 0,022(5/3)t). Nous préférons (P_{t} = 0,022(5/3)t) comme explication des données à la parabole obtenue par la méthode des moindres carrés car elle est dérivée d'une compréhension de la croissance bactérienne telle que décrite par le modèle alors que l'équation parabolique est simplement une correspondance entre l'équation et les données.

Exercices pour la section 1.1, Données expérimentales, croissance bactérienne

Figure (PageIndex{4}) : Un graphique de (y=0.0236+.000186 t+0.00893 t^{2}) (+) qui est l'ajustement quadratique par les moindres carrés aux six premiers points de données (o) de la croissance de V. natriegens dans le tableau 1.1

Exercice 1.1.1 Calculez B1, B2 et B3 comme à l'étape 5 de cette section pour

  1. (B_{0}=4 quad B_{t+1}-B_{t}=0,5 B_{t})
  2. (B_{0}=4 quad B_{t+1}-B_{t}=0.1 B_{t})
  3. (B_{0}=0,2 quad B_{t+1}-B_{t}=0,05 B_{t})
  4. (B_{0}=0.2 quad B_{t+1}-B_{t}=1 B_{t})
  5. (B_{0}=100 quad B_{t+1}-B_{t}=0.4 B_{t})
  6. (B_{0}=100 quad B_{t+1}-B_{t}=0,01 B_{t})

Exercice 1.1.2 Écrivez une équation solution pour les conditions initiales et les équations dynamiques de l'exercice 1.1.1 similaire à l'équation solution ef{1.4}, (B_{t} = (5/3)^{t}0.022) de la paire (B_{0} = 0,022, B_{t+1} − B_{t} = (2/3)B_{t} ).

Exercice 1.1.3 Observez que le graphique Croissance bactérienne C est un tracé de (B_{t+1} − B_{t} vs B_{t} ) Les points sont (left(B_{0}, B_{1}-B_ {0} ight),left(B_{1}, B_{2}-B_{1} ight)), etc. La deuxième coordonnée, (B_{t+1} - B_{t} ) est l'augmentation de la population pendant la période (t), étant donné que la population au début de la période est (B_{t}). Expliquez pourquoi le point (0, 0) serait un point de ce graphique.

Exercice 1.1.4 Le tableau 1.2 présente quatre ensembles de données. Pour chaque jeu de données, trouvez un nombre (r) de sorte que les valeurs (B_{1}, B_{2}, B_{3}, B_{4}, B_{5}) et (B_6 ) calculé à partir de l'équation aux différences

[B_{0}= ext { comme indiqué dans le tableau, } quad B_{t+1}-B_{t}=r B_{t}]

sont proches des nombres correspondants dans le tableau. Calculez les nombres, (B_1) à (B_6) en utilisant votre valeur de (r) dans l'équation, (B_{t+1} = (1 + r) B_t ), et comparez votre calcul numéros avec les données d'origine.

Pour chaque ensemble de données, suivez les étapes 3, 5 et 6. La ligne que vous tracez près des données à l'étape 3 doit passer par (0, 0).

Exercice 1.1.5 La bactérie V. natriegens a également été cultivé dans un milieu de croissance avec un pH de 7,85. Les données de cette expérience sont présentées dans le tableau 1.3. Répétez l'analyse des étapes 1 à 9 de cette section pour ces données. Après avoir terminé les étapes 1 à 9, comparez votre taux de croissance relatif calculé de V. natriegens à pH 7,85 avec notre taux de croissance relatif calculé de 2/3 à pH 6,25.

Exercice 1.1.6 Quelle condition initiale et quelle équation dynamique décriraient la croissance d'un Escherichia coli population dans un milieu nutritif qui avait 250 000 E. coli cellules par millilitre au début d'une expérience et un quart des cellules divisées toutes les 30 minutes.

Tableau 1.2 : Tableaux de données pour l'exercice 1.1.4
(une)(b)(c)(ré)
(t)(B_t)(t)(B_t)(t)(B_t)(t)(B_t)
01.9900.015022.10287
12.6810.021123.41331
23.6320.031226.12375
34.8930.040327.53450
46.6340.055430.54534
58.9350.075534.45619
612.1060.106636.66718
Tableau 1.3 : Données de l'exercice 1.1.5, V. natriegens croissance dans un milieu à pH 7,85.
pH 7.85
Temps (min)Densité de population
00.028
160.047
320.082
480.141
640.240
800.381

2 Dictionnaire collégial de Merriam Webster, dixième édition.

3 L'expérience était un projet semestriel de Deb Christensen dans lequel plusieurs V. natriegens les populations ont été cultivées dans une gamme de valeurs de pH.