Des articles

1.4.4E : Exercices pour la Section 12.4 - Mathématiques


Détermination de la longueur de l'arc

Aux questions 1 à 6, trouvez la longueur de l'arc de la courbe sur l'intervalle donné.

1) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+(2t^2+1),hat{mathbf{j}}, quad 1≤t ≤3)

Réponse:
(8sqrt{5}) unités

2) (vecs r(t)=t^2 ,hat{mathbf{i}}+14t ,hat{mathbf{j}},quad 0≤t≤7). Cette partie du graphique est montrée ici :

3) (vecs r(t)=⟨t^2+1,4t^3+3⟩, quad −1≤t≤0)

Réponse:
(frac{1}{54}(37^{3/2}−1)) unités

4) (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩,quad 0≤t≤π). Cette partie du graphique est montrée ici :

5) (vecs r(t)=⟨e^{−t cos t},e^{−t sin t}⟩) sur l'intervalle ([0,frac{π}{2} ]). Voici la portion du graphique sur l'intervalle indiqué :

6)

7) Trouver la longueur d'un tour de l'hélice donnée par (vecs r(t)= frac{1}{2} cos t ,hat{mathbf{i}}+frac{1} {2} sin t ,hat{mathbf{j}}+sqrt{frac{3}{4}}t ,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
Longueur (=2π) unités

8) Trouver la longueur d'arc de la fonction vectorielle (vecs r(t)=−t ,hat{mathbf{i}}+4t ,hat{mathbf{j}}+3t ,hat{mathbf{k}}) sur ([0,1]).

9) Une particule se déplace dans un cercle avec l'équation du mouvement (vecs r(t)=3 cos t ,hat{mathbf{i}}+3 sin t ,hat{mathbf{ j}} +0 ,hat{mathbf{k}}). Trouvez la distance parcourue autour du cercle par la particule.

Réponse:
(6π) unités

10) Mettre en place une intégrale pour trouver la circonférence de l'ellipse avec l'équation (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+2 sin t ,hat{ mathbf{j}}+0,hat{mathbf{k}}).

11) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨sqrt{2}t,e^t,e^{−t}⟩) sur l'intervalle (0≤t≤1) . Le graphique est montré ici :

Réponse:
(left(e−frac{1}{e} ight)) unités

12) Trouver la longueur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩) pour (t∈[−10,10]).

Vecteurs tangents unitaires et vecteurs normaux unitaires

13) La fonction de position d'une particule est (vecs r(t)=a cos( ωt) ,hat{mathbf{i}}+b sin (ωt) ,hat{mathbf{ j}}). Trouvez le vecteur tangent unitaire et le vecteur normal unitaire à (t=0).

Solution:
(vecs r'(t) = -aω sin( ωt) ,hat{mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}})
( | vecs r'(t) | = sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^2(ωt)} )
(vecs T(t) = dfrac{vecs r'(t)}{| vecs r'(t) | } = dfrac{-aω sin( t) ,hat{ mathbf{i}}+bω cos (ωt) ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{a^2 ω^2 sin^2(ωt) +b^2ω^2cos^ 2(ωt)}})
(vecs T(0)= ​​dfrac{bω ,hat{mathbf{j}}}{sqrt{(bω)^2}} = dfrac{bω ,hat{mathbf{j }}}{|bω|})
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; T(0)= ​​-hat{mathbf{ j}})
Réponse:
Si (bω > 0, ; vecs T(0)= ​​hat{mathbf{j}},) et si ( bω < 0, ; vecs T(0)= ​​-hat{ mathbf{j}})
Si (a > 0, ; vecs N(0)= -hat{mathbf{i}},) et si ( a < 0, ; vecs N(0)= hat{ mathbf{i}})

14) Soit (vecs r(t)=a cos (ωt) ,hat{mathbf{i}} +b sin (ωt) ,hat{mathbf{j}}), trouver le vecteur binormal (vecs B(0)).

15) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)).

Réponse:
(egin{align*} vecs T(t) &=⟨frac{2}{sqrt{6}},, frac{cos t− sin t}{sqrt{6}} , , frac{cos t+ sin t}{sqrt{6}}⟩ [4pt]
&= ⟨frac{sqrt{6}}{3},, frac{sqrt{6}}{6} (cos t− sin t), , frac{sqrt{6} }{6} (cos t+ sin t)⟩ end{align*})

16) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) évalué à (t=0), (vecs T(0)).

17) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), déterminer le vecteur normal unitaire (vecs N(t)).

Réponse:
(vecs N(t)=⟨0,, -frac{sqrt{2}}{2} (sin t + cos t), , frac{sqrt{2}}{2 } (cos t- sin t)⟩)

18) Étant donné (vecs r(t)=⟨2e^t,e^t cos t,e^t sin t⟩), trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) évalué à (t=0), (vecs N(0)).

Réponse:
(vecs N(0)=⟨0, ;-frac{sqrt{2}}{2},;frac{sqrt{2}}{2}⟩)

19) Étant donné (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{mathbf{k }}), trouvez le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)). Le graphique est montré ici :

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{4t^2+2}}<1,2t,1>)

20) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) et le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) en (t=0) pour la courbe plane (vecs r(t )=⟨t^3−4t,5t^2−2⟩). Le graphique est montré ici :

21) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=3t ,hat{mathbf{i}}+5t^2 ,hat{mathbf {j}}+2t ,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{100t^2+13}}(3 ,hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j} }+2 ,hat{mathbf{k}}))

22) Trouver le vecteur normal principal à la courbe (vecs r(t)=⟨6 cos t,6 sin t⟩) au point déterminé par (t=frac{π}{3} ).

23) Trouver (vecs T(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t) ,hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ) ,hat{mathbf{j}}).

Réponse:
(vecs T(t)=frac{1}{sqrt{9t^4+76t^2+16}}([3t^2−4],hat{mathbf{i}}+10t ,hat{mathbf{j}}))

24) Trouver (vecs N(t)) pour la courbe (vecs r(t)=(t^3−4t),hat{mathbf{i}}+(5t^2−2 ),hat{mathbf{j}}).

25) Trouver le vecteur tangent unitaire (vecs T(t)) pour (vecs r(t)=⟨2 sin t,, 5t,, 2 cos t⟩).

Réponse:
(vecs T(t)=⟨frac{2sqrt{29}}{29}cos t,, frac{5sqrt{29}}{29},,−frac{2 sqrt{29}}{29}sin t⟩)

26) Trouver le vecteur normal unitaire (vecs N(t)) pour (vecs r(t)=⟨2sin t,,5t,,2cos t⟩).

Réponse:
(vecs N(t)=⟨−sin t,0,−cos t⟩)

Paramétrage de la longueur de l'arc

27) Trouver la fonction de longueur d'arc (vecs s(t)) pour le segment de droite donné par (vecs r(t)=⟨3−3t,, 4t⟩). Ensuite, écrivez le paramétrage de la longueur d'arc de (r) avec (s) comme paramètre.

Réponse:
Fonction de longueur d'arc : (s(t)=5t); Le paramétrage de la longueur d'arc de (vecs r(t)): (vecs r(s)=(3−frac{3s}{5}),hat{mathbf{i}}+ frac{4s}{5},hat{mathbf{j}})

28) Paramétrer l'hélice (vecs r(t)= cos t ,hat{mathbf{i}}+ sin t ,hat{mathbf{j}}+t ,hat{ mathbf{k}}) en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), de (t=0).

29) Paramétrer la courbe en utilisant le paramètre de longueur d'arc (s), au point où (t=0) pour (vecs r(t)=e^t sin t ,hat{ mathbf{i}} + e^t cos t ,hat{mathbf{j}})

Réponse:
(vecs r(s)=(1+frac{s}{sqrt{2}}) sin ( ln (1+ frac{s}{sqrt{2}})), chapeau{mathbf{i}} +(1+ frac{s}{sqrt{2}}) cos [ ln (1+frac{s}{sqrt{2}})], chapeau{mathbf{j}})

Courbure et cercle osculateur

30) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+4 sin t ,hat{mathbf{j}}) à (t=π/3). (Noter: Le graphique est une ellipse.)

31) Trouvez la coordonnée (x) à laquelle la courbure de la courbe (y=1/x) est une valeur maximale.

Réponse:
La valeur maximale de la courbure se produit à (x=1).

32) Trouver la courbure de la courbe (vecs r(t)=5 cos t ,hat{mathbf{i}}+5 sin t ,hat{mathbf{j}}) . La courbure dépend-elle du paramètre (t) ?

33) Trouver la courbure (κ) pour la courbe (y=x−frac{1}{4}x^2) au point (x=2).

Réponse:
(frac{1}{2})

34) Trouvez la courbure (κ) pour la courbe (y=frac{1}{3}x^3) au point (x=1).

35) Trouver la courbure (κ) de la courbe (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+6t^2 ,hat{mathbf{j}}+ 4t ,hat{mathbf{k}}). Le graphique est montré ici :

Réponse:
(κ≈dfrac{49.477}{(17+144t^2)^{3/2}})

36) Trouver la courbure de (vecs r(t)=⟨2 sin t,5t,2 cos t⟩).

37) Trouver la courbure de (vecs r(t)=sqrt{2}t ,hat{mathbf{i}}+e^t ,hat{mathbf{j}}+e^ {−t} ,hat{mathbf{k}}) au point (P(0,1,1)).

Réponse:
(frac{1}{2sqrt{2}})

38) A quel point la courbe (y=e^x) a-t-elle une courbure maximale ?

39) Qu'arrive-t-il à la courbure en tant que (x→∞) pour la courbe (y=e^x) ?

Réponse:
La courbure approche de zéro.

40) Trouvez le point de courbure maximale sur la courbe (y=ln x).

41) Trouver les équations du plan normal et du plan osculateur de la courbe (vecs r(t)=⟨2 sin (3t),t,2 cos (3t)⟩) au point ((0 ,π,−2)).

Réponse:
(y=6x+π) et (x+6y=6π)

42) Trouver les équations des cercles osculateurs de l'ellipse (4y^2+9x^2=36) aux points ((2,0)) et ((0,3)).

43) Trouver l'équation du plan osculateur au point (t=π/4) sur la courbe (vecs r(t)=cos (2t) ,hat{mathbf{i}}+ sin (2t) ,hat{mathbf{j}}+t,hat{mathbf{k}}).

Réponse:
(x+2z=frac{π}{2})

44) Trouver le rayon de courbure de (6y=x^3) au point ((2,frac{4}{3}).)

45) Trouver la courbure en chaque point ((x,y)) sur l'hyperbole (vecs r(t)=⟨a cosh( t),b sinh (t)⟩).

Réponse:
(dfrac{a^4b^4}{(b^4x^2+a^4y^2)^{3/2}})

46) Calculer la courbure de l'hélice circulaire (vecs r(t)=r sin (t) ,hat{mathbf{i}}+r cos (t) ,hat{mathbf{ j}}+t ,hat{mathbf{k}}).

47) Trouvez le rayon de courbure de (y= ln (x+1)) au point ((2,ln 3)).

Réponse:
(frac{10sqrt{10}}{3})

48) Trouvez le rayon de courbure de l'hyperbole (xy=1) au point ((1,1)).

Une particule se déplace le long de la courbe plane (C) décrite par (vecs r(t)=t ,hat{mathbf{i}}+t^2 ,hat{mathbf{j}} ). Utilisez ce paramétrage pour répondre aux questions 49 à 51.

49) Trouvez la longueur de la courbe sur l'intervalle ([0,2]).

Réponse:
(frac{1}{4}ig[ 4sqrt{17} + lnleft(4+sqrt{17} ight)ig] ext{ units }approx 4.64678 ext{ units })

50) Trouvez la courbure de la courbe plane à (t=0,1,2).

51) Décrivez la courbure comme t augmente de (t=0) à (t=2).

Réponse:
La courbure est décroissante sur cet intervalle.

La surface d'une grande tasse est formée en faisant tourner le graphe de la fonction (y=0.25x^{1.6}) de (x=0) à (x=5) autour du (y) -axe (mesuré en centimètres).

52) [T] Utilisez la technologie pour tracer la surface.

53) Trouver la courbure (κ) de la courbe génératrice en fonction de (x).

Réponse:
(κ=dfrac{30}{x^{2/5}gauche(25+4x^{6/5}droit)^{3/2}})

Notez qu'initialement votre réponse peut être :
(dfrac{6}{25x^{2/5}gauche(1+frac{4}{25}x^{6/5}droit)^{3/2}})

Nous pouvons le simplifier comme suit :
( egin{align*} dfrac{6}{25x^{2/5}left(1+frac{4}{25}x^{6/5} ight)^{3/2} } &= dfrac{6}{25x^{2/5}grand[frac{1}{25}gauche(25+4x^{6/5}droit)grand]^{3/2 }}[4pt]
&= dfrac{6}{25x^{2/5}gauche(frac{1}{25} ight)^{3/2}ig[25+4x^{6/5}ig] ^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{6}{frac{25}{125}x^{2/5}ig[25+4x^{6/5}ig]^{3/2}} [4pt]
&= dfrac{30}{x^{2/5}left(25+4x^{6/5} ight)^{3/2}}end{align*} )

54) [T] Utilisez la technologie pour représenter graphiquement la fonction de courbure.


1.4.4E : Exercices pour la Section 12.4 - Mathématiques

L.H.S.=

C1→C1+C2

=

Selon les propriétés du déterminant


Question 2.

L.H.S.=

=0 [∵ Tout élément de C1 sont 0]

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.


Question 3.

L.H.S.=

C3→C3-C1

=

=

=9 ×0=0 [∵C2 & C3 sont identiques]

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.

Donc prouvé

Question 4.

L.H.S.=

=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.

Donc prouvé

Question 5.

L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.


Question 6.

Soit =

Prendre (-1) commun à chaque ligne

=(-1) 3

Échanger des lignes et des colonnes

=-

Maintenant, =-Δ

+Δ=0

2Δ=0


Question 7.

L.H.S.=

En prenant le a commun de la rangée 1,

b de la rangée 2,

c de la ligne 3, nous avons

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.


En utilisant les propriétés des déterminants, dans les exercices 8 à 14, montrez que :

Question 8(i).

(ii)

(je) L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.

Donc prouvé

(ii) L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.


Question 9.

L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.


Question 10.(i)

(ii)

(je) L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.

Donc prouvé

(ii) L.H.S.=

Maintenant, L.H.S.=R.H.S.

Donc prouvé


Gagnez du temps avec des devoirs prêts à l'emploi créés par des experts en la matière spécifiquement pour ce manuel. Vous pouvez personnaliser et planifier toutes les affectations que vous souhaitez utiliser.

Des ressources pédagogiques et d'apprentissage supplémentaires sont disponibles avec le manuel et peuvent inclure des banques de tests, des présentations de diapositives, des simulations en ligne, des vidéos et des documents.

Aperçu du pack de cours

Gagnez du temps avec des devoirs prêts à l'emploi créés par des experts en la matière spécifiquement pour ce manuel. Vous pouvez personnaliser et planifier toutes les affectations que vous souhaitez utiliser.

Aperçu du pack de cours

Gagnez du temps avec des devoirs prêts à l'emploi créés par des experts en la matière spécifiquement pour ce manuel. Vous pouvez personnaliser et planifier toutes les affectations que vous souhaitez utiliser.

L'accès est subordonné à l'utilisation de ce manuel dans la salle de classe de l'instructeur.

  • Chapitre 1: Résolution de problème
    • 1.1 : Raisonnement inductif et déductif (28)
    • 1.2 : Résolution de problèmes avec des modèles (17)
    • 1.3 : Stratégies de résolution de problèmes (21)
    • 1 : Exercices de révision
    • 1 : Tester
    • 1.IR1 : ajouter des nombres entiers (54)
    • 1.IR2 : Résoudre les problèmes d'application (6)
    • 1.IR3 : Soustraire des nombres entiers sans emprunter (31)
    • 1.IR4 : Soustraire des nombres entiers en empruntant (56)
    • 1.IR5 : Évaluer une expression variable (48)
    • 1.IR6 : Trouver la racine carrée d'un carré parfait (44)
    • 1.IR7 : Lire un graphique circulaire (11)
    • 1.IR8 : Lire un graphique à barres (6)
    • 1.IR9 : Lire un graphique en ligne brisée (6)
    • 1.IR10 : Écrire les termes d'une séquence (22)
    • 2.1 : Propriétés de base des ensembles (40)
    • 2.2 : Compléments, sous-ensembles et diagrammes de Venn (28)
    • 2.3 : Opérations de réglage (27)
    • 2.4 : Applications des ensembles (24)
    • 2.5 : Ensembles infinis (17)
    • 2 : Exercices de révision
    • 2: Tester
    • 2 : Responsive Lab : Diagrammes de Venn (1)
    • 2.IR1 : ensembles d'écriture et de graphique (45)
    • 2.IR2 : Trouver l'union et l'intersection des ensembles (30)
    • 3.1 : Énoncés logiques et quantificateurs (27)
    • 3.2 : Tables de vérité, déclarations équivalentes et tautologies (22)
    • 3.3 : Le conditionnel et le biconditionnel (21)
    • 3.4 : Les énoncés conditionnels et associés (17)
    • 3.5 : Arguments symboliques (19)
    • 3.6 : Arguments et diagrammes d'Euler (18)
    • 3 : Exercices de révision
    • 3: Tester
    • 3.IR1 : Évaluer les expressions exponentielles et utiliser l'accord sur l'ordre des opérations (3)
    • 3.IR2 : Utiliser et identifier les propriétés des nombres réels (18)
    • 4.1 : Introduction à la répartition (18)
    • 4.2 : Introduction au vote (22)
    • 4.3 : systèmes de vote pondéré (24)
    • 4 : Exercices de révision
    • 4: Tester
    • 4: Responsive Lab: Théorème d'impossibilité d'Arrow (1)
    • 4.IR1 : Multiplier un nombre par un seul chiffre (39)
    • 4.IR2 : diviser par un seul chiffre sans reste dans le quotient (16)
    • 4.IR3 : diviser par un seul chiffre avec un reste dans le quotient (25)
    • 4.IR4 : Simplifier les expressions contenant des exposants (40)
    • 4.IR5 : Utiliser l'accord sur l'ordre des opérations pour simplifier les expressions (40)
    • 4.IR6 : arrondir une décimale à une valeur de position donnée (14)
    • 4.IR7 : Convertir des fractions en décimales (10)
    • 4.IR8 : écrivez une décimale ou une fraction en pourcentage (37)
    • 4.IR9 : Écrire un ensemble à l'aide de la méthode Roster (18)
    • 4.IR10 : Résoudre une inégalité en utilisant la propriété d'addition des inégalités (35)
    • 4.IR11 : Évaluer les expressions contenant le symbole de la valeur absolue (50)
    • 4.IR12 : Évaluer les expressions variables (26)
    • 5.1 : Graphes et circuits d'Euler (17)
    • 5.2 : Graphiques pondérés (22)
    • 5.3 : Planarité et formule d'Euler (16)
    • 5.4 : Coloration du graphique (13)
    • 5 : Exercices de révision
    • 5: Tester
    • 5: Responsive Lab : algorithmes de graphes complets (1)
    • 5.IR1 : Identifier la relation d'ordre entre deux nombres (11)
    • 5.IR2 : évaluer les expressions variables (26)
    • 5.IR3 : Résoudre une équation de la forme X + une = b (30)
    • 6.1 : Premiers systèmes de numération (35)
    • 6.2 : Systèmes de valeur de lieu (33)
    • 6.3 : Différents systèmes de base (35)
    • 6.4 : Arithmétique dans différentes bases (26)
    • 6.5 : Nombres premiers (21)
    • 6.6 : Sujets de la théorie des nombres (24)
    • 6 : Exercices de révision
    • 6 : Tester
    • 6.IR1 : Identifier la relation d'ordre entre deux nombres (11)
    • 6.IR2 : Écrivez des nombres entiers sous forme de mots et sous forme standard (8)
    • 6.IR3 : diviser par un seul chiffre sans reste dans le quotient (16)
    • 7.1 : Mesure (13)
    • 7.2 : Concepts de base de la géométrie euclidienne (24)
    • 7.3 : Périmètre et aire des figures planes (32)
    • 7.4 : Propriétés des Triangles (27)
    • 7.5 : Volume et Superficie (32)
    • 7.6 : Trigonométrie du triangle rectangle (24)
    • 7.7 : Géométrie non euclidienne (22)
    • 7.8 : Fractales (20)
    • 7 : Exercices de révision
    • 7 : Tester
    • 7 : Laboratoire réactif : polygones réguliers (1)
    • 7.IR1: Trouver la longueur et le milieu d'un segment de ligne (13)
    • 7.IR2 : Résoudre des problèmes impliquant des angles formés par des lignes d'intersection (8)
    • 7.IR3: Trouver le périmètre des figures géométriques planes (10)
    • 7.IR4 : Trouver l'aire des figures géométriques (11)
    • 7.IR5 : Trouver le volume des solides géométriques (11)
    • 7.IR6 : Résoudre des triangles similaires et congruents (9)
    • 8.1 : Arithmétique modulaire (25)
    • 8.2 : Applications de l'arithmétique modulaire (23)
    • 8.3 : Introduction à la théorie des groupes (27)
    • 8 : Exercices de révision
    • 8 : Tester
    • 8.IR1 : diviser par un seul chiffre sans reste dans le quotient (16)
    • 8.IR2 : diviser par un seul chiffre avec un reste dans le quotient (25)
    • 8.IR3 : diviser par des nombres entiers plus grands (32)
    • 8.IR4 : Simplifier une expression variable à l'aide des propriétés d'addition (37)
    • 8.IR5 : Déterminer si un nombre donné est une solution d'une équation (17)
    • 8.IR6 : Évaluer les expressions variables (26)
    • 9.1 : Équations et formules du premier degré (26)
    • 9.2 : Taux, ratio et proportion (26)
    • 9,3 : Pourcentage (27)
    • 9.4 : Équations du second degré (26)
    • 9 : Exercices de révision
    • 9 : Tester
    • 9 : Laboratoire réactif : mise à l'échelle d'une recette (1)
    • 9.IR1 : Utiliser et identifier les propriétés des nombres réels (19)
    • 9.IR2 : Évaluer une expression variable (17)
    • 9.IR3 : Simplifier une expression variable (34)
    • 9.IR4 : Résoudre une équation en utilisant la propriété d'addition ou de multiplication des équations (35)
    • 9.IR5 : Écrire des ratios et des taux (4)
    • 9.IR6 : Utiliser les unités de mesure dans le système coutumier américain (10)
    • 9.IR7 : Écrivez sous forme de fraction et sous forme de nombre décimal (41)
    • 9.IR8 : Écrivez les fractions et les nombres décimaux sous forme de pourcentages (43)
    • 10.1 : Coordonnées et fonctions rectangulaires (26)
    • 10.2 : Propriétés des fonctions linéaires (21)
    • 10.3 : Trouver des modèles linéaires (30)
    • 10.4 : Fonctions quadratiques (24)
    • 10.5 : Fonctions exponentielles (25)
    • 10.6 : Fonctions logarithmiques (27)
    • 10 : Exercices de révision
    • 10 : Tester
    • 10 : Laboratoire réactif : Croissance démographique (1)
    • 10.IR1 : Trouver la longueur et le milieu d'un segment de ligne (13)
    • 10.IR2 : représenter graphiquement une fonction linéaire (15)
    • 10.IR3 : Trouver la pente d'une ligne étant donné deux points (28)
    • 10.IR4 : Évaluer les fonctions polynomiales (9)
    • 10.IR5 : Trouver les x-Intercepts d'une parabole (47)
    • 10.IR6 : Trouver le minimum ou le maximum d'une fonction quadratique (14)
    • 10.IR7 : Évaluer une fonction exponentielle (13)
    • 10.IR8 : représenter graphiquement une fonction exponentielle (13)
    • 10.IR9 : Trouver le logarithme d'un nombre (27)
    • 10.IR10 : Utiliser les propriétés des logarithmes pour simplifier les expressions contenant des logarithmes (52)
    • 10.IR11 : Utiliser la formule de changement de base (16)
    • 10.IR12 : tracer une fonction logarithmique (12)
    • 10.IR13 : Résoudre une équation exponentielle (18)
    • 10.IR14 : Résoudre une équation logarithmique (10)
    • 11.1 : Intérêt simple (36)
    • 11.2 : Intérêts composés (34)
    • 11.3 : Cartes de crédit et prêts à la consommation (28)
    • 11.4 : Actions, obligations et fonds communs de placement (21)
    • 11.5 : Propriété du logement (26)
    • 11 : Exercices de révision
    • 11 : tester
    • 11 : Responsive Lab : Cartes de crédit (1)
    • 11.IR1 : Résoudre les problèmes d'investissement (6)
    • 11.IR2 : Résoudre les problèmes d'application (27)
    • 12.1 : Le principe de comptage (21)
    • 12.2 : Permutations et combinaisons (33)
    • 12.3 : Probabilités et cotes (28)
    • 12.4 : Règles d'addition et de complément (29)
    • 12.5 : Probabilité conditionnelle (28)
    • 12.6 : Attente (25)
    • 12 : Exercices de révision
    • 12 : tester
    • 12 : Laboratoire réactif : plaques d'immatriculation (1)
    • 12.IR1 : Écrivez une fraction sous la forme la plus simple (39)
    • 12.IR2 : ajouter des fractions avec le même dénominateur (18)
    • 12.IR3 : ajouter des fractions avec des dénominateurs différents (26)
    • 12.IR4 : ajouter des nombres entiers, des nombres mixtes et des fractions (30)
    • 12.IR5 : diviser les fractions (34)
    • 12.IR6 : Déterminer la probabilité d'événements simples (15)
    • 12.IR7 : Déterminer les chances d'un événement (7)
    • 12.IR8 : Évaluer les expressions variables (26)
    • 12.IR9 : Développer (une + b) n (21)
    • 13.1 : Mesures de la tendance centrale (23)
    • 13.2 : Mesures de dispersion (22)
    • 13.3 : Mesures de position relative (26)
    • 13.4 : Répartition normale (23)
    • 13.5 : Régression linéaire et corrélation (18)
    • 13 : Exercices de révision
    • 13 : Tester
    • 13 : Laboratoire réactif : distributions approximativement normales (1)
    • 13.IR1 : Déterminer les solutions d'équations linéaires à deux variables (21)
    • 13.IR2 : équations graphiques de la forme oui = mx + b (35)
    • 13.IR3 : Déterminer la moyenne, la médiane et le mode d'une distribution (12)
    • 13.IR4 : tracer un tracé à boîtes et à moustaches (7)
    • 13.IR5 : Calculer l'écart type d'une distribution (5)

    Excursions Mathématiques, 4e édition, par Aufmann, Lockwood, Nation et Clegg, explore divers sujets qui illustrent le pouvoir et la diversité des mathématiques. Le texte enseigne aux élèves que les mathématiques sont un système de compréhension de notre environnement en connectant des concepts à des applications contemporaines. Le composant WebAssign pour ce titre engage les étudiants avec de nombreuses fonctionnalités et des liens vers un livre électronique complet.

    Nouveau pour l'automne 2019!

    Mises à jour de la plate-forme

    • Le nouveau livre électronique MindTap Reader désormais pris en charge par HTML5 (non flashé) inclut des ressources multimédias intégrées pour une expérience d'étude plus intégrée
    • Bientôt disponible! Un tout nouvel outil graphique interactif (non flashé) !
    • Nouvelle expérience utilisateur WebAssign pour les étudiants qui permet l'apprentissage à tous les niveaux avec une interface étudiant moderne et améliorée

    Caractéristiques et avantages:

    • Aide en temps opportun : La fonctionnalité d'aide robuste favorise l'apprentissage indépendant avec une large gamme d'outils au niveau de la question ou du devoir, tels que des vidéos Watch It, des didacticiels Master It et des liens Read It vers l'ebook et les commentaires mdashand dès que les étudiants en ont besoin pour terminer leurs devoirs et apprendre les concepts.
    • Packs de cours : Les devoirs prêts à l'emploi créés par des experts en la matière spécifiquement pour ce manuel sont conçus pour vous faire gagner du temps et peuvent être facilement personnalisés pour répondre à vos objectifs d'enseignement.
    • Plan d'étude personnel : Permet à vos étudiants d'évaluer leur maîtrise du matériel et de générer des plans d'étude individualisés qui incluent diverses ressources multimédias interactives en ligne.
    • Aperçu de la classe : WebAssign vous donne une vue analytique des performances de vos étudiants sur des questions et des sujets tout au long du cours. Utilisez Class Insights pour personnaliser vos discussions en classe afin d'examiner les sujets que votre classe ne comprend peut-être pas, ou d'identifier des élèves spécifiques qui peuvent avoir besoin d'une aide supplémentaire.
    • Ressources de l'instructeur comprennent des vidéos de cours, des présentations PowerPoint pour les instructeurs et une banque de tests.
    • Le Activités et exercices d'excursion du manuel sont maintenant disponibles dans WebAssign, beaucoup avec des simulations vidéo ou interactives.
    • Détaillé, élaboré solutions pour certaines questions sont disponibles pour les étudiants à votre discrétion.
    • Revues au niveau des chapitres sont désormais disponibles dans WebAssign. Ces revues préchargées et assignables couvrent les compétences algèbres préalables pertinentes pour les sujets de chaque chapitre.
    • Enseignez à votre façon : Les paramètres entièrement personnalisables, y compris les ajustements automatiques des points et le verrouillage du navigateur, vous permettent d'adapter le cours à vos besoins et de motiver les étudiants.

    Permutation et combinaison

    Un homme peut entrer dans le stade de 4 manières. Encore une fois, l'homme peut quitter le stade de 9 manières.

    Donc, nombre total de voies par lesquelles un homme entre et sort du stade = 4 * 9 = 36 voies.

    Il y a 6 choix pour un étudiant d'entrer dans l'auberge. Il y a 5 choix pour un étudiant de quitter l'auberge car une porte différente doit être utilisée.

    Donc, nombre total de voies = 6 * 5 = 30.

    Il y a 7 choix pour le 1 er fils, 6 choix pour le 2 e fils et 5 choix pour le 3 e fils.

    Maintenant, par le principe de base du comptage, le nombre total de manières de choix = 7 * 6 * 5 = 210.

    Un homme peut aller de la ville A à la ville B de 5 manières. Comme il doit revenir par une autre route, il peut donc revenir de la ville B à la ville A de 4 manières.

    Donc, nombre total de chemins par lesquels un homme peut aller de la ville A à la ville B et revient par une route différente = 5 * 4 = 20 chemins.

    Une personne peut aller de la ville A à la ville B de 5 manières. Encore une fois, il peut aller de la ville B à la ville C de 4 manières. Ainsi, une personne peut aller de la ville A à la ville C en 5 * 4 = 20 voies. La personne doit revenir de C à A sans emprunter deux fois la même route, donc, elle peut revenir de la ville C à la ville B de 3 manières et de la ville B à la ville A de 4 manières.

    Ainsi, il peut revenir de la ville C vers la ville A en 3 * 4 = 12 manières.

    Donc, le nombre total de voies par lesquelles une personne peut aller de la ville A à la ville C et revenir de la ville C à la ville A = 20 * 12 = 240 voies.

    Les nombres formés doivent comporter au moins 3 chiffres, ce qui signifie qu'ils peuvent comporter 3 chiffres, 4 chiffres, 5 chiffres ou 6 chiffres.

    Il y a 6 choix pour le chiffre à la place des unités. Il y a 5 et 4 choix pour les chiffres à dix et cent & rsquos respectivement.

    Donc, nombre total de façons dont les nombres à 3 chiffres peuvent être formés = 6.5.4 = 120

    De même, le nombre total de façons dont les nombres à 4 chiffres peuvent être formés = 6.5.4.3 = 360.

    le nombre total des façons dont les nombres à 5 chiffres peuvent être formés = 6.5.4.3.2 = 720.

    Le nombre total de façons dont les nombres à 4 chiffres peuvent être formés = 6.5.4.3.2.1 = 720.

    Donc, le nombre total de façons dont les nombres d'au moins 3 chiffres peuvent être formés = 120 + 360 + 720 + 720 = 1920.

    Les nombres formés doivent être de trois chiffres et inférieurs à 500, donc le chiffre à la place des centaines doit être 1,2,3 ou 4. Ainsi, il y a 4 choix pour le chiffre à la place des centaines. Il y a 5 choix pour le chiffre à la place des dix. Il y a 4 choix pour le chiffre à la place de l'unité.

    Donc, aucun des moyens par lesquels des nombres à 3 chiffres inférieurs à 500 peuvent être formés = 4.5.4 = 80.

    Les nombres formés doivent être pairs. Ainsi, le chiffre à l'emplacement de l'unité doit être 2 ou 4. Ainsi, le chiffre à l'emplacement de l'unité doit être 2 ou 4. Donc, pour le chiffre à l'emplacement de l'unité, il y a 2 choix. Ainsi, après avoir fixé le chiffre à la place de l'unité, les 4 chiffres restants peuvent être disposés de manière P(4,4).

    Donc, nombre total de façons dont 5 nombres pairs peuvent être formés = 2 * 24 = 48.

    Les nombres formés doivent être de 4 chiffres. Le chiffre à la place des milliers doit toujours être 4. Pour cela, il n'y a qu'un seul choix. Après cela, n = 6 &ndash 1 = 5, r = 4 &ndash 1 = 3. Ensuite, les 5 chiffres restants peuvent être placés aux 3 endroits restants dans :

    Ainsi, le nombre total de façons dont les nombres à 4 chiffres entre 4 000 et 5 000 peuvent être formés = 1 * 60 = 60.

    Pour les numéros à trois chiffres, il y a 5 façons de remplir la 1 ère place, il y a 4 façons de remplir la 2 ème place et il y a 3 façons de remplir la 3 ème place. Par le principe de base du comptage, nombre de nombres à trois chiffres = 5 * 4 * 3 = 60.


    1.4.4E : Exercices pour la Section 12.4 - Mathématiques

    Instructeur: Peijun Li

    Information

    • Section 111 : TR 10h30 - 11h45, WTHR 104
    • Manuel : Algèbre linéaire : idées et applications, par Richard C. Penny, 4e édition, Wiley

    Liens

    Notes de lecture

    Examens

    • Examen 1, jeudi 25 février
    • Examen 2, jeudi 8 avril
    • Examen final, vendredi 7 mai

    Devoirs

    Remarque : « TF » est pour les questions vrai-faux « E » pour les exercices.

    Date d'échéance Devoir
    1/26
    (HW#1) Section 1.1 : TF# 1.1, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 E# 1.5, 1.10, 1.12, 1.18, 1.19, 1.20
    2/2
    (HW#2) Section 1.2 : TF# 1.16, 1.17 E# 1.49, 1.50, 1.51, 1.55(e)(f)
    2/9
    (HW#3) Section 1.3 : TF# 1.20, 1.21, 1.23 E# 1.63, 1.65(a)(b)(d)(f), 1.69, 1.78, 1.79, 1.80
    (HW#3) Section 1.4 : TF# 1.33, 1.34, 1.35 E# 1.104, 1.119, 1.120
    2/16
    (HW#4) Section 2.1 : TF# 2.3, 2.4 E# 2.1, 2.3, 2.7
    2/23
    (HW#5) Section 2.2 : TF# 2.10, 2.11, 2.13, 2.17 E# 2.28, 2.32, 2.34, 2.35, 2.39
    (HW#5) Section 2.3 : Section 2.3 : TF# 2.21, 2,22, 2.23 E# 2.65, 2.72, 2.80
    3/9
    (HW#6) Section 3.1 : TF# 3.1, 3.6 F# 3.11, 3.12
    (HW#6) Section 3.2 : TF# 3.16, 3.18 E# 3.26, 3.45, 3.48
    3/16
    (HW#7) Section 3.3 : TF# 3.26, 3.27, 3.28 E# 3.64(a)(b)(c)(d)(h), 3.71, 3.84
    (HW#7) Section 3.4 : E# 3.101(a)(b)
    3/23
    (HW#8) Section 3.5 : TF# 3.31, 3.33, 3.35, 3.37, 3.39 E# 3.117(a)(c), 3.122, 3.124, 3.127
    3/30
    (HW#9) Section 4.1 : TF# 4.1, 4.2, 4.3 E# 4.1, 4.8
    4/6
    (HW#10) Section 4.2 : TF# 4.8, 4.9, 4.10 E# 4.15, 4.24, 4.25
    (HW#10) Section 4.3 : TF# 4.12, 4.13 E# 4.34, 4.36, 4.41, 4.43
    4/20
    (HW#11) Section 5.1 : TF# 5.1, 5.3, 5.5, 5.6, 5.8, 5.10 E# 5.1, 5.5(a)(b)(c), 5.11, 5.12
    4/27
    (HW#12) Section 5.2 : TF# 5.12, 5.13, 5.14 E# 5.29(a)(b), 5.33, 5.34, 5.35

    Horaire des cours

    Remarque : L'horaire des cours est provisoire et tout changement sera annoncé en classe.


    Chapitre 1

    Non, car il ne passe pas le test de la ligne horizontale.

    1.2 Domaine et étendue

    1. ⓐ valeurs inférieures ou égales à –2, ou valeurs supérieures ou égales à –1 et inférieures à 3
    2. < x | x ≤ − 2 ou − 1 ≤ x < 3 >< x | x ≤ − 2 ou − 1 ≤ x < 3 >
    3. ⓒ ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 ) ( − ∞ , − 2 ] ∪ [ − 1 , 3 )

    domaine =[1950,2002] plage = [47 000 000,89 000 000]

    1.3 Taux de changement et comportement des graphiques

    1.4 Composition des fonctions

    ( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 1 ) = x 3 − x 2 − x + 1 ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1 ) − ( x 2 − 1 ) = x − x 2 ( fg ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) = ( x − 1 ) ( x 2 − 1 ) = x 3 − x 2 − x + 1 ( f − g ) ( x ) = f ( x ) − g ( x ) = ( x − 1 ) − ( x 2 − 1 ) = x − x 2

    Non, les fonctions ne sont pas les mêmes.

    1.5 Transformation des fonctions

    1.6 Fonctions de valeur absolue

    1.7 Fonctions inverses

    f − 1 ( x ) = ( 2 − x ) 2 domaine de f : [ 0 , ) domaine de f − 1 : ( − ∞ , 2 ] f − 1 ( x ) = ( 2 − x ) 2 domaine de f : [ 0 , ) domaine de f − 1 : ( − ∞ , 2 ]

    1.1 Section Exercices

    Une relation est un ensemble de paires ordonnées. Une fonction est un type particulier de relation dans laquelle deux paires ordonnées n'ont pas la même première coordonnée.

    Lorsqu'une ligne verticale coupe le graphique d'une relation plus d'une fois, cela indique que pour cette entrée il y a plus d'une sortie. À une valeur d'entrée particulière, il ne peut y avoir qu'une seule sortie si la relation doit être une fonction.

    Lorsqu'une ligne horizontale coupe le graphique d'une fonction plus d'une fois, cela indique que pour cette sortie il y a plus d'une entrée. Une fonction est un-à-un si chaque sortie correspond à une seule entrée.

    g ( x ) − g ( a ) x − a = x + a + 2 , x ≠ a g ( x ) − g ( a ) x − a = x + a + 2 , x ≠ a

    pas une fonction donc ce n'est pas non plus une fonction un-à-un

    fonction, mais pas un à un

    f ( − 2 ) = 14 f ( − 1 ) = 11 f ( 0 ) = 8 f ​​( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 2 f ( − 2 ) = 14 f ( − 1 ) = 11 f ( 0 ) = 8 f ​​( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 2

    f ( − 2 ) = 4 f ( − 1 ) = 4,414 f ( 0 ) = 4,732 f ( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 5,236 f ( − 2 ) = 4 f ( − 1 ) = 4,414 f ( 0 ) = 4,732 f ( 1 ) = 5 f ( 2 ) = 5,236

    f ( − 2 ) = 1 9 f ( − 1 ) = 1 3 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 9 f ( − 2 ) = 1 9 f ( − 1 ) = 1 3 f ( 0 ) = 1 f ( 1 ) = 3 f ( 2 ) = 9

    1. ⓐ La hauteur d'une fusée au-dessus du sol après 1 seconde est de 200 pieds.
    2. ⓑ la hauteur d'une fusée au-dessus du sol après 2 secondes est de 350 ft.

    1.2 Section Exercices

    Le domaine d'une fonction dépend des valeurs de la variable indépendante qui rendent la fonction indéfinie ou imaginaire.

    f ( − 3 ) = 1 f ( − 2 ) = 0 f ( − 1 ) = 0 f ( 0 ) = 0 f ( − 3 ) = 1 f ( − 2 ) = 0 f ( − 1 ) = 0 f ( 0 ) = 0

    f ( − 1 ) = − 4 f ( 0 ) = 6 f ( 2 ) = 20 f ( 4 ) = 34 f ( − 1 ) = − 4 f ( 0 ) = 6 f ( 2 ) = 20 f ( 4 ) = 34

    f ( − 1 ) = − 5 f ( 0 ) = 3 f ( 2 ) = 3 f ( 4 ) = 16 f ( − 1 ) = − 5 f ( 0 ) = 3 f ( 2 ) = 3 f ( 4 ) = 16

    Beaucoup de réponses. Une fonction est f ( x ) = 1 x − 2 . f ( x ) = 1 x − 2 .

    1.3 Section Exercices

    Oui, le taux moyen de changement de toutes les fonctions linéaires est constant.

    Le maximum et le minimum absolus concernent l'ensemble du graphique, tandis que les extrema locaux ne concernent qu'une région spécifique autour d'un intervalle ouvert.

    environ -0,6 milligrammes par jour

    1.4 Section Exercices

    f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2 , g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7 f ( g ( x ) ) = x 2 + 3 + 2 , g ( f ( x ) ) = x + 4 x + 7

    f ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x , g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 xf ( g ( x ) ) = x + 1 x 3 3 = x + 1 3 x , g ( f ( x ) ) = x 3 + 1 x

    ( f g ) ( x ) = 1 2 x + 4 − 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x − 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 2 x + 4 − 4 = x 2 , ( g ∘ f ) ( x ) = 2 x − 4

    f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1 f ( g ( h ( x ) ) ) = ( 1 x + 3 ) 2 + 1

    échantillon : f ( x ) = x 3 g ( x ) = x − 5 f ( x ) = x 3 g ( x ) = x − 5

    échantillon : f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2 f ( x ) = 4 x g ( x ) = ( x + 2 ) 2

    échantillon : f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x − 3 f ( x ) = x 3 g ( x ) = 1 2 x − 3

    échantillon : f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x − 2 x + 5 f ( x ) = x 4 g ( x ) = 3 x − 2 x + 5

    f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = − 94 f ( g ( 0 ) ) = 27 , g ( f ( 0 ) ) = − 94

    f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5 f ( g ( 0 ) ) = 1 5 , g ( f ( 0 ) ) = 5

    ( f g ) ( 11 ) = 11 , ( g f ) ( 11 ) = 11 ( f ∘ g ) ( 11 ) = 11 , ( g ∘ f ) ( 11 ) = 11

    1.5 Section Exercices

    Un décalage horizontal se produit lorsqu'une constante est ajoutée ou soustraite de l'entrée. A vertical shifts results when a constant is added to or subtracted from the output.

    A horizontal compression results when a constant greater than 1 is multiplied by the input. A vertical compression results when a constant between 0 and 1 is multiplied by the output.

    g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1 g ( x ) = f ( x - 1 ) , h ( x ) = f ( x ) + 1

    The graph of the function is stretched horizontally by a factor of 3 and then shifted vertically downward by 3 units.

    1.6 Section Exercises

    First determine the boundary points by finding the solution(s) of the equation. Use the boundary points to form possible solution intervals. Choose a test value in each interval to determine which values satisfy the inequality.

    1.7 Section Exercises

    Each output of a function must have exactly one output for the function to be one-to-one. If any horizontal line crosses the graph of a function more than once, that means that y y -values repeat and the function is not one-to-one. If no horizontal line crosses the graph of the function more than once, then no y y -values repeat and the function is one-to-one.

    Yes. For example, f ( x ) = 1 x f ( x ) = 1 x is its own inverse.

    domain of f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x − 7 f ( x ) : [ − 7 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x − 7

    domain of f ( x ) : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5 f ( x ) : [ 0 , ∞ ) f − 1 ( x ) = x + 5

    f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x f ( g ( x ) ) = x , g ( f ( x ) ) = x

    Review Exercises

    − 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64 − 64 + 80 a − 16 a 2 − 1 + a = − 16 a + 64

    ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x ( f ∘ g ) ( x ) = 17 − 18 x ( g ∘ f ) ( x ) = − 7 − 18 x

    ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4 ( f ∘ g ) ( x ) = 1 + x 1 + 4 x , x ≠ 0 , x ≠ − 1 4

    sample: g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x g ( x ) = 2 x − 1 3 x + 4 f ( x ) = x

    La fonction n'est pas un-à-un.

    Test de pratique

    La relation est une fonction.

    Le graphique est une parabole et le graphique échoue au test de la ligne horizontale.

    f ( x ) = < | x | if x ≤ 2 3 if x > 2 f ( x ) = < | x | if x ≤ 2 3 if x > 2

    En tant qu'associé Amazon, nous gagnons des achats éligibles.

    Vous voulez citer, partager ou modifier ce livre ? Ce livre est Creative Commons Attribution License 4.0 et vous devez attribuer OpenStax.

      Si vous redistribuez tout ou partie de ce livre dans un format imprimé, vous devez alors inclure sur chaque page physique l'attribution suivante :

    • Utilisez les informations ci-dessous pour générer une citation. Nous vous recommandons d'utiliser un outil de citation comme celui-ci.
      • Authors: Jay Abramson
      • Éditeur/site Web : OpenStax
      • Book title: Precalculus
      • Publication date: Oct 23, 2014
      • Lieu : Houston, Texas
      • Book URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/1-introduction-to-functions
      • Section URL: https://openstax.org/books/precalculus/pages/chapter-1

      © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


      Discrete Mathematics and Functional Programming

      This site provides information about and supplemental material for Thomas VanDrunen, Discrete Mathematics and Functional Programming August 2012 by Franklin, Beedle and Associates. (See Franklin Beedle's catalogue entry.)

      I have written a new version of Section 6.12 on the Huffman encoding. Here is a PDF of the new section, and you can also get the revised SML code.

      1. Videos

      I am producing a series of videos to accompany the text, both to help those who are studying the book independently and to be an aid to classroom use (for example, assigning these videos to support a "flipped classroom" model). If there are any sections for which you would find a video particularly useful, let me know. See also the YouTube channel.

      • Introduction to the book (and course). [MP4 ] [YouTube]
      • Sets and elements, Sections 1.(1-3). [MP4] [YouTube]
      • Set operations and verifying facts, Sections 1.(4 & 5), Part 1. [MP4] [YouTube]
      • Set operations and verifying facts, Sections 1.(4 & 5), Part 2. [MP4] [YouTube]
      • Introduction to ML, Section 1.6. [MP4] [YouTube]
      • Cardinality, Cartesian product, and other miscelaneous set concepts, Sections 1.(8 & 9). [MP4] [YouTube]
      • Writing one's own types and operations, Sections 1.(10-12), Part 1. [MP4] [YouTube]
      • Writing one's own types and operations, Sections 1.(10-12), Part 2 (introduction to recursion). [MP4] [YouTube]
      • Introduction to lists in ML, Section 2.1. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Functions on lists in ML, Section 2.2. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Powersets, Section 2.4. [MP4 ] [YouTube] NEW
      • Properties of relations, Section 5.4. [MP4] [YouTube]

      2. Excerpts

      3. Related document

      The Case for Teaching Functional Programming in Discrete Math, a paper at the Educators' and Trainers' Symposium at SPLASH (formerly OOPSLA) 2011 describing the approach found in this book.

      4. Resources for students

      I am preparing a collection of solutions to exercises to aid students in studying the text on their own. This will be in lieu of a "back-of-the-book" section. It will be fairly limited, since the exercises also need to serve as homework problems for assessment. I'm posting the work-in-progress here:

      5. Resources for instructors

      For information on reviewing this book or related matters, contact Tom Sumner at Franklin, Beedle. For feedback on the text, errata reporting, etc, contact Thomas VanDrunen.


      12.4 Free Energy

      One of the challenges of using the second law of thermodynamics to determine if a process is spontaneous is that it requires measurements of the entropy change for the system et the entropy change for the surroundings. An alternative approach involving a new thermodynamic property defined in terms of system properties only was introduced in the late nineteenth century by American mathematician Josiah Willard Gibbs . This new property is called the Gibbs free energy (g) (or simply the free energy), and it is defined in terms of a system’s enthalpy and entropy as the following:

      Free energy is a state function, and at constant temperature and pressure, the free energy change (Δg) may be expressed as the following:

      (For simplicity’s sake, the subscript “sys” will be omitted henceforth.)

      The relationship between this system property and the spontaneity of a process may be understood by recalling the previously derived second law expression:

      The first law requires that qsurr = −qsys, and at constant pressure qsys = ΔH, so this expression may be rewritten as:

      Multiplying both sides of this equation by −T, and rearranging yields the following:

      Comparing this equation to the previous one for free energy change shows the following relation:

      The free energy change is therefore a reliable indicator of the spontaneity of a process, being directly related to the previously identified spontaneity indicator, ΔSuniv. Table 12.3 summarizes the relation between the spontaneity of a process and the arithmetic signs of these indicators.

      What’s “Free” about Δg?

      In addition to indicating spontaneity, the free energy change also provides information regarding the amount of useful work (w) that may be accomplished by a spontaneous process. Although a rigorous treatment of this subject is beyond the scope of an introductory chemistry text, a brief discussion is helpful for gaining a better perspective on this important thermodynamic property.

      For this purpose, consider a spontaneous, exothermic process that involves a decrease in entropy. The free energy, as defined by

      may be interpreted as representing the difference between the energy produced by the process, ΔH, and the energy lost to the surroundings, TΔS. The difference between the energy produced and the energy lost is the energy available (or “free”) to do useful work by the process, Δg. If the process somehow could be made to take place under conditions of thermodynamic reversibility, the amount of work that could be done would be maximal:

      However, as noted previously in this chapter, such conditions are not realistic. In addition, the technologies used to extract work from a spontaneous process (e.g., automobile engine, steam turbine) are never 100% efficient, and so the work done by these processes is always less than the theoretical maximum. Similar reasoning may be applied to a nonspontaneous process, for which the free energy change represents the minimum amount of work that must be done on the system to carry out the process.

      Calculating Free Energy Change

      Free energy is a state function, so its value depends only on the conditions of the initial and final states of the system. A convenient and common approach to the calculation of free energy changes for physical and chemical reactions is by use of widely available compilations of standard state thermodynamic data. One method involves the use of standard enthalpies and entropies to compute standard free energy changes, Δg° , according to the following relation:

      Example 12.7

      Using Standard Enthalpy and Entropy Changes to Calculate Δg°

      Solution

      The standard change in free energy may be calculated using the following equation:

      Using the appendix data to calculate the standard enthalpy and entropy changes yields:

      Substitution into the standard free energy equation yields:

      Vérifiez votre apprentissage

      Answer:

      The standard free energy change for a reaction may also be calculated from standard free energy of formation ΔG°F values of the reactants and products involved in the reaction. The standard free energy of formation is the free energy change that accompanies the formation of one mole of a substance from its elements in their standard states. Similar to the standard enthalpy of formation, Δ G f ° Δ G f ° is by definition zero for elemental substances in their standard states. The approach used to calculate Δ G ° Δ G ° for a reaction from Δ G f ° Δ G f ° values is the same as that demonstrated previously for enthalpy and entropy changes. For the reaction

      the standard free energy change at room temperature may be calculated as

      Example 12.8

      Using Standard Free Energies of Formation to Calculate Δg°

      Solution

      (a) Using free energies of formation:

      (b) Using enthalpies and entropies of formation:

      Both ways to calculate the standard free energy change at 25 °C give the same numerical value (to three significant figures), and both predict that the process is nonspontaneous (ne pas spontaneous) at room temperature.

      Vérifiez votre apprentissage

      Answer:

      (a) 140.8 kJ/mol, nonspontaneous
      (b) 141.5 kJ/mol, nonspontaneous

      Free Energy Changes for Coupled Reactions

      The use of free energies of formation to compute free energy changes for reactions as described above is possible because ΔG is a state function, and the approach is analogous to the use of Hess’ Law in computing enthalpy changes (see the chapter on thermochemistry). Consider the vaporization of water as an example:

      An equation representing this process may be derived by adding the formation reactions for the two phases of water (necessarily reversing the reaction for the liquid phase). The free energy change for the sum reaction is the sum of free energy changes for the two added reactions:

      This approach may also be used in cases where a nonspontaneous reaction is enabled by coupling it to a spontaneous reaction. For example, the production of elemental zinc from zinc sulfide is thermodynamically unfavorable, as indicated by a positive value for ΔG°:

      The industrial process for production of zinc from sulfidic ores involves coupling this decomposition reaction to the thermodynamically favorable oxidation of sulfur:

      The coupled reaction exhibits a negative free energy change and is spontaneous:

      This process is typically carried out at elevated temperatures, so this result obtained using standard free energy values is just an estimate. The gist of the calculation, however, holds true.

      Example 12.9

      Calculating Free Energy Change for a Coupled Reaction

      Solution

      The coupled reaction exhibits a positive free energy change and is thus nonspontaneous.


      [PDF] RD Sharma Mathematics for Class 11 (set of 2 volumes) Examination | Download

      About The R D Sharma Class 11 Maths Book
      This textbook is based on the latest syllabus prescribed by the CBSE. The text has been divided into two volumes. Volume 1 Consists of chapters 1-21 and Volume 2 Consists of chapters 22-23 for ease of handling. Illustrative examples and exercises are given at the end of every section in each chapter at the end of each chapter exercises consisting of MCQs, Fill in the blanks, Very Short Answer Type questions, and activities have been given. Summary for quick revision concepts and formulae have also been given. Ncert problems in the exercises have been solved in the section "hints to NCERT & selected problems".

      The Mathematics for Class 11 by R D Sharma (Set of 2 Volume) closely follows the CBSE syllabus for Mathematics and is suitable for the students to develop their Mathematical skills. It contains detailed solutions to Mathematical equations and problems which are further simplified by the representation of elaborate yet simple to understand steps. It covers all the genres or branches of Mathematics which will further act as building blocks for the Mathematical knowledge based on the students of class 11. This book will be of great help if one is looking to crack entrance examinations that are offered by prestigious academies for courses in which one can enroll themselves after their class 11 board examinations.


      12.4 Derivatives

      The average teen in the United States opens a refrigerator door an estimated 25 times per day. Supposedly, this average is up from 10 years ago when the average teenager opened a refrigerator door 20 times per day 37 .

      It is estimated that a television is on in a home 6.75 hours per day, whereas parents spend an estimated 5.5 minutes per day having a meaningful conversation with their children. These averages, too, are not the same as they were 10 years ago, when the television was on an estimated 6 hours per day in the typical household, and parents spent 12 minutes per day in meaningful conversation with their kids.

      What do these scenarios have in common? The functions representing them have changed over time. In this section, we will consider methods of computing such changes over time.

      Finding the Average Rate of Change of a Function

      The functions describing the examples above involve a change over time. Change divided by time is one example of a rate. The rates of change in the previous examples are each different. In other words, some changed faster than others. If we were to graph the functions, we could compare the rates by determining the slopes of the graphs.

      A tangent line to a curve is a line that intersects the curve at only a single point but does not cross it there. (The tangent line may intersect the curve at another point away from the point of interest.) If we zoom in on a curve at that point, the curve appears linear, and the slope of the curve at that point is close to the slope of the tangent line at that point.


      Voir la vidéo: HKL 2021 14 välierä: Lehtosaari - Himanka (Décembre 2021).