Des articles

1.2 : Les systèmes de coordonnées rectangulaires et les graphes - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Tracer des paires ordonnées dans un système de coordonnées cartésiennes.
  • Graphique des équations en traçant des points.
  • Équations graphiques avec un utilitaire graphique.
  • Trouvez (x)-intercepts et (y)-intercepts.
  • Utilisez la formule de distance.
  • Utilisez la formule du milieu.

Tracie est partie d'Elmhurst, dans l'Illinois, pour se rendre à Franklin Park. En chemin, elle a fait quelques arrêts pour faire des courses. Chaque arrêt est indiqué par un point rouge dans la figure (PageIndex{1}). En posant une grille de coordonnées rectangulaire sur la carte, nous pouvons voir que chaque arrêt s'aligne avec une intersection de lignes de grille. Dans cette section, nous allons apprendre à utiliser les lignes de la grille pour décrire les emplacements et les changements d'emplacements.

Tracer des paires ordonnées dans le système de coordonnées cartésiennes

Une vieille histoire décrit comment le philosophe et mathématicien du XVIIe siècle René Descartes a inventé le système qui est devenu le fondement de l'algèbre alors qu'il était malade au lit. Selon l'histoire, Descartes fixait une mouche rampant au plafond lorsqu'il s'est rendu compte qu'il pouvait décrire l'emplacement de la mouche par rapport aux lignes perpendiculaires formées par les murs adjacents de sa chambre. Il considérait les lignes perpendiculaires comme des axes horizontaux et verticaux. De plus, en divisant chaque axe en unités de longueur égales, Descartes a vu qu'il était possible de localiser n'importe quel objet dans un plan à deux dimensions en utilisant seulement deux nombres : le déplacement par rapport à l'axe horizontal et le déplacement par rapport à l'axe vertical.

Bien qu'il existe des preuves que des idées similaires au système de grille de Descartes existaient des siècles plus tôt, c'est Descartes qui a introduit les composants qui composent le système de coordonnées cartésiennes, un système de grille ayant des axes perpendiculaires. Descartes a nommé l'axe horizontal l'axe (x) et l'axe vertical l'axe (y).

Le système de coordonnées cartésiennes, également appelé système de coordonnées rectangulaires, est basé sur un plan à deux dimensions composé de l'axe (x) et de l'axe (y). Perpendiculaires les uns aux autres, les axes divisent le plan en quatre sections. Chaque section est appelée un quadrant; les quadrants sont numérotés dans le sens inverse des aiguilles d'une montre comme illustré à la figure (PageIndex{2}).

Le centre du plan est le point de croisement des deux axes. Il est connu comme l'origine ou le point ((0,0)). A partir de l'origine, chaque axe est encore divisé en unités égales : nombres positifs croissants vers la droite sur l'axe (x) et vers le haut sur l'axe (y) ; nombres négatifs décroissants vers la gauche sur l'axe (x) et vers le bas sur l'axe (y). Les axes s'étendent jusqu'à l'infini positif et négatif comme indiqué par les pointes de flèche dans la figure (PageIndex{3}).

Chaque point du plan est identifié par sa coordonnée (x), ou déplacement horizontal par rapport à l'origine, et sa coordonnée (y), ou déplacement vertical par rapport à l'origine. Ensemble, nous les écrivons comme une paire ordonnée indiquant la distance combinée de l'origine sous la forme ((x,y)). Une paire ordonnée est également connue sous le nom de paire de coordonnées car elle se compose de coordonnées (x) et (y). Par exemple, nous pouvons représenter le point ((3,−1)) dans le plan en déplaçant trois unités vers la droite de l'origine dans le sens horizontal, et une unité vers le bas dans le sens vertical. Voir la figure (PageIndex{4}).

Lors de la division des axes en incréments également espacés, notez que l'axe (x) peut être considéré séparément de l'axe (y). En d'autres termes, alors que l'axe (x) peut être divisé et étiqueté selon des nombres entiers consécutifs, l'axe (y) peut être divisé et étiqueté par incréments de (2), ou (10 ) ou (100). En fait, les axes peuvent représenter d'autres unités, telles que les années par rapport au solde d'un compte d'épargne, ou la quantité par rapport au coût, etc. Considérez le système de coordonnées rectangulaires principalement comme une méthode pour montrer la relation entre deux quantités.

Système de coordonnées cartésiennes

Un plan à deux dimensions où le

  • (x)-axis est l'axe horizontal
  • (y)-axis est l'axe vertical

Un point dans le plan est défini comme une paire ordonnée, ((x,y)), telle que (x) est déterminé par sa distance horizontale à partir de l'origine et (y) est déterminé par sa distance verticale de l'origine.

Exemple (PageIndex{1}) : Tracer des points dans un système de coordonnées rectangulaires

Tracez les points ((−2,4)), ((3,3)) et ((0,−3)) dans le plan.

Solution

Pour tracer le point ((−2,4)), commencez à l'origine. La coordonnée (x) est (–2), donc déplacez deux unités vers la gauche. La coordonnée (y) est (4), donc déplacez quatre unités vers le haut dans la direction positive (y).

Pour tracer le point ((3,3)), recommencez à l'origine. La coordonnée (x) est (3), donc déplacez trois unités vers la droite. La coordonnée (y) est également (3), donc déplacez trois unités vers le haut dans la direction positive (y).

Pour tracer le point ((0,−3)), recommencez à l'origine. La coordonnée (x) est (0). Cela nous dit de ne pas nous déplacer dans les deux sens le long de l'axe (x). La coordonnée (y) est (–3), donc déplacez trois unités vers le bas dans la direction négative (y). Voir le graphique de la figure (PageIndex{5}).

Une analyse

Notez que lorsque l'une des coordonnées est zéro, le point doit être sur un axe. Si la coordonnée (x) est zéro, le point est sur l'axe (y). Si la coordonnée (y) est nulle, le point est sur l'axe (x).

Représentation graphique d'équations en traçant des points

Nous pouvons tracer un ensemble de points pour représenter une équation. Lorsqu'une telle équation contient à la fois une variable (x) et une variable (y), elle est appelée un équation à deux variables. Son graphique est appelé un graphique en deux variables. Tout graphe sur un plan à deux dimensions est un graphe à deux variables.

Supposons que nous voulions représenter graphiquement l'équation (y=2x−1). Nous pouvons commencer par substituer une valeur à (x) dans l'équation et déterminer la valeur résultante de (y). Chaque paire de valeurs (x) et (y) est une paire ordonnée qui peut être tracée. Le tableau (PageIndex{1}) répertorie les valeurs de (x) de (–3) à (3) et les valeurs résultantes pour (y).

Tableau (PageIndex{1})
(X)(y=2x−1)((x,y))
(−3)(y=2(−3)−1=−7)((−3,−7))
(−2)(y=2(−2)−1=−5)((−2,−5))
(−1)(y=2(−1)−1=−3)((−1,−3))
(0)(y=2(0)−1=−1)((0,−1))
(1)(y=2(1)−1=1)((1,1))
(2)(y=2(2)−1=3)((2,3))
(3)(y=2(3)−1=5)((3,5))

Nous pouvons tracer les points dans le tableau. Les points de cette équation particulière forment une ligne, nous pouvons donc les connecter (Figure (PageIndex{6})). Ce n'est pas vrai pour toutes les équations.

Notez que les valeurs (x) choisies sont arbitraires, quel que soit le type d'équation que nous représentons graphiquement. Bien sûr, certaines situations peuvent nécessiter le tracé de valeurs particulières de (x) afin de voir un résultat particulier. Sinon, il est logique de choisir des valeurs qui peuvent être calculées facilement, et c'est toujours une bonne idée de choisir des valeurs à la fois négatives et positives. Il n'y a pas de règle dictant le nombre de points à tracer, bien qu'il en faille au moins deux pour tracer une ligne. Gardez à l'esprit, cependant, que plus nous traçons de points, plus nous pouvons tracer le graphique avec précision.

Howto: Étant donné une équation, graphique en traçant des points

  1. Créez un tableau avec une colonne étiquetée (x), une deuxième colonne étiquetée avec l'équation et une troisième colonne répertoriant les paires ordonnées résultantes.
  2. Entrez les valeurs (x) dans la première colonne en utilisant des valeurs positives et négatives. La sélection des valeurs (x) dans l'ordre numérique rendra le graphique plus simple.
  3. Sélectionnez des valeurs (x) qui produiront des valeurs (y) avec peu d'effort, de préférence celles qui peuvent être calculées mentalement.
  4. Tracez les paires ordonnées.
  5. Reliez les points s'ils forment une ligne.

Exemple (PageIndex{2}) : Représentation graphique d'une équation à deux variables en traçant des points

Représentez graphiquement l'équation (y=−x+2) en traçant des points.

Solution

Tout d'abord, nous construisons une table similaire à Table (PageIndex{2}). Choisissez les valeurs (x) et calculez (y).

Tableau (PageIndex{2})
(X)(y=−x+2)((x,y))
(−5)(y=−(−5)+2=7)((−5,7))
(−3)(y=−(−3)+2=5)((−3,5))
(−1)(y=−(−1)+2=3)((−1,3))
(0)(y=−(0)+2=2)((0,2))
(1)(y=−(1)+2=1)((1,1))
(3)(y=−(3)+2=−1)((3,−1))
(5)(y=−(5)+2=−3)((5,−3))

Maintenant, tracez les points. Connectez-les s'ils forment une ligne. Voir la figure (PageIndex{7}).

Exercice (PageIndex{1})

Construisez un tableau et tracez l'équation en traçant des points : (y=dfrac{1}{2}x+2).

Réponse

Veuillez consulter le tableau (PageIndex{3}) et le graphique ci-dessous.

Tableau (PageIndex{3})
(X)(y = 12x + 2)((x,y))
(-2)(y=12(−2)+2=1)((−2,1))
(-1)(y=12(−1)+2=32)((−1,32))
(0)(y=12(0)+2=2)((0,2))
(1)(y=12(1)+2=52)((1,52))
(2)(y=12(2)+2=3)((2,3))

Représentation graphique d'équations avec un utilitaire de représentation graphique

La plupart des calculatrices graphiques nécessitent des techniques similaires pour représenter graphiquement une équation. Les équations doivent parfois être manipulées pour qu'elles soient écrites dans le style (y=)_____ . La TI-84 Plus, ainsi que de nombreuses autres marques et modèles de calculatrices, ont une fonction de mode qui permet de modifier la fenêtre (l'écran pour visualiser le graphique) afin que les parties pertinentes d'un graphique puissent être vues.

Par exemple, l'équation (y=2x−20) a été entrée dans la TI-84 Plus illustrée à la figure (PageIndex{9a}). Dans la figure (PageIndex{9b}), le graphique résultant est affiché. Notez que nous ne pouvons pas voir sur l'écran où le graphique croise les axes. L'écran de fenêtre standard sur la TI-84 Plus affiche (−10≤x≤10) et (−10≤y≤10). Voir la figure (PageIndex{9c}).

En modifiant la fenêtre pour afficher davantage l'axe (x) positif et davantage l'axe (y) négatif, nous avons une bien meilleure vue du graphique et des (x)- et ( y)-interceptions. Voir Figure (PageIndex{10a}) et Figure (PageIndex{10b}).

Exemple (PageIndex{3}): Utilisation d'un utilitaire graphique pour représenter graphiquement une équation

Utilisez un utilitaire graphique pour représenter graphiquement l'équation : (y=−dfrac{2}{3}x−dfrac{4}{3}).

Solution

Entrez l'équation dans le (y = ext{ function}) de la calculatrice. Définissez les paramètres de la fenêtre de sorte que les interceptions (x)- et (y)- s'affichent dans la fenêtre. Voir la figure (PageIndex{11}).

Découverte (X)-intercepte et (y)-intercepte

Le intercepte d'un graphique sont des points auxquels le graphique croise les axes. L'ordonnée à l'origine (x) est le point auquel le graphique croise le (x)-axe. À ce stade, la coordonnée (y) est nulle. L'intersection (y) est le point auquel le graphique croise l'axe (y). À ce stade, la coordonnée (x) est nulle.

Pour déterminer l'intersection (x), nous définissons (y) égal à zéro et résolvons (x). De même, pour déterminer l'intersection (y), nous fixons (x) égal à zéro et résolvons (y). Par exemple, trouvons les interceptions de l'équation (y=3x−1).

Pour trouver l'interception (x), définissez (y=0).

[egin{align*} y &= 3x - 1 0 &= 3x - 1 1 &= 3x dfrac{1}{3}&= x end{align*}]

(x)−interception : (gauche(dfrac{1}{3},0droite))

Pour trouver l'interception (y), définissez (x=0).

[egin{align*} y &= 3x - 1 y &= 3(0) - 1 y &= -1 end{align*}]

(y)−interception : ((0,−1))

Nous pouvons confirmer que nos résultats ont du sens en observant un graphique de l'équation comme dans la figure (PageIndex{12}). Notez que le graphique croise les axes là où nous l'avions prédit.

Mode d'emploi : À PARTIR D'UNE ÉQUATION, TROUVEZ LES INTERCEPTIONS

  1. Trouvez l'interception (x) en définissant (y=0) et en résolvant (x).
  2. Trouvez l'interception (y) en définissant (x=0) et en résolvant (y).

Exemple (PageIndex{4}): Recherche des interceptions de l'équation donnée

Trouvez les interceptions de l'équation (y=−3x−4). Ensuite, tracez le graphique en utilisant uniquement les interceptions.

Solution

Définissez (y=0) pour trouver l'interception (x).

[egin{align*} y &= -3x - 4 0 &= -3x - 4 4 &= -3x dfrac{4}{3}&= x end{align*} ]

(x)−interception : (gauche(−dfrac{4}{3},0droite))

Définissez (x=0) pour trouver l'interception (y).

[egin{align*} y &= -3x - 4 y &= -3(0) - 4 y &= -4 end{align*}]

(y)−interception : ((0,−4))

Tracez les deux points et tracez une ligne les traversant comme dans la figure (PageIndex{13}).

Exercice (PageIndex{2})

Trouvez les interceptions de l'équation et tracez le graphique : (y=−dfrac{3}{4}x+3).

Réponse

(x)-intercept est ((4,0)); (y)-intercept est ((0,3))

Utilisation de la formule de distance

Dérivé du Théorème de Pythagore, les formule de distance est utilisé pour trouver la distance entre deux points dans le plan. Le théorème de Pythagore, (a^2+b^2=c^2), est basé sur un triangle rectangle où (a) et (b) sont les longueurs des jambes adjacentes à l'angle droit, et (c) est la longueur de l'hypoténuse. Voir la figure (PageIndex{15}).

La relation des côtés (|x_2−x_1|) et (|y_2−y_1|) à côté (d) est la même que celle des côtés (a) et (b) à côté (c). Nous utilisons le symbole de la valeur absolue pour indiquer que la longueur est un nombre positif car la valeur absolue de tout nombre est positive. (Par exemple, (|-3|=3). ) Les symboles (|x_2−x_1|) et (|y_2−y_1|) indiquent que les longueurs des côtés du triangle sont positives. Pour trouver la longueur (c), prenez la racine carrée des deux côtés du théorème de Pythagore.

[c^2=a^2+b^2 ightarrow c=sqrt{a^2+b^2}]

Il s'ensuit que la formule de distance est donnée par

[d^2={(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2 ightarrow d=sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^ 2}]

Nous n'avons pas à utiliser les symboles de valeur absolue dans cette définition car tout nombre au carré est positif.

distance entre deux points

Étant donné les extrémités ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2)), la distance entre deux points est donnée par

[d=sqrt{{(x_2−x_1)}^2+{(y_2−y_1)}^2}]

Exemple (PageIndex{5}): Recherche de la distance entre deux points

Trouvez la distance entre les points ((−3,−1)) et ((2,3)).

Solution

Regardons d'abord le graphique des deux points. Connectez les points pour former un triangle rectangle comme dans la figure (PageIndex{16})

Ensuite, calculez la longueur de (d) en utilisant la formule de distance.

[egin{align*} d&= sqrt{{(x_2 - x_1)}^2+{(y_2 - y_1)}^2} &= sqrt{{(2-(-3))} ^2+{(3-(-1))}^2} &= sqrt{{(5)}^2+{(4)}^2} &= sqrt{25+16} &= sqrt{41} end{align*}]

Exercice (PageIndex{3})

Trouvez la distance entre deux points : ((1,4)) et ((11,9)).

Réponse

(sqrt{125}=5sqrt{5})

Exemple (PageIndex{6}): Recherche de la distance entre deux emplacements

Revenons à la situation introduite au début de cette section.

Tracie est partie d'Elmhurst, dans l'Illinois, pour se rendre à Franklin Park. Trouvez la distance totale que Tracie a parcourue. Comparez cela avec la distance entre ses positions de départ et finale.

Solution

La première chose à faire est d'identifier les paires ordonnées pour décrire chaque position. Si nous fixons la position de départ à l'origine, nous pouvons identifier chacun des autres points en comptant les unités à l'est (à droite) et au nord (en haut) sur la grille. Par exemple, le premier arrêt est (1) bloc est et (1) bloc nord, il est donc à ((1,1)). Le prochain arrêt est (5) blocs à l'est, donc c'est à ((5,1)). Après cela, elle a voyagé (3) blocs vers l'est et (2) blocs vers le nord jusqu'à ((8,3)). Enfin, elle a voyagé (4) blocs au nord jusqu'à ((8,7)). Nous pouvons étiqueter ces points sur la grille comme dans la figure (PageIndex{17}).

Ensuite, nous pouvons calculer la distance. Notez que chaque unité de grille représente (1000) pieds.

  • De son point de départ à son premier arrêt à ((1,1)), Tracie aurait pu rouler vers le nord (1000) pieds puis vers l'est (1000) pieds, ou vice versa. Quoi qu'il en soit, elle a conduit (2000) pieds jusqu'à son premier arrêt.
  • Son deuxième arrêt est à ((5,1)). Ainsi, de ((1,1)) à ((5,1)), Tracie a conduit vers l'est (4,000) pieds.
  • Son troisième arrêt est à ((8,3)). Il existe un certain nombre de routes de ((5,1)) à ((8,3)). Quel que soit l'itinéraire choisi par Tracie, la distance est la même, car il n'y a pas de rues angulaires entre les deux points. Disons qu'elle a conduit vers l'est (3000) pieds, puis vers le nord (2 000) pieds pour un total de (5 000) pieds.
  • Le dernier arrêt de Tracie est à ((8,7)). Il s'agit d'un trajet direct vers le nord à partir de ((8,3)) pour un total de (4 000) pieds.

Ensuite, nous ajouterons les distances répertoriées dans le tableau (PageIndex{4}).

Tableau (PageIndex{4})
De àNombre de pieds entraînés
((0,0)) à ((1,1))(2,000)
((1,1)) à ((5,1))(4,000)
((5,1)) à ((8,3))(5,000)
((8,3)) à ((8,7))(4,000)
Total(15,000)

La distance totale parcourue par Tracie est de (15 000) pieds, ou (2,84) miles. Ce n'est cependant pas la distance réelle entre ses positions de départ et d'arrivée. Pour trouver cette distance, nous pouvons utiliser la formule de distance entre les points ((0,0)) et ((8,7)).

[egin{align*} d&= sqrt{{(0-8)}^2+{(7-0)}^2} &= sqrt{64+49} &= sqrt {113} &= 10,63 ext{ units} end{align*}]

À (1000) pieds par unité de grille, la distance entre Elmhurst, IL, et Franklin Park est (10,630,14) pieds, ou (2,01) miles. La formule de distance donne un calcul plus court car elle est basée sur l'hypoténuse d'un triangle rectangle, une diagonale droite de l'origine au point ((8,7)). Peut-être avez-vous entendu le dicton « à vol d'oiseau », qui signifie la distance la plus courte entre deux points, car un corbeau peut voler en ligne droite même si une personne au sol doit parcourir une plus longue distance sur les routes existantes.

Utilisation de la formule du point médian

Lorsque les extrémités d'un segment de ligne sont connues, nous pouvons trouver le point à mi-chemin entre elles. Ce point est connu sous le nom de point médian et la formule est connue sous le nom de formule du point médian. Étant donné les extrémités d'un segment de ligne, ((x_1,y_1)) et ((x_2,y_2)), la formule du milieu indique comment trouver les coordonnées du milieu M.

[M=gauche (dfrac{x_1+x_2}{2}, dfrac{y_1+y_2}{2} droit )]

Une vue graphique d'un point médian est illustrée à la figure (PageIndex{18}).Notez que les segments de droite de chaque côté du milieu sont congrus.

Exemple (PageIndex{7}): Recherche du milieu du segment de ligne

Trouvez le milieu du segment de droite avec les extrémités ((7,−2)) et ((9,5)).

Solution

Utilisez la formule pour trouver le milieu du segment de ligne.

[egin{align*} left (dfrac{x_1+x_2}{2},dfrac{y_1+y_2}{2} ight )&= left (dfrac{7+9}{2} ,dfrac{-2+5}{2} ight ) &= left (8,dfrac{3}{2} ight ) end{align*}]

Exercice (PageIndex{4})

Trouvez le milieu du segment de droite avec les extrémités ((−2,−1)) et ((−8,6)).

Réponse

(gauche (-5,dfrac{5}{2} droit ))

Exemple (PageIndex{8}): Trouver le centre d'un cercle

Le diamètre d'un cercle a pour extrémités ((−1,−4)) et ((5,−4)). Trouvez le centre du cercle.

Solution

Le centre d'un cercle est le centre ou le milieu de son diamètre. Ainsi, la formule du point médian donnera le point central.

[egin{align*} left (dfrac{x_1+x_2}{2},dfrac{y_1+y_2}{2} ight )&= left (dfrac{-1+5}{2 },dfrac{-4-4}{2}) ight ) &= left (dfrac{4}{2},-dfrac{8}{2} ight ) &= ( 2,4) end{align*}]

Médias

Accédez à ces ressources en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec le système de coordonnées cartésiennes.

1. Tracer des points sur le plan de coordonnées

2. Trouvez les interceptions x et y basées sur le graphique d'une ligne

Concepts clés

  • Nous pouvons localiser, ou tracer, des points dans le système de coordonnées cartésiennes en utilisant des paires ordonnées, qui sont définies comme un déplacement par rapport au (x)-axe et déplacement par rapport au (y)-axe. Voir Exemple.
  • Une équation peut être représentée graphiquement dans le plan en créant une table de valeurs et de points de traçage. Voir Exemple.
  • L'utilisation d'une calculatrice graphique ou d'un programme informatique rend les équations graphiques plus rapides et plus précises. Les équations doivent généralement être saisies sous la forme (y=)_____. Voir Exemple.
  • Trouver le (x)- et (y)-les interceptions peuvent définir le graphique d'une ligne. Ce sont les points où le graphique croise les axes. Voir Exemple.
  • La formule de distance est dérivée du théorème de Pythagore et est utilisée pour trouver la longueur d'un segment de ligne. Voir Exemple et Exemple.
  • La formule du milieu fournit une méthode pour trouver les coordonnées du milieu en divisant la somme des coordonnées (x) et la somme des coordonnées (y) des extrémités par (2). Voir Exemple et Exemple.

1.2 : Les systèmes de coordonnées rectangulaires et les graphes - Mathématiques

Débuter l'algèbre
Tutoriel 20 : Le système de coordonnées rectangulaires

  1. Tracer des points sur un système de coordonnées rectangulaires.
  2. Identifiez sur quel quadrant ou sur quel axe se trouve un point.
  3. Dites si une paire ordonnée est une solution d'une équation à deux variables ou non.
  4. Complétez une paire ordonnée qui a une valeur manquante.

Système de coordonnées rectangulaires

  1. La droite numérique horizontale est le X - axe.
  2. La droite numérique verticale est le oui - axe.

Il est divisé en quatre quadrants qui sont marqués sur ce graphique par des chiffres romains.

Chaque point du graphique est associé à un paire ordonnée. Lorsqu'il s'agit d'un x, y graphique, le X la coordonnée est toujours le premier et le oui coordonner est toujours deuxième dans la paire ordonnée ( x, y ). C'est une solution d'une équation à deux variables. Même s'il y a deux valeurs dans la paire ordonnée, veillez à ce qu'elle s'associe à UN SEUL point sur le graphique, le point s'aligne avec les deux X valeur de la paire ordonnée ( X -axe) et le oui valeur de la paire ordonnée ( oui -axe).

B(-1, 2) se trouve dans le quadrant II.

C(-3, -4) se trouve dans le quadrant III.

D(2, 0) se trouve sur le X -axe.

E(0, 5) se trouve sur le oui -axe.

Puisque le point A correspond à 2 sur le X -axe et -3 sur le oui -axe, puis Une paire ordonnée est (2, -3).

Puisque le point B correspond à 3 sur le X -axe et 2 sur le oui -axe, puis La paire commandée de B’s est (3, 2).

Puisque le point C correspond à -2 sur le X -axe et 3 sur le oui -axe, puis La paire ordonnée de C est (-2, 3).

Puisque le point D correspond à -3 sur le X -axe et - 4 sur le oui -axe, puis La paire commandée est (-3, - 4).

Puisque le point E correspond à -3 sur le X -axe et 0 sur le oui -axe, puis La paire ordonnée de E&8217 est (-3, 0).

Puisque le point F correspond à 0 sur le X -axe et 2 sur le oui -axe, puis La paire commandée F’s est (0, 2).

Solutions d'équations
en deux variables

En d'autres termes, si votre équation a deux variables X et oui , et vous insérez une valeur pour X et sa valeur correspondante pour oui et l'énoncé mathématique s'avère vrai, alors le X et oui valeur que vous avez branché serait ensemble une solution à l'équation.

Les équations à deux variables peuvent avoir plusieurs solutions.

Nous écrivons généralement les solutions des équations à deux variables en paires ordonnées.

Exemple 3 : Déterminez si chaque paire ordonnée est une solution de l'équation donnée.
oui = 5 X - 7 (2, 3), (1, 5), (-1, -12)

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = 2 et oui = 3, vous avez raison !

Branchons (2, 3) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Ceci est une déclaration VRAIE, donc (2, 3) est une solution à l'équation oui = 5 X - 7.

Voyons maintenant (1, 5).

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = 1 et oui = 5, tu as raison !

Branchons (1, 5) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Oups, on dirait que nous nous sommes une déclaration FAUX. Cela signifie que (1, 5) n'est PAS une solution à l'équation 5 X - 7.

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = -1 et oui = -12, tu as raison !

Branchons (-1, -12) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Notez que vous n'avez reçu que trois paires ordonnées à vérifier, cependant, il existe un nombre infini de solutions à cette équation. Il serait très fastidieux de tous les trouver.

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = 3 et oui = 5, vous avez raison !

Branchons (3, 5) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Ceci est une déclaration VRAIE, donc (3, 5) est une solution à l'équation X = 3.

Voyons maintenant (2, 3).

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = 2 et oui = 3, tu as raison !

Branchons (2, 3) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Oups, on dirait que nous nous sommes une déclaration FAUX. Cela signifie que (2, 3) n'est PAS une solution à l'équation X = 3.

Quel numéro est le X valeur et laquelle est la oui valeur? Si tu disais X = 3 et oui = 4, tu as raison !

Branchons (3, 4) dans l'équation et voyons ce que nous obtenons :

Notez que vous n'avez reçu que trois paires ordonnées à vérifier, cependant, il existe un nombre infini de solutions à cette équation. Il serait très fastidieux de tous les trouver.


Trouver la valeur correspondante dans une paire ordonnée
Étant donné la valeur d'une variable

Parfois, on vous donne une valeur d'une des variables et vous devez trouver la valeur correspondante de l'autre variable. Les étapes à suivre pour y parvenir sont les suivantes :

Étape 1 : Insérez la valeur donnée pour la variable dans l'équation.

Étape 2 : Résolvez l'équation de la variable restante.

Si tu disais X , vous avez raison.

Brancher 1 pour X dans l'équation donnée et la résolution de oui on a:

Dans la paire ordonnée ( , -1), est le -1 qui est donné le X ou la oui valeur?

Si tu disais oui , vous avez raison.

Brancher -1 pour oui dans l'équation donnée et la résolution de X on a:

Exemple 6 : Complétez le tableau des valeurs de l'équation.

Brancher 0 pour oui dans l'équation donnée et la résolution de X on a:

Brancher -1 pour oui dans l'équation donnée et la résolution de X on a:

Brancher 1 pour oui dans l'équation donnée et la résolution de X on a:

En remplissant le tableau, nous obtenons :

Pour en tirer le meilleur parti, vous devriez résoudre le problème par vous-même, puis vérifier votre réponse en cliquant sur le lien pour la réponse/discussion pour ce problème. Sur le lien, vous trouverez la réponse ainsi que toutes les étapes nécessaires pour trouver cette réponse.

Exercice pratique 1a : Tracez chaque point et nommez le quadrant ou l'axe dans lequel se trouve le point.

Pratiquez le problème 2a : Trouvez le X- et oui- les coordonnées des points étiquetés suivants.


Relations et système de coordonnées rectangulaires

Beaucoup de choses dans la vie quotidienne sont liées. Par exemple, la note d'un étudiant dans un cours est généralement liée au temps passé à étudier, tandis que le nombre de miles par gallon d'essence utilisé lors d'un trajet en voiture dépend de la vitesse de la voiture. Conduire à 55 mph peut donner 31 miles par gallon, tandis que conduire à 65 mph pourrait réduire la consommation d'essence à 28 miles par gallon.

Les paires de nombres connexes, tels que 55 et 31 ou 65 et 28 dans l'illustration de la consommation d'essence, peuvent être écrites sous forme de paires ordonnées. Une paire ordonnée de nombres se compose de deux nombres, écrits entre parenthèses, dans lesquels l'ordre des nombres est important. Par exemple, (4, 2) et (2, 4) sont des paires ordonnées différentes car l'ordre des nombres est différent. Des notations telles que (3, 4) ont déjà été utilisées dans ce livre pour montrer un intervalle sur la droite numérique. Maintenant, la même notation est utilisée pour indiquer une paire ordonnée de nombres. Dans pratiquement tous les cas, l'utilisation prévue ressortira clairement du contexte de la discussion.

RAPPORTS Un ensemble de paires ordonnées est appelé une relation. Le domaine d'une relation est l'ensemble des premiers éléments dans les paires ordonnées, et l'étendue de la relation est l'ensemble de tous les seconds éléments possibles. Dans l'exemple de conduite ci-dessus, le domaine est l'ensemble de toutes les vitesses possibles et la plage est l'ensemble des miles par gallon résultants. Dans ce texte, nous limitons les domaines et les plages à des valeurs de nombres réels.

Les paires ordonnées sont utilisées pour exprimer les solutions d'équations à deux variables.

Par exemple, nous disons que (1, 2) est une solution de 2x -y = 0 , puisque substituer 1 pour x et 2 pour y dans l'équation donne

une vraie déclaration. Lorsqu'une paire ordonnée représente la solution d'une équation avec les variables x et y, la valeur y est écrite en premier.

Bien que tout ensemble de paires ordonnées soit une relation, en mathématiques, nous nous intéressons le plus aux relations qui sont des ensembles solutions d'équations. On peut dire qu'une équation définit une relation, ou que c'est l'équation de la relation. Par souci de simplicité, nous nous référons souvent à des équations telles que

y=3x+5 ou x^2 + y^2 = 16
en tant que relations, bien que techniquement l'ensemble solution de l'équation soit la relation.

Exemple 1 TROUVER DES PAIRES, DES DOMAINES ET DES GAMMES ORDONNEES

Pour chaque relation définie ci-dessous, donnez trois paires ordonnées qui appartiennent à la relation et indiquez le domaine et l'étendue de la relation.
(une)

Trois paires ordonnées de la relation sont trois des cinq paires ordonnées de l'ensemble. Le domaine est l'ensemble des premiers éléments,
<2, 7, 10, -4, 0>,
et la plage est l'ensemble des seconds éléments,
<5, -1, 3, 0>,

Pour trouver une paire ordonnée de la relation, choisissez n'importe quel nombre pour x ou y et remplacez-le dans l'équation pour obtenir la valeur correspondante de l'autre variable. Par ex-
amplement, soit x=-2 . Puis

donnant la paire ordonnée (-2, -9) . Si y = 3 , alors

1 =x ,
et la paire ordonnée est (1, 3) . Vérifiez que (0, -1) appartient également à la relation. Étant donné que x et y peuvent prendre n'importe quelle valeur de nombre réel, le domaine et la plage sont (-inf,inf) ,

Vérifiez que les paires ordonnées (1,2) , (0, 1) et (2,5) appartiennent à la relation. Puisque x est égal à la racine carrée principale de y - 1 , le domaine est limité à (0,inf) . De plus, seuls les nombres non négatifs ont une racine carrée réelle, donc la plage est déterminée par l'inégalité

LE SYSTÈME DE COORDONNÉES RECTANGULAIRES Étant donné que l'étude des relations implique souvent de regarder leurs graphiques, cette section comprend un bref examen du plan de coordonnées. Comme mentionné au chapitre 1, chaque nombre réel correspond à un point sur une droite numérique. Cette correspondance est établie en établissant un système de coordonnées pour la ligne. Cette idée est étendue aux deux dimensions d'un plan en traçant deux lignes perpendiculaires, une horizontale et une verticale. Ces lignes se coupent en un point o appelé l'origine. La ligne horizontale s'appelle l'axe des x et la ligne verticale s'appelle l'axe des y.

En partant de l'origine, l'axe des x peut être transformé en une droite numérique en plaçant des nombres positifs à droite et des nombres négatifs à gauche. L'axe des y peut être transformé en une droite numérique avec des nombres positifs qui montent et des nombres négatifs qui descendent.

L'axe x et l'axe y forment ensemble un système de coordonnées rectangulaires, ou système de coordonnées cartésiennes (du nom de l'un de ses co-inventeurs, René Descartes, l'autre co-inventeur était Pierre de Fermat). Le plan dans lequel le système de coordonnées est introduit est le plan de coordonnées, ou plan xy. L'axe des x et l'axe des y divisent le plan en quatre régions, ou sont des quadrants, étiquetés comme le montre la figure 3.1. Les points sur l'axe x et l'axe y n'appartiennent à aucun quadrant.

Chaque point P dans le plan xy correspond à une paire ordonnée unique (a, b) de nombres réels. Les nombres a et b sont les coordonnées du point P . Pour localiser sur le plan xy le point correspondant à la paire ordonnée (3, 4) , par exemple, tracez une ligne verticale passant par 3 sur l'axe x et une ligne horizontale passant par 4 sur l'axe y. Ces deux droites se croisent au point A de la figure 3.2. Le point A correspond au couple ordonné (3, 4) . Également dans la figure 3.2, B correspond à la paire ordonnée (-5, 6), C à (-2, -4), D à (4, -3) et E à (-3, 0) . Le point P correspondant à la paire ordonnée (a, b) s'écrit souvent P(a, b) comme dans la figure 3.1 et est appelé &ldquotle point (a,b) .&rdquo

Comme nous le verrons plus loin dans ce chapitre, le graphe d'une relation est l'ensemble des points du plan qui correspond aux paires ordonnées de la relation.

Deux formules, les formules de distance et de point médian, seront utiles dans notre étude des relations dans ce chapitre.

LA FORMULE DISTANCE En utilisant le théorème de Pythagore, nous pouvons développer une formule pour trouver la distance entre deux points quelconques dans un plan. Par exemple, la figure 3.3 montre les points P(-4, 3) et R(8, -2) .

Pour trouver la distance entre ces deux points, complétez un triangle rectangle comme indiqué sur la figure. Ce triangle rectangle a son angle de 90° à (8, 3) . Le côté horizontal du triangle a une longueur

où la valeur absolue est utilisée pour s'assurer que la distance n'est pas négative. Le côté vertical du triangle a une longueur
|3 - (-2)| = 5
Par le théorème de Pythagore, la longueur du côté restant du triangle est
racine(12^2+5^2)=racine(144+25)=racine(169)=13
La distance entre (-4,3) et (8,-2) est de 13 .

Pour obtenir une formule générale pour la distance entre deux points sur un plan de coordonnées, soit P(x_1, y_1) et R(x_2,y_2) deux points distincts dans un plan, comme le montre la figure 3.4. Complétez un triangle en localisant le point Q de coordonnées (x_2,y_1) . En utilisant le théorème de Pythagore donne la distance entre P et R , notée d(P,R) , comme

REMARQUE L'utilisation de barres de valeur absolue n'est pas nécessaire dans cette formule, car pour tous les nombres réels a et b , |a-b|^2 =(a-b)^2 .
La formule de distance peut être résumée comme suit.

FORMULE DISTANCE Supposons que P(x_1, y_1) et R(x_2,y_2) soient deux points dans un plan de coordonnées. Alors la distance entre P et R , notée d(P,R) , est donnée par la formule de distance d(P,R)=root((x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2

Bien que la preuve de la formule de distance suppose que P et R ne sont pas sur une ligne horizontale ou verticale, le résultat est vrai pour deux points quelconques.

Exemple 2 UTILISATION DE LA FORMULE DISTANCE

Trouvez la distance entre P(-8,4) et Q(3,-2) .
D'après la formule de distance,

REMARQUE Comme le montre l'exemple 2, il est d'usage de laisser la distance entre deux points sous forme radicale plutôt que de l'approcher avec une calculatrice (à moins, bien sûr, qu'il ne soit spécifié autrement).

Une instruction de la forme &ldquoIf p , alors q &rdquo est appelée une instruction conditionnelle. L'instruction associée &ldquoIf q , alors p &rdquo est appelée son inverse. Dans le chapitre 2, nous avons étudié le théorème de Pythagore. L'inverse du théorème de Pythagore est également un énoncé vrai : Si les côtés a , b , et c d'un triangle satisfont alors le triangle est un triangle rectangle avec des jambes ayant des longueurs a et b et une hypoténuse ayant une longueur c . Cela peut être utilisé pour déterminer si trois points sont les sommets d'un triangle rectangle, comme illustré dans l'exemple suivant.

Exemple 3 DÉTERMINER SI TROIS POINTS SONT LES SOMMETS D'UN TRIANGLE DROIT

Les trois points M(-2,5) , N(12,3) , et , M(10,-11) sont-ils les sommets d'un triangle rectangle ?
Un triangle avec les trois points donnés comme sommets est illustré à la figure 3.5. Ce triangle est un triangle rectangle si le carré de la longueur du côté le plus long est égal à la somme des carrés des longueurs des deux autres côtés. Utilisez la formule de distance pour trouver la longueur de chaque côté du triangle.

d(M,N) = racine([12-(-2)^2]+(3-5)^2)=racine(196+4)=racine(200) d(M,Q) = racine([ 10-(-2)^2]+(-11-5)^2)=root(144+256)=root(400)=20 d(N,Q) = root((10-12)^2+ (-11-3)^2)=racine(4+196)=racine(200)

puisque 20^2=root(200)+root((200)^2) , ou 400=400 , est une vraie déclaration.

Cela prouve que le triangle est un triangle rectangle avec une hypoténuse reliant M et Q .
En utilisant une procédure similaire à celle de l'exemple 3, il peut être déterminé si les trois points se trouvent sur une ligne droite. Les points situés sur une ligne sont appelés colinéaires. Trois points sont colinéaires si la somme des distances entre deux Paires de points est égale à la distance entre la paire de points restante.

Exemple 4 DÉTERMINER SI TROIS POINTS SONT COLLINAIRES

Les points (-1, 5) , (2, -4) et (4, -10) sont-ils colinéaires ?

La distance entre (-1, 5) et (2, -4) est

La distance entre (2, -4) et (4, -10) est

Enfin, la distance entre la paire de points restante, (-1, 5) et (4, -10) est

Étant donné que 3root(10)+2root(10)=5root(10) , les trois points sont colinéaires.

LA FORMULE MILIEU La formule du milieu est utilisée pour trouver les coordonnées du milieu d'un segment de ligne. (Rappelez-vous que le milieu d'un segment de droite est équidistant des extrémités du segment.) Pour développer la formule du milieu, soit (x_1,y_1) et (x_2,y_2) deux points distincts dans un plan. (Bien que la figure 3.6 montre (x_1<y_2) , aucun ordre particulier n'est requis.) Supposons que les deux points ne se trouvent pas sur une ligne horizontale ou verticale. Soit (x,y) le milieu du segment reliant (x_1,y_1) et (x_2,y_2) . Tracez des lignes verticales entre chacun des trois points et l'axe des x, comme illustré à la figure 3.6.
Puisque (x,y) est le milieu du segment de droite reliant (x_1,y_1)
et (x_2,y_2) , la distance entre x et x_1 , est égale à la distance entre x et x_2 de sorte que

Par ce résultat, la coordonnée x du milieu est la moyenne des coordonnées des extrémités du segment. De la même manière, la coordonnée y du milieu est (y_1+y_2)/2 , ce qui prouve la déclaration suivante.

FORMULE MOYENNE Le milieu du segment de droite avec les extrémités (x_1,y_1) ) et (x_2,y_2) est

En d'autres termes, la formule du milieu indique que les coordonnées du milieu d'un segment sont trouvées en calculant la moyenne des coordonnées x et la moyenne des coordonnées y des extrémités du segment. Dans l'exercice 43, on vous demande de vérifier que les coordonnées ci-dessus satisfont à la définition du milieu.

Exemple 5 : UTILISATION DE LA FORMULE MILIEU

Trouvez le milieu M du segment avec les extrémités (8, -4) et (-9, 6) .
Utilisez la formule du milieu pour trouver que les coordonnées de M sont

Exemple 6 UTILISATION DE LA FORMULE MILIEU

Un segment de ligne a une extrémité à (2, -8) et un milieu à (-1, -3) Trouvez l'autre extrémité du segment.

La formule pour la coordonnée x du milieu est (x_1+x_2)/2 . Ici, la coordonnée x du milieu est -1 . Laisser x_1=2 donne


Exemple de problème :

Solution: Substitution X = −1, 0, 1 dans l'équation de la droite, on obtient oui = -4, -1, 2 en conséquence.

X -1 0 1
oui -4 -1 2

L'échelle des deux axes est choisie en fonction des valeurs des coordonnées obtenues à l'étape précédente.

Dans un graphique, tracez les points de coordonnées cartésiennes (−1, −4), (0, −1) et (1, 2).

S'il vous plaît exprimer votre point de vue sur ce sujet syllabus porte 2013 pour pdf mécanique en commentant sur le blog
Joignez les points par un segment de ligne et prolongez-le dans les deux sens. On obtient ainsi le graphe requis


Horizontal les lignes sont lorsque "(y=) un nombre" par exemple, "(y=5)" (sans "(x)" dans l'équation) est une ligne horizontale où (y) est égal à 5 . Le la pente est nulle ( 0 ), puisque (0x) signifie qu'il n'y a pas de (x). Vous pouvez vous en souvenir car un "(y)" ressemble à un "(h)" à l'envers et "(h)" est le début du mot "horizontal". La ligne "(y=0)" se trouve sur l'axe (x).

Verticale les lignes sont lorsque "(x=) un nombre" par exemple, "(x=2)" (sans "(y)" dans l'équation) est une ligne verticale où (x) est égal à 2 . La pente est indéfini, comme si la ligne tombait du ciel. Vous pouvez vous en souvenir puisque vous pouvez dessiner un "(v)" dans un "(x)", et "(v)" est le début du mot "vertical". La ligne "(x=0)" se trouve sur l'axe (y).

Alors voici ce que " 0 » et les pentes indéfinies ressemblent à :


Coordonnées dans le plan et équation graphique en deux variables

Soit PI un plan et X et Y des droites mutuellement perpendiculaires dans PI se coupant au point O . En utilisant les lignes X et Y, nous associerons une paire de nombres à chaque point du plan. Si P est un point et (a,b) est le couple associé à P , alors a et b sont les coordonnées de P . Le nombre a est l'abcisse ou la première coordonnée de P . tandis que b est l'ordonnée ou la deuxième coordonnée de P . On note un point et ses coordonnées par
P : (a,b) .
Les coordonnées de P sont déterminées de la manière suivante. Choisissez une direction de O le long de X comme direction positive sur X et, de la même manière, choisissez une direction positive pour Y . Il est d'usage de choisir les directions positives comme indiqué par les flèches de la figure 1. En choisissant une unité de mesure sur chacune des deux lignes, nous marquons les distances positives dans le sens positif sur X et Y et les distances négatives dans l'autre sens sur chaque ligne, de sorte que chaque point sur un axe soit à une distance dirigée de l'origine O . Voir Figure 2. Soient k et h les droites sur

&samp&samp

&samp&samp

&emsp&emsp P qui sont parallèles à X et Y , respectivement. Alors h coupe X en un point à distance dirigée du point O , tandis que k coupe Y en un point à une distance dirigée b du point O . Alors la paire de coordonnées de P est (a,b) . Sur la figure 2, la paire de coordonnées de P est (3, 3.5) .
Les lignes X et Y ainsi que les directions positives et l'unité de mesure sont appelées un système de coordonnées cartésiennes pour le plan. Un plan dans lequel un système de coordonnées est introduit est appelé un plan de coordonnées. Les lignes X et Y sont respectivement les axes horizontal et vertical du système, et leur point d'intersection O est l'origine du système.
Nous observons que les axes divisent le plan en quatre parties appelées les quadrants du plan. Numérotés dans le sens antihoraire à partir du quadrant supérieur droit, ce sont les premier, deuxième, troisième et quatrième quadrants du plan. Tous les points du premier quadrant ont les deux coordonnées positives, ceux du second ont la première coordonnée négative et la deuxième coordonnée positive, et ainsi de suite.
Un problème simple qui se pose est de localiser ou de tracer un point dont les coordonnées sont données. Une seconde consiste à estimer les coordonnées d'un point donné.

Exemple 1.&emsp&emspPlot (-2,4.5) et (3,-7) .

&samp&samp

Exemple 2. Estimez les coordonnées de P et Q données ci-dessous.

&samp&samp

&emsp&emspEn utilisant la formule de Pythagore de la géométrie plane, nous pouvons arriver à une formule pour la distance entre deux points en termes de coordonnées de ces points. Soit P : (X1,O1) et Q : (X2,O2) être donné. Désignons la distance entre P et Q par d (P,Q) . Voir Figure 3. Par le théorème de Pythagore

&samp&samp

Exemple 3. Tracez les points P : (-4,3) et Q : (2,-1) et trouvez la distance qui les sépare.

&samp&samp

7.2&emsp&emspGrapher des équations dans deux variables
&emsp&emsp&emsp&emsp

&emsp&emsp&emsp Considérons l'équation à deux variables

Une solution de cette équation est une paire de nombres (a,b) telle qu'en faisant la substitution x=a , y=b en (1), une vraie déclaration numérique en résulte. Ainsi (4,0) et (6, 1) sont des solutions, tandis que (1, 2) n'est pas une solution. L'ensemble solution de (1) est l'ensemble de toutes les paires solutions.
&emsp&emspNous symbolisons la situation générale de la manière suivante. Laisser (x,y) représente toute expression dans les variables x et y . Puis une solution de

est une paire de nombres (a,b) telle que la substitution x=a , y=b en (2) résulte en un véritable énoncé numérique. L'ensemble de solutions est l'ensemble de toutes les paires de solutions.
Puisque l'ensemble solution de (2) est un ensemble de paires de nombres réels, nous pouvons tracer ces paires comme des points dans un plan de coordonnées. La figure résultante dans le plan est appelée le graphe de (2). Pour la plupart des équations, nous ne pouvons tracer qu'un nombre fini de points exactement, puis faire une supposition (plus ou moins) éclairée sur les autres points.

Exemple 1.&rempl&Graphique x-2y=4 .

&emsp&emspNous construisons d'abord un tableau répertoriant certaines des paires de solutions

X &s&&emp y &emsp&emspCalculs
-2 -3 &emsp&emsp -2-2y=4 donc -2y=6 , y=-3
-1 -(5/2) -1-2y=4 donc -2y=5 , y=-(5/2)
0 -2
1 -(3/2)
2 -1
3 -(1/2)
4 0
5 1/2
6 1

Tracez ensuite ces points dans un plan de coordonnées. Ces points semblent se situer sur une ligne droite et nous pouvons raisonnablement deviner qu'ils le sont. En fait, nous verrons bientôt qu'ils sont colinéaires.

Voyons comment notre solveur génère un graphique de cette équation et des équations similaires. Cliquez sur le bouton "Résoudre les similarités" pour voir plus d'exemples.

Exemple 2.&p&&pbGraphique x^2+y^2=4 .

&emsp&emspConstruisez une table de paires de solutions.

X oui Calculs
-2 0 (-2)^2+y^2=4 , y^2=0 donc y=0
-1 +-&radic3 (-1)^2+y^2=4 , y^2=3 donc y=+-&radic3
0 +-2
1 +-&radic3
2 0

Tracez ces points dans un plan de coordonnées. Ces points semblent se trouver sur le cercle de centre (0,0) et de rayon 2 . Nous finirons par montrer que c'est bien le cas.

Voyons comment notre solveur génère un graphique de cette équation et des équations similaires. Cliquez sur le bouton "Résoudre les similarités" pour voir plus d'exemples.

Exemple 3.&p&&pbGraphique y=x^2+1 .

&emsp&emspConstruisez une table de paires de solutions.

X oui
-3 10
-2 5
-1 2
0 1
1 2
2 5
3 10

&emsp&emspTracer ces points dans un plan de coordonnées et les connecter avec une courbe lisse.

&samp&samp

Voyons comment notre solveur génère un graphique de cette équation et des équations similaires. Cliquez sur le bouton "Résoudre les similarités" pour voir plus d'exemples.


Système de coordonnées rectangulaires - Concept

Carl a enseigné les mathématiques de niveau supérieur dans plusieurs écoles et dirige actuellement sa propre entreprise de tutorat. Il parie que personne ne peut battre son amour pour les activités de plein air intensives !

En algèbre, on utilise souvent le système de coordonnées rectangulaires pour tracer des lignes, des paraboles et d'autres formules. Les termes importants à connaître incluent l'axe y, l'axe x, les coordonnées y, les coordonnées x et les points. Le système de coordonnées rectangulaires peut également être appelé système de coordonnées ou axe x-y.

Le système de coordonnées rectangulaires est une manière générale de représenter graphiquement de nombreuses informations. Vous l'entendez appeler le système de coordonnées rectangulaires, vous l'entendrez appelé le système de coordonnées parfois vous appelez l'axe xy. Il existe différentes manières de formuler tout cela, qui feront toujours référence à cette grille standard de tri que vous avez probablement déjà vue, donc les quelques éléments dont nous avons besoin pour en parler sont un axe x et un axe y.
L'axe des x est celui sur une horizontale l'axe des y est celui qui va de haut en bas. D'accord, comment nous référons-nous à des points spécifiques, est-ce qu'une coordonnée x et une coordonnée y sont correctes ? Donc, si je dis le point 3, -2, cela signifie que nous descendons l'axe des x 3 donc positif est dans la bonne direction donc nous passons sur trois 1, 2, 3 et puis nous descendons 2, 1, 2 donc le le point -3, 2 est à peu près ici, mon dessin est incomplet avec l'échelle, donc je suis peut-être un peu décalé, mais ce sera juste à ce point.

D'accord, une autre terminologie que nous voulons décrire est de voir ici les quatre zones différentes de ce graphique, je m'y réfère est-ce que les quadrants sont d'accord ? Et donc pour des raisons que je ne connais pas, c'est le quadrant 1 et ensuite nous allons dans le sens inverse des aiguilles d'une montre, donc c'est le 2 quadrant 3 et ce point que nous avons tracé est dans le quadrant 4 d'accord ? C'est donc un moyen très simple pour nous de faire une sorte de distinction lorsque nous faisons référence à un point, il y a un certain nombre de points en cours, nous pourrions dire " " ! Le point dans le quadrant 2, nous savons que nous parlons de quelque chose ici. »
C'est donc en quelque sorte un bref aperçu du système de coordonnées rectangulaires, au fur et à mesure que nous avançons, nous explorerons beaucoup plus de graphiques et nous en verrons beaucoup plus.


Ressources ouvertes pour l'algèbre des collèges communautaires

Lorsque nous modélisons visuellement une relation entre deux variables, nous utilisons le système de coordonnées cartésiennes. Cette section couvre le vocabulaire et les idées de base qui accompagnent le système de coordonnées cartésiennes.

Graphique 3.1.1. Leçon vidéo alternative

René Descartes.

Plusieurs idées et conventions utilisées en mathématiques sont attribuées à (ou du moins nommées d'après) René Descartes 1 en.wikipedia.org/wiki/René_Descartes . Le système de coordonnées cartésiennes en fait partie.

Le système de coordonnées cartésiennes identifie l'emplacement de chaque point dans un plan. Fondamentalement, le système donne à chaque point d'un plan sa propre « adresse » par rapport à un point de départ. Nous utiliserons une grille de rues comme analogie. Voici une carte avec la maison de Carl au centre. La carte montre également quelques commerces à proximité. Supposons que chaque unité de la grille représente un pâté de maisons.

Si Carl a un invité de l'extérieur de la ville qui lui demande comment se rendre au restaurant, Carl pourrait dire :

"Allez d'abord (2) blocs à l'est (vers la droite sur la carte), puis allez (3) blocs au nord (en haut sur la carte)."

Deux numéros permettent de localiser le restaurant. Dans le système de coordonnées cartésiennes, ces nombres sont appelés et ils sont écrits sous la forme ((2,3) ext<.>) La première coordonnée, (2 ext<,>) représente la distance parcourue depuis la maison de Carl à l'est (ou à droite horizontalement sur le graphique). La deuxième coordonnée, (3 ext<,>) représente la distance au nord (vers le haut verticalement sur le graphique).

Pour voyager de la maison de Carl à l'animalerie, il irait (3) blocs vers l'ouest, puis (2) blocs vers le nord.

Dans le système de coordonnées cartésiennes, le positif les directions sont au droite horizontalement et en haut verticalement. Le négatif les directions sont au la gauche horizontalement et vers le bas verticalement. Les coordonnées cartésiennes de l'animalerie sont donc ((-3,2) ext<.>)

Remarque 3.1.5 .

Il est important de savoir que l'ordre des coordonnées cartésiennes est (horizontal, vertical). Cette idée de communiquer des informations horizontales avant l'information verticale est cohérente dans la plupart des mathématiques.

Point de contrôle 3.1.6 .
Avertissement 3.1.7 . Problème de notation : coordonnées ou intervalle ?

Malheureusement, la notation pour une paire ordonnée ressemble exactement à la notation d'intervalle pour un intervalle ouvert. Le contexte vous aidera à comprendre si ((1,3)) indique le point (1) unité à droite de l'origine et (3) unités en haut, ou si ((1,3)) indique l'intervalle de tous les nombres réels entre (1) et (3 ext<.>)

Traditionnellement, la variable (x) représente des nombres sur l'axe horizontal, elle est donc appelée le . La variable (y) représente des nombres sur l'axe vertical, elle est donc appelée le . Les axes se rencontrent au point ((0,0) ext<,>) qui est appelé le . Chaque point du plan est représenté par un , ((x,y) ext<.>)

Dans un système de coordonnées cartésiennes, la carte du quartier de Carl ressemblerait à ceci :

Définition 3.1.9. Système de coordonnées cartésiennes.

Le système de coordonnées cartésiennes 2 en.wikipedia.org/wiki/Cartesian_coordinate_system est un système de coordonnées qui spécifie chaque point de manière unique dans un plan par une paire de coordonnées numériques, qui sont les distances signées (positives/négatives) jusqu'au point à partir de deux perpendiculaires fixes lignes dirigées, mesurées dans la même unité de longueur. Ces deux lignes de référence sont appelées le et , et le point où elles se rencontrent est le . Les axes horizontal et vertical sont souvent appelés les et .

Le plan basé sur les axes (x) et (y) est appelé un . La paire ordonnée utilisée pour localiser un point s'appelle le point's , qui se compose d'un et d'un . Par exemple, le point ((1,2) ext<,>) a (x)-coordinate (1 ext<,>) et (y)-coordinate (2 ext <.>) L'origine a les coordonnées ((0,0) ext<.>)

Un système de coordonnées cartésiennes est divisé en quatre , comme le montre la figure 3.1.10. Les quadrants sont traditionnellement étiquetés avec des chiffres romains.

Exemple 3.1.11.

Sur papier, dessinez un système de coordonnées cartésiennes avec des unités, puis tracez les points suivants : ((3,2),(-5,-1),(0,-3),(4,0) ext<. >)


1.2 : Les systèmes de coordonnées rectangulaires et les graphes - Mathématiques

Dans Coordonnées cartésiennes (ou alors Coordonnées rectangulaires), l'``adresse'' d'un point P est donnée par deux nombres réels indiquant les positions des projections perpendiculaires du point à deux droites fixes, perpendiculaires et graduées, appelées les haches. Si une coordonnée est notée X et l'autre oui, les axes sont appelés les X-axe et le oui-axe, et nous écrivons P=(X,oui). Habituellement le X-axe est dessiné horizontalement, avec X augmentant vers la droite, et le oui-l'axe est dessiné vertical, avec oui augmentant en montant. Le point X=0, oui=0 est le origine, où les axes se croisent. Voir la figure 1.

  
Figure 1 : En coordonnées cartésiennes, P=(4,3), Q=(-1.3,2.5), R=(-1.5,-1.5), S=(3,5,-1), et T=(4,5,0). Les axes divisent le plan en quatre quadrants: P est dans le premier quadrant, Q dans la seconde, R dans le troisième, et S dans le quatrième. T est sur le positif X-axe.

Silvio Lévy
Mer 4 oct. 16:41:25 PDT 1995

Ce document est extrait de la 30e édition du Tables et formules mathématiques standard du CRC (CRC Presse). La duplication non autorisée est interdite.


11.1 Utiliser le système de coordonnées rectangulaires

Par exemple, le Student Center se trouve dans la section 2B. Il est situé dans la section de grille au-dessus du chiffre 2 2 et à côté de la lettre B. Dans quelle section de grille se trouve le stade ? Le stade est dans la section 4D.

Exemple 11.1

Solution

Tout comme les cartes utilisent un système de grille pour identifier les emplacements, un système de grille est utilisé en algèbre pour montrer une relation entre deux variables dans un système de coordonnées rectangulaires. Pour créer un système de coordonnées rectangulaires, commencez par une droite numérique horizontale. Montrez les nombres positifs et négatifs comme vous l'avez fait auparavant, en utilisant une unité d'échelle pratique. Cette droite numérique horizontale est appelée la X-axe .

Maintenant, tracez une droite numérique verticale passant par l'axe des x axe des x à 0 . 0 . Mettez les nombres positifs au-dessus de 0 0 et les nombres négatifs en dessous de 0 . 0 . Voir la figure 11.3. Cette ligne verticale est appelée la oui-axe .

Dans le système de coordonnées rectangulaires, chaque point est représenté par une paire ordonnée . Le premier nombre de la paire ordonnée est le X-coordonnée du point, et le deuxième nombre est le oui-coordonnée du point.

Paire ordonnée

Alors, comment les coordonnées d'un point vous aident-elles à localiser un point sur le plan x - y x - y ?

Exemple 11.2

Solution

Notez que l'ordre des coordonnées importe, donc, ( 1 , 3 ) ( 1 , 3 ) n'est pas le même point que ( 3 , 1 ) . ( 3 , 1 ) .

Tracez chaque point sur le même système de coordonnées rectangulaires : ( 5 , 2 ) , ( 2 , 5 ) . ( 5 , 2 ) , ( 2 , 5 ) .

Tracez chaque point sur le même système de coordonnées rectangulaires : ( 4 , 2 ) , ( 2 , 4 ) . ( 4 , 2 ) , ( 2 , 4 ) .

Exemple 11.3

Tracez chaque point dans le système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point :

Solution

Tracez chaque point sur un système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point.

Tracez chaque point sur un système de coordonnées rectangulaires et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point.

Comment les signes affectent-ils l'emplacement des points?

Exemple 11.4

Solution

Vous avez peut-être remarqué certaines tendances lorsque vous avez représenté graphiquement les points dans les deux exemples précédents.

Pour chaque point du quadrant IV, que remarquez-vous sur les signes des coordonnées ?

Qu'en est-il des signes des coordonnées des points du troisième quadrant ? Le deuxième quadrant ? Le premier quadrant ?

Pouvez-vous dire simplement en regardant les coordonnées dans quel quadrant se trouve le point (-2, 5) ? Dans quel quadrant se situe (2, -5) ?

Nous pouvons résumer les modèles de signes des quadrants comme suit. Voir également la figure 11.7.

Points sur les axes

Quelle est la paire ordonnée du point où les axes se croisent ? À ce stade, les deux coordonnées sont nulles, donc sa paire ordonnée est ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) . Le point a un nom spécial. Il s'appelle le origine.

L'origine

Exemple 11.5

Tracez chaque point sur une grille de coordonnées :

Solution

Tracez chaque point sur une grille de coordonnées :

Tracez chaque point sur une grille de coordonnées :

Identifier des points sur un graphique

En algèbre, être capable d'identifier les coordonnées d'un point représenté sur un graphique est tout aussi important que de pouvoir tracer des points. Pour identifier le X-coordonnée d'un point sur un graphique, lire le nombre sur le X-axe directement au-dessus ou au-dessous du point. Pour identifier le oui-coordonnée d'un point, lire le nombre sur le oui-axe directement à gauche ou à droite du point. N'oubliez pas d'écrire la paire ordonnée en utilisant le bon ordre ( x , y ) . (x, y).

Exemple 11.6

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Solution

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Exemple 11.7

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Solution

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Nommez la paire ordonnée de chaque point affiché :

Vérifier les solutions d'une équation à deux variables

Toutes les équations que nous avons résolues jusqu'à présent sont des équations à une variable. Dans presque tous les cas, lorsque nous avons résolu l'équation, nous avons obtenu exactement une solution . Le processus de résolution d'une équation s'est terminé par une déclaration telle que x = 4 . x = 4 . Ensuite, nous avons vérifié la solution en la substituant dans l'équation.

Voici un exemple d'équation linéaire à une variable et sa solution unique.

Mais les équations peuvent avoir plus d'une variable. Les équations à deux variables peuvent être écrites sous la forme générale A x + B y = C . A x + B y = C . Une équation de cette forme est appelée équation linéaire à deux variables.

Équation linéaire

Notez que le mot "ligne" est en linéaire.

Voici un exemple d'équation linéaire à deux variables, x x et y : y :

Solution à une équation linéaire à deux variables

Exemple 11.8

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions de l'équation x + 4 y = 8 : x + 4 y = 8 :

Solution

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions à l'équation donnée : 2 x + 3 y = 6 2 x + 3 y = 6

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions à l'équation donnée : 4 x − y = 8 4 x − y = 8

Exemple 11.9

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions de l'équation. y = 5 x − 1 : y = 5 x − 1 :

Solution

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions de l'équation donnée : y = 4 x − 3 y = 4 x − 3

Déterminer quelles paires ordonnées sont des solutions de l'équation donnée : y = −2 x + 6 y = −2 x + 6

Remplir un tableau de solutions à une équation linéaire

Nous commencerons par examiner les solutions de l'équation y = 5 x − 1 y = 5 x − 1 que nous avons trouvées dans l'exemple 11.9. Nous pouvons résumer ces informations dans un tableau de solutions.

Pour trouver une troisième solution, nous allons laisser x = 2 x = 2 et résoudre pour y . oui.

La paire ordonnée est une solution de y = 5 x - 1 y = 5 x - 1 . Nous l'ajouterons au tableau.

Exemple 11.10

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation y = 4 x − 2 : y = 4 x − 2 :

Solution

Les résultats sont résumés dans le tableau.

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation : y = 3 x − 1 . y = 3 x − 1 .

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation : y = 6 x + 1 y = 6 x + 1

Exemple 11.11

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation 5 x − 4 y = 20 : 5 x − 4 y = 20 :

Solution

Les résultats sont résumés dans le tableau.

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation : 2 x − 5 y = 20 . 2 x − 5 y = 20 .

Complétez le tableau pour trouver trois solutions à l'équation : 3 x − 4 y = 12 . 3 x − 4 y = 12 .

Trouver des solutions aux équations linéaires à deux variables

Exemple 11.12

Trouvez une solution à l'équation 3 x + 2 y = 6 . 3 x + 2 y = 6 .

Solution

Étape 1: Choisissez n'importe quelle valeur pour l'une des variables de l'équation. Nous pouvons substituer n'importe quelle valeur à x x ou n'importe quelle valeur à y . oui.
Prenons x = 0 . x = 0 .
Quelle est la valeur de y y si x = 0 x = 0 ?
Étape 2: Remplacez cette valeur dans l'équation.
Résolvez pour l'autre variable.

Remplacez 0 0 par x . X .
Simplifier.

Divisez les deux côtés par 2.
Étape 3: Écrivez la solution sous la forme d'une paire ordonnée. Ainsi, lorsque x = 0 , y = 3 . x = 0 , y = 3 . Cette solution est représentée par le couple ordonné (0, 3). (0, 3).
Étape 4: Vérifier.
Le résultat est-il une vraie équation ?
Oui!

Trouvez une solution à l'équation : 4 x + 3 y = 12 . 4 x + 3 y = 12 .

Trouvez une solution à l'équation : 2 x + 4 y = 8 . 2 x + 4 y = 8 .

Nous avons dit que les équations linéaires à deux variables ont une infinité de solutions, et nous venons d'en trouver une. Trouvons d'autres solutions à l'équation 3 x + 2 y = 6 . 3 x + 2 y = 6 .

Exemple 11.13

Trouvez trois autres solutions à l'équation 3 x + 2 y = 6 . 3 x + 2 y = 6 .

Solution

Trouvez trois solutions à l'équation : 2 x + 3 y = 6 . 2 x + 3 y = 6 .

Trouvez trois solutions à l'équation : 4 x + 2 y = 8 . 4 x + 2 y = 8 .

Trouvons maintenant des solutions à une autre équation.

Exemple 11.14

Trouvez trois solutions à l'équation x − 4 y = 8 . x − 4 y = 8 .

Solution

N'oubliez pas qu'il existe un nombre infini de solutions à chaque équation linéaire. Tout point que vous trouvez est une solution s'il rend l'équation vraie.

Trouvez trois solutions à l'équation : 4 x + y = 8 . 4 x + y = 8 .

Trouvez trois solutions à l'équation : x + 5 y = 10 . x + 5 y = 10 .

Médias

ACCÉDEZ À DES RESSOURCES EN LIGNE SUPPLÉMENTAIRES

Section 11.1 Exercices

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Tracer des points sur un système de coordonnées rectangulaires

Dans les exercices suivants, tracez chaque point sur une grille de coordonnées.

Dans les exercices suivants, tracez chaque point sur une grille de coordonnées et identifiez le quadrant dans lequel se trouve le point.

Dans les exercices suivants, tracez chaque point sur une grille de coordonnées.

Identifier des points sur un graphique

Dans les exercices suivants, nommez la paire ordonnée de chaque point affiché.

Vérifier les solutions d'une équation à deux variables

Dans les exercices suivants, déterminez quelles paires ordonnées sont des solutions à l'équation donnée.

Trouver des solutions aux équations linéaires à deux variables

Dans les exercices suivants, complétez le tableau pour trouver des solutions à chaque équation linéaire.

Mathématiques de tous les jours

Poids d'un bébé Mackenzie a enregistré le poids de son bébé tous les deux mois. L'âge du bébé, en mois, et son poids, en livres, sont indiqués dans le tableau et présentés sous forme de paire ordonnée dans la troisième colonne.

Tracez les points sur une grille de coordonnées.

ⓑ Pourquoi n'ai-je besoin que de Quadrant ?

Poids d'un enfant Latresha a enregistré la taille et le poids de son fils chaque année. Sa taille, en pouces, et son poids, en livres, sont répertoriés dans le tableau et présentés sous forme de paire ordonnée dans la troisième colonne.

Tracez les points sur une grille de coordonnées.

ⓑ Pourquoi n'ai-je besoin que de Quadrant ?

Exercices d'écriture

Avez-vous déjà utilisé une carte avec un système de coordonnées rectangulaires ? Décrivez la carte et comment vous l'avez utilisée.

Comment déterminez-vous si une paire ordonnée est une solution à une équation donnée ?

Auto contrôle

ⓐ Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

ⓑ Si la plupart de vos chèques étaient :

… en toute confiance. Toutes nos félicitations! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Être spécifique.

… avec un peu d'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de s'assurer que vous avez une base solide avant de passer à autre chose. A qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées?

… non, je ne comprends pas ! Ceci est un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide tout de suite ou vous serez rapidement débordé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour vous apporter l'aide dont vous avez besoin.

En tant qu'associé Amazon, nous gagnons des achats éligibles.

Vous voulez citer, partager ou modifier ce livre ? Ce livre est Creative Commons Attribution License 4.0 et vous devez attribuer OpenStax.

    Si vous redistribuez tout ou partie de ce livre dans un format imprimé, vous devez alors inclure sur chaque page physique l'attribution suivante :

  • Utilisez les informations ci-dessous pour générer une citation. Nous vous recommandons d'utiliser un outil de citation comme celui-ci.
    • Auteurs : Lynn Marecek, MaryAnne Anthony-Smith, Andrea Honeycutt Mathis
    • Éditeur/site Web : OpenStax
    • Titre du livre : Préalgèbre 2e
    • Date de parution : 11 mars 2020
    • Lieu : Houston, Texas
    • URL du livre : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/1-introduction
    • URL de la section : https://openstax.org/books/prealgebra-2e/pages/11-1-use-the-rectangular-coordinate-system

    © 21 janvier 2021 OpenStax. Le contenu des manuels produit par OpenStax est sous licence Creative Commons Attribution License 4.0. Le nom OpenStax, le logo OpenStax, les couvertures de livres OpenStax, le nom OpenStax CNX et le logo OpenStax CNX ne sont pas soumis à la licence Creative Commons et ne peuvent être reproduits sans le consentement écrit préalable et exprès de Rice University.


    Voir la vidéo: Calcul de Coordonnées Rectangulaires et de la Surface Partie2. (Décembre 2021).