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9.1 : Séquences


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Ecrire les premiers termes d'une suite
  • Trouver une formule pour le terme général (énième terme) d'une suite
  • Utiliser la notation factorielle
  • Trouver la somme partielle
  • Utiliser la notation sommative pour écrire une somme

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Évaluez (2n+3) pour les entiers (1, 2, 3) et (4).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 1.6.
  2. Évaluez ((−1)^{n}) pour les entiers (1, 2, 3) et (4).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 1.19.
  3. Si (f(n)=n^{2}+2), trouvez (f(1)+f(2)+f(3)).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 3.49.

Écrire les premiers termes d'une séquence

Regardons la fonction (f(x)=2x) et évaluons-la uniquement pour les nombres de comptage.

(f(x)=2x)
(X)(2x)
(1)(2)
(2)(4)
(3)(6)
(4)(8)
(5)(10)
(...)(...)
Tableau 12.1.1

Si nous listons les valeurs des fonctions dans l'ordre (2, 4, 6, 8) et (10), … nous avons une séquence. UNE séquence est une fonction dont le domaine est le comptage des nombres.

Définition (PageIndex{1})

UNE séquence est une fonction dont le domaine est le comptage des nombres.

Une séquence peut également être vue comme une liste ordonnée de nombres et chaque nombre de la liste est un terme. Une suite peut avoir un nombre infini de termes ou un nombre fini de termes. Notre séquence a trois points (ellipses) à la fin qui indiquent que la liste ne se termine jamais. Si le domaine est l'ensemble de tous les nombres de comptage, alors la séquence est un séquence infinie. Son domaine est tous les nombres de comptage et il existe un nombre infini de nombres de comptage.

(2,4,6,8,10, points)

Si nous limitons le domaine à un nombre fini de nombres de comptage, alors la séquence est un suite finie. Si nous n'utilisons que les quatre premiers nombres de comptage, (1, 2, 3, 4) notre séquence serait la séquence finie,

(2,4,6,8)

Souvent, lorsque nous travaillons avec des séquences, nous ne voulons pas écrire tous les termes. Nous voulons un moyen plus compact de montrer comment chaque terme est défini. Lorsque nous avons travaillé avec des fonctions, nous avons écrit (f(x)=2x) et nous avons dit que l'expression (2x) était la règle qui définissait les valeurs dans la plage. Bien qu'une séquence soit une fonction, nous n'utilisons pas la notation de fonction habituelle. Au lieu d'écrire la fonction sous la forme (f(x)=2x), nous l'écririons sous la forme (a_{n}=2n). Le (a_{n}) est le (n)ième terme de la séquence, le terme en (n)ième position où (n) est une valeur dans le domaine. La formule pour écrire le (n)ième terme de la suite est appelée la terme général ou formule de la séquence.

Définition (PageIndex{2})

Le terme général de la séquence se trouve à partir de la formule d'écriture du (n)ième terme de la séquence. Le (n)ième terme de la séquence, (a_{n}), est le terme en (n)ième position où (n) est une valeur dans le domaine.

Lorsqu'on nous donne le terme général de la séquence, nous pouvons trouver les termes en remplaçant (n) par les nombres de comptage dans l'ordre. Pour (a_{n}=2 n),

(n)(1)(2)(3)(4)(5)(6)
(une})2(cdot 1)2(cdot 2)2(cdot 3)2(cdot 4)2(cdot 5)2(cdot 6)
(2)(4)(6)(8)(10)
Tableau 12.1.2

(a_{1}, quad a_{2}, quad a_{3}, quad a_{4}, quad a_{5}, ldots, quad a_{n}, dots)

(2, quad 4, quad 6, quad 8, quad10, dots)

Pour trouver les valeurs d'une séquence, on substitue les nombres de comptage dans l'ordre au terme général de la séquence.

Exemple (PageIndex{1})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=4 n-3).

Solution:

Nous substituons les valeurs (1, 2, 3, 4) et (5) dans la formule, (a_{n}=4n−3), dans l'ordre.

Réponse:

Les cinq premiers termes de la suite sont (1, 5, 9, 13) et (17).

Exercice (PageIndex{1})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=3n-4).

Réponse

(-1,2,5,8,11)

Exercice (PageIndex{2})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=2n-5).

Réponse

(-3,-1,1,3,5)

Pour certaines séquences, la variable est un exposant.

Exemple (PageIndex{2})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=2^{n}+1).

Solution:

Nous substituons les valeurs (1, 2, 3, 4) et (5) dans la formule, (a_{n}=2^{n}+1), dans l'ordre.

Réponse:

Les cinq premiers termes de la suite sont (3, 5, 9, 17) et (33).

Exercice (PageIndex{3})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=3^{n}+4).

Réponse

(7,13,31,85,247)

Exercice (PageIndex{4})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=2^{n}-5).

Réponse

(-3,-1,3,11,27)

Il n'est pas rare de voir les expressions ((−1)^{n}) ou ((−1)^{n+1}) dans le terme général pour une séquence. Si nous évaluons chacune de ces expressions pour quelques valeurs, nous voyons que cette expression alterne le signe pour les termes.

(n)(1)(2)(3)(4)(5)
((-1)^{n})((-1)^{1})
(-1)
((-1)^{2})
1
((-1)^{3})
(-1)
((-1)^{4})
(1)
((-1)^{5})
(-1)
((-1)^{n+1})((-1)^{1+1})
1
((-1)^{2+1})
(-1)
((-1)^{3+1})
1
((-1)^{4+1})
(-1)
((-1)^{5+1})
1
Tableau 12.1.3

(a_{1}, quad a_{2}, quad a_{3}, quad a_{4}, quad a_{5}, dots, quad a_{n}, dots)

Exemple (PageIndex{3})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=(-1)^{n} n^{3}).

Solution:

Nous substituons les valeurs (1, 2, 3, 4), et (5) dans la formule, (a_{n}=(-1)^{n} n^{3}), dans ordre.

Réponse:

Les cinq premiers termes de la suite sont (−1, 8, −27, 64, −1, 8, −27, 64) et (−125).

Exercice (PageIndex{5})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=(-1)^{n} n^{2}).

Réponse

(-1,4,-9,16,-25)

Exercice (PageIndex{6})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=(-1)^{n+1} n^{3}).

Réponse

(1,-8,27,-64,125)

Trouver une formule pour le terme général ((n)ème terme) d'une séquence

Parfois, nous avons quelques termes d'une séquence et il serait utile de connaître le terme général ou le (n)ième terme. Pour trouver le terme général, nous recherchons des modèles dans les termes. Souvent, les modèles impliquent des multiples ou des pouvoirs. Nous recherchons également un modèle dans les signes des termes.

Exemple (PageIndex{4})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués. (4,8,12,16,20, points)

Solution:


Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les nombres sont tous des multiples de (4).
Le terme général de la suite est (a_{n}=4n).
Tableau 12.1.4

Réponse:

Le terme général de la suite est (a_{n}=4n).

Exercice (PageIndex{7})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

(3,6,9,12,15, points)

Réponse

(a_{n}=3 n)

Exercice (PageIndex{8})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

(5,10,15,20,25, points)

Réponse

(a_{n}=5 n)

Exemple (PageIndex{5})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués. (2,-4,8,-16,32, points)

Solution:

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les nombres sont des puissances de (2). Les signes sont alternés, avec même (n) négatifs.
Le terme général de la suite est (a_{n}=(-1)^{n+1} 2^{n})
Tableau 12.1.5

Réponse:

Le terme général de la suite est (a_{n}=(-1)^{n+1}2^{n}).

Exercice (PageIndex{9})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

(-3,9,-27,81,-243, points)

Réponse

(a_{n}=(-1)^{n} 3^{n})

Exercice (PageIndex{10})

Trouver un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués

(1,-4,9,-16,25, points)

Réponse

(a_{n}=(-1)^{n+1} n^{2})

Exemple (PageIndex{6})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués. (frac{1}{3}, frac{1}{9}, frac{1}{27}, frac{1}{81}, frac{1}{243}, dots )

Solution:

Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les numérateurs sont tous (1).
Les dénominateurs sont des puissances de (3).Le terme général de la suite est (a_{n}=frac{1}{3^{n}}).
Tableau 12.1.6

Réponse:

Le terme général de la suite est (a_{n}=frac{1}{3^{n}}).

Exercice (PageIndex{11})

Trouvez un terme général pour la suite dont les cinq premiers termes sont indiqués.

(frac{1}{2}, frac{1}{4}, frac{1}{8}, frac{1}{16}, frac{1}{32}, dots )

Réponse

(a_{n}=frac{1}{2^{n}})

Exercice (PageIndex{12})

Trouvez un terme général pour la séquence dont les cinq premiers termes sont indiqués.

(frac{1}{1}, frac{1}{4}, frac{1}{9}, frac{1}{16}, frac{1}{25}, dots )

Réponse

(a_{n}=frac{1}{n^{2}})

Utiliser la notation factorielle

Les séquences ont souvent des termes qui sont des produits d'entiers consécutifs. Nous indiquons ces produits avec une notation spéciale appelée notation factorielle. Par exemple, (5!), lisez (5) factoriel, signifie (5⋅4⋅3⋅2⋅1). Le point d'exclamation n'est pas une ponctuation ici ; il indique le notation factorielle.

Définition (PageIndex{3})

Si (n) est un entier positif, alors (n!) est

(n !=n(n-1)(n-2) points)

On définit (0!) comme (1), donc (0!=1).

Les valeurs de (n!) pour les premiers (5) entiers positifs sont affichées.

(egin{array}{ccccc}{1 !} & {2 !} & {3 !} & {4 !} & {5 !} {1} & quad{2 cdot 1} & quad {3 cdot 2 cdot 1} & quad{4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} & quad {5 cdot 4 cdot 3 cdot 2 cdot 1} {1} & { 2} & {6} & {24} & {120}end{array})

Exemple (PageIndex{7})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{1}{n !}).

Solution:

Nous substituons les valeurs (1, 2, 3, 4, 5) dans la formule, (a_{n}=frac{1}{n !}), dans l'ordre.

Réponse:

Les cinq premiers termes de la suite sont (1, frac{1}{2}, frac{1}{6}, frac{1}{24}, frac{1}{120}).

Exercice (PageIndex{13})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{2}{n !}).

Réponse

(2,1, frac{1}{3}, frac{1}{12}, frac{1}{60})

Exercice (PageIndex{14})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{3}{n !}).

Réponse

(3, frac{3}{2}, frac{1}{2}, frac{1}{8}, frac{1}{40})

Lorsqu'il y a une fraction avec des factorielles au numérateur et au dénominateur, nous alignons les facteurs verticalement pour faciliter nos calculs.

Exemple (PageIndex{8})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{(n+1) !}{(n-1) !}).

Solution:

On substitue les valeurs (1, 2, 3, 4, 5) dans la formule, (a_{n}=frac{(n+1) !}{(n-1) !}), dans ordre.

Réponse:

Les cinq premiers termes de la suite sont (2, 6, 12, 20) et (30).

Exercice (PageIndex{15})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{(n-1) !}{(n+1) !})

Réponse

(frac{1}{2}, frac{1}{6}, frac{1}{12}, frac{1}{20}, frac{1}{30})

Exercice (PageIndex{16})

Écrivez les cinq premiers termes de la suite dont le terme général est (a_{n}=frac{n !}{(n+1) !}).

Réponse

(frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{1}{5}, frac{1}{6})

Trouver la somme partielle

Parfois, dans les applications, plutôt que de simplement lister les termes, il est important pour nous d'ajouter les termes d'une séquence. Plutôt que de simplement connecter les termes avec des signes plus, nous pouvons utiliser notation de sommation.

Par exemple, (a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}) peut être écrit sous la forme (sum_{i=1}^{5} a_{ je}). Nous lisons ceci comme "la somme de (a) sous (i) de (i) est égale à un à cinq". Le symbole (∑) signifie additionner et le (i) est l'indice de sommation. Le (1) nous dit par où commencer (valeur initiale) et le (5) nous dit où finir (valeur terminale).

Définition (PageIndex{4})

La somme des premiers (n) termes d'une séquence dont le (n)ième terme est (a_{n}) s'écrit en notation sommative :

(sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+ldots+a_{n} )

Le (i) est l'indice de sommation et le (1) nous dit où commencer et le (n) nous dit où finir.

Lorsque nous ajoutons un nombre fini de termes, nous appelons la somme a somme partielle.

Exemple (PageIndex{9})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{i=1}^{5} 2 i).

Solution:

(somme_{i=1}^{5} 2 je)
Nous substituons les valeurs (1, 2, 3, 4, 5) dans l'ordre.(2 cdot 1+2 cdot 2+2 cdot 3+2 cdot 4 + 2 cdot 5)
Simplifier.(2+4+6+8+10)
Ajouter.(egin{array} {c} 30 sum_{i=1}^{5} 2 i=30 end{array})
Tableau 12.1.7

Réponse:

(egin{array} {c} 30 sum_{i=1}^{5} 2 i=30 end{array})

Exercice (PageIndex{17})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{i=1}^{5} 3 i).

Réponse

(45)

Exercice (PageIndex{18})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{i=1}^{5} 4 i).

Réponse

(60)

L'index ne doit pas toujours être (i), nous pouvons utiliser n'importe quelle lettre, mais (i) et (k) sont couramment utilisés. L'index ne doit pas non plus commencer par (1) — il peut commencer et se terminer par n'importe quel entier positif.

Exemple (PageIndex{10})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{k=0}^{3} frac{1}{k !}).

Solution:

(egin{array}{cc} {}&{sum_{k=0}^{3} frac{1}{k !}} {Nous:substituons:les:valeurs : 0,1,2,3:in:order.}&{frac{1}{1}+frac{1}{1 !}+frac{1}{2 !}+frac{1 }{3 !}} {Évaluer:les:factorielles.}& {frac{1}{1}+frac{1}{1}+frac{1}{2 !}+frac {1}{6}} {Simplifier.}&{1+1+frac{3}{6}+frac{1}{6}} {Simplifier.}& {frac{16} {6}} {Simplifier.}&{frac{8}{3}} {}& {sum_{k=0}^{3} frac{1}{k !}=frac {8}{3}}end{tableau})

Exercice (PageIndex{19})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{k=0}^{3} frac{2}{k !}).

Réponse

(frac{16}{3})

Exercice (PageIndex{20})

Développez la somme partielle et trouvez sa valeur : (sum_{k=0}^{3} frac{3}{k !}).

Réponse

(8)

Utiliser la notation de somme pour écrire une somme

Dans les deux derniers exemples, nous sommes passés de la notation de sommation à l'écriture de la somme. Maintenant, nous allons commencer par une somme et la changer en notation de sommation. Ceci est très similaire à la recherche du terme général d'une séquence. Nous devrons examiner les termes et trouver un modèle. Souvent, les modèles impliquent des multiples ou des pouvoirs.

Exemple (PageIndex{11})

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : (1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}).

Solution:

(egin{array} {}&{ 1+frac{1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}} {}&{n : 1,2,3,4,5} { ext{On cherche un motif dans les termes.}}&{ ext { Termes : } 1, frac{1}{ 2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{1}{5}} { ext{Les numérateurs ne font qu'un.}}&{ ext { Motif : } frac{1}{1}, frac{1}{2}, frac{1}{3}, frac{1}{4}, frac{1}{5}, ldots frac{1}{n}} { ext{Les dénominateurs sont les nombres de un à cinq.}}&{ ext{La somme écrite en notation sommative}} {}&{1 + frac {1}{2}+frac{1}{3}+frac{1}{4}+frac{1}{5}=somme^{5}_{n=1} frac{1 }{n}.} end{tableau})

Exercice (PageIndex{21})

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : (frac{1}{2}+frac{1}{4}+frac{1}{8}+frac{1}{16}+frac{1} {32}).

Réponse

(sum_{n=1}^{5} frac{1}{2^{n}})

Exercice (PageIndex{22})

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : (1+frac{1}{4}+frac{1}{9}+frac{1}{16}+frac{1}{25})

Réponse

(sum_{n=1}^{5} frac{1}{n^{2}})

Lorsque les termes d'une somme ont des coefficients négatifs, nous devons soigneusement analyser la configuration des signes.

Exemple (PageIndex{12})

Écrivez la somme en utilisant la notation de sommation : (-1+8-27+64-125).

Solution:


Nous cherchons un modèle dans les termes.
Les signes des termes alternent,
et les termes impairs sont négatifs.
Les nombres sont les cubes du
compter les nombres de un à cinq.
La somme écrite en notation sommative est
(-1+8-27+64-125=sum_{n=1}^{5}(-1)^{n} cdot n^{3})
Tableau 12.1.8

Exercice (PageIndex{23})

Écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation : (1-4+9-16+25).

Réponse

(somme_{n=1}^{5}(-1)^{n+1} n^{2})

Exercice (PageIndex{24})

Écrivez chaque somme en utilisant la notation de sommation : (-2+4-6+8-10).

Réponse

(somme_{n=1}^{5}(-1)^{n} 2 n)

Accédez à cette ressource en ligne pour des instructions supplémentaires et pratiquez avec des séquences.

Concepts clés

  • Notation factorielle

Si (n) est un entier positif, alors (n!) est

(n !=n(n-1)(n-2) ldots(3)(2)(1))

On définit (0!) comme (1), donc (0!=1)

  • Notation de sommation

La somme des premiers (n) termes d'une séquence dont le (n)ième terme (a_{n}) s'écrit en notation sommative comme :

(sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4}+a_{5}+ldots+a_{n} )

Le (i) est l'indice de sommation et le (1) nous dit où commencer et le (n) nous dit où finir.

Glossaire

suite finie
Une séquence avec un domaine qui est limité à un nombre fini de nombres de comptage.
terme général d'une suite
Le terme général de la suite est la formule pour écrire le (n)ième terme de la suite. Le (n)ième terme de la séquence, (a_{n}), est le terme en (n)ième position où (n) est une valeur dans le domaine.
séquence infinie
Une séquence dont le domaine est tous les nombres de comptage et il existe un nombre infini de nombres de comptage.
somme partielle
Lorsque nous ajoutons un nombre fini de termes d'une séquence, nous appelons la somme une somme partielle.
séquence
Une séquence est une fonction dont le domaine est le comptage des nombres.

9.1 : Séquences

La plupart des fonctions de séquence prennent des arguments de mot-clé, voir les listes d'arguments. Tous les arguments de mot-clé sont facultatifs et, s'ils sont spécifiés, peuvent apparaître dans n'importe quel ordre.

L'argument :key doit être passé soit à nil , soit à une fonction d'un argument. Cette fonction clé est utilisée comme un filtre à travers lequel les éléments de la séquence sont vus par exemple, (cl-find x y :key 'car) est similaire à (cl-assoc x y) . Il recherche un élément de la liste dont AUTO est égal à x , plutôt que pour un élément qui est égal à x lui-même. Si :key est omis ou nil , le filtre est effectivement la fonction d'identité.

Les arguments :test et :test-not doivent être soit nil , soit des fonctions de deux arguments. La fonction de test est utilisée pour comparer deux éléments de séquence ou pour comparer une valeur de recherche avec des éléments de séquence. (Les deux valeurs sont transmises à la fonction de test dans le même ordre que les arguments de la fonction de séquence d'origine dont elles sont dérivées ou, si elles proviennent toutes les deux de la même séquence, dans le même ordre qu'elles apparaissent dans cette séquence.) L'argument :test spécifie une fonction qui doit retourner true (non-nil) pour indiquer une correspondance à la place, vous pouvez utiliser :test-not pour donner une fonction qui retourne faux pour indiquer une correspondance. La fonction de test par défaut est eql .

De nombreuses fonctions qui prennent les arguments item et :test ou :test-not viennent également dans les variétés -if et -if-not, où une fonction de prédicat est passée à la place de item , et les éléments de séquence correspondent si le prédicat renvoie true sur eux (ou false dans le cas de -if-not ). Par exemple:

pour supprimer tous les zéros de la séquence seq .

Certaines opérations peuvent fonctionner sur une sous-séquence de la séquence d'arguments, ces fonctions prennent les arguments :start et :end, qui par défaut sont respectivement zéro et la longueur de la séquence. Seuls les éléments compris entre le début (inclus) et la fin (exclusif) sont affectés par l'opération. L'argument end peut être passé à nil pour signifier la longueur de la séquence sinon, start et end doivent être des entiers, avec 0 <= start <= end <= (length seq ) . Si la fonction prend deux arguments de séquence, les limites sont définies par les mots clés :start1 et :end1 pour le premier, et :start2 et :end2 pour le second.

Quelques fonctions acceptent un argument :from-end, qui, s'il n'est pas nil, fait passer l'opération de droite à gauche dans la séquence au lieu de gauche à droite, et un argument :count, qui spécifie un entier nombre maximal d'éléments à supprimer ou à traiter d'une autre manière.

Les fonctions de séquence ne garantissent pas l'ordre dans lequel les fonctions :test , :test-not et :key sont appelées sur divers éléments. Par conséquent, c'est une mauvaise idée de dépendre des effets secondaires de ces fonctions. Par exemple, :from-end peut entraîner le balayage de la séquence à l'envers, ou elle peut être balayée vers l'avant mais en calculant un résultat &ldquoas si&rdquo elle a été balayée vers l'arrière. (Certaines fonctions, comme cl-mapcar et cl-every , faire spécifiez exactement l'ordre dans lequel la fonction est appelée afin que les effets secondaires soient parfaitement acceptables dans ces cas.)

Les chaînes peuvent contenir des &ldquotext properties&rdquo ainsi que des données de caractères. Sauf indication contraire, il n'est pas défini si les propriétés de texte sont préservées ou non par les fonctions de séquence. Par exemple, (cl-remove ?A str ) peut conserver ou non les propriétés des caractères copiés de str dans le résultat.


Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 11 Chapitre 9 Séquences et séries

Sujets et sous-sujets de la classe 11 Mathématiques Chapitre 9 Séquences et séries :

Nom de la section Nom du sujet
9 Séquences et Séries
9.1 introduction
9.2 Séquences
9.3 Séries
9.4 Progression arithmétique (A.P.)
9.5 Progression géométrique (G.P.)
9.6 Relation entre A.M. et G.M.
9.7 Somme à n termes de Série Spéciale

Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 11 Chapitre 9 Exercice 9.1

Ex 9.1 Classe 11 Maths Question 1 :

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Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 11 Chapitre 9 Séquences et séries (अनुक्रम तथा श्रेणी) Hindi Medium Ex 9.1






Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 11 Chapitre 9 Exercice 9.2

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Ex 9.2 Classe 11 Maths Question 17 :

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Solutions NCERT pour la classe 11 Mathématiques Chapitre 9 Exercice 9.3

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Ex 9.3 Classe 11 Maths Question 5:

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Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 11 Chapitre 9 Exercice 9.4

Ex 9.4 Classe 11 Maths Question 1 :

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Classe 11 Maths NCERT Solutions diverses

Exercices divers Classe 11 Maths Question 1 :

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Exercices divers Classe 11 Maths Question 32 :

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Séquence générée par le compteur de transformation PDI

Le tableau suivant contient des options pour générer une séquence à partir d'un compteur de transformation PDI :

Cochez cette case si vous souhaitez que la séquence soit générée par PDI. Cette option est définie par défaut

Utiliser DB pour générer la séquence ? est automatiquement sélectionné si cette case est décochée.

Par exemple, si vous définissez Commencer à la valeur 1 , Incrémenter de 1 et Valeur maximale à 3 , la séquence résultante sera 1, 2, 3, 1, 2, 3, 1, 2 . Si vous définissez Commencer à la valeur 0 , Incrémenter par à -1 et Valeur maximale à -2 , la séquence résultante sera 0, -1, -2, 0, -1, -2, 0 .


Precalculus 9.1 Suites et séries

Une séquence est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers positifs.

Définition de séquence :
Une suite infinie est une fonction dont le domaine est l'ensemble des entiers positifs. Les valeurs de la fonction
une1, une2, une3, une4, . , unem, .
sont les termes de la suite. Si le domaine de la fonction se compose uniquement des n premiers entiers positifs, la séquence est une séquence finie .

A. Trouver les termes d'une séquence :
Exemple 1 : trouver les cinq premiers termes d'unm = 4n - 7
une1 = 4(1) - 7 = -3
une2 = 4(2) - 7 = 8 - 7 = 1
une3,= 4(3) - 7 = 12 - 7 = 5
une4 = 4(4) - 7 = 16 - 7 = 9
une5 = 4(5) - 7 = 20 - 7 = 13

Exemple 2 : Trouver le 16ème terme de la suite am = (-1) n-1 (n(n-1))
une16 = (-1) 16-1 (16(16-1)) = (-1) 15 (16(15)) = (-1)(240) = -240

Exemple 3 : Écrivez les cinq premiers termes de la suite définie récursivement :
une1 = 15, unk+1 = unk+ 3
Soit k = 1 donc on a :
une1+1 = un2 = un1 + 3 = 15 + 3 = 18
Soit k = 2 donc on a :
une2+1 = un3 = un2 + 3 = 18 + 3 = 21
une3+1 = un4 = un3 + 3 = 21 + 3 = 24
une4+1 = un5 = un4 + 3 = 24 + 3 = 27

B. Trouver le nième terme d'une suite
Exemple 4 : Écrivez une expression pour le nième terme apparent de la suite
(supposons que n commence par 1) : 3, 7, 11, 15, 19, .

Comme vous pouvez le voir, les termes augmentent de 4 et le premier terme est un de moins que 4 donc
unem = 4n - 1

Exemple 5 : 1, 1/4, 1/9, 1/16, 1/25, .
Comme vous pouvez le voir, les termes dénominateurs sont des carrés parfaits donc
unem = 1/(n 2 ) = n -2

C. La séquence de Fibonacci : une séquence récursive
La suite de Fibonacci est définie récursivement comme suit.
une0 = 1, un1 = 1, unk = unk-2 + unk-1 , où k est supérieur ou égal à 2

Exemple 6 : Écrivez les cinq premiers termes de la suite définie récursivement. Utilisez cette régularité pour écrire le nième terme de la suite en fonction de n.
une1 = 25, unk+1 = unk - 5
une2 = un1+1 = un1 -5 = 25 -5 = 20
une3 = un2+1 = un2 -5 = 20 - 5 = 15
une4 = un3+1 = un3 -5 = 15 - 5 = 10
une5 = un4+1 = un4 -5 = 10 - 5 = 5
Par conséquent unm = 25 - 5n

C. Définition du factoriel :
Dans n est un entier positif, n factoriel est défini par
n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . (n - 1) x n
Comme cas particulier, le factoriel zéro est défini comme 0 ! = 1

Exemple 7 : Simplifier le rapport des factorielles.
(4!)/(7!) = (4!) / (7 x 6 x 5 x 4!) = 1/ (7 x 6 x 5 ) = 1 / 210

Exemple 8 : Simplifier le rapport des factorielles .
(n+2) ! / (n!) = (n + 2)(n + 1)(n!) / (n!) = (n + 2)(n + 1) = n 2 + 3n + 2

D. Définition de la notation de sommation :
La somme des n premiers termes d'une suite est représentée par

La somme d'unje lorsque i = 1 à i = n est égal à

je est appelé indice de sommation, m est la limite supérieure de la sommation et 1 est la limite inférieure de la sommation. (consultez http://www.cs.fsu.edu/

Exemple 9 : Trouvez la somme de 3i - 1 lorsque i = 1 à i = 6

3 - 1 + 6 - 1 + 9 - 1 + 12 - 1 + 15 - 1 + 18 - 1 = 57

Pour utiliser vos calculatrices TI - 83, TI - 83 plus :
Aller au mode - passer du mode fonction au mode séquentiel, puis
2ème flèche Stat vers math #5 Sum, 2ème flèche Stat vers ops #5 seq puis mettez dans la séquence, puis n pour montrer à la calculatrice la variable, puis le nombre de borne inférieure, puis le nombre de borne supérieure, puis fermez la parenthèse deux fois, puis appuyez sur entrée.
Votre écran devrait ressembler à ceci :
somme(seq(3n-1,n,1,6)) = 57

Définition d'une série :
Considérons la suite infinie a1, une2, une3, une4, . , uneje, .
1. La somme de tous les termes de la suite infinie est appelée un série infinie et est désigné par
une1 + un2 + un3 + un4 + . + unje + . = La somme d'unje lorsque i = 1 à i = infini.

2. La somme des n premiers termes de la suite est appelée une série finie ou la nième somme partielle de la suite et est notée
une1 + un2 + un3 + un4 + . + unm = La somme d'unje quand i = 1 à i = n.


Exemple 10 : Trouver la somme de la somme partielle de la série :

La sommation de 8(-1/2) n quand n = 1 à n = infini, la 4ème somme partielle

= 8(-½ ) 1 + 8(-½ ) 2 + 8(-½ ) 3 + 8(-½ ) 4 = -4 + 2 + -1 + .5 = -5/2

(Contrôle de la calculatrice : vous pouvez vérifier vos réponses individuelles en mettant votre calculatrice en mode fonction, en mettant la série dans y1 = 8 (-0,5) x et en regardant dans votre tableau pour obtenir vos valeurs.)

Exemple 11 : Trouver la somme de la série infinie :


Chapitre 9 Ex.9.1 Question 12

Écrivez les cinq premiers termes de la suite suivante et obtenez la série correspondante :( = - 1, = frac<<<>>>>) pour tout (n ge 2).

Solution

Solution vidéo

Ainsi, les cinq premiers termes de la suite sont ( - 1,frac<< - 1>><2>,frac<< - 1>><6>,frac<< - 1>><<24 >>) et (frac<< - 1>><<120>>).

La série correspondante est (left( < - 1> ight) + left( ><2>> ight) + left( >< 6>> ight) + left( ><<24>>> ight) + left( ><<120>>> ight) + ldots )


9.1 : Séquence PN

UNE pseudo-bruit La séquence (PN) est largement utilisée dans le système LTE à diverses fins telles que le brouillage des signaux de référence, le brouillage des transmissions de données en liaison descendante et montante ainsi que pour générer diverses séquences de sauts.

9.1.1 Séquence de longueur maximale

Une séquence PN peut être générée en utilisant des registres à décalage à rétroaction linéaire (LFSR). Les séquences du registre à décalage avec la période maximale possible pour un je-les registres à décalage sont appelés séquences de longueur maximale ou alors séquences m. Une condition nécessaire et suffisante pour qu'une séquence générée par un LFSR soit de longueur maximale ( m-sequence) est que son polynôme correspondant soit primitif. La fonction d'autocorrélation périodique pour un m-séquence X( m) est défini comme:

La fonction d'autocorrélation périodique R ( k) équivaut à:

Notons que l'autocorrélation d'un m-sequence est 1 pour le décalage zéro, et presque zéro ( ? 1 /M, où M est la longueur de la séquence) pour tous les autres retards. En d'autres termes, l'autocorrélation de la m-séquence peut être dit s'approcher de la fonction d'impulsion unitaire comme m-la longueur de la séquence augmente.

9.1.2 Séquence d'or

Les séquences de Gold ont été proposées par Gold en 1967 [1]. Ces séquences sont construites par EXOR-ing deux m-séquences de même longueur comme illustré à la figure 9.1. Ainsi, pour une séquence d'or de longueur m = 2 je ? 1 nous devons utiliser deux séquences LFSR, chacune de longueur m = 2 je ? 1. Si.


De nombreuses règles

L'un des problèmes liés à la recherche du "numéro suivant" dans une séquence est que les mathématiques sont si puissantes que nous pouvons trouver plus d'une règle qui fonctionne.

Quel est le prochain nombre dans la séquence 1, 2, 4, 7 ?

Voici trois solutions (il peut y en avoir d'autres !) :

Solution 1 : ajoutez 1, puis ajoutez 2, 3, 4, .

Donc, 1+1=2, 2+2=4, 4+3=7, 7+4=11, etc...

Séquence : 1, 2, 4, 7, 11, 16, 22, .

(Cette règle a l'air un peu compliquée, mais ça marche)

Solution 2 : Après 1 et 2, additionnez les deux nombres précédents, plus 1 :

Séquence : 1, 2, 4, 7, 12, 20, 33, .

Solution 3 : Après 1, 2 et 4, additionnez les trois nombres précédents

Séquence : 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, .

Donc, nous avons trois solutions parfaitement raisonnables, et elles créent des séquences totalement différentes.

Qu'est-ce qui est juste ? Ils vont bien.

. il peut s'agir d'une liste des numéros des gagnants . donc le prochain numéro pourrait être . n'importe quoi!


9.1 : Séquences

Une chaîne est une séquence d'octets ou de caractères, entourée de guillemets simples ( ' ) ou de guillemets doubles ( " ). Exemples :

Les chaînes entre guillemets placées les unes à côté des autres sont concaténées en une seule chaîne. Les lignes suivantes sont équivalentes :

Si le mode SQL ANSI_QUOTES est activé, les littéraux de chaîne ne peuvent être entre guillemets qu'entre guillemets simples, car une chaîne entre guillemets doubles est interprétée comme un identificateur.

Une chaîne binaire est une chaîne d'octets. Chaque chaîne binaire a un jeu de caractères et une collation nommés binary . Une chaîne non binaire est une chaîne de caractères. Il a un jeu de caractères autre que binaire et un classement compatible avec le jeu de caractères.

Pour les deux types de chaînes, les comparaisons sont basées sur les valeurs numériques de l'unité de chaîne. Pour les chaînes binaires, l'unité est l'octet. Les comparaisons utilisent des valeurs d'octets numériques. Pour les chaînes non binaires, l'unité est le caractère et certains jeux de caractères prennent en charge les comparaisons de caractères multi-octets utilisant des valeurs de code de caractère numérique. L'ordre des codes de caractères est fonction du classement des chaînes. (Pour plus d'informations, reportez-vous à la Section 10.8.5, « Le classement binaire comparé aux classements _bin ».)

Au sein du mysql client, les chaînes binaires s'affichent en notation hexadécimale, en fonction de la valeur de --binary-as-hex . Pour plus d'informations sur cette option, consultez Section 4.5.1, « mysql — Le client en ligne de commande MySQL ».

Un littéral de chaîne de caractères peut avoir un introducteur de jeu de caractères facultatif et une clause COLLATE, pour le désigner comme une chaîne qui utilise un jeu de caractères et un classement particuliers :

Vous pouvez utiliser N' littéral ' (ou n' littéral ' ) pour créer une chaîne dans le jeu de caractères national. Ces déclarations sont équivalentes :

Within a string, certain sequences have special meaning unless the NO_BACKSLASH_ESCAPES SQL mode is enabled. Each of these sequences begins with a backslash ( ), known as the caractère d'échappement . MySQL recognizes the escape sequences shown in Table 9.1, “Special Character Escape Sequences”. For all other escape sequences, backslash is ignored. That is, the escaped character is interpreted as if it was not escaped. For example, x is just x . These sequences are case-sensitive. For example,  is interpreted as a backspace, but B is interpreted as B . Escape processing is done according to the character set indicated by the character_set_connection system variable. This is true even for strings that are preceded by an introducer that indicates a different character set, as discussed in Section 10.3.6, “Character String Literal Character Set and Collation”.

Table 9.1 Special Character Escape Sequences

Escape Sequence Character Represented by Sequence
An ASCII NUL ( X'00' ) character
' A single quote ( ' ) character
" A double quote ( " ) character
 A backspace character
A newline (linefeed) character
A carriage return character
A tab character
 ASCII 26 (Control+Z) see note following the table
\ A backslash ( ) character
\% A % character see note following the table
\_ A _ character see note following the table

The ASCII 26 character can be encoded as  to enable you to work around the problem that ASCII 26 stands for END-OF-FILE on Windows. ASCII 26 within a file causes problems if you try to use mysql db_name < file_name .

The \% and \_ sequences are used to search for literal instances of % and _ in pattern-matching contexts where they would otherwise be interpreted as wildcard characters. See the description of the LIKE operator in Section 12.8.1, “String Comparison Functions and Operators”. If you use \% or \_ outside of pattern-matching contexts, they evaluate to the strings \% and \_ , not to % and _ .

There are several ways to include quote characters within a string:

A ' inside a string quoted with ' may be written as '' .

A " inside a string quoted with " may be written as "" .

Precede the quote character by an escape character ( ).

A ' inside a string quoted with " needs no special treatment and need not be doubled or escaped. In the same way, " inside a string quoted with ' needs no special treatment.

The following SELECT statements demonstrate how quoting and escaping work:

To insert binary data into a string column (such as a BLOB column), you should represent certain characters by escape sequences. Backslash ( ) and the quote character used to quote the string must be escaped. In certain client environments, it may also be necessary to escape NUL or Control+Z. Le mysql client truncates quoted strings containing NUL characters if they are not escaped, and Control+Z may be taken for END-OF-FILE on Windows if not escaped. For the escape sequences that represent each of these characters, see Table 9.1, “Special Character Escape Sequences”.

When writing application programs, any string that might contain any of these special characters must be properly escaped before the string is used as a data value in an SQL statement that is sent to the MySQL server. You can do this in two ways:

Process the string with a function that escapes the special characters. In a C program, you can use the mysql_real_escape_string_quote() C API function to escape characters. See mysql_real_escape_string_quote(). Within SQL statements that construct other SQL statements, you can use the QUOTE() function. The Perl DBI interface provides a quote method to convert special characters to the proper escape sequences. See Section 29.9, “MySQL Perl API”. Other language interfaces may provide a similar capability.

As an alternative to explicitly escaping special characters, many MySQL APIs provide a placeholder capability that enables you to insert special markers into a statement string, and then bind data values to them when you issue the statement. In this case, the API takes care of escaping special characters in the values for you.


Voir la vidéo: Sequences 1 (Décembre 2021).