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7.6E : Exercices d'intégration numérique - Mathématiques


Dans les exercices 1 à 5, approximez les intégrales suivantes en utilisant soit la règle du milieu, la règle trapézoïdale ou la règle de Simpson comme indiqué. (Réponses rondes à trois décimales.)

1) ( displaystyle ∫^2_1frac{dx}{x};) règle trapézoïdale ; ( n=5)

Réponse:
( 0.696)

2) ( displaystyle ∫^3_0sqrt{4+x^3};dx;) règle trapézoïdale ; ( n=6)

3) ( displaystyle ∫^3_0sqrt{4+x^3};dx;) Règle de Simpson ; ( n=6)

Réponse:
( 9.279)

4) ( displaystyle ∫^{12}_0x^2;dx;) règle du milieu ; ( n=6)

5) ( displaystyle ∫^1_0sin^2(pi x);dx;) règle du milieu ; ( n=3)

Réponse:
( 0.500)

6) Utilisez la règle du point médian avec huit subdivisions pour estimer ( displaystyle ∫^4_2x^2;dx.)

7) Utilisez la règle trapézoïdale avec quatre subdivisions pour estimer ( displaystyle ∫^4_2x^2;dx.)

Réponse:
( T_4=18.75)

8) Trouver la valeur exacte de ( displaystyle ∫^4_2x^2;dx.) Trouver l'erreur d'approximation entre la valeur exacte et la valeur calculée à l'aide de la règle trapézoïdale à quatre subdivisions. Faites un graphique pour illustrer.

Approximer l'intégrale à quatre décimales en utilisant la règle indiquée.

9) ( displaystyle ∫^1_0sin^2(pi x);dx;) règle trapézoïdale ; ( n=6)

Réponse:
( 0.5000)

10) ( displaystyle ∫^3_0frac{1}{1+x^3};dx;) règle trapézoïdale ; ( n=6)

11) ( displaystyle ∫^3_0frac{1}{1+x^3};dx;) Règle de Simpson ; ( n=6)

Réponse:
( 1.1614)

12) ( displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2};dx;) règle trapézoïdale ; ( n=4)

13) ( displaystyle ∫^{0.8}_0e^{−x^2};dx;) Règle de Simpson ; ( n=4)

Réponse:
(0.6577)

14) (displaystyle ∫^{0.4}_0sin(x^2);dx;) règle trapézoïdale ; ( n=4)

15) (displaystyle ∫^{0.4}_0sin(x^2);dx;) Règle de Simpson ; ( n=4)

Réponse:
(0.0213)

16) ( displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}frac{cos x}{x};dx;) règle trapézoïdale ; (n=4)

17) ( displaystyle ∫^{0.5}_{0.1}frac{cos x}{x};dx;) Règle de Simpson ; (n=4)

Réponse:
(1.5629)

18) Évaluez exactement ( displaystyle ∫^1_0frac{dx}{1+x^2}) et montrez que le résultat est ( π/4). Ensuite, trouvez la valeur approximative de l'intégrale en utilisant la règle trapézoïdale avec ( n=4) subdivisions. Utilisez le résultat pour approximer la valeur de ( π).

19) Approximatif ( displaystyle ∫^4_2frac{1}{ln x};dx) en utilisant la règle du milieu avec quatre subdivisions à quatre décimales.

Réponse:
( 1.9133)

20) Approximatif ( displaystyle ∫^4_2frac{1}{ln x};dx) en utilisant la règle trapézoïdale avec huit subdivisions à quatre décimales.

21) Utilisez la règle trapézoïdale avec quatre subdivisions pour estimer ( displaystyle ∫^{0.8}_0x^3;dx) à quatre décimales.

Réponse:
( T(4)=0.1088)

22) Utilisez la règle trapézoïdale avec quatre subdivisions pour estimer ( displaystyle ∫^{0.8}_0x^3;dx.) Comparez cette valeur avec la valeur exacte et trouvez l'estimation d'erreur.

23) En utilisant la règle de Simpson avec quatre subdivisions, trouvez ( displaystyle ∫^{π/2}_0cos(x);dx.)

Réponse:
( displaystyle ∫^{π/2}_0cos(x);dxapprox quad 1.0)

24) Montrer que la valeur exacte de ( displaystyle ∫^1_0xe^{−x};dx=1−frac{2}{e}). Trouvez l'erreur absolue si vous approximez l'intégrale en utilisant la règle du point médian avec 16 subdivisions.

25) Étant donné ( displaystyle ∫^1_0xe^{−x};dx=1−frac{2}{e},) utilisez la règle trapézoïdale avec 16 subdivisions pour approximer l'intégrale et trouver l'erreur absolue.

Réponse:
L'erreur approximative est ( 0,000325.)

26) Trouvez une borne supérieure pour l'erreur d'estimation de ( displaystyle ∫^3_0(5x+4);dx) en utilisant la règle trapézoïdale en six étapes.

27) Trouvez une borne supérieure pour l'erreur d'estimation de ( displaystyle ∫^5_4frac{1}{(x−1)^2};dx) en utilisant la règle trapézoïdale avec sept subdivisions.

Réponse:
( frac{1}{7938})

28) Trouvez une borne supérieure pour l'erreur d'estimation de ( displaystyle ∫^3_0(6x^2−1);dx) en utilisant la règle de Simpson avec ( n=10) pas.

29) Trouver une borne supérieure pour l'erreur d'estimation de ( displaystyle ∫^5_2frac{1}{x−1};dx) en utilisant la règle de Simpson avec ( n=10) pas.

Réponse:
( frac{81}{25,000})

30) Trouvez une borne supérieure pour l'erreur d'estimation de ( displaystyle ∫^π_02xcos(x);dx) en utilisant la règle de Simpson en quatre étapes.

31) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale ( displaystyle ∫^4_1(5x^2+8);dx) avec une amplitude d'erreur inférieure à 0,0001 en utilisant la règle trapézoïdale.

Réponse:
( 475)

32) Déterminez une valeur de n telle que la règle trapézoïdale se rapproche de ( displaystyle ∫^1_0sqrt{1+x^2};dx) avec une erreur ne dépassant pas 0,01.

33) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale ( displaystyle ∫^3_2(2x^3+4x);dx) avec une erreur de magnitude inférieure à 0,0001 en utilisant la règle trapézoïdale.

Réponse:
( 174)

34) Estimez le nombre minimum de sous-intervalles nécessaires pour approximer l'intégrale ( displaystyle ∫^4_3frac{1}{(x−1)^2};dx) avec une magnitude d'erreur inférieure à 0,0001 en utilisant le trapézoïdal régner.

35) Utilisez la règle de Simpson avec quatre subdivisions pour approximer l'aire sous la fonction de densité de probabilité ( y=frac{1}{sqrt{2π}}e^{−x^2/2}) à partir de ( x= 0) à ( x=0,4).

Réponse:
( 0.1544)

36) Utilisez la règle de Simpson avec ( n=14) pour approcher (à trois décimales près) l'aire de la région délimitée par les graphiques de ( y=0, x=0,) et ( x=π/ 2.)

37) La longueur d'un arc de la courbe ( y=3sin(2x)) est donnée par ( L=∫^{π/2}_0sqrt{1+36cos^2(2x) };dx.) Estimez L en utilisant la règle trapézoïdale avec ( n=6).

Réponse:
( 6.2807)

38) La longueur de l'ellipse ( x=acos(t),y=bsin(t),0≤t≤2π) est donnée par ( L=4a∫^{π/2}_0 sqrt{1−e^2cos^2(t)}dt), où e est l'excentricité de l'ellipse. Utilisez la règle de Simpson avec les subdivisions ( n=6) pour estimer la longueur de l'ellipse lorsque ( a=2) et ( e=1/3.)

39) Estimez l'aire de la surface générée en faisant tourner la courbe ( y=cos(2x),0≤x≤frac{π}{4}) autour de l'axe des x. Utilisez la règle trapézoïdale avec six subdivisions.

Réponse:
( 4.606)

40) Estimez l'aire de la surface générée en faisant tourner la courbe ( y=2x^2, 0≤x≤3) autour de l'axe des x. Utilisez la règle de Simpson avec ( n=6.)

41) Le taux de croissance d'un certain arbre (en pieds) est donné par ( y=dfrac{2}{t+1}+e^{−t^2/2},) où t est le temps en années . Estimez la croissance de l'arbre jusqu'à la fin de la deuxième année en utilisant la règle de Simpson, en utilisant deux sous-intervalles. (Arrondissez la réponse au centième près.)

Réponse:
( 3,41) pi

42) [T] Utilisez une calculatrice pour approximer ( displaystyle ∫^1_0sin(πx);dx) en utilisant la règle du point médian avec 25 subdivisions. Calculer l'erreur relative d'approximation.

43) [T] Étant donné ( displaystyle ∫^5_1(3x^2−2x);dx=100,) approximer la valeur de cette intégrale en utilisant la règle du milieu avec 16 subdivisions et déterminer l'erreur absolue.

Réponse:
( T_{16}=100.125;) erreur absolue = ( 0.125)

44) Étant donné que nous connaissons le théorème fondamental du calcul, pourquoi voudrions-nous développer des méthodes numériques pour les intégrales définies ?

45) Le tableau représente les coordonnées ( (x,​y)) qui donnent la limite d'un lot. Les unités de mesure sont les mètres. Utilisez la règle du trapèze pour estimer le nombre de mètres carrés de terrain qui se trouve dans ce lot.

( X)( y)( X)( y)
012560095
10012570088
20012080075
30011290035
4009010000
50090
Réponse:
environ 89 250 m2

46) Choisissez la bonne réponse. Lorsque la règle de Simpson est utilisée pour approximer l'intégrale définie, il est nécessaire que le nombre de partitions soit ____

une. un nombre pair

b. nombre impair

c. soit un nombre pair, soit un nombre impair

ré. un multiple de 4

47) La somme « Simpson » est basée sur la superficie sous un ____.

Réponse:
parabole

48) La formule d'erreur pour la règle de Simpson dépend de ___.

une. (f(x))

b. ( f′(x))

c. ( f^{(4)}(x))

ré. le nombre de pas


7.6E : Exercices d'intégration numérique - Mathématiques

Est-ce que la série $dssum_^infty $ converger ? Il est possible, mais un peu désagréable, d'aborder cela avec le test intégral ou le test de comparaison, mais il existe un moyen plus simple. Considérez ce qui se passe lorsque nous passons d'un terme à l'autre dans cette série : $cdots++<(n+1)^5sur 5^>+cdots$ Le dénominateur augmente d'un facteur 5, $ds 5^=5cdot5^n$, mais le numérateur augmente beaucoup moins : $ds (n+1)^5=n^5+5n^4+10n^3+10n^2+5n+1$, ce qui est bien inférieur à $ds 5n^5$ lorsque $n$ est grand, car $ds 5n^4$ est bien inférieur à $ds n^5$. On peut donc deviner qu'à long terme, chaque terme commence à ressembler à 1/5$ du terme précédent. Nous avons vu des séries qui se comportent comme ceci : $sum_^infty <1over 5^n>= <5over4>,$ une série géométrique. Nous pourrions donc essayer de comparer la série donnée à une variation de cette série géométrique. C'est possible, mais un peu brouillon. Nous pouvons en effet faire la même chose, mais contourner la plupart des travaux désagréables.

La clé est de remarquer que $ lim_ <>over a_n>= lim_ <(n+1)^5sur 5^><5^nsur n^5>= lim_ <(n+1)^5over n^5><1over 5>=1cdot <1over5>=<1over 5>. $ C'est vraiment ce que nous avons remarqué ci-dessus, fait un peu plus officiellement : à long terme, chaque terme est un cinquième du terme précédent. Maintenant, choisissez un nombre entre 1 $/5 $ et 1 $, disons 1/2 $. Parce que $lim_ <>over a_n>=<1over5>,$ alors quand $n$ est assez grand, disons $nge N$ pour quelques $N$, $ <>over a_n> Théorème 11.7.1 (Le test du rapport) Supposons que $dslim_ |a_/a_n|=L$. Si $L 1$ la série diverge, et si $L=1$ ce test ne donne aucune information.

Preuve.
L'exemple ci-dessus prouve essentiellement la première partie de ceci, si nous remplaçons simplement $1/5$ par $L$ et $1/2$ par $r$. Supposons que $L>1$, et choisissez $r$ pour que $1 r quad hboxquad |a_| > r|a_n|.$ Ceci implique que $ds |a_|>r^k|a_N|$, mais puisque $r>1$ cela signifie que $dslim_|a_| ot=0$, ce qui signifie aussi que $dslim_a_npas=0$. Par le test de divergence, la série diverge.

Pour voir que nous n'obtenons aucune information lorsque $L=1$, nous devons présenter deux séries avec $L=1$, une qui converge et une qui diverge. Il est facile de voir que $sum 1/n^2$ et $sum 1/n$ font le travail.

Exemple 11.7.2 Le test du rapport est particulièrement utile pour les séries impliquant la fonction factorielle. Considérez $dssum_^infty 5^n/n!$. $ lim_ <5^au-dessus de (n+1) !>= lim_ <5^plus de 5^n>= lim_ <5><1sur (n+1)>=0. $ Depuis le théorème 11.7.3 (Le test racine) Supposons que $dslim_ |a_n|^<1/n>=L$. Si $L 1$ la série diverge, et si $L=1$ ce test ne donne aucune information.

La preuve du test de racine est en fait plus facile que celle du test de ratio, et c'est un bon exercice.

Exemple 11.7.4 Analyser $dssum_^infty <5^nsur n^n>$.

Le test de ratio s'avère un peu difficile sur cette série (essayez-le). Utilisation du test racine : $ lim_ left(<5^nover n^n> ight)^<1/n>= lim_ <(5^n)^<1/n>over (n^n)^<1/n>>= lim_ <5sur n>=0. $ Puisque < 1$, la série converge.

Le test de racine est fréquemment utile lorsque $n$ apparaît comme exposant dans le terme général de la série.


Formules d'erreur

Des questions naturelles se posent : quelle est la qualité des approximations données par les formules de différence avant, arrière et centrale ? Nous dérivons les formules d'erreur du théorème de Taylor.

Théorème. Le polynôme de Taylor de degré $n$ de $f(x)$ à $x=a$ avec terme de reste est

pour une valeur $c$ entre $x$ et $a$.

Théorème. L'erreur de formule de différence directe est

où $gauche| , f''(x) , ight| leq K_2$ pour tout $x in [a,a+h]$. La même formule d'erreur est valable pour la formule de différence en amont.

Preuve. Regardez la formule de Taylor de degré 1 :

Soit $x = a+h$ et manipule la formule

Soit $K_2$ tel que $left| , f''(x) , ight| leq K_2$ pour tout $x in [a,a+h]$ et on voit le résultat.

Théorème. L'erreur de formule de différence centrale est :

où $|f'''(x)| leq K_3$ pour tout $x in [a-h,a+h]$.

Preuve. Regardez le polynôme de Taylor de degré 2 :

Soit $x = a + h$ et aussi $x = a - h$ et écris :

Notez que $f'''(x)$ est continu (par hypothèse) et $(f'''(c_1) + f'''(c_2))/2$ est compris entre $f'''(c_1)$ et $f'''(c_2)$ et il existe donc des $c$ entre $c_1$ et $c_2$ tels que

par le théorème des valeurs intermédiaires. Soit $K_3$ tel que $left| , f'''(x) , ight| leq K_3$ pour tout $x in [a-h,a+h]$ et on voit le résultat.


Intégration numérique

Vous rencontrerez probablement de nombreuses situations dans lesquelles l'intégration analytique d'une fonction ou d'une équation différentielle est difficile voire impossible. Dans cette section, nous montrons comment Scientific Python peut vous aider grâce à ses algorithmes mathématiques de haut niveau. Vous apprendrez à développer votre propre méthode d'intégration numérique et à obtenir une précision spécifiée. Le package scipy.integrate peut faire de l'intégration en quadrature et peut résoudre des équations différentielles

1. La règle de base du trapèze

Scipy utilise trois méthodes pour intégrer une fonction unidimensionnelle : trapézoïdale (intégrer.trapz), Simpson (intégrer.simps) et Romberg (intégrer.romb). La méthode trapézoïdale (trapézoïdale) est la plus simple des trois. La formule du trapèze simple calcule l'intégrale d'une fonction f(x) comme l'aire sous la courbe représentant f(x) en l'approchant avec la somme des trapèzes :

L'aire de chaque trapèze est calculée en multipliant la largeur par la hauteur moyenne.
Exemple: Évaluer l'intégrale :

en utilisant la règle du trapèze de base.
Nous allons écrire un petit programme pour évaluer l'intégrale. Bien sûr, nous devons estimer le nombre de trapèzes pour utiliser la précision de notre méthode dépend de ce nombre.

Notre programme d'intégration de base a l'inconvénient de dépendre du nombre de trapèzes que nous devons changer manuellement. En règle générale, si nous doublons le nombre de trapèzes et obtenons la même réponse à 1 sur 1000000, la réponse est probablement correcte.

Exécutez le programme. Combien de trapèzes sont nécessaires pour obtenir une erreur relative inférieure à 1 partie sur 1 000 000 ?
Nous pouvons le faire comme suit :

Après avoir exécuté ce code, vous devriez vous retrouver avec une valeur imprimée de 6.

Vous devez modifier le programme précédent en raison de la plage infinie d'intégration. Vérifiez l'intégrande pour voir où il devient négligeable. Le code modifié devrait ressembler à ceci.

Et le résultat imprimé lorsque le programme est exécuté devrait être proche de 1.77245385091.

2. Intégrer une fonction avec scipy.integrate

Notre programme d'intégration simple divisera l'intervalle 0 à 2 en tranches également espacées et passera le même temps à calculer l'intégrande dans chacune de ces tranches. Si nous examinons de plus près l'intégrande et le traçons, nous remarquerons qu'à de faibles valeurs de x, la fonction varie à peine, de sorte que notre programme perdra du temps dans cette région. En revanche, la routine Integr.quad() de Scipy est appelable arbitrairement (adaptative), dans le sens où elle peut ajuster les évaluations de fonction pour se concentrer sur les régions les plus importantes (quad est l'abréviation de quadrature, un ancien nom pour l'intégration). Voyons comment Scipy pourrait simplifier notre travail :

La sortie sera (8.153364119811167, 9.0520525739669813e-014). Comme vous le remarquez, nous obtenons à la fois la valeur intégrale et l'estimation de l'erreur en seulement trois lignes de code, sans se soucier du nombre de trapèzes ou de la précision. La routine integrated.quad() prend la fonction et les limites d'intégration comme arguments d'entrée. Un aperçu des modules scipy.integrate est accessible en tapant dans la fenêtre du shell :

La période d'un pendule de longueur l oscillant à un grand angle est donnée par

est la période du même pendule aux petites amplitudes. Dans les exercices 2 et 3, vous analyserez à la fois les données expérimentales et le tracé de Pylab du pendule à grand angle. Toute évaluation numérique de l'intégrale telle quelle échouerait (expliquez pourquoi). Si on change la variable en écrivant :

qui est une intégrale bien conduite. Écrivez un programme pour utiliser l'intégrale ci-dessus pour calculer le rapport T/T0 pour les amplitudes intégrales 0° ≤ α ≤ 90°. Sortez ces valeurs sous forme de tableau indiquant l'amplitude en degrés et en radians ainsi que T/T0. Expliquez le résultat lorsque α = 0. Réfléchissez un instant avant de lire la solution ci-dessous.

Quelques exemples de sortie peuvent être trouvés ici. NumIntA3output.txt

Sur le même graphique, comparez le tracé de la fonction sin avec le tracé de l'intégrale de la fonction cos dans la plage [-π, π].
Cela peut être fait comme suit:

3. Intégration des équations différentielles ordinaires avec odeint

De nombreux phénomènes physiques sont modélisés par des équations différentielles : oscillations de systèmes simples (ressort-masse, pendule, etc.), mécanique des fluides (Navier-Stokes, Laplace, etc.), mécanique quantique (Schrödinger) et bien d'autres. Ici, nous allons vous montrer comment résoudre numériquement ces équations. L'exemple que nous utiliserons dans ce tutoriel est la dynamique d'un système masse-ressort en présence d'une force de traînée.

En écrivant la deuxième loi de Newton pour le système, nous devons combiner la force élastique

avec la force de traînée dont le modèle pour un objet se déplaçant lentement est

où L est la longueur du ressort non étiré/non comprimé.

Pour trouver une solution approximative à l'équation du mouvement ci-dessus, nous devrons utiliser une approximation aux différences finies pour la dérivée, ce qui générera un algorithme pour résoudre l'équation. La plupart de ces algorithmes sont basés sur des équations différentielles du premier ordre, ce ne sera donc probablement pas une mauvaise idée de commencer par mettre notre équation du second ordre sous la forme d'un système de deux équations différentielles du premier ordre :

Pour écrire le programme d'intégration numérique, nous utiliserons odeint, qui fait partie de scipy.integrate. Un appel de fonction à odeint ressemble à ceci :

Comme vous pouvez le voir dans la syntaxe simplifiée ci-dessus, il faut un certain nombre d'arguments d'entrée : fonction func définissant le système d'équations du premier ordre, valeurs initiales des variables y0 (mises dans un tableau), temps t (un tableau de valeurs temporelles), et les arguments args() qui peuvent être nos paramètres (masse, constante élastique, coefficient de traînée et longueur initiale du ressort). Les inconnues dans un système d'équations différentielles sont des fonctions odeint nous renverra les valeurs de ces fonctions aux valeurs t fournies, sous forme de tableau.


Exercices 10.5

Dans les problèmes suivants, calculez les approximations trapézoïdales et de Simpson en utilisant 4 sous-intervalles, et calculez l'estimation d'erreur pour chacun. (Trouver les valeurs maximales des dérivées seconde et quatrième peut être difficile pour certaines d'entre elles, vous pouvez utiliser une calculatrice graphique ou un logiciel informatique pour estimer les valeurs maximales.) Si vous avez accès à Sage ou à un logiciel similaire, approximez chaque intégrale à deux décimales. des endroits. Vous pouvez utiliser cette feuille de travail Sage pour commencer.


7.6E : Exercices d'intégration numérique - Mathématiques

Au cours des prochaines sections, nous examinons certaines techniques qui réussissent fréquemment lors de la recherche de primitives de fonctions. Parfois, il s'agit d'un problème simple, car il apparaîtra que la fonction que vous souhaitez intégrer est une dérivée d'une manière simple. Par exemple, face à $int x^<10>,dx$ on se rend compte immédiatement que la dérivée de $ds x^<11>$ va fournir un $ds x^<10>$ : $ds ( x^<11>)'=11x^<10>$. Nous ne voulons pas du « 11 », mais les constantes sont faciles à modifier, car la différenciation les « ignore » dans certaines circonstances, donc $<1over 11>>=<1sur 11>11>=x^<10>.$

De notre connaissance des dérivés, nous pouvons immédiatement noter un certain nombre de dérivés. Voici une liste de ceux qui sont le plus souvent utilisés :

$displaylines< int x^n,dx=<>sur n+1>+C, quadhboxcr int x^<-1>,dx = ln |x|+Ccr int e^x,dx = e^x+Ccr int sin x,dx = - cos x+Ccr int cos x,dx = sin x+Ccr int sec^2 x,dx = an x+Ccr int sec x an x, dx = sec x+Ccr int <1over1+x^2>,dx = arctan x+Ccr int <1over sqrt<1-x^2>>,dx = arcsin x+Ccr >$


7.6E : Exercices d'intégration numérique - Mathématiques

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Mathématiques discrètes et ses applications (7E) Student’s Solutions Guide par Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman

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A propos de ce livre :-
Mathématiques discrètes et ses applications (7E) Guide des solutions de l'élève écrit par Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman
Ce texte est conçu pour un cours d'introduction aux mathématiques discrètes d'un ou deux trimestres suivi par des étudiants dans une grande variété de matières principales, notamment les mathématiques, l'informatique et l'ingénierie.
L'algèbre universitaire est la seule condition préalable explicite, bien qu'un certain degré de maturité mathématique soit nécessaire pour étudier les mathématiques discrètes de manière significative. Ce livre a été conçu pour répondre aux besoins de presque tous les types de cours d'introduction aux mathématiques discrètes. Il est très flexible et extrêmement complet. Le livre est conçu non seulement pour être un manuel à succès, mais aussi pour servir de ressource précieuse que les étudiants peuvent consulter tout au long de leurs études et de leur vie professionnelle.

Détail du livre :-
Titre: Mathématiques discrètes et ses applications Guide des solutions de l'étudiant
Édition: 7e
Auteurs): Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman
Éditeur: McGraw-Hill Sciences/Ingénierie/Mathématiques
Séries:
Année: 2011
Pages : 534
Taper: PDF
Langue: Anglais
ISBN : 0077353501,9780077353506
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À propos de l'auteur :-
Auteur Kenneth H. Rosen est auteur et mathématicien. Ses intérêts incluent les mathématiques discrètes et la théorie des nombres. Il est l'auteur de plusieurs livres dont Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill. Il est diplômé en mathématiques de l'Université du Michigan à Ann Arbor et du Massachusetts Institute of Technology. Il a publié plusieurs articles dans les domaines de la théorie des nombres et de la modélisation mathématique. Il est actuellement membre du personnel technique d'AT&T Labs à Middletown, New Jersey et rédacteur en chef du Handbook of Discrete and Combinatorial Mathematics, publié par CRC Press. Chez AT&T Labs, certaines de ses contributions se situent dans les domaines du multimédia, notamment les communications vidéo, la reconnaissance vocale et la mise en réseau d'images. Rosen a reçu un B.S. en mathématiques de l'Université du Michigan, Ann Arbor (1972), et son doctorat. en mathématiques du M.I.T. (1976)
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Mathématiques discrètes et ses applications (7E) Guide des solutions de l'élève écrit par Kenneth H. Rosen, Jerrold W. Grossman couvrir les sujets suivants.
1. Les fondements : logique et preuves
2. Structures de base : ensembles, fonctions, séquences, sommes et matrices
3. Algorithmes
4. Théorie des nombres et cryptographie
5. Induction et récursivité
6. Compter
7. Probabilité discrète
8. Techniques de comptage avancées
9. Relations
10. Graphiques
11. Arbres
12. Algèbre booléenne
13. Modélisation du calcul
Annexes 1 Axiomes pour les nombres réels et les entiers positifs
Annexes 2 Fonctions exponentielles et logarithmiques
Annexes 3 Pseudocode.
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Réponses aux exercices impairs S
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Exercices 15.7

Exemple 15.7.1 Complétez l'exemple 15.7.1 en convertissant en coordonnées polaires et en évaluant l'intégrale. (réponse)

Exemple 15.7.2 Évaluez $dsdint<> xy,dx,dy$ sur le carré aux coins $(0,0)$, $(1,1)$, $(2,0)$ et $(1, -1)$ de deux manières : directement, et en utilisant $x=(u+v)/2$, $y=(uv)/2$. (réponse)

Exemple 15.7.3 Évaluer $dsdint<> x^2+y^2,dx,dy$ sur le carré aux coins $(-1,0)$, $(0,1)$, $(1,0) $, et $(0,-1)$ de deux manières : directement et en utilisant $x=(u+v)/2$, $y=(uv)/2$. (réponse)

Exemple 15.7.4 Évaluer $dsdint<> (x+y)e^,dx,dy$ sur le triangle aux coins $(0,0)$, $(-1,1)$ et $(1,1)$ de deux manières : directement et en utilisant $x=(u +v)/2$, $y=(uv)/2$. (réponse)

Exemple 15.7.5 Évaluer $dsdint<> y(xy),dx,dy$ sur le parallélogramme avec les coins $(0,0)$, $(3,3)$, $(7,3)$ et $ (4,0)$ de deux manières : directement, et en utilisant $x=u+v$, $y=u$. (réponse)

Exemple 15.7.6 Évaluer $dsdint<> sqrt,dx,dy$ sur le triangle avec les coins $(0,0)$, $(4,4)$ et $(4,0)$ en utilisant $x=u$, $y=uv$. (réponse)

Exemple 15.7.7 Évaluer $dsdint<> ysin(xy),dx,dy$ sur la région délimitée par $xy=1$, $xy=4$, $y=1$ et $y=4$ en utilisant $x=u/v$, $y=v$. (réponse)

Exemple 15.7.8 Évaluez $dsdint<> sin(9x^2 + 4y^2),dA,$ sur la région du premier quadrant délimitée par l'ellipse $9x^2+4y^2 = 1$. (réponse)

Exemple 15.7.9 Calculez le Jacobien pour les substitutions $x= hosinphicos heta$, $y= hosinphisin heta$, $z= hocosphi$.

Ex 15.7.10 Évaluer $ds intdV$ où $E$ est le solide entouré par l'ellipsoïde $ + + = 1,$ en utilisant la transformation $x=au$, $y=bv$ et $z=cw$. (réponse)


Méthode d'intégration d'Euler pour la résolution d'équations différentielles

En mathématiques, il existe plusieurs types de équations différentielles ordinaires (EDO), comme les équations différentielles linéaires, séparables ou exactes, qui sont résolues analytiquement, donnant une solution exacte. Cela signifie qu'il y a une méthode spécifique à appliquer afin d'extraire un solution exacte générale.

est un équation différentielle séparable du premier ordre, qui a la solution exacte :

En pratique, la plupart des équations différentielles n'ont pas de forme standard et ne peuvent pas être résolues avec des méthodes analytiques, ce qui signifie que nous ne pouvons pas trouver de solution générale y(x). C'est le cas de la plupart des équations différentielles issues de modèles physiques (mécaniques, électriques, thermiques, etc.).

Dans ce cas, nous devons utiliser méthodes numériques pouvoir déterminer la solution de l'équation différentielle. Gardez à l'esprit qu'avec les méthodes numériques :

  • nous obtenons un approximation de la solution, pas la solution exacte
  • la solution est calculée de manière incrémentale, pas à pas

L'une des méthodes d'intégration les plus simples est la Méthode d'intégration d'Euler, du nom du mathématicien Leonhard Euler. La méthode d'Euler est une méthode du premier ordre, ce qui signifie que l'erreur locale (erreur par pas) est proportionnelle au carré de la taille du pas, et l'erreur globale (erreur à un instant donné) est proportionnelle à la taille du pas.

La méthode d'intégration d'Euler est également un méthode d'intégration explicite, ce qui signifie que l'état d'un système à un moment ultérieur (étape suivante) est calculé à partir de l'état du système à l'heure actuelle (étape actuelle).

La méthode d'intégration d'Euler est aussi appelée méthode d'intégration polygonale, car il se rapproche de la solution d'une équation différentielle avec une série de lignes connectées (polygone).

Équation linéaire

Afin d'avoir une meilleure compréhension de la méthode d'intégration d'Euler, nous devons rappeler les équation d'une droite:

m – est la pente de la ligne
m – est le décalage
(x, y) – coordonnées

Image : Exemple d'équations de droite

Si nous appliquons une différentiation à l'équation de droite (4), nous obtenons :

ce qui signifie que le pente m de la droite est égal au différentiel de y(x).

Méthode d'Euler

La méthode d'Euler donne une approximation pour la solution de l'équation différentielle :

avec le condition initiale:

t est continue dans l'intervalle [un B].

L'algorithme d'Euler pour l'intégration des équations différentielles est le suivant :

Étape 1. Définissez les paramètres de démarrage de l'intégration : N, une, b, h, t0 et oui0.

N est le nombre de étapes d'intégration, il est défini par l'utilisateur (par exemple 10, 100, etc.). Pour un intervalle d'intégration fixe, plus le nombre d'étapes d'intégration est élevé, meilleure est l'approximation de la solution exacte. Des pas très élevés impliquent une puissance de calcul élevée. Habituellement, il doit y avoir un compromis entre la précision et le temps nécessaire pour résoudre l'intégration.

une et b sont le début et la fin de intervalle d'intégration. Si, par exemple, nous voulons approximer la solution d'une équation différentielle entre 0 et 1, ensuite a = 0 et b = 1.

La taille de l'intervalle et le nombre d'étapes d'intégration définissent le taille du pas d'intégration h. Plus la taille du pas est petite, meilleure est l'approximation, plus l'erreur d'intégration est faible. Il est possible de définir directement la taille du pas, ce qui déterminera en outre le nombre de pas d'intégration. La taille du pas h est calculé comme :

Le conditions initiales t0, oui0 représenter la solution (oui0) de l'équation différentielle à un instant donné (t0). habituellement t0 est égal à la valeur de départ de l'intervalle d'intégration une.

Étape 2. Initialiser l'index de la boucle de calcul je = 1.

Étape 3. (Boucle) Calculer l'argument de la fonction tje et le approximation de fonction wje comme:

Notez que l'approximation de la fonction initiale w0 est égal à la solution initiale oui0.

Étape 4. Si je < N, incrémenter je = je + 1 et répétez l'étape 3.

Étape 5. Si je = N, l'algorithme est complet et wje sera l'approximation de la solution y(t), pour i = 1, 2, … N.

A chaque étape de l'itération, l'approximation d'Euler calcule le point final d'une ligne. Le point de départ UNE0 est connu, il a les coordonnées (t0, oui0). Le point UNE1 est calculé en fonction du point UNE0 et la pente f(t, y). Les prochains points UNEm sont calculés sur la base des points précédents UNEn-1 et la pente. Comme nous l'avons vu dans l'équation de la droite, la pente est égale au différentiel de y(t).

Image : Représentation graphique de la méthode d'intégration d'Euler

Le est un lien direct entre l'approximation d'Euler utilisée dans Étape 3 et l'équation de la droite. Dans l'image ci-dessous est représenté où chaque paramètre de l'équation de ligne se trouve dans l'approximation d'Euler. Cette image résume assez bien comment le Approximation d'Euler (méthode d'intégration) travaux.

Image : approximation d'Euler et équation de droite

Exemple de méthode d'intégration d'Euler

Appliquons l'intégration d'Euler et résolvons l'équation différentielle ordinaire suivante :

L'approximation d'Euler doit être effectuée en 10 et 30 étapes. La solution exacte de l'équation est :

Nous utiliserons la solution exacte pour comparer avec l'approximation d'Euler. Pour une meilleure compréhension, nous allons appliquer la méthode pas à pas (manuel) et également à l'aide d'un Scilab et un C scénario.

Méthode pas à pas (manuelle)

Deuxièmement, nous écrirons l'expression de la pente f(t,w):

La boucle d'itération va se faire dans le tableau ci-dessous :

ÉtapeTempsPenteApproximation d'EulerSolution exacteErreur absolue
jetje = t0 + h·jef(ti-1, wi-1)wje = wi-1 + h·f(ti-1, wi-1)ouije = -1/tje|yje – wje|
11.11.0000000-0.9000000-0.90909090.0090909
21.20.8346281-0.8165372-0.83333330.0167961
31.30.7081591-0.7457213-0.76923080.0235095
41.40.6092475-0.6847965-0.71428570.0294892
51.50.5303982-0.6317567-0.66666670.0349100
61.60.4664990-0.5851068-0.62500000.0398932
71.70.4139668-0.5437101-0.58823530.0445252
81.80.3702295-0.5066872-0.55555560.0488684
91.90.3334030-0.4733469-0.52631580.0529689
102.00.3020810-0.4431388-0.50000000.0568612

Comme prévu, il existe une différence entre l'approximation d'Euler et la solution exacte. L'erreur absolue augmente à chaque étape d'itération car à chaque étape, l'approximation actuelle (je) est basé sur une approximation précédente (i-1), qui contient également une erreur.

Script C

La méthode d'Euler peut être définie dans n'importe quel langage de programmation. Ci-dessous, vous pouvez voir la mise en œuvre dans un code C.

L'exécution de l'exécutable produira les résultats suivants :

Script Scilab

L'utilisation de Scilab est un moyen très simple et flexible d'expérimenter différentes tailles de pas d'intégration et donne également la possibilité de tracer les résultats. Pour une meilleure compréhension nous allons définir plusieurs fonctions Scilab ( *.sci ), pour :

La fonction Scilab pour la fonction pente va être définie dans un fichier f.sci , avec le contenu suivant :

La fonction Scilab pour l'approximation d'Euler va être définie dans un fichier eulerODE1.sci , avec le contenu suivant :

La solution exacte va être définie dans un fichier y.sci , avec le contenu suivant :

Dans un script Scilab, dans notre cas nommé runEuler.sce , nous allons définir les paramètres initiaux de l'intégration d'Euler, appeler les fonctions *.sci et tracer les résultats.

Après avoir exécuté le script, le tracé suivant est généré :

Image : Méthode d'intégration d'Euler – exemple 1 (10 étapes)

Il est clairement visible qu'il existe une différence significative entre la solution exacte de l'équation différentielle et son approximation d'Euler. Afin d'améliorer les résultats, nous allons augmenter le nombre d'étapes d'intégration N = 30 et relancer le script Scilab.

Image : Méthode d'intégration d'Euler – exemple 1 (30 étapes)

Comme prévu, l'erreur entre la solution exacte et l'approximation d'Euler est réduite. Ceci est réalisé en ayant 3 fois plus d'étapes d'intégration, ce qui signifie plus de puissance de calcul.


Arguments d'entrée

Amusant — Integrand poignée de fonction

Integrand, spécifié comme un handle de fonction, qui définit la fonction à intégrer de xmin à xmax .

For scalar-valued problems, the function y = fun(x) must accept a vector argument, x , and return a vector result, y . This generally means that fun must use array operators instead of matrix operators. For example, use .* ( times ) rather than * ( mtimes ). If you set the 'ArrayValued' option to true , then fun must accept a scalar and return an array of fixed size.

Xmin — Lower limit of X real number | complex number

Lower limit of X, specified as a real (finite or infinite) scalar value or a complex (finite) scalar value. If either xmin or xmax are complex, then integral approximates the path integral from xmin to xmax over a straight line path.

Data Types: double | Célibataire
Complex Number Support: Oui

Xmax — Upper limit of X real number | complex number

Upper limit of X, specified as a real number (finite or infinite) or a complex number (finite). If either xmin or xmax are complex, integral approximates the path integral from xmin to xmax over a straight line path.

Data Types: double | Célibataire
Complex Number Support: Oui

Name-Value Pair Arguments

Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

Exemple: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

'AbsTol' — Absolute error tolerance 1e-10 (default) | nonnegative real number

Absolute error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'AbsTol' and a nonnegative real number. integral uses the absolute error tolerance to limit an estimate of the absolute error, |qQ|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral might provide more decimal places of precision if you decrease the absolute error tolerance.

AbsTol and RelTol work together. integral might satisfy the absolute error tolerance or the relative error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

Exemple: integral(fun,a,b,'AbsTol',1e-12) sets the absolute error tolerance to approximately 12 decimal places of accuracy.

Data Types: single | double

'RelTol' — Relative error tolerance 1e-6 (default) | nonnegative real number

Relative error tolerance, specified as the comma-separated pair consisting of 'RelTol' and a nonnegative real number. integral uses the relative error tolerance to limit an estimate of the relative error, |qQ|/|Q|, where q is the computed value of the integral and Q is the (unknown) exact value. integral might provide more significant digits of precision if you decrease the relative error tolerance.

RelTol and AbsTol work together. integral might satisfy the relative error tolerance or the absolute error tolerance, but not necessarily both. For more information on using these tolerances, see the Tips section.

Exemple: integral(fun,a,b,'RelTol',1e-9) sets the relative error tolerance to approximately 9 significant digits.

Data Types: single | double

'ArrayValued' — Array-valued function flag false or 0 (default) | true or 1

Array-valued function flag, specified as the comma-separated pair consisting of 'ArrayValued' and a numeric or logical 1 ( true ) or 0 ( false ). Set this flag to true or 1 to indicate that fun is a function that accepts a scalar input and returns a vector, matrix, or N-D array output.

The default value of false indicates that fun is a function that accepts a vector input and returns a vector output.

Exemple: integral(fun,a,b,'ArrayValued',true) indicates that the integrand is an array-valued function.

'Waypoints' — Integration waypoints vecteur

Integration waypoints, specified as the comma-separated pair consisting of 'Waypoints' and a vector of real or complex numbers. Use waypoints to indicate points in the integration interval that you would like the integrator to use in the initial mesh:

Add more evaluation points near interesting features of the function, such as a local extrema.

Integrate efficiently across discontinuities of the integrand by specifying the locations of the discontinuities.

Perform complex contour integrations by specifying complex numbers as waypoints. If xmin , xmax , or any entry of the waypoints vector is complex, then the integration is performed over a sequence of straight line paths in the complex plane. In this case, all of the integration limits and waypoints must be finite.

Do not use waypoints to specify singularities. Instead, split the interval and add the results of separate integrations with the singularities at the endpoints.

Exemple: integral(fun,a,b,'Waypoints',[1+1i,1-1i]) specifies two complex waypoints along the interval of integration.

Data Types: single | double
Complex Number Support: Oui