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Optimisation des fonctions de plusieurs variables (exercices)


13.8 : Optimisation des fonctions de plusieurs variables

Trouver des points critiques

Dans les exercices 1 à 5, trouvez tous les points critiques.

1) ( f(x,y)=1+x^2+y^2)

Réponse:
( (0,0))

2) ( f(x, y) = 1 - (x -2)^2 + (y+3)^2)

3) ( f(x,y)=(3x−2)^2+(y−4)^2)

Réponse:
( gauche(frac{2}{3},4droite))

4) ( f(x,y)=x^4+y^4−16xy)

Réponse:
( (0,0), quad (-2,-2), quad (2,2))

5) ( f(x,y)=15x^3−3xy+15y^3)

Réponse:
( (0,0), quad left(frac{1}{15},frac{1}{15} ight))

Trouver des extrema et le test des deuxièmes partiels

Dans les exercices 6 à 9, trouvez les points critiques de la fonction et testez les extrema ou les points de selle en utilisant des techniques algébriques (en complétant le carré) ou en examinant la forme de l'équation. Dans la mesure du possible, vérifiez vos résultats à l'aide du deuxième test partiel.

6) ( f(x,y)=-sqrt{x^2+y^2})

Réponse:
Critique. points : ( (0, 0) )
Extrema : ( f) a un maximum relatif de (0) à ( (0, 0)).
Pour justifier cela, considérons le fait que la fonction racine carrée ne peut pas donner une valeur négative, donc cette fonction ne peut pas retourner une valeur positive. Puisque sa valeur est (0) au point critique ( (0, 0)), nous savons que ce doit être celui de la fonction maximum absolu valeur.

7) ( f(x,y)=−x^2−5y^2+8x−10y−13)

Réponse:
Critique. points : ( (4, -1) )
Extrema : ( f) a un maximum relatif de (8) à ( (4,−1)).
Pour justifier cela, nous complétons le carré sur cette fonction, en prenant soin de factoriser le coefficient des termes au carré avant de compléter le carré.
[egin{align*} f(x, y) &= −x^2−5y^2+8x−10y−13 &= −(x^2-8xquadquad)−5(y ^2+2yquadquad)−13 &= −(x^2-8x+16)−5(y^2+2y+1)−13+16+5 &= -(x- 4)^2 -5(y+1)^2+8end{align*}]
Notez que cette fonction polynomiale quadratique prend la forme ( z = -(x^2 + y^2)), donc nous pouvons voir qu'elle aura un relatif (et, en fait, absolu) maximum à son sommet (le point critique ( (4, -1) )). Nous pouvons également soutenir que puisque nous soustrayons des termes au carré de 8, nous ne pouvons pas obtenir une valeur de fonction supérieure à 8, et puisque nous obtenons une valeur de 8 au point critique ( (4, -1) ), nous sachez que ce sera la valeur maximale absolue de cette fonction.

8) ( f(x,y)=x^2+y^2+2x−6y+6)

9) ( f(x,y)=sqrt{x^2+y^2}+1)

Réponse:
Critique. Points : ( (0, 0) )
Extrema : ( f) a un minimum relatif de (1) à ( (0,0)).
Pour justifier cela, considérons le fait que la fonction racine carrée ne peut pas donner une valeur négative, donc cette fonction ne peut pas retourner une valeur inférieure à (1). Puisque sa valeur est (1) au point critique ( (0, 0)), nous savons que (1) doit être celui de la fonction minimum absolu valeur.

Dans les exercices 10 à 34, identifiez tous les points critiques et utilisez le Second Test Patials pour déterminer le comportement de la fonction à chaque point critique, s'il y a un maximum, un minimum, un point selle ou aucun de ceux-ci. Si le deuxième test partiel échoue, déterminez le comportement de la fonction à ce stade en utilisant une autre méthode et justifiez clairement votre réponse.

10) ( f(x,y)=−x^3+4xy−2y^2+1)

11) ( f(x,y)=x^2y^2)

Réponse:
Critique. pts. : Tous les points sur les lignes ( x = 0 ) et ( y = 0) sont des points critiques de cette fonction.
Exrema : Le deuxième test partiel échoue.
Puisque ( x^2y^2>0) pour tout ( x) et ( y) différent de zéro, et ( x^2y^2=0) lorsque soit ( x) soit ( y) est égal à zéro (ou aux deux), alors le minimum absolu de (0) se produit à tous les points sur les axes (x) ou (y), c'est-à-dire pour tous les points sur le lignes ( x = 0 ) et ( y = 0).

12) ( f(x,y)=x^2−6x+y^2+4y−8)

13) ( f(x,y)=2xy+3x+4y)

Réponse:
Critique. pts. : ( left(−2,−frac{3}{2} ight) )
Exrema : (f) a un point-selle à ( left(−2,−frac{3}{2},−6 ight) ).

14) ( f(x,y)=8xy(x+y)+7)

15) ( f(x,y)=x^2+4xy+y^2)

Réponse:
Critique. points : ( (0,0) )
Exrema : (f) a un point-selle à ( (0,0,0)).

16) ( f(x,y)=x^3+y^3−300x−75y−3)

17) ( f(x,y)=9−x^4y^4)

Réponse:
Critique. pts. : Tous les points sur les lignes ( x = 0 ) et ( y = 0) sont des points critiques de cette fonction.
Extrema : Le deuxième test partiel échoue.
Puisque le terme ( -x^4y^4<0) pour tout ( x) et ( y) différent de zéro, et ( -x^4y^4=0) lorsque soit ( x ) ou ( y) est égal à zéro (ou les deux), alors cette fonction ne peut pas atteindre une valeur supérieure à (9) n'importe où, mais est (9) aux points critiques. Ainsi (f) a un maximum absolu de (9) en tous les points sur les axes (x) ou (y), c'est-à-dire pour tous les points sur les lignes ( x = 0 ) et ( y = 0).

18) ( f(x,y)=x^2+10xy+y^2)

Réponse:
Critique. points : ( (0,0) )
Extrema : (f) a un point-selle à ( (0,0,0)).

19) (f(x,y) = x^4 + y^2 + 2xy + 3)

Réponse:
Critique. pts. : ( (0,0), quad left(-frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2} ight), quad left (frac{sqrt{2}}{2}, -frac{sqrt{2}}{2} ight) )
Extrema : (f) a un point-selle à ( (0, 0, 3) ),
(f) a un minimum local de ( 2.75) au point ( left(-frac{sqrt{2}}{2}, frac{sqrt{2}}{2} droite) ).
(f) a un minimum local de ( 2.75) au point ( left(frac{sqrt{2}}{2}, -frac{sqrt{2}}{2} droite) ).

20) ( f(x,y)=7x^2y+9xy^2)

21) ( f(x,y)=3x^2−2xy+y^2−8y)

Réponse:
Critique. points : ( (2,6) )
Extrema : (f) a un minimum relatif de ( -24) situé à ( (2,6)).

22) ( f(x,y)=3x^2+2xy+y^2)

23) ( f(x,y)=y^2+xy+3y+2x+3)

Réponse:
Critique. points : ( (1,−2) )
Extrema : (f) a un point-selle à ( (1,−2,1)).

24) ( f(x,y)=x^2+xy+y^2−3x)

25) ( f(x,y)=x^2+2y^2−x^2y)

Réponse:
Critique. points : ( (0,0), quad (-2,1), quad (2,1))
Extrema : (f) a un minimum relatif de (0) à ( (0,0) ) et des points de selle à ( (2,1,2)) et ( (−2,1 ,2)).

26) ( f(x,y)=x^2+y−e^y)

27) ( f(x,y)=e^{−(x^2+y^2+2x)})

Réponse:
Critique. points : ( (-1,0) )
Extrema : (f) a un maximum relatif de ( e ) situé à ( (-1,0)).
Voir ce problème illustré dans CalcPlot3D.

28) ( f(x,y)=x^2+xy+y^2−x−y+1)

29) (f(x,y) = x^2y(9 - x + y))

Réponse:
Critique. pts. : ( left(frac{9}{2},-frac{9}{4} ight), quad (9,0)), et tous les points sur la ligne (x = 0)
Extrema : (f) a un point-selle à ( (9,0,0)) et un minimum relatif de (-102,515625) à ( left(frac{9}{2},- frac{9}{4}droit)).
Aux points critiques de la ligne (x = 0), (f) n'a ni extrema relatifs ni points de selle, mais ils représentent une sorte de creux sur la surface.

30) ( f(x,y)=−x^2−5y^2+10x−30y−62)

31) ( f(x,y)=120x+120y−xy−x^2−y^2)

Réponse:
Critique. points : ( (40,40) )
Extrema : (f) a un maximum relatif de ( 4800 ) situé à ( (40,40)).

32) ( f(x,y)=2x^2+2xy+y^2+2x−3)

33) ( f(x,y)=x^2+x−3xy+y^3−5)

Réponse:
Critique. pts. : ( left(frac{1}{4},frac{1}{2} ight)) et ((1, 1) )
Extrema : (f) a un point-selle à ( left(frac{1}{4},frac{1}{2}, -frac{79}{16} ight)) et un minimum relatif de ( -5 ) à ( (1,1)).

34) ( f(x,y)=2xye^{−x^2−y^2})

Dans les exercices 35 à 37, déterminez les valeurs extrêmes et les points de selle. Utilisez un CAS pour représenter graphiquement la fonction.

35) [T] ( f(x,y)=ye^x−e^y)

Réponse:

Un point-selle est situé à ( (0,0,-1).)

36) [T] ( f(x,y)=xsin(y))

37) [T] ( f(x,y)=sin(x)sin(y),quad x∈(0,2π),quad y∈(0,2π))

Réponse:

Il existe un point col à ( (π,π),) des maxima locaux à ( left(frac{π}{2},frac{π}{2} ight)) et ( left(frac{3π}{2},frac{3π}{2} ight)), et les minima locaux à ( left(frac{π}{2},frac{3π}{2 } ight)) et ( left(frac{3π}{2},frac{π}{2} ight)).

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.

  • Paul Seeburger (Monroe Community College) a créé les problèmes 19 et 29, et a ajouté des figures dynamiques pour les problèmes 27 et 35.

Le meilleur moyen de résoudre l'optimisation avec plusieurs variables dans Matlab ?

J'essaie de calculer numériquement les solutions d'un système de nombreuses équations et variables (100+). J'ai essayé jusqu'à présent trois choses :

  1. I maintenant que le vecteur de p(i) (qui contient la plupart des variables endogènes) est décroissant. Ainsi, j'ai simplement donné quelques points de départ, puis j'ai augmenté (diminuant) ma supposition quand j'ai vu que le p spécifique était trop bas (élevé). Bien sûr, cela a toujours été conditionné à la fixation de l'autre, ce qui n'est pas le cas. Cela devrait finalement fonctionner, mais il n'est ni efficace, ni évident que j'arrive à une solution en un temps fini. Cela a fonctionné en réduisant le système à 4-6 variables cependant.
  2. Je pourrais créer plus de 100 boucles les unes autour des autres et utiliser une bissection pour chaque boucle. Cela finirait par me conduire à la solution, mais cela prendrait du temps à programmer (car je n'ai aucune idée de comment créer n boucles les unes autour des autres sans avoir à écrire les boucles - ce qui est également mauvais car je voudrais augmenter/diminuer le quantité de variables facilement) et à exécuter.
  3. J'essayais fminsearch, mais comme prévu pour ce gaspillage de variables - pas du tout !

J'apprécierais toutes les idées. Voici le code (celui-ci le fminsearch que j'ai essayé):


Optimisation des fonctions de plusieurs variables (exercices)

Voici un ensemble de problèmes pratiques pour le chapitre Dérivés partiels des notes Calcul III.

  1. Si vous souhaitez un document pdf contenant les solutions, l'onglet de téléchargement ci-dessus contient des liens vers des fichiers pdf contenant les solutions pour le livre complet, le chapitre et la section. Pour le moment, je n'offre pas de pdf pour des solutions à des problèmes individuels.
  2. Si vous souhaitez afficher les solutions sur le Web, accédez à la page Web de l'ensemble de problèmes, cliquez sur le lien de solution pour tout problème et cela vous mènera à la solution à ce problème.

Notez que certaines sections auront plus de problèmes que d'autres et certaines auront plus ou moins une variété de problèmes. La plupart des sections devraient avoir une gamme de niveaux de difficulté dans les problèmes, bien que cela varie d'une section à l'autre.

Voici une liste de toutes les sections pour lesquelles des problèmes de pratique ont été écrits ainsi qu'une brève description du matériel couvert dans les notes pour cette section particulière.

Limites - Dans la section, nous examinerons rapidement l'évaluation des limites des fonctions de plusieurs variables. Nous verrons aussi une méthode assez rapide qui peut être utilisée, à l'occasion, pour montrer que certaines limites n'existent pas.

Dérivés partiels – Dans cette section, nous examinerons l'idée de dérivés partiels. Nous donnerons la définition formelle de la dérivée partielle ainsi que les notations standard et comment les calculer en pratique (c'est-à-dire sans utiliser la définition). Comme vous le verrez, si vous pouvez faire des dérivées de fonctions d'une variable, vous n'aurez pas beaucoup de problème avec les dérivées partielles. Il n'y a qu'une subtilité (très importante) que vous devez toujours garder à l'esprit lors du calcul des dérivées partielles.

Interprétations des dérivés partiels - Dans la section, nous examinerons quelques interprétations importantes des dérivés partiels. Premièrement, le taux de changement toujours important de la fonction. Bien que nous ayons maintenant plusieurs « directions » dans lesquelles la fonction peut changer (contrairement à Calcul I). Nous verrons aussi que les dérivées partielles donnent la pente des droites tangentes aux traces de la fonction.

Dérivés partiels d'ordre supérieur - Dans la section, nous examinerons les dérivés partiels d'ordre supérieur. Contrairement au calcul I cependant, nous aurons plusieurs dérivées du second ordre, plusieurs dérivées du troisième ordre, etc. car nous travaillons maintenant avec des fonctions de plusieurs variables. Nous discuterons également du théorème de Clairaut pour aider avec une partie du travail de recherche de dérivées d'ordre supérieur.

Différentielles – Dans cette section, nous étendons l'idée de différentiels que nous avons vue pour la première fois en calcul I aux fonctions de plusieurs variables.

Règle de chaîne - Dans la section, nous étendons l'idée de la règle de chaîne aux fonctions de plusieurs variables. En particulier, nous verrons qu'il existe ici plusieurs variantes de la règle de la chaîne, toutes en fonction du nombre de variables dont dépend notre fonction et de la manière dont chacune de ces variables peut, à son tour, être écrite en termes de différentes variables. Nous donnerons également une méthode intéressante pour écrire la règle de chaîne pour à peu près toutes les situations que vous pourriez rencontrer lorsque vous traitez des fonctions de plusieurs variables. De plus, nous allons dériver un moyen très rapide de faire une différenciation implicite afin que nous n'ayons plus besoin de suivre le processus que nous avons d'abord fait dans Calcul I.

Dérivés directionnels – Dans la section, nous introduisons le concept de dérivés directionnels. Avec les dérivées directionnelles, nous pouvons maintenant demander comment une fonction change si nous permettons à toutes les variables indépendantes de changer plutôt que de maintenir toutes les variables sauf une constantes comme nous l'avons fait avec les dérivées partielles. De plus, nous définirons le vecteur de gradient pour aider avec une partie de la notation et travaillerons ici. Le vecteur de gradient sera également très utile dans certaines sections ultérieures. Nous donnerons également un joli fait qui nous permettra de déterminer la direction dans laquelle une fonction donnée évolue le plus rapidement.


Optimisation des conditions SI à l'aide de variables

Dans un article précédent, nous avons montré l'importance d'utiliser des variables pour remplacer plusieurs instances de la même mesure dans une expression DAX. Un cas d'utilisation très courant est celui de la fonction SI. Cet article se concentre sur le coût du moteur de formule plutôt que celui du moteur de stockage.

Considérez la mesure suivante.

L'idée de base est que la différence entre le montant des ventes et le coût total ne doit être évaluée que si les deux mesures sont supérieures à zéro. Lorsqu'il traite cette condition, le moteur DAX produit un plan de requête qui évalue chaque mesure deux fois. Ceci est visible dans les requêtes du moteur de stockage générées pour la requête suivante.

Cependant, il convient de souligner que le plan de requête physique comporte 216 lignes, ce qui est un point de référence que nous considérerons dans des variantes ultérieures de la même mesure.

Sans entrer dans les détails déjà expliqués dans un article précédent, il est à noter que les multiples références à une même mesure nécessitent des évaluations séparées – même si le résultat est le même. DAX n'est pas le meilleur pour enregistrer la valeur des sous-expressions communes évaluées dans le même contexte de filtre. Cela est évident dans la variation suivante de la mesure de la marge. Les deux branches de la fonction SI sont identiques, mais le plan de requête ajoute d'autres évaluations à la fois pour le moteur de stockage et le moteur de formule.

Dans ce cas, il y a une requête de moteur de stockage supplémentaire. Le nombre de lignes dans le plan de requête physique est désormais de 342. Cela augmente le nombre de lignes de plus de 50 % par rapport à la charge de travail précédente.

La version optimisée de cette mesure stocke les deux mesures dans deux variables. C'est pour qu'ils ne soient évalués qu'une seule fois dans la fonction SI.

Ceci est visible dans les requêtes du moteur de stockage, il n'y en a que deux.

Une version de la fonction SI avec la deuxième branche identique à la première produirait les mêmes requêtes de moteur de stockage.

Le plan de requête physique a réduit le nombre de lignes de 216 à 126.

C'est un résultat important. Cette technique d'optimisation est particulièrement utile lorsqu'il s'agit de plusieurs références à une mesure qui a un coût élevé dans le moteur de formule. En effet, le cache DAX ne fonctionne qu'au niveau du moteur de stockage.


Résolution des problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé et limité

L'idée de base de la problèmes d'optimisation qui suit est le même. Nous avons une quantité particulière que nous souhaitons maximiser ou minimiser. Cependant, nous avons également une condition auxiliaire qui doit être satisfaite. Par exemple, dans (Figure), nous nous intéressons à la maximisation de la superficie d'un jardin rectangulaire. Certes, si nous continuons à agrandir les côtés du jardin, la zone continuera à s'agrandir. Cependant, que se passe-t-il si nous avons des restrictions sur la quantité de clôtures que nous pouvons utiliser pour le périmètre ? Dans ce cas, nous ne pouvons pas rendre le jardin aussi grand que nous le souhaitons. Regardons comment nous pouvons maximiser l'aire d'un rectangle soumis à une certaine contrainte sur le périmètre.

Maximiser la superficie d'un jardin

Un jardin rectangulaire doit être construit en utilisant une paroi rocheuse comme un côté du jardin et une clôture métallique pour les trois autres côtés ((Figure)). Compte tenu de 100 pieds de clôture métallique, déterminez les dimensions qui créeraient un jardin d'une superficie maximale. Quelle est la superficie maximale ?

Figure 1. Nous voulons déterminer les mesures et qui créera un jardin d'une superficie maximale utilisant 100 pieds de clôture.

Solution

Laisser désignent la longueur du côté du jardin perpendiculaire à la paroi rocheuse et désigne la longueur du côté parallèle à la paroi rocheuse. Ensuite, la superficie du jardin est

Nous voulons trouver la superficie maximale possible sous la contrainte que la clôture totale est À partir de (Figure), la quantité totale de clôture utilisée sera Par conséquent, l'équation de contrainte est

Résoudre cette équation pour on a Ainsi, on peut écrire l'aire sous la forme

Avant d'essayer de maximiser la fonction de surface nous devons déterminer le domaine considéré. Pour construire un jardin rectangulaire, il faut certainement que les longueurs des deux côtés soient positives. Par conséquent, nous avons besoin et Depuis si ensuite Par conséquent, nous essayons de déterminer la valeur maximale de pour sur l'intervalle ouvert Nous ne savons pas qu'une fonction a nécessairement une valeur maximale sur un intervalle ouvert. Cependant, nous savons qu'une fonction continue a un maximum absolu (et un minimum absolu) sur un intervalle fermé. Par conséquent, considérons la fonction sur l'intervalle fermé Si la valeur maximale se produit à un point intérieur, alors nous avons trouvé la valeur dans l'intervalle ouvert qui maximise la superficie du jardin. On considère donc le problème suivant :

Maximiser sur l'intervalle

Comme mentionné précédemment, depuis est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, par le théorème des valeurs extrêmes, elle a un maximum et un minimum. Ces valeurs extrêmes se produisent soit aux extrémités, soit aux points critiques. Aux extrémités, Puisque la zone est positive pour tous dans l'intervalle ouvert le maximum doit se produire à un point critique. Différencier la fonction on obtient

Par conséquent, le seul point critique est ((Chiffre)). Nous concluons que la surface maximale doit se produire lorsque Ensuite nous avons Pour maximiser la superficie du jardin, laissez pi et La superficie de ce jardin est

Figure 2. Pour maximiser la superficie du jardin, nous devons trouver la valeur maximale de la fonction

Déterminez la superficie maximale si nous voulons faire le même jardin rectangulaire que dans (Figure), mais nous avons 200 pieds de clôture.

Solution

La superficie maximale est

Nous devons maximiser la fonction sur l'intervalle

Examinons maintenant une stratégie générale pour résoudre des problèmes d'optimisation similaires à (Figure).

Stratégie de résolution de problèmes : résoudre les problèmes d'optimisation

  1. Introduisez toutes les variables. Le cas échéant, dessinez une figure et nommez toutes les variables.
  2. Déterminez quelle quantité doit être maximisée ou minimisée, et pour quelle plage de valeurs des autres variables (si cela peut être déterminé à ce moment).
  3. Écrivez une formule pour la quantité à maximiser ou à minimiser en fonction des variables. Cette formule peut impliquer plusieurs variables.
  4. Écrivez toutes les équations reliant les variables indépendantes dans la formule de l'étape 3. Utilisez ces équations pour écrire la quantité à maximiser ou à minimiser en fonction d'une variable.
  5. Identifiez le domaine de considération pour la fonction à l'étape 4 en fonction du problème physique à résoudre.
  6. Localisez la valeur maximale ou minimale de la fonction à partir de l'étape 4. Cette étape implique généralement la recherche de points critiques et l'évaluation d'une fonction aux points de terminaison.

Appliquons maintenant cette stratégie pour maximiser le volume d'une boîte à toit ouvert étant donné une contrainte sur la quantité de matériau à utiliser.

Maximiser le volume d'une boîte

Une boîte à toit ouvert doit être fabriquée à partir d'un morceau de carton de 24 po sur 36 po en enlevant un carré de chaque coin de la boîte et en repliant les rabats de chaque côté. Quelle taille de carré faut-il découper dans chaque coin pour obtenir une boîte avec le volume maximum ?

Solution

Étape 1 : Laissez être la longueur du côté du carré à retirer de chaque coin ((Figure)). Ensuite, les quatre rabats restants peuvent être repliés pour former une boîte à toit ouvert. Laisser être le volume de la boîte résultante.

Figure 3. Un carré avec une longueur de côté pouces est retiré de chaque coin du morceau de carton. Les rabats restants sont pliés pour former une boîte à toit ouvert.

Étape 2 : Nous essayons de maximiser le volume d'une boîte. Le problème est donc de maximiser

Étape 3 : Comme mentionné à l'étape 2, essayez de maximiser le volume d'une boîte. Le volume d'une boîte est sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

Étape 4 : À partir de (Figure), nous voyons que la hauteur de la boîte est pouces, la longueur est pouces, et la largeur est pouces. Par conséquent, le volume de la boîte est

Étape 5 : Pour déterminer le domaine de considération, examinons (Figure). Certes, nous avons besoin De plus, la longueur du côté du carré ne peut pas être supérieure ou égale à la moitié de la longueur du côté le plus court, 24 pouces, sinon l'un des rabats serait complètement coupé. Par conséquent, nous essayons de déterminer s'il existe un volume maximum de la boîte pour sur l'intervalle ouvert Depuis est une fonction continue sur l'intervalle fermé nous savons aura un maximum absolu sur l'intervalle fermé. Par conséquent, nous considérons sur l'intervalle fermé et vérifier si le maximum absolu se produit à un point intérieur.

Étape 6 : Depuis est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné doit avoir un maximum absolu (et un minimum absolu). Depuis aux extrémités et pour le maximum doit se produire à un point critique. La dérivée est

Pour trouver les points critiques, il faut résoudre l'équation

En divisant les deux côtés de cette équation par 12, le problème se simplifie pour résoudre l'équation

En utilisant la formule quadratique, nous trouvons que les points critiques sont

Depuis n'est pas dans le domaine de la considération, le seul point critique que nous devons considérer est Par conséquent, le volume est maximisé si l'on laisse Le volume maximal est comme le montre le graphique suivant.

Figure 4. Maximiser le volume de la boîte conduit à trouver la valeur maximale d'un polynôme cubique.

Regardez une vidéo sur l'optimisation du volume d'une boîte.

Supposons que les dimensions du carton dans (Figure) soient de 20 pouces sur 30 pouces. Soit être la longueur de côté de chaque carré et écrire le volume de la boîte à toit ouvert en fonction de Déterminer le domaine de considération pour

Solution

Le domaine est

Le volume de la boîte est

Minimiser le temps de trajet

Une île est plein nord de son point le plus proche le long d'un rivage rectiligne. Un visiteur séjourne dans une cabane sur le rivage qui est à l'ouest de ce point. Le visiteur envisage de passer de la cabane à l'île. Supposons que le visiteur court à une vitesse de et nage à une vitesse de Quelle distance le visiteur doit-il parcourir avant de se baigner pour minimiser le temps nécessaire pour atteindre l'île ?

Solution

Étape 1 : Laissez être la distance à parcourir et laisser être la distance de nage ((Figure)). Laisser soit le temps qu'il faut pour se rendre de la cabane à l'île.

Figure 5. Comment pouvons-nous choisir et minimiser le temps de trajet de la cabine à l'île ?

Étape 2 : Le problème est de minimiser

Étape 3 : Pour trouver le temps passé à voyager de la cabane à l'île, additionnez le temps passé à courir et le temps passé à nager. Depuis Distance Taux Temps le temps passé à courir est

et le temps passé à nager est

Par conséquent, le temps total passé à voyager est

Étape 4 : À partir de (Figure), le segment de ligne de miles forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec des jambes de longueur et Par conséquent, par le théorème de Pythagore, et on obtient Ainsi, le temps total passé à voyager est donné par la fonction

Étape 5 : À partir de (Figure), nous voyons que Donc, est le domaine de considération.

Étape 6 : Depuis est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, elle a un maximum et un minimum. Commençons par rechercher les points critiques de sur l'intervalle La dérivée est

Si ensuite

En mettant au carré les deux côtés de cette équation, nous voyons que si /> satisfait à cette équation, alors /> doit satisfaire

Nous concluons que si /> est un point critique, alors /> satisfait

Par conséquent, les possibilités de points critiques sont

Depuis n'est pas dans le domaine, ce n'est pas une possibilité pour un point critique. D'autre part, est dans le domaine. Puisque nous avons carré les deux côtés de (Figure) pour arriver aux points critiques possibles, il reste à vérifier que satisfait (Figure). Depuis satisfait cette équation, nous concluons que est un point critique, et c'est le seul. Pour justifier que le temps est minimisé pour cette valeur de il suffit de vérifier les valeurs de aux extrémités et et comparez-les à la valeur de au point critique On trouve que et tandis que Par conséquent, nous concluons que a un minimum local à mi.

Supposons que l'île se trouve à 1,6 km du rivage et que la distance entre la cabine et le point du rivage le plus proche de l'île Supposons qu'un visiteur nage à la vitesse de et fonctionne à une vitesse de Laisser dénotent la distance parcourue par le visiteur avant de nager, et trouvent une fonction pour le temps qu'il faut au visiteur pour se rendre de la cabane à l'île.

Solution

Le temps

En affaires, les entreprises cherchent à maximiser leurs revenus . Dans l'exemple suivant, nous considérons un scénario dans lequel une entreprise a collecté des données sur le nombre de voitures qu'elle est en mesure de louer, en fonction du prix qu'elle facture à ses clients pour louer une voiture. Utilisons ces données pour déterminer le prix que l'entreprise doit facturer pour maximiser le montant d'argent qu'elle rapporte.

Maximiser les revenus

Les propriétaires d'une société de location de voitures ont déterminé que s'ils facturent aux clients dollars par jour pour louer une voiture, où le nombre de voitures ils louent par jour peuvent être modélisés par la fonction linéaire S'ils facturent par jour ou moins, ils loueront toutes leurs voitures. S'ils facturent par jour ou plus, ils ne loueront aucune voiture. En supposant que les propriétaires prévoient de facturer aux clients entre 50 $ par jour et par jour pour louer une voiture, combien devraient-ils facturer pour maximiser leurs revenus ?

Solution

Étape 1 : Laissez être le prix facturé par voiture et par jour et laisser soit le nombre de voitures louées par jour. Laisser être le revenu par jour.

Étape 2 : Le problème est de maximiser

Étape 3 : Le revenu (par jour) est égal au nombre de voitures louées par jour multiplié par le prix facturé par voiture et par jour, c'est-à-dire

Étape 4 : Puisque le nombre de voitures louées par jour est modélisé par la fonction linéaire les revenus peut être représenté par la fonction

Étape 5 : Étant donné que les propriétaires prévoient de facturer entre par voiture par jour et par voiture et par jour, le problème est de trouver le revenu maximum pour dans l'intervalle fermé

Étape 6 : Depuis est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné il a un maximum absolu (et un minimum absolu) dans cet intervalle. Pour trouver la valeur maximale, recherchez les points critiques. La dérivée est Le point critique est donc Lorsque Lorsque Lorsque Par conséquent, le maximum absolu se produit à La société de location de voitures doit facturer par jour et par voiture pour maximiser les revenus, comme le montre la figure suivante.

Figure 6. Pour maximiser les revenus, une société de location de voitures doit équilibrer le prix d'une location par rapport au nombre de voitures que les gens loueront à ce prix.

Une société de location de voitures facture ses clients dollars par jour, où Il a constaté que le nombre de voitures louées par jour peut être modélisé par la fonction linéaire Combien l'entreprise doit-elle facturer à chaque client pour maximiser ses revenus ?

Solution

L'entreprise doit facturer par voiture par jour.

est le nombre de voitures louées et est le prix facturé par voiture.

Maximiser l'aire d'un rectangle inscrit

Un rectangle est à inscrire dans l'ellipse

Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour maximiser son aire ? Quelle est la superficie maximale ?

Solution

Étape 1 : Pour qu'un rectangle soit inscrit dans l'ellipse, les côtés du rectangle doivent être parallèles aux axes. Laisser être la longueur du rectangle et être sa largeur. Laisser être l'aire du rectangle.

Figure 7. On veut maximiser l'aire d'un rectangle inscrit dans une ellipse.

Étape 2 : Le problème est de maximiser

Étape 3 : L'aire du rectangle est

Étape 4 : Laissez être le coin du rectangle qui se trouve dans le premier quadrant, comme le montre la (Figure). On peut écrire la longueur et largeur Depuis et on a Par conséquent, la zone est

Etape 5 : A partir de (Figure), on voit que pour inscrire un rectangle dans l'ellipse, le -la coordonnée du coin dans le premier quadrant doit satisfaire Le problème se réduit donc à la recherche de la valeur maximale de sur l'intervalle ouvert Depuis aura un maximum absolu (et un minimum absolu) sur l'intervalle fermé nous considérons sur l'intervalle Si le maximum absolu se produit en un point intérieur, alors nous avons trouvé un maximum absolu dans l'intervalle ouvert.

Étape 6 : Comme mentionné précédemment, est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné Par conséquent, il a un maximum absolu (et un minimum absolu). Aux extrémités et Pour Par conséquent, le maximum doit se produire à un point critique. En prenant la dérivée de on obtient

Pour trouver des points critiques, nous devons trouver où Nous pouvons voir que si est une solution de

ensuite doit satisfaire

Donc, Ainsi, sont les solutions possibles de (Figure). Puisque nous envisageons sur l'intervalle est une possibilité pour un point critique, mais n'est pas. Par conséquent, nous vérifions si est une solution de (Figure). Depuis est une solution de (Figure), nous concluons que est le seul point critique de dans l'intervalle Donc, doit avoir un maximum absolu au point critique Pour déterminer les dimensions du rectangle, nous devons trouver la longueur et la largeur Si ensuite

Par conséquent, les dimensions du rectangle sont et L'aire de ce rectangle est

Modifier la fonction de surface si le rectangle doit être inscrit dans le cercle unité Quel est le domaine de considération ?

Solution

Le domaine de considération est

Si est le sommet du carré qui se trouve dans le premier quadrant, alors l'aire du carré est


4.7 Problèmes d'optimisation appliquée

Une application courante du calcul consiste à calculer la valeur minimale ou maximale d'une fonction. Par exemple, les entreprises souhaitent souvent minimiser les coûts de production ou maximiser les revenus. Dans la fabrication, il est souvent souhaitable de minimiser la quantité de matière utilisée pour emballer un produit avec un certain volume. Dans cette section, nous montrons comment mettre en place ces types de problèmes de minimisation et de maximisation et les résoudre en utilisant les outils développés dans ce chapitre.

Résolution des problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé et limité

L'idée de base des problèmes d'optimisation qui suivent est la même. Nous avons une quantité particulière que nous souhaitons maximiser ou minimiser. Cependant, nous avons également une condition auxiliaire qui doit être satisfaite. Par exemple, dans l'exemple 4.32, nous nous intéressons à la maximisation de la superficie d'un jardin rectangulaire. Certes, si nous continuons à agrandir les côtés du jardin, la zone continuera à s'agrandir. Cependant, que se passe-t-il si nous avons des restrictions sur la quantité de clôtures que nous pouvons utiliser pour le périmètre ? Dans ce cas, nous ne pouvons pas rendre le jardin aussi grand que nous le souhaitons. Regardons comment nous pouvons maximiser l'aire d'un rectangle soumis à une certaine contrainte sur le périmètre.

Exemple 4.32

Maximiser la superficie d'un jardin

Un jardin rectangulaire doit être construit en utilisant un mur de pierre comme un côté du jardin et une clôture métallique pour les trois autres côtés (Figure 4.62). Compte tenu de 100 100 pi de grillage, déterminez les dimensions qui créeraient un jardin d'une superficie maximale. Quelle est la superficie maximale ?

Solution

Nous voulons trouver la superficie maximale possible sous la contrainte que la clôture totale est de 100 pi. 100 pieds. D'après la figure 4.62, la quantité totale de clôture utilisée sera de 2 x + y . 2x+y. Par conséquent, l'équation de contrainte est


9.6 Optimisation

Optimisation sans contrainte. Objectif : étant donné la fonction f(x), trouver x* tel que f(x) soit maximisé ou minimisé. Si f(x) est dérivable, alors nous cherchons un x* tel que f'(x*) = 0. Cependant, cela peut conduire à des minima, maxima ou points-selles locaux.

Méthode de la bissection. Objectif : étant donné la fonction f(x), trouver x* tel que f(x*) = 0. Supposons que vous connaissiez l'intervalle [a, b] tel que f(a) 0.

La méthode de Newton. Approximation quadratique. Convergence rapide si suffisamment proche pour répondre. Les formules de mise à jour ci-dessous permettent de trouver la racine de f(x) et f'(x).

La méthode de Newton n'est fiable que si elle est lancée "assez près" de la solution. Bad example (Smale): f(x) = x^3 - 2*x + 2. If you start in the interval [-0.1, 0.1] , Newton's method reaches a stable 2-cycle. If started to the left of the negative real root, it will converge.

To handle general differentiable or twice differentiable functions of one variable, we might declare an interface

Program Newton.java runs Newton's method on a differentiable function to compute points x* where f(x*) = 0 and f'(x*) = 0.

The probability of finding an electron in the 4s excited state of hydrogen ar radius r is given by: f(x) = (1 - 3x/4 + x 2 /8 - x 3 /192) 2 e -x/2 , where X is the radius in units of the Bohr radius (0.529173E-8 cm). Program BohrRadius.java contains the formula for f(x), f'(x), and f''(x). By starting Newton's method at 0, 4, 5, and 13, and 22, we obtain all three roots and all five local minima and maxima.

Newton's method in higher dimensions. [probably omit or leave as an exercise] Use to solve system of nonlinear equations. In general, there are no good methods for solving a nonlinear system of equations

where J is the Jacobian matrix of partial derivatives. In practice, we don't explicitly compute the inverse. Instead of computing y = J -1 f, we solve the linear system of equations Jy = f.

To illustrate the method, suppose we want to find a solution (x, y) to the following system of two nonlinear equations.

In this example, the Jacobian is given by

If we start Newton's method at the point (-0.6, 0.6), we quickly obtain one of the roots (-1/2, sqrt(3)/2) up to machine accuracy. The other roots are (-1/2, -sqrt(3)/2) and (1, 0). Program TestEquations.java uses the interface Equations.java and EquationSolver.java to solve the system of equations. We use the Jama matrix library to do the matrix computations.

Optimization. Use same method to optimize a function of several variables. Good methods exist if multivariate function is sufficiently smooth.

Need gradient g(x) = &nablaf(x) and Hessian H(x) = &nabla 2 f(x). Method finds an x* where g(x*) = 0, but this could be a maxima, minima, or saddle point. If Hessian is positive definite (all eigenvalues are positive) then it is a minima if all eigenvalues are negative, then it's a maxima otherwise it's a saddle point.

Also, 2nd derivatives change slowly, so it may not be necessary to recalculate the Hessian (or its LU decomposition) at each step. In practice, it is expensive to compute the Hessian exactly, so other so called quasi-Newton methods are preferred, including the Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) update rule.

Linear programming. Create matrix interface. Generalizes two-person zero-sum games, many problems in combinatorial optimization, . run AMPL from the web.

Programming = planning. Give some history. Decision problem not known to be in P for along time. In 1979, Khachian resolved the question in the affirmative and made headlines in the New York Times with a geometric divide-and-conquer algorithm known as the ellipsoid algorithm. It requires O(N 4 L) bit operations where N is the number of variables and L is the number of bits in the input. Although this was a landmark in optimization, it did not immediately lead to a practical algorithm. In 1984, Karmarkar proposed a projective scaling algorithm that takes O(N 3.5 L) time. It opened up the door for efficient implementations because by typically performing much better than its worst case guarantee. Various interior point methods were proposed in the 1990s, and the best known complexity bound is O(N 3 L). More importantly, these algorithm are practical and competitive with the simplex method. They also extend to handle even more general problems.

Linear programming solvers. In 1947, George Dantzig proposed the simplex algorithm for linear programming. One of greatest and most successful algorithms of all time. Linear programming, but not industrial strength. Program LPDemo.java illustrates how to use it. The classes MPSReader et MPSWriter can parse input files and write output files in the standard MPS format. Test LP data files in MPS format.

More applications. OR-Objects also has graph coloring, traveling salesman problem, vehicle routing, shortest path.


Multi-product Transportation Problem¶

In the previous transportation problem, we considered only one kind of goods produced at the production plants. In the real-world, however, that is a very restrictive scenario: A producer typically produces many different kinds of products and the customers typically demand different sets of the products available from the producers. Moreover, some producers may be specialized into producing only certain kinds of products while some others may only supply to certain customers. Therefore, a general instance of the transportation problem needs to be less restrictive and account for many such possibilities.

A more general version of the transportation problem is typically studied as a multi-commodity transportation model. A linear-optimization model can be built using decision variables (x_) where (i) denotes the customer, (j) denotes the production plant and (k) denotes the product type. Customer demand is indexed by (i) and (k) to denote the customer and product type. Then the model can be stated as follows.

Note that the objective function addresses the minimum total cost for all possible cost combinations involving customers, production plants and product types. The first set of constraints ensure that all demands of the product types from the customers are met exactly while the second set of constraints ensure that capacity at each production plant is not exceeded by taking into account all product types and all customers.

A model for this in Python/Gurobi can be written as follows:

Variables are created in line 5. In lines 9 and 10 we create a list the variables that appear in each demand-satisfaction constraint, and the corresponding coefficients these are then used for creating a linear expression, which is used as the left-hand side of a constraint in line 11. Capacity constraints are created in a similar way, in lines 13 to 15. For an example, consider now the same three production plants and five customers as before. Plant 1 produces two products, football and volleyball it can supply football only to Customer 1 and volleyball to all five customers. Plant 2 produces football and basketball it can supply football to Customers 2 and 3, basketball to Customers 1, 2 and 3. Plant 3 produces football, basketball and rugby ball it can supply football and basketball to Customers 4 and 5, rugby ball to all five customers.

Let us specify the data for this problem in a Python program. First of all, we must state what products each of the plants can manufacture on dictionary produce the key is the plant, to which we are associating a list of compatible products. We also create a dictionary M with the capacity of each plant (3000 units, in this instance).

The demand for each of the customers can be written as a double dictionary: for each customer, we associate a dictionary of products and quantities demanded.

For determining the transportation cost, we may specify the unit weight for each product and the transportation cost per unit of weight then, we calculate (c_) as their product:

We are now ready to construct a model using this data, and solving it:

If we execute this Python program, the output is the following:

Readers may have noticed by now that for these two transportation problems, even though we have used linear-optimization models to solve them, the optimal solutions are integer-valued — as if we have solved integer-optimization models instead. This is because of the special structures of the constraints in the transportation problems that allow this property, commonly referred to as unimodularity. This property has enormous significance because, for many integer-optimization problems that can be modeled as transportation problems, we only need to solve their linear-optimization relaxations.


Mathematical methods for economic theory

For m = 1, the definition coincides with the definition of an interval: a set of numbers is convex if and only if it is an interval.

For m = 2, two examples are given in the following figures. The set in the first figure is convex, because every line segment joining a pair of points in the set lies entirely in the set. The set in the second figure is not convex, because the line segment joining the points X et X' does not lie entirely in the set.

The following property of convex sets (which you are asked to prove in an exercise) is sometimes useful.

Concave and convex functions

More precisely, we can make the following definition (which is again essentially the same as the corresponding definition for a function of a single variable). Note that only functions defined on convex sets are covered by the definition.

f((1 − λ)X + λX') = une·[(1−λ)X + λX'] for all X, X', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)une·X + λune·X' for all X, X', and λ ∈ [0, 1]
= (1−λ)f(X) + λf(X') for all X, X', and λ ∈ [0, 1].

First note that the domain of f is a convex set, so the definition of concavity can apply.

The functions g et f are illustrated in the following figures. (The axes for g are shown in perspective, like those for f, to make the relation between the two figures clear. If we were plotting only g, we would view it straight on, so that the X-axis would be horizontal. Note that every cross-section of the graph of f parallel to the X-axis is the graph of the function g.)

From the graph of f (the roof of a horizontal tunnel), you can see that it is concave. The following argument is precise.

f((1−λ)(X, oui) + λ(X', oui'))
= f((1−λ)X + λX', (1−λ)oui + λoui')
= g((1−λ)X + λX')
(1−λ)g(X) + λg(X')
= (1−λ)f(X, oui) + λf(X', oui')

The strict concavity of f implies that

f((1−λ)(X, oui) + λ(X', oui'))
= f(X, (1−λ)oui + λoui')
= g(X)
= (1−λ)f(X, oui) + λf(X, oui').

Characterizations of concave and convex functions

First suppose f is concave and let (X, oui) ∈ L and (X', oui') ∈ L . Puis X ∈ S , X' ∈ S , ouif(X) and oui' ≤ f(X'). The last two inequalities imply that

Conversely, suppose L is convex. Laisser X ∈ S and X' ∈ S . Then (X, f(X)) ∈ L and (X', f(X')) ∈ L , so by the convexity of L , (1 − λ)(X, f(X)) + λ(X', f(X')) = ((1 − λ)X + λX', (1 − λ)f(X) + λf(X')) ∈ L for any λ ∈ [0, 1]. Thus (1 − λ)f(X) + λf(X') ≤ f((1 − λ)X + λX'), establishing that f is concave.

The argument for a convex function is symmetric.

La fonction f of many variables defined on the convex set S is convex if and only if for all m ≥ 2

If the inequality is satisfied for all m, it is satisfied in particular for m = 2, so that f is concave directly from the definition of a concave function.

Now suppose that f is concave. Then the definition of a concave function implies directly that the inequality is satisfied for m = 2. To show that it is satisfied for all m ≥ 3 I argue by induction. Laisser m ≥ 2 and suppose that the inequality is satisfied for all mm. I show that it is satisfied for m = m + 1. Take any X1 ∈ S , . Xm+1 ∈ S and λ1 ≥ 0, . λm+1 ≥ 0 with ∑ m+1
je=1 λje = 1. If λ1 = 1 then λ2 = . = λm+1 = 0, so that the inequality is trivially satisfied. If λ1 < 1 then

Differentiable concave and convex functions

f(X) − f(X*) m
je=1 f'je(X*)·(XjeX*je) for all X ∈ S and X* ∈ S
f(X) − f(X*) m
je=1 f'je(X*)·(XjeX*je) for all X ∈ S and X* ∈ S .

Twice-differentiable concave and convex functions

To determine whether a twice-differentiable function of many variables is concave or convex, we need to examine all its second partial derivatives. We call the matrix of all the second partial derivatives the Hessian of the function.

We can determine the concavity/convexity of a function by determining whether the Hessian is negative or positive semidefinite, as follows.

  • f is concave if and only if H (X) is negative semidefinite for all X ∈ S
  • if H (X) is negative definite for all X ∈ S then f is strictly concave
  • f is convex if and only if H (X) is positive semidefinite for all X ∈ S
  • if H (X) is positive definite for all X ∈ S then f is strictly convex.

Thus if you want to determine whether a function is strictly concave or strictly convex, you should first check the Hessian. If the Hessian is negative definite for all values of X then the function is strictly concave, and if the Hessian is positive definite for all values of X then the function is strictly convex. If the Hessian is not negative semidefinite for all values of X then the function is not concave, and hence of course is not strictly concave. Similarly, if the Hessian is not positive semidefinite the function is not convex. If the Hessian is not negative definite for all values of X but is negative semidefinite for all values of X, the function may or may not be strictly concave. In this case, you need to use some other method to determine whether the function is strictly concave (for example, you could use the basic definition of strict concavity). Similarly, if the Hessian is not positive definite for all values of X but is positive semidefinite for all values of X, the function may or may not be strictly convex.


Optimization of Functions of Several Variables (Exercises)

You are about to erase your work on this activity. Are you sure you want to do this?

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There is an updated version of this activity. If you update to the most recent version of this activity, then your current progress on this activity will be erased. Regardless, your record of completion will remain. How would you like to proceed?

Mathematical Expression Editor

Now we put our optimization skills to work.

so the minimum cost occurs when the height is times the radius. If, for example, there is no difference in the cost of materials, the height is twice the radius.

Notice that the function we want to maximize, , depends on two variables. Our next step is to find the relationship and use it to solve for one of the variables in terms of the other, so as to have a function of only one variable to maximize. In this problem, the condition is apparent in the figure, as the upper corner of the triangle, whose coordinates are , must be on the circle of radius . Write Solving for , since is found in the formula for the volume of the cone, we find Substitute this into the formula for the volume of the cone to find

We want to maximize when is between and . We solve finding or . We compute and The maximum is the latter. Since the volume of the sphere is , the fraction of the sphere occupied by the cone is

The optimal solution likely has the line being run along the ground for a while, then underwater, as the figure implies. We need to label our unknown distances: the distance run along the ground and the distance run underwater. Recognizing that the underwater distance can be measured as the hypotenuse of a right triangle, we can label our figure as follows

We now work a similar problem without concrete numbers.

You travel the distance from to at speed , and then the distance from to at speed . The distance from to is . By the Pythagorean theorem, the distance from to is Hence the total time for the trip is We want to find the minimum value of when is between 0 and . As usual we set and solve for . Write We find that Notice that does not appear in the last expression, but is not irrelevant, since we are interested only in critical values that are in , and is either in this interval or not. If it is, we can use the second derivative to test it: Since this is always positive there is a local minimum at the critical point, and so it is a global minimum as well.

If the critical value is not in it is larger than . In this case the minimum must occur at one of the endpoints. We can compute

but it is difficult to determine which of these is smaller by direct comparison. If, as is likely in practice, we know the values of , , , and , then it is easy to determine this. With a little cleverness, however, we can determine the minimum in general. We have seen that is always positive, so the derivative is always increasing. We know that at the derivative is zero, so for values of less than that critical value, the derivative is negative. This means that , so the minimum occurs when .

So the upshot is this: If you start farther away from than then you always want to cut across the sand when you are a distance from point . If you start closer than this to , you should cut directly across the sand.

With optimization problems you will see a variety of situations that require you to combine problem solving skills with calculus. Focus on the process. One must learn how to form equations from situations that can be manipulated into what you need. Forget memorizing how to do ‘‘this kind of problem’’ as opposed to ‘‘that kind of problem.’’

Learning a process will benefit one far more than memorizing a specific technique.


Voir la vidéo: optimisation des fonctions de deux variables-Pour-S1-Eco (Décembre 2021).