Des articles

4.6 : Approximations linéaires et différentielles


Nous venons de voir comment les dérivées nous permettent de comparer des quantités apparentées qui évoluent dans le temps. Dans cette section, nous examinons une autre application des dérivées : la capacité d'approximer des fonctions localement par des fonctions linéaires. Les fonctions linéaires sont les fonctions les plus faciles à utiliser, elles constituent donc un outil utile pour estimer les valeurs des fonctions. De plus, les idées présentées dans cette section sont généralisées plus loin dans le texte lorsque nous étudions comment approximer des fonctions par des polynômes de degré supérieur Introduction aux séries et fonctions de puissance.

Approximation linéaire d'une fonction en un point

Considérons une fonction (f) qui est dérivable en un point (x=a). Rappelons que la tangente au graphique de (f) en (a) est donnée par l'équation

[y=f(a)+f'(a)(x−a).]

Par exemple, considérons la fonction (f(x)=frac{1}{x}) à (a=2). Comme (f) est dérivable en (x=2) et (f'(x)=−frac{1}{x^2}), on voit que (f'(2)= −frac{1}{4}). Par conséquent, la ligne tangente au graphique de (f) à (a=2) est donnée par l'équation

[y=frac{1}{2}−frac{1}{4}(x−2).]

La figure (a) montre un graphique de (f(x)=frac{1}{x}) avec la ligne tangente à (f) à (x=2). Notez que pour (x) proche de 2, le graphe de la tangente est proche du graphe de (f). En conséquence, nous pouvons utiliser l'équation de la ligne tangente pour approximer (f(x)) pour (x) près de 2. Par exemple, si (x=2.1), le (y) la valeur du point correspondant sur la ligne tangente est

[y=frac{1}{2}−frac{1}{4}(2.1−2)=0.475.]

La valeur réelle de (f(2.1)) est donnée par

[f(2.1)=frac{1}{2.1}≈0.47619.]

Par conséquent, la ligne tangente nous donne une assez bonne approximation de (f(2.1)) (Figure(b)). Cependant, notons que pour des valeurs de x éloignées de 2, l'équation de la tangente ne nous donne pas une bonne approximation. Par exemple, si (x=10), la valeur (y) du point correspondant sur la ligne tangente est

[y=frac{1}{2}−frac{1}{4}(10−2)=frac{1}{2}−2=−1.5,]

alors que la valeur de la fonction à (x=10) est (f(10)=0.1.)

Figure (PageIndex{1}) : (a) La tangente à (f(x)=1/x) en (x=2) fournit une bonne approximation à (f) pour (x) près de 2. (b) En (x=2.1), la valeur de (y) sur la ligne tangente à (f(x)=1/x) est 0,475. La valeur réelle de (f(2.1)) est (1/2,1), soit environ 0,47619.

En général, pour une fonction dérivable (f), l'équation de la tangente à (f) en (x=a) peut être utilisée pour approximer (f(x)) pour (x ) près d'un). On peut donc écrire

(f(x)≈f(a)+f'(a)(x−a)) pour (x) près de (a).

On appelle la fonction linéaire

[L(x)=f(a)+f'(a)(x−a)]

les approximation linéaire, ou alors approximation de la ligne tangente, de (f) à (x=a). Cette fonction (L) est également connue sous le nom de linéarisation de (f) à (x=a.)

Pour montrer à quel point l'approximation linéaire peut être utile, nous regardons comment trouver l'approximation linéaire pour (f(x)=sqrt{x}) à (x=9.)

Exemple (PageIndex{1}) : Approximation linéaire de (sqrt{x})

Trouvez l'approximation linéaire de (f(x)=sqrt{x}) à (x=9) et utilisez l'approximation pour estimer (sqrt{9.1}).

Solution: Puisque nous recherchons l'approximation linéaire à (x=9,) en utilisant l'équation, nous savons que l'approximation linéaire est donnée par

(L(x)=f(9)+f'(9)(x−9).)

Nous devons trouver (f(9)) et (f'(9).)

(f(x)=sqrt{x}⇒f(9)=sqrt{9}=3)

(f'(x)=frac{1}{2sqrt{x}}⇒f'(9)=frac{1}{2sqrt{9}}=frac{1}{6} )

Par conséquent, l'approximation linéaire est donnée par la figure.

(L(x)=3+frac{1}{6}(x−9))

En utilisant l'approximation linéaire, nous pouvons estimer (sqrt{9.1}) en écrivant

(sqrt{9.1}=f(9.1)≈L(9.1)=3+frac{1}{6}(9.1−9)≈3.0167.)

Figure (PageIndex{2}) :L'approximation linéaire locale de (f(x)=sqrt{x}) à (x=9) fournit une approximation de (f) pour (x) près de 9.

Analyse

À l'aide d'une calculatrice, la valeur de (sqrt{9.1}) à quatre décimales est de 3,0166. La valeur donnée par l'approximation linéaire, 3.0167, est très proche de la valeur obtenue avec une calculatrice, il apparaît donc que l'utilisation de cette approximation linéaire est un bon moyen d'estimer (sqrt{x}), au moins pour x près (9). En même temps, il peut sembler étrange d'utiliser une approximation linéaire quand on peut juste appuyer sur quelques boutons sur une calculatrice pour évaluer (sqrt{9.1}). Cependant, comment la calculatrice évalue-t-elle (sqrt{9.1}?) La calculatrice utilise une approximation ! En fait, les calculatrices et les ordinateurs utilisent tout le temps des approximations pour évaluer des expressions mathématiques ; ils utilisent simplement des approximations de degré supérieur.

Exercice (PageIndex{1})

Trouvez l'approximation linéaire locale de (f(x)=sqrt[3]{x}) à (x=8). Utilisez-le pour approximer (frac[3]{8.1}) à cinq décimales.

Indice

(L(x)=f(a)+f'(a)(x−a))

Répondre

(L(x)=2+frac{1}{1}2(x−8) ;) 2.00833

Exemple (PageIndex{2}) : Approximation linéaire de (sinx)

Trouvez l'approximation linéaire de (f(x)=sinx) à (x=frac{π}{3}) et utilisez-la pour approximer (sin(62°).)

Solution

Notons d'abord que puisque (frac{π}{3}) rad est équivalent à (60°), l'utilisation de l'approximation linéaire en (x=π/3) semble raisonnable. L'approximation linéaire est donnée par

(L(x)=f(frac{π}{3})+f'(frac{π}{3})(x−frac{π}{3}).)

On voit ça

(f(x)=sinx⇒f(frac{π}{3})=sin(frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2})

(f'(x)=cosx⇒f'(frac{π}{3})=cos(frac{π}{3})=frac{1}{2})

Par conséquent, l'approximation linéaire de (f) à (x=π/3) est donnée par la figure.

(L(x)=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}(x−frac{π}{3}))

Pour estimer (sin(62°)) en utilisant (L), nous devons d'abord convertir (62°) en radians. Nous avons (62°=frac{62π}{180}) radians, donc l'estimation pour (sin(62°)) est donnée par

(sin(62°)=f(frac{62π}{180})≈L(frac{62π}{180})=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1} {2}(frac{62π}{180}−frac{π}{3})=frac{sqrt{3}}{2}+frac{1}{2}(frac{2π} {180})=frac{sqrt{3}}{2}+frac{π}{180}≈0.88348.)

Figure (PageIndex{3}) : L'approximation linéaire de (f(x)=sinx) à (x=π/3) fournit une approximation de (sinx) pour (x) près de (π/3.)

Exercice (PageIndex{2})

Trouver l'approximation linéaire pour (f(x)=cosx) à (x=frac{π}{2}.)

Indice

(L(x)=f(a)+f'(a)(x−a))

Répondre

(L(x)=−x+frac{π}{2})

Des approximations linéaires peuvent être utilisées pour estimer les racines et les puissances. Dans l'exemple suivant, nous trouvons l'approximation linéaire pour (f(x)=(1+x)^n) à (x=0), qui peut être utilisée pour estimer les racines et les puissances des nombres réels proches de 1 La même idée peut être étendue à une fonction de la forme (f(x)=(m+x)^n) pour estimer des racines et des puissances proches d'un nombre différent (m).

Exemple (PageIndex{3}) : Approximation des racines et des pouvoirs

Trouvez l'approximation linéaire de (f(x)=(1+x)^n) à (x=0). Utilisez cette approximation pour estimer ((1.01)^3.)

Solution

L'approximation linéaire à (x=0) est donnée par

(L(x)=f(0)+f'(0)(x−0).)

Parce que

(f(x)=(1+x)^n⇒f(0)=1)

(f'(x)=n(1+x)^{n−1}⇒f'(0)=n,)

l'approximation linéaire est donnée par la figure (a).

(L(x)=1+n(x−0)=1+nx)

Nous pouvons approximer ((1.01)^3) en évaluant (L(0.01)) lorsque (n=3). Nous concluons que

((1.01)^3=f(1.01)≈L(1.01)=1+3(0.01)=1.03.)

Figure (PageIndex{4}) : (a) L'approximation linéaire de (f(x)) à (x=0) est (L(x)). (b) La valeur réelle de (1.01^3) est 1.030301. L'approximation linéaire de (f(x)) à (x=0) estime (1.01^3) à 1,03.

Exercice (PageIndex{3})

Trouvez l'approximation linéaire de (f(x)=(1+x)^4) à (x=0) sans utiliser le résultat de l'exemple précédent.

Indice

(f'(x)=4(1+x)^3)

Répondre

(L(x)=1+4x)

Différentiels

Nous avons vu que les approximations linéaires peuvent être utilisées pour estimer les valeurs des fonctions. Ils peuvent également être utilisés pour estimer le montant qu'une valeur de fonction change à la suite d'un petit changement dans l'entrée. Pour en discuter plus formellement, nous définissons un concept connexe : différentiels. Les différentiels nous fournissent un moyen d'estimer le montant qu'une fonction change à la suite d'un petit changement dans les valeurs d'entrée.

Lorsque nous avons examiné les dérivées pour la première fois, nous avons utilisé la notation de Leibniz (dy/dx) pour représenter la dérivée de (y) par rapport à (x). Bien que nous ayons utilisé les expressions dy et dx dans cette notation, elles n'avaient pas de sens en elles-mêmes. Ici, nous voyons un sens aux expressions dy et dx. Supposons que (y=f(x)) soit une fonction différentiable. Soit dx une variable indépendante qui peut être affectée à n'importe quel nombre réel différent de zéro, et définissons la variable dépendante (dy) par

[dy=f'(x)dx.]

Il est important de noter que (dy) est une fonction à la fois de (x) et de (dx). Les expressions dy et dx sont appelées différentielles. Nous pouvons diviser les deux côtés de l'équation par (dx,) ce qui donne

[frac{dy}{dx}=f'(x).]

C'est l'expression familière que nous avons utilisée pour désigner une dérivée. L'équation est connue sous le nom de forme différentielle de l'équation.

Exemple (PageIndex{4}) : calcul des différentiels

Pour chacune des fonctions suivantes, recherchez dy et évaluez quand (x=3) et (dx=0.1.)

  1. (y=x^2+2x)
  2. (y=cosx)

Solution

L'étape clé est le calcul de la dérivée. Lorsque nous avons cela, nous pouvons obtenir directement dy.

une. Puisque (f(x)=x^2+2x,) on sait (f'(x)=2x+2), et donc

(dy=(2x+2)dx.)

Lorsque (x=3) et (dx=0.1,)

(dy=(2⋅3+2)(0.1)=0.8.)

b. Puisque (f(x)=cosx, f'(x)=−sin(x).) Cela nous donne

(dy=−sinxdx.)

Lorsque (x=3) et (dx=0.1,)

(dy=−sin(3)(0.1)=−0.1sin(3).)

Exercice (PageIndex{4})

Pour (y=e^{x^2}), recherchez (dy).

Indice

(dy=f'(x)dx)

Répondre

(dy=2xe^{x^2}dx)

Relions maintenant les différentielles aux approximations linéaires. Les différentiels peuvent être utilisés pour estimer le changement dans la valeur d'une fonction résultant d'un petit changement dans les valeurs d'entrée. Considérons une fonction (f) qui est dérivable au point (a). Supposons que l'entrée (x) change légèrement. Nous sommes intéressés par combien la sortie (y) change. Si (x) passe de (a) à (a+dx), alors le changement dans (x) est (dx) (également noté (Δx)), et le changement dans (y) est donné par

[Δy=f(a+dx)−f(a).]

Au lieu de calculer le changement exact de (y), cependant, il est souvent plus facile d'approcher le changement de (y) en utilisant une approximation linéaire. Pour (x) près de (a, f(x)) peut être approximé par l'approximation linéaire

[L(x)=f(a)+f'(a)(x−a).]

Par conséquent, si (dx) est petit,

[f(a+dx)≈L(a+dx)=f(a)+f'(a)(a+dx−a).]

C'est-à-dire,

[f(a+dx)−f(a)≈L(a+dx)−f(a)=f'(a)dx.]

En d'autres termes, le changement réel de la fonction (f) si (x) augmente de (a) à (a+dx) est approximativement la différence entre (L(a+dx) ) et (f(a)), où (L(x)) est l'approximation linéaire de (f) en (a). Par définition de (L(x)), cette différence est égale à (f'(a)dx). En résumé,

[Δy=f(a+dx)−f(a)≈L(a+dx)−f(a)=f'(a)dx=dy.]

Par conséquent, nous pouvons utiliser le différentiel (dy=f'(a)dx) pour approximer le changement de (y) si (x) augmente de (x=a) à (x=a +dx). Nous pouvons le voir dans le graphique suivant.

Figure (PageIndex{5}) : différentiel dy=f'(a)dx est utilisé pour approximer le changement réel de y si x augmente de a à a+dx.

Voyons maintenant comment utiliser les différentiels pour approximer le changement de la valeur de la fonction qui résulte d'un petit changement dans la valeur de l'entrée. Notez que le calcul avec différentiels est beaucoup plus simple que le calcul des valeurs réelles des fonctions et le résultat est très proche de ce que nous obtiendrions avec le calcul plus exact.

Exemple (PageIndex{5}) : Approximation du changement avec des différentiels

Soit (y=x^2+2x.) Calculer (Δy) et mourir à (x=3) si (dx=0.1.)

Solution

Le changement réel de (y) si (x) passe de (x=3) à (x=3.1) est donné par

(Δy=f(3.1)−f(3)=[(3.1)^2+2(3.1)]−[3^2+2(3)]=0.81.)

Le changement approximatif de (y) est donné par (dy=f'(3)dx). Puisque (f'(x)=2x+2,) on a

(dy=f'(3)dx=(2(3)+2)(0.1)=0.8.)

Exercice (PageIndex{5})

Pour (y=x^2+2x,) trouver (Δy) et (dy) à (x=3) si (dx=0.2.)

Indice

(dy=f'(3)dx, y=f(3.2)−f(3))

Répondre

(dy=1,6, y=1,64)

Calcul du montant de l'erreur

Tout type de mesure est sujet à un certain nombre d'erreurs. Dans de nombreuses applications, certaines quantités sont calculées sur la base de mesures. Par exemple, l'aire d'un cercle est calculée en mesurant le rayon du cercle. Une erreur dans la mesure du rayon entraîne une erreur dans la valeur calculée de la surface. Ici, nous examinons ce type d'erreur et étudions comment les différentiels peuvent être utilisés pour estimer l'erreur.

Considérons une fonction (f) avec une entrée qui est une quantité mesurée. Supposons que la valeur exacte de la quantité mesurée soit (a), mais que la valeur mesurée soit (a+dx). On dit que l'erreur de mesure est dx (ou (Δx)). En conséquence, une erreur se produit dans la quantité calculée (f(x)). Ce type d'erreur est connu sous le nom de erreur propagée et est donné par

[Δy=f(a+dx)−f(a).]

Étant donné que toutes les mesures sont sujettes à un certain degré d'erreur, nous ne connaissons pas la valeur exacte d'une quantité mesurée, nous ne pouvons donc pas calculer exactement l'erreur propagée. Cependant, étant donné une estimation de la précision d'une mesure, nous pouvons utiliser des différentiels pour approcher l'erreur propagée (Δy.) Plus précisément, si (f) est une fonction différentiable en a, l'erreur propagée est

[Δy≈dy=f'(a)dx.]

Malheureusement, nous ne connaissons pas la valeur exacte (a.) Cependant, nous pouvons utiliser la valeur mesurée (a+dx,) et estimer

[Δy≈dy≈f'(a+dx)dx.]

Dans l'exemple suivant, nous examinons comment les différentiels peuvent être utilisés pour estimer l'erreur dans le calcul du volume d'une boîte si nous supposons que la mesure de la longueur des côtés est effectuée avec une certaine précision.

Exemple (PageIndex{6}) : Volume d'un cube

Supposons que la longueur du côté d'un cube est mesurée à 5 cm avec une précision de 0,1 cm.

  1. Utilisez des différentiels pour estimer l'erreur dans le volume calculé du cube.
  2. Calculez le volume du cube si la longueur du côté est (i) 4,9 cm et (ii) 5,1 cm pour comparer l'erreur estimée avec l'erreur potentielle réelle.

Solution

une. La mesure de la longueur du côté est précise à (±0.1)cm. Par conséquent,

(−0.1≤dx≤0.1.)

Le volume d'un cube est donné par (V=x^3), ce qui conduit à

(dV=3x^2dx.)

En utilisant la longueur de côté mesurée de 5 cm, nous pouvons estimer que

(−3(5)^2(0.1)≤dV≤3(5)^2(0.1).)

Par conséquent,

(−7.5≤dV≤7.5.)

b. Si la longueur du côté est en fait de 4,9 cm, alors le volume du cube est

(V(4.9)=(4.9)^3=117,649cm^3.)

Si la longueur du côté est en fait de 5,1 cm, alors le volume du cube est

(V(5.1)=(5.1)^3=132,651cm^3.)

Par conséquent, le volume réel du cube est compris entre 117,649 et 132,651. Puisque la longueur du côté est mesurée à 5 cm, le volume calculé est (V(5)=5^3=125.) Par conséquent, l'erreur dans le volume calculé est

(117.649−125≤ΔV≤132.651−125.)

C'est-à-dire,

(−7.351≤ΔV≤7.651.)

Nous voyons que l'erreur estimée (dV) est relativement proche de l'erreur potentielle réelle dans le volume calculé.

Exercice (PageIndex{6})

Estimez l'erreur dans le volume calculé d'un cube si la longueur du côté est mesurée à 6 cm avec une précision de 0,2 cm.

Indice

(dV=3x^2dx)

Répondre

La mesure du volume est précise à (21,6 cm^3.)

L'erreur de mesure dx (=(Δx)) et l'erreur propagée (Δy) sont des erreurs absolues. Nous sommes généralement intéressés par la taille d'une erreur par rapport à la taille de la quantité mesurée ou calculée. Étant donné une erreur absolue (Δq) pour une quantité particulière, nous définissons le erreur relative comme (frac{Δq}{q}), où (q) est la valeur réelle de la quantité. le pourcentage d'erreur est l'erreur relative exprimée en pourcentage. Par exemple, si nous mesurons la hauteur d'une échelle à 63 po alors que la hauteur réelle est de 62 po, l'erreur absolue est de 1 po mais l'erreur relative est (frac{1}{62}=0,016 ), ou (1,6%). Par comparaison, si nous mesurons la largeur d'un morceau de carton à 8,25 pouces lorsque la largeur réelle est de 8 pouces, notre erreur absolue est de (frac{1}{4}) pouces, alors que l'erreur relative est (frac{0.25}{8}=frac{1}{32},) ou (3.1%.) Par conséquent, le pourcentage d'erreur dans la mesure du carton est plus grand, même si 0,25 in. est inférieur à 1 po.

Exemple (PageIndex{7}) :

Erreur relative et en pourcentage

Un astronaute utilisant une caméra mesure le rayon de la Terre à 4000 mi avec une erreur de (±80) mi. Utilisons des différentiels pour estimer l'erreur relative et en pourcentage de l'utilisation de cette mesure de rayon pour calculer le volume de la Terre, en supposant que la planète est une sphère parfaite.

Solution : Si la mesure du rayon est précise à (±80,) nous avons

(−80≤dr≤80.)

Puisque le volume d'une sphère est donné par (V=(frac{4}{3})πr3,) on a

(dV=4πr^2dr.)

En utilisant le rayon mesuré de 4000 mi, nous pouvons estimer

(−4π(4000)^2(80)≤dV≤4π(4000)^2(80).)

Pour estimer l'erreur relative, considérons (frac{dV}{V}). Comme nous ne connaissons pas la valeur exacte du volume (V), utilisez le rayon mesuré (r=4000mi) pour estimer (V). On obtient (V≈(frac{4}{3})π(4000)^3). L'erreur relative satisfait donc

(frac{−4π(4000)^2(80)}{4π(4000)^3/3}≤frac{dV}{V}≤frac{4π(4000)^2(80)}{ 4π(4000)^3/3},)

qui se simplifie en

(−0,06≤frac{dV}{V}≤0,06.)

L'erreur relative est de 0,06 et le pourcentage d'erreur est (6%.)

Exercice (PageIndex{7})

Déterminez le pourcentage d'erreur si le rayon de la Terre est mesuré à 3950 mi avec une erreur de (±100) mi.

Indice

Utilisez le fait que (dV=4πr^2dr) pour trouver (dV/V.)

Répondre

7.6%

Concepts clés

  • Une fonction dérivable (y=f(x)) peut être approchée en (a) par la fonction linéaire

(L(x)=f(a)+f'(a)(x−a).)

  • Pour une fonction (y=f(x)), si (x) passe de (a) à (a+dx), alors

(dy=f'(x)dx)

est une approximation de la variation de (y). Le changement réel dans (y) est

(Δy=f(a+dx)−f(a).)

  • Une erreur de mesure (dx) peut conduire à une erreur sur une quantité calculée (f(x)). L'erreur dans la quantité calculée est appelée erreur propagée. L'erreur propagée peut être estimée par

(dy≈f'(x)dx.)

  • Pour estimer l'erreur relative d'une quantité particulière (q), nous estimons (frac{Δq}{q}).

Équations clés

  • Approximation linéaire

(L(x)=f(a)+f'(a)(x−a))

  • Un différentiel

(dy=f'(x)dx)

Glossaire

différentiel
le différentiel (dx) est une variable indépendante qui peut être affectée à n'importe quel nombre réel différent de zéro ; le différentiel (dy) est défini comme (dy=f'(x)dx)
forme différentielle
étant donné une fonction différentiable (y=f'(x),) l'équation (dy=f'(x)dx) est la forme différentielle de la dérivée de (y) par rapport à (x )
approximation linéaire
la fonction linéaire (L(x)=f(a)+f'(a)(x−a)) est l'approximation linéaire de (f) en (x=a)
pourcentage d'erreur
l'erreur relative exprimée en pourcentage
erreur propagée
l'erreur qui résulte en une quantité calculée (f(x)) résultant d'une erreur de mesure dx
erreur relative
étant donné une erreur absolue (Δq) pour une quantité particulière, (frac{Δq}{q}) est l'erreur relative.
approximation de la ligne tangente (linéarisation)
puisque l'approximation linéaire de (f) à (x=a) est définie en utilisant l'équation de la ligne tangente, l'approximation linéaire de (f) à (x=a) est également connue sous le nom de approximation de la tangente à (f) en (x=a)

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


Pour trouver l'approximation linéaire d'une fonction en un point, vous pouvez simplement utiliser la formule de linéarisation d'une fonction. Disons qu'on vous donne une fonction $f(x)=x^3+2x$ et que vous voulez trouver son approximation de doublure au point (mathbf). Vous pouvez le faire en appliquant la formule

La première étape consiste à trouver la dérivée de f(x). Dans ce cas, nous pouvons trouver f'(x) en utilisant la règle de puissance.

Maintenant que tu sais f(x), f'(x), et la valeur de une, vous pouvez brancher tout cela dans la formule de linéarisation ci-dessus pour trouver l'approximation linéaire de f(x) près x=a.

$L(x)=f(a)+f'(a)(xa)$ $L(x)=ig( (-2)^3+2(-2) ig)+ ig( 3( -2)^2+2 ig) ig( x-(-2) ig)$ $L(x)=ig( -12 ig)+ ig( 14 ig) ig( x+ 2 grand)$ $L(x)=-12 + 14x+28$ $L(x)=14x+16$


Comment effectuer une approximation linéaire

Il existe trois étapes simples pour effectuer une approximation linéaire.

  1. Branchez la valeur donnée de la variable donnée une pour X, puis résolvez la valeur de y pour trouver la paire ordonnée.
  2. Prendre la dérivée de la fonction donnée F pour trouver la pente de la tangente f&apos.
  3. Ensuite, vous pouvez utiliser deux options pour trouver la linéarisation de la fonction donnée.

Option 1: Branchez la paire commandée dès la première étape et résolvez la pente m ou dy/dx. La linéarisation est trouvée en substituant la paire ordonnée et la pente obtenues à partir des actions précédentes dans une équation point-pente.

Option 2: Utilisez la formule donnée de l'équation de la ligne tangente pour trouver la linéarisation.


Propagation d'erreur

Nous pouvons également utiliser différentiels en physique à estimer les erreurs, disons dans les appareils de mesure physiques. Dans ces problèmes, nous prendrons généralement une dérivée et utiliserons la partie "(dx)" ou "(dy)" de la dérivée comme erreur. Ensuite, pour obtenir pourcentage d'erreur, nous allons diviser l'erreur par le montant total et multiplier par 100 .

L'autre chose à retenir est que lorsque nous résolvons une erreur, cela peut aller dans les deux sens, nous exprimons donc généralement nos réponses avec un "(pm )".

Nous allons attaquer ces problèmes de la même manière que nous l'avons fait avec tarifs associés problèmes : notez ce que nous savons, ce dont nous avons besoin et comment nous relions les variables.

Si la mesure du volume est correcte à moins de 2,5 en 3 , estimez le erreur de mesure d'un côté du cube. Nous pouvons attaquer cela comme un problème de taux connexe : notez ce que nous savons, ce dont nous avons besoin et comment nous relions les variables.

On a (V=125), et (dV=2.5) (rappelons que le Erreur est la partie "(dx)" de l'équation). Nous voulons le erreur dans le côté du cube, nous voulons donc (ds).

Relions maintenant les variables et différencions par rapport à (s) :

Remplacez et résolvez pour (ds). Notez que puisque nous savons que le volume ((V)) est 125 , nous savons qu'un côté ((s)) est (sqrt[3]<<125>>=5):

une) Estimer l'erreur propagée dans le superficie de la sphère.

b) Estimer l'erreur propagée dans le le volume de la sphère.

c) Estimer le pourcentage d'erreur du le volume de la sphère. Nous avons (r=5), et (dr=.05) (rappelez-vous que le Erreur est la partie "(dx)" de l'équation). Nous voulons à la fois l'erreur de surface ((dA)) et l'erreur de volume ((dV)). Nous devons nous souvenir des équations de la géométrie.

une) Racontons superficie et rayon, et différencier par rapport à (r) :

On veut (dA) (erreur sur la surface) :

(displaystyle dA=left( <8pi r> ight)dr,,,,,dA=left( <8pi cdot 5> ight).05approx après-midi ,,6.283)

L'erreur dans la mesure de la surface de la sphère est ± 6,283 mm2 .

b) Racontons le volume et rayon, et différencier par rapport à (r) :

On veut (dV) (erreur dans le volume) :

L'erreur dans la mesure du volume de la sphère est ±15.708 mm 3 .

c) Pour obtenir pourcentage d'erreur:

Le pourcentage d'erreur dans la mesure du volume de la sphère est 3% .

une) Estimer l'erreur propagée possible dans le calcul de la surface du triangle.

b) approximer le pourcentage d'erreur dans le calcul de cette zone. Celui-ci est un peu plus délicat car nous avons deux variables avec erreur. On a (b=20,,,h=30,,,db=.3,,,,dh=.3) (rappelez-vous que le Erreur est la partie "(dx)" de l'équation).

Nous voulons l'erreur dans le surface du triangle ((dA)), il faut donc relier les deux côtés perpendiculaires du triangle à l'aire : (displaystyle A=frac<1><2>bh).

Nous utiliserons le règle de produit différentiel, (dgauche[ ight]=u,dv+v,du). On peut aussi remarquer que

nous avons donc (displaystyle dA=frac<1><2>left( droite)).

Maintenant, remplacez et résolvez pour (dA):

une) L'erreur dans la mesure de l'aire du triangle est ±7.5 cm 2 .

Nous voulons (dr), et avons (dV) ( (displaystyle frac<1><<1000>>) ), donc cela conviendra à l'utilisation de cette équation et à la différenciation :

Puisque nous savons que le volume de la pièce doit être compris dans (displaystyle frac<1><<1000>>) du volume de son volume total, nous pouvons interpréter (dV) comme étant cette erreur, donc (displaystyle left| ight|le .001V).

Résolvons maintenant pour (dr): (displaystyle left| ight|=left| <2pi rh,dr> ight|le .001V,,,,, ext,,,,gauche| <2pi rh,dr> ight|le .001left( ^<2>>h> droit)).

La variation de la le rayon ne doit pas dépasser 0,05 % du rayon idéal. Rusé!

Apprenez ces règles et pratiquez, pratiquez, pratiquez !


Aperçu des mathématiques

L'idée ici en termes &lsquogéométriques&rsquo est que dans un sens vague une ligne courbe peut être approchée par une ligne droite tangente à elle. Bien entendu, cette approximation n'est bonne du tout &lsquo&rsquo le point de tangence, et ainsi de suite. Donc, la seule formule ici est secrètement la formule de la ligne tangente au graphique d'une fonction. Il y a des problèmes en raison du fait qu'il y a tellement de choix différents de symboles à écrivez il.

Nous pouvons écrire quelques formules : Soit $f$ une fonction, et fixons un point $x_o$. L'idée est que pour $x$ &lsquonear&rsquo $x_o$ on a une &lsquoapproximate&rsquo égalité $f(x)approx f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)$ Nous faisons ne pas tenter de clarifier ce Soit &lsquonear&rsquo ou &lsquoapproximate&rsquo signifient dans ce contexte. Ce qui est vraiment vrai ici, c'est que pour une valeur donnée $x$, la quantité $f(x_o)+f'(x_o)(x-x_o)$ est exactement la coordonnée $y$ de la ligne tangente au graphique à $x_o$.

L'énoncé d'approximation comporte de nombreuses paraphrases dans différents choix de symboles, et une personne doit être capable de tous les reconnaître. Par exemple, l'une des paraphrases les plus traditionnelles, qui introduit une notation un peu idiote mais tellement traditionnelle, est la suivante. On pourrait aussi dire que $y$ est une fonction de $x$ donnée par $y=f(x)$. Soit $Delta x = hbox< petit changement dans $x$>$ $Delta y= hbox< changement correspondant dans $y$ >=f(x+Delta x)-f(x)$

Alors l'assertion est que $Delta yapprox f'(x),Delta x$

Parfois, certains textes introduisent la notation discutable (mais traditionnellement populaire !) suivante : $dy = f'(x)dx = hbox< approximation à changer en $y$>$ $dx = Delta x$ et appelez le $dx $ et $dy$ &lsquodifférentiels&rsquo. Et puis toute cette procédure est &lsquoapproximation par différentiels&rsquo. Une paraphrase pas particulièrement éclairante, utilisant la notation précédente, est $dyapprox Delta y.$ Même si vous voyez des gens écrire ceci, ne le faites pas.

Plus de paraphrases, avec des symboles différents : $f(x+Delta x)approx f(x) + f'(x)Delta x$ $f(x+delta)approx f(x) + f'(x) delta$ $f(x+h)approx f(x) + f'(x)h$ $f(x+Delta x)-f(x)approx f'(x)Delta x$ $y+ Delta yapprox f(x)+f'(x)Delta x$ $Delta yapprox f'(x)Delta x$

Un peu d'histoire : Jusqu'à il y a à peine 20 $ ou 30 $, les calculatrices n'étaient pas largement disponibles, et surtout pas capables d'évaluer les fonctions trigonométriques, exponentielles et logarithmiques. Dans ce contexte, le genre d'"approximation" vague et peu fiable fournie par les "différentiels" valait certainement la peine dans de nombreuses situations.

En revanche, maintenant que des calculatrices assez sophistiquées sont largement disponibles, certaines choses qui semblaient autrefois raisonnables ne le sont plus. Par exemple, un type de question très traditionnel consiste à &lsquoapproximer $sqrt<10>$ par des différentiels&rsquo. Une réponse contemporaine raisonnable serait de simplement taper &lsquo$1,0,sqrt<>rsquo sur votre calculatrice et d'obtenir immédiatement la réponse à 10 décimales. Mais cela n'a été possible que relativement récemment.

Exemple 1

Par exemple, approximons $sqrt<17>$ par des différentiels. Pour que ce problème ait un sens du tout imaginez que vous n'avez pas de calculatrice. On prend $f(x)=sqrt=x^<1/2>$. L'idée ici est que nous pouvons facilement évaluer &lsquoby hand&rsquo à la fois $f$ et $f'$ au point $x=16$ qui est &lsquonear&rsquo $17$. (Ici $f'(x)=<1over 2>x^<-1/2>$). Ainsi, ici $Delta x=17-16=1$ et $sqrt<17>=f(17)approx f(16)+f'(16)Delta x=sqrt<16>+<1 over 2>< 1 over sqrt<16 >>cdot 1=4+<1over 8>$

Exemple 2

De même, si nous voulions approximer $sqrt<18>$ &lsquoby différentiels&rsquo, nous prendrions à nouveau $f(x)=sqrt=x^<1/2>$. On imagine encore que l'on fait cela &lsquo à la main&rsquo, et alors bien sûr on peut &lsquo facilement&rsquo évaluer&rsquo la fonction $f$ et sa dérivée $f'$ au point $x=16$ qui est &lsquonar&rsquo $18$. Ainsi, ici $Delta x=18-16=2$ et $sqrt<18>=f(18)approx f(16)+f'(16)Delta x=sqrt<16>+<1 over 2>< 1 over sqrt<16 >>cdot 2=4+<1over 4>.$

Pourquoi ne pas utiliser le point &lsquogood&rsquo $25$ comme point &lsquonearby&rsquo pour trouver $sqrt<18>$ ? Eh bien, en termes généraux, plus votre point &lsquogood&rsquo est éloigné, plus l'approximation sera mauvaise. Oui, c'est vrai que nous avons peu d'idée à quel point l'approximation est bonne ou mauvaise en tous cas.

Il est un peu plus sensé de ne pas utiliser cette idée pour le travail numérique, mais plutôt pour dire des choses comme $sqrtenviron sqrt+<1sur 2>< 1 sur sqrt>$ et $sqrtenviron sqrt+<1sur 2>< 1 sur sqrt>cdot h.$ Ce genre d'assertion est plus que n'importe quel exemple numérique particulier, car il donne un relation, dire combien le production changements pour un changement donné dans contribution, selon ce que régime (=intervalle) l'entrée est généralement dans. Dans cet exemple, nous pouvons faire le qualitatif constat que comme $x$ augmente la différence $sqrt-sqrt$ diminue.

Exemple 3

Autre exemple numérique : $sin,31^o$ approximatifs &lsquoby différentiels&rsquo. Encore une fois, le point est ne pas pour frapper $3,1,sin$ sur votre calculatrice (après être passé en degrés), mais plutôt pour imaginez que vous n'avez pas de calculatrice. Et nous sommes censés nous souvenir des jours pré-calculateurs des &lsquoangles spéciaux&rsquo et des valeurs des fonctions trigonométriques : $sin ,30^o=<1over 2>$ et $cos ,30^o= < sqrt<3>sur 2>$. Nous utiliserions donc la fonction $f(x)=sin,x$, et nous imaginerions que nous pouvons évaluer $f$ et $f'$ facilement à la main à $30^o$. Puis $Delta x=31^o-30^o=1^o=1^ocdot <2pihbox< radians >over 360^o>= <2piover 360>hbox< radians >$ Nous devons réécrire les choses en radians car nous ne pouvons vraiment calculer que les dérivées des fonctions trigonométriques en radians. Oui, c'est une complication dans notre supposé &lsquocalcul à la main&rsquo. Quoi qu'il en soit, nous avons $sin,31^o=f(31^o)=f(30^o)+f'(30^o)Delta x =sin,30^o+cos,30 ^ocdot <2piover 360>$ $=<1over 2>+ over 2> <2piover 360>$ Nous devons évidemment également imaginez que nous connaître ou peut facilement trouve $sqrt<3>$ (par différentiels ?) ainsi qu'une valeur de $pi$. Oui, c'est beaucoup de problèmes par rapport au simple fait d'appuyer sur les boutons, et d'un point de vue contemporain, cela peut sembler insensé.

Exemple 4

Environ $ln(x+2)$ &lsquoby différentiels&rsquo, en termes de $ln x$ et $x$ : non numérique la question est un peu plus sensée. Prenez $f(x)=ln,x$, de sorte que $f'(x)=<1over x>$. Alors $Delta x=(x+2)-x=2$ et par les formules ci-dessus $ln(x+2)=f(x+2)approx f(x)+f'(x)cdot 2=ln,x+<2sur x>.$

Exemple 5

Approximativement $ln,(e+2)$ en termes de différentiels : utilisez à nouveau $f(x)=ln,x$, donc $f'(x)=<1over x>$. Nous devons probablement imaginer que nous pouvons &lsquo facilement &rsquo evaluer&rsquo $ln,x$ et $<1sur x>$ a $x=e$. (Connaît-on une approximation numérique de $e$ ?). Maintenant $Delta x = (e+2)-e = 2$ donc nous avons $ln(e+2)=f(e+2)approx f(e)+f'(e)cdot 2= ln,e+<2over e>=1+<2over e>$ depuis $ln,e=1$.


Approximation linéaire et équation différentielle en calcul

Le concept de base derrière l'approximation linéaire locale est également connu sous le nom d'approximation de ligne tangente ou de linéarisation. Selon Ce concept explique lorsque nous zoomerons sur un point particulier du graphique, le graphique ressemblera beaucoup à une ligne. Par conséquent, nous pouvons utiliser la ligne tangente, qui est présente à proximité de la courbe autour d'un point particulier, pour approximer plus de valeurs le long de la courbe tant que nous nous concentrons près du "point" exact.

Cependant, le calculateur d'approximation linéaire trouvera l'approximation linéaire de la courbe explicite, polaire, paramétrique et implicite au point particulier sans aucune erreur.

Linéarisation d'une fonction

La linéarisation d'une fonction consiste à trouver différemment la ligne tangente de la fonction à un point exact. The formula for is:

In this equation,L(x) is the tangent line at point a. We can implement this equation to approximate the values of the function near point any particular point. The linear approximation calculator automatically works based on this equation. Additionally, it enables us to compare another point on the curve,close to the zoomed-in end.

How toMake Linear Approximation

  • First of all, we need to Find the point we want to zoom in on.
  • Now Calculate the slope at that specific point with the help of derivatives.
  • You must transcribethe equation of the tangent line utilizingthe point-slope form.
  • In the last step, you need to Evaluatethe tangent line to make estimations about another nearby point.
  • There are many free online linear approximation calculator to perform explicit linear approximation of a function at any given point.

Differentials

We have grasped the concept that we can use linear approximations to estimate function values. We can also use them to estimate the amount a function value changes as a slight change in the input. We can use a formal concept known as Differentials to define the function more precisely. Differentials offer us a way of estimating the amount a function changes due to a slight change in input values.

In calculus, differentials represent the principal part of the change in a function oui = F(X) concerning changes in the independent variable. We can define the differential dy as: dy = f’ (x)dx.

  • In this equation f(x) representing the derivative of x with respect of f.
  • Dx is representing an additional real variable, and the notation is such that the equations: dy = dy / dx * dx
  • The derivative is represented according to the Leibniz notation dy/dx. It is consistent with regarding the derivative as the quotient of the differentials.

The exact meaning of the variables dy et dx always depends on the context of the application and the compulsory level of mathematical rigour. The domain of such variables may take on a specific geometrical significance if the differential is observed as a particular differential form or analytical significance if the differential is a linear approximation to the increment of a function. Usually, we view the variables dx et dy are very small or tiny, and this clarification is made rigorous in non-standard analysis.


Linear Approximations and Differentials

We have just seen how derivatives allow us to compare related quantities that are changing over time. In this section, we examine another application of derivatives: the ability to approximate functions locally by linear functions. Linear functions are the easiest functions with which to work, so they provide a useful tool for approximating function values. In addition, the ideas presented in this section are generalized later in the text when we study how to approximate functions by higher-degree polynomials Introduction to Power Series and Functions.

Linear Approximation of a Function at a Point

that is differentiable at a point x = a .

Recall that the tangent line to the graph of f

For example, consider the function f ( x ) = 1 x

is differentiable at x = 2

Therefore, the tangent line to the graph of f

[link](a) shows a graph of f ( x ) = 1 x

along with the tangent line to f

near 2, the graph of the tangent line is close to the graph of f .

As a result, we can use the equation of the tangent line to approximate f ( x )

near 2. For example, if x = 2.1 ,

value of the corresponding point on the tangent line is

The actual value of f ( 2.1 )

Therefore, the tangent line gives us a fairly good approximation of f ( 2.1 )

([link](b)). However, note that for values of x

far from 2, the equation of the tangent line does not give us a good approximation. For example, if x = 10 ,

-value of the corresponding point on the tangent line is

whereas the value of the function at x = 10

In general, for a differentiable function f ,

the equation of the tangent line to f

can be used to approximate f ( x )

We call the linear function

les linear approximation, ou alors tangent line approximation, of f

is also known as the linearization of f

To show how useful the linear approximation can be, we look at how to find the linear approximation for f ( x ) = x

Find the linear approximation of f ( x ) = x

and use the approximation to estimate 9.1 .

Since we are looking for the linear approximation at x = 9 ,

using [link] we know the linear approximation is given by

Therefore, the linear approximation is given by [link].

Using the linear approximation, we can estimate 9.1

Using a calculator, the value of 9.1

to four decimal places is 3.0166. The value given by the linear approximation, 3.0167, is very close to the value obtained with a calculator, so it appears that using this linear approximation is a good way to estimate x ,

At the same time, it may seem odd to use a linear approximation when we can just push a few buttons on a calculator to evaluate 9.1 .

However, how does the calculator evaluate 9.1 ?

The calculator uses an approximation! In fact, calculators and computers use approximations all the time to evaluate mathematical expressions they just use higher-degree approximations.

Find the local linear approximation to f ( x ) = x 3

Use it to approximate 8.1 3

Find the linear approximation of f ( x ) = sin x

and use it to approximate sin ( 62 ° ) .

First we note that since π 3

using the linear approximation at x = π / 3

seems reasonable. The linear approximation is given by

Therefore, the linear approximation of f

to radians. We have 62 ° = 62 π 180

radians, so the estimate for sin ( 62 ° )

Find the linear approximation for f ( x ) = cos x

Linear approximations may be used in estimating roots and powers. In the next example, we find the linear approximation for f ( x ) = ( 1 + x ) n

which can be used to estimate roots and powers for real numbers near 1. The same idea can be extended to a function of the form f ( x ) = ( m + x ) n

to estimate roots and powers near a different number m .

Find the linear approximation of f ( x ) = ( 1 + x ) n

Use this approximation to estimate ( 1.01 ) 3 .

The linear approximation at x = 0

the linear approximation is given by [link](a).

We can approximate ( 1.01 ) 3

Find the linear approximation of f ( x ) = ( 1 + x ) 4

without using the result from the preceding example.

Differentials

We have seen that linear approximations can be used to estimate function values. They can also be used to estimate the amount a function value changes as a result of a small change in the input. To discuss this more formally, we define a related concept: differentials. Differentials provide us with a way of estimating the amount a function changes as a result of a small change in input values.

When we first looked at derivatives, we used the Leibniz notation d y / d x

to represent the derivative of y

Although we used the expressions dy et dx in this notation, they did not have meaning on their own. Here we see a meaning to the expressions dy et dx. Suppose y = f ( x )

is a differentiable function. Laisser dx be an independent variable that can be assigned any nonzero real number, and define the dependent variable d y

It is important to notice that d y

The expressions dy et dx sont appelés differentials. We can divide both sides of [link] by d x ,

This is the familiar expression we have used to denote a derivative. [link] is known as the differential form of [link].

For each of the following functions, find dy and evaluate when x = 3

The key step is calculating the derivative. When we have that, we can obtain dy directly.


When to use l&aposhopital&aposs rule

We always want to apply l&aposhoptial&aposs rule when we encounter indeterminate limits. There are two types of indeterminate forms. These indeterminate forms would be:

Formula 7: Indeterminate forms

A lot of people make the mistake of using l&aposhopital&aposs rule without even checking if it is an indeterminate limit. So make sure you check it first! Otherwise, it will not work and you will get the wrong answer. Here is a guide to using l&aposhopital&aposs rule:

  • Étape 1: Evaluate the limit directly.
  • Étape 2: Check if it is one of the indeterminate forms. If it is, go to step 3.
  • Étape 3: Use l&aposhopital&aposs rule.
  • Étape 4: Check if you get another indeterminate form. Repeat Step 3 if you do.

Let&aposs take a look at a few examples using these steps.

Question 6: Evaluate the limit

Equation 9: L&aposhopital&aposs rule question pt.1

    Étape 1: Evaluating the limit directly gives us

Equation 9: L&aposhopital&aposs rule question pt.2

Yes, it is one of the indeterminate forms.

Applying l&aposhopital&aposs rule we have:

Equation 9: L&aposhopital&aposs rule question pt.3

one is not an indeterminate form, so we are done and the answer is 1.

Now that question was a little bit easy, so why don&apost we take a look at something that is a bit harder.

Question 7: Evaluate the limit

Equation 10: L&aposhopital&aposs rule twice question pt.1

    Étape 1: Evaluating the limit directly we see that:

Equation 10: L&aposhopital&aposs rule twice question pt.2

This is an indeterminate form, so go to step 3.

Applying l&aposhopital&aposs rule we have

Equation 10: L&aposhopital&aposs rule twice question pt.3

This is another indeterminate form. So we have to go back to step 3 and apply l&aposhoptial&aposs rules again.

Applying l&aposhopital&aposs rule again we have:

Equation 10: L&aposhopital&aposs rule twice question pt.4

Infinity is not an indeterminate form, so we are done and the answer is ∞ infty ∞


Linear Approximation and Differentials

Errors in approximations Suppose $f(x)=1 /(1+x)$ is to be approximated near $x=0 .$ Find the linear approximation to $f$ at 0 Then complete the following table showing the errors in various approximations. Use a calculator to obtain the exact values. The percent error is $100 cdot |$ approximation $-$ exact $|/|$ exact $| .$ Comment on the behavior of the errors as $x$ approaches 0. (TABLE CAN'T COPY)

Errors in approximations Suppose $f(x)=sqrt[3]$ is to be approximated near $x=8 .$ Find the linear approximation to $f$ at 8 Then complete the following table, showing the errors in various approximations. Use a calculator to obtain the exact values. The percent error is $100 cdot |$ approximation $-$ exact $|/|$ exact $| .$ Comment on the behavior of the errors as $x$ approaches 8 (TABLE CAN'T COPY)

Time function Show that the function $T(x)=60 D(60+x)^<-1>$ gives the time in minutes required to drive $D$ miles at $60+x$ miles per hour.

Linear approximation Estimate $f(3.85)$ given that $f(4)=3$ and $f^(4)=2$.

Linear approximation Estimate $f(5.1)$ given that $f(5)=10$ and $f^(5)=-2$.

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=ln (1-x)$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)= an x$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=sin ^ <-1>x$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=3 x^<3>-4 x$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=(4+x) /(4-x)$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=2-a cos x, a ext < constant >$

Differentials Consider the following functions and express the relationship between a small change in $x$ and the corresponding change in $y$ in the form $d y=f^(x) d x$.
$f(x)=e^<2 x>$


Voir la vidéo: Equation différentielle de Riccati, Exercices corrigés (Décembre 2021).