Des articles

10.1 : Séries et fonctions de puissance


Objectifs d'apprentissage

  • Identifiez une série entière et donnez-en des exemples.
  • Déterminer le rayon de convergence et l'intervalle de convergence d'une série entière.
  • Utilisez une série entière pour représenter une fonction.

Une série entière est un type de série avec des termes impliquant une variable. Plus précisément, si la variable est (x), alors tous les termes de la série impliquent des puissances de (x). En conséquence, une série entière peut être considérée comme un polynôme infini. Les séries entières sont utilisées pour représenter des fonctions communes et également pour définir de nouvelles fonctions. Dans cette section, nous définissons des séries entières et montrons comment déterminer quand une série entière converge et quand elle diverge. Nous montrons également comment représenter certaines fonctions en utilisant des séries entières.

Forme d'une série de puissance

Une série de la forme

[sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots ,]

où (x) est une variable et les coefficients (c_n) sont des constantes, est connu comme un série de puissance. Les séries

[1+x+x^2+ldots =sum_{n=0}^∞x^n]

est un exemple de série entière. Comme cette série est une série géométrique de rapport (r=|x|), on sait qu'elle converge si (|x|<1) et diverge si (|x|≥1.)

Définition (PageIndex{1}) : Séries avancées

Une série de la forme

[sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots ]

est une série entière centrée en (x=0.) Une série de la forme

[sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+ldots ]

est un série de puissance centré sur (x=a).

Pour préciser cette définition, nous stipulons que (x^0=1) et ((x−a)^0=1) même lorsque (x=0) et (x=a), respectivement.

Les séries

[sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!}=1+x+dfrac{x^2}{2!}+dfrac{x^3}{3!}+ ldots ]

et

[sum_{n=0}^∞n!x^n=1+x+2!x^2+3!x^3+ldots ]

sont toutes deux des séries entières centrées sur (x=0.) La série

[sum_{n=0}^∞dfrac{(x−2)^n}{(n+1)3^n}=1+dfrac{x−2}{2⋅3}+dfrac {(x−2)^2}{3⋅3^2}+dfrac{(x−2)^3}{4⋅3^3}+ldots ]

est une série entière centrée en (x=2).

Convergence d'une série de puissance

Puisque les termes d'une série entière impliquent une variable (x), la série peut converger pour certaines valeurs de (x) et diverger pour d'autres valeurs de (x). Pour une série entière centrée en (x=a), la valeur de la série en (x=a) est donnée par (c_0). Par conséquent, une série entière converge toujours en son centre. Certaines séries entières ne convergent qu'à cette valeur de (x). Cependant, la plupart des séries entières convergent pour plus d'une valeur de (x). Dans ce cas, la série entière converge pour tous les nombres réels (x) ou converge pour tout (x) dans un intervalle fini. Par exemple, la série géométrique (displaystyle sum_{n=0}^∞x^n) converge pour tout (x) dans l'intervalle ((−1,1)), mais diverge pour tout (x) en dehors de cet intervalle. Nous résumons maintenant ces trois possibilités pour une série générale de puissances.

Remarque (PageIndex{1}) : Convergence d'une série de puissance

Considérons la série entière (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n.) La série satisfait exactement l'une des propriétés suivantes :

  1. La série converge en (x=a) et diverge pour tout (x≠a.)
  2. La série converge pour tous les nombres réels (x).
  3. Il existe un réel (R>0) tel que la série converge si (|x−a|R). Aux valeurs (x) où |x−a|=R, la série peut converger ou diverger.

Preuve

Supposons que la série entière soit centrée en (a=0). (Pour une série centrée sur une valeur de a autre que zéro, le résultat suit en laissant (y=x−a) et en considérant la série

[ sum_{n=1}^∞c_ny^n. pas de numéro]

Il faut d'abord prouver le fait suivant :

S'il existe un réel (d≠0) tel que (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nd^n) converge, alors la série (displaystyle sum_{n=0}^ ∞c_nx^n) converge absolument pour tout (x) tel que (|x|<|d|.)

Puisque (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nd^n) converge, le nième terme (c_nd^n→0) comme (n→∞). Il existe donc un entier (N) tel que (|c_nd^n|≤1) pour tout (n≥N.) Écriture

[|c_nx^n|=|c_nd^n| left|dfrac{x}{d} ight|^n, onumber]

on en conclut que, pour tout n≥N,

[|c_nx^n|≤left|dfrac{x}{d} ight|^n. pas de numéro]

Les séries

[sum_{n=N}^∞left|dfrac{x}{d} ight|^n onumber]

est une série géométrique qui converge si (|dfrac{x}{d}|<1.) Par conséquent, par le test de comparaison, nous concluons que (displaystyle sum_{n=N}^∞c_nx^n ) converge également pour (|x|<|d|). Puisque nous pouvons ajouter un nombre fini de termes à une série convergente, nous concluons que (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) converge pour (|x|<|d|.)

Avec ce résultat, nous pouvons maintenant prouver le théorème. Considérez la série

[sum_{n=0}^∞a_nx^n onumber]

et soit (S) l'ensemble des nombres réels pour lesquels la série converge. Supposons que l'ensemble (S={0}.) Alors la série tombe dans le cas i.

Supposons que l'ensemble (S) soit l'ensemble de tous les nombres réels. La série tombe alors dans le cas ii. Supposons que (S≠{0}) et (S) ne soient pas l'ensemble des nombres réels. Alors il existe un réel (x*≠0) tel que la série ne converge pas. Ainsi, la série ne peut converger pour aucun (x) tel que (|x|>|x*|). Par conséquent, l'ensemble (S) doit être un ensemble borné, ce qui signifie qu'il doit avoir une plus petite borne supérieure. (Ce fait découle de la Propriété de la limite supérieure inférieure pour les nombres réels, ce qui dépasse le cadre de ce texte et est couvert dans les cours d'analyse réelle.) Appelez cette plus petite borne supérieure (R). Depuis (S≠{0}), le nombre (R>0). Par conséquent, la série converge pour tout (x) tel que (|x|

Si une série (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) tombe dans le cas iii. à noter, alors la série converge pour tout (x) tel que (|x−a|0), et diverge pour tout (x) tel que ( |x−a|>R). La série peut converger ou diverger aux valeurs (x) où (|x−a|=R). L'ensemble des valeurs (x) pour lesquelles converge la série (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) est appelé intervalle de convergence. Puisque la série diverge pour toutes les valeurs (x) où (|x−a|>R), la longueur de l'intervalle est (2R), et donc, le rayon de l'intervalle est (R ). La valeur (R) est appelée rayon de convergence. Par exemple, puisque la série (displaystyle sum_{n=0}^∞x^n) converge pour toutes les valeurs (x) dans l'intervalle ((−1,1)) et diverge pour tout valeurs (x) telles que (|x|≥1), l'intervalle de convergence de cette série est ((−1,1)). Puisque la longueur de l'intervalle est (2), le rayon de convergence est (1).

Définition : rayon de convergence

Considérons la série entière (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n). L'ensemble des nombres réels (x) où la série converge est l'intervalle de convergence. S'il existe un réel (R>0) tel que la série converge pour (|x−a|R,) alors (R ) est le rayon de convergence. Si la série ne converge qu'en (x=a), on dit que le rayon de convergence est (R=0). Si la série converge pour tous les nombres réels (x), on dit que le rayon de convergence est (R=∞) (Figure (PageIndex{1})).

Pour déterminer l'intervalle de convergence pour une série de puissances, nous appliquons généralement le test du rapport. Dans l'exemple (PageIndex{1}), nous montrons les trois possibilités différentes illustrées dans la figure (PageIndex{1}).

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche de l'intervalle et du rayon de convergence

Pour chacune des séries suivantes, trouvez l'intervalle et le rayon de convergence.

  1. (displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{x^n}{n!})
  2. (displaystyle sum_{n=0}^∞n!x^n)
  3. (displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{(x−2)^n}{(n+1)3^n})

Solution

une. Pour vérifier la convergence, appliquez le test du rapport. On a

[ egin{align*} ρ &=lim_{n→∞} left|dfrac{dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}}{dfrac{x^ n}{n !}}droit| [4pt]
&=lim_{n→∞} gauche|dfrac{x^{n+1}}{(n+1)!}⋅dfrac{n!}{x^n} ight| [4pt]
&=lim_{n→∞}left|dfrac{x^{n+1}}{(n+1)⋅n!}⋅dfrac{n!}{x^n} ight| [4pt]
&=lim_{n→∞}gauche|dfrac{x}{n+1}droit| [4pt]
&=|x|lim_{n→∞}dfrac{1}{n+1} [4pt]
&=0<1end{align*}]

pour toutes les valeurs de (x). Par conséquent, la série converge pour tous les nombres réels (x). L'intervalle de convergence est ((−∞,∞)) et le rayon de convergence est (R=∞.)

b. Appliquer le test de ratio. Pour (x≠0), on voit que

[ egin{align*} ρ &=lim_{n→∞}left|dfrac{(n+1)!x^{n+1}}{n!x^n} ight| [4pt]
&=lim_{n→∞}|(n+1)x| [4pt]
&=|x|lim_{n→∞}(n+1) [4pt]
&=∞. end{align*}]

Par conséquent, la série diverge pour tout (x≠0). Puisque la série est centrée en (x=0), elle doit y converger, donc la série ne converge que pour (x≠0). L'intervalle de convergence est la valeur unique (x=0) et le rayon de convergence est (R=0).

c. Pour appliquer le test du rapport, considérons

[ egin{align*} ρ &=lim_{n→∞}left|dfrac{dfrac{(x−2)^{n+1}}{(n+2)3^{n+ 1}}}{dfrac{(x−2)^n}{(n+1)3^n}} ight| [4pt]
&=lim_{n→∞} gauche|dfrac{(x−2)^{n+1}}{(n+2)3^{n+1}}⋅dfrac{(n+1) 3^n}{(x−2)^n} ight| [4pt]
&=lim_{n→∞} gauche|dfrac{(x−2)(n+1)}{3(n+2)}droit|[4pt]
&=dfrac{|x−2|}{3}.end{align*}]

Le rapport (ρ<1) si (|x−2|<3). Puisque (|x−2|<3) implique que (−31) si (|x−2|>3). Par conséquent, la série diverge si (x<−1) ou (x>5). Le test de ratio n'est pas concluant si (ρ=1). Le rapport (ρ=1) si et seulement si (x=−1) ou (x=5). Nous devons tester ces valeurs de (x) séparément. Pour (x=−1), la série est donnée par

[ sum_{n=0}^∞dfrac{(−1)^n}{n+1}=1−dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}−dfrac{ 1}{4}+ldots . pas de numéro]

Comme il s'agit de la série harmonique alternative, elle converge. Ainsi, la série converge en (x=−1). Pour (x=5), la série est donnée par

[ sum_{n=0}^∞dfrac{1}{n+1}=1+dfrac{1}{2}+dfrac{1}{3}+dfrac{1}{4} +ldots . pas de numéro]

C'est la série harmonique, qui est divergente. Par conséquent, la série de puissances diverge en (x=5). Nous concluons que l'intervalle de convergence est ([−1,5)) et le rayon de convergence est (R=3).

Exercice (PageIndex{1})

Trouver l'intervalle et le rayon de convergence de la série

[ sum_{n=1}^∞dfrac{x^n}{sqrt{n}}. pas de numéro]

Indice

Appliquer le test de rapport pour vérifier la convergence absolue.

Réponse

L'intervalle de convergence est ([−1,1).) Le rayon de convergence est (R=1.)

Représentation des fonctions en tant que séries de puissance

Pouvoir représenter une fonction par un « polynôme infini » est un outil puissant. Les fonctions polynomiales sont les fonctions les plus faciles à analyser, car elles n'impliquent que les opérations arithmétiques de base d'addition, de soustraction, de multiplication et de division. Si nous pouvons représenter une fonction compliquée par un polynôme infini, nous pouvons utiliser la représentation polynomiale pour la différencier ou l'intégrer. De plus, nous pouvons utiliser une version tronquée de l'expression polynomiale pour approximer les valeurs de la fonction. Alors, la question est, quand pouvons-nous représenter une fonction par une série entière ?

Considérons à nouveau la série géométrique

[1+x+x^2+x^3+ldots =sum_{n=0}^∞x^n.]

Rappelons que la série géométrique

[a+ar+ar^2+ar^3+ldots ]

converge si et seulement si (|r|<1.) Dans ce cas, il converge vers (dfrac{a}{1−r}). Par conséquent, si (|x|<1), la série de l'exemple (PageIndex{1}) converge vers (dfrac{1}{1−x}) et on écrit

[1+x+x^2+x^3+ldots =dfrac{1}{1−x} pour|x|<1.]

En conséquence, nous sommes en mesure de représenter la fonction (f(x)=dfrac{1}{1−x}) par la série entière

[1+x+x^2+x^3+ldots quand|x|<1.]

Nous montrons maintenant graphiquement comment cette série fournit une représentation de la fonction (f(x)=dfrac{1}{1−x}) en comparant le graphe de (f) avec les graphes de plusieurs des sommes de cette série infinie.

Exemple (PageIndex{2}) : représentation graphique d'une fonction et des sommes partielles de sa série de puissances

Tracez un graphe de (f(x)=dfrac{1}{1−x}) et les graphes des sommes partielles correspondantes ( displaystyle S_N(x)=sum_{n=0}^Nx^ n) pour (N=2,4,6) sur l'intervalle ((−1,1)). Commentez l'approximation (S_N) lorsque (N) augmente.

Solution

D'après le graphique de la figure, vous voyez que lorsque (N) augmente, (S_N) devient une meilleure approximation pour (f(x)=dfrac{1}{1−x}) pour (x ) dans l'intervalle ((−1,1)).

Exercice (PageIndex{2})

Tracez un graphique de (f(x)=dfrac{1}{1−x^2}) et les sommes partielles correspondantes (displaystyle S_N(x)=sum_{n=0}^Nx^{ 2n}) pour (N=2,4,6) sur l'intervalle ((−1,1).)

Indice
(S_N(x)=1+x^2+ldots +x^{2N}=dfrac{1−x^{2(N+1)}}{1−x^2})
Réponse

Ensuite, nous considérons des fonctions impliquant une expression similaire à la somme d'une série géométrique et montrons comment représenter ces fonctions en utilisant des séries entières.

Exemple (PageIndex{3}): Représentation d'une fonction avec une série de puissance

Utilisez une série entière pour représenter chacune des fonctions suivantes (f). Trouvez l'intervalle de convergence.

  1. (f(x)=dfrac{1}{1+x^3})
  2. (f(x)=dfrac{x^2}{4−x^2})

Solution

une. Vous devriez reconnaître cette fonction (f) comme la somme d'une série géométrique, car

[ dfrac{1}{1+x^3}=dfrac{1}{1−(−x^3)}. pas de numéro]

En utilisant le fait que, pour (|r|<1,dfrac{a}{1−r}) est la somme des séries géométriques

[ sum_{n=0}^∞ar^n=a+ar+ar^2+ldots , onumber]

on voit que, pour (|−x^3|<1,)

[ egin{align*} dfrac{1}{1+x^3} =dfrac{1}{1−(−x^3)} [4pt] =sum_{n=0}^ ∞(−x^3)^n [4pt] =1−x^3+x^6−x^9+ldots . end{align*}]

Puisque cette série converge si et seulement si (|−x^3|<1), l'intervalle de convergence est ((−1,1)), et on a

[ dfrac{1}{1+x^3}=1−x^3+x^6−x^9+ldots for|x|<1. onumber]

b. Cette fonction n'est pas sous la forme exacte d'une somme d'une série géométrique. Cependant, avec un peu de manipulation algébrique, on peut relier f à une série géométrique. En factorisant 4 des deux termes au dénominateur, on obtient

[ egin{align*} dfrac{x^2}{4−x^2} =dfrac{x^2}{4(dfrac{1−x^2}{4})}[ 4pt] =dfrac{x^2}{4(1−(dfrac{x}{2})^2)}.end{align*}]

Par conséquent, nous avons

[ egin{align*} dfrac{x^2}{4−x^2} &=dfrac{x^2}{4(1−(dfrac{x}{2})^2)} [4pt]
&= dfrac{dfrac{x^2}{4}}{1−(dfrac{x}{2})^2} [4pt]
&= sum_{n=0}^∞dfrac{x^2}{4}(dfrac{x}{2})^{2n}. end{align*}]

La série converge tant que (|(dfrac{x}{2})^2|<1) (notez que lorsque (|(dfrac{x}{2})^2|=1) la série ne converge pas). En résolvant cette inégalité, nous concluons que l'intervalle de convergence est ((−2,2)) et

[ egin{align*} dfrac{x^2}{4−x^2} &=sum_{n=0}^∞dfrac{x^{2n+2}}{4^{n+ 1}}[4pt]
&=dfrac{x^2}{4}+dfrac{x^4}{4^2}+dfrac{x^6}{4^3}+ ldots end{align*}]

pour (|x|<2.)

Exercice (PageIndex{3})

Représentez la fonction (f(x)=dfrac{x^3}{2−x}) en utilisant une série entière et trouvez l'intervalle de convergence.

Indice

Réécrivez f sous la forme (f(x)=dfrac{g(x)}{1−h(x)}) pour certaines fonctions (g) et (h).

Réponse

(displaystyle sum_{n=0}^∞dfrac{x^{n+3}}{2^{n+1}}) avec intervalle de convergence ((−2,2))

Dans les sections restantes de ce chapitre, nous montrerons comment dériver des représentations de séries entières pour de nombreuses autres fonctions, et comment nous pouvons utiliser ces représentations pour évaluer, différencier et intégrer diverses fonctions.

Concepts clés

  • Pour une série entière centrée en (x=a), l'une des trois propriétés suivantes est vérifiée :
    • je. La série entière ne converge qu'en (x=a). Dans ce cas, on dit que le rayon de convergence est (R=0).
    • ii. La série entière converge pour tous les nombres réels (x). Dans ce cas, on dit que le rayon de convergence est (R=∞).
    • iii. Il existe un nombre réel R tel que la série converge pour (|x−a|R). Dans ce cas, le rayon de convergence est (R.)
  • Si une série entière converge sur un intervalle fini, la série peut ou non converger aux extrémités.
  • Le test de rapport peut souvent être utilisé pour déterminer le rayon de convergence.
  • La série géométrique (displaystyle sum_{n=0}^∞x^n=dfrac{1}{1−x}) pour (|x|<1) permet de représenter certaines fonctions à l'aide de séries.

Équations clés

  • Série de puissances centrée en (x=0)

[ sum_{n=0}^∞c_nx^n=c_0+c_1x+c_2x^2+ldots n onumber]

  • Série de puissances centrée en (x=a)

[ sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n=c_0+c_1(x−a)+c_2(x−a)^2+ldots onumber ]

Glossaire

intervalle de convergence
l'ensemble des nombres réels (x) pour lesquels une série entière converge
série de puissance
une série de la forme (displaystyle sum_{n=0}^∞c_nx^n) est une série entière centrée en (x=0); une série de la forme (displaystyle sum_{n=0}^∞c_n(x−a)^n) est une série entière centrée en (x=a)
rayon de convergence
s'il existe un réel (R>0) tel qu'une série entière centrée en (x=a) converge pour (|x−a|R), alors (R) est le rayon de convergence ; si la série entière ne converge qu'en (x=a), le rayon de convergence est (R=0); si la série entière converge pour tous les nombres réels (x), le rayon de convergence est (R=∞)

Série de puissance

Au-delà de leur rôle dans l'analyse mathématique, les séries entières apparaissent également en combinatoire comme fonctions génératrices (une sorte de séries entières formelles) et en ingénierie électronique (sous le nom de transformée en Z). La notation décimale familière pour les nombres réels peut également être considérée comme un exemple de série entière, avec des coefficients entiers, mais avec l'argument X fixé à 1 10 . En théorie des nombres, le concept de nombres p-adiques est également étroitement lié à celui de série entière.


11.9 Représentations des fonctions en tant que séries de puissance (# 1)

Introduction: Dans cette leçon, nous utiliserons la formule de la somme d'une série géométrique pour trouver des représentations en séries entières d'une variété de fonctions.

Objectifs: Après cette leçon, vous devriez être capable de :

  • Trouvez une série géométrique géométrique qui représente une fonction.
  • Construire une série entière en utilisant des opérations en série.

Remarques sur la vidéo et l'ampli : Remplissez la feuille de notes pour cette leçon (11-9-Representations-of-Functions-by-Power-Series-1) pendant que vous regardez la vidéo. Si vous préférez, vous pouvez lire la section 11.9 de votre manuel et résoudre les problèmes sur les notes par vous-même pour vous entraîner. N'oubliez pas que les notes doivent être téléchargées sur Blackboard chaque semaine pour obtenir une note ! Si, pour une raison quelconque, la vidéo ci-dessous ne se charge pas, vous pouvez y accéder sur YouTube ici.

Devoirs: Accédez à WebAssign et complétez l'affectation 𔄣.9 Représentations des fonctions par Power Series”. Il n'y aura qu'un seul devoir pour les deux parties de cette leçon.


Comment trouver la série entière pour #f(x)=xln(1+2x)# et déterminer son rayon de convergence ?

La série entière est #sum_(n=0)^oo((-1)^n2^(n+1))/(n+1)x^(n+2)# , son rayon de convergence est #R= 1/2# .

Explication:

Commencez par une série de puissance de base :

Intégrez les deux côtés. Dans la série, nous intégrons juste la partie avec #x# .

N'oubliez pas le #1//2# dans l'intégrale. Les barres de valeur absolue ne sont pas nécessaires pour #ln(1+2x)# puisque nous travaillons uniquement dans #x>=0# .

Ajouter une constante d'intégration. Heureusement, laisser #x=0# montre que #C=0# , donc ce n'est pas vraiment un problème.

La prochaine étape pour atteindre la "fonction objectif" de #xln(1+2x)# . Pour ce faire, multipliez les deux côtés par #2x# .

Pour le rayon de convergence de la série #suma_n# , trouvez le rapport #abs(a_(n+1)/a_n)# . Ici, #a_n=((-1)^n2^(n+1))/(n+1)x^(n+2)# .

Trouvez sa limite comme #nrarroo# :

La limite concerne uniquement la façon dont #n# change, donc #abs(2x)# peut être extrait de la limite (nous pouvons également ignorer le #-1# car nous travaillons dans des valeurs absolues) :

Le test de ratio indique que #suma_n# converge lorsque #lim_(nrarroo)abs(a_(n+1)/a_n)<1# . Ainsi, notre intervalle de convergence se produira lorsque :


Trouver une représentation en séries entières pour la fonction $f(x) = frac$ avec le centre de la série en a = 1

Je suis un peu bloqué sur une question de devoirs. Je suis censé:

(a) Trouvez une représentation en séries entières pour la fonction $f(x) = frac<1> $ avec le centre de la série à $a = 1$ en réalisant que $f$ est la somme d'une série géométrique convergente. Ensuite, trouvez l'intervalle de la série et le rayon de convergence en utilisant le fait établi qu'une série géométrique, $ sum_^infty ar^$ , converge lorsque $|r| < 1$ .

(b) Trouver le développement en série de Taylor de $f(x) = frac<1> $ environ $a = 1$ , en veillant à montrer les étapes impliquées dans la recherche des coefficients $c_n = frac$ . Ensuite, en utilisant le test du rapport, trouvez l'intervalle de la série et le rayon de convergence.

Pour l'instant, voici ce que j'ai compris :

(b) J'ai trouvé la série de Taylor pour $f(x) = frac <1>$ environ $a=1$ et s'est retrouvé avec $frac<1> = 1+(-1)+frac<2><2!>(x-1)^2+frac<-6><3!>(x-1)^3+frac<24><4 !>(x-1)^4+. $ $= 1-(x-1)+(x-1)^2-(x-1)^3+(x-1)^4+. $

Je sais que je dois encore comprendre une très grande partie de ces problèmes. Toute aide est grandement appréciée!


Problème de moment

En utilisant la fonction génératrice des moments, nous pouvons maintenant montrer, au moins dans le cas d'une variable aléatoire discrète à portée finie, que sa fonction de distribution est complètement déterminée par ses moments.

Ajoutez le texte des exercices ici. Pour que le nombre automatique fonctionne, vous devez Soit (X) une variable aléatoire discrète avec une plage finie (), fonction de distribution (p) et fonction génératrice de moments (g). Alors (g) est uniquement déterminé par (p), et inversement.

On sait que (p) détermine (g), puisque [g(t) = sum_^n e^ p(x_j) .] Inversement, supposons que (g(t)) soit connu. On souhaite déterminer les valeurs de (x_j) et (p(x_j)), pour (1 le j le n). On suppose, sans perte de généralité, que (p(x_j) > 0) pour (1 le j le n), et que [x_1 < x_2 < ldots < x_n .] On note que (g(t)) est dérivable pour tout (t), puisqu'il s'agit d'une combinaison linéaire finie de fonctions exponentielles. Si on calcule (g'(t)/g(t)), on obtient [

Si nous supprimons l'hypothèse que (X) a une portée finie dans le théorème ci-dessus, alors la conclusion n'est plus nécessairement vraie.


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Extensions de la série Power

  1. Taylor série
    Si une fonction (fleft( x ight)) a des dérivées continues jusqu'à (left( ight))ième ordre inclus, alors cette fonction peut être développée en une série entière autour du point (x = a) par la formule de Taylor :
    (fleft( x ight) =) (sumlimits_^infty <>left( un ight) ight)>^n>>><> ormalsize>> =) ( ight)> ) (+<left( un ight) < ight)>^2>>><<2!>> ormalsize> + ldots> ) (+<>gauche( un droit) < ight)>^n>>><> aille normale> + >,)
    où le terme restant () dans le terme de Lagrange est donnée par l'expression
    ( =
    ight)>>left( xi ight) <droit)>^>>>< ight)!>> ormalsize>,) (a lt xi lt x.)
    Si ce développement converge sur un certain intervalle de (x) centré en (a), c'est-à-dire (limlimits_ = 0,) alors le développement est appelé série de Taylor de la fonction (fleft( x ight)) développée autour du point (a).
  2. Une série de Maclaurin est un cas particulier d'une série de Taylor lorsque le développement en séries entières est effectué au point (a = 0:)
    (fleft( x ight) = sumlimits_^infty <>left( 0 ight)>><>> ormalsize> =) (fleft( 0 ight) + f’left( 0 ight)x ) (+gauche( 0 droit)>><<2!>> ormalsize> + ldots) (+>gauche( 0 droit)>><> aille normale> + .)


10.1 : Séries et fonctions de puissance

Les liens sur le côté droit de cette page sont pour les enregistrements vidéo des conférences PowerPoint données dans les cours AB et BC Calculus. Vous pouvez cliquer soit sur le VIDÉO lien ou le Youtube lien, celui qui vous convient le mieux.

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Les cours avec une désignation N (par exemple, 1,3N) ont été réécrits pour utiliser la calculatrice TI-nspire cx CAS. Les cours sans la désignation N n'ont pas de référence de calculatrice ou ont des instructions pour la calculatrice graphique TI-89.


Exemple 1

Déterminer une fonction $f(x)$ telle que $f(x) = sum_^ nx^$ .

En résolvant des problèmes comme celui-ci, notre objectif est essentiellement d'utiliser toutes les opérations de séries de puissance que nous avons à notre actif pour modifier la série en une série plus reconnaissable que nous pouvons substituer pour trouver $f$ .

Nous notons que puisque nous avons utilisé la dérivée de la série géométrique dans notre substitution, nous avons que $frac <(1 - x)^2>= somme_^ nx^$ pour $mid x mid < 1$ .


Voir la vidéo: Gucci Mane Wants Omari Hardwick Ghost To Play Him In His Biopic Thats In The Making (Décembre 2021).