Des articles

5.4E : Division de polynômes (exercices) - Mathématiques


Pour les exercices suivants, utilisez la division longue pour trouver le quotient et le reste.

19. (frac{x^{3}-2 x^{2}+4 x+4}{x-2})

20. (frac{3 x^{4}-4 x^{2}+4 x+8}{x+1})

Pour les exercices suivants, utilisez la division synthétique pour trouver le quotient. Si le diviseur est un facteur, écrivez la forme factorisée.

21. (frac{x^{3}-2 x^{2}+5 x-1}{x+3})

22. (frac{x^{3}+4 x+10}{x-3})

23. (frac{2 x^{3}+6 x^{2}-11 x-12}{x+4})

24. (frac{3 x^{4}+3 x^{3}+2 x+2}{x+1})


Feuilles de travail sur la division des polynômes

Incorporez cette vaste gamme de pdf de feuilles de calcul sur les polynômes de division comprenant des exercices pour diviser des monômes par des monômes, des polynômes par des monômes et des polynômes par des polynômes utilisant des méthodes telles que la factorisation, la division synthétique, la division longue et la méthode de la boîte. Des exercices au format Word sont inclus pour que les élèves du secondaire appliquent le concept de division polynomiale pour trouver l'aire et le volume. Accédez gratuitement à certaines de ces feuilles de travail !

Apprenez à diviser les monômes avec cet ensemble de feuilles de calcul imprimables. Vous pouvez également appliquer les lois des exposants pour résoudre les problèmes.

Aiguisez vos compétences en divisant des polynômes par des monômes en divisant l'expression polynomiale terme par terme et en divisant chaque terme avec le monôme. Utilisez la règle de l'exposant pour simplifier les termes individuels.

Utilisez cette méthode alternative pour diviser des polynômes en les factorisant. Factorisez les facteurs communs du numérateur et du dénominateur, puis annulez-les pour simplifier les polynômes.

Équipez-vous de la méthode de division synthétique qui s'avère pratique pour diviser un polynôme par un binôme linéaire. Obtenez la racine du facteur donné, divisez le polynôme et déterminez le quotient.

Améliorez vos compétences de division de polynômes en utilisant la division synthétique avec ces feuilles de calcul imprimables ! Disposez les coefficients dans l'ordre approprié et effectuez le processus habituel pour arriver au quotient et au reste non nul.

Configurez la somme de division en organisant les termes dans l'ordre décroissant des exposants et remplacez les termes manquants par des coefficients nuls, divisez jusqu'à ce que vous obteniez zéro comme reste.

Élevez votre pratique avec cet ensemble de feuilles de travail pdf comportant des polynômes qui laissent des restes sur la division. Appliquez la méthode de la division longue et calculez le quotient et le reste des polynômes ici.

Familiarisez les élèves du secondaire avec la méthode de la boîte ou de la grille pour diviser des polynômes. Déterminez facilement le quotient en disposant le diviseur dans la grille, divisez les termes étape par étape et remplissez les grilles en conséquence.

Acquérir une connaissance approfondie de la division de la grille polynomiale du processus avec cet ensemble de ressources de méthodes tabulaires imprimables ! Suivez les étapes, branchez les valeurs apt sur les grilles et trouvez le quotient et le reste des polynômes.

Appliquez le concept de division de polynômes dans ces fiches de travail pdf intéressantes contenant des exercices au format Word. Trouvez l'aire, les longueurs diagonales, les paramètres manquants ou le volume des formes données.


Supposons que l'on vous donne deux polynômes et que nous voulions diviser un polynôme par un autre. Une méthode est la division longue, un processus similaire à la division longue de deux nombres entiers. Je vais utiliser un exemple pour expliquer chaque étape du processus.

Supposons que nous voulions diviser x 2 + 3x + 5 par x + 1. Configurez la division longue comme vous le feriez avec des nombres entiers, avec le premier polynôme (appelé dividende) sous la longue ligne de division, et le polynôme par lequel nous divisons (appelé le diviseur) à gauche :

Assurez-vous d'écrire les termes de gauche à droite du degré le plus élevé au degré le plus bas pour le dividende et le diviseur.

Le long processus de division se déroule comme suit : imaginez que vous ne prenez que le terme de degré le plus élevé du dividende (dans notre exemple, x2) et que vous le divisez par le terme de degré le plus élevé du diviseur (dans notre exemple, x). Le résultat est le premier terme de notre "ient". Dans notre exemple, le résultat sera x. Habituellement, vous devez écrire la réponse au-dessus du terme du même degré que le résultat :

Maintenant, prenez le résultat et multipliez-le par le diviseur entier :

Écrivez ce résultat sous le dividende, en veillant à aligner chaque terme du résultat sous le terme du dividende avec le même degré :

Maintenant, nous devons soustraire notre résultat x 2 + x du dividende. Une façon de le faire sans perdre la trace des signes est d'inverser tous les signes des termes de notre résultat et d'ajouter des termes similaires :

Notez que le premier terme s'annulera toujours (et peut-être que d'autres le seront également). Après avoir écrit ce qui reste, abaissez le prochain terme du dividende que nous n'avons pas encore utilisé :

Maintenant, nous répétons le processus de division longue, en prenant le degré le plus élevé de notre nouveau polynôme (qui est 2x) et en le divisant par le terme de degré le plus élevé du diviseur (encore une fois, x) le résultat est 2. C'est notre deuxième terme de notre quotient, et nous l'écrivons comme suit :

Comme précédemment, multipliez 2 par x + 1 et écrivez le résultat en dessous de 2x + 5 (en alignant les mêmes termes), inversez les signes, puis ajoutez :

Nous nous arrêtons une fois que nous n'avons plus de conditions à abaisser. Le résultat de la dernière étape est le reste. Le quotient est donc x + 2 et notre reste est 3.

Il est typique d'écrire la réponse comme suit :

Divisez les polynômes x 4 + 3x 2 - 5 et x 2 + 4x .

Nous écrivons d'abord sous forme de division longue

Décidez ensuite par quoi nous devons multiplier x 2 pour obtenir x 4 . Puisque x 2 * x 2 = x 4 on peut écrire

Ensuite, nous multiplions x 2 + 7x et x 2 .

Maintenant, soustrayez pour obtenir et abattez le 3x 2 pour obtenir

Nous répétons ce processus jusqu'à ce que le degré du reste soit inférieur au degré du dénominateur.


Utilisation de la division longue pour diviser des polynômes

Nous connaissons l'algorithme de l'arithmétique ordinaire. Nous commençons par diviser en chiffres du dividende qui ont la plus grande valeur de position. Nous divisons, multiplions, soustrayons, incluons le chiffre dans la position de valeur de position suivante et répétons. Par exemple, divisons 178 par 3 en utilisant une division longue.

Une autre façon de voir la solution est comme une somme de parties. Cela devrait vous sembler familier, car c'est la même méthode que celle utilisée pour vérifier la division en arithmétique élémentaire.

Nous appelons cela le Algorithme de division et en discutera plus formellement après avoir examiné un exemple.

La division de polynômes contenant plus d'un terme présente des similitudes avec la division longue de nombres entiers. Nous pouvons écrire un dividende polynomial comme le produit du diviseur et du quotient ajouté au reste. Les termes de la division polynomiale correspondent aux chiffres (et aux valeurs de position) de la division des nombres entiers. Cette méthode nous permet de diviser deux polynômes. Par exemple, si nous devions diviser 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x + 5 2 x 3 − 3 x 2 + 4 x + 5 par x + 2 x + 2 en utilisant l'algorithme de division longue, cela ressemblerait à ceci :

Nous pouvons identifier le , le , le , et le .

L'écriture du résultat de cette manière illustre l'algorithme de division.

Noter: L'algorithme de division :

Les états que, étant donné un dividende polynomial f ( x ) f ( x ) et un diviseur polynomial non nul d ( x ) d ( x ) où le degré de d ( x ) d ( x ) est inférieur ou égal à la degré de f ( x ) , f ( x ) , il existe des polynômes uniques q ( x ) q ( x ) et r ( x ) r ( x ) tels que

q ( ​​x ) q ( x ) est le quotient et r ( x ) r ( x ) est le reste. Le reste est soit égal à zéro, soit de degré strictement inférieur à d(x). d(x).

Si r ( x ) = 0 , r ( x ) = 0 , alors d ( x ) d ( x ) se divise uniformément en f ( x ) . f(x). Cela signifie que, dans ce cas, d ( x ) d ( x ) et q ( x ) q ( x ) sont tous deux des facteurs de f ( x ) . f(x).

Comment:

  1. Mettre en place le problème de division.
  2. Déterminez le premier terme du quotient en divisant le terme dominant du dividende par le terme dominant du diviseur.
  3. Multipliez la réponse par le diviseur et écrivez-la sous les termes similaires du dividende.
  4. Soustrayez le binôme inférieur du binôme supérieur.
  5. Faire baisser le prochain terme du dividende.
  6. Répétez les étapes 2 à 5 jusqu'à atteindre le dernier terme du dividende.
  7. Si le reste n'est pas nul, exprimez-le sous forme de fraction en utilisant le diviseur comme dénominateur.

Exemple 1

Problème 1

Utilisation de la division longue pour diviser un polynôme du deuxième degré

Divisez 5 x 2 + 3 x − 2 5 x 2 + 3 x − 2 par x + 1. x + 1.

Solution

Le quotient est 5 x − 2. 5 x − 2. Le reste est 0. Nous écrivons le résultat sous la forme

Analyse

Ce problème de division avait un reste de 0. Cela nous indique que le dividende est divisé de manière égale par le diviseur et que le diviseur est un facteur du dividende.

Exemple 2

Problème 1

Utilisation de la division longue pour diviser un polynôme du troisième degré

Divisez 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 par 3 x − 2. 3 x − 2.

Solution

Il y a un reste de 1. On peut exprimer le résultat sous la forme :

Analyse

Nous pouvons vérifier notre travail en utilisant l'algorithme de division pour réécrire la solution. Puis multipliez.

Remarquez, au moment où nous écrivons notre résultat,

  • le dividende est 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15 6 x 3 + 11 x 2 − 31 x + 15
  • le diviseur est 3 x − 2 3 x − 2
  • le quotient est 2 x 2 + 5 x − 7 2 x 2 + 5 x − 7
  • le reste est 1 1

Essayez-le :

Exercice 1

Divisez 16 x 3 − 12 x 2 + 20 x − 3 16 x 3 − 12 x 2 + 20 x − 3 par 4 x + 5. 4 x + 5.

Solution

4 x 2 − 8 x + 15 − 78 4 x + 5 4 x 2 − 8 x + 15 − 78 4 x + 5


Guide étape par étape pour multiplier et diviser les monômes

  • Lorsque vous divisez deux monômes, vous devez diviser leurs coefficients, puis diviser leurs variables.
  • Dans le cas d'exposants ayant la même base, vous devez soustraire leurs puissances.
  • Règles de l'exposant :
    (couleur< bleu ><>>) , (couleur< bleu >=x^>)
    ( color< bleu >=x^<-b>>, color< bleu ><(x^a)^b=x^>)
    ( color< bleu ><(xy)^a= x^a× y^a >)

Multiplication et division de monômes – Exemple 1 :

Multipliez les expressions. ((8x^5 )(-2x^4 )=)

Utilisez la propriété de multiplication des exposants : (color<>> →x^5×x^4=x^9)
Alors : ((8x^5 )(-2x^4 )=-16x^9 )

Multiplication et division de monômes – Exemple 2 :

Multiplication et division de monômes – Exemple 3 :

Multipliez les expressions. ((-3x^7 )(4x^3 )=)

Utilisez la propriété de multiplication des exposants : (color<>> →x^7×x^3=x^<10 >)
Alors : ((-3x^7 )(4x^3 )=-12x^<10>)


FEUILLE DE TRAVAIL DE DIVISION DES POLYNMES PAR DIVISION LONGUE

Pour diviser le polynôme donné par x - 2, il faut diviser le premier terme du polynôme P(x) par le premier terme du polynôme g(x).

Si nous divisons  2 x 3 ਋y x, on obtient 2 x 2 . Maintenant, nous devons multiplier ceci  2 x 2 ਋y x - 2. De ceci nous obtenons  2 x 3  - 4 x 2

Maintenant, nous devons soustraire  2 x 3  - 4 x 2 ਍u polynôme donné. On obtient donc -2 x 2  + 5x + 4.

Maintenant, nous devons soustraire  2 x 3  - 4 x 2 ਍u polynôme donné. On obtient donc -2x 2  + 5x + 4.

répétez ce processus jusqu'à ce que nous obtenions le degré de p(x)  ≥ ꃞgree  de g(x).

Faites la division suivante : 

Faites la division suivante : 

Faites la division suivante : 

Écrivons d'abord les termes de chaque polynôme dans l'ordre décroissant (ou ascendant ).

Ainsi, le problème donné devient  (10- 4x + 3x 2 )   ÷  (x - 2)

Dans un premier temps, nous allons diviser le premier terme du dividende par le premier premier terme du diviseur.

Après avoir changé les signes, +3x 2   et -3 x 2   seront annulés. En simplifiant, on obtient 2x + 10.

Dans la deuxième étape, nous allons à nouveau diviser le premier terme qui est 2x par le premier terme du diviseur qui est x.

En dehors des éléments mentionnés ci-dessus, si vous avez besoin d'autres éléments en mathématiques, veuillez utiliser notre recherche personnalisée Google ici.

Si vous avez des commentaires sur notre contenu mathématique, veuillez nous envoyer un e-mail : 

Nous apprécions toujours vos commentaires. 

Vous pouvez également visiter les pages Web suivantes sur différents sujets en mathématiques. 


Les mathématiciens ne sont pas ceux qui trouvent les mathématiques faciles, ce sont ceux qui aiment à quel point c'est mystifiant, déroutant et difficile. Êtes-vous un mathématicien?

Commentaire enregistré sur la page 'Starter of the Day' du 9 octobre par M. Jones, Pays de Galles :

"Je pense qu'avoir une entrée du jour aide à améliorer les mathématiques en général. Mes élèves disent qu'ils les aiment. "

Commentaire enregistré sur la page 'Starter of the Day' du 25 juin par [email protected] et essex.herts.sch.uk, :

"Nous aimons tous vos entrées. C'est tellement bien d'avoir une telle collection. Nous les utilisons pour tous les groupes d'âge et capacités. J'ai particulièrement apprécié le jeu de KIM, car nous ne l'avons jamais utilisé pour les mathématiques auparavant. Continuez votre bon travail et merci beaucoup
Meilleurs voeux d'Inger Kisby"

Chaque mois, une newsletter est publiée contenant des détails sur les nouveaux ajouts au site Web de Transum et un nouveau puzzle du mois.

La newsletter est ensuite dupliquée sous forme de podcast disponible sur les principaux réseaux de diffusion. Vous pouvez écouter le podcast pendant que vous vous déplacez, faites de l'exercice ou vous détendez.

Les dernières nouvelles de Transum sont disponibles sur Twitter @Transum et si cela ne suffit pas, il existe également une page Facebook Transum.

Activité en vedette

Bulletin

La Newsletter Transum de juillet 2021 vient de paraître. Cliquez sur l'image ci-dessus pour découvrir les derniers développements sur ce site et essayer de résoudre le casse-tête du mois. Vous pouvez lire le bulletin en ligne ou l'écouter en téléchargeant le podcast.


Guide étape par étape pour simplifier les polynômes

  • Trouvez les termes « j'aime ». (ils ont les mêmes variables avec la même puissance).
  • Ajoutez ou soustrayez des termes « comme » en utilisant l'ordre d'opération.

Simplification des polynômes – Exemple 1 :

Simplifiez cette expression. (2x(2x-4)=)

Utiliser la propriété distributive : (2x(2x−4)=4x^2−8x)

Simplification des polynômes – Exemple 2 :

Simplifiez cette expression. (4x^2+6x+2x^2-4x-3=)

Trouvez d'abord les termes “like” et combinez-les : (4x^2+2x^2= 6x^2 ), (6x-4x= 2x)
Maintenant, simplifiez : (4x^2+6x+2x^2-4x-3=6x^2+2x-3)

Simplification des polynômes – Exemple 3 :

Simplifiez cette expression. (4x(6x-3)=)

Utiliser la propriété distributive : (4x(6x-3)=24x^2-12x)

Simplification des polynômes – Exemple 4 :

Simplifiez cette expression. (7x^3+2x^4+2x^3-4x^4-8x=)

Trouvez d'abord les termes “like” et combinez-les : (7x^3+2x^3= 10x^3 ), (2x^4-4x^4= -2x^4 )
Maintenant, simplifiez et écrivez sous forme standard : (7x^3+2x^4+2x^3-4x^4-8x=-2x^4+10x^3-8x)


Solutions NCERT pour les mathématiques de classe 10 Chapitre 2 : Polynômes

Nous vous proposons ici un aperçu et les exercices impliqués dans le chapitre 2 des mathématiques de la classe 10. De plus, le chapitre 2 des solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10 comprend les exercices 2.1, 2.2, 2.3 et 2.4. En outre, les étudiants peuvent télécharger les solutions polynomiales NCERT pour les mathématiques de la classe 10 à partir des liens fournis ci-dessous sous forme de tableau :

Exercice 2.1introduction
Exercice 2.2Signification géométrique des zéros d'un polynôme
Exercice 2.3Relation entre les zéros et les coefficients d'un polynôme
Exercice 2.4Algorithme de division pour les polynômes

Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10 Chapitre 2: Polynômes (exercices résolus)

Les étudiants peuvent soit télécharger le CBSE Solutions PDF pour la classe 10 Mathématiques Chapitre 2 à partir du lien ci-dessous ou ajoutez cette page à vos favoris pour afficher les réponses si nécessaire :

Les solutions pour le chapitre 2 de mathématiques de la classe 10 fournies dans cet article incluent les réponses à toutes les questions d'exercice de manière simple et compréhensible. Pour entrer dans les détails, le chapitre 2 des solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10 comprend divers exercices tels que l'exercice 2.1, l'exercice 2.2, l'exercice 2.3 et l'exercice 2.4. Les étudiants peuvent se référer aux solutions PDF pour résoudre leurs devoirs et devoirs à temps. Maîtriser les polynômes Les solutions NCERT aideront certainement les étudiants dans leur préparation aux examens de classe 10.

CBSE Classe 10 Mathématiques Chapitre 2 : Polynômes

L'étude des polynômes est ici la continuation des sujets étudiés en classe 9. Polynôme est une expression composée de variables et de coefficients, qui implique uniquement les opérations d'addition, de soustraction, de multiplication et d'exposants entiers non négatifs.

Les polynômes jouent un rôle important dans la description des phénomènes les plus naturels qui nous entourent. Des équations newtoniennes à la conception de montagnes russes, les polynômes font partie intégrante de presque tout ce que l'on peut exprimer en notions mathématiques.

Un polynôme, en particulier, a un large éventail d'applications. Pour n'en citer que quelques-uns, nous avons les éléments suivants :

  1. Le plus connu Équation newtonienne qui décrit le déplacement d'un objet est un exemple de polynôme. L'équation est la suivante : s = ut + ½at².
  2. Statisticiens utiliser des modèles mathématiques, basés sur des polynômes, pour analyser et interpréter des données et arriver aux conclusions requises. Dans la planification financière, les polynômes sont utilisés pour calculer le taux d'intérêt en fonction du montant principal et du nombre d'années.
  3. Les polynômes sont également utilisés dans Météorologie. De la cartographie des modèles météorologiques au traçage des chemins des objets célestes, les polynômes sont utiles.
  4. Beaucoup carrières d'ingénieur aussi utiliser des polynômes. Les ingénieurs aérospatiaux, mécaniques et électriques sont tenus d'utiliser des polynômes pour la conception dans leurs domaines respectifs. L'aérospatiale peut nécessiter la conception de fusées tandis que le domaine mécanique nécessite la conception de divers moteurs. Les chutes de tension dans les systèmes électriques et électroniques sont également exprimées sous forme de polynômes.
  5. Les polynômes sont également utilisés dans domaines médicaux, pour surveiller l'état des patients, leur consommation et leur état corporel.
  6. Concevoir un montagnes russes et sa trajectoire utilisent également des polynômes.

La signification géométrique des zéros d'un polynôme, la relation entre les zéros et les coefficients d'un polynôme, et l'algorithme de division des polynômes sont quelques-uns des autres sujets principaux traités dans le chapitre Polynômes mathématiques de la classe 10. Dans ce chapitre, vous apprendrez également des énoncés et des problèmes simples sur l'algorithme de division des polynômes à coefficients réels.

Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10 Chapitre 1Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10, chapitre 3 Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 10 (tous les chapitres)

Avantages des solutions NCERT Embibe’s pour les mathématiques de classe 10, chapitre 2

Certains des avantages de suivre Solutions NCERT par Embibe sont donnés ci-dessous :

  1. Ces solutions NCERT sont préparées de manière élaborée et détaillée afin que les étudiants puissent comprendre facilement les sujets.
  2. Avec l'aide des solutions NCERT sur les polynômes, les étudiants peuvent facilement en apprendre davantage sur les zéros et les coefficients d'un polynôme et l'algorithme de division des polynômes.
  3. Nos experts universitaires ont préparé toutes les solutions NCERT conformément au dernier programme révisé de la CBSE et aux directives NCERT.
  4. Les étudiants peuvent utiliser ces solutions NCERT à des fins de révision avant l'examen ou le test.
  5. Les solutions NCERT d'Embibe vous aideront non seulement à vous préparer aux examens du conseil d'administration, mais également aux concours et aux olympiades.
  6. Les solutions Embibe’s NCERT pour tous les sujets peuvent être consultées et téléchargées gratuitement.

FAQ sur les solutions NCERT pour les mathématiques de classe 10, chapitre 2

Certaines des questions fréquemment posées sont données ci-dessous :

A. Le degré du polynôme donné est 5.

A. La valeur de ‘a’ est 0 et ‘b’ est -6.

A. Le produit des deux autres zéros est (b – a + 1).

Pratiquez les questions de mathématiques de la classe 10 avec Embibe

Dans cet article, nous vous avons fourni toutes les informations nécessaires concernant les solutions NCERT pour les mathématiques de classe 10, chapitre 2 – Polynômes. Pour mieux tester votre maîtrise des polynômes, vous pouvez prendre un Test de simulation polynomial sur Embibe. À l'aide de questions pratiques et de tests simulés sur les polynômes, les étudiants peuvent facilement obtenir de bonnes notes dans ce chapitre.

En plus des solutions NCERT, Embibe propose diverses autres ressources pour les étudiants de la classe 10. Chez Embibe, vous pouvez résoudre Questions pratiques de classe 10 CBSE ou prendre Tests simulés de classe 10 gratuitement. Tirez le meilleur parti des solutions, des exemples de questions et des tests simulés fournis par Embibe et améliorez vos scores.

Nous espérons que cet article détaillé sur les solutions NCERT pour les mathématiques de classe 10, chapitre 2 –, les polynômes vous aidera.

Si vous avez des questions concernant cet article sur les polynômes, laissez vos questions dans la section commentaires ci-dessous et nous vous répondrons dans les plus brefs délais.


Polynômes – Exercice 8.2 – Classe X

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 2 + 4x + 4 par x + 2.

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

(ii)p(x) = x 2 – 9x + 9, g(x) = x – 3

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 2 – 9x + 9 par x – 3 .

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

(iii) p(x) = x 3 + 4x 2 -5x + 6, g(x) = x + 1

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 3 + 4x 2 -5x + 6 par x + 1.

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

Ici, p(x) = x 3 + 4x 2 – 5x + 6

= x 3 + 3x 2 – 8x + x 2 + 3x – 8 + 14

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

(iv) p(x) = x 4 – 3x 2 – 4, g(x) = x + 2

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 4 – 3x 2 – 4 par x + 2.

Quotient, q(x) = (x 3 – 2x 2 + x – 2)

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = [(x + 2) * (x 3 – 2x 2 + x – 2)] + 0

= [x 4 – 2x 3 + x 2 – 2x + 2x 3 – 4x 2 + 2x – 4 ] + 0

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

(v) p(x) = x 3 – 1, g(x) = x – 1

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 3 – 1 par x – 1.

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= [x 3 + x 2 + x – x 2 – x – 1 ] + 0

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

(vi) p(x) = x 4 – 4x 2 + 12x + 9, g(x) = x 2 + 2x – 3

Étant donné que nous devons diviser p(x) par g(x), c'est-à-dire que nous devons diviser x 4 – 4x 2 + 12x + 9 par x 2 + 2x – 3.

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

Ici, p(x) = x 4 – 4x 2 + 12x + 9

p(x) = [(x 2 – 2x + 3) * (x 2 + 2x – 3)] + 18

= [x 4 +2x 3 – 3x 2 – 2x 3 – 4x 2 + 6x + 3x 2 + 6x – 9 ] + 18

L'algorithme de division ⸫ est vérifié.

  1. Trouver le diviseur g(x) , lorsque le polynôme p(x) = 4x 3 + 2x 2 – 10x +2 est divisé par g(x) et le quotient et le reste obtenu sont (2x 2 +4x + 1) et 5 respectivement.

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= (4x^3 + 2x^2 – 10x +2) – (5) /2x^2 +4x + 1

= 4x^3 + 2x^2 – 10x +2 – 5 /2x^2 +4x + 1

= 4x^3 + 2x^2 – 10x – 3 /2x^2 +4x + 1

  1. En divisant le polynôme p(x) = x 3 – 3x 2 + x + 2 par un polynôme g(x), le quotient et le reste étaient respectivement (x – 2) et (-2x + 4). Trouver g(x)

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

  1. Un polynôme p(x) id divisé par g(x), le quotient obtenu q(x) et le reste sont donnés dans le tableau. Trouvez le p(x) dans chaque cas.

(i) Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

= x 3 – x 2 + x – 2x 2 + 2x – 2 + 4

(ii) Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = [(x + 3)*(2x 2 + x + 5)] + (3x + 1)

= 2x 3 + x 2 + 5x + 6x 2 + 3x + 15 + 3x + 1

(iii) Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (2x + 1)(x 3 + 3x 2 – x + 1) + 0

= 2x 4 + 6x 3 – 2x 2 + 2x + x 3 + 3x 2 – x + 1

(iv) Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (x 3 – x 2 – x – 1)*(x – 1) + (2x – 4)

= x 4 – x 3 – x 2 – x – x 3 + x 2 + x + 1 + 2x – 4

(v) Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

p(x) = (x 2 + 2x + 1)( x 4 – 2x 2 + 5x – 7) + 4x + 12

= x 6 – 2x 4 + 5x 3 – 7x 2 +2x 5 – 4x 3 + 10x 2 – 14x + x 4 – 2x 2 + 5x – 7 + 4x + 12

p(x) = x 6 + 2x 5 – x 4 + x 3 + x 2 – 5x + 5

  1. Trouvez le quotient et le reste en divisant p(x) par g(x) dans chacun des cas suivants, sans division réelle

(i) p(x) = x 2 + 7x + 10 g(x) = x – 2

⸫degré de quotient q(x) = 2 – 1 = 1 et degré de reste r(x) est 0.

Soit q(x) = ax + b (polynôme de degré 1) et reste, r(x) = k

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

x 2 + 7x + 10 = (x – 2)*(ax + b) + k

x 2 + 7x + 10 = ax 2 + bx – 2ax – 2b + k

x 2 + 7x + 10 = axe 2 + x (b – 2a) – 2b + k

Comparons les coefficients de x 2 , x et k pour obtenir les valeurs de a, b et k

⸫ a = 1 coefficients de x 2 des deux côtés

⸫ b – 2a = 7 coefficients de x des deux côtés

⸫ 10 = -2b + k constantes des deux côtés

Nous devons résoudre ces équations pour obtenir la valeur de a, b et k

k = 10 + 2b = 10 + 9ࡨ = 10 + 18 = 28

Par conséquent, quotient = x + 9 et reste 28.

(ii) p(x) = x 3 +4x 2 – 6x + 2 g(x) = x – 3

⸫degré de quotient q(x) = 3 – 1 = 2 et degré de reste r(x) est 0.

Soit q(x) = ax 2 + bx + c (polynôme de degré 1) et reste, r(x) = k

Par algorithme de division pour les polynômes, p(x) = [g(x) * q(x)] + r(x)

x 3 +4x 2 – 6x + 2= (x – 3)*(ax 2 + bx + c) + k

x 3 +4x 2 – 6x + 2 = ax 3 + bx 2 + cx – 3ax 2 – 3bx – 3c + k

x 3 +4x 2 – 6x + 2 = ax 3 +x 2 (b – 3a)+x (c – 3b) – 3c + k

Comparons les coefficients de x 3 , x 2 , x et k pour obtenir les valeurs de a, b, c et k

⸫ a = 1 coefficients de x 3 des deux côtés

⸫ b – 3a = 4 coefficients de x 2 des deux côtés

⸫ -6 = c – 3b coefficients de x des deux côtés

⸫ 2 = -3c + k constantes des deux côtés

Résoudre ces équations pour obtenir la valeur de a, b et k

k = 2 + 3c = 2 + 3吋 = 2 + 45 = 47

Puisque q(x) = ax 2 + bx + c = x 2 + 7x + 15

Par conséquent, quotient = x 2 + 7x + 15 et reste 47.

  1. Que faut-il soustraire de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) pour que le polynôme résultant soit exactement divisible par (x 2 + 3x – 2) ?

Pour trouver ce qu'il faut soustraire de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) pour que le polynôme résultant soit exactement divisible par (x 2 + 3x – 2), il faut diviser x 3 + 5x 2 + 5x + 8 par x 2 + 3x – 2

En divisant x 3 + 5x 2 + 5x + 8 par x 2 + 3x – 2, on obtient le quotient q(x) = (x +2) et le reste r(x) = (-x + 8).

Par conséquent, nous devons soustraire (-x + 8) de (x 3 + 5x 2 + 5x + 8) pour que le polynôme résultant soit exactement divisible par (x 2 + 3x – 2).

Pour trouver ce qui doit être ajouté à (x 4 – 1) pour qu'il soit exactement divisible par (x 2 + 2x + 1), nous devons diviser x 4 – 1 de x 2 + 2x + 1

En divisant x 4 – 1 par x 2 + 2x + 1, nous obtenons le quotient q(x) = (x 2 – 2x + 3) et le reste r(x) = (-4x – 4).

Par conséquent, nous devons ajouter (4x + 4) à partir de (x 4 – 1) pour que le polynôme résultant soit exactement divisible par (x 2 + 2x + 1).