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4.3 : Simplifier les exposants rationnels


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifiez les expressions avec (a^{frac{1}{n}})
  • Simplifiez les expressions avec (a^{frac{m}{n}})
  • Utiliser les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Avant de commencer, répondez à ce quiz de préparation.

  1. Ajoutez : (frac{7}{15}+frac{5}{12}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 1.28.
  2. Simplifiez : ((4x^{2}y^{5})^{3}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 5.18.
  3. Simplifiez : (5^{−3}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 5.14.

Simplifiez les expressions avec (a^{frac{1}{n}})

Les exposants rationnels sont une autre façon d'écrire des expressions avec des radicaux. Lorsque nous utilisons des exposants rationnels, nous pouvons appliquer les propriétés des exposants pour simplifier les expressions.

La propriété de puissance pour les exposants dit que (left(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n}) lorsque (m) et (n) sont des nombres entiers . Supposons que nous ne soyons plus limités aux nombres entiers.

Supposons que nous voulions trouver un nombre (p) tel que (left(8^{p} ight)^{3}=8). Nous utiliserons la propriété de puissance des exposants pour trouver la valeur de (p).

(gauche(8^{p}droite)^{3}=8)

Multipliez les exposants à gauche.

(8^{3p}=8)

Écrivez l'exposant (1) à droite.

(8^{3p}=8^{1})

Puisque les bases sont les mêmes, les exposants doivent être égaux.

(3p=1)

Résoudre pour (p).

(p=frac{1}{3})

Donc (left(8^{frac{1}{3}} ight)^{3}=8). Mais nous savons aussi ((sqrt[3]{8})^{3}=8). Alors ça doit être que (8^{frac{1}{3}}=sqrt[3]{8}).

Cette même logique peut être utilisée pour tout exposant entier positif (n) pour montrer que (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}).

Définition (PageIndex{1}): Exposant rationnel (a^{frac{1}{n}})

Si (sqrt[n]{a}) est un nombre réel et (n geq 2), alors

(a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a})

Le dénominateur de l'exposant rationnel est l'indice du radical.

Il y aura des moments où travailler avec des expressions sera plus facile si vous utilisez des exposants rationnels et des moments où ce sera plus facile si vous utilisez des radicaux. Dans les premiers exemples, vous vous entraînerez à convertir des expressions entre ces deux notations.

Exemple (PageIndex{1})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (x^{frac{1}{2}})
  2. (y^{frac{1}{3}})
  3. (z^{frac{1}{4}})

Solution:

Nous voulons écrire chaque expression sous la forme (sqrt[n]{a}).

une.

(x^{frac{1}{2}})

Le dénominateur de l'exposant rationnel est (2), donc l'indice du radical est (2). Nous n'affichons pas l'index lorsqu'il est (2).

(sqrt{x})

b.

(y^{frac{1}{3}})

Le dénominateur de l'exposant est (3), donc l'indice est (3).

(sqrt[3]{y})

c.

(z^{frac{1}{4}})

Le dénominateur de l'exposant est (4), donc l'indice est (4).

(sqrt[4]{z})

Exercice (PageIndex{1})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (t^{frac{1}{2}})
  2. (m^{frac{1}{3}})
  3. (r^{frac{1}{4}})
Réponse
  1. (sqrt{t})
  2. (sqrt[3]{m})
  3. (sqrt[4]{r})

Exercice (PageIndex{2})

Écrivez comme expression radicale :

  1. (b^{frac{1}{6}})
  2. (z^{frac{1}{5}})
  3. (p^{frac{1}{4}})
Réponse
  1. (sqrt[6]{b})
  2. (sqrt[5]{z})
  3. (sqrt[4]{p})

Dans l'exemple suivant, nous écrirons chaque radical en utilisant un exposant rationnel. Il est important d'utiliser des parenthèses autour de l'expression entière dans le radicande puisque l'expression entière est élevée à la puissance rationnelle.

Exemple (PageIndex{2})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{5y})
  2. (sqrt[3]{4 x})
  3. (3 sqrt[4]{5 z})

Solution:

On veut écrire chaque radical sous la forme (a^{frac{1}{n}})

une.

(sqrt{5y})

Aucun index n'est affiché, il s'agit donc de (2).

Le dénominateur de l'exposant sera (2).

Mettez des parenthèses autour de l'expression entière (5y).

((5 ans)^{frac{1}{2}})

b.

(sqrt[3]{4 x})

L'indice est (3), donc le dénominateur de l'exposant est (3). Incluez des parenthèses ((4x)).

((4x)^{frac{1}{3}})

c.

(3 sqrt[4]{5 z})

L'indice est (4), donc le dénominateur de l'exposant est (4). Mettez des parenthèses uniquement autour du (5z) puisque 3 n'est pas sous le signe radical.

(3(5z)^{frac{1}{4}})

Exercice (PageIndex{3})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{10m})
  2. (sqrt[5]{3 n})
  3. (3 sqrt[4]{6 y})
Réponse
  1. ((10 m)^{frac{1}{2}})
  2. ((3 n)^{frac{1}{5}})
  3. (3(6 ans)^{frac{1}{4}})

Exercice (PageIndex{4})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt[7]{3 k})
  2. (sqrt[4]{5 j})
  3. (8 sqrt[3]{2 a})
Réponse
  1. ((3 k)^{frac{1}{7}})
  2. ((5j)^{frac{1}{4}})
  3. (8(2a)^{frac{1}{3}})

Dans l'exemple suivant, vous trouverez peut-être plus facile de simplifier les expressions si vous les réécrivez d'abord sous forme de radicaux.

Exemple (PageIndex{3})

Simplifier:

  1. (25^{frac{1}{2}})
  2. (64^{frac{1}{3}})
  3. (256^{frac{1}{4}})

Solution:

une.

(25^{frac{1}{2}})

Réécrivez en racine carrée.

(sqrt{25})

Simplifier.

(5)

b.

(64^{frac{1}{3}})

Réécrivez en tant que racine cubique.

(sqrt[3]{64})

Reconnaître que (64) est un cube parfait.

(sqrt[3]{4^{3}})

Simplifier.

(4)

c.

(256^{frac{1}{4}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(sqrt[4]{256})

Reconnaître (256) est une quatrième puissance parfaite.

(sqrt[4]{4^{4}})

Simplifier.

(4)

Exercice (PageIndex{5})

Simplifier:

  1. (36^{frac{1}{2}})
  2. (8^{frac{1}{3}})
  3. (16^{frac{1}{4}})
Réponse
  1. (6)
  2. (2)
  3. (2)

Exercice (PageIndex{6})

Simplifier:

  1. (100^{frac{1}{2}})
  2. (27^{frac{1}{3}})
  3. (81^{frac{1}{4}})
Réponse
  1. (10)
  2. (3)
  3. (3)

Faites attention au placement des signes négatifs dans l'exemple suivant. Nous devrons utiliser la propriété (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}) dans un cas.

Exemple (PageIndex{4})

Simplifier:

  1. ((-16)^{frac{1}{4}})
  2. (-16^{frac{1}{4}})
  3. ((16)^{-frac{1}{4}})

Solution:

une.

((-16)^{frac{1}{4}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(sqrt[4]{-16})

(sqrt[4]{(-2)^{4}})

Simplifier.

Pas de vraie solution

b.

(-16^{frac{1}{4}})

L'exposant ne s'applique qu'à (16). Réécrivez comme une quatrième racine.

(-sqrt[4]{16})

Réécrivez (16) comme (2^{4})

(-sqrt[4]{2^{4}})

Simplifier.

(-2)

c.

((16)^{-frac{1}{4}})

Réécrivez en utilisant la propriété (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}).

(frac{1}{(16)^{frac{1}{4}}})

Réécrivez comme une quatrième racine.

(frac{1}{sqrt[4]{16}})

Réécrivez (16) comme (2^{4}).

(frac{1}{sqrt[4]{2^{4}}})

Simplifier.

(frac{1}{2})

Exercice (PageIndex{7})

Simplifier:

  1. ((-64)^{-frac{1}{2}})
  2. (-64^{frac{1}{2}})
  3. ((64)^{-frac{1}{2}})
Réponse
  1. Pas de vraie solution
  2. (-8)
  3. (frac{1}{8})

Exercice (PageIndex{8})

Simplifier:

  1. ((-256)^{frac{1}{4}})
  2. (-256^{frac{1}{4}})
  3. ((256)^{-frac{1}{4}})
Réponse
  1. Pas de vraie solution
  2. (-4)
  3. (frac{1}{4})

Simplifiez les expressions avec (a^{frac{m}{n}})

Nous pouvons considérer (a^{frac{m}{n}}) de deux manières. Rappelez-vous que la propriété Power nous dit de multiplier les exposants et donc (left(a^{frac{1}{n}} ight)^{m}) et (left(a^{m} à droite)^{frac{1}{n}}) les deux sont égaux à (a^{frac{m}{n}}). Si nous écrivons ces expressions sous forme radicale, nous obtenons

(a^{frac{m}{n}}=left(a^{frac{1}{n}} ight)^{m}=(sqrt[n]{a})^{ m} quad ext { et } quad a^{frac{m}{n}}=left(a^{m} ight)^{^{frac{1}{n}}}= sqrt[n]{a^{m}})

Cela nous amène à la définition suivante.

Définition (PageIndex{2}): Exposant rationnel (a^{frac{m}{n}})

Pour tout entier positif (m) et (n),

(a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m} quad ext { et } quad a^{frac{m}{n}} =sqrt[n]{a^{m}})

Quelle forme utilise-t-on pour simplifier une expression ? Nous prenons généralement la racine en premier—de cette façon, nous maintenons les nombres dans le radical plus petits, avant de l'élever à la puissance indiquée.

Exemple (PageIndex{5})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{y^{3}})
  2. ((sqrt[3]{2 x})^{4})
  3. (sqrt{left(frac{3 a}{4 b} ight)^{3}})

Solution:

Nous voulons utiliser (a^{frac{m}{n}}=sqrt[n]{a^{m}}) pour écrire chaque radical sous la forme (a^{frac{m} {n}})

une.

b.

c.

Exercice (PageIndex{9})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt{x^{5}})
  2. ((sqrt[4]{3 ans})^{3})
  3. (sqrt{left(frac{2 m}{3 n} ight)^{5}})
Réponse
  1. (x^{frac{5}{2}})
  2. ((3 ans)^{frac{3}{4}})
  3. (gauche(frac{2 m}{3 n}droite)^{frac{5}{2}})

Exercice (PageIndex{10})

Écrivez avec un exposant rationnel :

  1. (sqrt[5]{a^{2}})
  2. ((sqrt[3]{5 a b})^{5})
  3. (sqrt{left(frac{7 x y}{z} ight)^{3}})
Réponse
  1. (a^{frac{2}{5}})
  2. ((5 a b)^{frac{5}{3}})
  3. (gauche(frac{7 x y}{z}droit)^{frac{3}{2}})

Souvenez-vous que (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}). Le signe négatif dans l'exposant ne change pas le signe de l'expression.

Exemple (PageIndex{6})

Simplifier:

  1. (125^{frac{2}{3}})
  2. (16^{-frac{3}{2}})
  3. (32^{-frac{2}{5}})

Solution:

Nous allons d'abord réécrire l'expression comme un radical en utilisant la définition, (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m}). Cette forme nous permet de prendre d'abord la racine et nous gardons donc les nombres dans le radical plus petits que si nous utilisions l'autre forme.

une.

(125^{frac{2}{3}})

La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, (2). L'indice du radical est le dénominateur de l'exposant, (3).

((sqrt[3]{125})^{2})

Simplifier.

((5)^{2})

(25)

b. Nous allons d'abord réécrire chaque expression en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}), puis passer à la forme radicale.

(16^{-frac{3}{2}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}})

(frac{1}{16^{frac{3}{2}}})

Passage à la forme radicale. La puissance du radical est le numérateur de l'exposant, (3). L'indice est le dénominateur de l'exposant, (2).

(frac{1}{(sqrt{16})^{3}})

Simplifier.

(frac{1}{4^{3}})

(frac{1}{64})

c.

(32^{-frac{2}{5}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}})

(frac{1}{32^{frac{2}{5}}})

Passage à la forme radicale.

(frac{1}{(sqrt[5]{32})^{2}})

Réécrivez le radicande comme une puissance.

(frac{1}{left(sqrt[5]{2^{5}} ight)^{2}})

Simplifier.

(frac{1}{2^{2}})

(frac{1}{4})

Exercice (PageIndex{11})

Simplifier:

  1. (27^{frac{2}{3}})
  2. (81^{-frac{3}{2}})
  3. (16^{-frac{3}{4}})
Réponse
  1. (9)
  2. (frac{1}{729})
  3. (frac{1}{8})

Exercice (PageIndex{12})

Simplifier:

  1. (4^{frac{3}{2}})
  2. (27^{-frac{2}{3}})
  3. (625^{-frac{3}{4}})
Réponse
  1. (8)
  2. (frac{1}{9})
  3. (frac{1}{125})

Exemple (PageIndex{7})

Simplifier:

  1. (-25^{frac{3}{2}})
  2. (-25^{-frac{3}{2}})
  3. ((-25)^{frac{3}{2}})

Solution:

une.

(-25^{frac{3}{2}})

Réécrire sous forme radicale.

(-(sqrt{25})^{3})

Simplifier le radical.

(-(5)^{3})

Simplifier.

(-125)

b.

(-25^{-frac{3}{2}})

Réécrivez en utilisant (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}).

(-gauche(frac{1}{25^{frac{3}{2}}}droit))

Réécrire sous forme radicale.

(-left(frac{1}{(sqrt{25})^{3}} ight))

Simplifier le radical.

(-gauche(frac{1}{(5)^{3}}droite))

Simplifier.

(-frac{1}{125})

c.

((-25)^{frac{3}{2}})

Réécrire sous forme radicale.

((sqrt{-25})^{3})

Il n'y a pas de nombre réel dont la racine carrée est (-25).

Pas un vrai numéro.

Exercice (PageIndex{13})

Simplifier:

  1. (-16^{frac{3}{2}})
  2. (-16^{-frac{3}{2}})
  3. ((-16)^{-frac{3}{2}})
Réponse
  1. (-64)
  2. (-frac{1}{64})
  3. Pas un vrai numéro

Exercice (PageIndex{14})

Simplifier:

  1. (-81^{frac{3}{2}})
  2. (-81^{-frac{3}{2}})
  3. ((-81)^{-frac{3}{2}})
Réponse
  1. (-729)
  2. (-frac{1}{729})
  3. Pas un vrai numéro

Utiliser les propriétés des exposants pour simplifier les expressions avec des exposants rationnels

Les mêmes propriétés des exposants que nous avons déjà utilisées s'appliquent également aux exposants rationnels. Nous allons lister les propriétés des exposants ici pour les avoir comme référence lorsque nous simplifions les expressions.

Propriétés des exposants

Si (a) et (b) sont des nombres réels et (m) et (n) sont des nombres rationnels, alors

Propriété du produit

(a^{m} cdot a^{n}=a^{m+n})

Propriété de puissance

(gauche(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n})

Produit à une puissance

((a b)^{m}=a^{m} b^{m})

Propriété de quotient

(frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, un eq 0)

Définition de l'exposant zéro

(a^{0}=1, un eq 0)

Quotient à une propriété de puissance

(gauche(frac{a}{b} ight)^{m}=frac{a^{m}}{b^{m}}, b eq 0)

Propriété d'exposant négatif

(a^{-n}=frac{1}{a^{n}}, un eq 0)

Nous appliquerons ces propriétés dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{8})

Simplifier:

  1. (x^{frac{1}{2}} cdot x^{frac{5}{6}})
  2. (gauche(z^{9}droite)^{frac{2}{3}})
  3. (frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})

Solution

une. La propriété du produit nous dit que lorsque nous multiplions la même base, nous ajoutons les exposants.

(x^{frac{1}{2}} cdot x^{frac{5}{6}})

Les bases sont les mêmes, donc nous ajoutons les exposants.

(x^{frac{1}{2}+frac{5}{6}})

Ajoutez les fractions.

(x^{frac{8}{6}})

Simplifier l'exposant.

(x^{frac{4}{3}})

b. La propriété Power nous dit que lorsque nous élevons une puissance à une puissance, nous multiplions les exposants.

(gauche(z^{9}droite)^{frac{2}{3}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(z^{9 cdot frac{2}{3}})

Simplifier.

(z^{6})

c. La propriété du quotient nous dit que lorsque nous divisons avec la même base, nous soustrayons les exposants.

(frac{x^{frac{1}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})

Pour diviser avec la même base, on soustrait les exposants.

(frac{1}{x^{frac{5}{3}-frac{1}{3}}})

Simplifier.

(frac{1}{x^{frac{4}{3}}})

Exercice (PageIndex{15})

Simplifier:

  1. (x^{frac{1}{6}} cdot x^{frac{4}{3}})
  2. (gauche(x^{6}droite)^{frac{4}{3}})
  3. (frac{x^{frac{2}{3}}}{x^{frac{5}{3}}})
Réponse
  1. (x^{frac{3}{2}})
  2. (x^{8})
  3. (frac{1}{x})

Exercice (PageIndex{16})

Simplifier:

  1. (y^{frac{3}{4}} cdot y^{frac{5}{8}})
  2. (gauche(m^{9}droite)^{frac{2}{9}})
  3. (frac{d^{frac{1}{5}}}{d^{frac{6}{5}}})
Réponse
  1. (y^{frac{11}{8}})
  2. (m^{2})
  3. (frac{1}{d})

Parfois, nous devons utiliser plusieurs propriétés. Dans l'exemple suivant, nous utiliserons à la fois le Produit à une propriété de puissance et puis le Propriété de puissance.

Exemple (PageIndex{9})

Simplifier:

  1. (left(27 u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})
  2. (gauche(m^{frac{2}{3}} n^{frac{1}{2}}droit)^{frac{3}{2}})

Solution:

une.

(left(27 u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})

Tout d'abord, nous utilisons le produit pour une propriété de puissance.

((27)^{frac{2}{3}}gauche(u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{3}})

Réécrivez (27) comme une puissance de (3).

(left(3^{3} ight)^{frac{2}{3}}left(u^{frac{1}{2}} ight)^{frac{2}{ 3}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(left(3^{2} ight)left(u^{frac{1}{3}} ight))

Simplifier.

(9 u^{frac{1}{3}})

b.

(gauche(m^{frac{2}{3}} n^{frac{1}{2}}droit)^{frac{3}{2}})

Tout d'abord, nous utilisons le produit pour une propriété de puissance.

(left(m^{frac{2}{3}} ight)^{frac{3}{2}}left(n^{frac{1}{2}} ight)^ {frac{3}{2}})

Pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants.

(m n^{frac{3}{4}})

Exercice (PageIndex{17})

Simplifier:

  1. (gauche(32 x^{frac{1}{3}}droite)^{frac{3}{5}})
  2. (gauche(x^{frac{3}{4}} y^{frac{1}{2}}droit)^{frac{2}{3}})
Réponse
  1. (8 x^{frac{1}{5}})
  2. (x^{frac{1}{2}} y^{frac{1}{3}})

Exercice (PageIndex{18})

Simplifier:

  1. (left(81 n^{frac{2}{5}} ight)^{frac{3}{2}})
  2. (gauche(a^{frac{3}{2}} b^{frac{1}{2}}droite)^{frac{4}{3}})
Réponse
  1. (729 n^{frac{3}{5}})
  2. (a^{2} b^{frac{2}{3}})

Nous utiliserons à la fois le Propriété du produit et le Propriété de quotient dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{10})

Simplifier:

  1. (frac{x^{frac{3}{4}} cdot x^{-frac{1}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})
  2. (gauche(frac{16 x^{frac{4}{3}} y^{-frac{5}{6}}}{x^{-frac{2}{3}} y ^{frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})

Solution:

une.

(frac{x^{frac{3}{4}} cdot x^{-frac{1}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})

Utilisez la propriété du produit dans le numérateur, ajoutez les exposants.

(frac{x^{frac{2}{4}}}{x^{-frac{6}{4}}})

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

(x^{frac{8}{4}})

Simplifier.

(x^{2})

b.

(gauche(frac{16 x^{frac{4}{3}} y^{-frac{5}{6}}}{x^{-frac{2}{3}} y ^{frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})

Utilisez la propriété Quotient, soustrayez les exposants.

(gauche(frac{16 x^{frac{6}{3}}}{y^{frac{6}{6}}}droite)^{frac{1}{2}} )

Simplifier.

(gauche(frac{16 x^{2}}{y}droite)^{frac{1}{2}})

Utilisez le produit pour une propriété de puissance, multipliez les exposants.

(frac{4 x}{y^{frac{1}{2}}})

Exercice (PageIndex{19})

Simplifier:

  1. (frac{m^{frac{2}{3}} cdot m^{-frac{1}{3}}}{m^{-frac{5}{3}}})
  2. (gauche(frac{25 m^{frac{1}{6}} n^{frac{11}{6}}}{m^{frac{2}{3}} n^{ -frac{1}{6}}} ight)^{frac{1}{2}})
Réponse
  1. (m^{2})
  2. (frac{5 n}{m^{frac{1}{4}}})

Exercice (PageIndex{20})

Simplifier:

  1. (frac{u^{frac{4}{5}} cdot u^{-frac{2}{5}}}{u^{-frac{13}{5}}})
  2. (gauche(frac{27 x^{frac{4}{5}} y^{frac{1}{6}}}{x^{frac{1}{5}} y^{ -frac{5}{6}}} ight)^{frac{1}{3}})
Réponse
  1. (u^{3})
  2. (3 x^{frac{1}{5}} y^{frac{1}{3}})

Accédez à ces ressources en ligne pour des instructions et des exercices supplémentaires avec des exposants rationnels simplifiants.

  • Examen-Exposants rationnels
  • Utilisation des lois des exposants sur les radicaux : propriétés des exposants rationnels

Concepts clés

  • Exposant rationnel (a^{frac{1}{n}})
    • Si (sqrt[n]{a}) est un nombre réel et (n≥2), alors (a^{frac{1}{n}}=sqrt[n]{a} ).
  • Exposant rationnel (a^{frac{m}{n}})
    • Pour tout entier positif (m) et (n),
      (a^{frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^{m} ext { et } a^{frac{m}{n}}=sqrt[ n]{a^{m}})
  • Propriétés des exposants
    • Si (a, b) sont des nombres réels et (m, n) sont des nombres rationnels, alors
      • Propriété du produit (a^{m} cdot a^{n}=a^{m+n})
      • Propriété de puissance (gauche(a^{m} ight)^{n}=a^{m cdot n})
      • Produit à une puissance ((a b)^{m}=a^{m} b^{m})
      • Propriété de quotient (frac{a^{m}}{a^{n}}=a^{m-n}, un eq 0)
      • Définition de l'exposant zéro (a^{0}=1, un eq 0)
      • Quotient à une propriété de puissance (gauche(frac{a}{b} ight)^{m}=frac{a^{m}}{b^{m}}, b eq 0)
      • Propriété d'exposant négatif (a^{-n}=frac{1}{a^{n}}, un eq 0)

Simplifier les polynômes

Dans la section 3 du chapitre 1, il y a plusieurs définitions très importantes, que nous avons utilisées à plusieurs reprises. Puisque ces définitions prennent une importance nouvelle dans ce chapitre, nous allons les répéter.

Lorsqu'une expression algébrique est composée de parties reliées par des signes + ou -, ces parties, avec leurs signes, sont appelées les termes de l'expression.

a + b a deux termes.
2x + 5y - 3 a trois termes.

Dans a + b les termes sont a et b. Dans 2x + 5y - 3, les termes sont 2x, 5y et -3.

Lorsqu'une expression algébrique est composée de parties à multiplier, ces parties sont appelées les les facteurs de l'expression.

Il est très important de pouvoir distinguer les termes et les facteurs. Les règles qui s'appliquent aux conditions ne s'appliqueront généralement pas aux facteurs. Lorsqu'on nomme des termes ou des facteurs, il est nécessaire de considérer l'expression entière.

A partir de maintenant à travers toute l'algèbre, vous utiliserez les mots terme et facteur. Assurez-vous de bien comprendre les définitions.

Une exposant est un chiffre utilisé pour indiquer combien de fois un facteur doit être utilisé dans un produit. Un exposant est généralement écrit sous la forme d'un chiffre plus petit (en taille) légèrement au-dessus et à droite du facteur affecté par l'exposant.

Un exposant est parfois appelé « puissance ». Par exemple, 5 3 pourrait être appelé « cinq à la troisième puissance ».

Notez la différence entre 2x 3 et (2x) 3 . En utilisant des parenthèses comme symboles de regroupement, nous voyons que

2x 3 signifie 2(x)(x)(x), alors que (2x) 3 signifie (2x)(2x)(2x) ou 8x 3 .

Sauf si des parenthèses sont utilisées, l'exposant n'affecte que le facteur qui le précède directement.

Dans une expression telle que 5x 4
5 est le coefficient,
x est le base,
4 est le exposant.
5x 4 signifie 5(x)(x)(x)(x).

Notez que seule la base est affectée par l'exposant.

De nombreux élèves font l'erreur de multiplier la base par l'exposant. Par exemple, ils diront 3 4 = 12 au lieu de la bonne réponse,
3 4 = (3)(3)(3)(3) = 81.

Lorsque nous écrivons un nombre littéral tel que x, on comprendra que le coefficient est un et l'exposant est un. Cela peut être très important dans de nombreuses opérations.

Il est également entendu qu'un nombre écrit tel que 3 a un exposant de 1. Nous ne prenons simplement pas la peine d'écrire un exposant de 1.


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4.3 : Simplifier les exposants rationnels

J'ai acheté le Personal Algebra Tutor (PAT). Le système n'est pas fonctionnel comme je le voulais ou je m'y attendais, et il y a plusieurs problèmes qu'il ne résoudra pas, ou certains problèmes bloqueront le système. Le programme est OK mais il y a trop de limitations et plusieurs problèmes techniques. Il a fallu trois e-mails de leur support technique juste pour activer le programme.
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Monique, Texas


4.3 : Simplifier les exposants rationnels

· Convertir des radicaux en expressions avec des exposants rationnels.

· Convertir des expressions avec des exposants rationnels en leur équivalent radical.

· Utiliser les lois des exposants pour simplifier des expressions avec des exposants rationnels.

· Utiliser des exposants rationnels pour simplifier les expressions radicales.

Les racines carrées sont le plus souvent écrites à l'aide d'un signe radical, comme celui-ci, . Mais il existe une autre façon de représenter la prise d'une racine. Vous pouvez utiliser des exposants rationnels au lieu d'un radical. UNE exposant rationnel est un exposant qui est une fraction. Par exemple, peut être écrit comme .

Vous ne pouvez pas imaginer élever un nombre à un exposant rationnel ? Il peut être difficile de s'y habituer, mais les exposants rationnels peuvent en fait aider à simplifier certains problèmes. Explorons la relation entre les exposants rationnels (fractionnels) et les radicaux.

Réécriture d'expressions radicales à l'aide d'exposants rationnels

Les radicaux et les exposants fractionnaires sont des façons alternatives d'exprimer la même chose. Vous avez déjà vu comment les racines carrées peuvent être exprimées comme un exposant à la puissance un demi.


4.3 : Simplifier les exposants rationnels

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels non nuls.

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels non nuls.

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels non nuls.

Évaluer l'expression   16 1 &frasl4 = ( 2 4 ) 1 &frasl4
Évaluer l'expression   16 1 &frasl4 = 2

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

100 3 &frasl2 = ( 10 2 ) 3 &frasl2
100 3 &frasl2 = 10 3
100 3 &frasl2 = 1000

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

Effectuez les opérations indiquées.
Écrivez chaque réponse en utilisant uniquement des exposants positifs.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

Trouvez le produit.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

Facteur, en utilisant le facteur commun donné.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

4t מ + 8t נ ,   donné 4t נ

4t מ + 8t נ = 4t נ ( t 2 + 2 )

Facteur, en utilisant le facteur commun donné.
Supposons que toutes les variables représentent des nombres réels positifs.

( p + 4 ) ן &frasl2 + ( p + 4 ) ם &frasl2 + ( p + 4 ) 1 &frasl2 = ( p + 4 ) ן &frasl2 [ 1 + ( p + 4 ) + ( p + 4 ) 2 ]
( p + 4 ) ן &frasl2 + ( p + 4 ) ם &frasl2 + ( p + 4 ) 1 &frasl2 = ( p + 4 ) ן &frasl2 [ 1 + ( p + 4 ) + ( p 2 + 8p + 16 ) ]
( p + 4 ) ן &frasl2 + ( p + 4 ) ם &frasl2 + ( p + 4 ) 1 &frasl2 = ( p + 4 ) ן &frasl2 [ 1 + p + 4 + p 2 + 8p + 16 ]
( p + 4 ) ן &frasl2 + ( p + 4 ) ם &frasl2 + ( p + 4 ) 1 &frasl2 = ( p + 4 ) ן &frasl2 [ p 2 + 9 p + 21 ]

Effectuez toutes les opérations indiquées et écrivez la réponse avec des exposants entiers positifs.

Simplifier l'expression rationnelle.
Utilisez l'affacturage au besoin.
Supposons que toutes les expressions de variables représentent des nombres réels positifs.

2 ( 2x – 3 ) 1 &frasl3 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) מ &frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 2 &frasl3
 =  ( 2x – 3 ) 1 &frasl3 [ 2 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) ם ]
–––––––––––––––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 1 &frasl3 ( 2x – 3 ) 1 &frasl3

2 ( 2x – 3 ) 1 &frasl3 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) מ &frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 2 &frasl3
 =  2 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) ם
––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 1 &frasl3

2 ( 2x – 3 ) 1 &frasl3 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) מ &frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 2 &frasl3

 = 
2 –  x – 1
––––––
2x – 3
–––––––––––
( 2x – 3 ) 1 &frasl3

2 ( 2x – 3 ) 1 &frasl3 – ( x – 1 ) ( 2x – 3 ) מ &frasl3
–––––––––––––––––––––––––––––––
( 2x – 3 ) 2 &frasl3

Source des problèmes d'exercice :   College Algebra and Trigonometry par Lial, Hornsey, Schneider, Daniels, Fifth Edition, Section R6, pp. 55-58


4.3 : Simplifier les exposants rationnels

Maintenant que nous avons examiné les exposants entiers, nous devons commencer à examiner des exposants plus compliqués. Dans cette section, nous allons examiner les exposants rationnels. Ce sont des exposants sous la forme

où (m) et (n) sont des nombres entiers.

Nous commencerons simplement en examinant le cas particulier suivant,

où (n) est un entier. Une fois que nous aurons compris cela, le cas plus général donné ci-dessus sera en fait assez facile à traiter.

Définissons d'abord ce que nous entendons par exposants de cette forme.

En d'autres termes, lors de l'évaluation de (>>) nous demandons vraiment quel nombre (dans ce cas (a)) avons-nous augmenté jusqu'au (n) pour obtenir (b). Souvent (>>) est appelé le (n) ième racine de b.

Faisons quelques évaluations.

Lors de ces évaluations, nous ne les ferons pas directement. Lorsqu'on est confronté pour la première fois à ce genre d'évaluations, il est souvent très difficile de les faire directement. Afin de les évaluer, nous nous souviendrons de l'équivalence donnée dans la définition et l'utiliserons à la place.

Nous allons travailler le premier en détail et ensuite ne pas mettre autant de détails dans le reste des problèmes.

Alors, voici ce que nous demandons dans ce problème.

En utilisant l'équivalence de la définition, nous pouvons réécrire cela comme,

Donc, tout ce que nous demandons vraiment ici, c'est quel nombre avons-nous au carré pour obtenir 25. Dans ce cas, c'est (espérons-le) facile à obtenir. Nous cadrons 5 pour obtenir 25. Par conséquent,

Donc, ce que nous demandons ici, c'est quel nombre avons-nous augmenté à la puissance 5 pour obtenir 32 ?

Quel nombre avons-nous augmenté à la puissance 4 pour obtenir 81 ?

Nous devons être un peu prudents avec les signes moins ici, mais à part cela, cela fonctionne de la même manière que les parties précédentes. Quel nombre avons-nous élevé à la puissance 3 (c'est à dire. cube) pour obtenir -8 ?

Cette partie n'a pas de réponse. C'est ici pour faire un point. Dans ce cas, nous demandons quel nombre augmenter à la puissance 4 pour obtenir -16. Cependant, nous savons également qu'élever n'importe quel nombre (positif ou négatif) à une puissance paire sera positif. En d'autres termes, il n'y a pas de nombre réel que nous puissions augmenter à la puissance 4 pour obtenir -16.

Notez que ceci est différent de la partie précédente. Si nous élevons un nombre négatif à une puissance impaire, nous obtiendrons un nombre négatif afin que nous puissions faire l'évaluation dans la partie précédente.

Comme cette partie l'a montré, nous ne pouvons pas toujours faire ces évaluations.

Encore une fois, cette partie est là pour faire un point plus que tout. Contrairement à la partie précédente, celle-ci a une réponse. Rappelez-vous de la section précédente que s'il n'y a pas de parenthèses, seule la partie immédiatement à gauche de l'exposant obtient l'exposant. Donc, cette partie nous demande vraiment d'évaluer le terme suivant.

Donc, nous devons déterminer quel nombre élevé à la puissance 4 nous donnera 16. C'est 2 et donc dans ce cas la réponse est,

Comme les deux dernières parties de l'exemple précédent l'ont encore montré, il faut vraiment faire attention aux parenthèses. Dans ce cas, la parenthèse fait la différence entre pouvoir obtenir une réponse ou non.

De plus, ne vous inquiétez pas si vous ne connaissiez pas certains de ces pouvoirs par cœur. Ils sont généralement assez simples à déterminer si vous ne les connaissez pas tout de suite. Par exemple, dans la partie b, nous devions déterminer quel nombre élevé à 5 donnera 32. Si vous ne pouvez pas voir le pouvoir directement du haut de votre tête, commencez simplement à prendre des pouvoirs jusqu'à ce que vous trouviez le bon. En d'autres termes, calculez (<2^5>), (<3^5>), (<4^5>) jusqu'à ce que vous atteigniez la valeur correcte. Bien sûr, dans ce cas, nous n'aurions pas besoin de dépasser le premier calcul.

La prochaine chose que nous devons reconnaître est que toutes les propriétés des exposants que nous avons données dans la section précédente sont toujours valables pour tous les exposants rationnels. Cela inclut l'exposant rationnel plus général que nous n'avons pas encore examiné.

Maintenant que nous savons que les propriétés sont toujours valides, nous pouvons voir comment traiter l'exposant rationnel plus général. Il y a en fait deux manières différentes de les traiter comme nous le verrons. Les deux méthodes impliquent l'utilisation de la propriété 2 de la section précédente. À des fins de référence, cette propriété est,

Voyons donc comment traiter un exposant rationnel général. Nous allons d'abord réécrire l'exposant comme suit.

En d'autres termes, nous pouvons considérer l'exposant comme un produit de deux nombres. Nous allons maintenant utiliser la propriété d'exposant ci-dessus. Cependant, nous l'utiliserons dans le sens inverse de ce que nous avons fait dans la section précédente. Aussi, il y a deux façons de le faire. Les voici,

En utilisant l'une ou l'autre de ces formes, nous pouvons maintenant évaluer des expressions plus compliquées

Nous pouvons utiliser l'une ou l'autre forme pour faire les évaluations. Cependant, il est généralement plus pratique d'utiliser la première forme comme nous le verrons.

Utilisons les deux formes ici car aucune n'est trop mauvaise dans ce cas. Jetons un coup d'œil à la première forme.

Voyons maintenant la deuxième forme.

Ainsi, nous obtenons la même réponse quelle que soit la forme. Notez cependant que lorsque nous avons utilisé la deuxième forme, nous avons fini par prendre la 3 e racine d'un nombre beaucoup plus grand, ce qui peut causer des problèmes à l'occasion.

Encore une fois, utilisons les deux formes pour calculer celle-ci.

Comme cette partie l'a montré, la seconde forme peut être assez difficile à utiliser dans les calculs. La racine dans ce cas n'était pas une racine évidente et pas particulièrement facile à obtenir si vous ne le saviez pas tout de suite.

Dans ce cas, nous n'utiliserons que la première forme. Cependant, avant de faire cela, nous devrons d'abord utiliser la propriété 5 de nos propriétés d'exposant pour obtenir l'exposant sur le numérateur et le dénominateur.

Nous pouvons également résoudre certains des problèmes de type simplification avec des exposants rationnels que nous avons vus dans la section précédente.

Pour ce problème nous allons d'abord placer l'exposant entre parenthèses puis nous éliminerons l'exposant négatif comme nous l'avons fait dans la section précédente. Nous déplacerons ensuite le terme au dénominateur et laisserons tomber le signe moins.

Dans ce cas, nous allons d'abord simplifier l'expression entre parenthèses.

Ne vous inquiétez pas si, après simplification, nous n'avons plus de fraction. Cela arrivera à l'occasion. Maintenant, nous allons éliminer le négatif dans l'exposant en utilisant la propriété 7, puis nous utiliserons la propriété 4 pour terminer le problème.

We will leave this section with a warning about a common mistake that students make in regard to negative exponents and rational exponents. Be careful not to confuse the two as they are totally separate topics.


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We hope you enjoyed learning about simplifying rational expressions with the examples and practice questions. Now, you will be able to easily solve problems on various techniques used for simplifying rational expressions and questions related to its application.

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