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2.2 : Résolution d'équations - Étapes multiples - Mathématiques


Rappelez-vous la discussion « Envelopper » et « Déballer » de la section 2.1. Par conséquent, pour déballer le cadeau, nous enlevons le nœud décoratif, le ruban adhésif et le papier cadeau.

Maintenant, imaginez une machine qui multiplie son entrée par (3), puis ajoute (5) au résultat. Cette machine est illustrée à gauche dans la figure (PageIndex{1}).

Pour « dérouler » l'effet de la machine de gauche, il faut une machine qui va « annuler » chacune des étapes de la première machine, mais dans l'ordre inverse. La machine de « déballage » est illustrée à droite dans la figure (PageIndex{1}). Il soustraira d'abord (5) de son entrée, puis divisera le résultat par (3). A noter que chacune de ces opérations « défait » l'opération correspondante de la première machine, mais dans l'ordre inverse.

L'argument suivant montre que la deuxième machine « annule » le fonctionnement de la première machine.

  1. Déposez l'entier (4) dans la machine à gauche de la figure (PageIndex{1}). Cette machine multipliera d'abord (4) par (3), puis ajoutera (5) au résultat. Le résultat est (3(4) + 5), ou (17).
  2. Pour « déballer » ce résultat, déposez (17) dans la machine à droite. Cette machine soustrait d'abord (5), puis divise le résultat par (3). Le résultat est ((17-5)/3), ou (4), l'entier d'origine qui a été placé dans la première machine.

Exemple (PageIndex{1})

Résoudre pour (x : 3 x+5=14).

Solution

À gauche, l'ordre des opérations exige que nous multipliions d'abord (x) par (3), puis que nous ajoutions (5). Pour résoudre cette équation pour (x), il faut « défaire » chacune de ces opérations dans l'ordre inverse. Ainsi, nous allons d'abord soustraire (5) des deux côtés de l'équation, puis diviser les deux côtés par (3).

[egin{aligned} 3x+5 &=14 quad color{Red} ext{ Équation originale. } 3x+5-5 &=14-5 quad color{Red} ext{ Pour "annuler" l'addition de 5, soustrayez 5 des deux côtés de l'équation. } 3x &=9 quad color{Rouge} ext{ Simplifie les deux côtés. } dfrac{3 x}{3} &=dfrac{9}{3} quad color{Red} ext{ Pour "annuler" la multiplication par 3, divisez les deux membres de l'équation par 3. } x&=3 quad color{Red} ext{ Simplifiez les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Vérifier: Pour vérifier la solution, remplacez (3) par (x) dans l'équation d'origine et simplifiez.

[egin{aligned} 3x+5 &=14 quad color{Red} ext{ Équation originale. } 3(3)+5 &=14 quad color{Rouge} ext{ Remplacez x par 3. } 9+5 &=14 quad color{Rouge} ext{Multiplier d'abord : 3(3) = 9. } 14 &=14 quad color{Rouge} ext{ Ajouter : 9 + 5 = 14. } end{aligned} onumber ]

Parce que la dernière ligne de la vérification est une déclaration vraie, cela garantit que (3) est une solution de l'équation d'origine.

Exercice (PageIndex{1})

Résoudre pour (x :2 x+3=7).

Répondre

(x=2)

Essayons une équation avec des fractions.

Exemple (PageIndex{2})

Résoudre pour (x : dfrac{x}{5}-dfrac{2}{3}=dfrac{1}{2}).

Solution

A gauche, l'ordre des opérations exige que nous divisons d'abord (x) par (5), puis soustrayons (2/3). Ainsi, nous allons d'abord ajouter (2/3) aux deux côtés de l'équation, puis multiplier les deux côtés de l'équation résultante par (5).

[egin{aligned} dfrac{x}{5}-dfrac{2}{3} &=dfrac{1}{2} quad color{Red} ext{ Équation originale. } dfrac{x}{5}-dfrac{2}{3}+dfrac{2}{3} &=dfrac{1}{2}+dfrac{2}{3} quad color{Red} ext{ Pour "annuler" la soustraction de 2/3, ajoutez 2/3 aux deux côtés de l'équation. } end{aligned} onumber ]

A gauche, on simplifie. A droite, on fait des fractions équivalentes avec un dénominateur commun.

[egin{aligned} dfrac{x}{5}&=dfrac{3}{6}+dfrac{4}{6} quad color{Red} ext { Faire des fractions équivalentes } dfrac{x}{5}&=dfrac{7}{6} quad color{Rouge} ext { Ajouter : } dfrac{3}{6}+dfrac{4}{6}= dfrac{7}{6} end{aligned} onumber ]

Maintenant, nous "annulons" la division par cinq en multipliant les deux côtés de l'équation par (5).

[egin{aligned} left(dfrac{x}{5} ight)&=5left(dfrac{7}{6} ight) quad color{Red} ext { Multipliez les deux côtés par } 5 x&=dfrac{35}{6} quad color{Red} ext { A gauche, simplifier. A droite, multipliez : } 5left(dfrac{7}{6} ight)=dfrac{35}{6} end{aligned} onumber ]

Vérifier: Utilisons la TI-84 pour vérifier cette solution.

  1. Stockez la valeur (35/6) dans la variable (X) en utilisant les frappes suivantes.
  1. Saisissez la partie gauche de l'équation d'origine : (x/5 - 2/3). Utilisez les frappes suivantes.
  1. Appuyez sur le bouton MATH de votre calculatrice (voir Figure (PageIndex{3})), puis sélectionnez 1:►Frac, puis appuyez sur le bouton ENTER. Cela convertira le résultat décimal en fraction (voir Figure (PageIndex{3})).

Notez que le résultat est (dfrac{1}{2},) montrant que (dfrac{35}{6}) est une solution de (dfrac{x}{5}-dfrac{ 2}{3}=dfrac{1}{2}).

Exercice (PageIndex{2})

Résoudre pour (x : dfrac{x}{2}-dfrac{3}{5}=dfrac{1}{4}).

Répondre

(x = 17/10)

Essayons une équation avec des décimales.

Exemple (PageIndex{3})

Résoudre pour (x : 5,2 x+2,3=-3,94).

Solution

À gauche, l'ordre des opérations exige que nous multipliions d'abord (x) par (5.2), puis que nous ajoutions 2,3. Ainsi, nous allons d'abord soustraire (2.3) des deux côtés de l'équation, puis diviser les deux côtés par (5.2).

[egin{aligned} 5.2 x+2.3 &=-3.94 quad color{Red} ext{ Équation originale. } 5.2 x+2.3-2.3 &=-3.94-2.3 quad color{Red} ext{ Pour "annuler" l'ajout de 2.3, soustrayez 2.3 des deux côtés.} 5.2 x &=-6.24 quad color{Rouge} ext{ A gauche, simplifier. A droite, ajoutez : -3,94-2,3=-6,24. } frac{5.2 x}{5.2} &=frac{-6.24}{5.2} quad color{Red} ext{ Pour annuler la multiplication par 5.2, divisez les deux côtés par 5.2. } x &=-1.2 quad color{Rouge} ext{ A gauche, simplifier. A droite, divisez : -6.24/5.2=-1.2. } end{aligned} onumber ]

Vérifier: Pour vérifier la solution, remplacez (-1.2) par (x) dans l'équation d'origine et simplifiez.

[egin{aligned} 5.2 x+2.3 &=-3.94 quad color{Red} ext{ Équation originale. } 5.2(-1.2)+2.3 &=-3.94 quad color{Red} ext{ Remplacez -1,2 par x. } -6,24+2,3 &=-3,94 quad color{Rouge} ext{ Multiplier : 5,2(-1,2)=-6,24 } -3,94 &=-3,94 quad color{Rouge} ext{ Ajouter : -6,24+2,3=-3,94 } end{aligned} onumber ]

Étant donné que la dernière ligne de la vérification est une déclaration vraie, cela garantit que (-1.2) est une solution de l'équation d'origine.

Exercice (PageIndex{3})

Résoudre pour (x : 3,25-1,2 x=0,37).

Répondre

(x=2.4)

Variables des deux côtés de l'équation

Il n'est pas rare que la variable que vous résolvez apparaisse en termes des deux côtés de l'équation. Considérons, par exemple, l'équation (2x+3=5−7x). Dans des cas comme celui-ci, il est utile d'avoir une compréhension générale de ce que signifie « résoudre pour (x) ».

Résoudre pour x

Lorsqu'on lui a demandé de résoudre une équation pour (x), le but est de manipuler l'équation dans la forme finale

(x= ext{"Trucs"})

où « Stuff » est une expression mathématique valide qui peut contenir d'autres variables, symboles mathématiques, etc., mais elle ne doit contenir aucune occurrence de la variable (x).

Dans cette section, « Stuff » sera toujours un nombre unique, mais dans la section 2.4, Formules, « Stuff » prendra une complexité supplémentaire, y compris des variables autres que (x).

Stratégie de résolution de (x)

Lorsqu'on lui demande de résoudre une équation pour (x), une stratégie courante consiste à isoler tous les termes contenant la variable (x) d'un côté de l'équation et à déplacer tous les termes ne contenant pas la variable (x) vers le l'autre côté de l'équation.

Exemple (PageIndex{4})

Résoudre (3-2 x=5 x+9) pour (x).

Solution

Nous devons isoler tous les termes contenant (x) d'un côté de l'équation. On peut éliminer (5x) du membre de droite de (3−2x =5x+9) en soustrayant (5x) des deux côtés de l'équation.

[egin{aligned} 3-2x &=5x+9 quad color{Red} ext { Équation originale. } 3-2x-5x & =5x+9-5x quad color{Red} ext { Soustraire } 5x ext { des deux côtés. } 3-7x &=9 quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Ensuite, éliminez (3) du côté gauche de la dernière équation en soustrayant (3) des deux côtés de l'équation.

[egin{aligned} 3-7x-3 & =9-3 quad color{Red} ext { Soustraire } 3 ext { des deux côtés. } -7x & =6 quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Notez comment nous avons isolé tous les termes contenant (x) d'un côté de l'équation.

[egin{aligned} dfrac{-7 x}{-7}&=dfrac{6}{-7} quad color{Red} ext { Diviser les deux côtés par }-7 x&= -dfrac{6}{7} quad color{Red} ext { Simplifie les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Vérifier: Pour vérifier la solution, remplacez (-6/7) par (x) dans l'équation d'origine.

[egin{aligné}
3-2 x &=5 x+9 quad color{Rouge} ext { Équation originale. }
3-2gauche(-dfrac{6}{7} ight) &=5gauche(-dfrac{6}{7} ight)+9 quad color{Rouge} ext { Substituer - 6/7 pour x. }
3+dfrac{12}{7} &=-dfrac{30}{7}+9 quad color{Rouge} ext { Multiplier : } -2(-6/7)=12/7 ext { et } 5(-6/7)=-30/7.
dfrac{21}{7}+dfrac{12}{7} &=-dfrac{30}{7}+dfrac{63}{7} quad color{Rouge} ext { Faire des fractions équivalentes avec un dénominateur commun. }
dfrac{33}{7} &=dfrac{33}{7} quad color{Rouge} ext { Ajouter. }
end{aligné} onumber ]

Parce que la dernière ligne de la vérification est une déclaration vraie, cela garantit que (-6/7) est une solution de l'équation d'origine.

Exercice (PageIndex{4})

Résoudre pour (x: 4x+7=5-8x).

Répondre

(x=-1 / 6)

Simplification des expressions lors de la résolution d'équations

Parfois, nous devons simplifier les expressions avant de pouvoir isoler les termes contenant (x).

Exemple (PageIndex{5})

Résoudre pour (x: 2(3 x+1)-3(4-2 x)=-34).

Solution

Nous allons d'abord simplifier l'expression du côté gauche de l'équation en utilisant le Règles guidant l'ordre des opérations.

[egin{aligned}2(3 x+1)-3(4-2 x)&=-34 quad color{Red} ext { Équation originale. } 6x+2-12+6x&=-34 quad color{Rouge} ext { Multiplier : } 2(3 x+1)=6 x+2 ext {, Multiplier : } -3(4- 2 x)=-12+6 x 12 x-10&=-34 quad color{Rouge} ext { Ajouter : } 6x+6 x=12x ext {, Ajouter : } 2-12=-10 end{aligned} onumber ]

Pour « annuler » la soustraction de (10), nous ajoutons (10) aux deux côtés de l'équation.

[egin{aligned} 12x-10+10&=-34+10 quad color{Red} ext { Ajoutez } 10 ext { des deux côtés. } 12x&=-24 quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Pour « annuler » en multipliant par (12), nous divisons les deux côtés par (12).

[egin{aligned} dfrac{12 x}{12}&=dfrac{-24}{12} quad color{Red} ext { Diviser les deux côtés par } 12 x&=-2 quad color{Red} ext { Simplifie les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Vérifier: Utilisons la TI-84 pour vérifier cette solution.

  1. Tout d'abord, stockez -2 dans la variableX en utilisant les touches suivantes.
  1. Entrez le côté gauche de l'équation d'origine : (2(3x + 1)-3(4-2x)). Utilisez les frappes suivantes.

Notez que lorsque (-2) remplace (x) dans la partie gauche de l'équation, le résultat est (-34), égalant la partie droite de l'équation. Ainsi, la solution (-2) vérifie.

Exercice (PageIndex{5})

Résoudre pour (x : 2 x-(x-2)=2(x+7)).

Répondre

(x=-12)

Exemple (PageIndex{6})

Résoudre pour (x : 2 x-5(3-2 x)=4(x-1)).

Solution

Nous allons d'abord simplifier les expressions de chaque côté de l'équation en utilisant le Règles guidant l'ordre des opérations.

[egin{aligned} 2x-5(3-2x)&=4(x-1) quad color{Red} ext { Équation originale. } 2x-15+10x&=4x-4 quad color{Red} ext { A gauche, distribuez le -5. A droite, distribuez les 4.} 12x-15&=4x-4 quad color{Red} ext { A gauche, ajoutez : } 2x+10x=12 x end{aligned} onumber ]

Ensuite, nous devons isoler les termes contenant la variable (x) d'un côté de l'équation. Pour supprimer le terme (4x) du membre de droite, nous soustrayons (4x) des deux côtés de l'équation.

[egin{aligned} 12x-15-4x&=4x-4-4x quad color{Red} ext { Soustraire } 4 x ext { des deux côtés. } 8x-15&=-4 quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Pour supprimer le terme (-15) du membre de gauche, nous ajoutons (15) aux deux côtés de l'équation.

[egin{aligned} 8x-15+15&=-4+15 quad color{Red} ext { Ajouter } 15 ext { des deux côtés. } 8x&=11 quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Enfin, pour « annuler » en multipliant par (8), nous divisons les deux côtés par (8).

[egin{aligned} dfrac{8x}{8}&=dfrac{11}{8} quad color{Red} ext { Diviser les deux côtés par } 8 x&=dfrac{11} {8} quad color{Red} ext { Simplifier les deux côtés. } end{aligned} onumber ]

Vérifier: Utilisons la TI-84 pour vérifier cette solution.

  1. Tout d'abord, stockez 11/8 dans la variable X en utilisant les touches suivantes.
  1. Entrez le côté gauche de l'équation d'origine : (2x-5(3-2x)). Utilisez les frappes suivantes.
  1. Entrez le côté droit de l'équation d'origine : (4(x - 1)). Utilisez les frappes suivantes.

Il n'est pas nécessaire d'utiliser le 1:►Frac du menu MATH cette fois-ci. Le fait que les deux membres de l'équation s'évaluent à un (1.5) identique lorsque (x = 11 /8) garantit que (11/8) est une solution de (2x-5(3-2x) = 4(x-1)).

Exercice (PageIndex{6})

Résoudre pour (x:5(1-x)=2(x+3)-(x-1)).

Répondre

(x=-1 / 3)


Résolution d'équations en deux étapes

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Comment résoudre une équation en deux étapes en combinant des termes similaires ?

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Comment résoudre un problème de mot à l'aide d'une équation en deux étapes avec des nombres décimaux ?

Les problèmes de mots sont un excellent moyen de voir les mathématiques dans le monde réel. Dans ce didacticiel, vous verrez comment traduire un problème verbal en une équation mathématique. Ensuite, vous verrez comment résoudre cette équation et vérifier votre réponse !

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ÉCRIRE DES INÉGALITÉS EN DEUX ÉTAPES

Nous pouvons écrire des inégalités en deux étapes pour représenter des problèmes du monde réel en traduisant les mots des problèmes en nombres, variables et opérations.

Une équipe d'alpinistes campe à une altitude de 18 460 pieds sur le mont Everest. L'équipe veut atteindre le sommet de 29 029 pieds dans les 6 jours. Écrivez une inégalité pour trouver le nombre moyen de pieds par jour que l'équipe doit gravir pour atteindre son objectif.

Identifiez ce que vous essayez de trouver. Ce sera la variable dans l'inégalité.

Soit d représentant l'altitude moyenne que l'équipe doit gagner chaque jour.

Identifiez les informations importantes du problème que vous pouvez utiliser pour écrire une inégalité.

altitude de départ : 18 460 ft

Nombre de jours fois l'altitude gagnée pour atteindre l'altitude cible : 6 · d

Utilisez des mots dans le problème pour lier les informations ensemble et écrivez une inégalité.

Par conséquent, l'inégalité qui représente la situation donnée est 

Les 45 membres du glee club tentent d'amasser 6 000 $ pour pouvoir concourir dans le championnat de l'État. Ils ont déjà 1 240 $. Quelle inégalité pouvez-vous écrire pour trouver le montant que chaque membre doit collecter, en moyenne, pour atteindre l'objectif ?

Identifiez ce que vous essayez de trouver. Ce sera la variable de l'inégalité.

Soit x représentant le montant que chaque membre doit collecter en moyenne pour atteindre l'objectif. 

Identifiez les informations importantes du problème que vous pouvez utiliser pour écrire une inégalité.

Nombre  de membres multiplié par le montant collecté par chaque membre pour atteindre le solde cible :  45 · x

Utilisez des mots dans le problème pour lier les informations ensemble et écrivez une inégalité.

montant levé par chaque membre (x)

Par conséquent, l'inégalité qui représente la situation donnée est

Ella a 40 $ à dépenser à la State Fair. L'entrée est de 6 $ et chaque trajet coûte 3 $. Écrivez une inégalité pour trouver le plus grand nombre de trajets possibles.

Identifiez ce que vous essayez de trouver. Ce sera la variable de l'inégalité.

Soit x représentant le nombre total de trajets qu'elle peut faire.  

Identifiez les informations importantes du problème que vous pouvez utiliser pour écrire une inégalité.

l'argent maximum peut être dépensé : 40 $

Nombre  de trajets fois le coût par trajet pour atteindre le maximum d'argent qui peut être dépensé :  3 · x

Utilisez des mots dans le problème pour lier les informations ensemble et écrivez une inégalité.

l'argent maximum peut être dépensé (40 $)

Par conséquent, l'inégalité qui représente la situation donnée est

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2.2 : Résolution d'équations - Étapes multiples - Mathématiques

La façon dont cet outil fonctionne, l'approche étape par étape qu'il fournit aux équations compliquées rend l'apprentissage agréable. Bon travail!
Patrick Océan, Floride

Mon fils a eu du mal avec les mathématiques tout le temps qu'il était à l'école. Les solutions simples pas à pas d'Algebrator lui ont fait aimer apprendre. Merci!
Helen Dillanueva, Virginie

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Linda Rees, New Jersey

La façon dont cet outil fonctionne, l'approche étape par étape qu'il fournit aux équations compliquées rend l'apprentissage agréable. Bon travail!
Rebecca Cox, Wyoming

Notre fille fait les notes dont elle est capable grâce à l'algèbre. Chapeau à vous tous ! Merci!
Don Woodward, Dakota du Nord


Résolution de deux équations variables par méthode de substitution

Travaillons sur des exemples concrets pour mieux comprendre comment résoudre deux équations variables
en utilisant la méthode de substitution.

Exemple 1

Résoudre le système d'équations suivant

Il est toujours préférable d'étiqueter vos équations afin que vous sachiez quelle équation vous êtes
travailler avec. Puisque nous avons deux équations, étiquetons-les comme 1 et 2.

La première étape pour résoudre réellement le système d'équations en utilisant la substitution est
exprimer une variable en fonction d'une autre.

Utilisons l'équation (1) et exprimons oui en terme de X dans l'équation (1) :

Maintenant nous avons oui en terme de X et nous pouvons remplacer oui dans
l'équation(2)

Alors maintenant, nous n'avons qu'une équation à une variable que nous pouvons résoudre en utilisant les techniques
nous avons appris dans la section sur
résoudre des équations à une variable.

Maintenant que nous avons une valeur pour X, nous pouvons le substituer dans l'équation que
nous avons pour oui et c'est ce que nous appelons remplacement arrière.

Alors maintenant, nous avons résolu pour X comme 2 et oui comme 0. Par conséquent, notre coordonnée
le point est (2,0). Nous pouvons prouver que ces
sont les vraies valeurs de X et oui en les substituant dans le
système d'équations original.

se substituer à X et oui

Ce qui prouve que les valeurs que nous avons obtenues sont les valeurs correctes de X et
oui.

Maintenant que nous avons notre solution, qu'est-ce que cela signifie? En regardant le graphique, nous pouvons voir
qu'à la valeur (2,0), nos deux équations d'origine se croisent à ce point.

Exemple 2

Résoudre le système d'équations suivant par substitution

Comme dans l'exemple précédent, il est toujours bon d'étiqueter vos équations afin que vous
savoir avec lequel vous travaillez.

Ensuite, nous exprimons une variable en fonction de l'autre variable. Nous choisissons quelle variable
exprimer en fonction de l'autre en inspectant le système d'équations et en devinant
laquelle des deux équations semble la plus facile à utiliser et quelle variable sera la plus difficile
manipuler.

Dans l'exemple ci-dessus, travaillons avec l'équation (2) et exprimons X en terme de
oui

L'étape suivante consiste à substituer ce qui précède dans l'équation (1) afin d'obtenir un
équation à une seule variable, oui.

Et puis nous pouvons remplacer 2 dans l'équation ci-dessus par :

Ensuite, nous effectuons une substitution arrière pour trouver la valeur de X. nous substituons
la valeur que nous avons obtenue pour oui dans l'équation de X

La solution du système d'équations est x = 3 et y = -1. Vous pouvez le prouver
en substituant ces valeurs dans le système d'équations d'origine.

Représentons graphiquement les équations pour voir si le point d'intersection est bien (3,-1).


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Conseils d'évaluation

Lorsque les élèves résolvent des équations à plusieurs étapes, faites particulièrement attention à ce qu'ils suivent l'ordre des opérations. C'est un concept algébrique important.

Vérifiez également si les élèves comprennent vraiment que les propriétés d'égalité disent que si vous faites quelque chose à un côté d'une équation, vous DEVEZ faire la même chose à l'autre côté de l'équation. Ce que vous faites est déterminé par l'action indiquée par l'équation. Si un nombre est soustrait de oui et tu veux oui pour être par lui-même, ajoutez ce nombre de chaque côté de l'équation et son opposé semble « passer » de l'autre côté de l'équation. De même, si oui est multiplié par un nombre, la division vous aidera à obtenir oui par lui-même.

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Équation quadratique

avec . Parce qu'il s'agit d'une équation polynomiale du second ordre, le théorème fondamental de l'algèbre garantit qu'elle a deux solutions. Ces solutions peuvent être à la fois réelles ou complexes.

Parmi ses nombreux autres talents, le major général Stanley dans l'opérette de Gilbert et Sullivan les pirates de Penzance impressionne les pirates par sa connaissance des équations quadratiques dans "The Major General's Song" comme suit : "Je suis le modèle même d'un major-général moderne, j'ai des informations végétales, animales et minérales, je connais les rois d'Angleterre, et je cite les combats historiques, De Marathon à Waterloo, par ordre catégorique, je connais aussi très bien les matières mathématiques, je comprends les équations, à la fois simples et quadratiques, A propos du théorème binomial je regorge de beaucoup d'actualités-- Avec beaucoup faits gais sur le carré de l'hypoténuse."

Les racines peuvent être trouvées en complétant le carré,

Cette équation est connue sous le nom de formule quadratique.

La première solution connue d'une équation quadratique est celle donnée dans le papyrus de Berlin du Moyen Empire (vers 2160-1700 av. J.-C.) en Egypte. Ce problème se réduit à résoudre

(Smith 1953, p. 443). Les Grecs étaient capables de résoudre l'équation quadratique par des méthodes géométriques, et celle d'Euclide (vers 325-270 av. J.-C.) Données contient trois problèmes impliquant des quadratiques. Dans son travail Arithmétique, le mathématicien grec Diophante (ca. 210-290) a résolu l'équation quadratique, mais en ne donnant qu'une seule racine, même lorsque les deux racines étaient positives (Smith 1951, p. 134).

Un certain nombre de mathématiciens indiens ont donné des règles équivalentes à la formule quadratique. Il est possible que certaines constructions d'autel datant de ca. 500 avant JC représentent les solutions de l'équation, mais même si c'était le cas, il n'y a aucune trace de la méthode de résolution (Smith 1953, p. 444). Le mathématicien hindou Āryabhata (475 ou 476-550) a donné une règle pour la somme d'une série géométrique qui montre la connaissance des équations quadratiques avec tous les deux solutions (Smith 1951, p. 159 Smith 1953, p. 444), tandis que Brahmagupta (ca. 628) semble n'avoir envisagé qu'une seule d'entre elles (Smith 1951, p. 159 Smith 1953, pp. 444-445). De même, Mahâāvīra (vers 850) avait substantiellement la règle moderne pour la racine positive d'un quadratique. Srīdhara (ca. 1025) a donné la racine positive de la formule quadratique, comme l'a déclaré Bhāskara (ca. 1150 Smith 1953, pp. 445-446). Les mathématiciens persans al-Khwārizmī (ca. 825) et Omar Khayyám (ca. 1100) ont également donné des règles pour trouver la racine positive.

Viègravete fut parmi les premiers à remplacer les méthodes géométriques de résolution par des méthodes analytiques, bien qu'il n'ait apparemment pas saisi l'idée d'une équation quadratique générale (Smith 1953, pp. 449-450).

Une autre forme de l'équation quadratique est donnée en divisant (◇) par par :