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6.3 : Injections, surjections et bijections


Les fonctions sont fréquemment utilisées en mathématiques pour définir et décrire certaines relations entre des ensembles et d'autres objets mathématiques. De plus, des fonctions peuvent être utilisées pour imposer certaines structures mathématiques aux ensembles. Dans cette section, nous étudierons des types particuliers de fonctions qui sont utilisées pour décrire ces relations appelées injections et surjections. Avant de définir ces types de fonctions, nous allons revisiter ce que la définition d'une fonction nous dit et explorer certaines fonctions à domaines finis.

Aperçu de l'activité (PageIndex{1}) : Fonctions avec des domaines finis

Soient (A) et (B) des ensembles. Étant donnée une fonction (f : A o B), nous savons ce qui suit :

  • Pour tout (x in A), (f(x) in B). C'est-à-dire que chaque élément de (A) est une entrée pour la fonction (f). Cela pourrait aussi s'énoncer comme suit : Pour chaque (x in A), il existe un (y in B) tel que (y = f(x)).
  • Pour un (x in A donné), il existe exactement un (y in B) tel que (y = f(x)).

La définition d'une fonction n'exige pas que différentes entrées produisent différentes sorties. C'est-à-dire qu'il est possible d'avoir (x_1, x_2 in A) avec (x1 e x_2) et (f(x_1) = f(x_2)). Le diagramme fléché de la fonction (f) de la figure 6.5 illustre une telle fonction.

De plus, la définition d'une fonction n'exige pas que la plage de la fonction soit égale au codomaine. La plage est toujours un sous-ensemble du codomaine, mais ces deux ensembles ne doivent pas nécessairement être égaux. C'est-à-dire que si (g: A o B), alors il est possible d'avoir un (y in B) tel que (g(x) e y) pour tout (x in UNE). Le diagramme fléché de la fonction g de la figure 6.5 illustre une telle fonction.

Soit maintenant (A = {1, 2, 3}), (B = {a, b, c, d}), et (C = {s, t}) . Définir

  1. Laquelle de ces fonctions satisfait la propriété suivante pour une fonction (F) ?
    Pour tout (x, y in ext{dom}(F)), si (x e y), alors (F(x) e F(y)).
  2. Laquelle de ces fonctions satisfait la propriété suivante pour une fonction (F) ?
    Pour tout (x, y in ext{dom}(F)), si (F(x) = F(y)), alors (x = y).
  3. Déterminez la portée de chacune de ces fonctions.
  4. Lesquelles de ces fonctions ont leur étendue égale à leur codomaine ?
  5. Laquelle de ces fonctions satisfait la propriété suivante pour une fonction (F) ?
    Pour tout (y) dans le codomaine de (F), il existe un (x in ext{dom}(F)) tel que (F(x) = y).

Aperçu de l'activité (PageIndex{1}) : instructions impliquant des fonctions

Soit (A) et (B) des ensembles non vides et soit (f: A o B). Dans l'activité d'aperçu (PageIndex{1}), nous avons déterminé si certaines fonctions satisfaisaient ou non à certaines propriétés spécifiées. Ces propriétés ont été écrites sous forme d'énoncés, et nous allons maintenant examiner ces énoncés plus en détail.

  1. Considérez l'énoncé suivant :
    Pour tout (x, y in A), si (x e y), alors (f(x) e f(y)).

    (a) Écris la contraposée de cet énoncé conditionnel.
    (b) Écrivez la négation de cet énoncé conditionnel.

  2. Considérons maintenant l'énoncé :
    Pour tout (y in B), il existe un (x in A) tel que (f(x) = y).
    Écrivez la négation de cet énoncé.
  3. Soit (g: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (g(x) = 5x + 3), pour tout (x in mathbb{R}). Complétez les preuves suivantes des propositions suivantes sur la fonction (g).

    Proposition 1. Pour tout (a, b in mathbb{R}), si (g(a) = g(b)), alors (a = b).
    Preuve. Soit (a, b in mathbb{R}), et nous supposons que (g(a) = g(b)) et prouverons que (a = b). Puisque (g(a) = g(b)), on sait que
    [5a + 3 = 5b + 3.]
    (Maintenant, prouvez que dans cette situation, (a = b).)

    Proposition 2. Pour tout (b in mathbb{R}), il existe un (a in mathbb{R}) tel que (g(a) = b).
    Preuve. On laisse (b in mathbb{R}). On va prouver qu'il existe un (a in mathbb{R}) tel que (g(a) = b) en construisant un tel (a) dans (mathbb{R}) . Pour que cela se produise, nous avons besoin de (g(a) = 5a + 3 = b).
    (Maintenant, résolvez l'équation pour (a) et montrez que pour ce nombre réel (a), (g(a) = b).)

Injection

Dans les sections précédentes et dans Aperçu de l'activité (PageIndex{1}), nous avons vu des exemples de fonctions pour lesquelles il existe différentes entrées qui produisent la même sortie. En utilisant une notation plus formelle, cela signifie qu'il existe des fonctions (f: A o B) pour lesquelles il existe (x_1, x_2 in A) avec (x_1 e x_2) et (f(x_1 ) = f(x_2)). Le travail dans les activités de prévisualisation visait à motiver la définition suivante.

Définition

Soit (f: A o B) une fonction de l'ensemble (A) à l'ensemble (B). La fonction (f) est appelée un injection à condition que

pour tout (x_1, x_2 in A), si (x_1 e x_2), alors (f(x_1) e f(x_2)).

Lorsque (f) est une injection, on dit aussi que (f) est un fonction un à un, ou que (f) est un fonction d'injection.

Notez que la condition qui spécifie qu'une fonction (f) est une injection est donnée sous la forme d'une instruction conditionnelle. Comme nous le verrons, dans les preuves, il est généralement plus facile d'utiliser la contraposée de cet énoncé conditionnel. Bien que nous n'ayons pas défini le terme à l'époque, nous avons déjà écrit la contraposée pour l'instruction conditionnelle dans la définition d'une injection dans la partie (1) de l'activité d'aperçu (PageIndex{2}). Dans cette activité de prévisualisation, nous avons également écrit la négation de la définition d'une injection. Voici un résumé de ce travail donnant les conditions pour que (f) soit une injection ou ne soit pas une injection.

Soit (f : A à B)

"La fonction (f) est une injection" signifie que

  • pour tout (x_1, x_2 in A), si (x_1 e x_2), alors (f(x_1) e f(x_2)); ou alors
  • pour tout (x_1, x_2 in A), si (f(x_1) = f(x_2)), alors (x_1 = x_2).

"La fonction (f) n'est pas une injection" signifie que

  • Il existe (x_1, x_2 in A) tel que (x_1 e x_2) et (f(x_1) = f(x_2)).

Contrôle de progression 6.10 (Travailler avec la définition d'une injection)

Maintenant que nous avons défini ce que cela signifie pour une fonction d'être une injection, nous pouvons voir que dans la partie (3) de l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}), nous avons prouvé que la fonction (g: mathbb{ R} o mathbb{R}) est une injection, où (g(x/) = 5x + 3) pour tout (x in mathbb{R}). Utilisez la définition (ou sa négation) pour déterminer si les fonctions suivantes sont ou non des injections.

  1. (k: A o B), où (A = {a, b, c}), (B = {1, 2, 3, 4}), et (k (a) = 4, k(b) = 1), et (k(c) = 3).
  2. (f: A o C), où (A = {a, b, c}), (C = {1, 2, 3}), et (f(a ) = 2, f(b) = 3), et (f(c) = 2).
  3. (F: mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (F(m) = 3m + 2) pour tout (m in mathbb{Z})
  4. (h: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (h(x) = x^2 - 3x) pour tout (x in mathbb{R})
  5. (s: mathbb{Z}_5 o mathbb{Z}_5) défini par (sx) = x^3) pour tout (x in mathbb{Z}_5)
Réponse

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Surjections

Dans les sections précédentes et dans Preview Activity (PageIndex{1}), nous avons vu qu'il existe des fonctions (f: A o B) pour lesquelles range((f) = B). Cela signifie que chaque élément de (B) est une sortie de la fonction f pour une entrée de l'ensemble (A). En utilisant des quantificateurs, cela signifie que pour tout (y in B), il existe un (x in A) tel que (f(x) = y). L'un des objectifs des activités de prévisualisation était de motiver la définition suivante.

Définition

Soit (f: A o B) une fonction de l'ensemble (A) à l'ensemble (B). La fonction (f) est appelée un surjection à condition que l'intervalle de (f) soit égal au codomaine de (f). Cela signifie que

pour tout (y in B), il existe un (x in A) tel que (f(x) = y).

Lorsque (f) est une surjection, on dit aussi que (f) est une sur la fonction ou que (f) mappe (A) sur (B). On dit aussi que (f) est un fonction surjective.

L'une des conditions spécifiant qu'une fonction (f) est une surjection est donnée sous la forme d'une déclaration quantifiée universellement, qui est la principale déclaration utilisée pour prouver qu'une fonction est (ou n'est pas) une surjection. Bien que nous n'ayons pas défini le terme à l'époque, nous avons déjà écrit la négation de l'instruction définissant une surjection dans la partie (2) de l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}). Nous résumons maintenant les conditions pour que (f) soit une surjection ou ne soit pas une surjection.

Soit (f : A à B)

"La fonction (f) est une surjection" signifie que

  • plage((f)) = codom((f) = B); ou alors
  • Pour tout (y in B), il existe un (x in A) tel que (f(x) = y).

"La fonction (f) n'est pas une surjection" signifie que

  • sonné((f)) e codom((f)); ou alors
  • Il existe un (y in B) tel que pour tout (x in A), (f(x) e y).

Un autre type important de fonction est lorsqu'une fonction est à la fois une injection et une surjection. Ce type de fonction est appelé une bijection.

Définition

UNE bijection est une fonction qui est à la fois une injection et une surjection. Si la fonction (f) est une bijection, on dit aussi que (f) est en tête-à-tête et sur et que (f) est un fonction bijective.

Contrôle de progression 6.11 (Travailler avec la définition d'une surjection)

Maintenant que nous avons défini ce que signifie pour une fonction être une surjection, nous pouvons voir que dans la partie (3) de l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}), nous avons prouvé que la fonction (g: mathbb{ R} o mathbb{R}) est une surjection, où (g(x) = 5x + 3) pour tout (x in mathbb{R}). Déterminez si les fonctions suivantes sont ou non des surjections.

  1. (k: A o B), où (A = {a, b, c}), (B = {1, 2, 3, 4}), et (k (a) = 4, k(b) = 1), et (k(c) = 3).
  2. (f: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (f(x) = 3x + 2) pour tout (x in mathbb{R}).
  3. (F: mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (F(m) = 3m + 2) pour tout (m in mathbb{Z}).
  4. (s: mathbb{Z}_5 o mathbb{Z}_5) défini par (s(x) = x^3) pour tout (x in mathbb{Z}_5).
Réponse

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L'importance du domaine et du codomaine

Les fonctions des deux exemples suivants illustreront pourquoi le domaine et le codomaine d'une fonction sont tout aussi importants que la règle définissant les sorties d'une fonction lorsque nous devons déterminer si la fonction est une surjection.

Exemple 6.12 (Une fonction qui n'est ni une injection ni une surjection)

Soit (f: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (f(x) = x^2 + 1). Remarquerez que

(f(2) = 5) et (f(-2) = 5).

Cela suffit à prouver que la fonction (f) n'est pas une injection puisque cela montre qu'il existe deux entrées différentes qui produisent la même sortie.

Puisque (f(x) = x^2 + 1), nous savons que (f(x) ge 1) pour tout (x in mathbb{R}). Ceci implique que la fonction (f) n'est pas une surjection. Par exemple, -2 est dans le codomaine de (f) et (f(x) e -2) pour tout (x) dans le domaine de (f).

Exemple 6.13 (Une fonction qui n'est pas une injection mais une surjection)

Soit (T = {y in mathbb{R} | y ge 1}), et définissons (F: mathbb{R} o T) par (F(x) = x^2 + 1). Comme dans l'exemple 6.12, la fonction (F) n'est pas une injection puisque (F(2) = F(-2) = 5).

La fonction (F) est-elle une surjection ? Autrement dit, est-ce que (F) mappe (mathbb{R}) sur (T) ? Comme dans l'exemple 6.12, nous savons que (F(x) ge 1) pour tout (x in mathbb{R}).

Pour voir s'il s'agit d'une surjection, il faut déterminer s'il est vrai que pour tout (y in T), il existe un (x in mathbb{R}) tel que (F(x) = y). On choisit donc (y in T). Le but est de déterminer s'il existe un (x in mathbb{R}) tel que

[egin{array} {rcl} {F(x)} &= & {y, ext { ou}} {x^2 + 1} &= & {y.} end{array} ]

Une façon de procéder est de revenir en arrière et de résoudre la dernière équation (si possible) pour (x). Ce faisant, nous obtenons

(x^2 = y - 1)

(x = sqrt{y - 1}) ou (x = -sqrt{y - 1}.)

Or, puisque (y in T), nous savons que (y ge 1) et donc que (y - 1 ge 0). Cela signifie que (sqrt{y - 1} in mathbb{R}). Par conséquent, si nous utilisons (x = sqrt{y - 1}), alors (x in mathbb{R}), et

[egin{array} {rcl} {F(x)} &= & {F(sqrt{y - 1})} {} &= & {(sqrt{y - 1})^2 + 1} {} &= & {(y - 1) + 1} {} &= & {y.} end{array}]

Ceci prouve que (F) est une surjection puisque nous avons montré que pour tout (y in T), il existe un

(x in mathbb{R}) tel que (F(x) = y). Notez que pour chaque (y in T), c'était une preuve constructive de l'existence d'un (x in mathbb{R}) tel que (F(x) = y).

Une leçon importante.

Dans les exemples 6.12 et 6.13, la même formule mathématique a été utilisée pour déterminer les sorties des fonctions. Cependant, une fonction n'était pas une surjection et l'autre était une surjection. Cela illustre le fait important que le fait qu'une fonction soit surjective dépend non seulement de la formule qui définit la sortie de la fonction, mais aussi du domaine et du codomaine de la fonction.

L'exemple suivant montrera que le fait qu'une fonction soit ou non une injection dépend également du domaine de la fonction.

Exemple 6.14 (Une fonction qui est une injection mais n'est pas une surjection)

Soit (mathbb{Z}^{ast} = {x in mathbb{Z} | x ge 0} = mathbb{N} cup {0}). Définissez (g: mathbb{Z}^{ast} o mathbb{N}) par (g(x) = x^2 + 1). (Notez qu'il s'agit de la même formule utilisée dans les exemples 6.12 et 6.13.) Voici un tableau de valeurs pour certaines entrées de la fonction (g).

Notez que le codomaine est (mathbb{N}), et le tableau des valeurs suggère que certains nombres naturels ne sont pas des sorties de cette fonction. Il apparaît donc que la fonction (g) n'est pas une surjection.

Pour prouver que g n'est pas une surjection, choisissez un élément de (mathbb{N}) qui ne semble pas être dans l'intervalle. On utilisera 3, et on utilisera une preuve par contradiction pour prouver qu'il n'y a pas de x dans le domaine ((mathbb{Z}^{ast})) tel que (g(x) = 3 ). On suppose donc qu'il existe un (x in mathbb{Z}^{ast}) avec (g(x) = 3). Puis

[egin{array} {rcl} {x^2 + 1} &= & {3} {x^2} &= & {2} {x} &= & {pm sqrt{ 2}.} end{tableau}]

Mais ce n'est pas possible puisque (sqrt{2} otin mathbb{Z}^{ast}). Par conséquent, il n'y a pas de (x in mathbb{Z}^{ast}) avec (g(x) = 3). Cela signifie que pour chaque (x in mathbb{Z}^{ast}), (g(x) e 3). Par conséquent, 3 n'est pas dans la plage de (g), et donc (g) n'est pas une surjection.

Le tableau des valeurs suggère que différentes entrées produisent différentes sorties, et donc que (g) est une injection. Pour prouver que (g) est une injection, supposons que (s, t in mathbb{Z}^{ast}) (le domaine) avec (g(s) = g(t) ). Puis

[egin{array} {rcl} {s^2 + 1} &= & {t^2 + 1} {s^2} &= & {t^2.} end{array}]

Depuis (s, t in mathbb{Z}^{ast}), nous savons que (s ge 0) et (t ge 0). L'équation précédente implique donc que (s = t). Par conséquent, (g) est une injection.

Une leçon importante

Les fonctions des trois exemples précédents utilisaient toutes la même formule pour déterminer les sorties. Les fonctions des exemples 6.12 et 6.13 ne sont pas des injections mais la fonction de l'exemple 6.14 est une injection. Cela illustre le fait important que le fait qu'une fonction soit injective dépend non seulement de la formule qui définit la sortie de la fonction mais aussi du domaine de la fonction.

Contrôle de progression 6.15 (L'importance du domaine et du codomaine)

Soit (R^{+} = {y in mathbb{R} | y > 0}). Définir

[egin{array} {rcl} {f} &: & {mathbb{R} o mathbb{R} ext{ by } f(x) = e^{-x}, ext{ pour chaque } x in mathbb{R}, ext{ et }} {g} &: & {mathbb{R} o mathbb{R}^{+} ext{ by } g(x ) = e^{-x}, ext{ pour chaque } x in mathbb{R}.}

Déterminez si chacune de ces fonctions est une injection ou une surjection. Justifiez vos conclusions. Noter: Avant d'écrire des preuves, il peut être utile de tracer le graphe de (y = e^{-x}). Un graphe raisonnable peut être obtenu en utilisant (-3 le x le 3) et (-2 le y le 10). Veuillez garder à l'esprit que le graphique ne prouve pas vos conclusions, mais peut vous aider à arriver aux conclusions correctes, qui auront encore besoin de preuves.

Réponse

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Travailler avec une fonction de deux variables

Il faut du temps et de la pratique pour devenir efficace à travailler avec les définitions formelles de l'injection et de la surjection. Comme nous l'avons vu, toutes les parties d'une fonction sont importantes (le domaine, le codomaine et la règle de détermination des sorties). Cela est particulièrement vrai pour les fonctions de deux variables.

Par exemple, nous définissons (f: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R} imes mathbb{R}) par

(f(a, b) = (2a + b, a - b)) pour tout ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}).

Notez que le domaine et le codomaine de cette fonction sont l'ensemble (mathbb{R} imes mathbb{R}). Ainsi, les entrées et les sorties de cette fonction sont des paires ordonnées de nombres réels. Par exemple,

(f(1, 1) = (3, 0)) et (f(-1, 2) = (0, -3)).

Pour explorer si (f) est une injection, nous supposons que ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}), ((c, d) in mathbb{R} imes mathbb{R}), et (f(a,b) = f(c,d)). Cela signifie que

((2a + b, a - b) = (2c + d, c - d)).

Puisque cette équation est une égalité de paires ordonnées, nous voyons que

[egin{array} {rcl} {2a + b} &= & {2c + d, ext{ et }} {a - b} &= & {c - d.} end{array} ]

En ajoutant les côtés correspondants des deux équations dans ce système, on obtient (3a = 3c) et donc, (a = c). La substitution de (a = c) dans l'une ou l'autre des équations du système nous donne (b = d). Puisque (a = c) et (b = d), nous concluons que

((a, b) = (c, d)).

Par conséquent, nous avons montré que si (f(a, b) = f(c, d)), alors ((a, b) = (c, d)). Par conséquent, (f) est une injection.

Maintenant, pour déterminer si (f) est une surjection, on laisse ((r, s) in mathbb{R} imes mathbb{R}), où ((r, s)) est considéré comme un élément arbitraire du codomaine de la fonction f . Pouvons-nous trouver une paire ordonnée ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}) telle que (f(a, b) = (r, s)) ? En travaillant à rebours, nous voyons que pour ce faire, nous avons besoin

((2a + b, a - b) = (r, s).)

C'est-à-dire qu'il nous faut

(2a + b = r) et (a - b = s).

La résolution de ce système pour (a) et (b) donne

(a = dfrac{r + s}{3}) et (b = dfrac{r - 2s}{3}).

Puisque (r, s in mathbb{R}), nous pouvons conclure que (a in mathbb{R}) et (b in mathbb{R}) et donc que ( (a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}).

Nous devons maintenant vérifier cela pour. ces valeurs de (a) et (b), on obtient (f(a, b) = (r, s)). Donc

[egin{array} {rcl} {f(a, b)} &= & {f(dfrac{r + s}{3}, dfrac{r - 2s}{3})} { } &= & {(2(dfrac{r + s}{3}) + dfrac{r - 2s}{3}, dfrac{r + s}{3} - dfrac{r - 2s}{ 3})} {} &= & {(dfrac{2r + 2s + r - 2s}{3}, dfrac{r + s - r + 2s}{3})} {} &= & {(r, s).} end{tableau}]

Ceci prouve que pour tout ((r, s) in mathbb{R} imes mathbb{R}), il existe ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{ R}) tel que (f(a, b) = (r, s)). Par conséquent, la fonction (f) est une surjection. Puisque (f) est à la fois une injection et une surjection, c'est une bijection.

Contrôle de progression 6.16 (Une fonction de deux variables)

Soit (g: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (g(x, y) = 2x + y), pour tout ((x , y) in mathbb{R} imes mathbb{R}).

Noter: Fais attention! Une différence majeure entre cette fonction et l'exemple précédent est que pour la fonction (g), le codomaine est (mathbb{R}), et non (mathbb{R} imes mathbb{R} ). C'est une bonne idée de commencer par calculer plusieurs sorties pour plusieurs entrées (et n'oubliez pas que les entrées sont des paires ordonnées).

  1. Notez que la paire ordonnée ((1, 0) in mathbb{R} imes mathbb{R}). C'est-à-dire que (1, 0) est dans le domaine de (g). Notez également que (g(1, 0) = 2). Est-il possible de trouver une autre paire ordonnée ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}) telle que (g(a, b) = 2) ?
  2. Soit (z in mathbb{R}). Alors ((0, z) in mathbb{R} imes mathbb{R}) et donc ((0, z) in ext{dom}(g)). Déterminez maintenant (g(0, z)) ?
  3. La fonction (g) est-elle une injection ? La fonction (g) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
Réponse

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Exercice 6.3

  1. (a) Dessinez un diagramme fléché qui représente une fonction qui est une injection mais pas une surjection.
    (b) Dessinez un diagramme fléché qui représente une fonction qui est une injection et une surjection.
    (c) Dessinez un diagramme fléché qui représente une fonction qui n'est ni une injection ni une surjection.
    (d) Dessinez un diagramme fléché qui représente une fonction qui n'est pas une injection mais une surjection.
    (e) Dessinez un diagramme fléché qui représente une fonction qui n'est pas une bijection.
  2. Soit (mathbb{Z}_5 = {0, 1, 2, 3, 4}) et soit (mathbb{Z}_6 = {0, 1, 2, 3, 4, 5 }). Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si la fonction est une injection et déterminez si la fonction est une surjection. Justifiez toutes les conclusions.

    (a) (f: mathbb{Z}_5 o mathbb{Z}_5) par (f(x) = x^2 + 4) (mod 5), pour tout (x in mathbb{Z}_5)
    (b) (g: mathbb{Z}_6 o mathbb{Z}_6) par (g(x) = x^2 + 4) (mod 6), pour tout (x in mathbb{Z}_6)
    (c) (F: mathbb{Z}_5 o mathbb{Z}_5) par (F(x) = x^3 + 4) (mod 5), pour tout (x in mathbb{Z}_5)

  3. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si la fonction est une injection et déterminez si la fonction est une surjection. Justifiez toutes les conclusions.

    (a) (f: mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (f(x) = 3x + 1), pour tout (x in mathbb{Z}) .
    (b) (F: mathbb{Q} o mathbb{Q}) défini par (F(x) = 3x + 1), pour tout (x in mathbb{Q}) .
    (c) (g: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (g(x) = x^3), pour tout (x in mathbb{R}) .
    (d) (G: mathbb{Q} o mathbb{Q}) défini par (G(x) = x^3), pour tout (x in mathbb{Q}) .
    (e) (k: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (k(x) = e^{-x^2}), pour tout (x in mathbb {R}).
    (f) (K: mathbb{R}^{ast} o mathbb{R}) défini par (K(x) = e^{-x^2}), pour tout ( x in mathbb{R}^{ast}).
    Remarque : (mathbb{R}^{ast} = {x in mathbb{R} | x ge 0}.)
    (g) (K_1: mathbb{R}^{ast} o T) défini par (K_1(x) = e^{-x^2}), pour tout (x in mathbb{R}^{ast}), où (T = {y in mathbb{R} | 0 < y le 1}).
    (h) (h: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (h(x) = dfrac{2x}{x^2 + 4}), pour tout (x in mathbb{R}).
    (i) (H: {x in mathbb{R} | x ge 0} o {y in mathbb{R} | 0 le y le dfrac{ 1}{2}}) défini par (H(x) = dfrac{2x}{x^2 + 4}), pour tout (x in {x in mathbb{R} | x ge 0}).

  4. Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si la fonction est une bijection. Justifiez toutes les conclusions.

    (a) (F: mathbb{R} o mathbb{R}) défini par (F(x) = 5x + 3), pour tout (x in mathbb{R}) .
    (b) (G: mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (G(x) = 5x + 3), pour tout (x in mathbb{Z}) .
    (c) (f: (mathbb{R} - {4}) o mathbb{R}) défini par (f(x) = dfrac{3x}{x - 4}) , pour tout (x in (mathbb{R} - {4})).
    (d) (g: (mathbb{R} - {4}) o (mathbb{R} - {3})) défini par (g(x) = dfrac{3x }{x - 4}), pour tout (x in (mathbb{R} - {4})).

  5. Soit (s: mathbb{N} o mathbb{N}), où pour chaque (n in mathbb{N}), (s(n)) est la somme des diviseurs entiers naturels de (n). C'est le somme des diviseurs fonction qui a été introduit dans l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}) de la section 6.1. Est-ce que (s) est une injection ? Est-ce que (s) est une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  6. Soit (d: mathbb{N} o mathbb{N}), où (d(n)) est le nombre de diviseurs naturels de (n). C'est le nombre de diviseurs fonction introduit dans l'exercice (6) de la section 6.1. La fonction (d) est-elle une injection ? La fonction (d) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  7. Dans l'activité de prévisualisation (PageIndex{2}) de la section 6.1 , nous avons introduit le fonction anniversaire. La fonction anniversaire est-elle une injection ? Est-ce une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  8. (a) Soit (f: mathbb{Z} imes mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (f(m,n) = 2m + n). La fonction (f) est-elle une injection ? La fonction (f) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
    (b) Soit (g: mathbb{Z} imes mathbb{Z} o mathbb{Z}) défini par (g(m,n) = 6m + 3n). La fonction (g) est-elle une injection ? La fonction (g) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  9. (a) Soit (f: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R} imes mathbb{R}) défini par (f(x,y) = (2x , x + y)). La fonction (f) est-elle une injection ? La fonction (f) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
    (b) Soit (g: mathbb{Z} imes mathbb{Z} o mathbb{Z} imes mathbb{Z}) défini par (g(x,y) = (2x , x + y)). La fonction (g) est-elle une injection ? La fonction (g) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  10. Soit (f: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R}) la fonction définie par (f(x, y) = -x^2y + 3y), pour tout ((x, y) in mathbb{R} imes mathbb{R}). La fonction est-elle (f) et injection ? La fonction (f) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  11. Soit (g: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R}) la fonction définie par (g(x, y) = (x^3 + 2)sin y ), pour tout ((x, y) in mathbb{R} imes mathbb{R}). La fonction est-elle (g) et injection ? La fonction (g) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  12. Soit (A) un ensemble non vide. Le fonction d'identité sur l'ensemble (A), notée (I_A), est la fonction (I_A: A o A) définie par (I_A (x) = x) pour tout (x) dans (A). Est-ce que (I_A) est une injection ? Est-ce que (I_A) est une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  13. Soient (A) et (B) deux ensembles non vides. Définir
    [p_1: A imes B o A ext{ by } p_1(a, b) = a]
    pour chaque ((a, b) in A imes B). C'est le première fonction de projection introduit dans l'exercice (5) de la section 6.2.
    (a) La fonction (p_1) est-elle une surjection ? Justifiez votre conclusion.
    (b) Si (B = {b}), la fonction (p_1) est-elle une injection ? Justifiez votre conclusion.
    (c) Dans quelle(s) condition(s) la fonction (p_1) n'est-elle pas une injection ? Faites une conjecture et prouvez-la.
  14. Définir (f: mathbb{N} o mathbb{Z}) soit défini comme suit : Pour chaque (n in mathbb{N}),
    [f(n) = dfrac{1 + (-1)^n (2n - 1)}{4}.]
    La fonction (f) est-elle une injection ? La fonction (f) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.

    Suggestions. Commencez par calculer plusieurs sorties pour la fonction avant d'essayer d'écrire une preuve. Pour déterminer si la fonction est ou non une injection, il peut être judicieux d'utiliser des cas selon que les entrées sont paires ou impaires. Pour déterminer si f est une surjection, envisagez d'utiliser des cas basés sur le fait que la sortie est positive ou inférieure ou égale à zéro.

  15. Soit (C) l'ensemble de toutes les fonctions réelles continues sur l'intervalle fermé [0, 1]. Définissez la fonction (A: C o mathbb{R}) comme suit : Pour chaque (f in C).
    [A(f) = int_0^1 f(x)dx.]
    La fonction (A) est-elle une injection ? Est-ce une surjection ? Justifiez vos conclusions.
  16. Soit (A = {(m, n) | m in mathbb{Z}, n in mathbb{Z}, ext{ et } n e 0}). Définissez (f: A o mathbb{Q}) comme suit :
    Pour chaque ((m, n) in A), (f(m, n) = dfrac{m + n}{n}).
    (a) La fonction f est-elle une injection ? Justifiez votre conclusion.
    (b) La fonction f est-elle une surjection ? Justifiez votre conclusion.
  17. Évaluation des preuves
    Voir les instructions pour l'exercice (19) à la page 100 de la section 3.1.

    (une)

    Proposition. La fonction (f: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R} imes mathbb{R}) définie par (f(x, y) = (2x + y, x - y)) est une injection.

    Preuve

    Pour chaque ((a, b)) et ((c, d)) dans (mathbb{R} imes mathbb{R}), si (f(a, b) = f (c, d)), alors

    ((2a + b, a - b) = (2c + d, c - d).)

    Nous utiliserons des systèmes d'équations pour prouver que (a = c) et (b = d).

    [egin{array} {rcl} {2a + b} &= & {2c + d} {a - b} &= & {c - d} {3a} &= & {3c} {a} &= & {c} end{tableau}]

    Puisque (a = c), on voit que

    ((2c + b, c - b) = (2c + d, c - d).)

    Donc (b = d). Par conséquent, nous avons prouvé que la fonction (f) est une injection.

    (b)

    Proposition. La fonction (f: mathbb{R} imes mathbb{R} o mathbb{R} imes mathbb{R}) définie par (f(x, y) = (2x + y, x - y)) est une surjection.

    Preuve

    Nous devons trouver une paire ordonnée telle que (f(x, y) = (a, b)) pour chaque ((a, b)) dans (mathbb{R} imes mathbb{R }). Autrement dit, nous avons besoin de ((2x + y, x - y) = (a, b)), ou

    (2x + y = a) et (x - y = b).

    En traitant ces deux équations comme un système d'équations et en résolvant pour (x) et (y), nous trouvons que

    (x = dfrac{a + b}{3}) et (y = dfrac{a - 2b}{3}).

    Par conséquent, (x) et (y) sont des nombres réels, ((x, y) in mathbb{R} imes mathbb{R}), et

    [egin{array} {rcl} {f(x, y)} &= & {f(dfrac{a + b}{3}, dfrac{a - 2b}{3})} { } &= & {(2(dfrac{a + b}{3}) + dfrac{a - 2b}{3}, dfrac{a + b}{3} - dfrac{a - 2b}{ 3})} {} &= & {(dfrac{2a + 2b + a - 2b}{3}, dfrac{a + b - a + 2b}{3})} {} &= & {(dfrac{3a}{3}, dfrac{3b}{3})} {} &= & {(a, b).} end{array}]

    Par conséquent, nous. ont prouvé que pour tout ((a, b) in mathbb{R} imes mathbb{R}), il existe un ((x, y) in mathbb{R} imes mathbb {R}) tel que (f(x, y) = (a, b)). Ceci prouve que la fonction (f) est une surjection.

    Explorations et activités

  18. Fonctions définies par morceaux. On dit souvent qu'une fonction est un fonction définie par morceaux s'il a des règles différentes pour déterminer la sortie pour différentes parties de son domaine. Par exemple, on peut définir une fonction (f: mathbb{R} o mathbb{R}) en donnant une règle de calcul (f(x)) quand (x ge 0) et donnant une règle pour calculer (f(x)) lorsque x < 0 comme suit :
    [f(x) = egin{cas} x^2 + 1, & ext{ if (x) (ge) 0;} x - 1 & ext{ if (x ) < 0.} end{cas}]
    (a) Tracez un graphique de la fonction (f). La fonction est-elle (f) et injection ? La fonction (f) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.

    Pour chacune des fonctions suivantes, déterminez si la fonction est une injection et déterminez si la fonction est une surjection. Justifiez toutes les conclusions.

    (b) (g : [0, 1] à (0, 1)) par
    [g(x) = egin{cases} 0.8, & ext{ if (x = 0);} 0.5x & ext{ if (0 < x < 1);} 0.6 & ext{ if (x = 1).} end{cases}]
    (c) (h: mathbb{Z} o {0, 1}) par
    [h(x) = egin{cases} 0, & ext{ si (x) est pair;} 1, & ext{ si (x) est impair.} end{cases }]

  19. Fonctions dont le domaine est (mathcal{M}_2(mathbb{R})). Soit (mathcal{M}_2(mathbb{R})). représentent l'ensemble de toutes les matrices 2 par 2 sur (mathbb{R}).

    (a) Défi det : (mathcal{M}_2(mathbb{R}) o mathbb{R}) par
    [dét
    left [{egin{array} {cc}
    un B
    c & d
    end{tableau}} ight]
    = annonce - bc.]
    C'est le fonction déterminante introduit dans l'exercice (9) de la section 6.2. La fonction déterminante est-elle une injection ? La fonction déterminante est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.

    (b) Définir tran : (mathcal{M}_2(mathbb{R}) o mathcal{M}_2(mathbb{R})) par
    [tran
    left [{egin{array} {cc}
    un B
    c & d
    end{tableau}} ight]
    = A^T =
    left [{egin{array} {cc}
    a & c
    b & d
    end{tableau}} ight].]
    C'est le fonction de transposition introduit dans l'exercice (10) de la section 6.2. La fonction de transposition est-elle une injection ? La fonction de transposition est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.

    (c) Définir (F: mathcal{M}_2(mathbb{R}) o mathbb{R}) par
    [F
    left [{egin{array} {cc}
    un B
    c & d
    end{tableau}} ight]
    = a^2 + d^2 - b^2 - c^2.]
    La fonction (F) est-elle une injection ? La fonction (F) est-elle une surjection ? Justifiez vos conclusions.

Réponse

Ajoutez des textes ici. Ne supprimez pas ce texte en premier.


Bijection, injection et surjection

Les fonctions peuvent être injections (fonctions individuelles), surjections (sur les fonctions) ou alors bijections (tous les deux Un par un et sur). De manière informelle, une injection a chaque sortie mappée sur au plus une entrée, une surjection inclut toute la plage possible de la sortie et une bijection a les deux conditions vraies.

Ce concept permet des comparaisons entre les cardinalités des ensembles, dans les preuves comparant les tailles des ensembles finis et infinis.

Contenu


Représentation

Afin de définir une fonction $f$, nous devons spécifier le domaine, le codomaine et comment carte éléments du domaine au codomaine. We can do this in two ways:

  • List out the pairs (as we did for the examples above)
  • Specify a rule that describes how to get from input to corresponding output

The functions you have experience with likely all come from a subset of the latter class, that is, functions that have rules that are algebraic. However, rules need not be algebraic. Consider the following rule $f$, that maps positive integers to positive integers (a set we will define shortly but take for granted now):

$f$ is indeed a valid function, as are the various algebraic functions you have seen before: $f(x) = x^2$, $g(x) = frac<>>$, and so on. Another way of writing algebraic functions is $f: x mapsto x^2$ we can even drop the $f$ and simply write $x mapsto x^2$ if we don’t need to give the function a name. This is read as “the mapping that sends $x$ to $x^2$.” This symbol is similar to the $ ightarrow$ we use when defining the domain and codomain of a function, but there is a subtle difference.

However, something like $x^2 + y^2 = 1$ is not a function, as for each $x$ there are two $y$ values, and vice versa.

Note: Some functions do not have closed form representations. A common example is $f(x) = int_<-infty>^x e^<-t^2>dt$ – this is a perfectly valid function, however there is no way to express it other than as an integral or limit of an infinite sum. This integral is commonly used in probability theory its lack of a closed form representation is the reason we use pre-computed tables to find values on a normal distribution.

We will now look at two very related classes of functions.


Injections, Surjections and Bijections¶

Imagine a school dance. There is a set of boys and a set of girls. When the music starts, each boy picks a girl to dance with.

Think of this as a mapping from a boy to a girl, or from an element in the set of boys to an element in the set of girls.

The mapping is said to be injective (ou alors Un par un) if each boy picks a different girl. If two boys try to dance with the same girl, the mapping isn’t injective.

The mapping is said to be surjectif (ou alors sur) if no girls are left without a partner. If there is a girl not dancing, the mapping isn’t surjective.

If the mapping is both injective and surjective it is said to be bijective.

You can immediately tell if there are the same number of boys and girls if the mapping is bijective—in other words, each boy is dancing with one and only one girl and no girls are left without a boy to dance with.

The existence of a bijection can be used to demonstrate that two sets have same number of elements or, in the case of infinite sets, have the same cardinality.

Bijections are also very important in establishing the equivalence between two structured sets (for example between two topological spaces) as we shall see in the near future.


By inverse

One can also prove that is a bijection by showing that it has an inverse: a function such that and for all and . As we saw in my last post, these facts imply that is one-to-one and onto, and hence a bijection. And it really is necessary to prove tous les deux and : if only one of these hold then is called a la gauche ou alors droite inverse, respectively (more generally, a one-sided inverse), but needs to have a full-fledged two-sided inverse in order to be a bijection.

…unless and are of the same finite size! In that case, it’s enough to show the existence of a one-sided inverse—say, a function such that . Then is (say) a one-to-one function between finite equal-sized sets, hence it is also onto (and hence is actually a two-sided inverse).

We must be careful, however: sometimes the reason for constructing a bijection in the first place is in order to show that and have the same size! This kind of thing is common in combinatorics. In that case one really must show a two-sided inverse, even when and are finite otherwise you end up assuming what you are trying to prove.


(T:mathbb^2 ightarrow mathbb^2) given by (Tleft(egin xyend ight) = egin x+y 2x-y end).

(T) is a surjection and an injection.

(T:mathbb^2 ightarrow mathbb^3) given by (T(z) = Az) where (A = egin i & 2 -1 & 1 0 & 1 end).

(T) is an injection but not a surjection.

(T:P_2 ightarrow mathbb^2) where (P_2) denotes the vector space of polynomials in (x) with real coefficients having degree at most (2) and (T) is given by (T(ax^2+bx+c) = egin a+b b-cend).


Exemples de fonctions

  • f(x) = x². Note: this single rule gives several different functions, e.g. f:ℝ→ℝ, f:ℤ→ℤ, f:ℕ→ℕ, f:ℤ→ℕ. Changing the domain or codomain changes the function.
  • f(x) = x+1.
  • Floor and ceiling functions: when x is a real number, floor(x) (usually written ⌊x⌋) is the largest integer less than or equal to x and ceiling(x) (usually written ⌈x⌉) is the smallest integer greater than or equal to x. E.g. ⌊2⌋=⌈2⌉=2, ⌊2.337⌋=2, ⌈2.337⌉=3.
  • The function from < 0, 1, 2, 3, 4 >to < a, b, c >given by the following table:

      Sequences and generalized Cartesian products

      Sequences, e.g. x=1,2,3,4. or y=1,0,1,0,1,0. are just thinly-disguised functions from an index set (often ℕ or ℕ-<0>) to some codomain. When we think of a function as a sequence, we usually write the argument as a subscript, e.g. X0 = 1 instead of x(0) = 1. Sequences also give us a way to define order tuples with more than two elements: (a,b,c) is the sequence represented by the function x from <1,2,3>to some codomain with x1 = a, x2 = b, x3 = c.

      We can think of the Cartesian product of k sets (where k need not be 2) as a set of sequences indexed by the set <1..k>(or sometimes <0..k-1>). Technically this means that A×B×C (a set of functions) is not the same as (A×B)×C (the set of all ordered pairs whose first element is an ordered pair in A×B and whose second element is in C) or A×(B×C) (the set of ordered pairs whose first element is in A and whose second element is in B×C). This distinction has no practical effect and so we typically ignore it the technical justification for this is that the three different representations are all isomorphic in the sense that a translation exists between each pair of them that preserves their structure.

      A special case is the Cartesian product of no sets. This is just the set containing a single element, the empty sequence.

      Cartesian products over indexed collections of sets can be written using product notation (see SummationNotation), e.g.

      Functions of more (or less) than one argument

      If f:A×B→C, then we write f(a,b) for f((a,b)). In general we can have a function with any number of arguments (including 0) a function of k arguments is just a function from a domain of the form A₁×A₂×. UNEk to some codomain B.


      Notes on proofs

      There are two ways to come up with the proofs below:

      Write down the claim, then write down the assumptions, then replace words with their definitions as necessary the result will often just fall out immediately

      Work through a few examples and try to find a common pattern.

      Here are the key things to look for in these proofs and to ensure when you write your own proofs:

      the claim being proved is clearly stated, and clearly separated from the beginning of the proof

      each step / sentence clearly states some fact. In particular, the words, variables, symbols, and phrases that are used have all been previously defined.

      the stated fact is true (in the context of the assumptions that have been made)

      each step follows from the facts already stated. The reasoning behind each step is explained as much as is necessary to make it clear.

      if the proof requires multiple parts, the reader is reminded what the parts are, especially when transitioning from one part to another.


      Topological Injections and Topological Surjections

      (Pietsch [1980, p.26]). Let E and F be normed spaces over K and T ∊ L(E,F). The injection modulus of T is given by ( 6.1.1 ) j ( T ) = sup < τ ≥ 0 : τ ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ ( for all x ∈ E ) >, https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq809.tif"/>

      and the surjection modulus of T is given by ( 6.1.2 ) q ( T ) ​ = sup < τ ≥ 0 : τ U F ⊂ Τ ( U E ) >. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq810.tif"/>

      In particular, if T = O (the zero operator) then we put j ( O ) = 0 and q ( O ) = 0. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq811.tif"/>

      It is easily seen that j ( T ) = inf < ‖ Tx ‖ : ‖ x ‖ = 1 >( for all T ∈ L ( E,F ) ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq812.tif"/>

      It is also clear that j ( T ) ≤ ‖ T ‖ and q ( T ) ≤ ‖ T ‖ ( for all T ∈ L ( E,F ) ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq813.tif"/>

      and that q(T) > 0 if and only if T is open.

      Most of the results of this section are taken from the excellent book written by Pietsch [1980].

      6.a A characterization of injection modulus:

      Let E and F be normed spaces and T ∊ L(E,F). Then the following statements are equivalent:

      T is one–one and τ T − 1 ( U F ) ⊂ U E https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq814.tif"/> .

      T is one–one and ( τ U F ) ∩ ( TE ) ⊂ TU E https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq815.tif"/> (i.e. T is relatively open).

      99T has a bounded inverse T –1 :T(E) → E.

      As an application of Banach’s open mapping theorem, the surjection modulus can be calculated by the following:

      Let E and F be Banach spaces and T ∊ L(E,F). Then q ( T ) ​ = sup < τ ≥ 0 : τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ >. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq816.tif"/>

      Suppose that q ( T ) ¯ ​ = sup < τ ≥ 0 : τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ >. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq817.tif"/>

      Then q ( T ) ≤ q ( T ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq818.tif"/> . To prove that q ( T ) ¯ ≤ q ( T ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq819.tif"/> , it suffices to show that for any β > 0 with β U F ⊂ T ( U E ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq820.tif"/> , we have β ≤ q(T).

      In fact, let β be such a number. Then T ( U E ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq821.tif"/> is a 0–neighbourhood in F for the norm–topology, hence T is almost open, thus T open (by (4.5) (b)) consequently, δT(UE) is a 0–neighbourhood in F (for any δ > 0). As β U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ = ∩ μ > 0 < Τ ( U E ) + μ U F >= ∩ δ > 0 < T ( U E ) + δ Τ ( U E ) >⊂ ( 1 + δ ) Τ ( U E ) ( for all δ > 0 ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq822.tif"/>

      we conclude that β 1 + δ ≤ q ( T ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq823.tif"/> , and hence that β ≤ q(T) (since δ was arbitrary), which obtains our requirement.

      From the proof of the preceding result, we see that if E and F are only assumed to be normed spaces, then T ∊ L(E,F) is almost open if and only if sup < τ ≥ 0 : τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ >> 0. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq824.tif"/>

      100Let E and F be normed spaces over K and T ∊ L(E,F). We say that T is a :

      topological injection or isomorphic embedding), denoted by T : E >→F, if j(T) > 0

      metric injection if j ( T ) = 1 = ‖ T ‖ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq825.tif"/> .

      topological surjection, denoted by T : E ↠ F, if q(T) > 0

      metric surjection if q ( T ) = 1 = ‖ T ‖ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq826.tif"/> .

      Suppose that T ∊ L(E,F). Then T is a topological surjection if and only if it is open T is an isomorphism if and only if it is a topological injection and topological surjection and T is a metric isomorphism (i.e. isometry) if and only if it is a metric injection and a metric surjection.

      Let E and F be Banach spaces and T ∊ L(E,F). Then the following statements are equivalent:

      (a) T is a topological injection.

      (b) T is one–one and has a closed range T(E).

      (c) T admits a factorization https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/page100.tif"/>

      where T0 : E → T(E) is an isomorphism and JT(E) is the embedding map.

      In this case, we have ( 6.4.1 ) j ( T ) = ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq827.tif"/>

      (a) ⇒ (b): As j(T) > 0, for any a with 0 < α < j(T), there exists an r > 0 such that ( 1 ) r>α and r ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ ( for all x ∈ E ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq828.tif"/>

      It then follows that T is one–one [since Tx = 0 ⇒ x = 0].

      To prove the closedness of T(E), let TXm → y in F. Then < xm > is a Cauchy sequence in E(by (1)), hence converges to some x ∊ E (by the completeness of E), thus lim n Tx n = y = Tx ∈ T ( E ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq829.tif"/>

      (b) ⇒ (c): By Banach’s open mapping theorem, the statement (b) ensures that the map T0, defined by T 0 x = Tx ( for all x ∈ E ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq830.tif"/>

      is an isomorphism from E onto the Banach space T(E). Thus the implication follows.

      (c) ⇒ (a): Since T0 has a bounded inverse T 0 − 1 : T ( E ) → E https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq831.tif"/> , it follows that ‖ x ‖ = ‖ T 0 − 1 ( Tx ) ‖ ≤ ‖ T 0 − 1 ‖ ‖ Tx ‖ ( for all x ∈ E ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq832.tif"/>

      and hence that ( 2 ) j ( T ) = ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 > 0. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq833.tif"/>

      Therefore T is a topological injection.

      Finally, we assume that T is a topological injection. Then j ( T ) ≥ ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq834.tif"/> (by (2)). In order to verify (6.4.1), it suffices to show that for any r > 0 with r ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ ( x ∈ E ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq835.tif"/> , we have r ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 ≤ 1. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq836.tif"/>

      102Indeed, let r > 0 be such a number. Then r ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 = r sup < ‖ T 0 − 1 ( Tx ) ‖ : ‖ Tx ‖ ≤ 1 >= sup < r ‖ x ‖ : ‖ Tx ‖ ≤ 1 >≤ sup < ‖ Tx ‖ : ‖ Tx ‖ ≤ 1 >≤ 1 , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq837.tif"/>

      which obtains our assertion.

      Let E and F be Banach spaces and T ∊ L(E,F). Then the following statements are equivalent:

      (a) T is a topological surjection.

      (c) T admits a factorization https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/page102.tif"/>

      where T0 : E/Ker T → F is an isomorphism and Q is the quotient map.

      In this case, we have ( 6.5.1 ) q ( T ) = ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq838.tif"/>

      (a) ⇒ (b): Trivial (Open mappings must be onto).

      (b) ⇒ (c): Follows from Banach’s open mapping theorem and the fact that T0 is continuous and open (since T is onto and E/Ker T and F are Banach spaces).

      (c) ⇒ (a): As T0 and Q are open, it follows from T = T0Q that T is open.

      Finally, to prove (6.5.1), we first notice that if τ > 0 is such that τ U F ⊂ T ( U E ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq839.tif"/> , then ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 = sup < ‖ T 0 − 1 y ‖ : y ∈ U F >≤ sup < ‖ T 0 − 1 ( τ − 1 Tx ) ‖ : x ∈ U E >= τ − 1 sup < ‖ Qx ‖ : x ∈ U F >≤ τ − 1 , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq840.tif"/>

      103hence τ ≤ ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq841.tif"/> , and consequently, q ( T ) ≥ ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq842.tif"/> . Conversely, let r = ‖ T 0 − 1 ‖ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq843.tif"/> . We claim that rO F ⊂ T ( U E ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq844.tif"/> ,

      so that rU F = rO F ⊆ T ( U E ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq845.tif"/> consequently, r ≤ q(T).

      In fact, for any y ∊ OF, there is an x ∊ E with ry = Tx [since T is onto]. As T = T0Q and T0 is an isomorphism, it follows from ry = Tx that rT 0 − 1 y = T 0 − 1 x = Qx https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq846.tif"/> , and hence that ‖ Qx ‖ = r ‖ T 0 − 1 y ‖ ≤ ‖ T 0 − 1 ‖ ‖ y ‖ = ‖ y ‖ < 1. https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq847.tif"/>

      Notice that Q ( O E ) = O E / Ker T https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq848.tif"/> . There exists an u ∊ OE such that Qx = Qu it then follows from T ​ = T ∘ ∘ Q https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq849.tif"/> and ry = Tx that ry = Tx = ( T o Q ) x = T o ( Qu ) = Tu ∈ T ( O E ) ⊂ T ( O E ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq850.tif"/> which obtains our assertion.

      For criteria of topological injections (resp. topological surjections) between normed spaces, we quote the following two results:

      6.b Topological injections and subspaces (see <xref ref-type="bibr" rid="ref54">Junek [1983]</xref>):

      Let E and F be normed spaces and T ∊ L(E, F). Then the following statements are equivalent

      (i) T is a topological injection.

      104(ii) T is one–one and relatively open.

      (iii) (Universal property of topological injections and subspaces) T is one–one, and for any normed space G and any S ∊ L(G,F) with S ( G ) ⊂ Τ ( E ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq851.tif"/>

      there exists exactly one S0 ∊ L(G,E) such that S = TS0 (i.e., S can be factorized through T from the left).

      6.c Universal property of topological surjections and quotients (see <xref ref-type="bibr" rid="ref54">Junek [1983]</xref>):

      Let E and F be normed spaces and T ∊ L(E,F). Then T is a topological surjection (i.e., open) if and only if T is onto, and for any normed space F0 and any S ∊ L(E,F0) with Ker T ⊂ Ker S, https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq852.tif"/>

      there exists exactly one R0 ∊ L(F,F0) such that S = R0T (i.e. S can be factorized through T from the right).

      We now describe the duality relations between topological injections and topological surjections as follows:

      6.6 Theorem (<xref ref-type="bibr" rid="ref86">Pietsch [1980]</xref>)

      Let E and F be Banach spaces and T ∊ L(E,F). Then j ( T ) = q ( T ′ ) and j ( T ′ ) = q ( T ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq853.tif"/>

      In particular, T is a topological injection (resp. metric injection) if and only if its dual operator T' is a topological surjection (resp. metric surjection) T is a topological surjection (resp. metric surjection) if and only if T' is a topological injection (resp. metric injection). Consequently, T is an isomorphism (resp. metric isomorphism) if and only if T' 105is an isomorphism (resp. metric isomorphism).

      The equality j(T) = q(T') clearly follows from ( 1 ) τ ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ ( x ∈ E ) ⇔ τ U E ′ ⊂ T ′ ( U F ′ ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq854.tif"/>

      Thus, we are going to show that (1) is true.

      In fact, let τ > 0 be such that τ ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq855.tif"/> (x ∊ E). For any u ′ ∈ U E https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq856.tif"/> , the functional f, defined by < Tx,f> = <x, u ′ > ( x ∈ E ) , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq857.tif"/>

      is a linear functional on T(E) (since T is one–one). As τ ‖ x ‖ ≤ ‖ Tx ‖ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq858.tif"/> (x ∊ E), it follows that | < Tx,f> | = | < x, u ′ > | ≤ ‖ x ‖ ‖ u ′ ‖ ≤ ‖ x ‖ τ − 1 ‖ Tx ‖ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq859.tif"/>

      in other words, f is continuous with ‖ f ‖ T ( E ) ≤ τ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq860.tif"/> . By Hahn–Banach’s extension theorem, f has an extension y′ ∊ F' with ‖ y ′ ‖ = ‖ f ‖ T ( E ) ≤ τ − 1 https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq861.tif"/> . In particular, < x,T' y ′ > = < Tx, y ′ > = < Tx,f > = < x, u ′ > ( x ∈ E ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq862.tif"/>

      thus u′ = T' y′ and τ u ′ = T ' ( τ y ′ ) ∈ T ' ( U F ′ ) https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq863.tif"/> , which shows that τ U E ′ ⊂ T ′ ( U F ′ ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq864.tif"/>

      Conversely, let τ > 0 be such that τ U E ′ ⊂ T ′ ( U F ′ ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq865.tif"/> For any x ∊ E, we have τ ‖ x ‖ = τ sup < | < x, u ′ | : u ′ ∈ U E ′ >≤ τ sup < | < x, τ ′ T ′ v ′ > | : v ′ ∈ U F ′ >= sup < | < Tx, v ′ > | : v ′ ∈ U F ′ >= ‖ Tx ‖ . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq866.tif"/>

      By (6.2), the equality j(T') = q(T) follows from ( 2 ) τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ ⇔ τ ‖ v ′ ‖ ≤ ‖ T ′ v ′ ‖ ( v ′ ∈ F ′ ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq867.tif"/>

      In fact, let τ > 0 be such that τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq868.tif"/> .For any v′ ∊ F', we have τ ‖ v ′ ‖ = τ sup < | < y, v ′ > | : y ∈ U F >≤ τ sup < | τ − 1 < Tx, v ′ > | : x ∈ U E >= sup < | < x,T' v ′ > | : x ∈ U E >= ‖ T' v ′ ‖ . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq869.tif"/>

      Conversely, let τ > 0 be such that ( 3 ) τ ‖ v ′ ‖ ≤ ‖ T' v ′ ‖ . ( v ′ ∈ F' ) . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq870.tif"/>

      To prove that τ U F ⊂ Τ ( U E ) ¯ https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq871.tif"/> , we assume on the contrary that there is an y ∊ UF such that τ y ∉ T ( U E ) ¯ . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq872.tif"/>

      Then the strong separation theorem (see(8.3) in §8) ensures that there is an g ∊ F' such that sup < | < Tx,g | : x ∈ U E >≤ 1 < | < τ y,g> | . https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq873.tif"/>

      Therefore ‖ T'g ‖ = sup < | < x,T'g> | : x ∈ U E >≤ 1 < | < τ y,g> | ≤ τ ‖ y ‖ ‖ g ‖ ≤ τ ‖ g ‖ , https://s3-euw1-ap-pe-df-pch-content-public-p.s3.eu-west-1.amazonaws.com/9780203749807/5de412b8-5336-471a-bfe1-4d0bad2c9b56/content/eq874.tif"/>

      6.d <target target-type="page">107</target>The composition of topological injections:


      Exercice 1:

      • On ne perd rien à supposer que $a = h circ g circ f$ et $b = g circ f circ h$ sont surjectives et que $c = f circ h circ g$ est injective.
      • Pour la deuxième question, on peut supposer par exemple que $a$ et $b$ sont injectives et que $c$ est surjective. On en déduit alors que $f$ est injective et surjective donc bijective, puis qu'il en est de même de $h$, avant de terminer par $g$.

      Exercice 2:

      Les applications $g$ et $h$ ne diffèrent qu'en $y$. Ainsi $g circ f = h circ f$ car pour tout $x$ de $E$, on a $f(x) e y$ et donc $g(f(x)) = h(f(x))$. Pourtant $g e h$.
      On a donc prouvé l'équivalence demandée.

      Exercice 3:

      De même, l'application $h = (h circ g) circ g^<-1>$ est bijective.

      Exercice 4:

      Exercice 5: