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4.4 : Produits cartésiens - Mathématiques


Une autre façon d'obtenir un nouvel ensemble à partir de deux ensembles donnés (A) et (B) est de former des paires ordonnées. Un paire ordonnée ((x,y)) se compose de deux valeurs (x) et (y). En général, ((a,b)=(c,d)) si et seulement si (a=c) et (b=d).

Définition : Produit cartésien

le produit cartésien de (A) et (B) est l'ensemble

[A imes B = { (a,b) mid a in A wedge b in B } onumber]

Ainsi, (A imes B) (lu comme "(A) cross (B)") contient toutes les paires ordonnées dans lesquelles les premiers éléments sont sélectionnés à partir de (A), et les seconds éléments sont sélectionnés parmi (B).

Exemple (PageIndex{1}label{ex:cartprod-01})

Soit (A = {mbox{John}, mbox{Jim}, mbox{Dave}}) et (B = {mbox{Mary}, mbox{Lucy}}) . Déterminez (Afois B) et (Bfois A).

Solution

On trouve [displaylines{ A imes B = { (mbox{John},mbox{Mary}), (mbox{John},mbox{Lucy}), (mbox{Jim}, mbox{Mary}), (mbox{Jim}, mbox{Lucy}), (mbox{Dave},mbox{Mary}), (mbox{Dave},mbox{Lucy})}, cr B imes A = { (mbox{Marie},mbox{Jean}), (mbox{Marie},mbox{Jim}), (mbox{Marie},mbox{Dave}) , (mbox{Lucy},mbox{John}), (mbox{Lucy},mbox{Jim}), (mbox{Lucy},mbox{Dave})}. cr} onumber] En général, (A imes B eq B imes A).

Exemple (PageIndex{2}label{ex:cartprod-02})

Déterminer (A imes B) et (A imes A) :

  1. (A={1,2}) et (B={2,5,6}).
  2. (A={5}) et (B={0,7}).
Solution

(a) On trouve [egin{array}{rcl} A imes B &=& {(1,2), (1,5), (1,6), (2,2), (2 ,5), (2,6)}, Afois A &=& {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)}. end{tableau} onumber]

(b) Les réponses sont (Afois B = {(5,0), (5,7)}), et (Afois A = {(5,5)}) .

exercice pratique (PageIndex{1}label{he:cartprod-01})

Soit (A={a,b,c,d}) et (B={r,s,t}). Recherchez (Afois B), (Bfois A) et (Bfois B).

Exemple (PageIndex{3}label{ex:cartprod-03})

Déterminez (wp({1,2}) imes {3,7}). Assurez-vous d'utiliser une notation correcte.

Solution

Pour un problème compliqué, divisez-le en tâches plus petites et résolvez chacune séparément. Assemblez-les ensuite pour former la réponse finale. Dans ce problème, nous évaluons d'abord [wp({1,2}) = ig{emptyset, {1}, {2}, {1,2} ig }. onumber] Cela conduit à [egin{array}{rcl} wp({1,2}) imes {3,7} &=& ig{emptyset, {1 }, {2}, {1,2} ig} imes {3,7} &=& ig{ (emptyset,3), (emptyset,7 ), ({1},3), ({1},7), ({2},3), ({2},7), ({1,2} ,3), ({1,2},7) grand}. end{array} onumber] Vérifiez que nous avons des parenthèses gauche et droite correspondantes, et des accolades gauche et droite correspondantes.

exercice pratique (PageIndex{2}label{he:cartprod-02})

Recherchez ({a,b,c} imeswp({d})).

Exemple (PageIndex{4}label{ex:cartprod-04})

Comment pourrait-on décrire le contenu du produit cartésien ([1,3] imes {2,4}) ? Comme ([1,3]) est un ensemble infini, il est impossible de lister toutes les paires ordonnées. Nous devons utiliser la notation du constructeur d'ensemble : [[1,3] imes {2,4} = { (x,y) mid 1leq xleq3, y=2,4} . onumber] On peut aussi écrire ([1,3] imes {2,4} = { (x,2), (x,4) mid 1leq xleq3}) .

exercice pratique (PageIndex{3}label{HE:cartprod-03})

Décrivez, en utilisant la notation du constructeur d'ensembles, le produit cartésien ([1,3] imes [2,4]).

Les produits cartésiens peuvent être étendus à plus de deux ensembles. Au lieu de paires ordonnées, nous avons besoin (n)-uplets ordonnés. le Produit cartésien (n)-fold de (n) ensembles (A_1, A_2, ldots, A_n) est l'ensemble

[$A_1 imes A_2 imes cdots imes A_n
= {(a_1,a_2,ldots,a_n) mid a_i in A_i mbox{ pour chaque } i,
1 leq i leq n } onumber]

En particulier, lorsque (A_i=A) pour tout (i), on abrège le produit cartésien en (A^n).

Exemple (PageIndex{5}label{ex:cartprod-05})

L'espace de dimension (n) est noté (mathbb{R}^n). C'est le produit cartésien (n)-fold de (mathbb{R}). Dans des cas particuliers, (mathbb{R}^2) est le plan (xy) et (mathbb{R}^3) est l'espace (xyz).

exercice pratique (PageIndex{5}label{he:cartprod-04})

Soit (A={1,2}), (B={a,b}), et (C={r,s,t}). Trouvez (Afois Bfois C).

Exemple (PageIndex{6}label{ex:cartprod-06})

D'un point de vue technique, ((A imes B) imes C) est différent de (A imes B imes C). Pouvez-vous expliquer pourquoi? Pouvez-vous discuter de la différence, le cas échéant, entre ((A imes B) imes C) et (A imes (B imes C)) ? Par exemple, donnez quelques exemples spécifiques des éléments dans ((A imes B) imes C) et (A imes (B imes C)) pour illustrer leurs différences.

Solution

Les éléments de ((Afois B)fois C) sont des paires ordonnées dans lesquelles les premières coordonnées sont elles-mêmes des paires ordonnées. Un élément typique dans ((A imes B) imes C) prend la forme de [ig((a,b),cig). onumber] Les éléments de (A imes B imes C) sont des triplets ordonnés de la forme [(a,b,c). onumber] Puisque leurs éléments semblent différents, il est clair que ((A imes B) imes C eq A imes B imes C). De même, un élément typique dans (A imes (B imes C)) ressemble à [ig(a,(b,c)ig). onumber] Par conséquent, ((A imes B) imes C eq A imes(B imes C)), et (A imes (B imes C) eq A imes B fois C).

Théorème (PageIndex{1})

Pour tout ensemble (A), (B) et (C), nous avons [egin{array}{rcl} A imes (B cup C) &=& (A imes B) cup (A imes C), A imes (B cap C) &=& (A imes B) cap (A imes C), A imes (B - C) &=& (A imes B) - (A imes C).end{array} onumber]

Remarque

Comment montrerions-nous que les deux ensembles (S) et (T) sont égaux ? Nous devons montrer que [xin S Leftrightarrow xin T. onumber] La complication dans ce problème est que (S) et (T) sont des produits cartésiens, donc (x ) prend une forme particulière, à savoir celle d'un couple ordonné. Considérez la première identité comme exemple ; nous devons montrer que [(u,v)in A imes (B cup C) Leftrightarrow (u,v)in (A imes B) cup (A imes C). onumber] Nous prouvons cela en deux étapes : d'abord en montrant (Rightarrow), puis (Leftarrow), ce qui équivaut à d'abord montrer (subseteq), puis (supseteq). Alternativement, nous pouvons utiliser (Leftrightarrow) tout au long de l'argument.

Preuve 1

Soit ((u,v)in A imes(Bcup C)). Puis (uin A), et (vin Bcup C). La définition de l'union implique que (vin B) ou (vin C). Jusqu'à présent, nous avons trouvé

  1. (uin A) et (vin B), ou
  2. (uen A) et (ven C).

Ceci équivaut à

  1. ((u,v)in Afois B), ou
  2. ((u,v)in Afois C).

Ainsi, ((u,v)in (Afois B)cup(Afois C)). Cela prouve que (A imes(Bcup C) subseteq (A imes B)cup(A imes C)).

Ensuite, soit ((u,v)in (A imes B)cup(A imes C)). Puis ((u,v)in A imes B), ou ((u,v)in A imes C). Ça signifie

  1. (uin A) et (vin B), ou
  2. (uen A) et (ven C).

Les deux conditions nécessitent (uin A), nous pouvons donc les réécrire sous la forme

  1. (udans A), et
  2. (vin B) ou (vin C);

ce qui équivaut à

  1. (udans A), et
  2. (vin Bcup C).

Ainsi, ((u,v)in A imes(Bcup C)). Nous avons prouvé que ((A imes B) cup(A imes C) subseteq A imes(Bcup C)). Avec (A imes (Bcup C) subseteq (A imes B)cup(A imes C)) que nous avons prouvé précédemment, nous concluons que (A imes(Bcup C ) = (Afois B)cup (Afois C)).

Preuve 2

Nous prouverons seulement la première égalité. Depuis [egin{array}{rll} (u,v) in A imes (B cup C) & Leftrightarrow u in A wedge v in (B cup C) & ( ext{ défn. du produit cartésien}) & Leftrightarrow u in A wedge (v in B vee v in C) & ( ext{defn. of union}) & Leftrightarrow (u in A wedge v in B) vee (u in A wedge v in C) & ( ext{loi distributive}) & Leftrightarrow (u, v) in A imes B vee ( u, v) in A imes C & ( ext{defn. of Cartésian product}) & Leftrightarrow (u,v) in (A imes B) cup (A imes C) & ( ext{defn. of union}) end{array}] nous concluons que (A imes(Bcup C) = (A imes B)cup(A imes C)).

Théorème (PageIndex{2}label{cartprodcard})

Si (A) et (B) sont des ensembles finis, avec (|A|=m) et (|B|=n), alors (|A imes B| = mn) .

Preuve

Les éléments de (A imes B) sont des paires ordonnées de la forme ((a,b)), où (ain A), et (bin B). Il y a (m) choix de (a). Pour chaque (a) fixe, nous pouvons former la paire ordonnée ((a,b)) de (n) manières, car il y a (n) choix pour (b). Ensemble, les paires ordonnées ((a,b)) peuvent être formées de (mn) manières.

L'argument que nous avons utilisé dans la preuve s'appelle principe de multiplication. Nous l'étudierons à nouveau au chapitre 8. En bref, il dit que si un travail peut être terminé en plusieurs étapes, alors le nombre de façons de terminer le travail est le produit du nombre de façons de terminer chaque étape.

Corail (PageIndex{3})

Si (A_1,A_2,ldots,A_n) sont des ensembles finis, alors (|A_1 imes A_2 imes cdots imes A_n| = |A_1| cdot |A_2|,cdots, |A_n |).

Corollaire (PageIndex{4})

Si (A) est un ensemble fini avec (|A|=n), alors (|wp(A)|=2^n).

Preuve

Soit les éléments de (A) (a_1,a_2,ldots,a_n). Les éléments de (wp(A)) sont des sous-ensembles de (A). Chaque sous-ensemble de (A) contient des éléments de (A). Associer à chaque sous-ensemble (S) de (A) un (n)-tuple ordonné (ig(b_1,b_2,ldots,b_nig)) de ({0,1 }^n) tel que [b_i = cases{ 0 & si $a_i otin S$, cr 1 & if $a_iin S$. cr} onumber] La valeur du (i)ème élément dans ce (n)-uplet ordonné indique si le sous-ensemble (S) contient l'élément (a_i). Il est clair que les sous-ensembles de (A) sont en correspondance biunivoque avec les (n)-uplets. Cela signifie que l'ensemble de puissance (wp(A)) et le produit cartésien ({0,1}^n) ont la même cardinalité. Puisqu'il existe des (2^n) (n)-uplets ordonnés, nous concluons qu'il existe également des sous-ensembles (2^n).

Cette idée de correspondance biunivoque est un concept très important en mathématiques. Nous l'étudierons à nouveau au chapitre 6.

Résumé et examen

  • Le produit cartésien de deux ensembles (A) et (B), noté (A imes B), est constitué de paires ordonnées de la forme ((a,b)), où (a ) vient de (A), et (b) vient de (B).
  • Puisque des paires ordonnées sont impliquées, (A imes B) n'est généralement pas égal à (B imes A).
  • La notion de paires ordonnées peut être étendue de manière analogue aux (n)-uplets ordonnés, donnant ainsi un produit cartésien (n)-fold.
  • Si (A) et (B) sont des ensembles finis, alors (|A imes B| = |A|cdot|B|).

Exercice (PageIndex{1}label{ex:cartprod-01})

Soit (X={-2,2}), (Y={0,4}) et (Z={-3,0,3}). Évaluez les produits cartésiens suivants.

  1. (Xfois Y)
  2. (Xfois Z)
  3. (Zfois Yfois Y)

Exercice (PageIndex{2}label{ex:cartprod-02})

Considérons les ensembles (X), (Y) et (Z) définis dans l'exercice précédent. Évaluez les produits cartésiens suivants.

  1. (Xfois Yfois Z)
  2. ((Xfois Y)fois Z)
  3. (Xfois (Yfois Z))

Exercice (PageIndex{3}label{ex:cartprod-03})

Sans lister tous les éléments de (Xfois Yfois Xfois Z), où (X), (Y) et (Z) sont définis dans le premier exercice, déterminez ( |Xfois Yfois Xfois Z|).

Exercice (PageIndex{4}label{ex:cartprod-04})

Déterminez (|wp(wp(wp({1,2})))|).

Exercice (PageIndex{5}label{ex:cartprod-05})

Considérons l'ensemble (X={-2,2}). Évaluez les produits cartésiens suivants.

  1. (Xfoiswp(X))
  2. (wp(X)foiswp(X))
  3. (wp(Xfois X))

Exercice (PageIndex{6}label{ex:cartprod-06})

Soient (A) et (B) des ensembles arbitraires non vides.

  1. A quelle condition (Afois B = Bfois A) ?
  2. Dans quelle condition ((Afois B)cap(Bfois A)) est-il vide ?

Exercice (PageIndex{7}label{ex:cartprod-07})

Soit (A), (B) et (C) trois ensembles quelconques. Prouve-le

  1. (Afois(Bcap C) = (Afois B)cap (Afois C))
  2. (Afois(B - C) = (Afois B) - (Afois C))

Exercice (PageIndex{8}label{ex:cartprod-08})

Soit (A), (B) et (C) trois ensembles quelconques. Démontrer que si (Asubseteq B), alors (A imes C subseteq B imes C).


Produit cartésien

Pour deux ensembles UNE et B, le produit cartésien de UNE et B est désigné par UNE×B et défini comme :

Le produit cartésien est la multiplication de deux ensembles pour former l'ensemble de toutes les paires ordonnées. Le premier élément de la paire ordonnée appartient au premier ensemble et la deuxième paire appartient au deuxième ensemble. À titre d'exemple,

Ici, réglez UNE et B est multiplié pour obtenir le produit cartésien A×B. Le premier élément de A×B est une paire ordonnée (nourriture pour chien)chien appartient à l'ensemble UNE. De même, deuxième élément de la paire ordonnée, Viande appartient à l'ensemble B. Ceci est vrai pour tous les éléments (paire ordonnée) de A×B.


N tuples commandés

Définition: Soit $A_<1>, A_<2>$ et $A_<3>$ des ensembles non – vides et $a_ <1>in A_<1>, a_ <2>in A_<2>$ et $a_ <3>in A_<3>$.

Commandé triple des éléments $a_<1>,a_<2>$ et $a_<3>$, notés $(a_<1>,a_<2>,a_<3>)$ , est un ensemble

Définition: Soit $A_<1>, ldots, A_$ être des ensembles non – vides et $a_ <1>in A_<1>,ldots, a_ dans un_$.

Commandé n – tuple des éléments $a_<1>, ldots, a_$, noté $(a_<1>, ldots ,a_)$ , est un ensemble


Théorie réelle et rationnelle de l'homotopie

Edgar H. Brown Jr. , Robert H. Szczarba , dans Manuel de topologie algébrique , 1995

THÉORÈME 4.6

Si (X,) ∈ ΔTπ et × est un 0-ensemble simplicial connecté (topologie discrète) alors il a un système de Postnikov.

Supposer X = B × τ F est un produit cartésien tordu de B et F avec groupe structurel g, tout enTπ. Laisser B (p) Soit le p squelette de B, c'est-à-dire le plus petit sous-espace simplicial de B contenant tout Bq, qp. Filtre C * (X M) π par

Les définitions usuelles ( [15] ) donnent alors la séquence spectrale de Serre < E r p , q > avec sa relation usuelle avec H * (X M). Laisser

où agit sur C * (F M) par gu(F) = g(vous(g −1 F)). Par ailleurs, 0θ0 =0δ22 est le différentiel provenant de : Cq (F M) → C q+1 (F M). Pour calculer E1 il faut montrer que (noyau δ2)/(image2) est isomorphe à C p ( B H q ( F M ¯ ) ) π . Lorsque R = Q, c'est immédiat. Lorsque R = R, les deux conditions suivantes garantissent que cela est vrai.


4.4 : Produits cartésiens - Mathématiques

Le produit cartésien d'une paire d'ensembles et , noté est l'ensemble de toutes les paires ordonnées , avec et .

Ici, l'ensemble est considéré comme se trouvant le long de l'axe "horizontal" ou - et l'ensemble le long de l'axe "vertical" ou -.

Si nous avons trois ensembles , et , nous pensons aux produits et comme étant essentiellement les mêmes, alors nous écrivons juste et nous pensons à cela comme l'ensemble de tous les triplets ordonnés , avec , et .

Cependant, n'est pas considéré comme identique à et n'est pas non plus identique à .

Plus généralement, pour tout , le produit cartésien d'une liste ordonnée d'ensembles , est l'ensemble de tous les -uplets ordonnés, , avec , pour chaque .

Si tous les ensembles d'un produit sont les mêmes, nous écrivons pour le produit cartésien -fold de avec lui-même (si , nous mettons ).

Par exemple est l'ensemble de tous les triplets ordonnés avec , et dans .

Il est également possible de définir le produit cartésien d'un nombre infini d'ensembles, mais ici il faut être prudent : il n'est pas évident que de tels produits soient non vides, même si chaque élément du produit est non vide : en effet, cela nécessite un axiome mathématique, appelé l'axiome du choix, qui peut être acceptable ou non.
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Relation

Nous avons vu que toute relation de l'ensemble A avec l'ensemble B est une connexion selon laquelle, selon une règle spécifique, les éléments de l'ensemble A sont appariés avec des éléments de l'ensemble B pour obtenir un sous-ensemble G du produit cartésien AxB.

1 . Le premier ensemble A, est appelé le domaine de la relation.

2 . Le deuxième ensemble B est appelé l'étendue de la relation.

3 . Le sous-ensemble G du produit cartésien AxB qui contient toutes les paires ordonnées (a,b) des éléments qui sont appariés selon une règle spécifique.

Exemple 2 : On a la relation R avec le domaine $displaystyle A=left< 6,5,3 ight>$ et la plage $displaystyle B=left< 2,3,4 ight >$ avec la règle “ le a est un multiple de b''.

Le produit cartésien AxB =

Dans cette relation, l'élément 6 A est apparié avec l'élément 2 B, également avec l'élément 3 B. L'élément 5 A n'est apparié avec aucun élément de l'ensemble B. L'élément 3 A est apparié avec l'élément 3 B.

Le sous-ensemble G basé sur la relation que nous avons dit ci-dessus est : $displaystyle G=left< (6,2),(6,3),(3,3) ight>$


Produit cartésien

Ensemble, les équipes travaillent 24 heures sur 24 pour un produit qui promet des risques bien plus élevés que des bénéfices.

Le milliardaire philanthrope goûte au produit d'une machine qui transforme les eaux usées humaines en eau potable et en électricité.

Bitcoin a commencé 2013 avec un prix rugissant de 770 $ par unité, et les entreprises de droite et de gauche se sont converties au produit éthéré.

Et, avec Coca-Cola annonçant le lancement d'un nouveau produit laitier, la boisson pourrait être de retour entre nos mains avant que nous le sachions.

Le produit résultant comprenait quatre variantes de fûts uniques ainsi que des images finies de McKidd dégustant un verre de The Macallan.

C'est le principal déchet du métabolisme et constitue environ la moitié de tous les solides excrétés, soit environ 30 g.

Le produit est ensuite multiplié par le nombre de centimètres cubes perdus en vingt-quatre heures et divisé par 1000.

Je devrais juger qu'un grain de blé est à peu près le produit moyen d'une journée de travail à travers toute cette région.

Je soupçonne, d'après le soin évident qu'on lui a apporté, que son produit est considérablement utilisé pour la nourriture.

La feuille de Virginie continue de fleurir, et c'est aujourd'hui le grand produit agricole de l'État.


Décomposition hamiltonienne des produits (1978)

Conjecture/Question : Si g et H sont des graphes ayant des décompositions en cycles couvrants, alors le produit cartésien de g et H se décompose également en cycles couvrants.

Définitions/Contexte/motivation : le produit cartésien de graphiques g et H est le graphe avec l'ensemble de sommets V(G) x V(H), avec (u,v) adjacente à (u',v') si et seulement si (1) u=u' et vv' in E(H) ou (2) v=v' et uu' in E(G).

Commentaires/Résultats partiels : La conjecture de Bermond [B] a étendu la conjecture précédente de Kotzig [K] selon laquelle le produit de trois cycles a une décomposition hamiltonienne. Les graphes considérés doivent bien entendu être réguliers. Aubert et Schneider [AS1] ont prouvé l'énoncé dans le cas où le rapport entre les degrés de g et H est au plus de 2. Cela implique un certain nombre de résultats et de conjectures antérieurs, y compris l'existence de décompositions hamiltoniennes pour les produits cartésiens de tout k cycles. Aubert et Schneider [AS2] ont également prouvé l'énoncé du produit cartésien de deux graphes complets. D'autres progrès substantiels ont été réalisés par Stong [S]. Supposer que 2r et 2s sont les degrés de g et H, avec rle s. Il a montré que le produit a une décomposition hamiltonienne dans l'une des conditions suivantes : (1) sle 3r, (2) rge 3, (3) |V(G)| est pair, ou (4) |V(H)|ge 6plafond-3.

Les références: [AS1] Aubert, Jacques Schneider, Bernadette. D composition de la somme cart sienne d'un cycle et de l'union de deux cycles hamiltoniens en cycles hamiltoniens. [Décomposition de la somme cartésienne d'un cycle et de l'union de deux cycles hamiltoniens en cycles hamiltoniens] Mathématiques discrètes. 38 (1982), n. 1, 7--16. 05C38 (05C45) 85f:05078
[AS2] Aubert, Jacques Schneider, Bernadette. Décomposition de K_m+K_n en cycles hamiltoniens. [Décomposition de K_m+K_n en cycles hamiltoniens] Mathématiques discrètes. 37 (1981), n. 1, 19--27. 05C45 (05C70) 84k:05061
[B] Bermond, J.-C. Décompositions hamiltoniennes de graphes, graphes orientés et hypergraphes. Avancées en théorie des graphes (Cambridge Combinatorial Conf., Trinity College, Cambridge, 1977). Anne. Mathématiques discrètes. 3 (1978), 21--28. 05C35 MR 58 #21803
[K] Kotzig, A. Tout produit cartésien de deux circuits est décomposable en deux circuits hamiltoniens. Rapport 233, Centre de Recherches Mathématiques, Montréal 1973.
[S] Fort, Richard. Décompositions de Hamilton de produits cartésiens de graphes. Mathématiques discrètes. 90 (1991), n. 2, 169--190. 05C45 MR92i:05144


Le projet Stacks

Définition 4.4.1. Soit $x, yin mathop> olimites (mathcal)$. UNE produit de $x$ et $y$ est un objet $x imes y in mathop> olimites (mathcal)$ avec les morphismes $pin mathop> olimits _(x imes y, x)$ et $qin mathop> olimits _(x imes y, y)$ tel que la propriété universelle suivante soit vérifiée : pour tout $win mathop> olimites (mathcal)$ et les morphismes $alpha in mathop> olimits _(w, x)$ et $eta in mathop> olimites _mathcal (w, y)$ il existe un unique $gamma in mathop> olimits _(w, x imes y)$ faisant le diagramme

Si un produit existe, il est unique à isomorphisme unique près. Cela découle du lemme de Yoneda car la définition exige que $x imes y$ soit un objet de $mathcal$ tel que

fonctionnellement en $w$. En d'autres termes le produit $x imes y$ est un objet représentant le foncteur $w mapsto h_ x(w) imes h_ y(w)$.

Définition 4.4.2. On dit la catégorie $mathcal$ a des produits de paires d'objets si un produit $x imes y$ existe pour tout $x, y in mathop> olimites (mathcal)$.

Nous utilisons cette terminologie pour distinguer cette notion de la notion de « avoir des produits » ou « avoir des produits finis » qui signifie généralement autre chose (en particulier cela implique toujours qu'il existe un objet final).


Produits cartésiens

Définition. Soient S et T des ensembles. Le produit cartésien de S et T est l'ensemble composé de toutes les paires ordonnées , où et .

Paires commandées sont caractérisés par la propriété suivante : si et seulement si

Remarques. (une) n'est pas le même que à moins que .

(b) Vous pouvez définir une paire ordonnée à l'aide d'ensembles. Par exemple, la paire ordonnée peut être défini comme l'ensemble .

Exemple. Laisser et . Lister les éléments de et dessinez l'ensemble.

Notez que S et T sont ne pas sous-ensembles de . Il existe des sous-ensembles qui "ressemblent" à S et T par exemple, voici un sous-ensemble qui "ressemble à" S :

Mais ce n'est pas S : les éléments de S sont a, b et c, alors que les éléments du sous-ensemble U sont paires.

Voici une photo de. Les éléments sont des points dans la grille :

se compose de toutes les paires , où . C'est la même chose que le plan x-y :

Exemple. Considérons le sous-ensemble suivant de :

(a) Prouvez que .

(b) Prouvez que .

(b) Supposons . puis pour certains , J'ai

En égalant les premiers composants, j'obtiens , donc . Mais en égalant les deuxièmes composants, j'obtiens , donc . C'est une contradiction, donc .

Exemple. est l'ensemble des paires d'entiers. Considérez les sous-ensembles suivants de :

Prouve-le .

Laisser . B est constitué de paires dont les composantes s'ajoutent à un nombre impair. J'ajoute donc les composants de :

Depuis est impair, est impair. Cela prouve que .

Vous pouvez prendre le produit de plus de 2 ensembles --- même un nombre infini d'ensembles, bien que je ne considère pas ici les produits infinis.

Par example, consiste en triplés ordonnés , où a, b et c sont des nombres entiers.

Exemple. Considérons le sous-ensemble suivant de :

(a) Montrez que .

(b) Montrez que .

(b) Supposons. Alors pour certains entiers a et b, j'ai

En égalant les composants, j'obtiens trois équations :

Mais en remplaçant et dans donne

Cette contradiction prouve que .


Voir la vidéo: EM5 (Novembre 2021).