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1.2 : Fonctions de plusieurs variables


UNE fonction de plusieurs variables est une fonction où le domaine est un sous-ensemble de (mathbb{R}^n) et la plage est (mathbb{R}). Par example

[ f(x,y) = x - y ]

est une fonction de deux variables

[ g(z,y,x) = dfrac{ x - y}{ y-z}]

est une fonction de trois variables.

Trouver le domaine

Pour trouver le domaine d'une fonction de plusieurs variables, nous recherchons des dénominateurs nuls et négatifs sous racines carrées :

Exemple (PageIndex{1}) : Domaine d'une fonction

Trouver le domaine de

[ f(x,y) = dfrac{sqrt{x-y}}{x+y}.]

Solution

Premièrement, l'intérieur de la racine carrée doit être positif (puisque nous parlons de nombres réels), c'est-à-dire

[ x - y ge 0]

deuxièmement, le dénominateur doit être différent de zéro, c'est-à-dire

[ x + y eq 0]

donc nous devons rester en dehors de la ligne

[y = -x.]

Mettre tout cela ensemble donne

[(x,y) | x - y ge 0 ;; ext{ et } ;; y eq -x.]

Le graphique à droite montre le domaine comme la région verte ombrée.

Exercice 1

Trouver le domaine de la fonction

[ f(x,y,z) = dfrac{xyz}{sqrt{4-x^2-y^2-z^2}}.]

Contours (courbes de niveau)

La carte topographique ci-dessous est celle du Rubicon Trail. Il représente la fonction qui mappe une longitude et une latitude à une altitude.

Chaque courbe représente un chemin où la coordonnée z (altitude) est une constante. Traverser de nombreuses lignes topographiques sur une courte distance représente un chemin très raide. Créons maintenant notre propre carte de contour de la fonction :

[ f(x,y) = y - x^2]

en définissant des valeurs constantes pour (z) :

(z)Équation
1(y = x^2 + 1)
2(y = x^2 + 2)

On voit que chaque ligne topo est une parabole et que l'ordonnée à l'origine donne la hauteur. Vous trouverez ci-dessous un schéma de contour de cette fonction.

Les noms des courbes dessinées sont courbes de niveau, isothermes (pour la température), isobares (pour la pression), et lignes équipotentielles (pour les champs de potentiel électrique) en fonction de ce que représente la fonction à deux variables.

Larry Green (Collège communautaire de Lake Tahoe)

  • Intégré par Justin Marshall.


Voir la vidéo: Maths: calculer la limite dune fonction à plusieurs variables - 3 exemples (Décembre 2021).