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1.3 : Nombres entiers - Mathématiques


résumé

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifier les expressions avec une valeur absolue
  • Additionner et soustraire des nombres entiers
  • Multiplier et diviser des nombres entiers
  • Simplifier les expressions avec des entiers
  • Évaluer les expressions de variables avec des entiers
  • Traduire des phrases en expressions avec des entiers
  • Utiliser des nombres entiers dans les applications

Vous trouverez une introduction plus approfondie aux sujets traités dans cette section dans le Algèbre élémentaire chapitre, Fondations.

Simplifier les expressions avec la valeur absolue

Un nombre négatif est un nombre inférieur à 0. Les nombres négatifs sont à gauche de zéro sur la droite numérique (Figure (PageIndex{1})).


Figure (PageIndex{1}). La droite numérique indique l'emplacement des nombres positifs et négatifs.

Vous avez peut-être remarqué que, sur la droite numérique, les nombres négatifs sont une image miroir des nombres positifs, avec zéro au milieu. Parce que les nombres (2) et (−2) sont à la même distance de zéro, chacun est appelé le opposé de l'autre. L'opposé de (2) est (−2), et l'opposé de (−2) est (2).

OPPOSÉ

le opposé d'un nombre est le nombre qui est à la même distance de zéro sur la droite numérique mais du côté opposé de zéro.

La figure (PageIndex{2}) illustre la définition.


Figure (PageIndex{2}). L'opposé de 3 est (−3).

NOTATION OPPOSÉE

[egin{align} & -a ext{ signifie l'opposé du nombre }a & ext{La notation} -a ext{ est lu comme "l'opposé de }a ext{."} end{align} ]

Nous avons vu que des nombres tels que 3 et -3 sont opposés car ils sont à la même distance de 0 sur la droite numérique. Ce sont tous les deux trois unités à partir de 0. La distance entre 0 et n'importe quel nombre sur la droite numérique est appelée la valeur absolue de ce nombre.

Définition : VALEUR ABSOLUE

le valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à 0 sur la droite numérique.

La valeur absolue d'un nombre (n) s'écrit (|n|) et (|n|≥0) pour tous les nombres.

Les valeurs absolues sont toujours supérieures ou égales à zéro.

Par example,

[egin{align} & -5 ext{ est à } 5 ext{ unités de 0, donc } |-5|=5. & 5 ext{ est à }5 ext{ unités de 0, donc }|5|=5. end{aligner}]

La figure (PageIndex{3}) illustre cette idée.

La valeur absolue d'un nombre n'est jamais négative car la distance ne peut pas être négative. Le seul nombre dont la valeur absolue est égale à zéro est le nombre zéro lui-même car la distance de 0 à 0 sur la droite numérique est de zéro unité.

Dans l'exemple suivant, nous allons ordonner les expressions avec des valeurs absolues.

EXEMPLE (PageIndex{1})

Remplissez (<,,>,) ou (=) pour chacune des paires de nombres suivantes :

  1. (mathrm{|−5|}\_\_mathrm{−|−5|}\_\_mathrm{−|5|})
  2. ( ext{8__−|−8|})
  3. ( ext{−9__−|−9|})
  4. ( ext{−(−16)__|−16|}).
Répondre

une.

(egin{array}{lrcc} { ext{ } ext{Simplifier.} ext{Ordre.} ext{ } } & {|−5| 5 5 |−5|} & {\_\_ \_\_ > >} & {−|−5| -5 -5 −|−5|} fin{tableau})

b.

(egin{array}{llcc} { ext{ } ext{Simplifier.} ext{Ordre.} ext{ } } & {8 8 8 8 } & {\_\_ \_\_ > >} & {−|−8| -8 -8 −|−8|} end{array})

c.

(egin{array}{lrcc} { ext{ } ext{Simplifier.} ext{Ordre.} ext{ } } & {−9 −9 −9 −9} & {\_\_ \_\_ = =} & {−|−9| −9 −9 −|−9|} end{ déployer})

ré.

(egin{array}{lrcc} { ext{ } ext{Simplifier.} ext{Ordre.} ext{ } } & {−(−16) 16 16 −(−16)} & {\_\_ \_\_ = =} & {−|−16| 16 16 |−16|} end {déployer})

EXEMPLE (PageIndex{2})

Remplissez (<,,>,) ou (=) pour chacune des paires de nombres suivantes :

ⓐ (−9 \_\_−|−9|) ⓑ (2 \_\_−|−2|) ⓒ (−8 \_\_|−8|) ⓓ (−(−9) \_\_|−9|.)

Répondre

ⓐ (>) ⓑ (>) ⓒ (<)

ⓓ (=)

EXEMPLE (PageIndex{3})

Remplissez (<,>,) ou (=) pour chacune des paires de nombres suivantes :

  1. (7 \_\_ −|−7|)
  2. (−(−10) \_ \_|−10|)
  3. (|−4| \_\_ −|−4|)
  4. (−1 \_\_ |−1|.)
Répondre

ⓐ (>) ⓑ (=) ⓒ (>)

ⓓ (<)

Nous ajoutons maintenant des barres de valeur absolue à notre liste de symboles de regroupement. Lorsque nous utilisons l'ordre des opérations, nous simplifions d'abord autant que possible à l'intérieur des barres de valeur absolue, puis nous prenons la valeur absolue du nombre résultant.

SYMBOLES DE GROUPEMENT

[egin{array}{lclc} ext{Parenthèses} & () & ext{Parenthèses} & { } ext{Parenthèses} & [] & ext{Valeur absolue} & || fin{tableau}]

Dans l'exemple suivant, nous simplifions d'abord les expressions à l'intérieur des barres de valeur absolue, tout comme nous le faisons avec les parenthèses.

EXEMPLE (PageIndex{4})

Simplifiez : (mathrm{24−|19−3(6−2)|}).

Répondre

(egin{array}{lc} ext{} & 24−|19−3(6−2)| ext{Travailler d'abord entre parenthèses :} & ext{} ext{soustraire 2 de 6.} & 24−|19−3(4)| ext{Multiplier 3(4).} & 24−|19−12| ext{Soustraire à l'intérieur des barres de valeur absolue.} & 24 −|7| ext{Prendre la valeur absolue.} & 24−7 ext{Soustraire.} & 17 end{array})

EXEMPLE (PageIndex{5})

Simplifiez : (19−|11−4(3−1)|).

Répondre

16

EXEMPLE (PageIndex{6})

Simplifiez : (9−|8−4(7−5)|).

Répondre

9

Ajouter et soustraire des entiers

Jusqu'à présent, dans nos exemples, nous n'avons utilisé que les nombres de comptage et les nombres entiers.

[egin{array}{ll} ext{Compter des nombres} & 1,2,3… ext{Nombres entiers} 0,1,2,3…. end{tableau}]

Notre travail avec les contraires nous donne un moyen de définir le entiers. Les entiers sont les nombres (…−3,−2,−1,0,1,2,3…)

Définition : ENTIERS

Les nombres entiers et leurs contraires sont appelés les entiers.

Les entiers sont les nombres

[…-3,-2,-1,0,1,2,3…,]

La plupart des élèves sont à l'aise avec les faits d'addition et de soustraction pour les nombres positifs. Mais faire des additions ou des soustractions avec des nombres positifs et négatifs peut être plus difficile.

Nous utiliserons deux compteurs de couleurs pour modéliser l'addition et la soustraction de négatifs afin que vous puissiez visualiser les procédures au lieu de mémoriser les règles.

Nous laissons une couleur (bleu) représenter le positif. L'autre couleur (rouge) représentera les négatifs.

Si nous avons un compteur positif et un compteur négatif, la valeur de la paire est zéro. Ils forment une paire neutre. La valeur de cette paire neutre est zéro.

Nous allons utiliser les compteurs pour montrer comment ajouter :

[5+3 ; ; ; ; ; ; −5+(−3) ; ; ; ; ; ; −5+3 ; ; ; ; ; ; ; 5+(−3)]

Le premier exemple, (5+3,) ajoute 5 positifs et 3 positifs—tous deux positifs.

Le deuxième exemple, (−5+(−3),) ajoute 5 négatifs et 3 négatifs—tous deux négatifs.

Lorsque les signes sont les mêmes, les compteurs sont tous de la même couleur, et nous les ajoutons donc. Dans chaque cas, nous obtenons 8, soit 8 positifs, soit 8 négatifs.

Alors que se passe-t-il lorsque les signes sont différents ? Ajoutons (−5+3) et (5+(−3)).

Lorsque nous utilisons des compteurs pour modéliser l'addition d'entiers positifs et négatifs, il est facile de voir s'il y a plus de compteurs positifs ou plus négatifs. On sait donc si la somme sera positive ou négative.

EXEMPLE (PageIndex{7})

Ajoutez : (−1+(−4)) ⓑ (−1+5) ⓒ (1+(−5)).

Répondre

1 négatif plus 4 négatifs font 5 négatifs

Il y a plus de points positifs, donc la somme est positive.

Il y a plus de négatifs, donc la somme est négative.

EXEMPLE (PageIndex{8})

Ajoutez : (−2+(−4)) ⓑ (−2+4) ⓒ (2+(−4)).

Répondre

ⓐ (−6) ⓑ (2) ⓒ (−2)

EXEMPLE (PageIndex{9})

Ajoutez : (−2+(−5)) ⓑ (−2+5) ⓒ (2+(−5)).

Répondre

ⓐ (−7) ⓑ (3) ⓒ (−3)

Nous continuerons à utiliser des compteurs pour modéliser la soustraction. Peut-être que quand vous étiez plus jeune, vous lisiez ("5−3") comme "5 à emporter 3". Lorsque vous utilisez des compteurs, vous pouvez penser à la soustraction de la même manière !

Nous allons utiliser les compteurs pour montrer à soustraire :

[5−3 ; ; ; ; ; ; −5−(−3) ; ; ; ; ; ; −5−3 ; ; ; ; ; ; 5−(−3) ]

Le premier exemple, (5−3), nous soustrayons 3 positifs de 5 positifs et nous nous retrouvons avec 2 positifs.

Dans le deuxième exemple, (−5−(−3),) nous soustrayons 3 négatifs de 5 négatifs et nous nous retrouvons avec 2 négatifs.

Chaque exemple utilisait des compteurs d'une seule couleur, et le modèle de soustraction « à emporter » était facile à appliquer.

Que se passe-t-il lorsque nous devons soustraire un nombre positif et un nombre négatif ? Nous devrons utiliser à la fois des compteurs bleus et rouges ainsi que des paires neutres. Si nous n'avons pas le nombre de jetons nécessaires à emporter, nous ajoutons des paires neutres. L'ajout d'une paire neutre ne modifie pas la valeur. C'est comme changer des quarts en nickels - la valeur est la même, mais elle a l'air différente.

Regardons (−5−3) et (5−(−3)).

Modélisez le premier nombre.
Nous ajoutons maintenant les paires neutres nécessaires.
On enlève le nombre de compteurs modélisé par le deuxième nombre.
Comptez ce qui reste.

EXEMPLE (PageIndex{11})

Soustraire : ⓐ (6−4) ⓑ (−6−(−4)) ⓒ (−6−4) ⓓ (6−(−4)).

Répondre

ⓐ (2) ⓑ (−2) ⓒ (−10) ⓓ (10)

EXEMPLE (PageIndex{12})

Soustraire : ⓐ (7−4) ⓑ (−7−(−4)) ⓒ (−7−4) ⓓ (7−(−4)).

Répondre

ⓐ (3) ⓑ (−3) ⓒ (−11) ⓓ (11)

Avez-vous remarqué que la soustraction des nombres signés peut être effectuée en ajoutant le contraire? Dans le dernier exemple, (−3−1) est identique à (−3+(−1)) et (3−(−1)) est identique à (3+1) . Vous verrez souvent cette idée, la propriété de soustraction, écrite comme suit :

Définition : PROPRIÉTÉ DE SOUSTRACTION

[a−b=a+(−b)]

Soustraire un nombre revient à ajouter son contraire.

EXEMPLE (PageIndex{13})

Simplifier : ⓐ (13−8) et (13+(−8)) ⓑ (−17−9) et (−17+(−9)) ⓒ (9−(−15 )) et (9+15) (−7−(−4)) et (−7+4).

Répondre

(egin{array}{lccc} ext{} & 13−8 & ext{and} & 13+(−8) ext{Subtract.} & 5 & ext{} & 5 end {déployer})

(egin{array}{lccc} ext{} & −17−9 & ext{and} & −17+(−9) ext{Soustraire.} & −26 & ext{} & −26 end{tableau})

(egin{array}{lccc} ext{} & 9−(−15) & ext{and} & 9+15 ext{Subtract.} & 24 & ext{} & 24 end {déployer})

(egin{array}{lccc} ext{} & -7−(−4) & ext{and} & -7+4 ext{Soustraire.} & -3 & ext{} & -3 end{tableau})

EXEMPLE (PageIndex{14})

Simplifier : ⓐ (21−13) et (21+(−13)) ⓑ (−11−7) et (−11+(−7)) ⓒ (6−(−13 )) et (6+13) (−5−(−1)) et (−5+1).

Répondre

ⓐ (8,8) ⓑ (−18,−18)

ⓒ (19,19) ⓓ (−4,−4)

EXEMPLE (PageIndex{15})

Simplifier : ⓐ (15−7) et (15+(−7)) ⓑ (−14−8) et (−14+(−8)) ⓒ (4−(−19 )) et (4+19) (−4−(−7)) et (−4+7).

Répondre

ⓐ (8,8) ⓑ (−22,−22)

ⓒ (23,23) ⓓ (3,3)

Que se passe-t-il lorsqu'il y a plus de trois nombres entiers ? Nous utilisons simplement l'ordre des opérations comme d'habitude.

EXEMPLE (PageIndex{16})

Simplifier : (7−(−4−3)−9.)

Répondre

(egin{array}{lc} ext{} & 7−(−4−3)−9 ext{Simplifiez d'abord entre parenthèses.} & 7−(−7)−9 ext {Soustraire de gauche à droite.} & 14−9 ext{Soustraire.} & 5 end{array})

Simplifier : (8−(−3−1)−9.)

Répondre

3

EXEMPLE (PageIndex{18})

Simplifier : (12−(−9−6)−14.)

Répondre

13

Multiplier et diviser des entiers

Puisque la multiplication est un raccourci mathématique pour l'addition répétée, notre modèle peut facilement être appliqué pour montrer la multiplication d'entiers. Regardons ce modèle concret pour voir quels modèles nous remarquons. Nous utiliserons les mêmes exemples que nous avons utilisés pour l'addition et la soustraction. Ici, nous utilisons le modèle juste pour nous aider à découvrir le modèle.

Nous nous souvenons qu'a⋅ba·b signifie ajouter une, b fois.

Les deux exemples suivants sont plus intéressants. Que signifie multiplier 5 par -3 ? Cela signifie soustraire 5,3 fois. En considérant la soustraction comme « enlever », cela signifie enlever 5, 3 fois. Mais il n'y a rien à retirer, nous commençons donc par ajouter des paires neutres sur l'espace de travail.

En résumé:

[egin{array}{ll} 5·3=15 & -5(3)=−15 5(−3)=−15 & (−5)(−3)=15 end{array} ]

Notez que pour la multiplication de deux nombres signés, lorsque le

[ ext{les signes sont les } extbf{même} ext{, le produit est } extbf{positif.} ext{les signes sont } extbf{différent} ext{, le produit est } textbf{négatif.} ]

Qu'en est-il de la division? La division est l'opération inverse de la multiplication. Donc, (15÷3=5) car (15·3=15). En mots, cette expression dit que 15 peut être divisé en 3 groupes de 5 chacun, car ajouter cinq fois trois fois donne 15. Si vous regardez quelques exemples de multiplication d'entiers, vous pourriez comprendre les règles de division d'entiers.

[egin{array}{lclrccl} 5·3=15 & ext{so} & 15÷3=5 & ext{ } −5(3)=−15 & ext{so} & −15÷ 3=−5 ​​(−5)(−3)=15 & ext{so} & 15÷(−3)=−5 & ext{ } 5(−3)=−15 & ext{so } & −15÷(−3)=5 end{tableau}]

La division suit les mêmes règles que la multiplication en ce qui concerne les signes.

MULTIPLICATION ET DIVISION DES NUMÉROS SIGNÉS

Pour la multiplication et la division de deux nombres signés :

Mêmes signesRésultat
• Deux points positifsPositif
• Deux points négatifsPositif

Si les signes sont les mêmes, le résultat est positif.

Différents signesRésultat
• Positif et négatifNégatif
• Négatif et positifNégatif

Si les signes sont différents, le résultat est négatif.

EXEMPLE (PageIndex{19})

Multiplier ou diviser : ⓐ (−100÷(−4)) ⓑ (7⋅6) ⓒ (4(−8)) ⓓ (−27÷3.)

Répondre

(egin{array}{lc} ext{} & −100÷(−4) ext{Diviser, avec des signes qui sont} ext{de même que le quotient est positif.} & 25 fin{tableau})

(egin{array} {lc} ext{} & 7·6 ext{Multiplier, avec les mêmes signes.} & 42 end{array})

(egin{array} {lc} ext{} & 4(−8) ext{Multiplier, avec des signes différents.} & −32 end{array})

(egin{array}{lc} ext{} & −27÷3 ext{Diviser, avec des signes différents,} ext{le quotient est négatif.} & -9 end{array} )

EXEMPLE (PageIndex{20})

Multiplier ou diviser : ⓐ (−115÷(−5)) ⓑ (5⋅12) ⓒ (9(−7)) ⓓ(−63÷7.)

Répondre

ⓐ 23 ⓑ 60 ⓒ −63 ⓓ −9

Multipliez ou divisez : ⓐ (−117÷(−3)) ⓑ (3⋅13) ⓒ (7(−4)) ⓓ(−42÷6).

Répondre

ⓐ 39 ⓑ 39 ⓒ −28 ⓓ −7

Lorsque nous multiplions un nombre par 1, le résultat est le même nombre. A chaque fois qu'on multiplie un nombre par -1, on obtient son contraire !

MULTIPLICATION PAR -1

[−1a=−a]

Multiplier un nombre par (−1) donne son contraire.

Simplifier les expressions avec des entiers

Que se passe-t-il lorsqu'il y a plus de deux nombres dans une expression ? L'ordre des opérations s'applique toujours lorsque des négatifs sont inclus. Rappelez-vous, veuillez excuser ma chère tante Sally ?

Essayons quelques exemples. Nous allons simplifier les expressions qui utilisent les quatre opérations avec des nombres entiers : addition, soustraction, multiplication et division. N'oubliez pas de suivre l'ordre des opérations.

EXEMPLE (PageIndex{22})

Simplifiez : ((−2)^4) ⓑ (−2^4).

Répondre

Remarquez la différence entre les parties (a) et (b). Dans la partie (a), l'exposant signifie élever ce qui est entre parenthèses, le -2 au 4ePuissance. Dans la partie (b), l'exposant signifie élever juste le 2 au 4e pouvoir puis prendre le contraire.

(egin{array}{lc} ext{} & (−2)^4 ext{Écrire sous forme développée.} & (−2)(−2)(−2)(−2) ext{Multiplier.} & 4(−2)(−2) ext{Multiplier.} & -8(−2) ext{Multiplier.} & 16 end{array})

(egin{array}{lc} ext{} & −2^4 ext{Écrire sous forme développée.} & −(2·2·2·2) ext{On nous demande de find} & ext{} ext{le contraire de }24. & ext{} ext{Multiplier.} & −(4·2·2) ext{Multiplier.} & − (8·2) ext{Multiplier.} & -16 end{array})

Simplifiez : ((−3)^4) ⓑ (−3^4).

Répondre

ⓐ 81 ⓑ −81

EXEMPLE (PageIndex{24})

Simplifiez : ((−7)^2) ⓑ (−7^2).

Répondre

ⓐ 49 ⓑ −49

Le dernier exemple nous a montré la différence entre ((−2)^4) et (−2^4). Cette distinction est importante pour éviter de futures erreurs. L'exemple suivant nous rappelle de multiplier et de diviser dans l'ordre de gauche à droite.

EXEMPLE (PageIndex{25})

Simplifier : (8(−9)÷(−2)^3) ⓑ (−30÷2+(−3)(−7)).

Répondre

(egin{array}{lc} ext{} & 8(−9)÷(−2)^3 ext{Les exposants en premier.} & 8(−9)÷(−8) text{Multiply.} & −72÷(−8) ext{Divide.} & 9 end{array})

(egin{array}{lc} ext{} & −30÷2+(−3)(−7) ext{Multiplier et diviser} ext{de gauche à droite, donc divisez d'abord. } & −15+(−3)(−7) ext{Multiplier.} & −15+21 ext{Ajouter.} & 6 end{array})

Simplifier : ⓐ (12(−9)÷(−3)^3) ⓑ (−27÷3+(−5)(−6).)

Répondre

ⓐ 4 ⓑ 21

EXEMPLE (PageIndex{27})

Simplifier : ⓐ (18(−4)÷(−2)^3) ⓑ (−32÷4+(−2)(−7).)

Répondre

ⓐ 9 ⓑ 6

Évaluer les expressions de variable avec des entiers

N'oubliez pas qu'évaluer une expression signifie substituer un nombre à la variable dans l'expression. Maintenant, nous pouvons utiliser des nombres négatifs ainsi que des nombres positifs.

EXEMPLE (PageIndex{29})

Évaluer : (3x^2−2xy+6y^2) lorsque (x=1,y=−2).

Répondre

31

EXEMPLE (PageIndex{30})

Évaluer : (4x^2−xy+5y^2) lorsque (x=−2,y=3).

Répondre

67

Traduire des phrases en expressions avec des entiers

Nos travaux antérieurs de traduction de l'anglais à l'algèbre s'appliquent également aux expressions qui incluent à la fois des nombres positifs et négatifs.

EXEMPLE (PageIndex{31})

Traduire et simplifier : la somme de 8 et -12, augmentée de 3.

Répondre

(egin{array}{lc} ext{} & ext{the } extbf{sum } underline{ ext{of}} ; –8 ; underline{ ext{and}} − 12 ext{ augmenté de } 3 ext{Translate.} & [8+(−12)]+3 ext{Simplify. Attention à ne pas confondre les} ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; & (−4)+3 ext{crochets avec un signe de valeur absolue.} ext{Add.} & -1 end{array})

EXEMPLE (PageIndex{32})

Traduisez et simplifiez la somme de 9 et -16, augmentée de 4.

Répondre

((9+(−16))+4;−3)

EXEMPLE (PageIndex{33})

Traduisez et simplifiez la somme de -8 et -12, augmentée de 7.

Répondre

((−8+(−12))+7;−13)

Utiliser des entiers dans les applications

Nous allons décrire un plan pour résoudre les applications. Il est difficile de trouver quelque chose si nous ne savons pas ce que nous cherchons ou comment l'appeler ! Ainsi, lorsque nous résolvons une application, nous devons d'abord déterminer ce que le problème nous demande de trouver. Ensuite, nous écrirons une phrase qui donne les informations pour le trouver. Nous allons traduire la phrase en une expression, puis simplifier l'expression pour obtenir la réponse. Enfin, nous résumons la réponse dans une phrase pour nous assurer qu'elle a du sens.

EXEMPLE (PageIndex{34}): Comment résoudre les problèmes d'application à l'aide d'entiers

La température à Kendallville, Indiana un matin était de 11 degrés. En milieu d'après-midi, la température était tombée à -9-9 degrés. Quelle était la différence entre les températures du matin et de l'après-midi ?

Répondre






EXEMPLE (PageIndex{35})

La température à Anchorage, en Alaska, un matin, était de 15 degrés. En milieu d'après-midi, la température était tombée à 30 degrés en dessous de zéro. Quelle était la différence entre les températures du matin et de l'après-midi ?

Répondre

La différence de température était de 45 degrés Fahrenheit.

EXEMPLE (PageIndex{36})

La température à Denver était de -6 degrés à l'heure du déjeuner. Au coucher du soleil, la température était tombée à -15 degrés. Quelle était la différence entre les températures du déjeuner et du coucher du soleil ?

Répondre

La différence de température était de 9 degrés.

UTILISER DES ENTIERS DANS LES APPLICATIONS.

  1. Lis le problème. Assurez-vous que tous les mots et les idées sont compris.
  2. Identifier ce qu'on nous demande de trouver.
  3. Ecrire une phrase qui donne les informations pour le trouver.
  4. Traduire la phrase à une expression.
  5. Simplifier l'expression.
  6. Répondre la question avec une phrase complète.

Accédez à cette ressource en ligne pour obtenir des instructions supplémentaires et vous entraîner avec les nombres entiers.

  • Soustraction d'entiers avec des compteurs

Concepts clés

  • [egin{align} & −a ext{ signifie l'opposé du nombre }a & ext{La notation} −a ext{ est lu comme "l'opposé de }a ext{."} end{align} ]
  • La valeur absolue d'un nombre est sa distance par rapport à 0 sur la droite numérique.

    La valeur absolue d'un nombre m s'écrit (|n|) et (|n|≥0) pour tous les nombres.

    Les valeurs absolues sont toujours supérieures ou égales à zéro.

  • [egin{array}{lclc} ext{Parenthèses} & () & ext{Parenthèses} & { } ext{Parenthèses} & [] & ext{Valeur absolue} & || fin{tableau}]
  • Propriété de soustraction
    (a−b=a+(−b))
    Soustraire un nombre revient à ajouter son contraire.
  • Pour la multiplication et la division de deux nombres signés :
    Mêmes signesRésultat
    • Deux points positifsPositif
    • Deux points négatifsPositif
    Si les signes sont les mêmes, le résultat est positif.
    Différents signesRésultat
    • Positif et négatifNégatif
    • Négatif et positifNégatif
    Si les signes sont différents, le résultat est négatif.
  • Multiplication par (−1)

    (−1a=−a)

    Multiplier un nombre par (−1) donne son contraire.

  • Comment utiliser les nombres entiers dans les applications.
    1. Lis le problème. Assurez-vous que tous les mots et les idées sont compris
    2. Identifier ce qu'on nous demande de trouver.
    3. Ecrire une phrase qui donne les informations pour le trouver.
    4. Traduire la phrase à une expression.
    5. Simplifier l'expression.
    6. Répondre la question avec une phrase complète.

Glossaire

valeur absolue
La valeur absolue d'un nombre est sa distance à (0) sur la droite numérique.
entiers
Les nombres entiers et leurs opposés sont appelés les entiers.
nombres négatifs
Les nombres inférieurs à (0) sont des nombres négatifs.
opposé
L'opposé d'un nombre est le nombre qui est à la même distance de zéro sur la droite numérique mais du côté opposé de zéro.

Solutions NCERT pour les mathématiques de classe 7 Chapitre 1 Entiers Ex 1.3

Solutions NCERT pour les mathématiques de la classe 7 Chapitre 1 Entiers Exercice 1.3
Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 1.
Retrouvez chacun des produits suivants :
(a) 3 × (-1)
(b) (-1) × 225
(c) (-21) × (-30)
(d) (-316) × (-1)
(e) (-15) × 0 × (-18)
(f) (-12) × (-11) × (10)
(g) 9 × (-3) × (-6)
(h) (-18) × (-5) × (-4)
(i) (-1) ×(-2) × (-3) × 4
(j) (-3) × (-6) × (-2) × (-1)
Solution:
(a) 3 × (-1) = -3 × 1 = -3
(b) (-1) × 225 = -1 × 225 = -225
(c) (-21) × (-30) = (-) × (-) × 21 × 30 = 630
(d) (-316) × (-1) = (-) × (-) × 316 × 1 = 316
(e) (-15) × 0 × (-18) = 0 [∵ a × 0 = a]
(f) (-12) × (-11) × (10)
= (-) × (-) × 12 × 11 × 10 = 1320
(g) 9 × (-3) × (-6) = (-3) × (-6) × 9
= (—) × (-) × 3 × 6 × 9 = 162
(h) (-18) × (-5) × (-4)
= (-) × (-) × (-) × 18 × 5 × 4 = -360
(i) (-1) × (-2) × (-3) × 4
= (-) × (-) × (-) × 1 × 2 × 3 × 4 = -24
(j) (-3) × (-6) × (-2) × (-1)
= (-) × (-) × (-) × (-) × 3 × 6 × 2 × 1 = 36

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 2.
Vérifiez les éléments suivants :
(a) 18 × [7 + (-3)] = [18 × 7] + [18 × (-3)]
(b) (-21) × [(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
Solution:
(a) 18 × [7 + (-3)] = [18 × 7] + [18 × (-3)]
LHS = 18 × [7 + (-3)] = 18 × 4 = 72
RHS = [18 × 7] + [18 × (-3)] = 126 + (-54)
= 126 – 54 = 72
LHS = RHS
Par conséquent, vérifié.

(b) (-21) × [(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
LHS = (-21) × [(-4) + (-6)]
= (-21) × (-10)
= (-) × (-) × 21 × 10 = 210
RHS = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)]
= (84) + (126) = 84 + 126 = 210
LHS = RHS
Par conséquent, vérifié.

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 3.
(i) Pour tout entier a, à quoi (-1) × a est-il égal ?
(ii) Déterminer l'entier dont le produit avec (-1) est 0.
(a) -22
(b) 37
(c) 0
Solution:
(i) (-1) × a = -a
(ii) (-1) × 0 = 0 [∵ a × 0 = 0]
Donc (c) 0 est l'entier requis.

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 4.
En partant de (-1) × 5, écrivez divers produits montrant un motif à montrer (-1) × (-1) = 1
Solution:
(-1) × 5 = -5
(-1) × 4 = -4 = (-5) + 1
(-1) × 3 = -3 = (-4) + 1
(-1) × 2 = -2 = (-3) + 1
(-1) × (1) = -1 = (-2) + 1
(-1) × 0 = 0 – (-1) + 1
(-1) × (-1) = 1 = 0+1

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 5.
Trouvez le produit en utilisant les propriétés appropriées :
(a) 26 × (-48) + (-48) × (-36)
(b) 8 × 53 × (-125)
(c) 15 × (-25) × (-4) × (-10)
(d) (-41) × 102
(e) 625 × (-35) + (-625) × 65
(f) 7 × (50 – 2)
(g) (-17) × (-29)
(h) (-57) × (-19) + 57
Solution:
(a) 26 × (-48) + (-48) × (-36)
= -48 × [26 + (-36)] = -48 × [26 – 36] = -48 × -10 = 480 [Propriété distributive de la multiplication sur
une addition]

(b) 8 × 53 × (-125) = 53 × [8 × (-125)]
[Propriété associative de multiplication] = 53 × (-1000) = -53000

(c) 15 × (-25) × (-4) × (-10)
= [(-25) × (-4)] × [15 × (-10)]
[Regroupement des termes] = 100 × (-150) = -15000

(d) (-41) × 102 = (-41) × [100 + 2]
= (-41) × 100 + (-41) × 2
[Propriété distributive de la multiplication sur l'addition] = -4100 – 82 = -4182

(e) 625 × (-35) + (-625) × 65
= 625 × [(-35) + (-65)]
[Propriété distributive de la multiplication sur l'addition]
= 625 × (-100) = -62500

(f) 7 × (50 – 2) = 7 × 48 = 336 ou
7 × (50 – 2) = 7 × 50 -7 × 2 = 350 – 14 = 336 [Propriété distributive de la multiplication sur l'addition]

(g) (-17) × (-29) = (-17) × [30 + (-1)]
= (-17) × 30 + (-17) × (-1)
= -510 + 17 = -493
[Propriété distributive de la multiplication sur l'addition]

(h) (-57) × (-19) + 57 = 57 × 19 + 57
= 57 × 19 + 57 × 1 [Y (-) × (-) = (+)] [Propriété distributive de la multiplication sur l'addition]
= 57 × (19 + 1) = 57 × 20 = 1140

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 6.
Un certain processus de congélation nécessite que la température ambiante soit abaissée de 40 °C à raison de 5 °C toutes les heures. Quelle sera la température ambiante 10 heures après le début du processus ?
Solution:
Température de la pièce au départ = 40°C
Température après 1 heure
= 40°C – 1 × 5°C = 40°C – 5°C – 35°C
De même, la température de la pièce après 10 heures
= 40°C – 10 × 5°C = 40°C – 50°C = -10°C

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 7.
Dans un test de classe contenant 10 questions, 5 points sont attribués pour chaque bonne réponse et (-2) points sont attribués pour chaque mauvaise réponse et 0 pour les questions non tentées.
(i) Mohan obtient quatre réponses correctes et six réponses incorrectes. Quelle est sa note ?
(ii) Reshma obtient cinq bonnes réponses et cinq mauvaises réponses, quel est son score ?
(iii) Heena obtient deux réponses correctes et cinq réponses incorrectes sur sept questions qu'elle tente. Quelle est sa note ?
Solution:
(i) Notes attribuées à Mohan = 4 × 5
=20 pour les bonnes réponses Notes attribuées à Mohan = 6 × (-2)
= -12 pour les réponses incorrectes.
∴ Total des notes obtenues par Mohan
= 20 + (-12) = 20 – 12 = 8

(ii) Notes attribuées à Reshma pour les bonnes réponses
= 5 × 5 = 25
Notes attribuées à Reshma pour les réponses incorrectes
= 5 × (-2) = -10
∴ Total des notes obtenues par Reshma
= 25 + (-10) = 25 – 10 = 15

(iii) Notes attribuées à Heena pour les bonnes réponses
= 2 × 5 = 10
Points attribués à Heena pour des réponses incorrectes
= 5 × (-2) = -10
Nombre de questions non tentées par Heena
= 10 – (2 + 5) = 10 – 7 = 3
Notes attribuées à Heena pour les questions non tentées
=3×0=0
∴ Total des notes obtenues par Heena
= 10 + (-10) + 0 = 10-10+ 0 = 0

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 8.
Une entreprise de ciment réalise un bénéfice de 8 par sac de ciment blanc vendu et une perte de 5 par sac de ciment gris vendu.
(a) L'entreprise vend 3 000 sacs de ciment blanc et 5 000 sacs de ciment gris en un mois. Quel est son profit ou sa perte ?
(b) Quel est le nombre de sacs de ciment blanc qu'il doit vendre pour n'avoir ni profit ni perte, si le nombre de sacs gris vendus est de 6 400 sacs.
Solution:
(a) Bénéfice sur un sac de ciment blanc = ₹ 8
perte sur un sac de ciment gris = ₹ – 5
Bénéficiez de 3000 sacs de ciment blanc
= ₹ (8 × 3,000) = ₹ 24,000
Perte sur 5 000 sacs de ciment gris
= ₹ (-5 × 5000) = – ₹ 25,000
Perte totale = – ₹ 25 000 + ₹ 24 000
= – ₹ 1000 soit ₹ 1000

(b) Prix de vente des sacs gris à perte de 5 ₹
= ₹ (5 × 6,400) – ₹ 32,000
Pour aucun profit et aucune perte, le prix de vente des sacs blancs = 32 000
Tarif de vente des sacs blancs avec un gain de 8 par sac.
∴ Nombre de sacs de ciment blanc vendus
(=frac<32000><8>=4000)
Par conséquent, le nombre de sacs requis = 4 000

Ex 1.3 Classe 7 Maths Question 9.
Remplacez le blanc par un entier pour en faire une déclaration vraie.
(a) (-3) × __ = 27
(b) 5 × __ = -35
(c) __ × (-8) = -56
(d) __ × (-12) = 132
Solution:
(a) (-3) × __ = 27 = (-3) × (-9) = 27 [∵ (-) × (-) = (+)]
(b) 5 × __ = -35 = 5 × (-7) = -35 [∵ (+) × (-) = (-)]
(c) __ × (-8) = -56 = 7 × (-8) = -56 [∵ (+) × (-) = (-)]
(d) __ × (-12) = 132 = (-11) × (-12) = 132 [∵ (-) × (-) = (+)]


Question 1.
Retrouvez chacun des produits suivants :
(une) 3 × (- 1)
(b) (- 1) × 225
(c) (-21) × (- 30)
(ré) (- 316) × (- 1)
(e) (- 15) × 0 × (- 18)
(F) (- 12) × (- 11) × (10)
(g) 9 × (-3) × (-6)
(h) (- 18) ×(-5)× (- 4)
(je) (- 1) × (-2) × (-3) × 4
(j) (- 3) × (- 6) × (-2) × (- 1).
Solution:
(a) 3 x (- 1) = – (3 x 1) = – 3
(b) (- 1) x 225 = – (1 x 225) = – 225
(c) (- 21) x (- 30) = 21 x 30 = 630
(d) (- 316) x (- 1) = 316 x 1 = 316
(e) (- 15) x 0 x (- 18) = [(- 15) x 0] x (- 18) = 0 x (- 18) = 0
(f) (- 12) x (- 11) x (10) = [(- 12) x (- 11)] x (10) = (132) x (10) = 1320
(g) 9 x (- 3) x (- 6) = [9 x (- 3)] x (- 6) = (- 27) x (- 6) = 162
(h) (- 18) x (- 5) x (- 4) = [(- 18) x (- 5)] x (- 4) = 90 x (- 4) = – 360
(i) (- 1) x (- 2) x (- 3) x 4 = [(- 1) x (- 2)] x [(- 3) x 4] = (2)x (- 12) = -24
(j) (- 3) x (- 6) x (- 2) x (- 1) = [(- 3) x (- 6)] x [(- 2) x (- 1)] = (18) x (2) = 36

Question 2.
Vérifiez les éléments suivants :
(une) 18 × [7 + (- 3)] = [18 × 7] + [18 × (- 3)]
(b) (-21)×[(-4) + (-6)] = [(-21) × (-4)] + [(-21) × (-6)
Solution:
(a) 18 × [7 + (- 3)] = [18 × 7] + [18 × (- 3)]
L.H.S. = 18 × [7 + (- 3)]
= 18 × L(7 – 3)] = 18 × (4) = 18 × 4 = 72
R.H.S. = [18 × 7] + [18 × (- 3)]
= 126 + [- (18 × 3)] = 126 + (- 54) = 126 – 54 = 72
Donc, 18 × [7 + (- 3)]
= [18 × 7] + [18 × (- 3)]

(b) (- 21) × [(- 4) + (- 6)] = [(- 21) × (- 4)] + [(- 21) × (- 6)]
L.H.S. = (- 21) × [(- 4) + (- 6)]
= (- 21) × (- 10)
= 21 × 10 = 210
R. H.S. = [(- 21) × (- 4)] + [(- 21) × (- 6)]
= (21 × 4) + (21 × 6)
= 84 + 126 = 210
Donc, (- 21) × [(- 4) + (- 6)]
= [(- 21) × (- 4)] + [(- 21) × (- 6)].

Question 3.
(je) Pour tout entier a, à quoi (-1)×a est-il égal ?
(ii) Déterminer l'entier dont le produit avec (- 1) est
(une) – 22
(b) 37
(c) 0.
Solution:
(je) Pour tout entier a, (-1) x a = -a.
(ii) Nous savons que le produit de tout entier et (-1) est l'inverse additif d'un entier.
L'entier dont le produit avec (-1) est
(une) inverse additif de -22, t. ex., 22.
(b) inverse additif de 37, c'est-à-dire -37.
(c) inverse additif de 0, c'est-à-dire 0.

Question 4.
À partir de (- 1) × 5, écrivez divers produits montrant un motif à montrer (- 1) × (-1) – 1.
Solution:
(- 1) × 5 = – 5
(- 1) × 4 = – 4 [= (- 5) + 1]
(- 1) × 3 = – 3 [= (- 4) + 1]
(- 1) × 2 = – 2 [= (- 3) + 1]
(- 1) × 1 = – 1 [= (- 2) + 1]
(- 1) × 0 = 0 [= (- 1) + 1]
(- 1) × (- 1) = 1 [= 0 + 1]

Question 5.
Trouvez le produit en utilisant les propriétés appropriées :
(une) 26 × (- 48) + (- 48) × (- 36)
(b) 8 × 53 × (- 125)
(c) 15×(-25)×(-4)×(- 10)
(ré) (-41) × 102
(e) 625 × (-35) + (- 625) × 65
(F) 7 × (50 -2)
(g) (-17) × (-29)
(h) (- 57) ×(-19)+ 57.
Solution:
(une) Nous avons, 26 x (-48) + (- 48) x (- 36)
= (- 48) x 26 + (- 48) x (- 36)
= (- 48) x [26 + (- 36)]
= (- 48) x (26 – 36)
=(- 48) x (- 10)= 480
(b) On a,
8 x 53 x (- 125) = [8 x (- 125)] x 53
= (- 1000) x 53 = – 53000
(c) On a,
15 x (- 25) x (- 4) x (- 10)
=15 x [(- 25) x (-4)] x (- 10)
= 15 x (100) x (- 10)
= (15 x 100) x (- 10)
= 1500 x (- 10) = – 15000
(ré) On a,
(- 41) x 102 = (- 41) x (100 + 2)
= (- 41) x 100 + (- 41) x 2 = -4100 – 82 = – 4182
(e) Nous avons, 625 x (- 35) + (- 625) x 65
= 625 x (- 35) + (625) x (- 65)
= 625 x [(- 35)+ (- 65)]
= 625 x (- 100) = – 62500
(F) 7 x (50 – 2) = 7 x 50 – 7 x 2
= 350 -14 =336
(g) (-17) x (- 29) = (-17) x [(- 30) + 1]
= (- 17) x (- 30) + (- 17) x 1 = 510 – 17 = 493
(h) (-57) x (-19)+ 57 =57 x 19 + 57 x 1
= 57 x (19 +1)
= 57 x 20 = 1140

Question 6.
Un certain processus de congélation nécessite que la température ambiante soit abaissée de 40 °C à raison de 5 °C toutes les heures. Quelle sera la température ambiante 10 heures après le début du processus ?
Solution:
Température ambiante 10 heures après le début du processus
= 40°C – 10 × 5°C
= 40°C – 50°C
= – (50 – 40)°C = – 10°C

Question 7.
Dans un test de classe contenant 10 questions, 5 points sont attribués pour chaque réponse correcte et (-2) points sont attribués pour chaque réponse incorrecte et 0 pour les questions non tentées.
(je) Mohan obtient quatre réponses correctes et six réponses incorrectes. Quelle est sa note ?
(ii) Reshma obtient cinq bonnes réponses et cinq mauvaises réponses, quel est son score ?
(iii) Heena obtient deux réponses correctes et cinq réponses incorrectes sur sept questions qu'elle tente. Quelle est sa note ?
Solution:
(je) Mohan obtient pour quatre bonnes réponses 4 × 5 = 20 points
Il obtient également pour six fois des réponses incorrectes. 6 × (- 2) = – 12 points.
Par conséquent, le score de Mohan = 20 + (- 12) = 20-12 = 8 points.

(ii) Reshma obtient pour cinq bonnes réponses 5 × 5 = 25 points
Elle obtient également pour cinq réponses incorrectes 5 × (- 2) = – 10 points Par conséquent, le score de Reshma = 25 + (- 10) = 25-10 = 15 points.

(iii) Heena obtient pour deux bonnes réponses
2 × 5 = 10 points.
Elle obtient également pour cinq réponses incorrectes 5 × (- 2) = – 10 points
Elle n'a pas tenté trois questions. Pour ceux-ci, elle obtient 3×0 = 0 points
Par conséquent, le score de Heena = 10 + (- 10) + 0 = 10 – 10 + 0 = 0 points.

Question 8.
Une entreprise de ciment réalise un bénéfice de 8 par sac de ciment blanc vendu et une perte de 5 par sac de ciment gris vendu.
(une) L'entreprise vend 3 000 sacs de ciment blanc et 5 000 sacs de ciment gris en un mois. Quel est son profit ou sa perte ?
(b) Quel est le nombre de sacs de ciment blanc qu'il doit vendre pour n'avoir ni profit ni perte si le nombre de sacs gris vendus est de 6 400 sacs.
Solution:
(une) L'entreprise vend 3 000 sacs de ciment blanc. Donc son profit = 3 000 × 8 = ₹ 24 000
De plus, l'entreprise vend 5 000 sacs de ciment gris. Donc sa perte = 5 000 × 5 = ₹ 25 000
Depuis 25 000 > 24 000
Par conséquent, l'entreprise est à perte et la perte est = 25000 – 24000 = ₹ 1000

(b) Soit ‘×’ le nombre de sacs de ciment blanc vendus.
D'après la question, on obtient
x × 8 = 6400 × 5
⇒ x = (frac < 6400 imes 5 >< 8 >) = 800 × 5 = 4000 sacs.
Par conséquent, 4 000 sacs de ciment blanc doivent être vendus pour n'avoir ni profit ni perte.

Question 9.
Remplacez le blanc par un entier pour en faire une déclaration vraie.

  1. (une) (- 3) × …….. = 27
  2. (b) 5 × …….. = -35
  3. (c) …….. × (- 8) = – 56
  4. (ré) …….. × (- 12) = 132.
  1. (une) (-3) x (- 9) = 27
  2. (b) 5 x (-7) = (-35)
  3. (c) 7x (-8) = (-56)
  4. (ré) (-11) x (-12) = 132

Nous espérons que les solutions NCERT pour les mathématiques de classe 7 Chapitre 1 Entiers Ex 1.3 vous aideront. Si vous avez des questions concernant les solutions NCERT pour les mathématiques de classe 7 Chapitre 1 Entiers Ex 1.3, laissez un commentaire ci-dessous et nous vous répondrons au plus tôt.


Nous avons ajouté plus de discussion sur les situations de la "vie réelle" où un négatif est "ajouté" à un négatif, comme perdre des mètres au football, plonger sous l'eau et continuer à aller plus loin. Cela rendait les choses beaucoup plus compréhensibles.

Cluster : appliquer et étendre les compréhensions antérieures des nombres au système de nombres rationnels

Norme : comprendre que les nombres positifs et négatifs sont utilisés ensemble pour décrire des quantités ayant des directions ou des valeurs opposées (p. pour représenter des quantités dans des contextes du monde réel, expliquant la signification de 0 dans chaque situation.

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1.3: Integers - Mathematics

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Addition of Integers on a Number Line – Rules, Steps, Examples | How to Add Integers on a Number Line?

This page will help you understand how the addition of integers is performed using a number line. What are the rules and steps that are to be followed while performing the addition of integers on the number line along with few examples. Solved Examples on Addition of Integers on a Number Line will make it easy for you to understand the problem-solving approach used and then apply it to similar problems you face later on.

How to Add Integers on a Number Line? | Steps for Adding Integers Using a Number Line

For adding any two integers on a number we have to follow a step-by-step process as following.

  1. Initially, we need to draw the number and mark integers accordingly.
  2. As we have two numbers, first we have to represent the first number on the number line.
  3. Then we have to move as many units as the second number given, move towards the right if the second number is positive, and move towards the left the second number is negative.
  4. After making the required moves with both numbers we will reach our answer.

Rules for Adding Integers on a Number Line

Below are two important that you should always remember when performing addition on a number line.

  • Whenever we are adding a positive integer we move to the right side of the number line because we are increasing in value.
  • Whenever we are adding a negative integer we move to the left side of the number line because we are decreasing in value.

Let’s jump into our examples with all possible combinations for better understanding.

Addition of Integers on a Number Line Examples

So we have to start at a negative 3, then we have to add a positive 4.

That means we are increasing in the value, So we are going to move to the right.

As shown in the below image. We stared at -3 and then we are adding a 4 by moving four times towards the right.

So we ended up on positive 1.

In this example, we have a positive 3 and a negative 5. Here we have to start at a positive 3 and then we have to add a negative 5, So here we are decreasing in value. This means we will move to the left side on the number line.

As shown in the below image. We have to start at a positive 3, then move 5 times towards the left side because we are adding a negative 5.

By doing so we ended upon -2.

Here we have a negative 1 and a negative 8. We have two negative numbers, which means we are adding one negative number with another negative number. So we decreasing the value, Which means we will be moving towards the left on the number line.

As shown in the below image. We have to start at a negative 1, then move 8 times towards the left side because we are adding a negative 8.

By doing so we ended up on a negative 9.

Here we have a positive 6 and a positive 3. We have two positive numbers. which means we increasing the value, So we will be moving towards the right on the number line.

As shown in the below image. We have to start at a positive 6, then move 3 times towards the right side because we are adding a positive 3.

By doing so we ended up on a positive 9.

FAQs on Addition of Integers on a Number Line

1. What is the formula for adding integers?

Whenever we are performing addition if two integers are having the same sign add them. if two integers are having different signs subtract them.

2. Can we perform subtraction on integers using the number line?

Yes, we can perform subtraction of integers using a number line.

3. What is an integer?

Any whole number is called an integer. Integers can be positive numbers or negative numbers.

4. How do integers work?

Integers are whole numbers with positive and negative values. We can perform mathematical operations like addition, subtraction, multiplication, and division on integers.


Mr. R.’s World of Math

The students arrived at school early on Saturday morning and they were all in a bad mood. Well, they were all in a bad mood except for David who would have liked to have had school eight days a week.
In the classroom, their teacher, Mr. R. sat between his purple swirls and pink polka-dots as he waited for the students. He was not in a good mood either. He was upset the students had painted his room purple, and he was upset he had to be in school on a Saturday just as much as the students were…
Maybe it was because the students were used to sleeping late on Saturdays, or because they were just tired, but when Mr. R. started teaching, a few of the fourth graders had some problems staying awake.

It was already 1:15 in the afternoon when Justin finally woke up.
“Where am I? What time is it?” asked a confused Justin.
“You happen to be in school and it’s 1:15” whispered Serena, “you’ve been sleeping since math started at 12:30. Now we’re starting science.”


Integers

le integers are the set of whole numbers and their opposites. Fractions et decimals are not included in the set of integers.

For example, 2 , 5 , 0 , &minus 12 , 244 , &minus 15 and 8 are all integers.

The numbers such as 8.5 , 2 3 and 4 1 3 are not integers.

(Note that a number can be an integer even if it is written as a decimal or a fraction: for example, &minus 3.00 and 8 2 are both integers, because they are equal to &minus 3 and 4 , respectively.)

The set of integers is usually represented by the symbol .

We can plot the integers as equally spaced points on a number line , as shown in the figure. The arrows at the left and right sides show that the integers continue forever in both directions.

The whole numbers greater than 0 are called positive integers . Their opposites, which are less than 0 , are called negative integers . Zero is neither positive nor negative.

If two numbers are opposite, they are the same distance away from zero. For example, 4 and &minus 4 are opposites, and each is 4 units from zero.

The sum, difference, or product of two integers is an integer. Par example,

The quotient of two integers is not always an integer.

For example, 8 ÷ ( &minus 2 ) = &minus 4 is an integer because it divides evenly.

However, &minus 2 ÷ 8 = &minus 2 8 = &minus 1 4 is not an integer. When a quotient of integers does not divide evenly, the result is a fraction .

Which of the following numbers is an integer?

6.5 is greater than the integer 6 and less than the integer 7 . The .5 at the end of the number indicates a fractional part. So, this is not an integer.

The number 5 has a square root sign its value is greater than the integer 2 but less than the integer 3 . Since 5 is not a perfect square like 4 or 9 , 5 is not an integer.

The number 2 3 is a fraction greater than 0 but less than 1 , so this is not an integer.


1.3: Integers - Mathematics

Although Einstein said that god does not play dice, R can. For example

or with a function In fact, R can create lots of different types of random numbers ranging from familiar families of distributions to specialized ones.

6.1 Random number generators in R -- the ``r'' functions.

As we know, random numbers are described by a distribution. That is, some function which specifies the probability that a random number is in some range. For example P ( a < X b ). Often this is given by a probability density (in the continuous case) or by a function P ( X = k ) = f ( k ) in the discrete case. R will give numbers drawn from lots of different distributions. In order to use them, you only need familiarize yourselves with the parameters that are given to the functions such as a mean, or a rate. Here are examples of the most common ones. For each, a histogram is given for a random sample of size 100, and density (using the ``d'' functions) is superimposed as appropriate. Uniform. Uniform numbers are ones that are "equally likely" to be in the specified range. Often these numbers are in [0,1] for computers, but in practice can be between [a,b] where a,b depend upon the problem. An example might be the time you wait at a traffic light. This might be uniform on [0,2]. The general form is runif(n,min=0,max=1) which allows you to decide how many uniform random numbers you want ( n ), and the range they are chosen from ([ min , max ])

To see the distribution with min=0 and max=1 (the default) we have

The only tricky thing was plotting the histogram with a background ``color''. Notice how the dunif function was used with the curve function. Normal. Normal numbers are the backbone of classical statistical theory due to the central limit theorem The normal distribution has two parameters a mean and a standard deviation s . These are the location and spread parameters. For example, IQs may be normally distributed with mean 100 and standard deviation 16, Human gestation may be normal with mean 280 and standard deviation about 10 (approximately). The family of normals can be standardized to normal with mean 0 (centered) and variance 1. This is achieved by "standardizing" the numbers, i.e. Z =( X - )/ s .

Here are some examples Here the function is called as rnorm(n,mean=0,sd=1) where one specifies the mean and the standard deviation.

To see the shape for the defaults (mean 0, standard deviation 1) we have (figure 26)

Binomial. The binomial random numbers are discrete random numbers. They have the distribution of the number of successes in n independent Bernoulli trials where a Bernoulli trial results in success or failure, success with probability p .

A single Bernoulli trial is given with n=1 in the binomial A binomially distributed number is the same as the number of 1's in n such Bernoulli numbers. For the last example, this would be 5. There are then two parameters n (the number of Bernoulli trials) and p (the success probability).

To generate binomial numbers, we simply change the value of n from 1 to the desired number of trials. For example, with 10 trials: The number of successes is of course discrete, but as n gets large, the number starts to look quite normal. This is a case of the central limit theorem which states in general that ( X -- - )/ s is normal in the limit (note this is standardized as above) and in our specific case that

is approximately normal, where p ^ = (number of successes)/ n .

The graphs (figure 27) show 100 binomially distributed random numbers for 3 values of n and for p =.25. Notice in the graph, as n increases the shape becomes more and more bell-shaped. These graphs were made with the commands

Exponential The exponential distribution is important for theoretical work. It is used to describe lifetimes of electrical components (to first order). For example, if the mean life of a light bulb is 2500 hours one may think its lifetime is random with exponential distribution having mean 2500. The one parameter is the rate = 1/mean. We specify it as follows rexp(n,rate=1) . Here is an example with the rate being 1/2500 (figure 28).

There are others of interest in statistics. Common ones are the Poisson, the Student t -distribution, the F distribution, the beta distribution and the c 2 (chi squared) distribution.

6.2 Sampling with and without replacement using sample

R has the ability to sample with and without replacement. That is, choose at random from a collection of things such as the numbers 1 through 6 in the dice rolling example. The sampling can be done with replacement (like dice rolling) or without replacement (like a lottery). By default sample samples without replacement each object having equal chance of being picked. You need to specify replace=TRUE if you want to sample with replacement. Furthermore, you can specify separate probabilities for each if desired.

The last two illustrate things that can be done with a little typing and a lot of thinking using the fun commands paste for pasting together strings, rep for repeating things and outer for generating all possible products.

6.3 A bootstrap sample

Bootstrapping is a method of sampling from a data set to make statistical inference. The intuitive idea is that by sampling, one can get an idea of the variability in the data. The process involves repeatedly selecting samples and then forming a statistic. Here is a simple illustration on obtaining a sample.

The built in data set faithful has a variable ``eruptions'' that measures the time between eruptions at Old Faithful. It has an unusual distribution. A bootstrap sample is just a sample with replacement from the given values. It can be found as follows

Notice that the bootstrap sample has a similar histogram, but it is different (figure 29).

6.4 d , p and q functions

The p and q functions are for the cumulative distribution functions and the quantiles. As mentioned, the distribution of a random number is specified by the probability that the number is between a and b for arbitrary a and b , P ( a < X b ). In fact, the value F ( x ) = P ( X b ) is enough.

The p functions answer what is the probability that a random variable is less than x . Such as for a standard normal, what is the probability it is less than .7? Notationally, these answer P ( Z .7) where Z is a standard normal or normal(1,1). To answer P ( Z > .7) is also easy. You can do the work by noting this is 1 - P ( Z .7) or let R do the work, by specifying lower.tail=F as in: The q function are inverse to this. They ask, what value corresponds to a given probability. This the quantile or point in the data that splits it accordingly. For example, what value of z has .75 of the area to the right for a standard normal? (This is Q 3 ) Notationally, this is finding z which solves 0.75 = P ( Z z ).

6.5 Standardizing, scale and z scores

To do so requires knowledge of the mean and standard deviation.

You can also standardize a sample. There is a convenient function scale that will do this for you. This will make your sample have mean 0 and standard deviation 1. This is useful for comparing random variables which live on different scales.

Normal random variables are often standardized as the distribution of the standardized normal variable is again normal with mean 0 and variance 1. (The ``standard'' normal.) The z -score of a normal number is the value of it after standardizing.

If we have normal data with mean 100 and standard deviation 16 then the following will find the z -scores The z -score is used to look up the probability of being to the right of the value of x for the given random variable. This way only one table of normal numbers is needed. With R , this is not necessary. We can use the pnorm function directly

6.6 Problems

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