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10.3 : Utiliser les propriétés de multiplication des exposants (partie 2)


Simplifier les expressions à l'aide du produit en une propriété de puissance

Nous allons maintenant examiner une expression contenant un produit élevé à une puissance. Cherchez un modèle.

(2x)3
Qu'est-ce que ça veut dire?2x • 2x • 2x
Nous regroupons les facteurs similaires.2 • 2 • 2 • x • x • x
Combien de facteurs de 2 et de x ?23 • X3
Remarquez que chaque facteur a été élevé à la puissance.(2x)3 est 23 • X3
Nous écrivons:$$egin{split} &(2x)^{3} &2^{3} cdot x^{3} end{split}$$

L'exposant s'applique à chacun des facteurs. Cela conduit le produit à une propriété de puissance pour les exposants.

Définition : Produit à une propriété de puissance des exposants

Si a et b sont des nombres réels et m un nombre entier, alors

[(ab)^{m} = un^{m} b^{m} ag{10.2.27}]

Pour élever un produit à une puissance, élevez chaque facteur à cette puissance.

Un exemple avec des nombres permet de vérifier cette propriété :

[egin{split} (2 cdot 3)^{2} &stackrel{?}{=} 2^{2} cdot 3^{2} 6^{2} &stackrel{? }{=} 4 cdot 9 36 &stackrel{?}{=} 36; checkmark end{split}]

Exemple (PageIndex{10}) :

Simplifier : (−11x)2.

Solution

Utiliser la puissance d'une propriété de produit, (ab)m = unm bm.$$(-11)^{ extcolor{red}{2}} x^{ extcolor{red}{2}} ag{10.2.28}$$
Simplifier.$$121x^{2} ag{10.2.29}$$

Exercice (PageIndex{19}):

Simplifier : (−14x)2.

Répondre

196x2

Exercice (PageIndex{20}):

Simplifier : (−12a)2.

Répondre

144a2

Exemple (PageIndex{11}) :

Simplifier : (3xy)3.

Solution

Augmentez chaque facteur à la troisième puissance.$$3^{ extcolor{red}{3}} x^{ extcolor{red}{3}} y^{ extcolor{red}{3}} ag{10.2.30}$$
Simplifier.$$27x^{3} y^{3} ag{10.2.31}$$

Exercice (PageIndex{21}):

Simplifier : (−4xy)4.

Répondre

256x4oui4

Exercice (PageIndex{22}):

Simplifier : (6xy)3.

Répondre

216x3oui3

Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés

Nous avons maintenant trois propriétés pour multiplier des expressions avec des exposants. Résumons-les, puis nous ferons quelques exemples qui utilisent plus d'une des propriétés.

Définition : Propriétés des exposants

Si a, b sont des nombres réels et m, n sont des nombres entiers, alors

Propriété du produitunem • unem = unm + n
Propriété de puissance(unem)m = unm • n
Produit à une propriété de puissance(un B)m = unmbm

Exemple (PageIndex{12}) :

Simplifier : (x2)6(X5)4.

Solution

Utilisez la propriété Power.X12 • X20
Ajoutez les exposants.X32

Exercice (PageIndex{23}):

Simplifier : (x4)3(X7)4.

Répondre

X40

Exercice (PageIndex{24}):

Simplifier : (oui9)2(oui8)3.

Répondre

oui42

Exemple (PageIndex{13}) :

Simplifier : (−7x3oui4)2.

Solution

Prenez chaque facteur à la seconde puissance.(−7)2(X3)2(oui4)2
Utilisez la propriété Power.49x6oui8

Exercice (PageIndex{25}):

Simplifier : (−8x4oui7)3.

Répondre

-512x12oui21

Exercice (PageIndex{26}):

Simplifier : (−3a5b6)4.

Répondre

81a20b24

Exemple (PageIndex{14}) :

Simplifier : (6n)2(4n3).

Solution

Montez 6n à la deuxième puissance.62m2 • 4n3
Simplifier.36n2 • 4n3
Utilisez la propriété commutative.36 • 4 • n2 • n3
Multipliez les constantes et ajoutez les exposants.144n5

Notez que dans le premier monôme, l'exposant était à l'extérieur des parenthèses et qu'il s'appliquait aux deux facteurs à l'intérieur. Dans le deuxième monôme, l'exposant était entre parenthèses et ne s'appliquait donc qu'au n.

Exercice (PageIndex{27}):

Simplifier : (7n)2 (2n12).

Répondre

98n14

Exercice (PageIndex{28}):

Simplifier : (4m)2(3m3).

Répondre

48m5

Exemple (PageIndex{15}) :

Simplifier : (3p2q)4(2pq2)3.

Solution

Utilisez la puissance d'une propriété de produit.34(p2)4q4 • 23p3(q2)3
Utilisez la propriété Power.81p8q4 • 8p3q6
Utilisez la propriété commutative.81 • 8 • p8 • p3 • q4 • q6
Multipliez les constantes et ajoutez les exposants pour chaque variable.648p11q10

Exercice (PageIndex{29}):

Simplifier : (u3v2)5(4uv4)3.

Répondre

64u18v22

Exercice (PageIndex{30}):

Simplifier : (5x2oui3)2(3xy4)3.

Répondre

675x7oui18

Multiplier les monômes

Puisqu'un monôme est une expression algébrique, nous pouvons utiliser les propriétés de simplification des expressions avec des exposants pour multiplier les monômes.

Exemple (PageIndex{16}) :

Multiplier : (4x2)(−5x3).

Solution

Utilisez la propriété commutative pour réorganiser les facteurs.4 • (−5) • x2 • X3
Multiplier.−20x5

Exercice (PageIndex{31}):

Multiplier : (7 x7)(−8x4).

Répondre

-56x11

Exercice (PageIndex{32}):

Multiplier : (−9 ans4)(−6 ans5).

Répondre

54 ans9

Exemple (PageIndex{17}) :

Multiplier : (left(dfrac{3}{4} c^{3} d ight))(12cd2).

Solution

Utilisez la propriété commutative pour réorganiser les facteurs.(dfrac{3}{4}) • 12 • c3 • c • d • d2
Multiplier.9c43

Exercice (PageIndex{33}):

Multiplier : (gauche(dfrac{4}{5} m^{4} n^{3} ddroite))(15mn3).

Répondre

12m5m6

Exercice (PageIndex{34}):

Multiplier : (left(dfrac{2}{3} p^{5} q d ight))(18p6q7).

Répondre

12p11q8

C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Simplifier les expressions avec les exposants

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression avec des exposants.

  1. 45
  2. 103
  3. (gauche(dfrac{1}{2}droite)^{2})
  4. (gauche(dfrac{3}{5}droite)^{2})
  5. (0.2)3
  6. (0.4)3
  7. (−5)4
  8. (−3)5
  9. −54
  10. −35
  11. −104
  12. −26
  13. (- gauche(dfrac{2}{3}droit)^{3})
  14. (- gauche(dfrac{1}{4}droite)^{4})
  15. −0.52
  16. −0.14

Simplifier les expressions à l'aide de la propriété de produit des exposants

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide de la propriété Product des exposants.

  1. X3 • X6
  2. m4 • m2
  3. un • un4
  4. oui12 • oui
  5. 35 • 39
  6. 510 • 56
  7. z • z2 • z3
  8. un • un3 • une5
  9. Xune • X2
  10. ouip • oui3
  11. ouiune • ouib
  12. Xp • Xq

Simplifier les expressions à l'aide de la propriété de puissance des exposants

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide de la propriété Power des exposants.

  1. (tu4)2
  2. (X2)7
  3. (oui5)4
  4. (une3)2
  5. (102)6
  6. (28)3
  7. (X15)6
  8. (oui12)8
  9. (X2)oui
  10. (oui3)X
  11. (5X)oui
  12. (7une)b

Simplifier les expressions à l'aide du produit en une propriété de puissance

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression à l'aide du produit en une propriété de puissance.

  1. (5a)2
  2. (7x)2
  3. (−6m)3
  4. (−9n)3
  5. (4r)2
  6. (5ab)3
  7. (4xyz)4
  8. (−5abc)3

Simplifier les expressions en appliquant plusieurs propriétés

Dans les exercices suivants, simplifiez chaque expression.

  1. (X2)4 • (X3)2
  2. (oui4)3 • (oui5)2
  3. (une2)6 • (une3)8
  4. (b7)5 • (b2)6
  5. (3x)2(5x)
  6. (2 ans)3 (6 ans)
  7. (5a)2(2a)3
  8. (4b)2(3b)3
  9. (2m6)3
  10. (3 ans2)4
  11. (10x2y)3
  12. (2mn4)5
  13. (−2a3b2)4
  14. (−10u2v4)3
  15. (gauche(dfrac{2}{3} x^{2} y ight)^{3})
  16. (gauche(dfrac{7}{9} p q^{4} droit)^{2})
  17. (8a3)2(2a)4
  18. (5r2)3(3r)2
  19. (10p4)3(5p6)2
  20. (4x3)3(2x5)4
  21. (left(dfrac{1}{2} x^{2} y^{3} ight)^{4}) (4x5oui3)2
  22. (gauche(dfrac{1}{3} m^{3} n^{2} droit)^{4}) (9m8m3)2
  23. (3m2n)2(2mn5)4
  24. (2pq4)3(5p6q)2

Multiplier les monômes

Dans les exercices suivants, multipliez les monômes suivants.

  1. (12x2)(−5x4)
  2. (−10 ans3)(7 ans2)
  3. (−8u6)(−9u)
  4. (−6c4)(−12c)
  5. (gauche(dfrac{1}{5} r^{8} droit)) (20r3)
  6. (gauche(dfrac{1}{4} a^{5} droit)) (36a2)
  7. (4a3b)(9a2b6)
  8. (6 m4m3)(7mn5)
  9. (gauche(dfrac{4}{7} x y^{2} droit)) (14xy3)
  10. (gauche(dfrac{5}{8} u^{3} v ight)^{3}) (24u5v)
  11. (gauche(dfrac{2}{3} x^{2} y ight) gauche(dfrac{3}{4} x y^{2} ight))
  12. (gauche(dfrac{3}{5} m^{3} n^{2} ight) gauche(dfrac{5}{9} m^{2} n^{3} ight) )

Mathématiques de tous les jours

  1. E-mail Janet envoie une blague par e-mail à six de ses amis et leur dit de la transmettre à six de leurs amis, qui la transmettent à six de leurs amis, et ainsi de suite. Le nombre de personnes qui reçoivent l'email au second tour est de 62, au troisième tour est 63, comme indiqué dans le tableau. Combien de personnes recevront l'e-mail au huitième tour ? Simplifiez l'expression pour afficher le nombre de personnes qui reçoivent l'e-mail.
RondNombre de personnes
16
262
363
8?
  1. Un salaire Le patron de Raul lui accorde une augmentation de 5% chaque année le jour de son anniversaire. Cela signifie que chaque année, le salaire de Raul est de 1,05 fois son salaire de l'année dernière. Si son salaire initial était de 40 000 $, son salaire après 1 an était de 40 000 $ (1,05), après 2 ans était de 40 000 $ (1,05)2, après 3 ans était de 40 000 $ (1,05)3, comme indiqué dans le tableau ci-dessous. Quel sera le salaire de Raul après 10 ans ? Simplifiez l'expression, pour montrer le salaire de Raul en dollars.
AnUn salaire
1$40,000(1.05)
2$40,000(1.05)2
3$40,000(1.05)3
10?

Exercices d'écriture

  1. Utilisez la propriété du produit pour les exposants pour expliquer pourquoi x • x = x2.
  2. Expliquez pourquoi -53 = (−5)3 mais -54 ≠ (−5)4.
  3. Jorge pense que (left(dfrac{1}{2} ight)^{2}) est 1. Quel est le problème avec son raisonnement ?
  4. Explique pourquoi x3 • X5 est x8, et non x15.

Auto contrôle

(a) Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

(b) Après avoir examiné cette liste de contrôle, que ferez-vous pour devenir confiant pour tous les objectifs ?


Voir la vidéo: Potenssien laskusäännöt osa 3: Potenssin potenssi (Décembre 2021).