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3.6 : Problèmes d'optimisation appliquée - Mathématiques


Dans la section 3.3, nous avons appris les valeurs extrêmes - les valeurs les plus grandes et les plus petites qu'une fonction atteint sur un intervalle. Dans cette section, nous appliquons les concepts de valeurs extrêmes pour résoudre des « problèmes de mots », c'est-à-dire des problèmes énoncés en termes de situations qui nous obligent à créer le cadre mathématique approprié pour résoudre le problème.

Nous commençons par un exemple classique qui est suivi d'une discussion sur le thème de l'optimisation.

Résolution des problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé et limité

Exemple (PageIndex{1}) : Optimisation : périmètre et surface

Un homme a 100 pieds de clôture, une grande cour et un petit chien. Il veut créer un enclos rectangulaire pour son chien avec une clôture qui offre une surface maximale. Quelles dimensions fournissent la surface maximale?

Solution

On peut probablement deviner la bonne réponse - c'est génial. Nous allons montrer comment le calcul peut fournir cette réponse dans un contexte qui prouve que cette réponse est correcte.

Cela aide à faire un croquis de la situation. Notre enceinte est esquissée deux fois sur la figure (PageIndex{1}), soit avec de l'herbe verte et de belles planches de clôture, soit sous la forme d'un simple rectangle. Quoi qu'il en soit, dessiner un rectangle nous oblige à réaliser que nous devons connaître les dimensions de ce rectangle afin de pouvoir créer une fonction de surface - après tout, nous essayons de maximiser la surface.

On note (x) et (y) les longueurs des côtés du rectangle. Clairement,

[ ext{Zone}=xy.]

On ne sait pas encore manipuler les fonctions à 2 variables ; nous devons réduire cela à une seule variable. On en sait plus sur la situation : l'homme a 100 pieds de clôture. En sachant que le périmètre du rectangle doit être de 100, on peut créer une autre équation :

[ ext{Périmètre} = 100 = 2x+2y.]

Nous avons maintenant 2 équations et 2 inconnues. Dans cette dernière équation, nous résolvons pour (y) :

[y = 50-x.]

Remplacez maintenant cette expression par (y) dans l'équation d'aire :

[ ext{Zone} = A(x) = x(50-x).]

Notez que nous avons maintenant une équation d'une variable ; nous pouvons vraiment appeler l'Aire une fonction de (x).

Cette fonction n'a de sens que lorsque (0leq x leq 50), sinon nous obtenons des valeurs négatives d'aire. On retrouve donc les valeurs extrêmes de (A(x)) sur l'intervalle ([0,50]).

Pour trouver les points critiques, nous prenons la dérivée de (A(x)) et la fixons égale à 0, puis résolvons pour (x).

[egin{align} A(x) &= x(50-x) &= 50x-x^2 A'(x) &= 50-2x end{align}]

Nous résolvons (50-2x=0) pour trouver (x=25); c'est le seul point critique. Nous évaluons (A(x)) aux extrémités de notre intervalle et à ce point critique pour trouver les valeurs extrêmes ; dans ce cas, tout ce qui nous intéresse, c'est le maximum.

Clairement (A(0)=0) et (A(50)=0), alors que (A(25) = 625 ext{ft}^2). C'est le maximum. Puisque nous avons trouvé précédemment (y = 50-x), nous trouvons que (y) est également (25). Ainsi, les dimensions de l'enceinte rectangulaire avec un périmètre de 100 pieds avec une superficie maximale sont un carré, avec des côtés de 25 pieds de longueur.

Cet exemple est très simpliste et un peu artificiel. (Après tout, la plupart des gens créent une conception puis achètent des clôtures pour répondre à leurs besoins, et non pas acheter des clôtures et planifier plus tard.) trouver la valeur extrême nécessaire.

« Dans la vraie vie », les problèmes sont beaucoup plus complexes. Les équations sont souvent ne pas réductible à une seule variable (d'où la nécessité d'un calcul à plusieurs variables) et les équations elles-mêmes peuvent être difficiles à former. Comprendre les principes ici fournira une bonne base pour les mathématiques que vous rencontrerez probablement plus tard.

Nous décrivons ici le processus de base pour résoudre ces problèmes d'optimisation.

Idée clé 6 : Résoudre les problèmes d'optimisation

  1. Comprendre le problème. Identifiez clairement quelle quantité doit être maximisée ou minimisée. Faites un croquis si cela vous est utile.
  2. Créer des équations pertinentes au contexte du problème, en utilisant les informations fournies. (L'un d'entre eux doit décrire la quantité à optimiser. Nous l'appellerons le équation fondamentale.)
  3. Si l'équation fondamentale définit la quantité à optimiser en fonction de plus d'une variable, réduisez-la à une seule fonction variable en utilisant des substitutions dérivées des autres équations.
  4. Identifiez le domaine de cette fonction, en gardant à l'esprit le contexte du problème.
  5. Trouver les valeurs extrêmes de cette fonction sur le domaine déterminé.
  6. Identifiez les valeurs de toutes les quantités pertinentes du problème.

Nous utiliserons l'idée clé 6 dans une variété d'exemples.

Exemple (PageIndex{2}) : Optimisation : périmètre et surface

Voici un autre problème de calcul classique : une femme a 100 pieds de clôture, un petit chien et une grande cour qui contient un ruisseau (qui est principalement droit). Elle veut créer une enceinte rectangulaire avec une surface maximale qui utilise le ruisseau comme un côté. (Apparemment, son chien ne nagera pas.) Quelles dimensions fournissent la zone maximale ?

Solution

Nous suivrons les étapes décrites par l'idée clé 6.

  1. nous maximisons surface. Un croquis de la région vous aidera; La figure (PageIndex{2}) donne deux croquis de la zone fermée proposée. Une caractéristique clé des croquis est de reconnaître qu'un côté n'est pas clôturé.
  1. Nous voulons maximiser la superficie; comme dans l'exemple précédent, [ ext{Area} = xy.[ Ceci est notre équation fondamentale. Cela définit la zone en fonction de deux variables, nous avons donc besoin d'une autre équation pour la réduire à une variable.
    Nous en appelons à nouveau au périmètre ; ici le périmètre est [ ext{Périmètre} = 100 = x+2y.[ Notez en quoi cela est différent de notre exemple précédent.
  2. Nous réduisons maintenant l'équation fondamentale à une seule variable. Dans l'équation du périmètre, résolvez pour (y): (y = 50 - x/2). Nous pouvons maintenant écrire Aire sous la forme [ ext{Area} = A(x) = x(50-x/2) = 50x - frac12x^2.[ L'aire est maintenant définie en fonction d'une variable.
  3. Nous voulons que la zone soit non négative. Puisque (A(x) = x(50-x/2)), nous voulons (xgeq 0) et (50-x/2geq 0). Cette dernière inégalité implique que (xleq100), donc (0leq xleq 100).
  4. Nous trouvons maintenant les valeurs extrêmes. Aux extrémités, le minimum est trouvé, donnant une zone de 0.
    Trouvez les points critiques. On a (A'(x) = 50-x); définir cette valeur égale à 0 et résoudre (x) renvoie (x=50). Cela donne une aire de [A(50) = 50(25) = 1250.[
(X)(Hache))
00
50(50)(25)
1000
  1. Nous avons précédemment défini (y = 50-x/2); donc (y = 25). Ainsi, notre rectangle aura deux côtés de longueur 25 et un côté de longueur 50, avec une superficie totale de 1250 pi(^2).

Gardez à l'esprit que nous faisons ces problèmes que nous pratiquons une traiter; c'est-à-dire que nous apprenons à transformer une situation en un système d'équations. Ces équations nous permettent d'écrire une certaine quantité en fonction d'une variable, que nous optimisons ensuite.

Exemple (PageIndex{3}) : Optimisation : minimiser les coûts

Une ligne électrique doit aller d'une centrale électrique située sur la plage à une installation offshore. La figure (PageIndex{3}) montre les distances entre la centrale et l'installation.

Il en coûte 50 $/pi. pour faire passer une ligne électrique le long du terrain, et 130 $/pi. pour faire passer une ligne électrique sous l'eau. Quelle partie de la ligne électrique doit être installée le long du terrain pour minimiser le coût global ? Quel est le coût minimal ?

Solution

Nous suivrons implicitement la stratégie de l'idée clé 6, sans numéroter spécifiquement les étapes.

Il y a deux solutions immédiates que nous pourrions envisager, chacune d'elles que nous rejetterons par « bon sens ». Premièrement, nous pourrions minimiser la distance en reliant directement les deux emplacements avec une ligne droite. Cependant, cela nécessite que tout le fil soit posé sous l'eau, l'option la plus coûteuse. Deuxièmement, nous pourrions minimiser la longueur sous l'eau en faisant passer un fil tous les 5 000 pieds le long de la plage, directement en face de l'installation offshore. Cela a l'effet indésirable d'avoir la distance la plus longue de toutes, assurant probablement un coût non minime.

La solution optimale consiste probablement à faire passer la ligne le long du sol pendant un certain temps, puis sous l'eau, comme l'indique la figure. Nous devons étiqueter nos distances inconnues - la distance parcourue le long du sol et la distance parcourue sous l'eau. Reconnaissant que la distance sous-marine peut être mesurée comme l'hypoténuse d'un triangle rectangle, nous choisissons d'étiqueter les distances comme le montre la figure (PageIndex{4}).

En choisissant (x) comme nous l'avons fait, nous simplifions l'expression sous la racine carrée. Nous créons maintenant la fonction de coût.

[
egin{array}{ccccc}
ext{Coût} &=& ext{coût du terrain} &+ & ext{coût de l'eau}
& & ext{$50} imes ext{distance terrestre} &+& ext{$130} imes ext{distance aquatique}
& & 50(5000-x) &+& 130sqrt{x^2+1000^2}.
end{tableau}
]

On a donc (c(x) = 50(5000-x)+ 130sqrt{x^2+1000^2}). Cette fonction n'a de sens que sur l'intervalle ([0,5000]). Bien que nous soyons à peu près certains que les points finaux ne donneront pas un coût minimal, nous évaluons toujours (c(x)) à chacun pour vérifier.

[c(0) = 380 000 quadquad c(5000) environ 662 873.]

On trouve maintenant les valeurs critiques de (c(x)). On calcule (c'(x)) comme

[c'(x) = -50+frac{130x}{sqrt{x^2+1000^2}}.]

Reconnaissez que ce n'est jamais indéfini. En définissant (c'(x)=0) et en résolvant (x), nous avons :

[ egin{align} -50+frac{130x}{sqrt{x^2+1000^2}} &= 0 frac{130x}{sqrt{x^2+1000^2} } &= 50 frac{130^2x^2}{x^2+1000^2} &= 50^2 130^2x^2 &= 50^2(x^2+1000^2) 130^2x^2-50^2x^2 &= 50^2cdot1000^2 (130^2-50^2)x^2 &= 50 000^2 x^2 &= frac {50 000^2}{130^2-50^2} x &= frac{50 000}{sqrt{130^2-50^2}} x & = frac{50 000}{120} =416frac23environ 416,67. end{aligner}]

L'évaluation de (c(x)) à (x=416,67) donne un coût d'environ 370 000 $. La distance à laquelle la ligne électrique est posée le long de la terre est (5000-416.67 = 4583.33) pieds, et la distance sous-marine est (sqrt{416.67^2+1000^2} environ 1083) pieds.

Exemple (PageIndex{4}) : Maximiser le volume d'une boîte

Une boîte à toit ouvert doit être fabriquée à partir d'un morceau de carton de (24) po par (36) po en enlevant un carré de chaque coin de la boîte et en repliant les rabats de chaque côté. Quelle taille de carré faut-il découper dans chaque coin pour obtenir une boîte avec le volume maximum ?

Solution

Étape 1 : Soit (x) la longueur du côté du carré à supprimer de chaque coin (Figure (PageIndex{3})). Ensuite, les quatre rabats restants peuvent être repliés pour former une boîte à toit ouvert. Soit (V) le volume de la boîte résultante.

Étape 2 : Nous essayons de maximiser le volume d'une boîte. Le problème est donc de maximiser (V).

Étape 3 : Comme mentionné à l'étape (2), essayez de maximiser le volume d'une boîte. Le volume d'une boîte est

[V=L⋅W⋅H onombre,]

où (L,W,)et (H) sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

Étape 4 : À partir de la figure (PageIndex{3}), nous voyons que la hauteur de la boîte est (x) pouces, la longueur est (36−2x) pouces et la largeur est (24 -2x) pouces. Par conséquent, le volume de la boîte est

[ egin{align*} V(x) &=(36−2x)(24−2x)x [5pt] &=4x^3−120x^2+864x end{align*}.]

Étape 5 : Pour déterminer le domaine de considération, examinons la figure (PageIndex{3}). Certes, nous avons besoin de (x>0.) De plus, la longueur du côté du carré ne peut pas être supérieure ou égale à la moitié de la longueur du côté le plus court, (24) in.; sinon, l'un des volets serait complètement coupé. Par conséquent, nous essayons de déterminer s'il existe un volume maximum de la boîte pour (x) sur l'intervalle ouvert ((0,12).) Puisque (V) est une fonction continue sur l'intervalle fermé ([0,12]), nous savons que (V) aura un maximum absolu sur l'intervalle fermé. Par conséquent, nous considérons (V) sur l'intervalle fermé ([0,12]) et vérifions si le maximum absolu se produit en un point intérieur.

Étape 6 : Puisque (V(x)) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné, ([0,12], V) doit avoir un maximum absolu (et un minimum absolu). Puisque (V(x)=0) aux extrémités et (V(x)>0) pour (0

(V′(x)=12x^2−240x+864.)

Pour trouver les points critiques, il faut résoudre l'équation

(12x^2−240x+864=0.)

En divisant les deux membres de cette équation par (12), le problème se simplifie pour résoudre l'équation

(x^2−20x+72=0.)

En utilisant la formule quadratique, nous trouvons que les points critiques sont

[egin{align*} x&=dfrac{20±sqrt{(−20)^2−4(1)(72)}}{2} [5pt] &=dfrac{20± sqrt{112}}{2} [5pt] &=dfrac{20±4sqrt{7}}{2} [5pt] &=10±2sqrt{7} end{align* }.]

Puisque (10+2sqrt{7}) n'est pas dans le domaine de considération, le seul point critique que nous devons considérer est (10−2sqrt{7}). Par conséquent, le volume est maximisé si l'on laisse (x=10−2sqrt{7}, in.) Le volume maximum est

[V(10−2sqrt{7})=640+448sqrt{7}≈1825,in.^3 onumber ]

comme le montre le graphique suivant.

Regardez une vidéo sur l'optimisation du volume d'une boîte.

Exercice (PageIndex{2})

Supposons que les dimensions du carton dans l'exemple (PageIndex{2}) soient de 20 pouces sur 30 pouces. Soit (x) la longueur de côté de chaque carré et écrivez le volume de la boîte à toit ouvert sous la forme d'un fonction de (x). Déterminez le domaine de considération pour (x).

Indice

Le volume de la boîte est (L⋅W⋅H.)

Répondre

(V(x)=x(20−2x)(30−2x).) Le domaine est ([0,10]).

Exemple (PageIndex{5}) : Minimiser le temps de trajet

Une île est (2,mi) plein nord de son point le plus proche le long d'un rivage rectiligne. Un visiteur séjourne dans une cabane sur le rivage qui est (6,mi) à l'ouest de ce point. Le visiteur envisage de passer de la cabane à l'île. Supposons que le visiteur court à une vitesse de (8,mph) et nage à une vitesse de (3,mph). Quelle distance le visiteur doit-il parcourir avant de se baigner pour minimiser le temps nécessaire pour atteindre l'île ?

Solution

Étape 1 : Soit (x) la distance de course à pied et (y) la distance de nage (Figure (PageIndex{5})). Soit (T) le temps qu'il faut pour aller de la cabane à l'île.

Étape 2 : Le problème est de minimiser (T).

Étape 3 : Pour trouver le temps passé à voyager de la cabane à l'île, additionnez le temps passé à courir et le temps passé à nager. Puisque Distance = Taux × Temps ((D=R×T),) le temps passé à courir est

(T_{en cours d'exécution}=dfrac{D_{en cours d'exécution}}{R_{en cours d'exécution}}=dfrac{x}{8}),

et le temps passé à nager est

(T_{natation}=dfrac{D_{natation}}{R_{natation}}=dfrac{y}{3}).

Par conséquent, le temps total passé à voyager est

(T=dfrac{x}{8}+dfrac{y}{3}).

Étape 4 : À partir de la figure (PageIndex{5}), le segment de droite de (y) miles forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec des jambes de longueur (2mi) et (6−xmi). Donc, par le théorème de Pythagore, (2^2+(6−x)^2=y^2), et on obtient (y=sqrt{(6−x)^2+4}). Ainsi, le temps total passé à voyager est donné par la fonction

(T(x)=dfrac{x}{8}+dfrac{sqrt{(6−x)^2+4}}{3}).

Étape 5 : À partir de la figure (PageIndex{5}), nous voyons que (0≤x≤6). Par conséquent, ([0,6]) est le domaine de considération.

Étape 6 : Puisque (T(x)) est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, elle a un maximum et un minimum. Commençons par chercher les points critiques de (T) sur l'intervalle ([0,6].) La dérivée est

[egin{align*} T′(x) &=dfrac{1}{8}−dfrac{1}{2}dfrac{[(6−x)^2+4]^{−1 /2}}{3}⋅2(6−x) [5pt] &=dfrac{1}{8}−dfrac{(6−x)}{3sqrt{(6−x)^ 2+4}} end{align*}]

Si (T′(x)=0,), alors

[dfrac{1}{8}=dfrac{6−x}{3sqrt{(6−x)^2+4}} onumber]

Par conséquent,

[3sqrt{(6−x)^2+4}=8(6−x). pas de numéro]

En mettant au carré les deux membres de cette équation, nous voyons que si (x) satisfait cette équation, alors (x) doit satisfaire

[9[(6−x)^2+4]=64(6−x)^2, onumber ]

ce qui implique

[55(6−x)^2=36. pas de numéro]

Nous concluons que si (x) est un point critique, alors (x) satisfait

[(x−6)^2=dfrac{36}{55}. pas de numéro]

Par conséquent, les possibilités de points critiques sont

[(x=6±dfrac{6}{sqrt{55}}. onumber]

Comme (x=6+6/sqrt{55}) n'est pas dans le domaine, ce n'est pas une possibilité pour un point critique. Par contre, (x=6−6/sqrt{55}) est dans le domaine.Puisque nous avons mis au carré les deux côtés de l'équation pour arriver aux points critiques possibles, il reste à vérifier que (x=6−6/sqrt{55}) satisfait l'équation. Puisque (x=6−6/sqrt{55}) satisfait cette équation, nous concluons que (x=6−6/sqrt{55}) est un point critique, et c'est le seul . Pour justifier que le temps est minimisé pour cette valeur de x, il suffit de vérifier les valeurs de (T(x)) aux extrémités (x=0) et (x=6), et de comparer les avec la valeur de (T(x)) au point critique (x=6−6/sqrt{55}). On trouve que (T(0)≈2.108h) et (T(6)≈1.417h), alors que

[T(6−6/sqrt{55})≈1.368h. pas de numéro]

Par conséquent, nous concluons que (T) a un minimum local à (x≈5.19 mi).

Exercice (PageIndex{3})

Supposons que l'île se trouve (1, mi) du rivage et que la distance entre la cabine et le point sur le rivage le plus proche de l'île soit (15,mi). Supposons qu'un visiteur nage à une vitesse de (2,5,mph) et court à une vitesse de (6,mph). Soit (x) la distance parcourue par le visiteur avant de nager, et trouvons une fonction pour le temps qu'il faut au visiteur pour aller de la cabane à l'île.

Indice

Le temps (T=T_{course}+T_{natation}.)

Répondre

[T(x)=dfrac{x}{6}+dfrac{sqrt{(15−x)^2+1}}{2.5} onumber ]

En affaires, les entreprises s'intéressent à maximiser les revenus. Dans l'exemple suivant, nous considérons un scénario dans lequel une entreprise a collecté des données sur le nombre de voitures qu'elle est en mesure de louer, en fonction du prix qu'elle facture à ses clients pour louer une voiture. Utilisons ces données pour déterminer le prix que l'entreprise doit facturer pour maximiser le montant d'argent qu'elle rapporte.

Exemple (PageIndex{6}) : Maximiser les revenus

Les propriétaires d'une société de location de voitures ont déterminé que s'ils facturent aux clients (p) dollars par jour pour louer une voiture, où (50≤p≤200), le nombre de voitures (n) qu'ils louent par jour peut être modélisé par la fonction linéaire (n(p)=1000−5p). S'ils facturent ($50) par jour ou moins, ils loueront toutes leurs voitures. S'ils facturent ($200) par jour ou plus, ils ne loueront aucune voiture. En supposant que les propriétaires prévoient de facturer aux clients entre ($50) par jour et ($200) par jour pour louer une voiture, combien devraient-ils facturer pour maximiser leurs revenus ?

Solution

Étape 1 : Soit (p) le prix facturé par voiture et par jour et soit n le nombre de voitures louées par jour. Soit (R) le revenu par jour.

Étape 2 : Le problème est de maximiser (R.)

Étape 3 : Le revenu (par jour) est égal au nombre de voitures louées par jour multiplié par le prix facturé par voiture et par jour, c'est-à-dire (R=n×p.)

Étape 4 : Puisque le nombre de voitures louées par jour est modélisé par la fonction linéaire (n(p)=1000−5p,), le revenu (R) peut être représenté par la fonction

[ egin{align*} R(p) &=n×p [5pt] &=(1000−5p)p [5pt] &=−5p^2+1000p.end{align*} ]

Étape 5 : Étant donné que les propriétaires prévoient de facturer entre ($50) par voiture par jour et ($200) par voiture par jour, le problème est de trouver le revenu maximum (R(p)) pour (p ) dans l'intervalle fermé ([50 200]).

Étape 6 : Puisque (R) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné ([50,200]), elle a un maximum absolu (et un minimum absolu) dans cet intervalle. Pour trouver la valeur maximale, recherchez les points critiques. La dérivée est (R′(p)=−10p+1000.) Par conséquent, le point critique est (p=100) Quand (p=100, R(100)=$50,000.) Quand ( p=50, R(p)=37 500$). Lorsque (p=200, R(p)=$0).

Par conséquent, le maximum absolu se produit à (p=100$). La société de location de voitures doit facturer ($100) par jour et par voiture pour maximiser les revenus, comme indiqué dans la figure suivante.

Exercice (PageIndex{4})

Une société de location de voitures facture à ses clients (p) dollars par jour, où (60≤p≤150). Il a constaté que le nombre de voitures louées par jour peut être modélisé par la fonction linéaire (n(p)=750−5p.) Combien l'entreprise devrait-elle facturer à chaque client pour maximiser ses revenus ?

Indice

(R(p)=n×p,) où (n) est le nombre de voitures louées et (p) est le prix facturé par voiture.

Répondre

L'entreprise doit facturer (75$) par voiture et par jour.

Exemple (PageIndex{7}) : Maximiser la surface d'un rectangle inscrit

Un rectangle est à inscrire dans l'ellipse

[dfrac{x^2}{4}+y^2=1. pas de numéro ]

Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour maximiser son aire ? Quelle est la superficie maximale ?

Solution

Étape 1 : Pour qu'un rectangle soit inscrit dans l'ellipse, les côtés du rectangle doivent être parallèles aux axes. Soit (L) la longueur du rectangle et (W) sa largeur. Soit (A) l'aire du rectangle.

Étape 2 : Le problème est de maximiser (A).

Étape 3 : L'aire du rectangle est (A=LW.)

Étape 4 : Soit ((x,y)) le coin du rectangle qui se trouve dans le premier quadrant, comme le montre la figure (PageIndex{7}). On peut écrire la longueur (L=2x) et la largeur (W=2y). Puisque (dfrac{x^2}{4+y^2=1}) et (y>0), on a (y=sqrt{dfrac{1−x^2}{4 }}). Par conséquent, la zone est

(A=LW=(2x)(2y)=4xsqrt{dfrac{1−x^2}{4}}=2xsqrt{4−x^2})

Étape 5 : À partir de la figure (PageIndex{7}), nous voyons que pour inscrire un rectangle dans l'ellipse, la coordonnée (x) du coin dans le premier quadrant doit satisfaire (0

Étape 6 : Comme mentionné précédemment, (A(x)) est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné ([0,2]). Par conséquent, il a un maximum absolu (et un minimum absolu). Aux extrémités (x=0) et (x=2, A(x)=0.) Pour (00).

Par conséquent, le maximum doit se produire à un point critique. En prenant la dérivée de (A(x)), on obtient

[ egin{align*} A'(x) &=2sqrt{4−x^2}+2x⋅dfrac{1}{2sqrt{4−x^2}}(−2x) [5pt] &=2sqrt{4−x^2}−dfrac{2x^2}{sqrt{4−x^2}} [5pt] &=dfrac{8−4x^2 }{sqrt{4−x^2}} . end{align*}]

Pour trouver des points critiques, il faut trouver où (A'(x)=0.) On peut voir que si (x) est une solution de

(dfrac{8−4x^2}{sqrt{4−x^2}}=0),

alors (x) doit satisfaire

[8−4x^2=0. label{eq5a}]

Par conséquent, (x^2=2.) Ainsi, (x=±sqrt{2}) sont les solutions possibles de l'équation. Puisque nous considérons (x) sur l'intervalle ([0,2]), (x=sqrt{2}) est une possibilité pour un point critique, mais (x=−sqrt{ 2}) ne l'est pas. Par conséquent, nous vérifions si (sqrt{2}) est une solution de l'équation. Puisque (x=sqrt{2}) est une solution de l'équation ef{eq5a}, nous concluons que (sqrt{2}) est le seul point critique de (A(x)) dans l'intervalle ([0,2]).

Par conséquent, (A(x)) doit avoir un maximum absolu au point critique (x=sqrt{2}). Pour déterminer les dimensions du rectangle, il faut trouver la longueur (L) et la largeur (W). Si (x=sqrt{2}) alors

[y=sqrt{1−dfrac{(sqrt{2})^2}{4}}=sqrt{1−dfrac{1}{2}}=dfrac{1}{sqrt {2}}.]

Par conséquent, les dimensions du rectangle sont (L=2x=2sqrt{2}) et (W=2y=dfrac{2}{sqrt{2}}=sqrt{2}). L'aire de ce rectangle est( A=LW=(2sqrt{2})(sqrt{2})=4.)

Exercice (PageIndex{5})

Modifiez la fonction aire (A) si le rectangle doit être inscrit dans le cercle unité (x^2+y2^=1). Quel est le domaine de considération ?

Indice

Si ((x,y)) est le sommet du carré qui se trouve dans le premier quadrant, alors l'aire du carré est (A=(2x)(2y)=4xy.)

Répondre

(A(x)=4xsqrt{1−x^2}.) Le domaine de considération est ([0,1]).

Résolution des problèmes d'optimisation lorsque l'intervalle n'est pas fermé ou est illimité

Dans les exemples précédents, nous avons considéré des fonctions sur des domaines fermés et bornés. Par conséquent, par le théorème des valeurs extrêmes, nous étions assurés que les fonctions avaient des extrema absolus. Considérons maintenant les fonctions dont le domaine n'est ni fermé ni borné.

De nombreuses fonctions ont encore au moins un extrema absolu, même si le domaine n'est pas fermé ou le domaine est illimité. Par exemple, la fonction (f(x)=x^2+4) sur ((−∞,∞)) a un minimum absolu de (4) à (x=0). Par conséquent, nous pouvons toujours considérer des fonctions sur des domaines non bornés ou des intervalles ouverts et déterminer si elles ont des extrema absolus. Dans l'exemple suivant, nous essayons de minimiser une fonction sur un domaine illimité. Nous verrons que, bien que le domaine de considération soit ((0,∞),) la fonction a un minimum absolu.

Dans l'exemple suivant, nous examinons la construction d'une boîte de moindre surface avec un volume prescrit. Il n'est pas difficile de montrer que pour une boîte à toit fermé, par symétrie, parmi toutes les boîtes avec un volume spécifié, un cube aura la plus petite surface. Par conséquent, nous considérons le problème modifié consistant à déterminer quelle boîte à toit ouvert avec un volume spécifié a la plus petite surface.

Exemple (PageIndex{8}) : Minimiser la surface

Une boîte rectangulaire avec une base carrée, un dessus ouvert et un volume de (216 in.^3) doit être construite. Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour minimiser la surface de la boîte ? Quelle est la superficie minimale ?

Solution

Étape 1 : Dessinez une boîte rectangulaire et introduisez la variable (x) pour représenter la longueur de chaque côté de la base carrée ; soit (y) représente la hauteur de la boîte. Soit (S) la surface de la boîte à toit ouvert.

Étape 2 : Nous devons minimiser la surface. Par conséquent, nous devons minimiser (S).

Étape 3 : Comme la boîte a un dessus ouvert, il suffit de déterminer l'aire des quatre côtés verticaux et de la base. L'aire de chacun des quatre côtés verticaux est (x⋅y.) L'aire de la base est (x^2). Par conséquent, la surface de la boîte est

(S=4xy+x^2).

Étape 4: Puisque le volume de cette boîte est (x^2y) et le volume est donné comme (216in.^3), l'équation de contrainte est

(x^2y=216).

En résolvant l'équation de contrainte pour (y), nous avons (y=dfrac{216}{x^2}). Par conséquent, nous pouvons écrire la surface en fonction de (x) uniquement :

[S(x)=4x(dfrac{216}{x^2})+x^2.]

Par conséquent, (S(x)=dfrac{864}{x}+x^2).

Étape 5 : Puisque nous exigeons que (x^2y=216), nous ne pouvons pas avoir (x=0). Par conséquent, nous avons besoin de (x>0). D'un autre côté, (x) peut avoir n'importe quelle valeur positive. Notez que lorsque (x) devient grand, la hauteur de la boîte (y) devient proportionnellement petite de sorte que (x^2y=216). De même, à mesure que (x) devient petit, la hauteur de la boîte devient proportionnellement grande. Nous concluons que le domaine est l'intervalle ouvert et non borné ((0,∞)). Notez que, contrairement aux exemples précédents, nous ne pouvons pas réduire notre problème à la recherche d'un maximum absolu ou d'un minimum absolu sur un intervalle fermé et borné. Cependant, à l'étape suivante, nous découvrirons pourquoi cette fonction doit avoir un minimum absolu sur l'intervalle ((0,∞).)

Étape 6 : Notez que comme (x→0+^,S(x)→∞.) Aussi, comme (x→∞, S(x)→∞). Puisque (S) est une fonction continue qui approche l'infini aux extrémités, elle doit avoir un minimum absolu à un certain (x∈(0,∞)). Ce minimum doit se produire à un point critique de (S). La dérivée est

[S′(x)=−dfrac{864}{x^2}+2x.]

Donc, (S′(x)=0) quand (2x=dfrac{864}{x^2}). En résolvant cette équation pour (x), on obtient (x^3=432), donc (x=sqrt[3]{432}=6sqrt[3]{2}.) est le seul point critique de (S), le minimum absolu doit se produire à (x=6sqrt[3]{2}) (voir Figure (PageIndex{9})).

Lorsque (x=6sqrt[3]{2}), (y=dfrac{216}{(6sqrt[3]{2})^2}=3sqrt[3]{2 }dans). Par conséquent, les dimensions de la boîte doivent être (x=6sqrt[3]{2}in.) et (y=3sqrt[3]{2}in.) Avec ces dimensions, la surface la zone est

[S(6sqrt[3]{2})=dfrac{864}{6sqrt[3]{2}}+(6sqrt[3]{2})^2=108sqrt[ 3]{4}in.^2]

Exercice (PageIndex{8})

Considérez la même boîte à toit ouvert, qui doit avoir un volume (216in.^3). Supposons que le coût du matériau pour la base est (20¢/in.^2) et le coût du matériau pour les côtés est (30¢/in.^2) et nous essayons de minimiser le coût de cette boîte. Écrivez le coût en fonction des longueurs des côtés de la base. (Soit (x) la longueur du côté de la base et (y) la hauteur de la boîte.)

Indice

Si le coût de l'un des côtés est (30¢/in.^2,) le coût de ce côté est (0,30xy.)

Répondre

(c(x)=dfrac{259.2}{x}+0.2x^2) dollars

Exemple (PageIndex{9}) : Minimiser les coûts

Une boîte cylindrique à couvercle ouvert doit avoir un volume (300, cm^3). Le matériau pour le fond de la boîte coûte (10, cents/cm^2), pour son côté incurvé coûte (5 , cents/cm^2.) Trouvez les dimensions de la boîte qui minimisent le coût de la boîte.

Solution

Étape 1 : Dessinez une boîte cylindrique et introduisez la variable (r) pour représenter le rayon de la base circulaire ; soit (h) représente la hauteur de la boîte. Soit (C) le coût de production d'une canette.

Étape 2 : Donnée : Volume de la boîte (V= 300). Nous devons minimiser les coûts. Par conséquent, nous devons minimiser (C).

Étape 3 : Puisque la boîte a un dessus ouvert, il nous suffit de déterminer le coût de production du fond et le coût de production du côté.

L'aire du côté courbé est (2 pi rh) L'aire du fond est (pi r^2). Par conséquent, le coût de production de la boîte est

(C=(5) 2 pi rh+ (10)pi r^2), avec (r geq 0).

Étape 4: Étant donné que le volume de ce can ( pi r^2 h) et le volume est donné comme (300 ), l'équation de contrainte est

(pi r^2 h=300).

En résolvant l'équation de contrainte pour (h), nous avons (h=dfrac{300}{pi r^2}). Par conséquent, nous pouvons écrire le coût en fonction de (r) uniquement :

(C=(5) 2 pi rdfrac{300}{pi r^2}+ (10)pi r^2).

Donc, (C=dfrac{3000 }{ r}+ (10)pi r^2).

Étape 5 : Puisque nous exigeons que (pi r^2 h=300), nous ne pouvons pas avoir (r=0). Par conséquent, nous avons besoin de (r>0). D'un autre côté, (r) peut avoir n'importe quelle valeur positive. Notez que lorsque (r) devient grand, la hauteur de la boîte (h) devient proportionnellement petite de sorte que (pi r^2 h=300). De même, à mesure que (r) devient petit, la hauteur de la boîte devient proportionnellement grande. Dans l'étape suivante, nous découvrons pourquoi cette fonction doit avoir un minimum absolu sur l'intervalle ((0,∞).)

Étape 6 : Notez que comme (x→0+^, C(r)→∞.) Aussi, comme (r→∞, C(r)→∞). Puisque (C) est une fonction continue qui approche l'infini aux extrémités, elle doit avoir un minimum absolu à un certain (r∈(0,∞)). Ce minimum doit se produire à un point critique de (C). La dérivée est

[C′(x)=−dfrac{3000}{r^2}+2r.]

Donc, (C′(r)=0) quand (2r=dfrac{3000}{r^2}). En résolvant cette équation pour (r), on obtient (r^3=1500), donc (r=sqrt[3]{1500}.) Puisque c'est le seul point critique de (C ), le minimum absolu doit se produire à (r=sqrt[3]{1500}).

Lorsque (r=sqrt[3]{1500}), (h= dfrac{300}{pi {sqrt[3]{1500}}^2}). Par conséquent, les dimensions de la boîte devraient être (r=sqrt[3]{1500}in.) et ( h= dfrac{300}{pi {sqrt[3]{1500}}^ 2}).

Avec ces dimensions, le coût est

Exercice (PageIndex{9})

Les boîtes de pop contenant (300) ml sont fabriquées sous la forme de cylindres circulaires droits. Trouvez les dimensions de la boîte qui minimisent la surface.

Répondre

Ajoutez le texte de réponse ici et il sera automatiquement masqué si vous avez un modèle "AutoNum" actif sur la page.

Exemple (PageIndex{10}): Point le plus proche

Trouvez le point sur la courbe (y=frac{-x^2}{3}) qui est le plus proche du point (P(4,-1).)

Dans les exercices, vous verrez une variété de situations qui vous obligent à combiner des compétences de résolution de problèmes avec le calcul. Concentrez-vous sur le traiter; Apprenez à former des équations à partir de situations qui peuvent être manipulées selon vos besoins. Évitez de mémoriser comment faire "ce genre de problème" par opposition à "ce genre de problème". L'apprentissage d'un processus bénéficiera beaucoup plus longtemps que de mémoriser une technique spécifique.

La section suivante présente notre application finale de la dérivée : différentiels. Étant donné (y=f(x)), ils offrent une méthode d'approximation du changement dans (y) après que (x) change d'une petite quantité.

Concepts clés

  • Pour résoudre un problème d'optimisation, commencez par dessiner une image et introduire des variables.
  • Trouvez une équation reliant les variables.
  • Trouvez une fonction d'une variable pour décrire la quantité qui doit être minimisée ou maximisée.
  • Recherchez les points critiques pour localiser les extrema locaux.

Glossaire

problèmes d'optimisation
problèmes qui sont résolus en trouvant la valeur maximale ou minimale d'une fonction

Vous décidez de marcher du point A (voir figure ci-dessous) au point C. Au sud de la route qui traverse BC, le terrain est difficile et vous ne pouvez marcher qu'à 3 km/h. Cependant, le long de la route BC vous pouvez marcher à 5 km/h. La distance du point A à la route est de 5 km. La distance de B à C est de 10 km. Quel chemin devez-vous suivre pour arriver au point C dans le temps le plus court (minimum) possible ?

Nous examinons maintenant une solution utilisant des dérivés et d'autres concepts de calcul. Soit la distance BP égale à x. Trouvons une formule pour les distances AP et PC. En utilisant la théorie de Pythagore, on peut écrire :
distance AP = √(5 2 + x 2 )
distance PC = 10 - x
Nous trouvons maintenant le temps t 1 pour parcourir la distance AP.(temps = distance / vitesse).
t 1 = distance AP / 3 = √(5 2 + x 2 ) / 3
Temps t 2 à distance de marche PC est donnée par
t 2 = distance PC / 5 = (10 - x) / 5
Le temps total t est trouvé en ajoutant t 1 et T 2 .
t = √(5 2 + x 2 ) / 3 + (10 - x) / 5
nous pourrions considérer le domaine de la fonction t comme étant toutes les valeurs de x dans l'intervalle fermé [0 , 10]. Pour des valeurs de x telles que le point P est à gauche de B ou à droite de c, le temps t augmentera.
Pour trouver la valeur de x qui donne t minimum, nous devons trouver la dérivée première dt/dx (t est une fonction de x).
dt/dx = (x/3) / √(5 2 + x 2 ) - 1/5
Si t a une valeur minimale, cela se produit en x tel que dt/dx = 0.
(x/3) / √(5 2 + x 2 ) - 1/5 = 0
Résoudre ce qui précède pour x. Réécrivez l'équation comme suit.
5x = 3√(5 2 + x 2 )
Carré des deux côtés.
25x 2 = 9(5 2 + x 2 )
Regroupez les termes similaires et simplifiez
16x 2 = 225
Résoudre pour x (x >0 )
x = √(225/16) = 3,75 km.
dt/dx a un zéro. Le tableau des signes de la dérivée première dt/dx est présenté ci-dessous.

La dérivée première dt/dx est négative pour x < 3,75, égale à zéro à x = 3,75 et positive pour x > 3,75. De plus, les valeurs de t à x = 0 et x = 10 (les extrémités du domaine de t) sont respectivement de 3,6 heures et 3,7 heures. La valeur de t à x = 3,75 est égal à 3,3 heures et c'est le plus petit. La réponse à notre problème est qu'il faut marcher jusqu'au point P tel BP = 3,75 km puis continuer le long de la route jusqu'à C afin d'y arriver dans les plus brefs délais.
Des exercices

1 - Résoudre le même problème que ci-dessus mais avec les valeurs suivantes.


Problèmes d'optimisation et algorithmes

Il s'agit d'un cours d'introduction à la stochastique problèmes d'optimisation et algorithmes comme les sous-domaines de base dans Intelligence artificielle. Nous couvrirons les concepts les plus fondamentaux dans le domaine de l'optimisation, y compris les métaheuristiques et l'intelligence en essaim. À la fin de ce cours, vous serez capable d'identifier et de mettre en œuvre les principaux composants d'un problème d'optimisation. Les problèmes d'optimisation sont différents, mais il y a pour la plupart des défis et des difficultés similaires tels que des contraintes, des objectifs multiples, des variables discrètes et des bruits. Ce cours vous montrera comment aborder chacune de ces difficultés. La plupart des cours sont accompagnés de vidéos de codage. Dans ces vidéos, le processus étape par étape de mise en œuvre des algorithmes ou des problèmes d'optimisation est présenté. Nous avons également un certain nombre de quiz et exercices mettre en pratique les connaissances théoriques abordées dans les cours.

Voici la liste des sujets abordés :

Algorithmes d'optimisation à objectif unique

Optimisation de l'essaim de particules

Optimisation des problèmes avec contraintes

Optimisation des problèmes avec variables binaires et/ou discrètes

Optimisation des problèmes avec objectifs multiples

Optimisation des problèmes avec incertitudes

L'optimisation de l'essaim de particules sera l'algorithme principal, qui est une méthode de recherche qui peut être facilement appliquée à différentes applications, y compris Apprentissage automatique, science des données, réseaux de neurones et apprentissage en profondeur.

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Problèmes d'optimisation : applications à l'économie - Concept

Norm a terminé 4e aux championnats nationaux d'haltérophilie des États-Unis en 2004! Il s'entraîne et concourt encore occasionnellement, malgré son emploi du temps chargé.

Certains problèmes économiques peuvent être modélisés et résolus en tant que problèmes d'optimisation de calcul. Ces problèmes incluent généralement l'optimisation pour maximiser les revenus, minimiser les coûts ou maximiser les profits. Résoudre ces problèmes d'optimisation de calcul nécessite presque toujours de trouver le coût marginal et/ou le revenu marginal.

Je veux aller parler des types de problèmes d'optimisation qui vont surgir en économie. Tout d'abord, permettez-moi de vous rappeler ce qu'est l'optimisation, l'optimisation signifie trouver les valeurs maximales ou minimales d'une quantité, ou trouver quand ces min max se produisent. Maintenant, quelles quantités optimisent l'économie ? Nous pouvons minimiser les coûts ou maximiser les revenus, nous pouvons également maximiser les profits. Premiers pas dans tout problème d'optimisation, qu'il s'agisse d'économie ou de toute autre chose, vous souhaitez identifier la quantité à optimiser, alors lisez attentivement le problème pour obtenir des indices sur ce qui est exactement maximisé ou minimisé.
Vous voulez identifier le domaine réalisable, c'est important car il détermine la méthode que vous allez utiliser pour optimiser le problème si vous pouvez faire en sorte que le domaine réalisable soit un intervalle fermé, par exemple vous pouvez utiliser la méthode de l'intervalle fermé. Le domaine réalisable sera donc le domaine de la fonction de la grandeur à optimiser. Et puis ici, nous avons 3 méthodes d'optimisation que nous avons étudiées, vous pouvez choisir parmi celles-ci en fonction de ce qui semble approprié pour le problème. Si vous avez un domaine réalisable qui est un intervalle limité fermé, vous pouvez utiliser la méthode de l'intervalle fermé qui est une méthode simple et c'est pourquoi vous voudrez peut-être préférer cela. Vous pouvez utiliser le premier test de dérivée pour les minutes maximales absolues ou le test de la seconde dérivée pour les minutes maximales absolues, selon que vous voudrez peut-être choisir celui que vous utilisez en fonction de la facilité de calcul de la dérivée seconde.
Deux dernières questions, celles-ci sont vraiment importantes, ma réponse a-t-elle un sens ? Vous voulez faire une vérification de la réalité à la fin, votre réponse a-t-elle vraiment un sens ? Et ai-je répondu à la question posée ? C'est vraiment important dans n'importe quel problème, mais surtout avec les problèmes d'optimisation, il est très facile de répondre à la mauvaise question, vous voulez vous assurer que s'ils demandent quelle est la quantité maximale, vous donnez la quantité maximale et pas seulement où cela se produit. de chose. Assurez-vous donc de les garder à l'esprit lorsque vous résoudrez des problèmes d'optimisation dans les leçons à venir.


Le contenu de cette section décrit actuellement les classes déconseillées. Veuillez vous référer à la nouvelle description de l'API.

Les optimiseurs des moindres carrés ne sont plus dans ce package, ils ont été déplacés dans un sous-package dédié aux moindres carrés décrit dans la section des moindres carrés.

12.1 Aperçu

Le package d'optimisation fournit des algorithmes pour optimiser (c'est-à-dire minimiser ou maximiser) une fonction objectif ou de coût. Le package est divisé en plusieurs sous-packages dédiés à différents types de fonctions ou d'algorithmes.

  • le package univarié gère les fonctions scalaires univariées,
  • le package linear gère les fonctions linéaires vectorielles multivariées avec des contraintes linéaires,
  • le package direct gère les fonctions scalaires multivariées en utilisant des méthodes de recherche directe (c'est-à-dire sans utiliser de dérivées),
  • le package général gère les fonctions scalaires ou vectorielles multivariées à l'aide de dérivées.
  • le package d'ajustement gère l'ajustement de courbe par des fonctions réelles univariées

Le package d'optimisation de niveau supérieur fournit des interfaces communes pour les algorithmes d'optimisation fournis dans les sous-packages. Les principales interfaces définissent les optimiseurs et les vérificateurs de convergence. Les fonctions optimisées par les algorithmes fournis par ce package et ses sous-packages sont un sous-ensemble de celui défini dans le package d'analyse, à savoir les fonctions à valeurs réelles et vectorielles. Ces fonctions sont appelées fonction objectif ici. Lorsque le but est de minimiser, les fonctions sont souvent appelées fonction de coût, ce nom n'est pas utilisé dans ce package.

Le type d'objectif, c'est-à-dire la minimisation ou la maximisation, est défini par le GoalType énuméré qui n'a que deux valeurs : MAXIMIZE et MINIMIZE .

Les optimiseurs sont les algorithmes qui minimiseront ou maximiseront la fonction objectif en modifiant son ensemble de variables d'entrée jusqu'à ce qu'un ensemble optimal soit trouvé. Il n'y a que quatre interfaces définissant le comportement commun des optimiseurs, une pour chaque type de fonction objectif pris en charge :

Bien qu'il n'y ait que quatre types d'optimiseurs pris en charge, il est possible d'optimiser une transformation d'une fonction vectorielle multivariée non différenciable en la convertissant en une fonction réelle multivariée non différenciable grâce à la classe d'assistance LeastSquaresConverter. La fonction transformée peut être optimisée à l'aide de n'importe quelle implémentation de l'interface MultivariateOptimizer.

Pour chacun des quatre types d'optimiseurs pris en charge, il existe une implémentation spéciale qui enveloppe un optimiseur classique afin de lui ajouter une fonctionnalité multi-démarrage. Cette fonction appelle l'optimiseur sous-jacent plusieurs fois de suite avec différents points de départ et renvoie le meilleur optimum trouvé ou tous les optima si désiré. C'est un moyen classique d'éviter d'être piégé dans un extremum local lors de la recherche d'un extremum global.

12.2 Fonctions univariées

Un UnivariateOptimizer est utilisé pour trouver les valeurs minimales d'une fonction à valeur réelle univariée f .

L'utilisation de ces algorithmes est très similaire à l'utilisation des algorithmes de recherche de racine expliquée dans le package d'analyse. La principale différence est que les méthodes de résolution dans les algorithmes de recherche de racine sont remplacées par des méthodes d'optimisation.

12.3 Programmation linéaire

Ce package fournit une implémentation de l'algorithme du simplexe de George Dantzig pour résoudre des problèmes d'optimisation linéaire avec des contraintes d'égalité et d'inégalité linéaires.

12.4 Méthodes directes

Les méthodes de recherche directe n'utilisent que des valeurs de fonction de coût, elles n'ont pas besoin de dérivées et n'essaient pas non plus de calculer une approximation des dérivées. Selon un article de 1996 de Margaret H. Wright (Direct Search Methods: Once Scorned, Now Respectable), ils sont utilisés lorsque le calcul de la dérivée est impossible (fonctions bruitées, discontinuités imprévisibles) ou difficile (complexité, coût de calcul). Dans les premiers cas, plutôt qu'un optimum, un pas mal point est souhaité. Dans ces derniers cas, un optimum est souhaité mais ne peut être raisonnablement trouvé. Dans tous les cas, les méthodes de recherche directe peuvent être utiles.

Les méthodes de recherche directe basées sur le simplexe sont basées sur la comparaison des valeurs de la fonction de coût aux sommets d'un simplexe (qui est un ensemble de n+1 points de dimension n) qui est mis à jour par les étapes de l'algorithme.

Les instances peuvent être construites en mode single-start ou en mode multi-start. Le multi-démarrage est une manière traditionnelle d'essayer d'éviter d'être piégé dans un minimum local et de rater le minimum global d'une fonction. Il peut également être utilisé pour vérifier la convergence d'un algorithme. En mode multi-démarrage, la méthode minimise renvoie le meilleur minimum trouvé après tous les démarrages, et la méthode etMinima peut être utilisée pour récupérer tous les minima de tous les démarrages (y compris celui déjà fourni par la méthode minimise).

Le package direct fournit quatre solveurs :

  • la méthode classique de Nelder-Mead,
  • La méthode multidirectionnelle de Virginia Torczon,
  • Stratégie d'évolution de l'adaptation de la matrice de covariance de Nikolaus Hansen (CMA-ES),
  • La méthode BOBYQA de Mike Powell.

Les deux premières méthodes basées sur le simplexe ne gèrent pas par elles-mêmes les contraintes de limites simples. Cependant, il existe deux adaptateurs (MultivariateFunctionMappingAdapter et MultivariateFunctionPenaltyAdapter) qui peuvent être utilisés pour encapsuler la fonction utilisateur de telle sorte que la fonction encapsulée soit illimitée et puisse être utilisée avec ces optimiseurs, malgré le fait que la fonction sous-jacente est toujours limitée et sera appelée uniquement avec des points réalisables qui remplissent les contraintes. Notez cependant que l'utilisation de ces adaptateurs ne sont que des solutions médiocres aux simples contraintes d'optimisation des bornes. Les meilleures solutions consistent à utiliser un optimiseur qui prend directement en charge les limites simples. Certaines mises en garde de la solution d'adaptateur de mappage sont que

  • le comportement près des limites peut être numériquement instable car les limites sont mappées à partir de valeurs infinies,
  • la valeur de départ est évaluée par l'optimiseur en tant que variable illimitée, elle doit donc être convertie de limitée en illimitée par l'utilisateur,
  • le résultat optimal est évalué par l'optimiseur en tant que variable illimitée, il doit donc être converti de illimité à limité par l'utilisateur,
  • les valeurs de convergence sont évaluées par l'optimiseur en tant que variables illimitées, il y aura donc des différences d'échelle lorsqu'elles seront converties en variables limitées,
  • dans le cas des solveurs basés sur le simplex, le simplex initial doit être configuré comme delta dans les variables non bornées.

Les dernières méthodes gèrent directement les contraintes de limites simples, de sorte que les adaptateurs ne sont pas nécessaires avec elles.

12.5 Cas général

Le package général traite des problèmes d'optimisation vectorielle non linéaire lorsque les dérivées partielles de la fonction objectif sont disponibles.

Une classe importante de problèmes d'estimation est celle des problèmes des moindres carrés pondérés. Ils consistent essentiellement à trouver les valeurs de certains paramètres pk telle qu'une fonction de coût J = sum(wje(moije - modje) 2 ) est minimisé. Les divers (cibleje - maquetteje(pk)) les termes sont appelés résidus. Ils représentent l'écart entre un ensemble de valeurs cibles cibleje et valeurs théoriques calculées à partir des modèles modèleje en fonction des paramètres libres pk. Le wje les facteurs sont des poids. Un cas d'utilisation classique est lorsque les valeurs cibles sont des observations ou des mesures expérimentales.

Résoudre un problème des moindres carrés, c'est trouver les paramètres libres pk des modèles théoriques de telle sorte qu'ils soient proches des valeurs cibles, c'est-à-dire lorsque les résidus sont faibles.

Deux optimiseurs sont disponibles dans le package général, tous deux consacrés aux problèmes des moindres carrés. La première est basée sur la méthode de Gauss-Newton. La seconde est la méthode Levenberg-Marquardt.

Afin de résoudre un problème d'optimisation vectorielle, l'utilisateur doit le fournir en tant qu'objet implémentant l'interface DifferentiableMultivariateVectorFunction. L'objet sera fourni à la méthode d'estimation de l'optimiseur, avec les tableaux cible et poids, permettant ainsi à l'optimiseur de calculer les résidus à volonté. Le dernier paramètre de la méthode d'estimation est le point à partir duquel l'optimiseur commencera sa recherche du point optimal.

Exemple de problème quadratique Nous cherchons à trouver les meilleurs paramètres [a, b, c] pour la fonction quadratique f(x) = a x 2 + b x + c . L'ensemble de données ci-dessous a été généré en utilisant [a = 8, b = 10, c = 16]. Un nombre aléatoire compris entre zéro et un a été ajouté à chaque valeur y calculée.

X Oui
1 34.234064369
2 68.2681162306108
3 118.615899084602
4 184.138197238557
5 266.599877916276
6 364.147735251579
7 478.019226091914
8 608.140949270688
9 754.598868667148
10 916.128818085883

Nous devons d'abord implémenter l'interface DifferentiableMultivariateVectorFunction. Cela nécessite la mise en œuvre de la méthode signatures :

Nous aborderons d'abord l'implémentation de la méthode jacobian() MultivariateMatrixFunction. Vous voudrez peut-être vous familiariser avec ce qu'est une matrice jacobienne. Dans ce cas, le Jacobien est la dérivée partielle de la fonction par rapport aux paramètres a, b et c. Ces dérivés sont calculés comme suit :

Pour un quadratique qui a trois variables, la matrice jacobienne aura trois colonnes, une pour chaque variable, et le nombre de lignes sera égal au nombre de lignes de notre ensemble de données, qui dans ce cas est de dix. Ainsi, par exemple pour [a = 1, b = 1, c = 1] , la matrice jacobienne est (à l'exclusion de la première colonne qui montre la valeur de x) :

X d(ax 2 + bx + c)/da d(ax 2 + bx + c)/db d(ax 2 + bx + c)/dc
1 1 1 1
2 4 2 1
3 9 3 1
4 16 4 1
5 25 5 1
6 36 6 1
7 49 7 1
8 64 8 1
9 81 9 1
10 100 10 1

L'implémentation de la MultivariateMatrixFunction jacobian() pour ce problème ressemble à ceci (le paramètre x est une ArrayList contenant les valeurs indépendantes de l'ensemble de données) :

Notez que si pour une raison quelconque la dérivée de la fonction objectif par rapport à ses variables est difficile à obtenir, la différenciation numérique peut être utilisée.

L'implémentation de la méthode double[] value(double[] point), qui renvoie un double tableau contenant les valeurs renvoyées par la fonction objectif par valeur indépendante donnée et l'ensemble actuel de variables ou de paramètres, peut être vue ci-dessous :

Ci-dessous se trouve la classe contenant tous les détails de l'implémentation (tiré de Apache Commons Math org.apache.commons.math4.optimization.general.LevenbergMarquardtOptimizerTest):

Le code ci-dessous montre comment utiliser la classe ci-dessus et une instance LevenbergMarquardtOptimizer pour produire un ensemble optimal de paramètres d'ajustement de courbe quadratique :

Si vous exécutez l'exemple ci-dessus, vous verrez ce qui suit imprimé par la console :

En plus de la résolution des moindres carrés, la classe NonLinearConjugateGradientOptimizer fournit un algorithme de gradient conjugué non linéaire pour optimiser DifferentiableMultivariateFunction. Les méthodes de mise à jour de la direction de recherche Fletcher-Reeves et Polak-Ribière sont toutes deux prises en charge. Il est également possible de mettre en place un préconditionneur ou de modifier l'algorithme de recherche de ligne de la boucle interne si vous le souhaitez (l'algorithme par défaut est un solveur de Brent).

Le PowellOptimizer fournit une méthode d'optimisation pour les fonctions non différenciables.

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Problèmes d'optimisation appliquée

Une application courante du calcul consiste à calculer la valeur minimale ou maximale d'une fonction. Par exemple, les entreprises souhaitent souvent minimiser les coûts de production ou maximiser les revenus. Dans la fabrication, il est souvent souhaitable de minimiser la quantité de matière utilisée pour emballer un produit avec un certain volume. Dans cette section, nous montrons comment mettre en place ces types de problèmes de minimisation et de maximisation et les résoudre en utilisant les outils développés dans ce chapitre.

Résolution des problèmes d'optimisation sur un intervalle fermé et limité

L'idée de base de la problèmes d'optimisation qui suit est le même. Nous avons une quantité particulière que nous souhaitons maximiser ou minimiser. Cependant, nous avons également une condition auxiliaire qui doit être satisfaite. Par exemple, dans [lien], nous nous intéressons à la maximisation de la superficie d'un jardin rectangulaire. Certes, si nous continuons à agrandir les côtés du jardin, la zone continuera à s'agrandir. Cependant, que se passe-t-il si nous avons des restrictions sur la quantité de clôtures que nous pouvons utiliser pour le périmètre ? Dans ce cas, nous ne pouvons pas rendre le jardin aussi grand que nous le souhaitons. Regardons comment nous pouvons maximiser l'aire d'un rectangle soumis à une certaine contrainte sur le périmètre.

Un jardin rectangulaire doit être construit en utilisant un mur de pierre comme un côté du jardin et une clôture en fil de fer pour les trois autres côtés ([link]). Étant donné 100

pieds de grillage, déterminez les dimensions qui créeraient un jardin d'une superficie maximale. Quelle est la superficie maximale ?

désignent la longueur du côté du jardin perpendiculaire à la paroi rocheuse et y

désigne la longueur du côté parallèle à la paroi rocheuse. Ensuite, la superficie du jardin est

Nous voulons trouver la superficie maximale possible sous la contrainte que la clôture totale est de 100 pi.

À partir de [lien], la quantité totale de clôture utilisée sera de 2 x + y .

Par conséquent, l'équation de contrainte est

Résoudre cette équation pour y ,

Ainsi, on peut écrire l'aire sous la forme

Avant d'essayer de maximiser la fonction d'aire A ( x ) = 100 x − 2 x 2 ,

nous devons déterminer le domaine considéré. Pour construire un jardin rectangulaire, il faut certainement que les longueurs des deux côtés soient positives. Par conséquent, nous avons besoin de x > 0

Par conséquent, nous essayons de déterminer la valeur maximale de A ( x )

sur l'intervalle ouvert (0, 50).

Nous ne savons pas qu'une fonction a nécessairement une valeur maximale sur un intervalle ouvert. Cependant, nous savons qu'une fonction continue a un maximum absolu (et un minimum absolu) sur un intervalle fermé. Par conséquent, considérons la fonction A ( x ) = 100 x − 2 x 2

sur l' intervalle fermé [ 0 , 50 ] .

Si la valeur maximale se produit en un point intérieur, alors nous avons trouvé la valeur x

dans l'intervalle ouvert ( 0 , 50 )

qui maximise la superficie du jardin. On considère donc le problème suivant :

Maximiser A ( x ) = 100 x − 2 x 2

Comme mentionné précédemment, depuis A

est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, par le théorème des valeurs extrêmes, elle a un maximum et un minimum. Ces valeurs extrêmes se produisent soit aux extrémités, soit aux points critiques. Aux extrémités, A ( x ) = 0 .

Puisque l'aire est positive pour tout x

dans l' intervalle ouvert ( 0 , 50 ) ,

le maximum doit se produire à un point critique. Différencier la fonction A ( x ) ,

Par conséquent, le seul point critique est x = 25

([relier]). Nous concluons que l'aire maximale doit se produire lorsque x = 25 .

Alors nous avons y = 100 − 2 x = 100 − 2 (25) = 50.

Pour maximiser la superficie du jardin, soit x = 25

La superficie de ce jardin est de 1250 pi 2 .

Déterminez la superficie maximale si nous voulons faire le même jardin rectangulaire que dans [lien], mais nous en avons 200

La superficie maximale est de 5 000 pi 2 .

Nous devons maximiser la fonction A ( x ) = 200 x − 2 x 2

sur l' intervalle [ 0 , 100 ] .

Examinons maintenant une stratégie générale pour résoudre des problèmes d'optimisation similaires à [lien].

  1. Introduisez toutes les variables. Le cas échéant, dessinez une figure et nommez toutes les variables.
  2. Déterminez quelle quantité doit être maximisée ou minimisée, et pour quelle plage de valeurs des autres variables (si cela peut être déterminé à ce moment).
  3. Écrivez une formule pour la quantité à maximiser ou à minimiser en fonction des variables. Cette formule peut impliquer plusieurs variables.
  4. Écrivez toutes les équations reliant les variables indépendantes dans la formule de l' étape 3 .

Utilisez ces équations pour écrire la quantité à maximiser ou à minimiser en fonction d'une variable.

en fonction du problème physique à résoudre.

Cette étape implique généralement la recherche de points critiques et l'évaluation d'une fonction aux points de terminaison.

Appliquons maintenant cette stratégie pour maximiser le volume d'une boîte à toit ouvert étant donné une contrainte sur la quantité de matériau à utiliser.

Une boîte à toit ouvert doit être fabriquée à partir d'un 24

dans un morceau de carton en retirant un carré de chaque coin de la boîte et en repliant les rabats de chaque côté. Quelle taille de carré faut-il découper dans chaque coin pour obtenir une boîte avec le volume maximum ?

être la longueur du côté du carré à retirer de chaque coin ([link]). Ensuite, les quatre rabats restants peuvent être repliés pour former une boîte à toit ouvert. Soit V

être le volume de la boîte résultante.

Étape 2 : Nous essayons de maximiser le volume d'une boîte. Le problème est donc de maximiser V .

Étape 3 : Comme mentionné à l'étape 2,

essaient de maximiser le volume d'une boîte. Le volume d'une boîte est V = L · W · H ,

sont respectivement la longueur, la largeur et la hauteur.

Étape 4 : À partir de [lien], nous voyons que la hauteur de la boîte est x

pouces, la longueur est de 36 − 2 x

pouces, et la largeur est de 24 − 2 x

pouces. Par conséquent, le volume de la boîte est

Étape 5 : Pour déterminer le domaine de considération, examinons [lien]. Certes, nous avons besoin de x > 0 .

De plus, la longueur du côté du carré ne peut pas être supérieure ou égale à la moitié de la longueur du côté le plus court, 24

dans le cas contraire, l'un des volets serait complètement coupé. Par conséquent, nous essayons de déterminer s'il existe un volume maximum de la boîte pour x

sur l'intervalle ouvert (0, 12).

est une fonction continue sur l'intervalle fermé [ 0 , 12 ] ,

aura un maximum absolu sur l'intervalle fermé. On considère donc V

sur l'intervalle fermé [ 0 , 12 ]

et vérifier si le maximum absolu se produit à un point intérieur.

est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné [ 0 , 12 ] ,

doit avoir un maximum absolu (et un minimum absolu). Puisque V ( x ) = 0

aux extrémités et V ( x ) > 0

le maximum doit se produire à un point critique. La dérivée est

Pour trouver les points critiques, il faut résoudre l'équation

En divisant les deux membres de cette équation par 12 ,

le problème se simplifie pour résoudre l'équation

En utilisant la formule quadratique, nous trouvons que les points critiques sont

n'est pas dans le domaine de considération, le seul point critique que nous devons considérer est 10 − 2 7 .

Par conséquent, le volume est maximisé si nous laissons x = 10 − 2 7 in .

Le volume maximum est V ( 10 − 2 7 ) = 640 + 448 7 1825 in . 3

comme le montre le graphique suivant.

Regardez une vidéo sur l'optimisation du volume d'une boîte.

Supposons que les dimensions du carton dans [lien] soient de 20 pouces sur 30 pouces. Soit x

être la longueur de côté de chaque carré et écrire le volume de la boîte à toit ouvert en fonction de x .

Déterminer le domaine de considération pour x .

Le volume de la boîte est L · W · H .

plein nord de son point le plus proche le long d'un rivage rectiligne. Un visiteur séjourne dans une cabane sur le rivage qui est de 6 mi

à l'ouest de ce point. Le visiteur envisage de passer de la cabane à l'île. Supposons que le visiteur court à une vitesse de 8 mph

et nage à une vitesse de 3 mph.

Quelle distance le visiteur doit-il parcourir avant de se baigner pour minimiser le temps nécessaire pour atteindre l'île ?

être la distance en cours d'exécution et laissez y

être la distance de natation ([link]). Soit T

être le temps qu'il faut pour se rendre de la cabane à l'île.

Étape 2 : Le problème est de minimiser T .

Étape 3 : Pour trouver le temps passé à voyager de la cabane à l'île, additionnez le temps passé à courir et le temps passé à nager. Depuis Distance =

le temps passé à courir est

et le temps passé à nager est

Par conséquent, le temps total passé à voyager est

Étape 4 : À partir de [lien], le segment de ligne de y

miles forme l'hypoténuse d'un triangle rectangle avec des jambes de longueur 2 mi

Par conséquent, d'après le théorème de Pythagore, 2 2 + ( 6 − x ) 2 = y 2 ,

et on obtient y = ( 6 − x ) 2 + 4 .

Ainsi, le temps total passé à voyager est donné par la fonction

Étape 5 : À partir de [lien], nous voyons que 0 ≤ x ≤ 6 .

est le domaine de considération.

est une fonction continue sur un intervalle fermé et borné, elle a un maximum et un minimum. Commençons par chercher les points critiques de T

En mettant au carré les deux membres de cette équation, on voit que si x

satisfait cette équation, alors x

est un point critique, alors x

Par conséquent, les possibilités de points critiques sont

n'est pas dans le domaine, ce n'est pas une possibilité pour un point critique. Par contre, x = 6 − 6 / 55

est dans le domaine. Puisque nous avons carré les deux côtés de [lien] pour arriver aux points critiques possibles, il reste à vérifier que x = 6 − 6 / 55

satisfait [lien]. Puisque x = 6 − 6 / 55

satisfait cette équation, nous concluons que x = 6 − 6 / 55

est un point critique, et c'est le seul. Pour justifier que le temps est minimisé pour cette valeur de x ,

il suffit de vérifier les valeurs de T ( x )

et les comparer avec la valeur de T ( x )

au point critique x = 6 − 6 / 55 .

Nous trouvons que T ( 0 ) 2.108 h

alors que T ( 6 − 6 / 55 ) 1,368 h .

Par conséquent, nous concluons que T

a un minimum local à x 5,19

mi du rivage, et la distance entre la cabine et le point sur le rivage le plus proche de l'île est de 15 mi.

Supposons qu'un visiteur nage à une vitesse de 2,5 mph

et fonctionne à une vitesse de 6 mph.

dénotent la distance parcourue par le visiteur avant de nager, et trouvent une fonction pour le temps qu'il faut au visiteur pour se rendre de la cabane à l'île.

Le temps T = T course + T nage.

En affaires, les entreprises s'intéressent à maximiser les revenus. Dans l'exemple suivant, nous considérons un scénario dans lequel une entreprise a collecté des données sur le nombre de voitures qu'elle est en mesure de louer, en fonction du prix qu'elle facture à ses clients pour louer une voiture. Utilisons ces données pour déterminer le prix que l'entreprise doit facturer pour maximiser le montant d'argent qu'elle rapporte.

Les propriétaires d'une société de location de voitures ont déterminé que s'ils facturent aux clients p

dollars par jour pour louer une voiture, où 50 p ≤ 200 ,

ils louent par jour peut être modélisé par la fonction linéaire n ( p ) = 1000 − 5 p .

par jour ou moins, ils loueront toutes leurs voitures. S'ils facturent 200 $

par jour ou plus, ils ne loueront aucune voiture. En supposant que les propriétaires prévoient de facturer aux clients entre 50 $ par jour et 200 $

par jour pour louer une voiture, combien devraient-ils facturer pour maximiser leurs revenus ?

être le prix facturé par voiture et par jour et laissez n

soit le nombre de voitures louées par jour. Soit R

Étape 2 : Le problème est de maximiser R .

Étape 3 : Le revenu (par jour) est égal au nombre de voitures louées par jour multiplié par le prix facturé par voiture et par jour, c'est-à-dire R = n × p .

Étape 4 : Puisque le nombre de voitures louées par jour est modélisé par la fonction linéaire n ( p ) = 1000 − 5 p ,

peut être représenté par la fonction

Étape 5 : Puisque les propriétaires prévoient de facturer entre 50 $

par voiture et par jour, le problème est de trouver le revenu maximum R ( p )

dans l'intervalle fermé [50, 200].

est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné [ 50 , 200 ] ,

il a un maximum absolu (et un minimum absolu) dans cet intervalle. Pour trouver la valeur maximale, recherchez les points critiques. La dérivée est R ( p ) = -10 p + 1000 .

Par conséquent, le point critique est p = 100

Par conséquent, le maximum absolu se produit à p = 100 $ .

La société de location de voitures devrait facturer 100 $

par jour et par voiture pour maximiser les revenus, comme le montre la figure suivante.

Une société de location de voitures charge ses clients p

dollars par jour, où 60 p 150 .

Il a constaté que le nombre de voitures louées par jour peut être modélisé par la fonction linéaire n ( p ) = 750 − 5 p .

Combien l'entreprise doit-elle facturer à chaque client pour maximiser ses revenus ?

L'entreprise devrait facturer 75 $

est le nombre de voitures louées et p

est le prix facturé par voiture.

Un rectangle est à inscrire dans l'ellipse

Quelles doivent être les dimensions du rectangle pour maximiser son aire ? Quelle est la superficie maximale ?

Étape 1 : Pour qu'un rectangle soit inscrit dans l'ellipse, les côtés du rectangle doivent être parallèles aux axes. Soit L

être la longueur du rectangle et W

être l'aire du rectangle.

Étape 2 : Le problème est de maximiser A .

Étape 3 : L'aire du rectangle est A = L W .

être le coin du rectangle qui se trouve dans le premier quadrant, comme indiqué dans [lien]. On peut écrire longueur L = 2 x

Etape 5 : A partir de [link], on voit que pour inscrire un rectangle dans l'ellipse, le x

-coordonnée du coin dans le premier quadrant doit satisfaire 0 < x < 2 .

Par conséquent, le problème se réduit à la recherche de la valeur maximale de A ( x )

sur l' intervalle ouvert ( 0 , 2 ) .

aura un maximum absolu (et un minimum absolu) sur l'intervalle fermé [ 0 , 2 ] ,

on considère A ( x ) = 2 x 4 − x 2

Si le maximum absolu se produit en un point intérieur, alors nous avons trouvé un maximum absolu dans l'intervalle ouvert.

Étape 6 : Comme mentionné précédemment, A ( x )

est une fonction continue sur l'intervalle fermé et borné [ 0 , 2 ] .

Par conséquent, il a un maximum absolu (et un minimum absolu). Aux extrémités x = 0

Par conséquent, le maximum doit se produire à un point critique. En prenant la dérivée de A ( x ) ,

Pour trouver des points critiques, nous devons trouver où A ( x ) = 0 .

sont les solutions possibles de [lien]. Puisque nous considérons x

est une possibilité pour un point critique, mais x = − 2

n'est pas. Par conséquent, nous vérifions si 2

est une solution de [lien]. Puisque x = 2

est une solution de [lien], nous concluons que 2

est le seul point critique de A ( x )

doit avoir un maximum absolu au point critique x = 2 .

Pour déterminer les dimensions du rectangle, nous devons trouver la longueur L

Par conséquent, les dimensions du rectangle sont L = 2 x = 2 2

L'aire de ce rectangle est A = L W = ( 2 2 ) ( 2 ) = 4 .

Modifier la fonction de surface A

si le rectangle doit être inscrit dans le cercle unité x 2 + y 2 = 1 .

Quel est le domaine de considération ?

Le domaine de considération est [ 0 , 1 ] .

est le sommet du carré qui se trouve dans le premier quadrant, alors l'aire du carré est A = ( 2 x ) ( 2 y ) = 4 x y .

Résolution des problèmes d'optimisation lorsque l'intervalle n'est pas fermé ou est illimité

Dans les exemples précédents, nous avons considéré des fonctions sur des domaines fermés et bornés. Par conséquent, par le théorème des valeurs extrêmes, nous étions assurés que les fonctions avaient des extrema absolus. Considérons maintenant les fonctions dont le domaine n'est ni fermé ni borné.

De nombreuses fonctions ont encore au moins un extrema absolu, même si le domaine n'est pas fermé ou le domaine est illimité. Par exemple, la fonction f ( x ) = x 2 + 4

a un minimum absolu de 4

Par conséquent, nous pouvons toujours considérer des fonctions sur des domaines non bornés ou des intervalles ouverts et déterminer si elles ont des extrema absolus. Dans l'exemple suivant, nous essayons de minimiser une fonction sur un domaine illimité. Nous verrons que, bien que le domaine de considération soit ( 0 , ∞ ) ,

la fonction a un minimum absolu.

Dans l'exemple suivant, nous examinons la construction d'une boîte de moindre surface avec un volume prescrit. Il n'est pas difficile de montrer que pour une boîte à toit fermé, par symétrie, parmi toutes les boîtes avec un volume spécifié, un cube aura la plus petite surface. Par conséquent, nous considérons le problème modifié consistant à déterminer quelle boîte à toit ouvert avec un volume spécifié a la plus petite surface.

Une boîte rectangulaire avec une base carrée, un dessus ouvert et un volume de 216

in. 3 doit être construit. Quelles doivent être les dimensions de la boîte pour minimiser la surface de la boîte ? Quelle est la superficie minimale ?

Étape 1 : Dessinez une boîte rectangulaire et introduisez la variable x

pour représenter la longueur de chaque côté de la base carrée, soit y

représentent la hauteur de la boîte. Soit S

désignent la surface de la boîte à toit ouvert.

Étape 2 : Nous devons minimiser la surface. Il faut donc minimiser S.

Étape 3 : Puisque la boîte a un dessus ouvert, il suffit de déterminer la superficie des quatre côtés verticaux et de la base. L'aire de chacun des quatre côtés verticaux est x · y .

L'aire de la base est x 2 .

Par conséquent, la surface de la boîte est

Étape 4 : Puisque le volume de cette boîte est x 2 y

et le volume est donné comme 216 in. 3 ,

l'équation de contrainte est

Résoudre l'équation de contrainte pour y ,

On peut donc écrire la surface en fonction de x

Par conséquent, S ( x ) = 864 x + x 2 .

Étape 5 : Puisque nous exigeons que x 2 y = 216 ,

peut avoir n'importe quelle valeur positive. Notez que comme x

devient grand, la hauteur de la boîte y

devient d'autant plus petit que x 2 y = 216 .

devient petit, la hauteur de la boîte devient proportionnellement grande. Nous concluons que le domaine est l'intervalle ouvert et non borné ( 0 , ) .

Notez que, contrairement aux exemples précédents, nous ne pouvons pas réduire notre problème à la recherche d'un maximum absolu ou d'un minimum absolu sur un intervalle fermé et borné. Cependant, à l'étape suivante, nous découvrons pourquoi cette fonction doit avoir un minimum absolu sur l'intervalle ( 0 , ∞ ) .

est une fonction continue qui approche l'infini aux extrémités, elle doit avoir un minimum absolu à un certain x ∈ ( 0 , ∞ ) .

Ce minimum doit se produire à un point critique de S .

Résoudre cette équation pour x ,

Comme c'est le seul point critique de S ,

le minimum absolu doit se produire à x = 6 2 3

y = 216 ( 6 2 3 ) 2 = 3 2 3 dans .

Par conséquent, les dimensions de la boîte doivent être x = 6 2 3 in .

Avec ces dimensions, la surface est

Considérez la même boîte à toit ouvert, qui doit avoir un volume de 216 pouces. 3 .

Supposons que le coût du matériau pour la base soit de 20 /po. 2

et le coût du matériel pour les côtés est de 30 /po. 2

et nous essayons de minimiser le coût de cette boîte. Écrivez le coût en fonction des longueurs des côtés de la base. (Soit x

être la longueur du côté de la base et y

Si le coût d'un des côtés est de 30 / in . 2 ,

le coût de ce côté est de 0,30 x y .

Concepts clés

  • Pour résoudre un problème d'optimisation, commencez par dessiner une image et introduire des variables.
  • Trouvez une équation reliant les variables.
  • Trouvez une fonction d'une variable pour décrire la quantité qui doit être minimisée ou maximisée.
  • Recherchez les points critiques pour localiser les extrema locaux.

Pour les exercices suivants, répondez par preuve, contre-exemple ou explication.

Quand on trouve le maximum pour un problème d'optimisation, pourquoi faut-il vérifier le signe de la dérivée autour des points critiques ?

Les points critiques peuvent être les minima, les maxima ou aucun.

Pourquoi devez-vous vérifier les points de terminaison pour les problèmes d'optimisation ?

Vrai ou faux. Pour chaque fonction non linéaire continue, vous pouvez trouver la valeur x

qui maximise la fonction.

Vrai ou faux. Pour toute fonction continue non constante sur un domaine fermé et fini, il existe au moins un x

qui minimise ou maximise la fonction.

Pour les exercices suivants, configurez et évaluez chaque problème d'optimisation.

Pour transporter une valise dans un avion, la longueur + largeur +

la hauteur de la boîte doit être inférieure ou égale à 62 po.

En supposant que la hauteur soit fixe, montrez que le volume maximum est V = h ( 31 − ( 1 2 ) h ) 2 .

Quelle hauteur permet d'avoir le plus grand volume ?

Vous construisez une boîte en carton de dimensions 2 m sur 4 m .

Vous coupez ensuite des carrés de taille égale dans chaque coin afin de pouvoir plier les bords. Quelles sont les dimensions de la boîte avec le plus grand volume ?

Trouvez l'entier positif qui minimise la somme du nombre et de sa réciproque.

Trouver deux entiers positifs tels que leur somme est 10 ,

et minimiser et maximiser la somme de leurs carrés.

Pour les exercices suivants, envisagez la construction d'un enclos pour délimiter une zone.

de clôtures pour construire un enclos rectangulaire pour le bétail. Quelles sont les dimensions du stylo qui maximisent la surface ?

de clôtures pour faire un enclos pour les porcs. Si vous avez une rivière d'un côté de votre propriété, quelle est la dimension de l'enclos rectangulaire qui maximise la superficie ?

Vous devez construire une clôture autour d'une superficie de 1600 pi.

Quelles sont les dimensions du stylo rectangulaire pour minimiser la quantité de matériel nécessaire ?

Deux pôles sont reliés par un fil qui est également relié à la terre. Le premier pôle est de 20 pieds

grand et le deuxième poteau est de 10 pieds

grand. Il y a une distance de 30 pieds

entre les deux pôles. Où le fil doit-il être ancré au sol pour minimiser la quantité de fil nécessaire ?

[T] Vous emménagez dans un nouvel appartement et remarquez qu'il y a un coin où le couloir se rétrécit de 8 pi à 6 pi .

Quelle est la longueur de l'article le plus long qui peut être transporté horizontalement autour du coin ?

Le pouls d'un patient mesure 70 bpm, 80 bpm, puis 120 bpm .

Pour déterminer une mesure précise du pouls, le médecin veut savoir quelle valeur minimise l'expression ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + ( x − 120 ) 2 ?

Dans le problème précédent, supposons que le patient était nerveux lors de la troisième mesure, nous ne pondérons donc cette valeur que deux fois moins que les autres. Quelle est la valeur qui minimise ( x − 70 ) 2 + ( x − 80 ) 2 + 1 2 ( x − 120 ) 2 ?

Vous pouvez courir à une vitesse de 6

mph et nager à une vitesse de 3

mph et sont situés sur le rivage, 4

miles à l'est d'une île qui est 1

mille au nord du rivage. Jusqu'où devez-vous courir vers l'ouest pour minimiser le temps nécessaire pour atteindre l'île ?

Pour les problèmes suivants, pensez à un sauveteur dans une piscine circulaire d'un diamètre de 40 m .

Il doit rejoindre quelqu'un qui se noie de l'exact opposé du bassin, à la position C .

Le maître nageur nage avec une vitesse v

et tourne autour de la piscine à la vitesse w = 3 v .

Trouvez une fonction qui mesure le temps total qu'il faut pour atteindre la personne qui se noie en fonction de l'angle de nage, .

le sauveteur doit nager pour atteindre la personne qui se noie en un minimum de temps.

Un camion utilise du gaz car g ( v ) = a v + b v ,

représente la vitesse du camion et g

représente les gallons de carburant par mile. A quelle vitesse la consommation de carburant est-elle minimisée ?

Pour les exercices suivants, considérons une limousine qui obtient m ( v ) = ( 120 − 2 v ) 5 mi/gal

Trouvez le coût par mile à la vitesse v .

Trouvez la vitesse de conduite la moins chère.

Pour les exercices suivants, considérons une pizzeria qui vend des pizzas pour un revenu de R ( x ) = a x

et coûte C ( x ) = b + c x + d x 2 ,

représente le nombre de pizzas.

Trouvez la fonction de profit pour le nombre de pizzas. Combien de pizzas donnent le plus gros profit par pizza ?

Combien de pizzas vendues maximisent le profit ?

et C ( x ) = 60 + 3 x + 1 2 x 2 .

Combien de pizzas vendues maximisent le profit ?

Pour les exercices suivants, considérez un fil de 4 pi

long coupé en deux morceaux. Une pièce forme un cercle de rayon r

et l'autre forme un carré de côté x .

maximiser la somme de leurs aires.

minimiser la somme de leurs aires.

Pour les exercices suivants, considérons deux nombres non négatifs x

Maximiser et minimiser les quantités.

Pour les exercices suivants, dessinez le problème d'optimisation donné et résolvez-le.

Trouvez le volume du plus grand cylindre circulaire droit qui tient dans une sphère de rayon 1 .

Trouvez le volume du plus grand cône droit qui s'insère dans une sphère de rayon 1 .

Trouvez l'aire du plus grand rectangle qui rentre dans le triangle de côtés x = 0 , y = 0

Trouvez le plus grand volume d'un cylindre qui s'insère dans un cône qui a un rayon de base R

Trouver les dimensions du volume du cylindre fermé V = 16 π

qui a le moins de surface.

Trouver les dimensions d'un cône droit de surface S = 4 π

qui a le plus grand volume.

Pour les exercices suivants, considérez les points sur les graphiques donnés. Utilisez une calculatrice pour représenter graphiquement les fonctions.

[T] Où est la ligne y = 5 − 2 x

[T] Où est la ligne y = 5 − 2 x

[T] Où est la parabole y = x 2

[T] Où est la parabole y = x 2

Pour les exercices suivants, configurez, mais n'évaluez pas, chaque problème d'optimisation.

Une fenêtre est composée d'un demi-cercle placé au-dessus d'un rectangle. Si vous avez 20 pieds

de matériaux d'encadrement de fenêtre pour le cadre extérieur, quelle est la taille maximale de la fenêtre que vous pouvez créer ? Utilisateur

pour représenter le rayon du demi-cercle.

Vous avez une rangée de jardin de 20

plants de pastèque qui produisent en moyenne 30

pastèques chacun. Pour toute plante de pastèque supplémentaire plantée, la production par plante de pastèque diminue d'une pastèque. Combien de plants de pastèques supplémentaires devriez-vous planter?

Vous construisez une boîte pour que votre chat dorme. Le matériau en peluche pour le fond carré de la boîte coûte 5 $ / pi 2

et le matériel pour les côtés coûte 2 $ / pi 2 .

Vous avez besoin d'une boîte avec un volume de 4 pi 2 .

Trouvez les dimensions de la boîte qui minimisent les coûts. Utiliser x

pour représenter la longueur du côté de la boîte.

Vous construisez cinq enclos identiques côte à côte d'une superficie totale de 1000 m 2 ,

comme le montre la figure suivante. Quelles dimensions devriez-vous utiliser pour minimiser la quantité de clôture?

Vous êtes gérant d'une résidence de 50

unités. Lorsque vous fixez le loyer à 800$/mois,

tous les appartements sont loués. Au fur et à mesure que vous augmentez le loyer de 25$/mois,

un appartement de moins est loué. Les frais d'entretien courent 50 $ / mois

pour chaque unité occupée. Quel est le loyer qui maximise le montant total du profit ?

Glossaire


Bienvenue

Mathématiques appliquées / Sciences de l'ingénieur 121 est un voyage dans les idées mathématiques et les méthodes de calcul pour résoudre des problèmes d'optimisation déterministes et stochastiques. Ce cours est offert à l'automne 2019. Les conférences auront lieu le Les lundis et mercredis de 9h00 à 10h15 au Maxwell Dworkin G115. Le premier jour de cours est le mercredi 4 septembre.

L'optimisation est le problème de prendre des décisions pour maximiser ou minimiser un objectif en présence de contraintes compliquées. La classe vous emmènera dans un voyage à travers la théorie, les méthodes et l'application de la programmation linéaire, de la programmation en nombres entiers, des chaînes de Markov et des processus de décision de Markov. Vous apprendrez les méthodes, les comprendrez, les pratiquerez et les appliquerez aux problèmes des affaires, de la société, de l'ingénierie, du sport, du commerce électronique et de la médecine. L'optimisation peut apporter de l'efficacité dans toute la société et partout où les ressources sont limitées. L'optimisation est également utilisée dans la conception et l'analyse de systèmes d'ingénierie de toutes sortes. La programmation linéaire et la belle méthode du simplexe sont au cœur de la classe et constituent le moteur de résolution des problèmes d'optimisation à grande échelle.

Nous mettons l'accent sur la modélisation, le processus consistant à prendre un problème du monde réel et à le transformer en une formulation qui peut ensuite être résolue par les méthodes que nous avons développées. Notre approche est pratique et notre attitude est positive : nous examinerons les problèmes qui se posent dans le monde, les formulerons en modèles et les résoudrons. Des exercices interactifs en équipe feront partie de la classe. Nous aurons l'aide d'ordinateurs et apprendrons à utiliser leurs pouvoirs pour résoudre ces problèmes difficiles.

Nous espérons que les élèves sortiront de cette classe en se sentant responsabilisés. Avant de décider de suivre ou non l'AM/ES 121, veuillez lire la page À propos de l'AM/ES 121 et la version actuelle du programme. L'horaire de la classe vous donnera une idée de certains des sujets et dates importants.


Exemples

Convertir le problème en structure

Convertissez un objet de problème d'optimisation en une structure de problème.

Convertissez le problème en une structure de problème intlinprog.

Examinez la matrice et le vecteur de contrainte d'égalité linéaire résultants.

Résolvez le problème en appelant intlinprog .

Convertir un problème non linéaire en structure

Créez un problème non linéaire dans le cadre basé sur les problèmes.

Convertissez prob en une structure de problème d'optimisation. Nommez le fichier de fonction objectif généré 'rosenbrock' et le fichier de fonction de contrainte 'circle2' .

prob2struct crée des fichiers de fonction d'objectif et de contrainte non linéaire dans le dossier actuel. Pour créer ces fichiers dans un dossier différent, utilisez la paire nom-valeur 'FileLocation'.


Algorithmes inspirés de la nature pour les problèmes d'optimisation du monde réel

Les algorithmes inspirés de la nature sont un ensemble de nouvelles méthodologies et approches de résolution de problèmes et ont attiré une attention considérable pour leurs bonnes performances. Des exemples représentatifs d'algorithmes inspirés de la nature incluent les réseaux de neurones artificiels (ANN), les systèmes flous (FS), l'informatique évolutive (EC) et l'intelligence en essaim (SI), et ils ont été appliqués pour résoudre de nombreux problèmes du monde réel. Malgré la popularité des algorithmes inspirés de la nature, de nombreux défis demeurent et nécessitent des efforts de recherche supplémentaires.

Les contributions présentées dans ce numéro spécial incluent certains des derniers développements d'algorithmes inspirés de la nature, tels que l'algorithme génétique, l'optimisation des essaims de particules, l'optimisation des colonies de fourmis, l'optimisation des oiseaux migrateurs, les réseaux de neurones, l'algorithme de recherche gravitationnelle et leurs applications. Plusieurs problèmes d'optimisation du monde réel ont été étudiés par plusieurs algorithmes inspirés de la nature.

K. G. Ing et al. présenter l'application de l'algorithme de recherche gravitationnelle (GSA) pour déterminer la configuration quotidienne optimale du réseau de distribution en fonction de la production photovoltaïque et de la charge du système. Le problème de reconfiguration du réseau de distribution est formulé comme un problème de minimisation pour minimiser la perte de puissance de la distribution. Les résultats expérimentaux montrent que la GSA avec approche de sélection est une technique simple mais efficace pour minimiser la perte de puissance quotidienne totale.

Les travaux de E. Lalla-Ruiz et al. étudie l'approche améliorée d'optimisation des oiseaux migrateurs (MBO) pour résoudre deux problèmes de bord de mer, qui sont le problème d'allocation dynamique de quai (DBAP) et le problème d'ordonnancement des grues de quai (QCSP). L'approche MBO peut résoudre ces deux problèmes avec des solutions de haute qualité avec un faible coût de calcul, ce qui fait de cette technique une méthode compétitive pour les opérations fréquemment balnéaires effectuées individuellement ou intégrées dans de vrais systèmes d'aide à la décision.

L'article de I.G. Hidalgo et al. intègre l'algorithme génétique (GA) avec l'algorithme évolutif de force Pareto (SPEA) et l'optimisation des colonies de fourmis (ACO) pour traiter le problème de planification à court terme. Le problème est résolu par les deux approches hybrides proposées en deux phases. Les résultats expérimentaux sur deux centrales hydroélectriques montrent que les deux approches produisent de bonnes performances pour une répartition dynamique optimale dans le fonctionnement à court terme des centrales hydroélectriques.

S. Demirel et al. se concentrer sur la conception optimale de l'amplificateur à faible bruit (LNA) ultralarge bande (UWB) basé sur le modèle de ligne microruban de la machine de régression à vecteur de support (SVRM). L'algorithme d'optimisation de l'essaim de particules (PSO) a été utilisé dans la procédure de résolution de deux paramètres, ce qui a donné de bonnes performances en termes de précision et de convergence rapide.

F. Kamaruzaman et al. proposent le classificateur de détection de coïncidence (CD) avec deux méthodes d'apprentissage basées sur le Spiking Neural Network (SNN). La méthode proposée peut produire un modèle de pointe de sortie à partir d'une paire d'entrées identique au modèle de réponse de pointe discrète (SRM) avec des opérations flottantes nettement inférieures et un temps de traitement beaucoup plus rapide.

Les articles inclus dans ce numéro spécial sont de grande qualité et, espérons-le, apporteront des contributions utiles au domaine de recherche des algorithmes inspirés de la nature.

Remerciements

Le Dr Wei Fang reconnaît le soutien de la National Nature Science Foundation of China (subventions nos. 61105128, 61170119 et 61373055), la Nature Science Foundation of Jiangsu Province, China (subventions nos. BK20131106, BK20130161 et BK20130160), le programme postdoctoral Science Foundation of China (subvention n° 2014M560390), les fonds de recherche fondamentale pour les universités centrales, Chine (subvention n° JUSRP51410B) et le projet Six Talent Peaks de la province du Jiangsu (subvention n° DZXX-025). En tant que rédacteurs invités, nous tenons à remercier les auteurs contributeurs et les réviseurs pour leur travail acharné dans la préparation et la révision des soumissions.

Croc de Wei
Xiaodong Li
Mengjie Zhang
Mengqi Hu

Droits d'auteur

Copyright © 2015 Wei Fang et al. Il s'agit d'un article en libre accès distribué sous la licence Creative Commons Attribution, qui permet une utilisation, une distribution et une reproduction sans restriction sur tout support, à condition que l'œuvre originale soit correctement citée.


3.6 : Problèmes d'optimisation appliquée - Mathématiques

Projets actuels:

POULIES CELLULAIRES À VALEUR TREILLISÉE :

Les faisceaux cellulaires prenant des valeurs dans des espaces vectoriels sont bien compris, grâce, par exemple, à Justin Curry. Travailler avec des données dans différentes catégories peut être un défi. Les travaux actuels [avec Hans Riess] consistent à définir et interpréter la cohomologie des faisceaux cellulaires en prenant des valeurs dans des catégories de réseaux. Cela peut avoir des applications surprenantes, même sur les réseaux.

LAPLACIENS & THÉORIE DE HODGE POUR LES POULES :

Le laplacien graphique est une source fantastique de perspectives et de techniques en science des réseaux, en analyse de données et en géométrie : c'est aussi le type le plus simple de laplacien de Hodge correspondant à une gerbe constante sur un graphique. Les laplaciens existent pour des faisceaux d'espaces de produits internes sur des complexes cellulaires et sont pleins de grands fils de recherche. Le travail actuel [avec Jakob Hansen] implique la création de théorie du faisceau spectral et l'optimisation distribuée. Cela a des applications très récentes pour dynamique d'opinion sur les réseaux sociaux.

DONNÉES DE SÉRIES CHRONOLOGIQUES:

le zone signée entre deux séries temporelles est un moyen simple d'inférer des relations avance-retard pour données cycliques (données périodiques jusqu'à un reparamétrage temporel). Cela rejoint une vieille théorie de K.-T. Chen sur intégrales itérées et le signature de chemin actuellement utilisé dans la théorie des chemins rugueux. Les travaux actuels [avec Darrick Lee] se concentrent sur les aspects topologiques et géométriques de la signature de chemin.

PERSISTANCE HOMOLOGIQUE & TDA :

Le besoin d'un calcul efficace [en temps et en mémoire] de la co/homologie est de plus en plus pressant, étant donné la récente révolution des analyse de données topologiques. Il y a des défis particuliers dans l'informatique co/homologie persistante et cohomologie du faisceau, avec la nécessité d'extraire non seulement codes à barres, mais des générateurs explicites. Les travaux antérieurs utilisent une combinaison de théorie Morse discrète, algèbre linéaire numérique efficace, et théorie des matroïdes, avec des applications aux données de neurosciences. Les travaux actuels [w/Greg Henselman-Petrusek] utilisent l'algèbre homologique dans des contextes non abéliens impliquant treillis et catégories p-exactes. Des travaux récents [avec Iris Yoon] impliquent des co-faisceaux pour le calcul de persistance distribuée.

PROGRAMMATION HOMOLOGIQUE :

Il existe un "noyau" topologique à tous les problèmes d'optimisation. Par exemple, l'original de Von Neumann théorème minimax a été prouvé en utilisant le théorème du point fixe de Brouwer. L'amélioration ultérieure de Nash a utilisé un théorème du point fixe amélioré. Dans quelle mesure la théorie de l'optimisation moderne peut-elle être réduite ou étendue via la topologie algébrique ? Peut-être beaucoup. Le classique théorème max-flow-min-cut a une version de la théorie de la gerbe [Sanjeevi Krishnan] qui relie LP dualité avec Dualité de Poincaré. Travail récent [w/jakob Hansen] met en place programmation homologique en tant que version topologique de la programmation linéaire -- essayant de résoudre des problèmes d'optimisation avec des contraintes (co)homologiques. Ceci est particulièrement intéressant dans le contexte des gerbes.

SUIVI DES CIBLES TOPOLOGIQUES :

Réas et cohomologie du faisceau (et leurs duels, co-réas et homologie de cosheaf) sont extrêmement utiles pour résoudre des problèmes locaux à globaux dans de nombreux contextes. L'une des utilisations les plus intéressantes est le suivi de cible, où des gerbes de semi-groupes sur l'axe du temps peut coder les contraintes de directionnalité dans les jeux de poursuite-évasion. Mieux encore est l'utilisation de gerbes sur des posets plus généraux pour fusible différents types de données de capteur, convertissant le suivi basé sur la détection en un problème de couverture pour la co/homologie.

TRAITEMENT DES SIGNAUX TOPOLOGIQUES :

Une grande partie du travail dans le traitement du signal radar dépend de manière sensible de la géométrie. Que pouvez-vous faire avec des données trop grossières ou trop bruyantes pour bien conserver la géométrie ? Et si la seule information disponible était de nature topologique ? Nous développons des outils pour une traitement topologique du signal, comprenant Intégration d'Euler (une alternative topologique aux intégrales de Riemann), complexes nerveux pour les signaux, et modal Lüsternik-Schnirelman catégories. Tous ces outils sont pertinents pour comprendre et reconstruire des données à partir de signaux topologiques.

Projets passés :

TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE ET RÉSEAUX DE CAPTEURS :

Au fur et à mesure que la technologie des capteurs progressera, nous pourrons remplacer les gros capteurs coûteux par des essaims de petits capteurs locaux bon marché. L'un des problèmes auxquels est confrontée la communauté des capteurs est de savoir comment intégrer des données locales dans une image globale d'un environnement et comment gérer la surcharge d'informations. Imaginez, par exemple, que vous ayez des milliers et des milliers de caméras vidéo mobiles et que l'une d'entre elles capte quelque chose d'important. Comment le système doit-il s'auto-organiser pour piéger l'événement ? Et, pour le rendre intéressant, supposons que vous n'ayez pas de GPS, de télémètres, de capteurs d'orientation ou de boussole. Et maintenant?

Heureusement, les topologues ont résolu un problème similaire consistant à passer de données combinatoires locales à une image globale (il y a environ cent ans). Homologie & cohomologie sont étonnamment efficaces pour répondre aux questions sur la couverture et d'autres problèmes dans les réseaux de capteurs. Les progrès récents de l'homologie computationnelle et homologie persistante rendre ces théories classiques nouvellement pertinentes pour une grande variété de problèmes de sécurité et de communication. Théorie de la gerbe est étonnamment utile dans les problèmes d'agrégation de données sur les réseaux : une simple intégrale théorique utilisant la caractéristique d'Euler comme mesure est très efficace dans les problèmes de dénombrement de cibles sur les réseaux, et les problèmes de capacités de flux d'informations se réduisent à cohomologie du faisceau.

ROBOTIQUE GÉOMÉTRIQUE / TOPOLOGIQUE

La robotique est un domaine idéal pour un mathématicien : ici, on a un réel besoin de rigueur. Imaginez essayer de vérifier qu'un système de contrôle pour un chirurgien robotique du cerveau fonctionne. Préférez-vous avoir une simulation informatique réussie ou un théorème garantissant la performance ? (Réponse : obtenez les deux si vous le pouvez.) L'utilisation de méthodes et d'idées issues de la topologie et de la théorie géométrique des groupes donne des résultats rigoureux sur la planification et le contrôle du mouvement des robots. Les exemples incluent les espaces de courbure non positive appliqués aux robots métamorphiques et reconfigurables, ainsi qu'aux problèmes de coordination des robots. Géométrie CAT(0) répond aux questions sur algorithmes de poursuite-évasion et planification multi-agents optimale. Ces idées ont également un fort chevauchement avec le travail dans auto-assemblage, en particulier le type programmable.

TOPOLOGIE DE CONTACT ET DYNAMIQUE DES FLUIDES

Les résultats rigoureux sur la dynamique des fluides sont rares pour les écoulements entièrement tridimensionnels. J'utilise des techniques globales de topologie de contact (une variante de dimension impaire de topologie symplectique) pour prouver les résultats concernant les classes les plus difficiles d'écoulements de fluides stables non visqueux. Ces techniques, par exemple, homologie de contact, peut être utilisé pour répondre à des questions sur des phénomènes physiques concrets tels que instabilité hydrodynamique.

NOEUDS, LIENS ET TRESSES EN DYNAMIQUE

L'une des façons dont les méthodes topologiques influent le plus directement sur les applications est via les équations différentielles : une grande partie de l'histoire de la théorie des systèmes dynamiques remonte aux perspectives topologiques. J'ai contribué aux relations entre la théorie des nœuds et la dynamique. Une façon dont ces champs interagissent se présente chaque fois que vous avez un champ vectoriel sur un domaine tridimensionnel : les orbites périodiques tracent naturellement de simples courbes fermées. De quelles manières les données de nouage et de liaison reflètent-elles, voire forcent-elles, des données dynamiques ? Il y a ici une théorie riche, y compris des exemples simples d'équations différentielles pour lesquelles les types de nouage les plus chaotiques imaginables sont présents : tous les nœuds et liens sont présents sous forme d'orbites périodiques structurellement stables. Des travaux récents se sont concentrés sur les applications de théorie de la tresse aux EDP paraboliques scalaires via une version topologique du principe de comparaison. Cela implique d'utiliser la version de Conley de la théorie Morse, conduisant à une Homologie Floer pour des tresses dynamiques.


Voir la vidéo: MATHS: OPTIMISATION SOUS CONTRAINTE DUNE FONCTION À 2 VARIABLES - EXERCICE CORRIGÉ (Décembre 2021).