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4: Plus grand diviseur commun, plus petit commun multiple et algorithme euclidien


4: Plus grand diviseur commun, plus petit commun multiple et algorithme euclidien

UNE conceptuel preuve du pgcd Identité de Bezout : l'ensemble $ m,S,$ de tout entiers de la forme $ m,a,x + b,y,, x,yin mathbb Z,,$ est fermé par soustraction $ ax+by-(aar x+bar y), =, a(x!-ar x)+b(y!-!ar y),, $ so via le lemme ci-dessous, tout $ m,n positif dans S,$ est divisible par $ m,d = $ le moins positif $ min S.,$ Donc $ m,a,b in S,$ $Rightarrow$ $ m,dmid a,b,,$ c'est-à-dire que $ m,d,$ est un commun diviseur de $ m,a,b,,$ nécessairement le plus grand tel par $ m cmid a,b,$ $Rightarrow$ $ m,cmid d = a,x_1!+! b,y_1Flèche droite$ $ m,cle d.$

Lemme $ $ Soit $, m S eemptyset ,$ un ensemble d'entiers gt0$ fermé par soustraction gt 0,,$ ie pour tout $ m,n,min S, ,$ $ m n > m Rightarrow nm, in, S.,$ Alors tout élément de $ m,S,$ est un multiple du plus petit élément $ m : ell = min, S.$

Preuve $<f 1>, $ Sinon il y a au moins un non multiple $ m,nin S,,$ contra $ m,n-ell in S,$ est un non multiple de $ m,ell.$

Preuve $<f 2>, m, S,$ fermé par soustraction $ m,Rightarrow,S,$ fermé par reste (mod), quand il vaut $ e 0, $ puisque mod est calculable par soustraction répétée, c'est-à-dire $ m, a mod b, =, a - kb, =, abb-cdots -b.,$ Donc $ m,n in S,$ $Rightarrow$ $ m, (n mod ell) = 0,,$ sinon c'est $ m,in S,$ et plus petit que $ m ,ell,,$ contre-minimalité de $ m:ell.$

Remarque $ $ En résumé, deux applications de l'induction donnent les inférences suivantes

$ megin m S fermé sous <f soustraction>&Rightarrow:& m S fermé sous <f mod>= reste = répété soustraction &Rightarrow:& m S fermé sous, <f gcd>, = répété mod (algorithme d'Euclide) end$

Interprété de manière constructive, cela donne l'algorithme euclidien étendu pour le pgcd. A savoir, $ $ à partir des deux éléments de $ m,S,$ que l'on connaît : $ m a ,=, 1cdot a + 0cdot b, b ,= , 0cdot a + 1cdot b, $ nous recherchons le plus petit élément de $ m,S,$ en soustrayant à plusieurs reprises des éléments de $, m S,$ pour produire des éléments plus petits de $ rm,S,$ (tout en gardant une trace de la représentation linéaire de chaque élément en termes de $ m,a,$ et $ m,b).:$ C'est essentiellement le soustractif forme de l'algorithme d'Euclide (vs. forme mod/reste).

Noter: dans les systèmes de nombres plus généraux bénéficiant de la division avec reste (c'est-à-dire les domaines euclidiens), il n'est pas vrai que $!mod!$ est équivalent à une soustraction répétée, donc dans de tels anneaux ce qui précède descente est obtenu par $!mod!$ (vs. soustraction), comme dans la preuve $2,,$ e.g. c'est vrai pour les anneaux polynomiaux sur un corps.

La structure conceptuelle sera clarifiée quand on étudiera idéaux d'anneaux, où la preuve ci-dessus se généralise pour montrer que les domaines euclidiens sont des PID.


Le plus grand facteur commun ou Le plus grand diviseur commun (GCD) peut être calculé de la manière suivante

Plus grand facteur commun de 4 et 12 par la méthode de factorisation Prime

Factorisation Premier de 4

Les facteurs premiers de 4 sont 2. La factorisation première de 4 sous forme exponentielle est :

Factorisation Premier de 12

Les facteurs premiers de 12 sont 2.Facteurs premiers de 12 sous forme exponentielle est :

Donc en prenant des facteurs premiers communs GCF de 4 et 12 est 4

Plus grand facteur commun de 4 et 12 par la méthode des facteurs d'appariement

Facteurs de 4

Liste des facteurs entiers positifs de 4 qui divisent 4 sans reste.

Facteurs de 12

Liste des facteurs entiers positifs de 12 qui divisent 12 sans reste.

Le plus grand facteur commun

Nous avons trouvé les facteurs et la factorisation première de 4 et 12. Le plus grand nombre de facteur commun est le FVC numéro.
Alors le plus grand facteur commun 4 et 12 est 4.

Propriétés de GCF 4 et 12

(i) Le GCF de 4 et 12 est associatif

GCF de 4 et 12 = GCF de 12 et 4

Plus grand facteur commun associé de 4

Plus grand facteur commun associé de 12

Foire aux questions sur les GCF de 4 et 12

1. Qu'est-ce que le GCF de 4 et 12 ?

Réponse : GCF de 4 et 12 est 4.

2. Quels sont les facteurs de 4 ?

Réponse : Les facteurs de 4 sont 1, 2, 4. Il y a 3 nombres entiers qui sont des facteurs de 4. Le plus grand facteur de 4 est 4.

3. Quels sont les facteurs de 12 ?

Réponse : Les facteurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12. Il y a 6 nombres entiers qui sont des facteurs de 12. Le plus grand facteur de 12 est 12.

4. Comment trouver le GCF de 4 et 12 ?

Plus grand facteur commun de 4 et 12 = 4

Étape 1 : Trouver la factorisation première de 4

Étape 2 : Trouver la factorisation première de 12

Étape 3 : Multipliez les facteurs que les deux nombres ont en commun aux étapes i) ou ii) ci-dessus pour trouver le gcf :


4: Plus grand diviseur commun, plus petit commun multiple et algorithme euclidien

Plus grand algorithme de diviseur commun

Calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux nombres (4 algorithmes) Calculer le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de trois nombres Description de l'algorithme : Fo.

Algorithme - Plus grand diviseur commun

Dans le passé, cela se faisait généralement avec la force brute, mais aujourd'hui, j'ai découvert que l'algorithme d'Euclide est vraiment bon. Prenez un enregistrement. Au fait, je ne peux pas utiliser la racaille et la violence, encore moins faire marche arrière.

Notes Python : le plus grand algorithme de diviseur commun et l'algorithme multiple le moins commun

Répertoire d'articles Trouver le plus grand commun diviseur Trouver le plus petit commun multiple Introduction : Supposons que si le nombre a peut être divisible par le nombre b, a est appelé multiple de b, et b est appelé.

Algorithme commun pour le plus grand diviseur commun

Une. Objectif 1. Identifier le concept et les caractéristiques de l'algorithme. 2. A travers l'analyse du problème, concevez un algorithme raisonnable pour résoudre le problème Contenu expérimental Algore commune.

La beauté de la programmation des notes de lecture (5) le plus grand diviseur commun

problème : Trouver le plus grand commun diviseur de deux nombres Solution 1 : Méthode de division euclidienne : f(x,y) = GC.


Le plus grand facteur commun ou Le plus grand diviseur commun (GCD) peut être calculé de la manière suivante

Plus grand facteur commun de 11 et 4 par la méthode de factorisation Prime

Factorisation Premier de 11

Les facteurs premiers de 11 sont 11. Factorisation première de 11 sous forme exponentielle est :

Factorisation Premier de 4

Les facteurs premiers de 4 sont 2.Facteurs premiers de 4 sous forme exponentielle est :

∴ Donc en prenant des facteurs premiers communs GCF de 11 et 4 est 1

Plus grand facteur commun de 11 et 4 par la méthode des facteurs d'appariement

Facteurs de 11

Liste de facteurs entiers positifs de 11 qui divise 11 sans reste.

Facteurs de 4

Liste des facteurs entiers positifs de 4 qui divisent 4 sans reste.

Le plus grand facteur commun

Nous avons trouvé les facteurs et la factorisation première de 11 et 4. Le plus grand nombre de facteur commun est le FVC numéro.
Alors le plus grand facteur commun 11 et 4 est 1.

Propriétés de GCF 11 et 4

(i) Le GCF de 11 et 4 est associatif

GCF de 11 et 4 = GCF de 4 et 11

Plus grand facteur commun associé de 11

Plus grand facteur commun associé de 4

Foire aux questions sur les GCF de 11 et 4

1. Qu'est-ce que le GCF de 11 et 4 ?

Réponse : GCF de 11 et 4 est 1.

2. Quels sont les facteurs de 11 ?

Réponse : Les facteurs de 11 sont 1, 11. Il y a 2 nombres entiers qui sont des facteurs de 11. Le plus grand facteur de 11 est 11.

3. Quels sont les facteurs de 4 ?

Réponse : Les facteurs de 4 sont 1, 2, 4. Il y a 3 nombres entiers qui sont des facteurs de 4. Le plus grand facteur de 4 est 4.

4. Comment trouver le GCF de 11 et 4 ?

Plus grand facteur commun de 11 et 4 = 1

Étape 1 : Trouver la factorisation première de 11

Étape 2 : Trouver la factorisation première de 4

Étape 3 : Multipliez les facteurs que les deux nombres ont en commun aux étapes i) ou ii) ci-dessus pour trouver le gcf :


Le plus grand facteur commun ou Le plus grand diviseur commun (GCD) peut être calculé de la manière suivante

Plus grand facteur commun de 7 et 4 par la méthode de factorisation Prime

Factorisation Premier de 7

Les facteurs premiers de 7 sont 7. La factorisation première de 7 sous forme exponentielle est :

Factorisation Premier de 4

Les facteurs premiers de 4 sont 2.Facteurs premiers de 4 sous forme exponentielle est :

∴ Donc en prenant des facteurs premiers communs GCF de 7 et 4 est 1

Plus grand facteur commun de 7 et 4 par la méthode des facteurs d'appariement

Facteurs de 7

Liste de facteurs entiers positifs de 7 qui divise 7 sans reste.

Facteurs de 4

Liste des facteurs entiers positifs de 4 qui divisent 4 sans reste.

Le plus grand facteur commun

Nous avons trouvé les facteurs et la factorisation première de 7 et 4. Le plus grand nombre de facteur commun est le FVC numéro.
Alors le plus grand facteur commun 7 et 4 est 1.

Propriétés de GCF 7 et 4

(i) Le GCF de 7 et 4 est associatif

GCF de 7 et 4 = GCF de 4 et 7

Plus grand facteur commun associé de 7

Plus grand facteur commun associé de 4

Foire aux questions sur les GCF de 7 et 4

1. Qu'est-ce que le GCF de 7 et 4 ?

Réponse : GCF de 7 et 4 est 1.

2. Quels sont les facteurs de 7 ?

Réponse : Les facteurs de 7 sont 1, 7. Il y a 2 nombres entiers qui sont des facteurs de 7. Le plus grand facteur de 7 est 7.

3. Quels sont les facteurs de 4 ?

Réponse : Les facteurs de 4 sont 1, 2, 4. Il y a 3 nombres entiers qui sont des facteurs de 4. Le plus grand facteur de 4 est 4.

4. Comment trouver le GCF de 7 et 4 ?

Plus grand facteur commun de 7 et 4 = 1

Étape 1 : Trouver la factorisation première de 7

Étape 2 : Trouver la factorisation première de 4

Étape 3 : Multipliez les facteurs que les deux nombres ont en commun aux étapes i) ou ii) ci-dessus pour trouver le gcf :


Le plus grand facteur commun ou Le plus grand diviseur commun (GCD) peut être calculé de la manière suivante

Plus grand facteur commun de 4 et 8 par la méthode de factorisation Prime

Factorisation Premier de 4

Les facteurs premiers de 4 sont 2. La factorisation première de 4 sous forme exponentielle est :

Factorisation Premier de 8

Les facteurs premiers de 8 sont 2.Facteurs premiers de 8 sous forme exponentielle est :

∴ Donc en prenant des facteurs premiers communs GCF de 4 et 8 est 4

Plus grand facteur commun de 4 et 8 par la méthode des facteurs d'appariement

Facteurs de 4

Liste des facteurs entiers positifs de 4 qui divisent 4 sans reste.

Facteurs de 8

Liste des facteurs entiers positifs de 8 qui divisent 8 sans reste.

Le plus grand facteur commun

Nous avons trouvé les facteurs et la factorisation première de 4 et 8. Le plus grand nombre de facteur commun est le FVC numéro.
Alors le plus grand facteur commun 4 et 8 est 4.

Propriétés de GCF 4 et 8

(i) Le GCF de 4 et 8 est associatif

GCF de 4 et 8 = GCF de 8 et 4

Plus grand facteur commun associé de 4

Plus grand facteur commun associé de 8

Foire aux questions sur les GCF de 4 et 8

1. Qu'est-ce que le GCF de 4 et 8 ?

Réponse : GCF de 4 et 8 est 4.

2. Quels sont les facteurs de 4 ?

Réponse : Les facteurs de 4 sont 1, 2, 4. Il y a 3 nombres entiers qui sont des facteurs de 4. Le plus grand facteur de 4 est 4.

3. Quels sont les facteurs de 8 ?

Réponse : Les facteurs de 8 sont 1, 2, 4, 8. Il y a 4 nombres entiers qui sont des facteurs de 8. Le plus grand facteur de 8 est 8.

4. Comment trouver le GCF de 4 et 8 ?

Plus grand facteur commun de 4 et 8 = 4

Étape 1 : Trouver la factorisation première de 4

Étape 2 : Trouver la factorisation première de 8

Étape 3 : Multipliez les facteurs que les deux nombres ont en commun aux étapes i) ou ii) ci-dessus pour trouver le gcf :


4: Plus grand diviseur commun, plus petit commun multiple et algorithme euclidien

Cette question requiert le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés. Format d'entrée : L'entrée donne deux entiers positifs M et N (&le1000) sur une ligne. Production .

PTA : 7-4 plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple

Cette question requiert le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés. Format d'entrée : L'entrée donne deux entiers positifs M et N (&le1000) sur une ligne. Production .

7-26 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun

Cette question requiert le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés. Format d'entrée : saisissez deux nombres entiers positifs M et N (&le1000) sur une seule ligne. Format de sortie : Ou.

Exercice 4-7 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun

Cette question requiert le plus grand diviseur commun et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés. Format d'entrée : saisissez deux nombres entiers positifs M et N (&le1000) sur une seule ligne. Format de sortie : Ou.

7-26 Plus grand diviseur commun et plus petit multiple commun (15 points)

Utilisez respectivement la méthode exhaustive, la méthode la plus soustractive et la méthode lancer et diviser pour trouver le plus grand facteur commun de deux nombres entiers. Cette question requiert le plus grand di commun.


Constatation LCM de 30,60,75,120 par division commune

Disposez les entrées 30, 60, 75, 120 sur une ligne horizontale séparées par des virgules et divisez-les par un nombre premier. Notez les quotients dans la rangée suivante et divisez à nouveau avec des quotients avec des nombres premiers. Continuez le processus jusqu'à ce que vous ayez tous les co premiers dans le dernier.

2 30, 60, 75, 120
2 15, 30, 75, 60
3 15, 15, 75, 30
5 5, 5, 25, 10
1, 1, 5, 2

Comme tous les nombres laissés dans la dernière rangée sont des nombres premiers co, vous n'avez pas besoin de poursuivre le processus de division commune.

Pour obtenir le plus petit commun multiple, multipliez les nombres premiers avec lesquels vous avez divisé les nombres donnés et les co premiers dans la dernière ligne soit 2 x 2 x 3 x 5 x 1 x 1 x 5 x 2 = 600

Par conséquent, LCM de 30,60,75,120 est 600

Ainsi GCF des Fractions = GCF des Numérateurs/LCM des Dénominateurs = 4/600

Par conséquent, le GCF des Fractions 16/30,24/60,32/75,36/120 est 4/600

Trouver LCM de 30,60,75,120 en utilisant la formule GCF

Calculons le LCM des deux premiers nombres

La formule de LCM est LCM(a,b) = ( a x b) / GCF(a,b)

Ici, nous considérons le LCM de ce qui précède, c'est-à-dire 60 comme premier nombre et le suivant comme 75

La formule de LCM est LCM(a,b) = ( a x b) / GCF(a,b)

Ici, nous considérons le LCM de ce qui précède, c'est-à-dire 300 comme premier nombre et le suivant comme 120

La formule de LCM est LCM(a,b) = ( a x b) / GCF(a,b)

LCM (300, 120) = ( 300 x 120 ) / 60

Exemples de calcul de GCF de fractions

Voici quelques exemples de calculs de GCF de fractions.

Foire aux questions sur le GCF des fractions 16/30, 24/60, 32/75, 36/120

1. Quel est le GCF des Fractions 16/30, 24/60, 32/75, 36/120 ?

Le GCF des fractions 16/30, 24/60, 32/75, 36/120 est 4/600.

2. Qu'est-ce que le GCF des numérateurs 16,24,32,36 ?

Le plus grand facteur commun des numérateurs 16,24,32,36 est 4.

3. Quel est le résultat pour le LCM des dénominateurs 30,60,75,120 ?


4: Plus grand diviseur commun, plus petit commun multiple et algorithme euclidien

1. Le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux nombres entiers (1) Le plus grand commun diviseur referenceBaidu ① Diviser en va-et-vientdiviser m par n, puis remplacer m par n, et remplacer n wi.

Question 4-7 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple (15 points) Cette question requiert le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés.

7-4 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple (20 points) Cette question requiert le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés.

7-4 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple (20 points) Cette question requiert le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés. Format d'entrée : Entrez deux p.

Exercice 4-7 Plus grand commun diviseur et plus petit commun multiple (15 points) Ce problème requiert le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de deux entiers positifs donnés.

Format d'entrée : saisissez deux nombres entiers positifs M et N (&le1000) sur une seule ligne. Format de sortie : affiche le plus grand commun diviseur et le plus petit commun multiple de M et N dans l'ordre sur une ligne, séparés par 1 sp.


Voir la vidéo: Déterminer le PGCD de deux nombres Recherche diviseurs - Terminale - Maths expertes (Décembre 2021).