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1.4 : Radicaux et expressions rationnelles - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

  • Évaluer les racines carrées.
  • Utilisez la règle du produit pour simplifier les racines carrées.
  • Utilisez la règle du quotient pour simplifier les racines carrées.
  • Additionner et soustraire des racines carrées.
  • Rationaliser les dénominateurs.
  • Utilisez des racines rationnelles.

Une quincaillerie vend des échelles de (16) pieds et des échelles de (24) pieds. Une fenêtre est située à (12) pieds au-dessus du sol. Une échelle doit être achetée qui atteindra la fenêtre à partir d'un point au sol à (5) pieds du bâtiment. Pour connaître la longueur d'échelle nécessaire, nous pouvons tracer un triangle rectangle comme illustré à la figure (PageIndex{1}), et utiliser le théorème de Pythagore.

[ egin{align*} a^2+b^2&=c^2 label{1.4.1} [4pt] 5^2+12^2&=c^2 label{1.4.2} [4pt] 169 &=c^2 label{1.4.3} end{align*}]

Maintenant, nous devons trouver la longueur qui, une fois au carré, est (169), pour déterminer quelle échelle choisir. En d'autres termes, nous devons trouver une racine carrée. Dans cette section, nous étudierons les méthodes permettant de trouver des solutions à des problèmes tels que celui-ci.

Évaluation des racines carrées

Lorsque la racine carrée d'un nombre est au carré, le résultat est le nombre d'origine. Puisque (4^2=16), la racine carrée de (16) est (4). La fonction racine carrée est l'inverse de la fonction quadratique tout comme la soustraction est l'inverse de l'addition. Pour annuler la mise au carré, nous prenons la racine carrée.

En termes généraux, si (a) est un nombre réel positif, alors la racine carrée de (a) est un nombre qui, multiplié par lui-même, donne (a). La racine carrée peut être positive ou négatif car la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif. La racine carrée principale est le nombre non négatif qui, multiplié par lui-même, est égal à (a). La racine carrée obtenue à l'aide d'une calculatrice est la racine carrée principale.

La racine carrée principale de (a) s'écrit (sqrt{a}). Le symbole s'appelle un radical, le terme sous le symbole s'appelle le radicande, et l'expression entière s'appelle un expression radicale.

Exemple (PageIndex{1})

Est-ce que (sqrt{25} = pm 5) ?

Solution

Non. Bien que (5^2) et ((−5)^2) soient tous les deux (25), le symbole radical n'implique qu'un non négatif racine, la racine carrée principale. La racine carrée principale de (25) est (sqrt{25}=5).

Noter

La racine carrée principale de (a) est le nombre non négatif qui, multiplié par lui-même, est égal à (a). Il est écrit comme une expression radicale, avec un symbole appelé un radical sur le terme appelé le radicande: (sqrt{a}).

Exemple (PageIndex{2}) : évaluation des racines carrées

Évaluez chaque expression.

  1. (sqrt{100})
  2. (sqrt{sqrt{16}})
  3. (sqrt{25+144})
  4. (sqrt{49})-(sqrt{81})

Solution

  1. (sqrt{100} =10) car (10^2=100)
  2. (sqrt{sqrt{16}}= sqrt{4} =2) car (4^2=16) et (2^2=4)
  3. (sqrt{25+144} = sqrt{169} =13) car (13^2=169)
  4. (sqrt{49} -sqrt{81} =7−9 =−2) car (7^2=49) et (9^2=81)

Exemple (PageIndex{3}) :

Pour (sqrt{25+144}), pouvons-nous trouver les racines carrées avant d'ajouter ?

Solution

Non. (sqrt{25} + sqrt{144} =5+12=17). Ce n'est pas équivalent à (sqrt{25+144}=13). L'ordre des opérations nous oblige à ajouter les termes dans le radicande avant de trouver la racine carrée.

Exercice (PageIndex{1})

Évaluez chaque expression.

une. (sqrt{25})b. (sqrt{sqrt{81}})c. (sqrt{25-9})ré. (sqrt{36} + sqrt{121})
Répondre à un
(5)
Réponse b
(3)
Réponse c
(4)
Réponse d
(17)

Utilisation de la règle du produit pour simplifier les racines carrées

Pour simplifier une racine carrée, nous la réécrivons de telle sorte qu'il n'y ait pas de carrés parfaits dans le radicande. Il existe plusieurs propriétés des racines carrées qui nous permettent de simplifier des expressions radicales compliquées. La première règle que nous examinerons est la règle du produit pour simplifier les racines carrées, qui nous permet de séparer la racine carrée d'un produit de deux nombres en le produit de deux expressions rationnelles distinctes. Par exemple, nous pouvons réécrire (sqrt{15}) en (sqrt{3} imessqrt{5}). Nous pouvons également utiliser la règle du produit pour exprimer le produit de plusieurs expressions radicales en une seule expression radicale.

La règle du produit pour simplifier les racines carrées

Si (a) et (b) sont non négatifs, la racine carrée du produit (ab) est égale au produit des racines carrées de (a) et (b)

[sqrt{ab}=sqrt{a} imessqrt{b}]

HOWTO : Étant donné une expression radicale de racine carrée, utilisez la règle du produit pour la simplifier.

  1. Factorisez tous les carrés parfaits du radicande.
  2. Écrivez l'expression radicale comme un produit d'expressions radicales.
  3. Simplifier.

Exemple (PageIndex{4}) : Utilisation de la règle de produit pour simplifier les racines carrées

Simplifier l'expression radicale.

  1. (sqrt{300})
  2. (sqrt{162a^5b^4})

Solution

une. ( sqrt{100 imes3} ) Factoriser le carré parfait à partir du radicande.

( sqrt{100} imessqrt{3} ) Écrire une expression radicale comme produit d'expressions radicales.

( 10sqrt{3}) Simplifier

b. (sqrt{81a^4b^4 imes2a}) Factoriser le carré parfait à partir de radicande

(sqrt{81a^4b^4} imessqrt{2a}) Écrire une expression radicale comme produit d'expressions radicales

(9a^2b^2sqrt{2a}) Simplifier

Exercice (PageIndex{2})

Simplifier (sqrt{50x^2y^3z})

Répondre

(5|x||y|sqrt{2yz})

Remarquez les signes de valeur absolue autour de (x) et (y) ? C'est parce que leur valeur doit être positive !

Howto: Étant donné le produit de plusieurs expressions radicales, utilisez la règle du produit pour les combiner en une seule expression radicale

  1. Exprimez le produit de plusieurs expressions radicales en une seule expression radicale.
  2. Simplifier.

Exemple (PageIndex{5}) : Utilisation de la règle de produit pour simplifier le produit de plusieurs racines carrées

Simplifier l'expression radicale.

(sqrt{12} imessqrt{3})

Solution

(egin{align*} &sqrt{12 imes3} & & ext{Exprimez le produit comme une seule expression radicale}[5pt] &sqrt{36} & & ext{Simplify} [5pt] &6 end{align*})

Exercice (PageIndex{3})

Simplifiez (sqrt{50x} imessqrt{2x}) en supposant (x>0).

Répondre

(10|x|)

Utilisation de la règle du quotient pour simplifier les racines carrées

Tout comme nous pouvons réécrire la racine carrée d'un produit en tant que produit de racines carrées, nous pouvons également réécrire la racine carrée d'un quotient en tant que quotient de racines carrées, en utilisant la règle du quotient pour simplifier les racines carrées. Il peut être utile de séparer le numérateur et le dénominateur d'une fraction sous un radical afin que nous puissions prendre leurs racines carrées séparément. On peut réécrire

[sqrt{dfrac{5}{2}} = dfrac{sqrt{5}}{sqrt{2}}. pas de numéro ]

LA RÈGLE DU QUOTIENT POUR SIMPLIFIER LES RACINES CARRÉES

La racine carrée du quotient (dfrac{a}{b}) est égale au quotient des racines carrées de (a) et (b), où (b≠0).

[sqrt{dfrac{a}{b}}=dfrac{sqrt{a}}{sqrt{b}}]

Howto: Étant donné une expression radicale, utilisez la règle du quotient pour la simplifier

  1. Écris l'expression radicale comme le quotient de deux expressions radicales.
  2. Simplifier le numérateur et le dénominateur.

Exemple (PageIndex{6}) : Utilisation de la règle du quotient pour simplifier les racines carrées

Simplifier l'expression radicale.

(sqrt{dfrac{5}{36}})

Solution

(egin{align*} &dfrac{sqrt{5}}{sqrt{36}} & & ext{Écrire comme quotient de deux expressions radicales}[5pt] &dfrac{sqrt{ 5}}{6} & & ext {Simplifier le dénominateur} end{align*})

Exercice (PageIndex{4})

Simplifier (sqrt{dfrac{2x^2}{9y^4}})

Répondre

(dfrac{xsqrt{2}}{3y^2})

Nous n'avons pas besoin des signes de valeur absolue pour (y^2) car ce terme sera toujours non négatif.

Exemple (PageIndex{7}): Utilisation de la règle du quotient pour simplifier une expression avec deux racines carrées

Simplifier l'expression radicale.

(dfrac{sqrt{234x^{11}y}}{sqrt{26x^7y}})

Solution

(egin{align*} &sqrt{dfrac{234x^{11}y}{26x^7y}} ​​& & ext{Combiner le numérateur et le dénominateur en une seule expression radicale}[5pt] &sqrt {9x^4} & & ext{Simplifier la fraction}[5pt] &3x^2 & & ext{Simplifier la racine carrée} end{align*})

Exercice (PageIndex{5})

Simplifier (dfrac{sqrt{9a^5b^{14}}}{sqrt{3a^4b^5}})

Répondre

(b^4sqrt{3ab})

Ajouter et soustraire des racines carrées

Nous ne pouvons ajouter ou soustraire des expressions radicales que lorsqu'elles ont le même radicande et lorsqu'elles ont le même type de radical, comme des racines carrées. Par exemple, la somme de (sqrt{2}) et (3sqrt{2}) est (4sqrt{2}). Cependant, il est souvent possible de simplifier les expressions radicales, et cela peut changer le radicande. L'expression radicale (sqrt{18}) peut être écrite avec un (2) dans le radicande, comme (3sqrt{2}), donc (sqrt{2}+sqrt{ 18}=sqrt{2}+3sqrt{2}=4sqrt{2})

Howto: Étant donné une expression radicale nécessitant l'addition ou la soustraction de racines carrées, résolvez

  1. Simplifiez chaque expression radicale.
  2. Ajoutez ou soustrayez des expressions avec des radicandes égaux.

Exemple​ (PageIndex{8}): Ajout de racines carrées

Ajoutez (5sqrt{12}+2sqrt{3}).

Solution

Nous pouvons réécrire (5sqrt{12}) en (5sqrt{4 imes3}). Selon la règle du produit, cela devient (5sqrt{4}sqrt{3}). La racine carrée de (sqrt{4}) est (2), donc l'expression devient (5 imes2sqrt{3}), qui est (10sqrt{3}). Maintenant, nous pouvons les termes avoir le même radicande afin que nous puissions ajouter.

[10sqrt{3}+2sqrt{3}=12sqrt{3} onumber]

Exercice (PageIndex{6})

Ajouter (sqrt{5}+6sqrt{20})

Répondre

(13sqrt{5})

Exemple (PageIndex{9}): Soustraction de racines carrées

Soustraire (20sqrt{72a^3b^4c}-14sqrt{8a^3b^4c})

Solution

Réécrivez chaque terme pour qu'ils aient des radicandes égaux.

[egin{align*} 20sqrt{72a^3b^4c} &= 20sqrt{9}sqrt{4}sqrt{2}sqrt{a}sqrt{a^2}sqrt {(b^2)^2}sqrt{c} &= 20(3)(2)|a|b^2sqrt{2ac} &= 120|a|b^2sqrt{ 2ac} end{align*}]

[egin{align*} 14sqrt{8a^3b^4c} &= 14sqrt{2}sqrt{4}sqrt{a}sqrt{a^2}sqrt{(b^2 )^2}sqrt{c} &= 14(2)|a|b^2sqrt{2ac} &= 28|a|b^2sqrt{2ac} end{align*} ]

Maintenant, les termes ont le même radicande, nous pouvons donc soustraire.

[120|a|b^2sqrt{2ac}-28|a|b^2sqrt{2ac}=92|a|b^2sqrt{2ac}]

Exercice (PageIndex{7})

Soustraire (3sqrt{80x}-4sqrt{45x})

Répondre

(0)

Rationaliser les dénominateurs

Lorsqu'une expression impliquant des radicaux de racine carrée est écrite sous sa forme la plus simple, elle ne contiendra pas de radical au dénominateur. Nous pouvons éliminer les radicaux des dénominateurs des fractions en utilisant un processus appelé rationalisation du dénominateur.

Nous savons que multiplier par (1) ne change pas la valeur d'une expression. Nous utilisons cette propriété de multiplication pour changer les expressions qui contiennent des radicaux au dénominateur. Pour supprimer des radicaux des dénominateurs de fractions, multipliez par la forme (1) qui éliminera le radical.

Pour un dénominateur contenant un seul terme, multiplier par le radical du dénominateur sur lui-même. En d'autres termes, si le dénominateur est (bsqrt{c}), multipliez par (dfrac{sqrt{c}}{sqrt{c}}).

Pour un dénominateur contenant la somme ou la différence d'un terme rationnel et d'un terme irrationnel, multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur, qui se trouve en changeant le signe de la partie radicale du dénominateur. Si le dénominateur est (a+bsqrt{c}), alors le conjugué est (a-bsqrt{c}).

HowTo: Étant donné une expression avec un seul terme radical racine carrée dans le dénominateur, rationalisez le dénominateur

  1. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le radical au dénominateur.
  2. Simplifier.

Exemple (PageIndex{10}) : Rationaliser un dénominateur contenant un seul terme

Écrivez (dfrac{2sqrt{3}}{3sqrt{10}}) sous la forme la plus simple.

Solution

Le radical au dénominateur est (sqrt{10}). Multipliez donc la fraction par (dfrac{sqrt{10}}{sqrt{10}}). Ensuite, simplifiez.

[egin{align*} &dfrac{2sqrt{3}}{3sqrt{10}} imesdfrac{sqrt{10}}{sqrt{10}}[5pt] &dfrac{2sqrt{30}}{30}[5pt] &dfrac{sqrt{30}}{15} end{align*}]

Exercice (PageIndex{8})

Écrivez (dfrac{12sqrt{3}}{sqrt{2}}) sous la forme la plus simple.

Répondre

(6sqrt{6})

Comment : Étant donné une expression avec un terme radical et une constante au dénominateur, rationaliser le dénominateur

  1. Trouvez le conjugué du dénominateur.
  2. Multipliez le numérateur et le dénominateur par le conjugué.
  3. Utilisez la propriété distributive.
  4. Simplifier.

Exemple (PageIndex{11}) : Rationaliser un dénominateur contenant deux termes

Écrivez (dfrac{4}{1+sqrt{5}}) sous la forme la plus simple.

Solution

Commencez par trouver le conjugué du dénominateur en écrivant le dénominateur et en changeant le signe. Donc le conjugué de (1+sqrt{5}) est (1-sqrt{5}). Multipliez ensuite la fraction par (dfrac{1-sqrt{5}}{1-sqrt{5}}).

[egin{align*} &dfrac{4}{1+sqrt{5}} imesdfrac{1-sqrt{5}}{1-sqrt{5}}[5pt] &dfrac{4-4sqrt{5}}{-4} & & ext{Utiliser la propriété distributive}[5pt] &sqrt{5}-1 & & ext{Simplifier} end{ aligner*}]

Exercice (PageIndex{9})

Écrivez (dfrac{7}{2+sqrt{3}}) sous la forme la plus simple.

Répondre

(14-7sqrt{3})

Utiliser des racines rationnelles

Bien que les racines carrées soient les racines rationnelles les plus courantes, nous pouvons également trouver des racines cubiques, des racines (4^{th}), des racines (5^{th}) et plus encore. Tout comme la fonction racine carrée est l'inverse de la fonction quadratique, ces racines sont l'inverse de leurs fonctions puissance respectives. Ces fonctions peuvent être utiles lorsque nous devons déterminer le nombre qui, élevé à une certaine puissance, donne un certain nombre.

Compréhension (n^{th}) Les racines

Supposons que nous sachions que (a^3=8). Nous voulons trouver quel nombre élevé à la puissance (3^{rd}) est égal à (8). Puisque (2^3=8), on dit que (2) est la racine cubique de (8).

La racine (n^{th}) de (a) est un nombre qui, élevé à la puissance (n^{th}), donne a. Par exemple, (−3) est la (5^{th}) racine de (−243) car ({(-3)}^5=-243). Si (a) est un nombre réel avec au moins une racine (n^{th}), alors la racine principale (n^{th}) de (a) est le nombre avec le même signe comme (a) qui, lorsqu'il est élevé à la puissance (n^{th}), est égal à (a).

La racine principale (n^{th}) de (a) est écrite sous la forme (sqrt[n]{a}), où (n) est un entier positif supérieur ou égal à (2). Dans l'expression radicale, (n) est appelé l'indice du radical.

Principal (n^{th}) Racine

Si (a) est un nombre réel avec au moins une racine (n^{th}), alors le principal (n^{th}) racine de (a), écrit comme (sqrt[n]{a}), est le nombre de même signe que (a) qui, lorsqu'il est élevé au (n^{th}) puissance, égale (a). le indice du radical est (n).

Exemple (PageIndex{12}): Simplifier les racines (n^{th})

Simplifiez chacun des éléments suivants :

  1. (sqrt[5]{-32})
  2. (sqrt[4]{4} imessqrt[4]{10234})
  3. (-sqrt[3]{dfrac{8x^6}{125}})
  4. (8sqrt[4]{3}-sqrt[4]{48})

Solution

une. (sqrt[5]{-32}=-2) car ((-2)^5=-32)

b. Tout d'abord, exprimez le produit comme une seule expression radicale. (sqrt[4]{4096}=8) car (8^4=4096)

c. (egin{align*} &dfrac{-sqrt[3]{8x^6}}{sqrt[3]{125}} & & ext{Écrire comme quotient de deux expressions radicales}[ 5pt] &dfrac{-2x^2}{5} & & ext{Simplify} end{align*})

ré. (egin{align*} &8sqrt[4]{3}-2sqrt[4]{3} & & ext{Simplifier pour obtenir des radicandes égaux}[5pt] &6sqrt[4]{ 3} & & ext{Ajouter} end{align*})

Exercice (PageIndex{10})

Simplifier

  1. (sqrt[3]{-216})
  2. (dfrac{3sqrt[4]{80}}{sqrt[4]{5}})
  3. (6sqrt[3]{9000}+7sqrt[3]{576})
Répondre à un

(-6)

Réponse b

(6)

Réponse c

(88sqrt[3]{9})

Utiliser des exposants rationnels

Les expressions radicales peuvent également être écrites sans utiliser le symbole radical. Nous pouvons utiliser des exposants rationnels (fractionnels). L'index doit être un entier positif. Si l'indice (n) est pair, alors a ne peut pas être négatif.

[a^{ frac{1}{n}}=sqrt[n]{a}]

On peut aussi avoir des exposants rationnels avec des numérateurs autres que (1). Dans ces cas, l'exposant doit être une fraction dans les termes les plus bas. Nous élevons la base à une puissance et prenons une racine nième. Le numérateur nous indique la puissance et le dénominateur nous indique la racine.

[a^{ frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m=sqrt[n]{a^m}]

Toutes les propriétés des exposants que nous avons apprises pour les exposants entiers sont également valables pour les exposants rationnels.

Exposants rationnels

Les exposants rationnels sont une autre façon d'exprimer les racines principales (n^{th}). La forme générale de conversion entre une expression radicale avec un symbole radical et une avec un exposant rationnel est

[a^{ frac{m}{n}}=(sqrt[n]{a})^m=sqrt[n]{a^m}]

Howto: Étant donné une expression avec un exposant rationnel, écrivez l'expression sous la forme d'un radical

  1. Déterminer la puissance en regardant le numérateur de l'exposant.
  2. Déterminer la racine en regardant le dénominateur de l'exposant.
  3. En utilisant la base comme radicande, élevez le radicande à la puissance et utilisez la racine comme index.

Exemple (PageIndex{13}) : écriture d'exposants rationnels sous forme de radicaux

Écrivez (343^{ frac{2}{3}}) comme un radical. Simplifier.

Solution

Le (2) nous indique la puissance et le (3) nous indique la racine.

(343^{ frac{2}{3}}={(sqrt[3]{343})}^2=sqrt[3]{{343}^2})

Nous savons que (sqrt[3]{343}=7) car (7^3 =343). Étant donné que la racine cubique est facile à trouver, il est plus facile de trouver la racine cubique avant de résoudre ce problème au carré. En général, il est plus facile de trouver d'abord la racine, puis de l'élever à une puissance.

[343^{ frac{2}{3}}={(sqrt[3]{343})}^2=7^2=49]

Exercice (PageIndex{11})

Écrivez (9^{ frac{5}{2}}) comme un radical. Simplifier.

Répondre

({(sqrt{9})}^5=3^5=243)

Exemple (PageIndex{14}) : écriture de radicaux en tant qu'exposants rationnels

Écrivez (dfrac{4}{sqrt[7]{a^2}}) en utilisant un exposant rationnel.

Solution

La puissance est (2) et la racine est (7), donc l'exposant rationnel sera (dfrac{2}{7}). On obtient (dfrac{4}{a^{ frac{2}{7}}}). En utilisant les propriétés des exposants, on obtient (dfrac{4}{sqrt[7]{a^2}}=4a^{ frac{-2}{7}})

Exercice (PageIndex{12})

Écrivez (xsqrt{{(5y)}^9}) en utilisant un exposant rationnel.

Répondre

(x(5y)^{dfrac{9}{2}})

Exemple (PageIndex{15}): Simplification des exposants rationnels

Simplifier:

une. (5(2x^{ frac{3}{4}})(3x^{ frac{1}{5}}))

b. (gauche(dfrac{16}{9}droite)^{- frac{1}{2}})

Solution

une.

(egin{align*} &30x^{ frac{3}{4}} : x^{ frac{1}{5}} & & ext{Multiplier les coefficients}[5pt] &30x^ { frac{3}{4}+ frac{1}{5}} & & ext{Utiliser les propriétés des exposants}[5pt] &30x^{ frac{19}{20}} & & ext {Simplifier} end{align*})

b.

(egin{align*} &{left(dfrac{9}{16} ight)}^{ frac{1}{2}} & & ext{Utiliser la définition des exposants négatifs}[ 5pt] &sqrt{dfrac{9}{16}} & & ext{Réécrire comme un radical}[5pt] &dfrac{sqrt{9}}{sqrt{16}} & & text{Utilisez la règle du quotient}[5pt] &dfrac{3}{4} & & ext{Simplify} end{align*})



Exercice (PageIndex{13})

Simplifier ({(8x)}^{ frac{1}{3}}left(14x^{ frac{6}{5}} ight))

Répondre

(28x^{ frac{23}{15}})

Accédez à ces ressources en ligne pour des instructions et des exercices supplémentaires avec les radicaux et les exposants rationnels.

  • Radicaux
  • Exposants rationnels
  • Simplifier les radicaux
  • Rationaliser le dénominateur

Concepts clés

  • La racine carrée principale d'un nombre (a) est le nombre non négatif qui, multiplié par lui-même, est égal à (a).
  • Si (a) et (b) sont non négatifs, la racine carrée du produit (ab) est égale au produit des racines carrées de (a) et (b).
  • Si (a) et (b) sont non négatifs, la racine carrée du quotient (dfrac{a}{b}) est égale au quotient des racines carrées de (a) et (b).
  • Nous pouvons ajouter et soustraire des expressions radicales si elles ont le même radicande et le même indice.
  • Les expressions radicales écrites sous leur forme la plus simple ne contiennent pas de radical au dénominateur. Pour éliminer le radical racine carrée du dénominateur, multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur.
  • La racine principale (n^{th}) de (a) est le nombre de même signe que (a) qui lorsqu'il est élevé à la puissance (n^{th}) est égal à (a ). Ces racines ont les mêmes propriétés que les racines carrées.
  • Les radicaux peuvent être réécrits comme des exposants rationnels et les exposants rationnels peuvent être réécrits comme des radicaux.
  • Les propriétés des exposants s'appliquent aux exposants rationnels.

Page 4 - Guide d'étude des mathématiques pour l'ACT ®

Les opérations en algèbre consistent à résoudre des égalités et des inégalités, à travailler avec des exposants et des racines, à factoriser et à simplifier, à résoudre des polynômes, des équations linéaires et quadratiques et à traiter des fonctions, des problèmes de mots et de nombreux autres concepts.

Factorisation pour résoudre des équations quadratiques

le forme standard pour les équations quadratiques est :

(ax^2 + bx + c = 0) où (a eq 0)

Une façon de résoudre ou de trouver les racines (ou zéros) d'une équation quadratique est de affacturage.

Dans l'équation et en se référant à la forme standard, (a = 1), (b = -9), et (c = 20).

Quelle paire de nombres vous donnera (a cdot c) lorsqu'elle est multipliée ensemble, et vous donnera (b) lorsqu'elle est additionnée ? (a cdot c = 20) et (b = -9). Par des conjectures intelligentes et beaucoup de pratique, vous obtiendrez les chiffres -4 et -5, qui multiplié donne 20 et une fois ajouté donner -9.

Ces nombres vous donnent les facteurs : ((x - 4)) et ((x - 5)). En les égalant à zéro, vous trouvez le les racines ou alors zéros de l'équation soit (x = 4) et (x = 5).


Expressions rationnelles

(1).Def:Une expression rationnelle est le quotient de deux polynômes.
Exemple:

(2)Domaine : l'ensemble de tous les nombres réels pour lesquels l'expression est définie.
Pour une expression rationnelle, le domaine est l'ensemble des nombres qui font le dénominateur
non nul.

donc le domaine de cette expression est

(3) Simplifier, multiplier et diviser des expressions rationnelles

(3)Ajout et soustraction d'expressions rationnelles


* Stratégie : (1) simplifier. (2) trouver le plus petit dénominateur commun (LCD)

6 : Notation radicale et exposants rationnels :

(1)n-ième :

Exemple:

(2)(i) si n est pair :

(ii) si n est impair :

(i) Déf : , où m et n sont des nombres entiers


1.4 : Radicaux et expressions rationnelles - Mathématiques

Exposants Une expression exponentielle est b n .

b est appelé la base et n est appelé l'exposant.

b n signifie multiplier b par lui-même n fois.

Racines et radicaux Une expression radicale est .

est le signe radical ,
a est le radicande , et
m est l'indice.

signifie la racine carrée de a.

La racine carrée principale (ou positive) du nombre « a » s'écrit et est égale au nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne « a ».

Ordre des opérations Il s'agit d'étapes générales.

Parfois, les étapes doivent être appliquées à chaque terme, comme dans l'exemple du tableau ci-dessous, puis appliquées à l'ensemble de l'expression.

Exemple utilisé dans le tableau : évaluer


Pas Exemple
Supprimez les symboles de regroupement : (), <>, [].
Travaillez de l'intérieur.
Évaluez tous les termes contenant des exposants et des racines.
Évaluez toutes les multiplications et/ou divisions dans l'ordre où elles se produisent, de gauche à droite. Déjà fait cette étape dans les termes précédents.
Évaluez tous les ajouts et/ou soustractions dans l'ordre où ils se produisent, en travaillant de gauche à droite.
-11

Notez comment les étapes ont été suivies à l'intérieur des symboles de regroupement, puis suivies sur l'ensemble de l'expression.

Évaluation d'expressions pour une valeur de variable spécifique Cela revient à « la brancher ».


Transcription de la présentation

Chapitre 7 Exposants rationnels, radicaux et nombres complexes

Racines carrées Le contraire de la quadrature d'un nombre est de prendre la racine carrée d'un nombre. Un nombre b est une racine carrée d'un nombre a si b2 = a. Afin de trouver une racine carrée de a, vous avez besoin d'un # qui, une fois mis au carré, est égal à a.

Racines carrées principales est la racine carrée négative de a. Racines carrées principales et négatives Si a est un nombre non négatif, alors est la racine carrée principale ou non négative d'un

Radicandes L'expression radicale est une expression contenant un signe radical. Radicande est l'expression sous un signe radical. Notez que si le radicande d'une racine carrée est un nombre négatif, le radical n'est PAS un nombre réel.

Carrés parfaits Les racines carrées des radicandes carrés parfaits se simplifient en nombres rationnels (nombres pouvant être écrits sous la forme d'un quotient d'entiers). Les racines carrées des nombres qui ne sont pas des carrés parfaits (comme 7, 10, etc.) sont des nombres irrationnels. SI DEMANDÉ, vous pouvez trouver une approximation décimale pour ces nombres irrationnels. Sinon, laissez-les sous forme radicale.

Racines carrées parfaites Les radicaux peuvent également contenir des variables et des puissances de variables. Pour éviter les radicandes négatifs, supposons pour ce chapitre que si une variable apparaît dans le radicande, elle ne représente que des nombres positifs. Exemple:

Racines cubiques Racine cubique La racine cubique d'un nombre réel a s'écrit

nième racines D'autres racines peuvent également être trouvées. La racine nième de a est définie comme Si l'indice, n, est pair, la racine n'est PAS un nombre réel lorsque a est négatif. Si l'index est impair, la racine sera un nombre réel.

nième racines Exemple : Simplifiez ce qui suit.

nième racines Exemple : Simplifiez ce qui suit. Supposons que toutes les variables représentent des nombres positifs.

Si l'indice de la racine est pair, alors la notation représente un nombre positif. nième racines Mais nous ne pouvons pas savoir si la variable a est une valeur positive ou négative. Étant donné que la racine carrée positive doit en effet être positive, nous pourrions devoir utiliser des signes de valeur absolue pour garantir que la réponse est positive.

Trouver les racines nième Si n est un entier positif pair, alors Si n est un entier positif impair, alors

Trouver les racines nième Simplifiez ce qui suit. Si nous savons avec certitude que les variables représentent des nombres positifs, nous pouvons écrire notre résultat sans le signe de la valeur absolue.

Trouver nième racines Exemple : Simplifiez ce qui suit. Puisque l'indice est impair, nous n'avons pas à forcer la racine négative à être un nombre négatif. Si a ou b est négatif (et change ainsi le signe de la réponse), ce n'est pas grave.

Évaluation des fonctions rationnelles Trouver la valeur Nous pouvons également utiliser la notation fonctionnelle pour représenter des fonctions rationnelles. Par exemple, l'évaluation d'une fonction rationnelle pour une valeur particulière implique le remplacement de la valeur de la ou des variables impliquées. Exemple:

Fonctions racine Puisque chaque valeur de x qui est substituée dans l'équation produit une valeur unique de y, la relation racine représente en fait une fonction. Le domaine de la fonction racine lorsque l'indice est pair, est constitué de tous les nombres non négatifs. Le domaine de la fonction racine lorsque l'indice est impair, est l'ensemble de tous les nombres réels.

Fonctions racine Nous avons déjà travaillé avec des formes de fonctions graphiques de base afin que vous vous familiarisiez avec leur forme générale. Vous devez également avoir une connaissance de base des fonctions root.

Graphique y 6 4 2 xy (6, ) (4, 2) (2, ) 2 x (1, 1) 1 1 (0, 0) 0 0 Graphiques des fonctions racines Exemple :

Graphique y xy 8 2 4 (8, 2) (4, ) x (1, 1) 1 -1 -1 1 (-1, -1) (0, 0) 0 0 (-4, ) (-8, - 2) -4 -8 -2 Graphiques des fonctions racines Exemple :

§ 7.2 Exposants rationnels

Exposants avec nombres rationnels Jusqu'à présent, nous n'avons travaillé qu'avec des exposants entiers. Dans cette section, nous étendons les exposants aux nombres rationnels en tant que notation abrégée lors de l'utilisation de radicaux. Les mêmes règles pour travailler avec des exposants s'appliqueront toujours.

Comprendre a1/n Si n est un entier positif supérieur à 1 et est un nombre réel, alors Rappelons qu'une racine cubique est définie de telle sorte que Cependant, si nous laissons b = a1/3, alors Puisque les deux valeurs de b nous donnent le même a,

Utiliser la notation radicale Exemple : Utilisez la notation radicale pour écrire ce qui suit. Simplifiez si possible.

Comprendre am/n tant qu'il s'agit d'un nombre réel Si m et n sont des entiers positifs supérieurs à 1 avec m/n en termes les plus bas, alors

Utiliser la notation radicale Exemple : Utilisez la notation radicale pour écrire ce qui suit. Simplifiez si possible.

Comprendre am/n tant que a-m/n est un nombre réel différent de zéro.

Utiliser la notation radicale Exemple : Utilisez la notation radicale pour écrire ce qui suit. Simplifiez si possible.

Utilisation de règles pour les exposants Exemple : utilisez les propriétés des exposants pour simplifier ce qui suit. Écrivez les résultats avec seulement des exposants positifs.

Utiliser des exposants rationnels Exemple : Utilisez des exposants rationnels pour écrire sous la forme d'un seul radical.

§ 7.3 Simplifier les expressions radicales

Si et sont des nombres réels, alors Règle de produit pour les radicaux Règle de produit pour les radicaux

Simplifier les radicaux Exemple : Simplifiez les expressions radicales suivantes. Pas de facteur carré parfait, donc le radical est déjà simplifié.

Simplifier les radicaux Exemple : Simplifiez les expressions radicales suivantes.

Si et sont des nombres réels, Règle du quotient des radicaux Règle du quotient pour les radicaux

Simplifier les radicaux Exemple : Simplifiez les expressions radicales suivantes.

La formule des distances Formule de distance La distance d entre deux points (x1,y1) et (x2,y2) est donnée par

La formule des distances Exemple : Trouvez la distance entre (5, 8) et (2, 2).

La formule du point médian Formule du point médian Le point médian du segment de ligne dont les extrémités sont (x1,y1) et (x2,y2) est le point avec les coordonnées

La formule du point médian Exemple : Trouvez le milieu du segment de droite qui relie les points P(5, 8) et P(2, 2).

§ 7.4 Ajouter, soustraire et multiplier des expressions radicales

Sommes et différences Les règles de la section précédente nous ont permis de diviser les radicaux qui avaient un radicande qui était un produit ou un quotient. Nous ne pouvons PAS diviser les sommes ou les différences.

Comme des radicaux Dans les chapitres précédents, nous avons discuté du concept de termes « similaires ». Ce sont des termes avec les mêmes variables élevés aux mêmes puissances. Ils peuvent être combinés par addition et soustraction. De même, nous pouvons travailler avec le concept de radicaux « semblables » pour combiner des radicaux avec le même radicande. Les radicaux semblables sont des radicaux de même indice et de même radicande. Des radicaux similaires peuvent également être combinés avec une addition ou une soustraction en utilisant la propriété distributive.

Ajouter et soustraire des expressions radicales Exemple : Impossible de simplifier Ne peut pas simplifier

Ajouter et soustraire des expressions radicales Exemple : Simplifiez l'expression radicale suivante.

Ajouter et soustraire des expressions radicales Exemple : Simplifiez l'expression radicale suivante.

Ajouter et soustraire des expressions radicales Exemple : Simplifiez l'expression radicale suivante. Supposons que les variables représentent des nombres réels positifs.


1.4 : Radicaux et expressions rationnelles - Mathématiques

Conditions d'utilisation Personne de contact : Donna Roberts

Comme nous l'avons vu, une expression radicale peut être écrite sous une forme équivalente en utilisant un exposant fractionnaire (rationnel) au lieu d'un symbole radical. Il est souvent plus facile d'écrire et de manipuler une expression avec un exposant fractionnaire qu'une expression écrite sous forme radicale. Examinons de plus près les radicaux et les exposants.


L'exposant de signifie la racine seconde, ou la racine carrée : .
L'exposant de signifie la troisième racine, ou la racine cubique : .
Et ainsi de suite .

Convertir de la forme exponentielle à la forme radicale :

Rappelez-vous que le dénominateur de l'exposant fractionnaire deviendra la racine du radical et le numérateur deviendra la puissance.

Créez d'abord le pouvoir, puis la racine.

Créez d'abord la racine, puis la puissance.

Dans tous les cas, vous aurez une réponse correcte.

Convertir de la forme radicale à la forme exponentielle :

Rappelez-vous que l'indice (racine) du radical deviendra le dénominateur de l'exposant fractionnaire, et la puissance deviendra le numérateur.
Créez d'abord le dénominateur, puis le numérateur.
OU ALORS
Créez d'abord le numérateur, puis le dénominateur.
Dans tous les cas, vous aurez une réponse correcte.

Remarquez dans le dernier exemple, qu'élever une racine carrée à une puissance de 2 supprime le radical.
La quadrature et la racine carrée sont des opérations inverses. L'un défait l'autre.

Ce problème traitera d'une racine cubique et d'un carré. La racine cubique de -64 est -4.

Tout d'abord, appliquez la règle de l'exposant d'élever une puissance à une puissance. Ensuite, traitez les racines et les pouvoirs. À un moment donné, remplacez une avec 8.


Exemples d'expressions rationnelles

Par exemple, trouvez le domaine de

Ce que la question demande, ce sont les valeurs de x pour lesquelles la fonction rationnelle
est dit exister ou avoir un sens mathématique. En d'autres termes, trouvez les valeurs de
x dont le dénominateur n'est pas égal à zéro. La première étape consiste donc à assimiler
le dénominateur à zéro c'est-à-dire

d'où vous pouvez voir que

et alors on dit que le domaine est : toutes les valeurs de x sauf x = 3

Remarquez sur le graphe de la fonction, nous avons une asymptote à x =
3
ce qui signifie que cette valeur n'est pas dans le domaine. Si ce n'est pas dans
le domaine, alors une valeur de plage (valeur y) ne peut pas exister.

Exemple : Trouvez le domaine de l'expression ci-dessous

Comme précédemment, commencez par égaliser le dénominateur à zéro, puis trouvez le facteur le
équation résultante pour trouver ses racines

ce qui signifie que les racines du dénominateur sont

Ce sont les valeurs pour lesquelles le dénominateur est égal à zéro, on dit donc que
le domaine de l'expression est donné par :

Exemple : Trouver le domaine de

Égaliser le dénominateur et le facteur

donc toute l'expression rationnelle devient

Bien que nous ayons des expressions à la fois au dénominateur et au dénominateur, l'expression
dans le numérateur n'affecte pas le domaine de l'expression rationnelle entière, donc
on ne considère que le dénominateur

Et donc le domaine de l'expression rationnelle est :

toutes les valeurs de x sauf pour x =


Une expression radicale est toute expression ou équation qui contient une racine carrée. Le symbole de la racine carrée indique que le nombre à l'intérieur est un radical. Le nombre à l'intérieur de cette racine carrée s'appelle le radicande. Les nombres variables peuvent également être des expressions radicales. Par example:

Le secteur financier utilise des exposants rationnels pour calculer les intérêts, la dépréciation et l'inflation dans des domaines tels que l'achat d'une maison.

For example, to calculate the inflation of a home that increases in value from p1 to p2 over a period of n years, the annual rate of inflation (expressed as a decimal) is i = (p2/p1)^(1/n) -1.

To calculate compound interest, the formula is F = P (1+i)^n , where F is the future value and P is the present value, i is the interest rate and n is the number of years. If you wanted to calculate the compound interest on $1,000 for 18 months at 5 percent, the formula would be F = 1000 (1+.05)^(3/2).


1.4: Radicals and Rational Expressions - Mathematics

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How to Solve Radical Equations - Till now, you have learned many mathematical concepts involving square and cube roots. It means that you probably won’t be new to the use of radicals in mathematics. In simplest terms, a radical is known as the nth root of any number for example, x. Here n is assumed to be a positive integer. Any mathematical equation that contains or has a radical expression in it is called a radical equation. To solve a radical equation, you need to have a thorough understanding of applying exponential rules and understanding of basic algebraic principles. Solve a radical equation with the following steps: Separate the radical expression from the equation with the variable. If the equation has more than one radical expression, isolate only one of them. Raise the equation equal to the index of the radical. If the equation still has a radical expression, repeat the above steps otherwise, solve the resulting equation. Raising both sides of an equation may result in a solution that does not make the original equation true. Such solutions are referred to as extraneous solutions.

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Voir la vidéo: Lausekkeen sieventäminen ja siihen sijoittaminen (Décembre 2021).