Des articles

5.1 : Prélude aux fonctions polynomiales et rationnelles


La photographie numérique a radicalement changé la nature de la photographie. Au lieu de cela, presque tous les aspects de l'enregistrement et de la manipulation d'images sont désormais régis par les mathématiques. Une image devient une série de nombres, représentant les caractéristiques de la lumière frappant un capteur d'image. Lorsque nous ouvrons un fichier image, un logiciel sur un appareil photo ou un ordinateur interprète les nombres et les convertit en une image visuelle. Un logiciel de retouche photo utilise des polynômes complexes pour transformer les images, ce qui nous permet de manipuler l'image afin de recadrer les détails, de modifier la palette de couleurs et d'ajouter des effets spéciaux. Les fonctions inverses permettent de convertir d'un format de fichier à un autre. Dans ce chapitre, nous allons en apprendre davantage sur ces concepts et découvrir comment les mathématiques peuvent être utilisées dans de telles applications.



Figure (PageIndex{1}) : Le film 35 mm, autrefois la norme pour la capture d'images photographiques, a été rendu largement obsolète par la photographie numérique. (crédit « film » : modification d'œuvre par Horia Varlan ; crédit « cartes mémoire » : modification d'œuvre par Paul Hudson)


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Davenport–Zannier Polynômes et Dessins d'Enfants

L'expression française &ldquodessins d'enfants&rdquo signifie dessins d'enfants. Ce terme a été inventé par le grand mathématicien français Alexandre Grothendieck afin de désigner une méthode de représentation picturale de certaines classes très intéressantes de polynômes et de fonctions rationnelles. Les polynômes étudiés dans ce livre tirent leur origine de la théorie des nombres. Les auteurs montrent comment, en dessinant des images simples, on peut prouver des conjectures de longue date et en formuler de nouvelles. La théorie présentée ici touche à de nombreux domaines différents des mathématiques.

La majeure partie du livre est assez élémentaire et est facilement accessible à un étudiant de premier cycle. Les parties les moins élémentaires, telles que la théorie galoisienne ou les représentations de groupe et leurs caractères, auraient besoin d'une connaissance plus approfondie des mathématiques. Le lecteur peut soit prendre les faits de base de ces théories pour acquis, soit utiliser notre livre comme motivation et une première approche de ces sujets.

Lectorat

Étudiants diplômés et chercheurs intéressés à se renseigner sur la combinatoire des polynômes dans le cadre de la nouvelle théorie des dessins d'enfants.


Précalcul : une enquête sur les fonctions (y compris Trig) 2e éd

La première partie du livre est une enquête sur les fonctions, explorant le comportement graphique, l'interprétation et les solutions de problèmes impliquant des fonctions linéaires, polynomiales, rationnelles, exponentielles et logarithmiques. L'accent est mis sur la modélisation et l'interprétation, ainsi que sur les caractéristiques importantes nécessaires au calcul.

La deuxième partie du livre présente la trigonométrie. Le trig est introduit par une approche intégrée cercle/triangle. Les identités sont introduites dans le premier chapitre et revisitées tout au long. De même, la résolution est introduite dans le deuxième chapitre et revisitée plus en détail dans le troisième chapitre. Comme pour la première partie du livre, l'accent est mis sur la motivation des concepts et sur la modélisation et l'interprétation.

Ce livre tente de trouver un équilibre entre une approche moderne du précalcul se concentrant sur les applications, la résolution de problèmes et les concepts et une approche traditionnelle, mettant l'accent sur les compétences de base nécessaires au calcul.

La deuxième édition ajoute des sections sur les racines réelles et complexes des polynômes, le produit scalaire et un nouveau chapitre sur les coniques.

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  • Chapitre 1 : Fonctions
    • 1.1 : Fonctions et notation des fonctions
    • 1.2 Domaine et étendue
    • 1.3 Taux de changement et comportement des graphiques
    • 1.4 Composition des fonctions
    • 1.5 Transformation des fonctions
    • 1.6 Fonctions inverses
    • 2.1 Fonctions linéaires
    • 2.2 Graphiques de fonctions linéaires
    • 2.3 Modélisation avec des fonctions linéaires
    • 2.4 Ajustement de modèles linéaires aux données
    • 2.5 Fonctions de valeur absolue
    • 3.1 Fonctions de puissance et fonctions polynomiales
    • 3.2 Fonctions quadratiques
    • 3.3 Graphiques de fonctions polynomiales
    • 3.4 Théorème du facteur et du reste
    • 3.5 Les vrais zéros des polynômes
    • 3.6 Zéros complexes
    • 3.7 Fonctions rationnelles
    • 3.8 Fonctions inverses et radicales
    • 4.1 Fonctions exponentielles
    • 4.2 Graphiques de fonctions exponentielles
    • 4.3 Fonctions logarithmiques
    • 4.4 Propriétés logarithmiques
    • 4.5 Graphiques de fonctions logarithmiques
    • 4.6 Modèles exponentiels et logarithmiques
    • 4.7 Ajustement des exponentielles aux données
    • 5.1 Cercles
    • 5.2 Angles
    • 5.3 Points sur les cercles utilisant le sinus et le cosinus
    • 5.4 Les autres fonctions trigonométriques
    • 5.5 Trigonométrie du triangle rectangle
    • 6.1 Graphiques sinusoïdaux
    • 6.2 Graphiques des autres fonctions de déclenchement
    • 6.3 Fonctions de déclenchement inverse
    • 6.4 Résolution d'équations trigonométriques
    • 6.5 Modélisation avec des équations trigonométriques
    • 7.1 Résolution d'équations trigonométriques avec des identités
    • 7.2 Identités d'addition et de soustraction
    • 7.3 Identités à double angle
    • 7.4 Modélisation des changements d'amplitude et de ligne médiane
    • 8.1 Triangles non rectangles : loi des sinus et cosinus
    • 8.2 Coordonnées polaires
    • 8.3 Forme polaire des nombres complexes
    • 8.4 Vecteurs
    • 8.5 Produit scalaire
    • 8.6 Équations paramétriques
    • 9.1 Ellipses
    • 9.2 Hyperboles
    • 9.3 Paraboles et systèmes non linéaires
    • 9.4 Coniques en coordonnées polaires

    • Devoir en ligne MyOpenMath / Lumen OHM. MyOpenMath est un système de devoirs en ligne gratuit, construit sur la plate-forme d'évaluation open source IMathAS. Il fournit des devoirs aléatoires générés de manière algorithmique avec une notation automatisée des réponses numériques et algébriques, similaire à WebAssign et MyMathLab. Il fournit également un système de gestion de cours avec carnet de notes, publication de fichiers, forums de discussion, etc. Des ensembles d'évaluation ont été créés pour ce manuel, qui peuvent être disponibles pour l'auto-apprentissage par les étudiants, ou peuvent être copiés en tant que shell de cours de démarrage par les professeurs.


    5.1 : Prélude aux fonctions polynomiales et rationnelles

    UNE point maximum local sur une fonction est un point $(x,y)$ sur le graphique de la fonction dont la coordonnée $y$ est plus grande que toutes les autres coordonnées $y$ sur le graphique aux points "proche de" $(x,y)$ Plus précisément, $(x,f(x))$ est un maximum local s'il existe un intervalle $(a,b)$ avec $a Figure 5.1.1. Quelques points maximums locaux ($A$) et points minimum ($G$).

    Si $(x,f(x))$ est un point où $f(x)$ atteint un maximum ou minimum local, et si la dérivée de $f$ existe à $x$, alors le graphe a une droite tangente et la ligne tangente doit être horizontale. Ceci est assez important pour être énoncé sous forme de théorème, bien que nous ne le démontrions pas.

    Théorème 5.1.1 (théorème de Fermat) Si $f(x)$ a un extremum local en $x=a$ et $f$ est dérivable en $a$, alors $f'(a)=0$.

    Ainsi, les seuls points auxquels une fonction peut avoir un maximum ou un minimum local sont les points où la dérivée est nulle, comme dans le graphe de gauche de la figure 5.1.1, ou la dérivée est indéfinie, comme dans le graphe de droite. Toute valeur de $x$ pour laquelle $f'(x)$ est nul ou indéfini est appelée un valeur critique pour $f$. En cherchant les points maximum et minimum locaux, vous risquez de commettre deux sortes d'erreurs : Vous pouvez oublier qu'un maximum ou un minimum peut se produire là où la dérivée n'existe pas, et ainsi oublier de vérifier si la dérivée existe partout. Vous pouvez également supposer que tout endroit où la dérivée est nulle est un point local maximum ou minimum, mais ce n'est pas vrai. Une partie du graphique de $ds f(x)=x^3$ est montrée dans la figure 5.1.2. La dérivée de $f$ est $f'(x)=3x^2$, et $f'(0)=0$, mais il n'y a ni maximum ni minimum à $(0,0)$.

    Étant donné que la dérivée est nulle ou indéfinie aux points locaux maximum et minimum locaux, nous avons besoin d'un moyen de déterminer lequel, le cas échéant, se produit réellement. L'approche la plus élémentaire, mais qui est souvent fastidieuse ou difficile, consiste à tester directement si les coordonnées $y$ "proches" du potentiel maximum ou minimum sont au-dessus ou en dessous de la coordonnée $y$ au point d'intérêt. , il y a trop de points "à proximité" du point à tester, mais un peu de réflexion montre que nous n'avons besoin d'en tester que deux à condition de savoir que $f$ est continu (rappelez-vous que cela signifie que le graphique de $f$ n'a pas de sauts ou lacunes).

    Supposons par exemple que nous ayons identifié trois points auxquels $f'$ est nul ou inexistant : $ds (x_1,y_1)$, $ds (x_2,y_2)$, $ds (x_3,y_3) $, et $ds x_1 f(x_2)$ ? Non : s'il y en avait, le graphique monterait de $(a,f(a))$ à $(b,f(b))$ puis descendrait à $ds (x_2,f(x_2))$ et quelque part entre les deux aurait un point maximum local. (Ce n'est pas évident, c'est le résultat du théorème des valeurs extrêmes, théorème 6.1.2.) Mais à ce point local maximum, la dérivée de $f$ serait nulle ou inexistante, pourtant nous savons déjà que la dérivée est nulle ou inexistante uniquement à $ds x_1$, $ds x_2$ et $ds x_3$. Le résultat est qu'un calcul nous dit que $ds (x_2,f(x_2))$ a la plus grande coordonnée $y$ de n'importe quel point sur le graphique près de $ds x_2$ et à gauche de $ds x_2$ . On peut faire le même test à droite. Si nous trouvons que des deux côtés de $ds x_2$ les valeurs sont plus petites, alors il doit y avoir un maximum local à $ds (x_2,f(x_2))$ si nous trouvons que des deux côtés de $ds x_2 $ les valeurs sont plus grandes, alors il doit y avoir un minimum local à $ds (x_2,f(x_2))$ si nous en trouvons un de chaque, alors il n'y a ni maximum ni minimum local à $ds x_2$.

    Il n'est pas toujours facile de calculer la valeur d'une fonction en un point particulier. La tâche est facilitée par la disponibilité des calculatrices et des ordinateurs, mais ils ont leurs propres inconvénients&mdashils ne permettent pas toujours de distinguer des valeurs très proches les unes des autres. Néanmoins, parce que cette méthode est conceptuellement simple et parfois facile à mettre en œuvre, vous devriez toujours la considérer.

    Exemple 5.1.2 Trouver tous les points locaux maximum et minimum pour la fonction $ds f(x)=x^3-x$. La dérivée est $ds f'(x)=3x^2-1$. Ceci est défini partout et vaut zéro à $ds x=pm sqrt<3>/3$. En regardant d'abord $ds x=sqrt<3>/3$, nous voyons que $ds f(sqrt<3>/3)=-2sqrt<3>/9$. Nous testons maintenant deux points de chaque côté de $ds x=sqrt<3>/3$, en nous assurant qu'aucun n'est plus éloigné que la valeur critique la plus proche puisque $ds sqrt <3>-2sqrt<3 >/9$ et $ds f(1)=0>-2sqrt<3>/9$, il doit y avoir un minimum local à $ds x=sqrt<3>/3$. Pour $ds x=-sqrt<3>/3$, nous voyons que $ds f(-sqrt<3>/3)=2sqrt<3>/9$. Cette fois, nous pouvons utiliser $x=0$ et $x=-1$, et nous trouvons que $ds f(-1)=f(0)=0 Exemple 5.1.3 Trouver tous les points maximum et minimum locaux pour $ f(x)=sin x+cos x$. La dérivée est $f'(x)=cos x-sin x$. Ceci est toujours défini et vaut zéro chaque fois que $cos x=sin x$. En rappelant que les $cos x$ et $sin x$ sont les coordonnées $x$ et $y$ des points sur un cercle unité, on voit que $cos x=sin x$ quand $x$ est $ pi/4$, $pi/4pmpi$, $pi/4pm2pi$, $pi/4pm3pi$, etc. Puisque le sinus et le cosinus ont une période de $2 pi$, il suffit de déterminer le statut de $x=pi/4$ et $x=5pi/4$. Nous pouvons utiliser $ et $pi/2$ pour tester la valeur critique $x= pi/4$. On trouve que $ds f(pi/4)=sqrt<2>$, $ds f(0)=1 -sqrt2$, $ds f(2pi)=1>-sqrt2 $, donc il y a un minimum local à $x=5pi/4$, $5pi/4pm2pi$, $5pi/4pm4pi$, etc. Plus succinctement, il y a des minima locaux à $5pi/4pm 2kpi$ pour chaque entier $k$.


    La transformation en z

    5.3.1 Expansion de fraction partielle et table de consultation

    Pour simple z-transformer les fonctions, on peut trouver directement l'inverse z-transformer à l'aide du tableau 5.1 . L'idée clé du développement en fractions partielles est que si X(z ) est une fonction rationnelle propre de z, nous pouvons l'étendre à une somme des facteurs du premier ordre ou des facteurs d'ordre supérieur en utilisant le développement de la fraction partielle qui pourrait être inversé en inspectant le z-table de transformation. L'inverse z-transform utilisant la table z-transform est d'abord illustré par l'exemple suivant.

    Exemple 5.9

    Trouver l'inverse z-transformer pour chacune des fonctions suivantes : (a)

    X z = 2 + 4 z z − 1 − z z − 0,5

    X z = 5 z z − 1 2 − 2 z z − 0,5 2

    X z = z − 4 z − 1 + z − 6 + z − 3 z + 0,5

    Solution:

    x n = 2 Z − 1 1 + 4 Z − 1 z z − 1 − Z − 1 z z − 0,5 .

    x n = Z − 1 5 z z − 1 2 − Z − 1 2 z z − 0,5 2 = 5 Z − 1 z z − 1 2 − 2 0,5 Z − 1 0,5 z z − 0,5 2 .

    Puisque X z = 10 z z 2 − z + 1 = 10 sin a sin a z z 2 − 2 z cos a + 1 ,

    Par correspondance de coefficients, on a

    Par conséquent, cos(une) = 0,5, et une = 60°. Substitution une = 60° dans la fonction sinus conduit à

    Puisque x n = Z − 1 z − 5 z z − 1 + Z − 1 z − 6 × 1 + Z − 1 z − 4 z z + 0,5 ,

    En utilisant le tableau 5.1 et la propriété shift, nous obtenons

    Maintenant, nous sommes prêts à traiter l'inverse z-transformer en utilisant le développement de fractions partielles et la table de recherche. La procédure générale est la suivante :

    Élimine les pouvoirs négatifs de z pour le z-fonction de transformation X(z).

    Déterminer la fonction rationnelle X(z)/z (en supposant qu'il est propre), et appliquer le développement de fraction partielle à la fonction rationnelle déterminée X(z)/z en utilisant la formule du tableau 5.3 .

    Tableau 5.3. Fraction(s) partielle(s) et formules pour constante(s)

    Fraction partielle avec le pôle réel du premier ordre :
    R z − p , R = z − p X z z z = p
    Fraction partielle avec les pôles complexes du premier ordre :
    Az z − P + A z z − P ∗ , A = z − P X z z z = P
    P ∗ = complexe conjugué de P,
    UNE ∗ = complexe conjugué de UNE
    Fraction partielle avec mpôles réels d'ordre th :
    R m z − p + R m − 1 z − p 2 + ⋯ + R 1 z − p m , R k = 1 k − 1 ! d k − 1 dz k − 1 z − p m X z z z = p

    Multiplier la fonction étendue X(z)/z par z des deux côtés de l'équation pour obtenir X(z).

    Appliquer l'inverse z-transformer à l'aide du tableau 5.1 .

    Le format des fractions partielles et les formules de calcul des constantes sont répertoriés dans le tableau 5.3.

    L'exemple 5.10 considère la situation du z-Fonction de transformation ayant des pôles du premier ordre.

    Exemple 5.10

    Trouver l'inverse de ce qui suit z-transformer:

    Solution:

    Éliminer le pouvoir négatif de z en multipliant le numérateur et le dénominateur par z 2 rendements

    Diviser les deux côtés par z mène à

    Puis UNE et B sont des constantes trouvées à l'aide de la formule du tableau 5.3 , c'est-à-dire

    En multipliant les deux côtés par z donne

    En utilisant le tableau 5.1 du z-transformer des paires , il s'ensuit que

    La tabulation de cette solution en termes de valeurs entières de m, nous obtenons les résultats dans le tableau 5.4 .

    Tableau 5.4. Séquence déterminée dans l'exemple 5.10

    L'exemple suivant considère le cas où X(z) a des pôles complexes du premier ordre.

    Exemple 5.11

    Trouve oui(m) si Y z = z 2 z + 1 z − 1 z 2 − z + 0,5 .

    Solution:

    L'application du développement de fraction partielle conduit à

    Noter que UNE et UNE sont une paire conjuguée complexe. Nous déterminons UNE comme suit:

    En utilisant la forme polaire, on obtient

    Supposons qu'un pôle complexe du premier ordre a la forme

    Appliquer l'inverse z-transform de la ligne 15 dans le tableau 5.1 conduit à

    En utilisant la formule précédente, l'inversion et la simplification subséquente donnent

    La situation concernant les pôles réels répétés est présentée ci-dessous.

    Exemple 5.12

    Trouve X(m) si X z = z 2 z − 1 z − 0,5 2 .

    Solution:

    Diviser les deux côtés de la précédente z-transformer par z rendements

    où A = z − 1 X z z z = 1 = z z − 0,5 2 z = 1 = 4 .

    En utilisant les formules de mpôles réels d'ordre e dans le tableau 5.3 , où m = 2 et p = 0,5, pour déterminer B et C rendements

    L'inverse z-la transformation pour chaque terme du côté droit de l'équation ci-dessus peut être obtenue par le résultat indiqué dans le tableau 5.1, c'est-à-dire

    De ces résultats, il résulte que


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    Les asymptotes horizontales sont appelées lignes horizontales. Ici, l'horizontale fait référence au degré de l'axe des x, où le dénominateur sera plus élevé que le numérateur. Utilisez le calculateur de géométrie analytique en ligne ci-dessous qui est utilisé pour trouver le point d'asymptote horizontal en entrant vos expressions/fonctions rationnelles. En soumettant vos valeurs, vous pourrez voir le résultat avec le graphique.

    Formule:

    La droite y = L est appelée une asymptote horizontale de la courbe y = f(x) si soit

    Pour la fonction rationnelle, f(x)

    En équation des asymptotes horizontales,
    1. Si le degré de x au numérateur est inférieur au degré de x au dénominateur, alors y = 0 est l'asymptote horizontale. 2. Si le degré de x au numérateur est égal au degré de x au dénominateur, alors y = c où c est obtenu en divisant les coefficients dominants.

    Exemple:

    Considérons une équation polynomiale : 2x^2+4x+1 / x^2-16

    Étape 1 :

    Le polynôme de degré le plus élevé du numérateur est 2 et le polynôme de degré le plus élevé du dénominateur est 2. Le dénominateur et le numérateur ont les mêmes polynômes de degré le plus élevé, nous divisons les coefficients des polynômes de degré supérieur.
    = 2 / 1
    y = 2 est l'asymptote horizontale.


    Analyse perturbatrice du polynôme d'Alexander coloré et du soliton KP τ-les fonctions

    Dans cet article, nous étudions les structures théoriques de groupe des polynômes de HOMFLY colorés dans une limite spécifique. Les structures de groupe apparaissent dans le développement perturbatif des boucles de Chern-Simons Wilson S U ( N ) alors que la limite est N → 0 . Le résultat du papier est double. Tout d'abord, nous expliquons l'émergence de Kadomsev-Petviashvily (KP) τ-les fonctions. Ce résultat est une extension de ce que nous avons fait dans [1], où une correspondance symbolique entre les équations KP et les facteurs de groupe a été établie. Dans cet article, nous prouvons que l'intégrabilité du polynôme d'Alexander coloré est due à sa relation avec le soliton τ-les fonctions. Principalement, le polynôme d'Alexander coloré est intégré dans l'action de la fonction génératrice KP sur le soliton τ-une fonction. Deuxièmement, nous utilisons cette correspondance pour fournir une description combinatoire assez simple des facteurs de groupe en termes de diagrammes de Young, qui est autrement décrite en termes de diagrammes d'accords, où aucune description simple n'est connue. Il s'agit d'une première étape fournissant une description explicite des données de théorie des groupes des boucles de Wilson, ce qui les réduirait effectivement à une quantité purement topologique, principalement à une collection d'invariants de Vassiliev.


    Voir la vidéo: 3 - Limites: Fonctions rationnelles (Décembre 2021).