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2.7 : Valeurs de position avec des bases différentes


Tableau 2.7.1 : Valeurs de position avec différentes bases

Base 10

Base 2

Base 8

Base 12

(10^0)

ceux

(2^0)

ceux

(8^0)

ceux

(12^0)

ceux

(10^1)

dizaines

(2^1)

deux

(8^1)

huit

(12^1)

douze

(10^2)

des centaines

(2^2)

à quatre pattes

(8^2)

soixante-quatre

(12^2)

cent quarante-quatre

(10^3)

milliers

(2^3)

huit

(8^3)

cinq cent douze

(12^3)

mille sept cent vingt-huit

Remarquez que tous les mots sont au pluriel !

Noter: (8^{3}=512) et (12^{3}=1728)

Problèmes de pratique

Dans notre système Base 10, la valeur de position pour 10 000 est appelée les dizaines de milliers. Écrivez le nom équivalent pour la même valeur de position pour :

  1. Base 3
  2. Base 5
  3. Base 9
  4. Base 14

le logarithme (log) L'opération en mathématiques est l'inverse de l'exponentiation, ce qui signifie que le log d'un nombre est l'exposant auquel un autre nombre fixe appelé un "base" a été soulevée pour produire le nombre. Par exemple journal232 = 5, puisque 2 5 = 32. Ceci est un exemple de logarithme simple car il compte essentiellement le nombre de multiplications du même facteur - dans ce cas 2. La notation est JournalbX ou alors Journalb(X)b est la base et x est le nombre pour lequel le logarithme doit être trouvé.

Il existe plusieurs logarithmes nommés : le logarithme commun a une base de 10 (b = 10, log10), tandis que le un algorithme naturel a une base de numéro e (le nombre d'Euler,

2.718), tandis que le logarithme binaire a une base de 2. Le logarithme commun a de nombreuses utilisations dans l'ingénierie, la navigation, de nombreuses sciences comme la physique et la chimie. Le logarithme népérien est largement utilisé en mathématiques et en physique en raison de sa dérivée plus simple. Le logarithme binaire est, bien sûr, principalement utilisé en informatique, par ex. pour représenter les unités de données. Lorsque vous utilisez notre calculateur de logarithme, vous devez entrer une "Base" de 10 pour le logarithme commun, 2 pour le logarithme binaire, et laisser le champ "Base" vider pour obtenir le logarithme népérien calculé.

Le graphique ci-dessus présente les valeurs des fonctions logarithmiques communes, naturelles et binaires pour les valeurs de 0,1 à 20 (le logarithme de zéro n'est pas défini).


Comment fonctionnent les bits et les octets

La raison pour laquelle les ordinateurs utilisent le système de base 2 est qu'il facilite leur mise en œuvre avec la technologie électronique actuelle. Vous pourriez câbler et construire des ordinateurs qui fonctionnent en base 10, mais ils seraient extrêmement chers en ce moment. D'un autre côté, les ordinateurs de base 2 sont relativement bon marché.

Ainsi, les ordinateurs utilisent des nombres binaires, et utilisent donc chiffres binaires à la place des chiffres décimaux. Le mot bit est un raccourcissement des mots "Binary digIT." Alors que les chiffres décimaux ont 10 valeurs possibles allant de 0 à 9, les bits n'ont que deux valeurs possibles : 0 et 1. Par conséquent, un nombre binaire est composé uniquement de 0 et de 1, comme ceci : 1011. Comment devinez-vous quelle est la valeur du nombre binaire 1011 ? Vous le faites de la même manière que nous l'avons fait ci-dessus pour 6357, mais vous utilisez une base de 2 au lieu d'une base de 10. Donc :

(1 * 2^3) + (0 * 2^2) + (1 * 2^1) + (1 * 2^0) = 8 + 0 + 2 + 1 = 11

Vous pouvez voir que dans les nombres binaires, chaque bit contient la valeur des puissances croissantes de 2. Cela rend le comptage en binaire assez facile. À partir de zéro et jusqu'à 20, le comptage en décimal et en binaire ressemble à ceci :

Lorsque vous regardez cette séquence, 0 et 1 sont les mêmes pour les systèmes de nombres décimaux et binaires. Au numéro 2, vous voyez le portage d'abord avoir lieu dans le système binaire. Si un bit est 1, et que vous lui ajoutez 1, le bit devient 0 et le bit suivant devient 1. Dans la transition de 15 à 16, cet effet passe sur 4 bits, transformant 1111 en 10000.

Les bits sont rarement vus seuls dans les ordinateurs. Ils sont presque toujours regroupés dans des collections 8 bits, et ces collections sont appelées octets. Pourquoi y a-t-il 8 bits dans un octet ? Une question similaire est : « Pourquoi y a-t-il 12 œufs dans une douzaine ? » L'octet de 8 bits est quelque chose sur lequel les gens se sont installés par essais et erreurs au cours des 50 dernières années.

Avec 8 bits dans un octet, vous pouvez représenter 256 valeurs allant de 0 à 255, comme indiqué ici :

Dans l'article Comment fonctionnent les CD, vous apprenez qu'un CD utilise 2 octets, ou 16 bits, par échantillon. Cela donne à chaque échantillon une plage de 0 à 65 535, comme ceci :


Numéros à 7 chiffres dans le système indien et le système international

Les nombres à 7 chiffres peuvent être exprimés de deux manières. Le premier est conforme au système de numérotation indien et l'autre est conforme au système de numérotation international. Ce tableau va nous aider à comprendre comment un nombre s'exprime de deux manières différentes.

Système Système indien Système international
Nombre 52,90,329 5,290,329
Placer des virgules 2:2:3 3:3:3
Forme standard Cinquante-deux lakh, quatre-vingt-dix mille trois cent vingt-neuf Cinq millions deux cent quatre-vingt-dix mille trois cent vingt-neuf

Système indien vs système international

Apprenons comment les nombres sont comparés dans les deux systèmes de numération à l'aide de ce tableau ci-dessous.


Il existe plusieurs façons de tester le pH des substances.

La méthode la plus simple consiste à utiliser des bandelettes de test en papier pH. Vous pouvez les préparer vous-même en utilisant des filtres à café et du jus de chou, du papier de tournesol ou d'autres bandelettes réactives. La couleur des bandelettes de test correspond à une plage de pH. Étant donné que le changement de couleur dépend du type de colorant indicateur utilisé pour enduire le papier, le résultat doit être comparé à un tableau standard.

Une autre méthode consiste à prélever un petit échantillon d'une substance et à appliquer des gouttes d'indicateur de pH et à observer le changement du test. De nombreux produits chimiques domestiques sont des indicateurs de pH naturels.

Des kits de test de pH sont disponibles pour tester les liquides. Ils sont généralement conçus pour une application particulière, comme les aquariums ou les piscines. Les kits de test de pH sont assez précis, mais peuvent être affectés par d'autres produits chimiques dans un échantillon.

La méthode la plus précise pour mesurer le pH consiste à utiliser un pH-mètre. Les pH-mètres sont plus chers que les papiers de test ou les kits et nécessitent un étalonnage, ils sont donc généralement utilisés dans les écoles et les laboratoires.


Arrondir les nombres

Lorsqu'un enfant comprend la valeur de position, il est généralement capable d'arrondir les nombres à un endroit spécifique. La clé est de comprendre que les nombres arrondis sont essentiellement les mêmes que les chiffres arrondis. La règle générale est que si un chiffre est cinq ou plus, vous arrondissez. Si un chiffre est égal ou inférieur à quatre, vous arrondissez à l'inférieur.

Donc, pour arrondir le nombre 387 à la dizaine la plus proche, par exemple, vous regarderiez le nombre dans la colonne des unités, qui est 7. Puisque sept est supérieur à cinq, il arrondit à 10. Vous ne pouvez pas avoir un 10 à la place des uns, donc vous laisseriez le zéro à la place des uns et arrondiriez le nombre à la place des dizaines, 8, jusqu'au chiffre suivant, qui est 9. Le nombre arrondi à la dizaine la plus proche serait 390. Si les élèves ont du mal à arrondir de cette manière, examinez la valeur de position comme indiqué précédemment.


Ce que je veux réaliser : Condition : où column2 == 2 laisser à 2 si column1 < 30 elsif changer à 3 si column1 > 90

Cela peut être simplifié dans où (colonne2 == 2 et colonne1 > 90) définissez la colonne2 sur 3 . La partie column1 < 30 est redondante, car la valeur de column2 ne passera de 2 à 3 que si column1 > 90 .

Dans le code que vous fournissez, vous utilisez la fonction pandas replace, qui fonctionne sur le tout Série, comme indiqué dans la référence :

Les valeurs de la série sont remplacées dynamiquement par d'autres valeurs. Cela diffère de la mise à jour avec .loc ou .iloc, qui vous obligent à spécifier un emplacement à mettre à jour avec une certaine valeur.

Cela signifie que pour chaque itération de for x dans filter1, votre code effectue un remplacement global, ce qui n'est pas ce que vous souhaitez faire - vous souhaitez mettre à jour la ligne spécifique de column2 qui correspond à x de column1 (sur laquelle vous itérez).

le problème est que 2 ne change pas en 3 où colonne1 > 90

C'est vraiment étrange. Je m'attendrais à ce que le code que vous avez fourni ait changé chaque instance de 2 dans la colonne 2 à 3 dès qu'il a rencontré un x >= 30 , comme dicté par votre instruction conditionnelle de code (l'exécution de la branche else). Cet écart peut provenir du fait que vous affectez à la colonne2 le résultat du remplacement global effectué sur la colonne Sortie (dont le contenu est inconnu). Dans tous les cas, si vous voulez que votre programme fasse quelque chose sous une condition spécifique, telle que x > 90 , cela doit être explicitement indiqué dans le code. Vous devez également noter que l'instruction data['column2'] = data['column2'].replace([2], [2]) n'apporte rien, car 2 est remplacé par 2 et la même colonne est à la fois la source et la destination.

Ce que vous pouvez utiliser pour résoudre cette tâche particulière est un masque booléen (ou la méthode de requête). Les deux sont expliqués de manière excellente dans cette question.

L'utilisation d'un masque booléen serait l'approche la plus simple dans votre cas :

La première ligne crée une série de booléens (True/False) qui indiquent si la condition fournie est satisfaite. La deuxième ligne attribue la valeur 3 aux lignes de la colonne 2 où le masque est True.


C'est à propos de quoi?

Une base est le système avec lequel les nombres sont affichés. Si on parle de base-n, le système dispose de n caractères (dont 0) disponibles pour afficher un nombre. Les nombres sont représentés par des chiffres plus petits que n . Par conséquent, 3 en base-3 est 10 : parce que ce système n'a pas de "3", il recommence (1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100, etc.).

La base que nous utilisons habituellement est la base 10, car nous avons 10 (en incluant 0) chiffres jusqu'à ce que nous recommencions (8,9,10). En base-2 (binaire), on n'a que 2 caractères, c'est-à-dire 0 et 1, jusqu'à ce qu'on recommence. En suivant cet exemple, le nombre binaire 10 est 2 dans notre système (base-10).


2.7 : Valeurs de position avec des bases différentes

Le terme Base64 vient d'un certain encodage de transfert de contenu MIME. Fondamentalement, Base64 est une collection de conceptions de codage connexes qui représentent les informations binaires au format ASCII en les convertissant en une représentation base64.

Les schémas de codage Base64 sont généralement utilisés lorsqu'il est nécessaire de coder des informations binaires qui doivent être stockées et transférées sur des supports développés pour traiter des informations textuelles. Cela garantit que les données restent inchangées sans modification pendant le transfert. Base64 est généralement utilisé dans un certain nombre d'applications, notamment le courrier électronique via MIME et la conservation d'informations complexes en XML.

L'ensemble spécifique de caractères choisi pour les 64 caractères nécessaires à la base peut varier selon les implémentations. Le concept courant consiste à sélectionner un ensemble de 64 caractères faisant tous deux partie d'un sous-ensemble typique de la plupart des codages. Ce mélange laisse les données impossibles à modifier dans les systèmes de transport via des systèmes d'information, tels que le courrier électronique, qui n'étaient généralement pas propres à 8 bits. L'implémentation Base64 dans MIME utilise a-z, A-Z et 0-9 pour les 62 premières valeurs. D'autres variantes Base64 partagent la même propriété mais utilisent des symboles différents dans les deux dernières valeurs.


Géométrie

Feuille de travail sur les formes CCSS 2.G.1

Normes d'État de base communes : 2.G.1
Géométrie
Raisonner avec des formes et des attributs.

Reconnaître et dessiner des formes ayant des attributs spécifiés, comme un nombre donné d'angles ou un nombre donné de faces égales. Identifier des triangles, des quadrilatères, des pentagones, des hexagones et des cubes.

Feuille de travail sur les rectangles de partition CCSS 2.G.2

Normes d'État de base communes : 2.G.2
Géométrie
Raisonner avec des formes et des attributs.

Divisez un rectangle en rangées et colonnes de carrés de même taille et comptez pour trouver le nombre total d'entre eux.

Feuille de travail sur les formes de partition CCSS 2.G.3

Normes d'État de base communes : 2.G.3
Géométrie
Raisonner avec des formes et des attributs

Divisez les cercles et les rectangles en deux, trois ou quatre parts égales, décrivez les parts en utilisant les mots moitiés, tiers, moitié, tiers de, etc., et décrivez le tout comme deux moitiés, trois tiers, quatre quarts. Reconnaître que des parts égales de touts identiques n'ont pas besoin d'avoir la même forme