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5: Théorie des nombres


5: Théorie des nombres

Cinq est le troisième plus petit nombre premier. [1] Puisqu'il peut être écrit comme 2 2 1 + 1 , cinq est classé comme un nombre premier de Fermat [1] donc, un polygone régulier à 5 côtés (un pentagone régulier) est constructible avec une boussole et une règle non marquée. Cinq est le troisième nombre premier de Sophie Germain, [1] le premier nombre premier sûr, le troisième nombre catalan, [2] et le troisième exposant premier de Mersenne. [3] Cinq est le premier nombre premier de Wilson et le troisième nombre premier factoriel, également un factoriel alterné. [4] Cinq est le premier bon premier. [5] C'est un nombre premier d'Eisenstein sans partie imaginaire et partie réelle de la forme 3m − 1 . [1] C'est aussi le seul nombre qui fait partie de plus d'une paire de nombres premiers jumeaux. Cinq est également un nombre super premier et un nombre congruent. [6]

Cinq est supposé être le seul nombre impair intouchable [7] et si tel est le cas, cinq sera le seul nombre premier impair qui n'est pas la base d'un arbre aliquote.

Cinq est également le seul nombre premier qui est la somme de deux nombres premiers consécutifs, à savoir 2 et 3, ceux-ci étant en effet les seul ensemble possible de deux nombres premiers consécutifs.

Le nombre 5 est le cinquième nombre de Fibonacci, étant 2 plus 3. [1] C'est le seul nombre de Fibonacci qui est égal à sa position. Cinq est aussi un nombre de Pell et un nombre de Markov, apparaissant dans les solutions de l'équation diophantienne de Markov : (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (5, 13, 194 ), (5, 29, 433), . ( OEIS : A030452 répertorie les nombres de Markov qui apparaissent dans les solutions où l'un des deux autres termes est 5). Alors que 5 est unique dans la séquence de Fibonacci, dans la séquence de Perrin, 5 est à la fois le cinquième et le sixième nombre de Perrin. [8]

5 est la longueur de l'hypoténuse du plus petit triangle rectangle à côtés entiers.

En bases 10 et 20, 5 est un nombre 1-automorphe.

Cinq est le deuxième nombre de Sierpinski du premier type, et peut s'écrire S2 = (2 2 ) + 1. [9]

Alors que les équations polynomiales de degré 4 et moins peuvent être résolues avec des radicaux, les équations de degré 5 et plus ne peuvent généralement pas être ainsi résolues. C'est le théorème d'Abel-Ruffini. Ceci est lié au fait que le groupe symétrique Sm est un groupe soluble pour m ≤ 4 et non résoluble pour m ≥ 5 .

Alors que tous les graphes à 4 sommets ou moins sont plans, il existe un graphe à 5 sommets qui n'est pas plan : K5, le graphe complet à 5 sommets.

Un polygone à cinq côtés est un pentagone. Les nombres figurés représentant des pentagones (dont cinq) sont appelés nombres pentagonaux. Cinq est aussi un nombre pyramidal carré.

Cinq est le seul nombre premier à se terminer par le chiffre 5 car tous les autres nombres écrits avec un 5 à la place des unités sous le système décimal sont des multiples de cinq. En conséquence, 5 est en base 10 un nombre 1-automorphe.

Les fractions vulgaires avec 5 ou 2 au dénominateur ne donnent pas de développements décimaux infinis, contrairement aux développements avec tous les autres dénominateurs premiers, car ce sont des facteurs premiers de dix, la base. Lorsqu'ils sont écrits dans le système décimal, tous les multiples de 5 se terminent par 5 ou 0.

Liste des calculs de base Modifier

Multiplication 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
5 × X 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100
Division 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 ÷ X 5 2.5 1. 6 1.25 1 0.8 3 0. 714285 0.625 0. 5 0.5 0. 45 0.41 6 0. 384615 0.3 571428 0. 3
X ÷ 5 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3
Exponentiation 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
5 X 5 25 125 625 3125 15625 78125 390625 1953125 9765625 48828125 244140625 1220703125 6103515625 30517578125
X 5 1 32 243 1024 3125 7776 16807 32768 59049 100000 161051 248832 371293 537824 759375

Dans les puissances de 5, chaque puissance se termine par le nombre cinq et à partir de 5 3 , si l'exposant est impair, alors le chiffre des centaines est 1 à la place, s'il est pair, le chiffre des centaines est 6.

En notation décimale, n 5 se termine toujours par le même chiffre que n .

L'évolution du chiffre occidental moderne pour le chiffre 5 ne peut pas être retracée dans le système indien, comme pour les chiffres 1 à 4. Les empires Kushana et Gupta dans ce qui est maintenant l'Inde avaient entre eux plusieurs formes différentes qui ne ressemblent en rien aux chiffre moderne. Les Nagari et les Punjabi ont pris ces chiffres et tous ont trouvé des formes similaires à un "h" minuscule tourné de 180°. Les Arabes Ghubar ont transformé le chiffre de plusieurs manières différentes, produisant à partir de cela des chiffres plus similaires aux chiffres 4 ou 3 qu'au 5. [11] C'est à partir de ces chiffres que les Européens ont finalement proposé le 5 moderne.

Alors que la forme du caractère pour le chiffre 5 a un ascendant dans la plupart des polices de caractères modernes, dans les polices avec des chiffres de texte, le glyphe a généralement un descendant, comme, par exemple, dans .


Surcharge de méthode

Il existe un site (ProjectEuler.net) qui publie de nombreux défis mathématiques pour les programmeurs et les matheux comme moi.

Le problème n°5 est classé parmi les problèmes les plus simples du site :


2520 est le plus petit nombre qui peut être divisé par chacun des nombres de 1 à 10 sans aucun reste.

Quel est le plus petit nombre divisible par tous les nombres de 1 à 20 ?

C'est un problème facile dans n'importe quel langage de programmation.
commencer à 1 et continuer à incrémenter. À chaque étape, vérifiez le nombre modulo 2-20, s'ils sortent tous à 0, vous avez la réponse.
C'est le programme le plus rapide à écrire, mais il faudra plus de 4,6 milliards d'étapes avant de l'atteindre.

Il existe plusieurs optimisations que l'on pourrait faire pour accélérer les choses, comme le montre cet article de blog :
http://www.fsharp.it/2008/02/07/project-euler-in-f-problem-5/
montrant comment trouver la solution en 25 secondes environ en utilisant F#.

Après avoir regardé le code, j'ai été impressionné par F# et les capacités et techniques d'optimisation de l'auteur. Mais cela montre un problème flagrant dans les optimisations postérieures et un changement fondamental de l'informatique loin du domaine de la théorie des nombres et des mathématiques dont il est issu.

25 secondes, ce n'est pas trop mal pour quelque chose qui pourrait prendre 4,6 milliards de pas, mais en utilisant une théorie des nombres simple et une factorisation en nombres premiers, je peux vous donner la réponse en autant de temps. Voici la solution pour 1-10 car je ne veux pas donner la réponse finale.

Avant de commencer, voici quelque chose à penser, si un nombre est divisible par 8, alors il est divisible par 4 et 2 alors pourquoi faire la vérification redondante.

voici nos chiffres en omettant 1 :
2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10
et les factorisations premières :
2
3
2, 2
5
2, 3
7
2, 2, 2
3, 3
2, 5

retour l'être divisible par 8, c'est : 2, 2, 2
alors allons-y et éliminons n'importe quel nombre de 2 inférieur à 3 pour une factorisation donnée

et nous répétons cela avec des neuf : 3, 3

ce qui vous laisse avec 7, 2, 2, 2, 3, 3, 5
7*2*2*2*3*3*5 = 2520

Une méthode similaire serait de commencer par 2 et 3. trouver le lcm(2, 3) = 6.
puis trouvez le lcm (6, 4) = 12
lcm (12, 5) = 60
lcm(60, 6) = 60
lcm(60, 7) = 420
lcm (420, 8) = 840
lcm(840, 9) = 2520
lcm (2520, 10) = 2520


Tout en discutant de l'histoire de l'affacturage moderne, l'article de 1996 de Carl Pomerance intitulé "Le conte de deux tamis" décrit un algorithme de factorisation appelé méthode de Kraitchik et démontre l'algorithme en factorisant 2041.

L'exemple est sympa certainement plus joli et plus illustratif que ce que vous pourriez produire au hasard. Mais à quel point l'exemple de Pomerance 2041 est-il spécial?


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5: Théorie des nombres

Une boîte à outils de théorie des nombres pour JavaScript.

Détermine tous les diviseurs d'un nombre donné.

Compte les nombres entiers positifs inférieurs à un nombre donné qui sont co-premiers avec le nombre donné. Pour plus d'informations, voir l'entrée Wikipedia pour la fonction Totient d'Euler.

Détermine la factorisation première pour un entier donné. Pour plus d'informations, consultez l'entrée Factorisation d'entiers de Wikipedia.

Utilise l'algorithme de factorisation d'entiers Pollard-Rho pour trouver rapidement un petit diviseur du nombre donné. Remarque : le diviseur trouvé n'a pas besoin d'être premier (puisque Pollar-Rho est un algorithme général de factorisation d'entiers).

Trouve le plus grand commun diviseur de deux entiers a et b.

Étant donné un nombre à base mixte et les bases de chaque chiffre, cela détermine l'incrément du nombre. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia sur les systèmes de nombres Mixed Radix.

Étant donné un entier, cette fonction calcule l'inverse multiplicatif modulaire au modulo donné.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre abondant.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre déficient.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre heptagonal.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre hexagonal.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre octogonal.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre pentagonal.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre parfait.

Détermine si le nombre donné est premier. Remarque : il s'agit d'une méthode particulièrement lente qui utilise la factorisation en nombres premiers complets pour déterminer si le nombre est premier. Pour une méthode plus rapide, voir la fonction fraiseuse ci-dessous.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre carré.

Étant donné un entier, renvoie un booléen indiquant s'il s'agit d'un nombre triangulaire.

Calcule le symbole de Jacobi pour les nombres donnés.

Trouve le plus petit commun multiple de deux entiers a et b.

Résout un logarithme discret. Pour plus d'informations, voir ce qui suit :

Calculez la valeur de la fonction de Möbius pour n en utilisant la factorisation naïve. La fonction de Möbius est définie comme 1 si n est un entier sans carré avec un nombre pair de facteurs premiers, -1 si sans carré avec un nombre impair de facteurs premiers et 0 si n a un facteur premier au carré.

mobiusRange(n1, n2[, primalityTest = meunier])

Calculez la valeur de la fonction de Möbius pour les entiers de n1 à n2 - 1 (inclus) en utilisant une méthode de tamis. Par rapport à mobius , cette méthode factorise toujours efficacement chaque entier mais est un peu plus efficace que la factorisation et le calcul de chaque valeur individuellement. Les nombres inférieurs à min(n1, sqrt(n2)) ne peuvent pas être tamisés implicitement pendant le calcul, un test de primalité explicite doit donc être effectué. Par défaut, le test de primalité déterministe de Miller-Rabin est utilisé, mais tout test de primalité booléen peut éventuellement être fourni.

Utilise le test de primalité déterministe de Miller-Rabin pour déterminer si le nombre donné est premier. Fonctionne pour tous les entiers positifs inférieurs à 341 550 071 728 321.

Multiplie les deux nombres donnés mod le module donné. Voir l'entrée de Wikipedia sur l'arithmétique modulaire.

powerMod(base, exposant, mod)

Calcule la puissance d'un module de base le module donné. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia sur l'exponentiation modulaire.

Calcule une liste de tous les facteurs premiers pour l'entier donné. Remarque : bien que cette méthode calcule entièrement la factorisation en nombres premiers de l'entier, elle ne renvoie que les nombres premiers et non les puissances de la factorisation. Pour une factorisation en nombres premiers complète, veuillez utiliser factor .

Calcule la plus petite racine primitive de Z mod n, c'est-à-dire un générateur multiplicatif pour le groupe d'unités de Z mod n. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia sur les racines primitives modulo n.

Calcule un non-résidu quadratique pour le nombre donné. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia pour les résidus quadratiques.

Trouvez une racine primitive aléatoire pour Z mod n, c'est-à-dire un générateur multiplicatif pour le groupe d'unités de Z mod n. Contrairement à primitiveRoot, cette fonction renvoie une racine primitive aléatoire. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia sur les racines primitives modulo n.

Détermine une liste de nombres premiers jusqu'à la borne donnée en effectuant le crible d'Ératosthène.

Détermine toutes les racines carrées d'un nombre donné modulo le module donné. Pour plus d'informations, voir l'entrée de Wikipedia sur les résidus quadratiques.

Utilise l'algorithme Tonelli-Shanks pour déterminer une racine carrée unique dans Z mod p.

Les demandes de tirage sont les bienvenues ! Si vous voyez une fonction qui nous manque, si vous avez une autre implémentation d'algorithme ou si vous souhaitez même ajouter une fonction de cas particulier, nous serions ravis d'examiner votre code.

Essayez de vous en tenir aux directives suivantes, car elles vous aideront à fusionner et publier rapidement les relations publiques :


Apprendre en même temps que faire quelque chose : l'auto-éducation

exercices de mathématiques, prenez les chiffres sur papier de verre par exemple, cela initie les enfants au symbole 0

9 et leurs noms de numéros correspondants. En traçant les chiffres dans le style et le sens dans lesquels ils sont écrits, les enfants apprennent à écrire des nombres. Ensuite, les enfants ont la possibilité de mettre en relation leurs connaissances sur les quantités et les symboles avec les bâtonnets et les cartes numériques. Les périodes sensibles sont des moments où les enfants ont l'énorme besoin de développer certaines caractéristiques intérieures


Un exemple

Compte tenu de l'ensemble de données suivant, nous rapporterons le résumé à cinq chiffres :

1, 2, 2, 3, 4, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 11, 12, 15, 15, 15, 17, 17, 18, 20

Il y a un total de vingt points dans l'ensemble de données. La médiane est donc la moyenne des dixième et onzième valeurs de données ou :

La médiane de la moitié inférieure des données est le premier quartile. La moitié inférieure est :

Ainsi on calculeQ1= (4 + 6)/2 = 5.

La médiane de la moitié supérieure de l'ensemble de données d'origine est le troisième quartile. Il faut trouver la médiane de :

8, 11, 12, 15, 15, 15, 17, 17, 18, 20

Ainsi on calculeQ3= (15 + 15)/2 = 15.

Nous rassemblons tous les résultats ci-dessus et signalons que le résumé à cinq chiffres pour l'ensemble de données ci-dessus est 1, 5, 7,5, 12, 20.


Voir la vidéo: OIM15 Olympiade de MathématiqueThéorie des nombres. (Décembre 2021).