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12.2E : Exercices - Mathématiques


C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Exercice (PageIndex{19}) Rechercher et évaluer des fonctions composites

Dans les exercices suivants, trouvez

  1. ((f circ g)(x))
  2. ((g circ f)(x))
  3. ((f cdot g)(x))
  1. (f(x)=4 x+3) et (g(x)=2 x+5)
  2. (f(x)=3 x-1) et (g(x)=5 x-3)
  3. (f(x)=6 x-5) et (g(x)=4 x+1)
  4. (f(x)=2 x+7) et (g(x)=3 x-4)
  5. (f(x)=3 x) et (g(x)=2 x^{2}-3 x)
  6. (f(x)=2 x) et (g(x)=3 x^{2}-1)
  7. (f(x)=2 x-1) et (g(x)=x^{2}+2)
  8. (f(x)=4 x+3) et (g(x)=x^{2}-4)
Répondre

1.

  1. (8x+23)
  2. (8x+11)
  3. (8 x^{2}+26 x+15)

3.

  1. (24x+1)
  2. (24x-19)
  3. (24x^{2}+19x-5)

5.

  1. (6 x^{2}-9 x)
  2. (18 x^{2}-9 x)
  3. (6 x^{3}-9 x^{2})

7.

  1. (2x^{2}+3)
  2. (4 x^{2}-4 x+3)
  3. (2 x^{3}-x^{2}+4 x-2)

Exercice (PageIndex{20}) Rechercher et évaluer des fonctions composites

Dans les exercices suivants, trouvez les valeurs décrites.

  1. Pour les fonctions (f(x)=2 x^{2}+3) et (g(x)=5x-1), trouvez
    1. ((f circ g)(-2))
    2. ((g circ f)(-3))
    3. ((f circ f)(-1))
  2. Pour les fonctions (f(x)=5 x^{2}-1) et (g(x)=4x−1), trouvez
    1. ((f circ g)(1))
    2. ((g circ f)(-1))
    3. ((f circ f)(2))
  3. Pour les fonctions (f(x)=2x^{3}) et (g(x)=3x^{2}+2), trouvez
    1. ((f circ g)(-1))
    2. ((g circ f)(1))
    3. ((g circ g)(1))
  4. Pour les fonctions (f(x)=3 x^{3}+1) et (g(x)=2 x^{2}=3), trouvez
    1. ((f circ g)(-2))
    2. ((g circ f)(-1))
    3. ((g circ g)(1))
Répondre

1.

  1. (245)
  2. (104)
  3. (53)

3.

  1. (250)
  2. (14)
  3. (77)

Exercice (PageIndex{21}) Déterminer si une fonction est un-à-un

Dans les exercices suivants, déterminez si l'ensemble de paires ordonnées représente une fonction et, si c'est le cas, est la fonction un-à-un.

  1. (egin{array}{l}{{(-3,9),(-2,4),(-1,1),(0,0)}, {(1,1),(2 ,4),(3,9) }}end{tableau})
  2. (egin{array}{l}{{(9,-3),(4,-2),(1,-1),(0,0)}, {(1,1),(4 ,2),(9,3) }}end{tableau})
  3. (egin{array}{l}{{(-3,-5),(-2,-3),(-1,-1)}, {(0,1),(1,3) ,(2,5),(3,7) }}end{array})
  4. (egin{array}{l}{{(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)}, {(1,-1),(0,- 2),(-1,-3) }}end{tableau})
Répondre

1. Fonction ; pas en tête-à-tête

3. Fonction individuelle

Exercice (PageIndex{22}) Déterminer si une fonction est un-à-un

Dans les exercices suivants, déterminez si chaque graphique est le graphique d'une fonction et, dans l'affirmative, est-il un à un.

1.



  1. Graphique 10.1.65


  2. Graphique 10.1.66

2.



  1. Graphique 10.1.67


  2. Graphique 10.1.68

3.



  1. Graphique 10.1.69


  2. Graphique 10.1.70

4.



  1. Graphique 10.1.71


  2. Graphique 10.1.72
Répondre

1.

  1. Pas une fonction
  2. Une fonction; pas en tête-à-tête

3.

  1. Fonction un à un
  2. Une fonction; pas en tête-à-tête

Exercice (PageIndex{23}) Déterminer si une fonction est un-à-un

Dans les exercices suivants, trouvez l'inverse de chaque fonction. Déterminer le domaine et l'étendue de la fonction inverse.

  1. ({(2,1),(4,2),(6,3),(8,4)})
  2. ({(6,2),(9,5),(12,8),(15,11)})
  3. ({(0,-2),(1,3),(2,7),(3,12)})
  4. ({(0,0),(1,1),(2,4),(3,9)})
  5. ({(-2,-3),(-1,-1),(0,1),(1,3)})
  6. ({(5,3),(4,2),(3,1),(2,0)})
Répondre

1. (egin{array}{l}{ ext { Fonction inverse : }{(1,2),(2,4),(3,6),(4,8)} . ext { Domaine : }{1,2,3,4} . ext { Plage : }} {{2,4,6,8} .}end{array})

3. (egin{array}{l}{ ext { Fonction inverse : }{(-2,0),(3,1),(7,2),(12,3)} . text { Domaine : }{-2,3,7,12} ext { . }} { ext { Plage : }{0,1,2,3}}end{array})

5. (egin{array}{l}{ ext { Fonction inverse : }{(-3,-2),(-1,-1),(1,0),(3,1) } . ext { Domaine : }} {{-3,-1,1,3} . ext { Plage : }{-2,-1,0,1}}end{array} )

Exercice (PageIndex{24}) Déterminer si une fonction est un-à-un

Dans les exercices suivants, représentez graphiquement, sur le même système de coordonnées, l'inverse de la fonction un-à-un illustrée.



  1. Graphique 10.1.73


  2. Graphique 10.1.74


  3. Graphique 10.1.75


  4. Graphique 10.1.76
Répondre

1.

3.

Exercice (PageIndex{25}) Déterminer si les fonctions données sont des inverses

Dans les exercices suivants, déterminez si les fonctions données sont ou non des inverses.

  1. (f(x)=x+8) et (g(x)=x-8)
  2. (f(x)=x-9) et (g(x)=x+9)
  3. (f(x)=7 x) et (g(x)=frac{x}{7})
  4. (f(x)=frac{x}{11}) et (g(x)=11 x)
  5. (f(x)=7 x+3) et (g(x)=frac{x-3}{7})
  6. (f(x)=5 x-4) et (g(x)=frac{x-4}{5})
  7. (f(x)=sqrt{x+2}) et (g(x)=x^{2}-2)
  8. (f(x)=sqrt[3]{x-4}) et (g(x)=x^{3}+4)
Répondre

1. (g(f(x))=x,) et (f(g(x))=x,) donc ce sont des inverses.

3. (g(f(x))=x,) et (f(g(x))=x,) donc ce sont des inverses.

5. (g(f(x))=x,) et (f(g(x))=x,) donc ce sont des inverses.

7. (g(f(x))=x,) et (f(g(x))=x,) donc ce sont des inverses (pour non négatif (x ))

Exercice (PageIndex{26}) ​​Déterminer l'inverse d'une fonction

Dans les exercices suivants, trouvez l'inverse de chaque fonction.

  1. (f(x)=x-12)
  2. (f(x)=x+17)
  3. (f(x)=9x)
  4. (f(x)=8x)
  5. (f(x)=frac{x}{6})
  6. (f(x)=frac{x}{4})
  7. (f(x)=6 x-7)
  8. (f(x)=7 x-1)
  9. (f(x)=-2 x+5)
  10. (f(x)=-5 x-4)
  11. (f(x)=x^{2}+6, x geq 0)
  12. (f(x)=x^{2}-9, x geq 0)
  13. (f(x)=x^{3}-4)
  14. (f(x)=x^{3}+6)
  15. (f(x)=frac{1}{x+2})
  16. (f(x)=frac{1}{x-6})
  17. (f(x)=sqrt{x-2}, x geq 2)
  18. (f(x)=sqrt{x+8}, x geq-8)
  19. (f(x)=sqrt[3]{x-3})
  20. (f(x)=sqrt[3]{x+5})
  21. (f(x)=sqrt[4]{9 x-5}, x geq frac{5}{9})
  22. (f(x)=sqrt[4]{8 x-3}, x geq frac{3}{8})
  23. (f(x)=sqrt[5]{-3 x+5})
  24. (f(x)=sqrt[5]{-4 x-3})
Répondre

1. (f^{-1}(x)=x+12)

3. (f^{-1}(x)=frac{x}{9})

5. (f^{-1}(x)=6 x)

7. (f^{-1}(x)=frac{x+7}{6})

9. (f^{-1}(x)=frac{x-5}{-2})

11. (f^{-1}(x)=sqrt{x-6})

13. (f^{-1}(x)=sqrt[3]{x+4})

15. (f^{-1}(x)=frac{1}{x}-2)

17. (f^{-1}(x)=x^{2}+2, x geq 0)

19. (f^{-1}(x)=x^{3}+3)

21. (f^{-1}(x)=frac{x^{4}+5}{9}, x geq 0)

23. (f^{-1}(x)=frac{x^{5}-5}{-3})

Exercice (PageIndex{27}) Exercices d'écriture

  1. Expliquez comment le graphique de l'inverse d'une fonction est lié au graphique de la fonction.
  2. Explique comment trouver l'inverse d'une fonction à partir de son équation. Utilisez un exemple pour illustrer les étapes.
Répondre

1. Les réponses varieront.

Auto contrôle

une. Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

b. Si la plupart de vos chèques étaient :

… en toute confiance. Toutes nos félicitations! Vous avez atteint les objectifs de cette section. Réfléchissez aux compétences d'étude que vous avez utilisées afin de pouvoir continuer à les utiliser. Qu'avez-vous fait pour avoir confiance en votre capacité à faire ces choses ? Être spécifique.

… avec un peu d'aide. Cela doit être abordé rapidement car les sujets que vous ne maîtrisez pas deviennent des nids-de-poule sur votre chemin vers le succès. En mathématiques, chaque sujet s'appuie sur des travaux antérieurs. Il est important de s'assurer que vous avez une base solide avant de passer à autre chose. A qui pouvez-vous demander de l'aide ? Vos camarades de classe et votre instructeur sont de bonnes ressources. Y a-t-il un endroit sur le campus où des professeurs de mathématiques sont disponibles ? Vos compétences d'étude peuvent-elles être améliorées?

… non, je ne comprends pas ! Ceci est un signe d'avertissement et vous ne devez pas l'ignorer. Vous devriez obtenir de l'aide immédiatement ou vous serez rapidement débordé. Consultez votre instructeur dès que possible pour discuter de votre situation. Ensemble, vous pouvez élaborer un plan pour vous apporter l'aide dont vous avez besoin.


Les choses s'effondrent Unité complète Cette unité d'enseignement comprend tout ce dont un enseignant aurait besoin pour le roman Things Fall Apart de Chinua Achebe, y compris trois types différenciés d'évaluations de la lecture. Pour les lecteurs plus faibles ou les étudiants qui ont besoin d'un niveau élevé de responsabilité, il existe un quiz d'une demi-page pour chacun des 25 chapitres. Pour l'étudiant moyen qui peut gérer plusieurs chapitres à la fois, il existe quatre quiz plus longs sur les ensembles de chapitres 1-6, 7-13, 14-19 et 20-25. Pour les étudiants qui peuvent être invités à lire le livre de manière indépendante, il existe un test objectif de deux pages. Ce test final peut être utilisé comme un nouveau test pour les étudiants qui ont obtenu de mauvais résultats à l'une ou l'autre des séries de quiz. Une clé est incluse pour chaque évaluation. Les onze plans de cours de cette unité sont conçus sur la base de l'ensemble de quiz en quatre sections, de sorte qu'un enseignant utilisant l'une des deux autres méthodes de responsabilisation devra adapter les plans de cours aux besoins de ses élèves. Étant donné que chaque plan de leçon comprend des exercices d'évaluation, de discussion et d'écriture, un enseignant peut avoir besoin de deux à trois jours pour chacun. (En d'autres termes, cette unité pourrait comprendre de 20 à 30 périodes de cours selon l'horaire.) Les exercices d'écriture peuvent facilement être repoussés par exemple, un enseignant peut vouloir traiter le flashback comme un dispositif littéraire vers la fin de l'unité, pas après le chapitre 13. Pour les devoirs, les élèves liront le roman et travailleront à mémoriser une carte de l'Afrique . Un enseignant qui souhaite étaler la lecture peut donner un quiz de lecture chaque jour mais faciliter d'autres contenus non romans tels que la grammaire ou l'utilisation. Cette unité permet cette option. 25 exercices de vocabulaire sont également inclus, un pour chaque chapitre. Cinq à vingt mots en contexte sont fournis dans chaque exercice, et les élèves doivent définir et manipuler les mots d'une manière ou d'une autre. Ces exercices sont facultatifs mais peuvent être des activités de pré-lecture particulièrement utiles pour les lecteurs plus faibles ou les étudiants en ALS. Ils constituent un excellent outil de différenciation dans une classe hétérogène. Leçon 1 : Développer des connaissances de base Nigéria Culture et langue Ibo Leçon 2 : Paramétrage dans les chapitres 1 à 6 Quiz de chapitre individuel Analyse littéraire : cadre Leçon 3 : Caractérisation dans les chapitres 1 à 6 Méthodes de caractérisation Analyse littéraire : Caractérisation Leçon 4 : Flashback dans les chapitres 1 à 13 Quiz de chapitre individuel Analyse littéraire : Flashback Leçon 5 : Chapitres 14 à 19 Quiz de chapitre individuel Point de débat : Missions chrétiennes Leçon 6 : Ironie dans les chapitres 1 à 25 Quiz de chapitre individuel Leçon 7 : Symbolisme et thème dans les choses qui s'effondrent Quiz de chapitre individuel Analyse littéraire : symbolisme et thème Leçon 8 : Séminaire Paideia « La Seconde Venue » Point de débat : le colonialisme au Nigeria Devoir de rédaction post-séminaire avec rubrique Leçon 9 : Essai d'analyse littéraire et test de lecture finale Leçon 10 : Révision au niveau de la phrase Leçon 11 : Introduction et conclusion Vous n'avez pas besoin de tout ? Vous pourriez également être intéressé par ces trois extraits de l'unité complète. Collaborez avec moi ! *****S'INSCRIRE ICI POUR MA LISTE DE COURRIELS ! OBTENEZ DES OFFRES EXCLUSIVES RÉGULIÈRES, DES ANNONCES ET UN PEU D'HUMOUR.***** Pente et Y-Interception d'une équation linéaire

Pour l'équation linéaire (y = a + b ext), (b =) pente et (a = y)-interception. D'après l'algèbre, rappelez-vous que la pente est un nombre qui décrit la pente d'une ligne et que l'intersection (y) est la coordonnée (y) du point ((0, a)) où la ligne croise l'axe (y).

0 et donc la ligne monte vers la droite. Pour le second, b = 0 et le graphique de l'équation est une ligne horizontale. Dans le troisième graphique, (c), b < 0 et la ligne descend vers la droite." src="http://cnx.org/resources/917c2e46d01. ch12_03_01.jpg" style="width : 725px hauteur : 170px"> Figure (PageIndex<3>):​​​​​​. Trois graphes possibles de (y = a + b ext) (a) Si (b > 0), la ligne est inclinée vers la droite. (b) Si (b = 0), la droite est horizontale. (c) Si (b < 0), la droite descend vers la droite.

Les tuteurs de Svetlana pour gagner de l'argent supplémentaire pour l'université. Pour chaque session de tutorat, elle facture des frais uniques de 25 $ plus 15 $ par heure de tutorat. Une équation linéaire qui exprime le montant total d'argent que Svetlana gagne pour chaque session qu'elle enseigne est (y = 25 + 15 ext).

Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes ? Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine (y) et quelle est la pente ? Interprétez-les en utilisant des phrases complètes.

La variable indépendante ((x)) est le nombre d'heures de tuteur Svetlana à chaque session. La variable dépendante ((y)) est le montant, en dollars, que Svetlana gagne pour chaque session.

L'ordonnée à l'origine (y) est 25 ((a = 25)). Au début de la session de tutorat, Svetlana facture des frais uniques de 25 $ (c'est quand (x = 0)). La pente est de 15 ((b = 15)). Pour chaque session, Svetlana gagne 15 $ pour chaque heure de tutorat.

Ethan répare les appareils électroménagers comme les lave-vaisselle et les réfrigérateurs. Pour chaque visite, il facture 25 $ plus 20 $ par heure de travail. Une équation linéaire qui exprime le montant total d'argent qu'Ethan gagne par visite est (y = 25 + 20 ext).

Quelles sont les variables indépendantes et dépendantes ? Qu'est-ce que l'ordonnée à l'origine (y) et quelle est la pente ? Interprétez-les en utilisant des phrases complètes.

La variable indépendante ((x)) est le nombre d'heures qu'Ethan travaille à chaque visite. La variable dépendante ((y)) est le montant, en dollars, qu'Ethan gagne pour chaque visite.

le oui-intercept est 25 ((a = 25)). Au début d'une visite, Ethan facture des frais uniques de 25 $ (c'est quand (x = 0)). La pente est de 20 ((b = 20)). Pour chaque visite, Ethan gagne 20 $ pour chaque heure qu'il travaille.


Ce que font les enseignants de mathématiques qui réussissent, 6e année – 821112 : 80 stratégies fondées sur la recherche pour la classe alignée sur le tronc commun

La ressource incontournable des professeurs de mathématiques—maintenant mise à jour pour le tronc commun !

Qu'est-ce qui fonctionne en mathématiques et pourquoi n'a jamais été le problème de la recherche. Là où les enseignants luttent, c'est le "comment" quelque chose que la recherche parvient rarement à résoudre. C'est le grand service que fournissent les professeurs de mathématiques qui réussissent. C'est un portail puissant sur ce à quoi ressemble la meilleure recherche dans la pratique, stratégie par stratégie, alignée dans cette nouvelle édition sur les normes Common Core et NCTM.

Comment fonctionnent exactement les enseignants de mathématiques qui réussissent ? Il ne pourrait pas être plus facile de naviguer. Les onze chapitres du livre organisent des groupes de stratégies autour d'un seul aspect d'un programme d'enseignement typique. Pour chacune des 80 stratégies, les auteurs présentent : Une brève description de cette stratégie Un résumé de la recherche à l'appui Le NCTM et les normes de base communes auxquelles il répond - et comment Les applications en classe, avec des exemples Les précautions et les pièges possibles Les sources primaires pour des lectures et des recherches supplémentaires

Que vous soyez un nouveau professeur de mathématiques ou un vétéran cherchant à affiner votre enseignement, What Successful Math Teachers Do est votre meilleure ressource pour un enseignement réussi basé sur des normes.


Polyèdres impossibles

Imaginez faire un polyèdre en prenant des polygones et en les fixant ensemble le long de leurs bords. Nous avons besoin de quatre triangles pour faire un tétraèdre, de six carrés pour faire un cube et ainsi de suite. Il existe cinq polyèdres réguliers et chacun d'eux est entièrement composé de faces triangulaires, carrées ou pentagonales. Mais qu'en est-il des polyèdres irréguliers ? Est-il possible, par exemple, de créer un polyèdre irrégulier en utilisant uniquement des polygones de, disons, six, sept et huit côtés ? La réponse (assez étonnamment) est « non », mais comment prouver une déclaration comme celle-ci ?

Nous aurons besoin de la formule d'Euler pour le polyèdre qui dit que si le polyèdre a $F$ faces, $E$ arêtes et $V$ sommets, alors $F-E+V=2$. Nous aurons également besoin de compter le nombre de faces triangulaires, disons $F_3$, le nombre de faces avec exactement quatre arêtes, disons $F_4$, et ainsi de suite. Évidemment, eginF= F_3 + F_4 + ldots, quad (1) end et aussi comme chaque bord se trouve sur le bord d'exactement deux faces, nous avons egin2E = 3F_3 + 4F_4 + 5F_5 + ldots . quad (2) end Cela montre que $2E geq 3F$ parce que egin2E = 3F_3 + 4F_4 + 5F_5 + ldots geq 3F_3 + 3F_4 + 3F_5 + ldots = 3F. finir Ensuite, soit $V_m$ le nombre de sommets qui ont exactement $m$ arêtes se terminant à ce sommet. Puis eginV= V_3 + V_4 + ldots,quad (3) end et aussi comme chaque arête a deux sommets, nous avons egin2E = 3V_3+4V_4+5V_5+ldots . quad (4) end Cela donne l'inégalité $2E geq 3V$ car egin2E = 3V_3+4V_4+5V_5+ldots geq 3V_3+3V_4+3V_5+ldots = 3V.end Nous allons montrer que eginF_3+F_4+F_5 geq 4, quad F_3+V_3 geq 8. quad (5) end Cela nous indique, par exemple, que $F_3$, $F_4$ et $F_5$ ne peuvent pas tous être nuls, donc il doit y avoir au moins une face avec exactement trois, quatre sur cinq côtés. Ainsi il est en effet impossible de réaliser un polyèdre avec chaque face ayant au moins six côtés. Nous savons que eginF-E+V = 2, quad 2E geq 3F, quad 2E geq 3V,end pour que egin2+E = F+V leq F + 2E/3.fin Cela montre que $2+E/3 leq F$ et donc que $12+2E leq 6F$. Si nous substituons à $F$ et à $E$ leurs expressions en termes de $F_k$ donnés en (1) et (2), nous obtenons egin12 + 3F_3 + 4F_4 + 5F_5 + ldots leq 6F_3 + 6F_4 + 6F_5 + ldots.end Cela donne egin12+F_7+2F_8+3F_9+ldots leq 3F_3+2F_4+F_5end de sorte que, finalement, $12 leq 3F_3 + 2F_4 + F_5$. C'est la première inégalité de (5).

Pour prouver la deuxième inégalité de (5), nous commençons par la formule d'Euler $F-E+V=2$ et écrivons cela comme $(F-E/2)+(V-E/2) = 2$. En multipliant par $4$, nous obtenons maintenant $(4F-2E)+(4V-2E) = 8$. Si nous remplaçons maintenant $4F-2E$ par leurs expressions en termes de $F_i$ en (1) et (2), et $4V-2E$ par les expressions en (3) et (4), nous obtenons egin4(F_3 + F_4+ldots) -(3F_3+4F_4+ldots) +4(V_3 + V_4+ldots) -(3V_3+4V_4+ldots) =8.end

En simplifiant cela, nous voyons que $F_3+V_3 geq 8$ qui est la deuxième inégalité de (5).

Pour le cube, nous avons $F_3 = 0$ et $V_3=8$, donc $F_3+V_3=8$. Comme $F_3+V_3geq 8$ dans tous les cas, $8$ est la plus petite valeur possible de $F_3+V_3$. Cela conduit à la question de trouver d'autres polyèdres qui donnent d'autres valeurs de $F_3$ et $V_3$ avec $F_3+V_3=8$ (c'est-à-dire sa plus petite valeur). Nous laissons cela comme exercice au lecteur et vous suggérons d'essayer d'abord les polyèdres réguliers.

Les inégalités (5) nous donnent beaucoup d'informations sur les polyèdres réguliers. Supposons que nous ayons un polyèdre régulier. Parce que $F_3+F_4+F_5 geq 4$, il doit y avoir au moins quatre faces qui sont triangulaires, quadrilatères ou pentagonales. Comme le polyèdre est régulier, toutes les faces ont le même nombre de côtés, et donc toutes sont des triangles, toutes sont des carrés, ou toutes sont des pentagones.

Dans le cas des carrés et des pentagones, $F_3=0$ de sorte que $V_3geq 8$. Ainsi, par régularité, chaque sommet a exactement trois arêtes qui le quittent. Ces polyèdres sont le cube et le dodécaèdre.

Il reste à considérer les cas où chaque face est triangulaire. Supposons qu'il y ait $q$ arêtes qui quittent chaque sommet. Alors $F-E+V=2$, $2E = 3F$ et $2E =qV$. Si nous éliminons $F$ et $V$ de ces équations, nous obtenons $(6-q)E= 6q$ de sorte que $q = 3,4,5$ donnant respectivement le tétraèdre, l'octaèdre et l'icosaèdre. Nous avons maintenant répertorié tous les polyèdres réguliers possibles.


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12.2E : Exercices - Mathématiques

Affichage des résultats 1 à 20 sur 27
1 2



à Retos (2007), 12(2e semestre), 5-12

Quarante-six enseignants d'EP ont participé à l'étude. Parmi eux, 27 avaient une expérience de plus de cinq ans dans l'enseignement (12 femmes et 15 hommes) et 19 enseignants débutants (12 femmes et 7 hommes). Les enseignants étaient. [plus ▼]

Quarante-six enseignants d'EP ont participé à l'étude. Parmi eux, 27 avaient une expérience de plus de cinq ans dans l'enseignement (12 femmes et 15 hommes) et 19 enseignants débutants (12 femmes et 7 hommes). Les enseignants se sont vu présenter cinq scénarios de situations pédagogiques. On leur a demandé de lire chaque scénario et d'écrire une réponse détaillant comment ils réagiraient si la situation se produisait pendant leur enseignement. Quatre cent trente-quatre propositions d'actions ont été rassemblées et analysées car une réponse pouvait avoir plusieurs propositions différentes. Les actions proposées ont été analysées à partir des enregistrements audio des entretiens des enseignants. Ils ont été classés selon une technique inductive. Les opinions des enseignants expérimentés, hommes et femmes, différaient de celles de leurs collègues débutants, comme l'indiquent le nombre et le contenu des catégories. Quatre catégories de décisions portaient sur le contenu de l'enseignement : « adaptation des exercices à l'élève », « création de groupes de niveaux », « gradation de la difficulté », et « même activité pour tous ». Les enseignants disposaient de stratégies immédiates pour faire face aux différences individuelles des élèves. Selon leurs caractéristiques personnelles, les enseignants expérimentés affichent une plus grande variété d'applications de principes d'enseignement sains. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 90 (7 ULiège)


in Carlier, Ghislain (éd.) Si l'on parlait du plaisir d'enseigner l'éducation physique (2004)

Référence détaillée vue : 265 (11 ULiège)


Référence détaillée vue : 241 (7 ULiège)


dans Point sur la Recherche en Education (2003), 27

Référence détaillée vue : 184 (35 ULiège)



in eJournal de la Recherche sur l'Intervention en Éducation Physique et Sport (2002), 1

Le sport-études a été créé afin de permettre aux jeunes ayant de bonnes dispositions sportives de les développer dans le cadre d'un programme intégré à leur formation scolaire. Si les modalités pratiques . [plus ▼]

Le sport-études a été créé afin de permettre aux jeunes ayant de bonnes dispositions sportives de les développer dans le cadre d'un programme intégré à leur formation scolaire. Si les modalités pratiques diffèrent largement d'une structure à l'autre selon la législation en vigueur, les sportifs sont inévitablement confrontés à des problèmes communs. Bizarrement, peu d'études semblent s'y être déclaré. Par ailleurs, les élèves qui partagent la formation scolaire des sportifs constituant un groupe auquel il n'est jamais fait référence. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 1911 (20 ULiège)



Dans les contextes d'éducation physique, le développement de la motivation intrinsèque des élèves est une préoccupation centrale pour chaque enseignant. Cependant, la plupart des études se sont concentrées sur des variables isolées en utilisant le quantitatif. [plus ▼]

Dans les contextes d'éducation physique, le développement de la motivation intrinsèque des élèves est une préoccupation centrale pour chaque enseignant. Cependant, la plupart des études se sont concentrées sur des variables isolées en utilisant des approches quantitatives. Le but de cette étude était de souligner l’existence de relations entre la motivation intrinsèque des élèves (évaluée par des facteurs dispositionnels) et des facteurs situationnels individuels/collectifs. Une classe de garçons du secondaire et son enseignant ont été les sujets de l'étude. Des questionnaires et des entretiens ont été utilisés. Les données ont été initialement traitées du point de vue de la classe. Sur la base d'une analyse par grappes déterminée par le niveau de motivation intrinsèque, deux groupes d'étudiants ont été comparés. L'analyse qualitative a été basée sur les réponses des deux élèves les plus et les deux moins motivés de la classe. La pratique parascolaire (variable situationnelle individuelle), l’interaction enseignant-élèves et le climat de maîtrise (variables situationnelles collectives) ont été identifiés parmi les facteurs liés à la motivation intrinsèque des élèves. La diversité interindividuelle des variables d'influence a été soulignée. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 140 (4 ULiège)


dans International Journal of Physical Education (2002), 39(1), 12-20

En français, le terme "intervention" est utilisé depuis quelques années. L'article : (1) traitera du sujet des limites de l'enseignement aux décisions et aux interventions des enseignants pendant la phase interactive de . [plus ▼]

En français, le terme "intervention" est utilisé depuis quelques années. L'article : (1) traitera du sujet des limites de l'enseignement aux décisions et aux interventions des enseignants pendant la phase interactive dans l'enseignement au cours de cette phase, les activités prévues dans la phase pré-interactive sont mises en œuvre : la phase interactive concerne la présentation de la tâche, la l'activité des élèves et le contrôle de cette activité en termes de gestion comportementale et de la qualité de l'eprformance (feedback) (2) renvoient aux principales méthodes de recherche utilisées dans la collecte de données, et (3) développent les principaux résultats dans le domaine de enseignement : réflexion et comportement de l'enseignant, réflexion et comportement des élèves, gestion de la classe ou autrement dit contrôle du comportement des élèves. Il est évident que les pensées et les comportements sont étroitement liés et font partie de la relation entre enseignants et élèves. L'article s'est concentré uniquement sur les textes paraissant en français, portugais et espagnol publiés depuis 1997 dans des revues d'éducation physique et des actes de congrès internationaux. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 72 (2 ULiège)



in Chin, K. N. Jwo, H. (Eds.) AIESEP Taiwan 2001 International Conference Proceedings: The Exchange and Development of Sport Culture in East and West (2001)

Il ne fait aucun doute que la motivation des écoliers est une préoccupation pour les professeurs d'éducation physique. Les données de recherche montrent que l'éducation physique est généralement assez bien considérée par les étudiants. Un Européen. [plus ▼]

Il ne fait aucun doute que la motivation des écoliers est une préoccupation pour les professeurs d'éducation physique. Les données de recherche montrent que l'éducation physique est généralement assez bien considérée par les étudiants. Une étude européenne sur le mode de vie des jeunes a montré que dans de nombreux pays, les élèves de 12 et 15 ans aiment l'éducation physique (Piéron et al., 1996). Un pourcentage de plus de 70 % de ces jeunes ont répondu qu'ils aimaient les cours d'éducation physique . [moins ▲]

Référence détaillée vue : 105 (1 ULiège)



in Torralbo Lanza, R. Mazón Cobo, V. Sarabia Lavín, D. (Eds.) et al La enseñanza de la educación física y el deporte escolar. (2001)

Référence détaillée vue : 98 (1 ULiège)


Les objectifs de l'étude étaient : (1) de déterminer si les joueurs de sports d'équipe sont capables de se souvenir des interventions verbales fournies par l'entraîneur pendant le match (2) d'analyser les caractéristiques de ceux qui le sont. [plus ▼]

Les objectifs de l'étude étaient : (1) de déterminer si les joueurs de sports collectifs sont capables de se souvenir des interventions verbales fournies par l'entraîneur pendant le match (2) d'analyser les caractéristiques de ceux qui sont bien rappelés. Nous avons suivi une équipe de volley-ball et une équipe de basket-ball durant la saison 1998-1999. Les deux équipes évoluaient en deuxième division belge et appartenaient aux meilleurs clubs de la région de Liège. Les données ont été recueillies au cours de quatre matchs. Les joueurs ont été interrogés après chaque match afin de recueillir leurs avis sur les interventions émises par l'entraîneur. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 170 (3 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (2000), 40(1), 35-43

Dans le cadre des activités de recherche du service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège, les auteurs ont effectué une grande étude portant sur le traitement. [plus ▼]

Dans le cadre des activités de recherche du service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège, les auteurs ont effectué une grande étude portant sur le changement des élèves par les enseignements en éducation physique. Cet article présente un aspect des résultats qui n'avaient pas encore été développés. Il a été préparé à partir d'une étude intitulée « Analyse de la prise en considération des caractéristiques individuelles des élèves dans les décisions et les formations d'enseignants experts et débutants » par la Communauté française de Belgique, Administration de l'Enseignement et de subvention la Recherche Scientifique. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 721 (11 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (2000), 40(2), 61-72

Les auteurs font partie du service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège. Ils ont effectué une étude portant sur le traitement différent des élèves par les . [plus ▼]

Les auteurs font partie du service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège. Ils ont effectué une étude portant sur le traitement différent des élèves par les enseignements en éducation physique, subventionnée par la Communauté française de Belgique, Administration de l'Enseignement et de la Recherche Scientifique. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 169 (5 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (2000), 40(4), 173-180

L'étude fait partie du projet de recherche 157/1997 de la Communauté française, projet délégué au service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège. D'autres aspects de . [plus ▼]

L'étude fait partie du projet de recherche 157/1997 de la Communauté française, projet délégué au service de Pédagogie des activités physiques et sportives de l'Université de Liège. D'autres aspects de cette recherche ont été présentés dans les numéros 1, 2 et 3 du volume 40 de la Revue de l'Education Physique. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 497 (13 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (2000), 40(3), 119-129

S'intéresser aux avis des acteurs de la relation pédagogique sur ce qu'ils vivent en classe représente une démarche particulièrement pour mieux apprécier la signification des éléments utiles qu'ils . [plus ▼]

S'intéresser aux avis des acteurs de la relation pédagogique sur ce qu'ils vivent en classe représente une démarche particulièrement pour mieux apprécier la signification des utiles qu'ils ont adoptés. Il est clair qu'à l'issue d'une leçon d'éducation physique, il est souhaitable que les élèves éprouvent autant de satisfaction que possible. Une estimation globale de satisfaction doit être complétée de perceptions plus spécifiques relatives à l'intensité de la leçon, aux sentiments de compétence en relation avec ce qui fut réalisé, aux corrections reçues, au progrès réalisé, au sentiment de s'être donné à fond , de s'être amusé et d'avoir prêté attention aux interventions de l'enseignant. [moins ▲]

Référence détaillée vue : 209 (5 ULiège)



in Gréhaigne, J. F. Mahut, N. Marchal, D. (Eds.) Qu'apprennent les élèves en faisant des activités physiques et sportives ? Actes sur CD Rom du Congrès International de l'AIESEP (1999)

Référence détaillée vue : 45 (5 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (1999), 39(1), 25-36

On tente de comprendre les éléments observés en classe, le contour de la réflexion, les décisions et les valeurs des intervenants permet de mieux interpréter ce que l'on a observé. Cette démarche . [plus ▼]

On tente de comprendre les éléments observés en classe, le contour de la réflexion, les décisions et les valeurs des intervenants permet de mieux interpréter ce que l'on a observé. Cette démarche est évidemment délicate puisqu'il s'agit d'entrer dans un domaine sujet à des problèmes de crédibilité. Il est crucial de distinguer les valeurs et croyances, d'une part, et les prises de décisions, d'autre part. Celles-ci concernent deux moments de la relation pédagogique, . [moins ▲]

Référence détaillée vue : 77 (2 ULiège)


in Informations Pédagogiques : le point sur la Recherche en Education (1998), 6

Dans le cadre d'une École de la Réussite, il importe que l'action pédagogique repose sur une démarche individualisée (Ministère de l'Éducation, 1996). En effet, les caractéristiques d'un apprenant . [plus ▼]

Dans le cadre d'une École de la Réussite, il importe que l'action pédagogique repose sur une démarche individualisée (Ministère de l'Éducation, 1996). En effet, les caractéristiques d'un apprenant ont appris sur l'efficacité des stimuli pédagogiques. Le niveau d'habitabilité figure parmi les variables le plus souvent prises en considération à ce propos dans l'enseignement des activités physiques et sportives. En outre, on peut s'attendre à ce que les enseignants en éducation physique soient amenés à tenir compte de l'écolution des processus de motivation dans l'enseignement. L'article traite des résultats spécifiques au niveau de l'enseignement primaire. Ils ont été fournis par un projet de recherche qui concernait également le secondaire (Piéron, Cloes, Luts, Ledent, Pirottin & Delfosse, 1998). [moins ▲]

Référence détaillée vue : 144 (7 ULiège)


dans Revue de l'Éducation Physique (1998), 38(1), 11-24

Afin de déterminer une image valide pour le traitement des élèves dans des leçons d'éducation physique, il est primordial de proposer une approche multidimensionnelle, prenant comme les . [plus ▼]

Afin de recueillir une image valide tu traitement différencié des élèves dans des leçons d'éducation physique, il est primordial de proposer une approche multidimensionnelle, prenant comme cible les différents acteurs du processus édagogique, à la fois les enseignants et les élèves. Par ailleurs, deux types d'informations devraient être récoltés afin de rendre compte de la réalité de la relation pédagogique: celles qui concernent les comportements et actions concrètes et celles relevant des valeurs, attitudes, perceptions et mécanismes de prise de décision. Les premières reposent sur l'observation alors que les secondes exigent l'interrogation des sujets. [less ▲]

Detailed reference viewed: 327 (7 ULiège)


in Revue de l'Education Physique (1998), 38(3), 109-125

Tout service universitaire compte parmi ses missions celle de développer la connaissance du domaine au moyen d'une recherche structurée. On sait qu'enseignement et recherche se nourrissent mutuellement . [more ▼]

Tout service universitaire compte parmi ses missions celle de développer la connaissance du domaine au moyen d'une recherche structurée. On sait qu'enseignement et recherche se nourrissent mutuellement. La pédagogie des activités physiques et sportives ne fait évidemment pas exception, même si elle ne possède aucun caractère prioritaire dans les organismes qui financent la recherche. . [less ▲]

Detailed reference viewed: 466 (8 ULiège)


in Revue des Maladies Respiratoires (1997), 14(5), 379-85

The data of the literature concerning bronchial reactivity in diabetic patients are controversial. Therefore, we studied the influence of the presence of a diabetic cardiac autonomic neuropathy (CAN) on . [more ▼]

The data of the literature concerning bronchial reactivity in diabetic patients are controversial. Therefore, we studied the influence of the presence of a diabetic cardiac autonomic neuropathy (CAN) on the ventilatory parameters measured during a methacholine-induced bronchoconstriction test. Ten insulin-dependent diabetic patients without CAN, ten insulin-dependent diabetic patients with CAN and ten healthy volunteers, all non-smokers and free of respiratory symptoms, have undergone a functional respiratory check-up before the methacholine test. The presence of CAN was classically studied by the decrease in heart rate changes during three standardized tests (deep breathing at 6 cycles/min, Valsalva manoeuver, orthostatism) which all mainly explore the parasympathetic function. The bronchial response to methacholine was similar in the healthy subjects and in the diabetic patients without CAN. However, the fall in forced expiratory volume in 1 second induced by the highest dose of methacholine was significantly less marked in the diabetic subjects with CAN than in the two other groups. These results suggest that the diabetic autonomic neuropathy also involves the vagal innervation of the respiratory tract. [less ▲]


1 Answer 1

You asked for an algebraic answer to 1, and it is given below. However, a non-algebraic answer would be much better, so that is given first.

The usual technique used to run linear regressions is called Ordinary Least Squares (OLS). The formula you give above is the formula for the OLS estimator. However, the formula you give above is not the definition of the OLS estimator. The definition of the OLS estimator is "that coefficient vector, $hat<eta>$, which minimizes the sum of squared residuals." First, verbally . . .

Define the number of observations as $N$, so that each of the $delta$ and $alpha$ models have $N$ observations, and the $eta$ model has $2N$. Consider the $delta$ and $alpha$ which solve the first two OLS problems you pose above, and ask, do they (transformed as you have transformed them) solve the third, pooled, $eta$, OLS problem? Well, think about that third problem's objective function $sum_^ <2N>(Y_i-hat_i)^2$. We know that $hat$ minimizes the first $N$ terms (definition of OLS) and has no effect on the last $N$ terms (by inspection). We know that $hat$ minimizes the last $N$ terms (definition of OLS) and has no effect on the first $N$ terms (by inspection). Last, there are "enough" $eta$ such that the $alpha$ and $delta$ may be adjusted independently in the third problem. That is essentially a proof that the OLS estimators have to be exactly the same (again up to your transformation). The proof is not completely formal and explicit, but it's not hard from here to make it so.

To your question 2, yes this result is true much more generally. For any estimator defined by an optimization problem (any "M Estimator," like maximum likelihood for example), there is a result like this. The key requirements are that the parameter spaces of the pooled and separate models are "the same" up to an invertible transformation (like the one you gave to transform $alpha$ and $delta$ to $eta$) and that the objective function of the pooled model can be decomposed (linearly or multiplicatively) into non-interacting parts corresponding (up to an increasing transformation) to the objective functions of the separate problems. This is a lot of models.

The kind of argument I give above is incredibly useful when you are using any kind of M-estimator. For example, it is a famous result for OLS that if you re-scale (change the units of) one of the $X$ variables, that its coefficient will be rescaled by OLS in an exactly offsetting way and that nothing else about the OLS estimator will change. This can be proved by a fairly tedious algebra exercise or by a very brief optimization argument like the one I gave above. The result is not just true for OLS, though. Any M estimator which has the $X$ multiplied against a coefficient will have this magic re-scaling property as well.

Now, to the algebraic demonstration. Changing your notation a little for clarity, start by comparing estimating these two equations by OLS: egin Y_1 &= X_1delta + epsilon_1 Y_2 &= X_1alpha + epsilon_2 end With estimating this equation by OLS: egin left(egin Y_1 Y_2 end ight) &= left[egin X_1 & 0 X_1 & X_1 end ight] left(egin gamma_1 gamma_2 end ight) + left(egin epsilon_1 epsilon_2 end ight) strut Y &= Xgamma + epsilon end My $gamma_1$ is your $eta_0$ and $eta_1$ stacked up and etc. egin hat &= (X'X)^<-1>X'Y strut &= left[egin X_1'X_1 & 0 2X_1'X_1 & X_1'X_1 end ight]^ <-1>left(egin X_1'Y_1 X_1'Y_1 + X_1'Y_2 end ight) strut &= left[egin (X_1'X_1)^ <-1>& 0 -2(X_1'X_1)^ <-1>& (X_1'X_1)^ <-1>end ight] left(egin X_1'Y_1 X_1'Y_1 + X_1'Y_2 end ight) strut left( egin hat_1 hat_2 end ight) &= left( egin (X_1'X_1)^<-1>X_1'Y_1 -2(X_1'X_1)^<-1>X_1'Y_1+(X_1'X_1)^<-1>X_1'Y_1 + (X_1'X_1)^<-1>X_1'Y_2 end ight) strut left( egin hat_1 hat_2 end ight) &= left( egin hat_1 hat_1 - hat_1 end ight) end


How 2e Schools Transition to Online Learning

As the coronavirus impacted schools across the world, 2e News reached out to 2e-friendly programs to learn how they were continuing to support their students. Below are stories from program leaders who transitioned their school, clinic, or program to a virtual environment. Are you part of a 2e school or program and would like to share its story? Share your experiences here.

Chris Wiebe, Ed.D., High School Director — Bridges Academy, Studio City, CA

The Bridges Academy high school program was already online with Google Classroom (our learning management system) and Alma (our student information system) however, our use of these platforms was not intended to accommodate an exclusively virtual environment. The biggest initial challenge was moving the broad community toward an online mindset. To aid in this process, I built a website that explains the logistics and components of our interim online learning program. The site includes basic information about our schedule, daily routines, and expectations for students, as well as a parent primer about our tech platforms and a framework for how our teachers assess students’ online engagement.

Despite proficiency with online tools, teachers and students at brick-and-mortar schools are not necessarily attuned to the unique opportunities of online learning. Some teachers will use an LMS like a bulletin board, posting materials that students retrieve, complete, and then return to an inbox. Whether that inbox is in the cloud, or a plastic tray at the corner of a desk, the instructional strategy is exactly the same and technology is not being leveraged to enhance the student experience.

That is why I am using the SAMR model to anchor ongoing faculty discussions about high-quality instruction in the virtual space. This model categorizes different levels of technology integration to help teachers make creative and informed instructional choices. For instance, substitution (“S”) occurs when technology acts as only a direct replacement for a learning tool with no functional change (e.g. using a keyboard instead of a pencil). Augmentation (“A”) means that technology is still a replacement for a non-digital tool, but there is also some enhancement (e.g., incorporating audio/video into a verbal presentation). Modification (“M”) occurs when the actual task/assignment changes as a result of the affordances of the chosen technology (e.g., using a cloud doc to enable students to color code a document while the teacher offers real-time feedback.) Finally, redefinition (“R”) occurs when technology affords the creation of a new task, previously inconceivable in a non-virtual environment (see example below).

At an initial planning meeting, one of my faculty members was exploring how to archive a class discussion held via chat to scaffold the writing process. The assignment would go something like this: The archived transcript (“brainstorming”) would provide material for a subsequent assignment that asked students to collectively complete a shared digital graphic organizer (“organizing”), transferring main ideas and details from the text chat onto the document. Then students would draw from the graphic organizer to create outlines for distinct, individual essays on this common topic (“drafting”). Finally, students in pairs would take turns sharing each other’s screens to provide one another with feedback through verbal comments via video conference and written feedback via the comment function on Google Docs (“revision”).

While strategies like this can bolster opportunities for collaboration and deep learning during this difficult time, only a gifted and committed teacher can create supportive and successful learning environments for their 2e students, built on strong relationships. At Bridges we are lucky to have dozens of just those types of teachers.

Melanie Hayes, Ph.D., Founder — Big Minds Unschool, Pinole, CA

Like everyone else, we had to act fast to adapt to this new way of being. We had one short spring break week to convert our entire school and recreate Big Minds online. Thanks to a wonderful faculty and administrative team, we have been able to provide consistency and comfort through offering nearly the same schedule, activities, and teaching that we did in the real world. Our students now can enjoy their morning free time together on a private Big Minds Minecraft server, then they attend their math/literacy coaching and daily classes as an interactive group online. Our site director holds our regular lunchtime conversations via Zoom, where she eats lunch with our students and they enjoy one another’s company.

We are also offering a parent support time for a “virtual drop-off” to give parents a place to chat with the director and each other. Our parent support coordinator offers a homeschooling support session each week to ensure parents are not feeling overwhelmed by this new reality. We are in the early stages, but so far so good. It has been really sweet to connect to our students virtually and to know that our community bond is holding strong!

Jacqueline Byrne, Founder — FlexSchool — Berkeley Heights, NJ & Bronxville, NY

FlexSchool and FlexStudents seem to be adapting quite well to the new normal. Fortunately, FlexSchool already offered an online school in the form of its cloud classroom. Several weeks ago, we began putting a plan in place to move all of our classes to the cloud classroom while the coronavirus outbreak would prevent us from being on our campuses. Teachers spent several hours in training, and on Monday, March 16, online classes began without missing a single school day. In many ways, it has been reassuring for our students to be able to stick to their normal class schedule during the week.

One challenge of working completely online is that it can be difficult for students to spend so much time sitting in front of the screen. Students therefore are encouraged to spend 30 minutes per day doing some form of physical activity, and we have asked them to send in pictures to document how they spent their time. Many of the teachers have also built breaks into the class period. As always, students who need to move around while they are learning are still encouraged to do so.

Providing the students with their regular schedule not only keeps up with the rigor of the curriculum but also allows students to have real-time interaction with their classmates. Class discussions are still the most integral part of learning at Flex. Because the classes are live and online, our students are experiencing human connection and are not receiving packets of rote work. Our teachers are still able to provide academic and emotional support. We realize how important that connection is, especially in this time of isolation. In addition to normal classes, we have created several online after-school clubs. The students really enjoy the opportunity to play and engage in a non-academic setting.

One student said, “I would be going crazy if I didn’t have classes.” Another said that he is grateful to have something interesting to do. This new normal is, of course, a work in progress, and we are constantly reviewing feedback to find areas that could be improved. This has been an adjustment for everyone, and we are very proud of our staff and students who made a smooth transition to this new way of learning.

Callie Turk, co-founder — Resilience and Engagement for Every Learner (REEL), Palo Alto, CA

This past Wednesday marked two weeks since my three children enjoyed communities of learning and friendship in person, which is hard to wrap my head around. The private schools they attend already make use of online systems and their teachers made a nimble transition to distance learning.

At home, it took a few days for us to settle into a routine. No, Mom isn’t the only person who is going to pick up the house. Yes, we are all going to break for lunch at noon. For sure, everyone is going to move their bodies for at least 30 minutes each day. And, definitely, work blocks and schoolwork will happen before video games or episodes of Le bureau.

I have found that distance learning has some upsides. For instance, one of my eighth-grade daughters is in a self-paced math class. In the past, she received the attention she needed in geometry, but the teacher had limited time in a one-hour class. Now the teacher schedules at least 15 minutes per day of one-on-one time with my twice-exceptional daughter, who noted, “Linda is such a great teacher and person. I’m glad I get to work with her.”

Only a gifted and committed teacher can create supportive and successful learning environments for their 2e students, built on strong relationships.

But there are also downsides. It’s tough on teens to be away from their peers. My most extroverted child quickly learned to navigate Zoom and now spends hours online with her friends, the way I spent hours on the telephone with friends during my teen years. But my more introverted kids, who soak up positive social energy through proximity to others, aren’t having their needs met. I’m uncertain what the long-term social-emotional implications are for all three of them.

All things considered, we’ve been blessed with teachers who are putting their hearts into maintaining valuable learning experiences during this difficult time. But we will be grateful to get our kids back to a face-to-face community of learning and growth. Two weeks have gone by faster and more successfully than I ever thought they would, and I am confident that all of us — parents, teachers, students — will learn new ways of doing things that we might want to carry forward into the future.

Max Melby, School Director — Arete Academy, St. Louis Park, MN

Arete Academy started working with community partners in the first week of March to respond to the potential for school closure and distance learning, but it’s hard to feel adequately prepared when the task is to transform your entire school program. Our teachers, students, and parents have absolutely risen to the occasion and I’ve never been more glad to be a part of the Arete school community.

We started distance learning on March 19 and we are hoping to resume on-campus classes on May 3, barring worsened conditions. We are using our Google Apps for Education as our learning platform and, with what little data we have, Google Classroom and Google Meet hold a lot of promise for sustainable success.

Teachers are keeping their virtual classrooms current with assignments and providing ongoing feedback, as well as holding one-on-one meetings and group classes. Students follow recommended schedules that we put together or work in whatever ways fit into their home routine.

Our program is predominantly asynchronous right now, but we are actively working on ways to shift the balance to provide opportunities for synchronous learning. One of my favorite examples of synchronous learning right now isn’t necessarily academic: Each day, our whole school is invited to a standing Google Meeting to eat lunch together. There’s something really special about the nonsensical hypothetical questions and laughter our students share over lunch and I’m grateful for our teachers who are making that work and the students who consistently sign on for it

I have visited a handful of very special schools (2e schools included, of course) and each school has its own special “lightning in a jar” quality. I think that one of the big challenges that all of us face is how to capture that lightning in a jar and recreate it over the internet. How much work is reasonable from afar? How are we supporting our students’ social connections? How can we support our parents? We all have a lot of learning to do and I look forward to hearing more about how the broader 2e community is responding.

Dan Peters, Ph.D., Executive Director — Summit Center, Walnut Creek & Torrance, CA

At Summit Center we spend lots of time working with parents of gifted and 2e children and adolescents, helping to provide strategies to manage screen time and technology use. During this time of “shelter in place,” we are increasingly grateful for technology and the online platforms that help us stay connected to each other and maintain as many of Summit’s services as possible.

We are using Google Meet for virtual counseling and consultation sessions with parents, adolescents, and children. This tool has also helped us continue to offer our clients educational therapy. While we have temporarily cancelled psychological evaluations, our team is researching options for testing virtually. As telehealth becomes more commonplace, some studies are showing positive results. Providing testing questions through a shared screen as well as audio recordings of test questions are some of the ways that providers are exploring assessment in the digital space.

We are also starting online support groups and offering our library of webinars to our community for free. These resources include Taming the Worry Monster, Psychosocial development of Gifted Children, Time Management, and more. I continue to record podcasts (Parent Footprint with Dr. Dan) and livestream on Facebook to maintain community among our members, urging them to stay present in these uncertain times.

I am hopeful that the creativity and inventiveness required by the current circumstances will provide us with perspectives and information that boost our capacity to provide families with our services over the long term. Times like these require problem solving and thinking outside of the box. Twice-exceptional people are needed now more than ever.

Kim Busi, M.D., Founder — Quad Preparatory School, New York, NY

The Quad Preparatory School, which meets the needs of K-12 2e students in New York City, moved to an online continuous learning environment on March 12. In conversations with other school leaders, the transition to distance learning at Quad Prep seemed easier and less complicated than it was for our peer independent schools in NYC.

Everyone’s staff has worked incredibly hard, but we believe that our shift was eased because our fundamental approach lends itself much more easily to a continuous learning/online environment. Over the past weeks, our 2e pedagogy has guided the opportunities we’ve leveraged — maybe this can exemplify how 2e models of education are models for all education!

Opportunity 1: Strengths are more important than ever. As the novelty of the online classroom recedes, engagement in and through strengths and talents is central. The ingenuity and creativity of our educators and providers has been nothing short of magical to witness. Lead with strengths — and lead early — to prevent disengagement online.

Opportunity 2: Personalized learning is easy to convert. This is a good time to rethink the necessity of group cohorting all day and all the time. Consider a schedule that allows for full group, small (or just-right sized) group, and 1:1 instruction to alleviate screen group burnout and frustrations.

Opportunity 3: Seize the enhanced opportunity (yes, enhanced!) for integrated social, emotional, and executive functioning learning (SEL & EF). Who could have imagined that an online platform could offer such unique SEL and EF skill-development opportunities?! Using breakout groups and leveraging the fact that kids can see themselves and others online, teachers and providers (in our case, psychosocial teachers that already exist in every class) have a unique, visual opportunity for in-the-moment coaching.

Opportunity 4: Take care of your community. Parents are now co-teachers, so have a strength-based approach to parents navigating the needs of a 2e child in the family. Solicit feedback early and often, and provide responsive mechanisms for the range of support they’ll need, including technology assistance, scheduling, and other guidance as they navigate this new landscape. And don’t underestimate the need to support their own community interaction. Virtual “coffees” and “cocktail hours,” workshops, and robust resource lists are excellent ways to take care of your parent community. And, don’t forget the staff for every place that I wrote parents, please substitute staff.

Opportunity 5: Structure is the monarch, but flexibility rules the day! Start early: The transition is very similar to the excitement and ramp-up during the first weeks of school, and you can’t start planning too early. Set the frame, in writing, to all parties. Outline expectations, structure, remaining work in progress, and note that you anticipate changes. Expectation setting and previewing is more important than ever. If you haven’t done so, create technology protocols and guidelines for staff, families, and students. Just because you’re online doesn’t mean that expectations diminish.

And then, be willing to change! Our Early Childhood program is of course not the same as our Upper School’s, and we have empowered our divisional leadership to adapt and adapt again. Deploy staff as needed, whether it’s in support of additional personalized learning, after-school programming, or additional technology or scheduling support. Listen to your teachers, students, and families, and make changes in real time as needed. At Quad Prep, one of our stated values is “we never give up on each other and are driven by the ethos of “not if, but how.” This has been a tremendous opportunity to put that value into action — while different, our goal is to make this time as rich and supportive a time as possible for our students, families, faculty, and staff.

Danny Boyer, 7th/8th Grade Science Teacher, Helios School, Sunnyvale, CA

As a teacher, one of our main responsibilities is managing our students’ physical and mental well-being during school. Much of this is for the simple reason we want our students to be happy, productive, and focused when we are teaching them. This requires providing diverse modes of learning, frequent movement breaks, and chances to talk with classmates as well as quiet work time. We also recognize the importance of allowing students to blow off steam at recess, to eat healthy snacks and lunch, and to drink water. We need to be vigilant when computers are being used to help students stay on task and avoid the oh-so-tempting distractions available on the web. We know which students need us to look over their shoulder or check in with them regularly to make sure they are staying on task. We know our students and what they need.

When COVID-19 caused schools to close and we had to suddenly shift to remote learning, I realized students and families were going to need to manage their work days themselves. I imagined our students sitting at a computer all day, knowing some of them would have a very difficult time drawing boundaries between work time, social time, and play time. If they did not create good habits from the beginning, this could be a disaster for students without the executive functioning to create structure on their own. It also is difficult for parents to jump into this role and, for many, they are not aware of the schedule management that is built into a school day.

For this reason, I decided to create a study plan as one of our first assignments. I saw it as a teachable moment for both students and parents — an opportunity to have families think about healthy habits when it comes to screen time, social media, school work, exercise, diet, etc. And this is just a starting point. As we all settle in, teachers can meet with individual students or parents to discuss tools, strategies, and solutions for improving how we do this thing we call “remote learning.” Because one thing is always true — there is no one-size-fits-all solution. Each student and family is different and will require their own study plan, which will evolve as we adapt to our new learning environments.

Debbie Steinberg Kuntz, LMFT, founder of brightandquirky.com

Bright & Quirky hosted a webinar providing multiple perspectives on supporting 2e kids and their families in this environment. “Bright, Quirky & Coping: Living and learning at home during the pandemic,” focused on how to deal with anxiety, stress, and worry creating daily family structure making the most of temporary homeschooling for 2e kids how to create community and more.

The panel featured Debbie Steinberg Kuntz, Melanie Hayes, neuropsychologist and author Robin McEvoy, school counselor and 2e specialist Lauren Hutchinson, and Michelle Bronwell, homeschooler of 2e kids.

Lisa Reid, Ed.D., Principal — STEM 3 Academy, Irvine, CA

Stem 3 Academy has navigated numerous challenging circumstances during these uncertain times. Abrupt departures from routine and the need to support learning from home are challenging for all families, but especially to those within our population. Given that, what has been most important is daily personal communication with our families.

Work obligations, access to technology, family dynamics, and differing learning needs — as well as social-emotional variables — call for us to differentiate our support, as we always do. It has been heartening to see our staff’s unwavering support and every home supporting their children’s continued progress in any way they can. And families are not only thinking of their own situations, but supporting us too.

We do not typically send much work home, so remote learning tools, such as video conferencing, have meant a steep learning curve for our families and teachers. It was initially a bit scary, but everyone stepped up to the challenge. As a result, aspects of the student-teacher-family relationship have evolved in interesting ways: teachers may have their toddlers crawling through learning sessions, and children do live-streamed show-and-tell with their pets while at home with their parents and guardians. Teachers and so many people around the world have shared ideas about making the best of this temporary learning situation, to make it as supportive and effective as possible. This means something different for every child, family, and teacher.

We make sure our families have the technology they need to access curriculum, where instruction and opportunities for social interaction are provided through Google Classroom and Zoom. When needed, we mail home hard copies of assignments and materials. Students are able to access daily, differentiated work based upon their personal situation and ability to engage, given their individual circumstances and accommodations outlined within their Individual Education Programs (IEP).

Work obligations, access to technology, family dynamics, and differing learning needs — as well as social-emotional variables — call for us to differentiate our support, as we always do.

Our service providers are coordinating sessions remotely, and I’ve been pleased to see their continuing support — especially through counseling and social skills groups, which have helped students feel connected.

Our world took a big hit a few weeks ago, and all of the changes that everyone needed to make in response created a huge amount of work, learning, and flexibility. Those three words represent variables that, when seen as obstacles, can make educational progress seem impossible at times for our population. It would have been easy for anyone involved to throw their hands in the air and quit, but they haven’t. Everyone has stepped up in their own way and has shown not only continued dedication to growth, but also to one another as a caring community.

I’m grateful and proud of the way in which our students, families, teachers, organization, and schools have come together. Even physical separation cannot break the commitment to kids that we’ve all made together. Below are the elements of our distance learning model, which is constantly evolving with the changing needs of our students.

• Teachers are using Google Classroom and Google Sites to post class schedules and teacher schedules. Interaction and participation is managed on Zoom, telephone, email, and in the cloud.

• Students check in with each of their teachers during the day and work on assignments individually or collaboratively. Some work is done on Google Docs, which allows for real-time editing. At the end of the day, students have the opportunity to engage with their teachers for questions, clarification, or additional help.

• Related services, such as speech and counseling, are provided on Zoom. In addition, given the reason for the school closures, social and emotional support by way of Zoom chats and Google Meet provide opportunities for students to relate to one another while being moderated by a teacher.

• We have also recently issued a resource newsletter to parents outlining a number of activities across grade levels, which students can engage in at home. These are both plugged and unplugged activities to ensure that students of all levels of sophistication are engaged, whether or not they have access to electronic devices.


Use of logarithms in economics

Why do economists always want to take the natural logarithm of everything? Here’s the answer,if you don’t mind looking at a few equations and graphs.

Let me begin with a quick review of compound interest rates. If you invest an amount for one year at an r% interest rate, at the end of the year you’ll have an amount . For example, with a 4% return, Sometimes your interest might be compounded, for example, you get your money back plus 2% at the end of six months, and then can earn 2% interest on both your original principal as well as on the first six month’s interest: . With an interest rate of r = 4%, compounded twice annually like this your money would actually have grown 4.04% at the end of the year. Compounded quarterly, or about 4.06% at the end of the year. It turns out the formula converges to a particular function as the frequency of compounding mgets arbitrarily large, this limit being wheree is a special number (approximately equal to 2.72) that possesses this and a number of other amazing properties. Thus if you earn r% interest that is compounded continuously, at the end of the year your money will have grown by . Par exemple, si r = 4%, continuous compounding would actually give you 4.08% at the end of the year, a little more than the 4.06% from quarterly compounding or 4.0% with no compounding.

Taking natural logarithms is just the inverse of the above operation: , or since the log of a ratio is the difference of the logs, In other words, taking the difference between the log of a stock price in year 2 and the log of the price in year 1 is just calculating a rate of return on the holding, quoted in terms of a continuously compounded rate.

For low values of r, the continuously compounded return is almost the same as the noncompounded return, so that the log difference is almost the same number as the percentage change. For the example just given, the percentage change is whereas the log change is So any time that you see a graph that is measured in logs, an increase of 0.01 on that scale corresponds very closely to a 1% increase. A graph that is a straight line over time when plotted in logs corresponds to growth at a constant percentage rate each year.

Using logs, or summarizing changes in terms of continuous compounding, has a number of advantages over looking at simple percent changes. For example, if your portfolio goes up by 50% (say from $100 to $150) and then declines by 50% (say from $150 to $75), you’re not back where you started. If you calculate your average percentage return (in this case, 0%), that’s not a particularly useful summary of the fact that you actually ended up 25% below where you started. By contrast, if your portfolio goes up in logarithmic terms by 0.5, and then falls in logarithmic terms by 0.5, you are exactly back where you started. The average log return on your portfolio is exactly the same number as the change in log price between the time you bought it and the time you sold it, divided by the number of years that you held it.

Logarithms are often a much more useful way to look at economic data. For example, here is a graph of an overall U.S. stock price index going back to 1871. Plotted on this scale, one can see nothing in the first century, whereas the most recent decade appears insanely volatile.

On the other hand, if you plot these same data on a log scale, a vertical move of 0.01 corresponds to a 1% change at any point in the figure. Plotted this way, it’s clear that, in percentage terms, the recent volatility of stock prices is actually modest relative to what happened in the Great Depression in the 1930’s.

There are a couple of other changes that can make the graph even more meaningful and easy to read. For one thing, we probably want to take out the effect of inflation. The graph below plots the natural log of the real instead of the nominal stock price, and subtracts off the log from 1871, so that the graph starts at zero and reports cumulative log returns since then. The numbers have also been multiplied by 100, so that if the value goes up by 1 unit on this graph, it corresponds to a 1% increase in the real value of stocks.

Natural logs are also very convenient for describing relations between economic variables. For example, here’s a scatter plot of the relation between the log of U.S. real GDP on the horizontal axis (multiplied by 100 and normalized to begin at 0) and the log of U.S. oil consumption on the vertical axis. The relation between these series follows a straight line with slope of 1 up until about 1970, corresponding to an income elasticity of oil demand of around 1– for every 1% increase in real GDP, U.S. oil consumption also rose by 1%. By contrast, since 1970, the slope of the graph is about 0.2– U.S. real GDP has grown at a (continuously compounded) annual rate since then of 2.9%, whereas oil consumption has only grown 0.6%. You can read those numbers directly off the graph below by taking the difference between any two points and dividing by the number of years separating them.

So next time somebody wants to summarize data in terms of natural logs, don’t complain– it’s usually a much more meaningful and robust way to see what’s going on.