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2.3 : Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre


Chaque fois qu'il y a un processus à étudier, un modèle mathématique devient une possibilité. Étant donné que la plupart des processus impliquent un changement, des dérivés entrent en jeu, ce qui entraîne une équation différentielle. Nous étudierons des exemples de la façon dont les équations différentielles peuvent modéliser de tels processus.

Exemple (PageIndex{1}) : Pollution

Un étang contenant initialement 500 000 gallons d'eau non polluée a une sortie qui libère 10 000 gallons d'eau par jour. Un ruisseau se jette dans l'étang à 12 000 gallons par jour contenant de l'eau avec une concentration de 2 grammes par gallon d'un polluant. Trouvez une équation différentielle qui modélise ce processus et déterminez quelle sera la concentration de polluant après 10 jours.

Solution

Soit (x(t)) la quantité de polluant en grammes dans l'étang après (t) jours.

Nous utilisons une propriété fondamentale des taux :

[Taux total = Taux d'entrée - Taux de sortie.]

Pour trouver le taux dans nous utilisons

[egin{align} dfrac{ ext{grams}}{ ext{day}} &= dfrac{ ext{gallons}}{ ext{day}} dfrac{ ext{grams}} { ext{gallon}} &= dfrac{12 000}{1} dfrac{2}{1} &= 24 000 ext{ grammes par jour} end{align}]

Pour connaître le taux, nous remarquons d'abord que puisqu'il y avait initialement 500 000 gallons d'eau dans le lac et que le niveau d'eau augmente à un rythme de 2 000 gallons par jour, le nombre total de gallons d'eau dans le lac après (t ) jours est

[gallons = 500 000 + 2 000 t.]

L'unité du taux de sortie est le gramme par jour. Nous écrivons

[egin{align} dfrac{grams}{day} = dfrac{gallons}{day} dfrac{grams}{gallon} &= dfrac{10 000}{1} dfrac{x}{500 000 + 2 000 , t} &= dfrac{10x}{500 + 2t} ext{grammes par jour}. end{align} ]

En mettant tout cela ensemble, nous obtenons

[ dfrac{dx}{dt} = 24 000 - dfrac{10x}{500 +2t}.]

Il s'agit d'une équation différentielle linéaire du premier ordre avec

[ p(t) = dfrac{10}{500 + 2t} ;;; ext{et} ;;; g(t) = 24 000. ]

On a

[egin{align} large mu &= e^{int frac{10}{500 + 2t}dt} &= e^{5, ln (500 + 2t)} & = (500 + 2t)^5. end{align} ]

En multipliant par le facteur d'intégration et en utilisant la règle du produit inverse, on obtient

[ ((500 + 2t)^5x)' = 24 000(500 + 2t)^5. ]

Intégrez maintenant les deux côtés pour obtenir

[ (500 + 2t)^5x = 2 000(500 + 2t)^6 + C ]

[ implique x = 2000(500+2t) + dfrac{C}{(500+2t)^5}. ]

Utilisez maintenant la condition initiale pour obtenir

[ x = 2000(500)+dfrac{C}{(500)^5} ]

[implique C = -3,125 imes 10^{19}. ]

Maintenant, branchez 10 pour (t) et calculez (x)

[ egin{align} x &= 2000(500+2(10)) + dfrac{-3.125, ext{x},10^{19}}{(500+2(10))^ 5} &=,218 072, ext{grammes}. end{aligner}]

Un graphique est donné ci-dessous

Exemple (PageIndex{2}) : avoir de la chance

Vous venez de gagner à la loterie. Vous mettez vos 5 000 000 $ de gains dans un fonds qui a un taux de rendement de 4 %. Chaque année, vous utilisez 300 000 $. Combien d'argent aurez-vous dans vingt ans ?

Solution

C'est aussi un

[Taux total = Taux d'entrée - Taux de sortie ]

problème. Laisser

[x = ext{le solde après $t$ ans.}]

Le taux de sortie est

[300,000]

et le taux en est

[0.04x.]

On a l'équation différentielle

[ dfrac{dx}{dt} = 0,04x - 300 000.]

Celui-ci est à la fois linéaire du premier ordre et séparable. Nous séparons et intégrons pour obtenir

[egin{align} int dfrac{dx}{0.04x - 300.000} &= int dt implies 25, ln, (0.04, x - 300.000) &= t + C_1 implique 0,04x - 300 000 &= C_2 e^{frac{t}{25}} implique x &= Ce^{frac{t}{25}} + 7 500 000. end{aligner}]

Utilisez maintenant la condition initiale que lorsque (t = 0), (x = 5 000 000)

[ 5 000 000 = C + 7 500 000. ]

De sorte que

[ x = -2.500.000, e^{t/25} + 7.500.000. ]

Brancher 20 pour (t) donne

[ x = 1 936 148. ]

Il vous restera environ 2 millions de dollars.


La méthode d'Euler

La méthode numérique la plus simple pour estimer les solutions d'équations différentielles est la méthode d'Euler. Considérons une équation différentielle du premier ordre avec une condition initiale :

La procédure pour la méthode d'Euler est la suivante :

Construire l'équation de la droite tangente à la fonction inconnue $y(t)$ à $t=t_0$ :

où $y'(t_0) = f(y_0,t_0)$ est la pente de $y(t)$ à $t=t_0$.

Utilisez la ligne tangente pour approximer $y(t)$ à un petit pas de temps $t_1 = t_0 + h$ : $ y_1 = y_0 + f(y_0,t_0)(t_1 - t_0) $ où $y_1 approx y(t_1 )$.

Construisez la ligne tangente au point $(t_1,y_1)$ et répétez.

La formule de la méthode d'Euler définit une suite récursive :

$ y_ = y_n + f(y_n,t_n)(t_ - t_n) , y_0 = y(t_0) $

où $y_n approx y(t_n)$ pour chaque $n$. Si nous choisissons des valeurs $t$ également espacées, la formule devient

$ y_ = y_n + f(y_n,t_n)h , y_0 = y(t_0) , t_n = t_0 + nh $

au pas de temps $h = t_ - t_n$.

Notez deux choses très importantes sur la méthode d'Euler et les méthodes numériques en général :

  • Un pas de temps $h$ plus petit réduit l'erreur dans l'approximation.
  • Un pas de temps $h$ plus petit nécessite plus de calculs !

2.3 : Solutions oscillatoires aux équations différentielles

Les conditions aux limites pour la chaîne maintenue à zéro aux deux extrémités soutiennent que (u(x,t)) s'effondre à zéro aux extrémités de la chaîne (Figure (PageIndex<1>)).

Figure (PageIndex<1>) : Ondes stationnaires dans une chaîne (à la fois spatialement et temporellement). de Wikipédia.

Malheureusement, lorsque (K>0), la solution générale (Équation 2.2.7) donne une somme de décroissances et de croissances exponentielles qui ne peuvent pas atteindre les conditions aux limites (sauf pour la solution triviale) d'où (K<0). Cela signifie que nous devons introduire des nombres complexes en raison de la (sqrt) termes de l'équation 2.2.5. On peut donc réécrire (K) :

La solution générale aux équations différentielles de la forme de l'équation ef <2.3.2>est

Vérifiez que l'équation ( ef<2.3.3>) est la forme générale des équations différentielles de la forme de l'équation ( ef<2.3.2>), qui lorsqu'elle est remplacée par l'équation ( ef<2.3. 1>) donner

Développez les exponentielles complexes en fonctions trigonométriques via la formule d'Euler ((e^ = cos heta + isin heta))

[X(x) = A left[cos (px) + i sin (px) ight] + B left[ cos (px) - i sin (px) ight] onumber]

[X(x) = (A + B ) cos (px) + i (A - B) sin (px) label<2.3.6>]

Présenter de nouveaux complexe constantes (c_1=A+B) et (c_2=i(A-B)) de sorte que la solution générale dans l'équation ( ef<2.3.6>) peut être exprimée sous forme de fonctions oscillatoires

[X(x) = c_1 cos (px) + c_2 sin (px) label<2.3.7>]

Appliquons maintenant les conditions aux limites de l'équation 2.2.7 pour déterminer les constantes (c_1) et (c_2). La substitution de la première condition aux limites ((X(x=0)=0)) dans les solutions générales de l'équation ( ef<2.3.7>) donne

[ commencer X(x=0) = c_1 cos (0) + c_2 sin (0) &=0 onumber [4pt] c_1 + 0 &= 0 onumber [4pt] c_1 &=0 label < 2.3.8c>fin]

et en substituant la deuxième condition aux limites ((X(x=L)=0)) dans les solutions générales de l'équation ( ef<2.3.7>) aboutit à

[ X(x=L) = c_1 cos (pL) + c_2 sin (pL) = 0 label<2.3.9>]

nous savons déjà que (c_1=0) à partir de la première condition aux limites donc l'équation ( ef<2.3.9>) se simplifie en

Étant donné les propriétés des sinus, l'équation ( ef<2.3.9>) se simplifie en

avec (n=0) est le solution triviale que l'on ignore donc (n = 1, 2, 3. ).

La substitution des équations ( ef<2.3.12>) et ( ef<2.3.8c>) dans l'équation ( ef<2.3.7>) donne

[X(x) = c_2 sin left(dfrac ight) onumber]

[X(x) = c_2 sin left( omega x ight) onumber]

Un argument similaire s'applique à l'autre moitié de la ansatz ((T(t))).

Soit deux ondes progressives : [ psi_1 = sin <(c_1 x+c_2 t)> extrm < and > psi_2 = sin <(c_1 x-c_2 t)> onumber]

  1. Trouvez la longueur d'onde et la vitesse d'onde de ( psi_1 ) et ( psi_2 )
  2. Recherchez les nœuds suivants et identifiez-les : [ psi_+ = psi_1 + psi_2 extrm < et > psi_- = psi_1 - psi_2 onumber]

(psi_1 ) est une fonction sin. A chaque entier ( n pi ) où (n=0,pm 1, pm 2, . ), une fonction sin sera nulle. Ainsi, ( psi_1 = 0 ) lorsque (c_1 x + c_2 t = pi n ). Résoudre le x, en ignorant les solutions triviales :

La vitesse de cette onde est :

De même pour ( psi_2 ). A chaque entier ( n pi ) où (n=0,pm 1, pm 2, . ), une fonction sin sera nulle. Ainsi, ( psi_2 = 0 ) lorsque (c_1 x - c_2 t = pi n ). Résoudre pour x, pour ( psi_2 ):

La vitesse de cette onde est :

La longueur d'onde de chaque onde est le double de la distance entre deux nœuds successifs. Autrement dit,

Trouvez ( psi_+ = psi_1 + psi_2 extrm < et > psi_- = psi_1 - psi_2 ).

[ commencer psi_+ &= sin (c_1 x + c_2 t) + sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] &= sin (c_1 x ) cos (c_2 t) + cancel + sin (c_1 x ) cos (c_2 t) - annuler [4pt] &= 2sin (c_1 x ) cos (c_2 t) end]

Cela devrait avoir un nœud à chaque ( x= n pi / c_1 ) et

[ commencer psi_- &= sin (c_1 x + c_2 t) - sin (c_1 x - c_2 t) [4pt] &= cancel + cos (c_1 x) sin(c_1 t) - cancel + cos(c_1 x) sin(c_1 t) [4pt] &= 2cos (c_1 x ) sin (c_2 t) end]


Q = quantité de sel dans le réservoir.

dQ/dt a des unités de masse/temps, n'est-ce pas ?
Ainsi, le "rate in" et le "rate out" doivent également avoir ces mêmes unités.

Maintenant, l'eau pure entre dans le réservoir au débit de 12L/min. Ce taux en ne contient pas de sel, donc taux en = 0.

Le taux de sortie est délicat. Le taux de sortie de sel est la concentration de sel multipliée par le taux de sortie de la solution. Notez que vous avez (kg/L)*(L/min), ce qui donne kg/min--exactement les unités. La concentration est la quantité de sel (qui est Q à tout moment) sur le volume de la solution (qui est initialement de 2000L, mais change ensuite de 6L/min - 12L/min).

Vous devriez le voir d'ici.

Je ne comprends pas, comment puis-je l'expliquer? Le taux entrant est de l'eau pure, le taux sortant est une solution, je ne peux pas mélanger ces deux taux, n'est-ce pas ? Cela n'aurait pas de sens par unité.

Ce problème est-il destiné à être réduit à une entreprise de taux d'entrée - taux de sortie ou dois-je abandonner cette idée ?

Je ne comprends pas, comment puis-je l'expliquer? Le taux entrant est de l'eau pure, le taux sortant est une solution, je ne peux pas mélanger ces deux taux, n'est-ce pas ? Cela n'aurait pas de sens par unité.

Ce problème est-il destiné à être réduit à une entreprise de taux d'entrée - taux de sortie ou dois-je abandonner cette idée ?

Il est clair que le taux de sel entrant dans le réservoir est de 0, n'est-ce pas ?

La vitesse de sortie dépend de la concentration et de la vitesse de sortie de la solution, n'est-ce pas ?

La concentration dépend de la quantité de sel et de la quantité de solution.

Quelle est la quantité de solution (c'est-à-dire le volume du réservoir) à tout moment ? Vous en avez besoin pour connaître la concentration à tout moment, t.

Voici un début.
dQ/dt = taux de sel entre - taux de sel feuilles

C'est pour le sel. Maintenant, pour le volume ou quantité de solution :
dV/dt = taux de solution entre - taux de solution part.
Nous savons que la solution entre à 6L/min (c'est de l'eau pure, mais cela affecte toujours le volume du réservoir), et la solution sort à 12L/min (c'est une concentration, mais cela affecte toujours le volume du réservoir.
Par conséquent,
dV/dt = 6 - 12 = -6

Utilisez cela (et une condition initiale donnée) pour trouver une expression pour V à tout moment. Où va V dans votre dQ/dt diff eq ?


Un premier cours d'équations différentielles avec des applications de modélisation 11e édition

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Contenu

Parce que la plupart des réactions chimiques qui sont importantes pour une compréhension scientifique de notre monde impliquent des mécanismes complexes, le développement de modèles mathématiques de telles réactions doit être précédé par une quantité substantielle de travaux théoriques et expérimentaux en chimie visant à recueillir une compréhension des mécanismes. Dans ce module, nous limiterons notre attention à l'étude de Facile réactions chimiques. Les réactions simples sont des réactions qui n'impliquent pas de mécanismes complexes. L'étude de réactions simples est un bon point de départ pour l'apprentissage de certaines mathématiques qui se rapportent également à l'étude de réactions plus complexes.

1.1 Unités de mesure et notation

Comme les molécules sont très petites, les quantités de molécules sont mesurées en unités de taupes. Une mole de molécules est un Le numéro d'Avogadro de molécules. Le numéro d'Avogadro est d'environ 6,022×10 23 . Ainsi, par exemple, deux moles équivalent à 1,2044×10 24 molécules. Les concentrations de molécules dans une solution sont mesurées en unités de molarités (M). Une molarité est une mole de soluté par litre de solution. Par exemple, une solution aqueuse 2 M de chlorure de sodium (NaCl) est une solution constituée de deux moles de NaCl pour chaque litre de solution. La notation [A] désigne la concentration (en molarités) d'une molécule A en solution. Ainsi, si nous écrivons [NaCl] = 2 M, nous voulons dire que nous avons une solution avec une concentration de 2 M de chlorure de sodium.


Méthode alternative 1 : Méthode d'intervalle fini

Grâce à des années d'expérience, j'ai appris que tout le monde ne peut pas configurer et résoudre une équation différentielle. Au lieu de résoudre réellement l'équation différentielle, nous pouvons simplement faire une estimation éclairée en utilisant la méthode des intervalles finis dont nous avons discuté en détail dans l'article précédent. Voici le résumé de la procédure.

  1. Décidez de l'intervalle de temps.
  2. Calculer la nouvelle concentration après l'ajout de la nouvelle solution. Cette concentration doit être égale à la concentration de la solution sortante. Assurez-vous que le volume ajouté est cohérent avec l'intervalle de temps utilisé, c'est-à-dire si le débit volumétrique est de 5 L par minute et l'intervalle de temps est de 0,5 minutes, le volume ajouté par intervalle est de (5) (0,5) = 2,5 L.
  3. Calculez la quantité de sel restant après cet intervalle.
  4. Répétez les étapes 2 et 3 jusqu'à ce que la durée ou la quantité souhaitée soit atteinte.

Notez que la méthode nécessite beaucoup de temps et d'efforts, surtout si vous n'utilisez qu'une calculatrice scientifique. J'ai créé un exemple de modèle de feuille de calcul pour cette simulation au cas où vous voudriez vous entraîner (voir le lien ci-dessous).

Pour l'exemple de problème ci-dessus, nous avons les entrées suivantes :

Pour des intervalles d'une minute, on obtient (Q(10)=10,97) et (Q(57,00) = 15). On voit aussi que (Q(t)) tend vers 30 lorsque (t) tend vers l'infini.

Personnellement, je pense que cette approche est la meilleure lorsque vous avez du mal à comprendre comment configurer ou résoudre le modèle DE. Tant que vous comprenez le principe, vous pourrez peut-être résoudre (enfin, faire des approximations techniquement décentes) aux problèmes de mixage.


Solutions pour le chapitre 2.3 : Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre

Solutions pour le chapitre 2.3 : Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre

  • 2.3.1 : Considérons un réservoir utilisé dans certaines expériences hydrodynamiques. Après un.
  • 2.3.2 : Un réservoir contient initialement 120 L d'eau pure. Un mélange contenant.
  • 2.3.3 : Un réservoir contient 100 gallons d'eau et 50 onces de sel. Contenant de l'eau.
  • 2.3.4 : Supposons qu'un réservoir contenant un certain liquide ait une sortie près de .
  • 2.3.5 : Supposons qu'une somme S0 soit investie à un taux de rendement annuel r com.
  • 2.3.6 : Un jeune sans capital initial investit k dollars par an a.
  • 2.3.7 : Un certain diplômé collégial emprunte 8 000 $ pour acheter une voiture. Le prêteur c.
  • 2.3.8 : Un récent diplômé collégial emprunte 150 000 $ à un taux d'intérêt de 6.
  • 2.3.9 : Un outil important dans la recherche archéologique est la datation au radiocarbone, .
  • 2.3.10 : Supposons qu'une certaine population ait un taux de croissance variable.
  • 2.3.11 : Supposons qu'une certaine population satisfasse la valeur initiale probl.
  • 2.3.12 : La loi de Newton de refroidissement stipule que la température d'un objet cha.
  • 2.3.13 : Transfert de chaleur d'un corps à son environnement par rayonnement, basé o.
  • 2.3.14 : Considérons un caisson isotherme (un bâtiment, peut-être) avec tempe interne.
  • 2.3.15 : Considérons un lac de volume constant V contenant à l'instant t une quantité.
  • 2.3.16 : Une balle d'une masse de 0,15 kg est lancée vers le haut avec une vitesse initiale 20 .
  • 2.3.17 : Supposons que les conditions soient les mêmes sauf qu'il existe une force d.
  • 2.3.18 : Supposons que les conditions soient les mêmes sauf qu'il existe une force d.
  • 2.3.19 : Un corps de masse constante m est projeté verticalement vers le haut avec un in.
  • 2.3.20 : Un corps de masse m est projeté verticalement vers le haut avec un niveau initial.
  • 2.3.21 : Un corps tombant dans un fluide relativement dense, de l'huile par exemple, est acté.
  • 2.3.22 : Soient v(t) et w(t) les composantes horizontale et verticale, respec.
  • 2.3.23 : Un modèle plus réaliste (que celui en 22) d'une balle de baseball en vol.
  • 2.3.24 : Problème brachistochrone. L'un des problèmes célèbres de l'histoire.
Manuel : Équations différentielles élémentaires et problèmes de valeurs aux limites
Édition : 11
Auteur : Boyce, Diprima, Meade
ISBN : 9781119256007

Le chapitre 2.3 : Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre comprend 24 solutions complètes étape par étape. Ce manuel de survie a été créé pour le manuel : Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, edition : 11. Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems a été écrit par et est associé à l'ISBN : 9781119256007. Depuis 24 problèmes dans le chapitre 2.3 : Modélisation avec Les équations différentielles du premier ordre ont été répondues, plus de 23745 étudiants ont vu les solutions complètes étape par étape de ce chapitre. Ce guide de survie de manuel expansif couvre les chapitres suivants et leurs solutions.

Les n racines sont les valeurs propres de A.

Supprimer la ligne i et la colonne j multiplier le déterminant par (-I)i + j •

Doit avoir n vecteurs propres indépendants (dans les colonnes de S automatique avec n valeurs propres différentes). Alors S-I AS = A = matrice de valeurs propres.

A = S-1 AS. A = matrice de valeurs propres et S = matrice de vecteurs propres de A. A doit avoir n vecteurs propres indépendants pour rendre S inversible. Tout Ak = SA k S-I.

A(B + C) = AB + AC. Additionner puis multiplier, ou mUltiply puis additionner.

Une séquence d'opérations sur les lignes qui réduit A à un U triangulaire supérieur ou à la forme réduite R = rref(A). Alors A = LU avec des multiplicateurs eO dans L, ou P A = L U avec des échanges de lignes dans P, ou E A = R avec un E inversible.

0,1,1,2,3,5, . satisfaire Fn = Fn-l + Fn- 2 = (A7 -A

)I()q -A2). Le taux de croissance Al = (1 + .J5) 12 est la plus grande valeur propre de la matrice de Fibonacci [ > A].

Colonnes sans pivots, ce sont des combinaisons de colonnes antérieures.

Ensemble de n nœuds reliés deux à deux par m arêtes. Un graphe complet a tous les n(n - 1)/2 arêtes entre les nœuds. Un arbre n'a que n - 1 arêtes et aucune boucle fermée.

Le sous-espace couvert par b, Ab, . , Aj-Ib. Les méthodes numériques approximent A -I b par x j avec le résidu b - Ax j dans ce sous-espace. Une bonne base pour K j ne nécessite qu'une multiplication par A à chaque étape.

Le vecteur x qui minimise le mensonge d'erreur 112 résout AT Ax = ATb. Alors e = b - Ax est orthogonal à toutes les colonnes de A.

Le polynôme de degré le plus bas avec meA) = matrice zéro. C'est peA) = det(A - AI) si aucune valeur propre n'est répétée toujours meA) divise peA).

La matrice n par m qui "inverse" A de l'espace des colonnes à l'espace des lignes, avec N(A+) = N(AT). A+ A et AA+ sont les matrices de projection sur l'espace ligne et l'espace colonne. Rang(A +) = rang(A).

= nombre de pivots = dimension de l'espace des colonnes = dimension de l'espace des lignes.

Le vecteur unitaire u se traduit par Qu = -u. Tous les x dans le miroir du plan Tx = o ont Qx = x. Remarquez QT = Q-1 = Q.

Espace de tout (v dans V) + (w dans W). Somme directe : V n W = à>.

Entrées AL = Ajj. AT est n par In, AT A est carré, symétrique, positif semi-défini. Les transposés de AB et A-I sont BT AT et (AT)-I.


1 Présentation 1

1.1 Quelques champs de direction de modèles mathématiques de base 1

1.2 Solutions de quelques équations différentielles 9

1.3 Classification des équations différentielles 16

2 Équations différentielles du premier ordre 24

2.1 Méthode d'intégration des facteurs par équations différentielles linéaires 24

2.2 Équations différentielles séparables 33

2.3 Modélisation avec des équations différentielles du premier ordre 39

2.4 Différences entre les équations différentielles linéaires et non linéaires 51

2.5 Équations différentielles autonomes et dynamique des populations 58

2.6 Équations différentielles exactes et facteurs d'intégration 70

2.7 Approximations numériques : méthode d'Euler 76

2.8 Le théorème d'existence et d'unicité 83

2.9 Équations aux différences du premier ordre 91

3 Équations différentielles linéaires du second ordre 103

3.1 Équations différentielles homogènes à coefficients constants 103

3.2 Solutions des équations linéaires homogènes du Wronskian 110

3.3 Racines complexes de l'équation caractéristique 120

3.4 Réduction des racines répétées de l'ordre 127

3.5 Méthode des équations non homogènes à coefficients indéterminés 133

3.6 Variation des paramètres 142

3.7 Vibrations mécaniques et électriques 147

3.8 Vibrations périodiques forcées 159

4 Équations différentielles linéaires d'ordre supérieur 169

4.1 Théorie générale de m Équations différentielles linéaires d'ordre 169

4.2 Équations différentielles homogènes à coefficients constants 174

4.3 La méthode des coefficients indéterminés 181

4.4 La méthode de variation des paramètres 185

5 Solutions en série des équations linéaires du second ordre 189

5.1 Examen de la série Power 189

5.2 Solutions en série près d'un point ordinaire, partie I 195

5.3 Solutions de la série près d'un point ordinaire, partie II 205

5.4 Equations d'Euler Points singuliers réguliers 211

Solutions de la série 5.5 près d'un point singulier régulier, partie I 219

Solutions de la série 5.6 près d'un point singulier régulier, partie II 224

6 La transformation de Laplace 241

6.1 Définition de la transformée de Laplace 241

6.2 Résolution des problèmes de valeur initiale 248

6.4 Équations différentielles avec fonctions de forçage discontinu 264

6.6 L'intégrale de convolution 275

7 Systèmes d'équations linéaires du premier ordre 281

7.3 Systèmes d'équations algébriques linéaires Indépendance linéaire, valeurs propres, vecteurs propres 295


Voir la vidéo: Equations différentielles linéaires du premier ordre avec Géogébra (Décembre 2021).