Des articles

2.4.2 : Interprétation des graphiques de relations proportionnelles


Leçon

Lisons des histoires à partir des graphiques de relations proportionnelles.

Exercice (PageIndex{1}) : Que pourrait représenter le graphique ?

Voici un graphique qui représente une relation proportionnelle.

  1. Inventez une situation qui pourrait être représentée par ce graphique.
  2. Étiquetez les axes avec les quantités dans votre situation.
  3. Donnez un titre au graphique.
  4. Il y a un point sur le graphique. Quelles sont ses coordonnées ? Que représente-t-il dans votre situation ?

Exercice (PageIndex{2}) : la marche de Tyler

Tyler était au parc d'attractions. Il marchait d'un pas régulier de la billetterie aux autos tamponneuses.

  1. Le point sur le graphique montre son arrivée aux autos tamponneuses. Que nous disent les coordonnées du point sur la situation ?
  2. Le tableau représentant la marche de Tyler montre d'autres valeurs de temps et de distance. Compléter le tableau. Ensuite, tracez les paires de valeurs sur la grille.
  3. Que signifie le point ((0,0)) dans cette situation ?
  4. À quelle distance de la billetterie se trouvait Tyler après 1 seconde ? Étiquetez le point sur le graphique qui montre cette information avec ses coordonnées.
  5. Quelle est la constante de proportionnalité de la relation entre le temps et la distance ? Qu'est-ce que ça te dit sur la marche de Tyler ? Où le voyez-vous dans le graphique ?
temps (secondes)distance (mètres)
(0)(0)
(20)(25)
(30)(37.5)
(40)(50)
(1)
Tableau (PageIndex{1})

Êtes-vous prêt pour plus?

Si Tyler voulait atteindre les autos tamponneuses en deux fois moins de temps, comment le graphique représentant sa marche changerait-il ? Comment le tableau changerait-il ? Qu'en est-il de la constante de proportionnalité ?

Exercice (PageIndex{3}) : les mouettes mangent quoi ?

4 mouettes ont mangé 10 livres d'ordures. Supposons que cette information décrit une relation proportionnelle.

  1. Tracez un point qui montre le nombre de mouettes et la quantité de déchets qu'elles ont mangé.
  2. Utilisez une règle pour tracer une ligne passant par ce point et ((0,0)).
  3. Tracez le point ((1,k)) sur la ligne. Quelle est la valeur de (k) ? Que vous dit la valeur de (k) sur ce contexte ?

Résumé

Pour la relation représentée dans ce tableau, (y) est proportionnel à (x). On peut voir dans le tableau que (frac{5}{4}) est la constante de proportionnalité car c'est la valeur (y) lorsque (x) vaut 1.

L'équation (y=frac{5}{4}x) représente également cette relation.

(X)(y)
(4)(5)
(5)(frac{25}{4})
(8)(10)
(1)(frac{5}{4})
Tableau (PageIndex{2})

Voici le graphique de cette relation.

Si (y) représente la distance en pieds qu'un escargot parcourt en (x) minutes, alors le point ((4,5)) nous indique que l'escargot peut ramper 5 pieds en 4 minutes.

Si (y) représente les tasses de yaourt et (x) représente les cuillères à café de cannelle dans une recette de trempette aux fruits, alors le point ((4,5)) nous indique que vous pouvez mélanger 4 cuillères à café de cannelle avec 5 tasses de yogourt pour faire cette trempette aux fruits.

Nous pouvons trouver la constante de proportionnalité en regardant le graphique, car (frac{5}{4}) est la (y)-coordonnée du point sur le graphique où la (x)-coordonnée est 1. Cela pourrait signifier que l'escargot voyage (frac{5}{4}) pieds par minute ou que la recette demande (1frac{1}{4}) tasses de yaourt pour chaque cuillère à café de la cannelle.

En général, lorsque (y) est proportionnel à (x), la constante de proportionnalité correspondante est la valeur (y) lorsque (x=1).

Entrées du glossaire

Définition : Plan de coordonnées

Le plan de coordonnées est un système pour dire où se trouvent les points. Par example. le point (R) est situé à ((3,2)) sur le plan de coordonnées, car il est à trois unités vers la droite et deux unités vers le haut.

Définition : Origine

L'origine est le point ((0,0)) dans le plan de coordonnées. C'est là que l'axe horizontal et l'axe vertical se croisent.

Entraine toi

Exercice (PageIndex{4})

Il existe une relation proportionnelle entre le nombre de mois pendant lesquels une personne a eu un abonnement à un film en streaming et le montant total d'argent qu'elle a payé pour l'abonnement. Le coût pour 6 mois est de 47,94 $. Le point ((6,47,94)) est représenté sur le graphique ci-dessous.

  1. Quelle est la constante de proportionnalité dans cette relation ?
  2. Que nous dit la constante de proportionnalité sur la situation ?
  3. Ajoutez au moins trois autres points au graphique et étiquetez-les avec leurs coordonnées.
  4. Écrivez une équation qui représente la relation entre (C), le coût total de l'abonnement, et (m), le nombre de mois.

Exercice (PageIndex{5})

Le graphique montre les quantités d'amandes, en grammes, pour différentes quantités d'avoine, en tasses, dans un mélange de céréales. Étiquetez le point ((1,k)) sur le graphique, trouvez la valeur de (k) et expliquez sa signification.

Exercice (PageIndex{6})

Pour faire un bracelet d'amitié, de longues ficelles sont alignées puis en prenant une chaîne et en la nouant avec chacune des autres chaînes pour créer une rangée de nœuds. Une nouvelle chaîne est choisie et nouée avec toutes les autres chaînes pour créer une deuxième rangée. Ce processus est répété jusqu'à ce qu'il y ait suffisamment de rangées pour faire un bracelet qui s'adaptera au poignet de votre ami.

Le nombre de nœuds est-il proportionnel au nombre de rangs ? Expliquez votre raisonnement.

(De l'unité 2.3.3)

Exercice (PageIndex{7})

Quelles informations avez-vous besoin de savoir pour écrire une équation reliant deux quantités qui ont une relation proportionnelle ?

(De l'unité 2.3.3)


Interprétation des points sur le graphique d'une relation proportionnelle

Les élèves interpréteront les points sur le graphique d'une relation proportionnelle. Les étudiants :

  • interpréter des points sur un graphique, qui modélise une relation proportionnelle du monde réel. Les points comprendront l'origine et le taux unitaire.

Questions essentielles

  • Comment les mathématiques sont-elles utilisées pour quantifier, comparer, représenter et modéliser des nombres ?
  • Comment les relations sont-elles représentées mathématiquement ?
  • Comment utiliser des expressions, des équations et des inégalités pour quantifier, résoudre, modéliser et/ou analyser des situations mathématiques ?

Vocabulaire

  • Proportion: Une équation de la forme qui indique que les deux rapports sont équivalents.
  • Rapport: Une comparaison de deux nombres par division.
  • Taux unitaire: Un taux simplifié pour qu'il ait un dénominateur de 1.

Durée

Compétences préalables

Matériaux

  • une copie du ticket de sortie de la leçon 3 (M-7-3-3_ticket de sortie de la leçon 3 et KEY.docx) par élève
  • copies de la feuille de travail Pratique en petit groupe (M-7-3-3_Pratique en petit groupe et KEY.docx) au besoin
  • Copies de la feuille de travail d'expansion (M-7-3-3_Expansion Work et KEY.docx) au besoin

Unités connexes et plans de cours

Matériaux et ressources connexes

L'inclusion possible de sites Web commerciaux ci-dessous n'est pas une approbation implicite de leurs produits, qui ne sont pas gratuits et ne sont pas requis pour ce plan de cours.

  • une copie du ticket de sortie de la leçon 3 (M-7-3-3_ticket de sortie de la leçon 3 et KEY.docx) par élève
  • copies de la feuille de travail Pratique en petit groupe (M-7-3-3_Pratique en petit groupe et KEY.docx) au besoin
  • Copies de la feuille de travail d'expansion (M-7-3-3_Expansion Work et KEY.docx) au besoin

L'évaluation formative

  • Utilisez les réponses de l'activité Think-Pair-Share pour évaluer le niveau de compréhension des élèves de la signification de l'origine et du taux unitaire dans les relations proportionnelles.
  • Utilisez le jeu des partenaires pour déterminer la capacité des élèves à générer une relation proportionnelle et à interpréter les points sur une ligne.
  • Utilisez le ticket de sortie de la leçon 3 (M-7-3-3_ticket de sortie de la leçon 3 et KEY.docx) pour évaluer rapidement la maîtrise des élèves.

Supports pédagogiques suggérés

Échafaudage, engagement actif, métacognition, modélisation, évaluation formative
W : Les élèves apprendront à interpréter les points sur le graphique d'une relation proportionnelle en fonction du contexte. Ces points comprendront le taux unitaire et l'origine.
H : Les élèves seront accrochés à la leçon en faisant d'abord un remue-méninges sur les concepts d'origine et de taux unitaire dans une relation proportionnelle.
E : L'objectif de la leçon est d'interpréter les points sur la ligne d'un graphique d'une relation proportionnelle. Les élèves travailleront en petits groupes pour explorer et examiner les relations proportionnelles en profondeur pendant que la classe est dirigée par des exemples dirigés par l'enseignant.
R : Les occasions de discussion commencent au début de la leçon. À l'aide de l'activité Think-Pair-Share, les élèves ont l'occasion de réfléchir à leur compréhension et de réviser si nécessaire. Les élèves discuteront des exemples dans leurs groupes et avec toute la classe. Le Partner Game servira de révision car il oblige les étudiants à créer une relation proportionnelle et à poser et répondre à des questions liées à l'apparence du graphique.
E : Évaluez le niveau de compréhension des élèves en fonction des réponses au ticket de sortie de la leçon 3. Si le temps disponible est limité, deux ou trois questions peuvent être sélectionnées pour être utilisées sur le Billet de sortie au lieu de l'administrer dans son intégralité.
T : La section Extension peut être utilisée pour adapter la leçon aux besoins des étudiants. La section Routine offre des possibilités de révision du concept de leçon au cours de l'année scolaire. La section Petit groupe comprend des idées pour les étudiants qui pourraient bénéficier d'opportunités supplémentaires de pratique ou d'apprentissage. La section Expansion détaille les options pour les étudiants qui sont prêts à relever un défi au-delà des exigences de la norme.
O : La leçon est structurée de manière à ce que les élèves se concentrent d'abord sur la signification conceptuelle des points sur la ligne d'un graphique d'une relation proportionnelle. Ensuite, les élèves travaillent sur des exemples explicites de contextes du monde réel qui représentent des relations proportionnelles. Ils interpréteront la signification des points sur le graphique, y compris le taux unitaire et l'origine. Après discussion des exemples, les étudiants participeront au Partner Game et termineront l'évaluation finale.

Procédures d'instruction

Activité Think-Pair-Share

&ldquoAujourd'hui, nous allons parler de certains des points sur le graphique d'une ligne. Nous voulons comprendre la signification de deux points en particulier et comprendre ce qui est si spécial à propos de ces points.» Demandez aux élèves de réfléchir à la signification des points (0, 0) et (1, r), sur le graphique d'une relation proportionnelle. Donnez aux élèves 2&ndash3 minutes pour faire un remue-méninges sur la signification de ces deux points. Ensuite, demandez aux élèves de choisir un partenaire pour partager leurs idées. Après environ 5 minutes, la classe peut se réunir à nouveau et un membre de chaque groupe peut partager ses réflexions sur la signification des deux points.

En commençant la leçon par une approche plus générale, vous pourrez déterminer le niveau de connaissances préalables des élèves lié à l'idée de l'origine et du taux unitaire. Une fois que les élèves ont partagé leurs idées, la leçon peut passer à des exemples spécifiques impliquant des situations du monde réel.

Pour chaque exemple, répartissez les élèves en groupes de 2&ndash3. Les groupes peuvent travailler ensemble pendant que toute la classe passe d'un exemple à l'autre. Les élèves devraient discuter et débattre d'idées entre eux. Les groupes doivent contribuer à la discussion en classe. Les questions données sont conçues comme des exemples et des lignes directrices. En outre, il peut être nécessaire de montrer plus d'exemples. Les trois premiers exemples incluent le taux unitaire dans la déclaration, qui décrit la relation proportionnelle. Dans ces exemples, le graphique a également le point (1, r) étiqueté. Les quelques exemples suivants fournissent aux élèves un graphique sans aucun point étiqueté. En suivant les exemples, les élèves auront l'occasion d'effectuer un travail individuel.

Exemple 1: Ana crée un motif à l'aide de diagrammes de carrés. Pour le premier diagramme de sa régularité, elle dessine 3 carrés. Pour chaque diagramme suivant, elle dessine 3 carrés de plus que dans le diagramme précédent. Une illustration du modèle Ana&rsquos est ci-dessous :

  • &ldquoQuelle affirmation pouvez-vous faire sur le nombre de carrés dans chaque diagramme par rapport au numéro du diagramme ?&rdquo (La relation est proportionnelle.) &ldquoComment cette relation peut-elle être représentée sous forme d'équation ?&rdquo (Il peut être écrit comme, où y représente le nombre de carrés dans le diagramme et x représente le numéro de position du diagramme.)
  • Demandez aux élèves de réfléchir à l'apparence du graphique de cette régularité. Posez des questions semblables aux suivantes :
    • &ldquoÀ quoi ressemblera le graphique de la relation ? Comment le sais-tu ?»
    • &ldquoOù le graphique croisera-t-il le oui-axe ?&rdquo
    • &ldquoQuel point représentera le taux unitaire, ou constante de proportionnalité ?&rdquo

    Un tableau avec des exemples de questions et des réponses correctes est présenté ci-dessous :

    Exemples de questions

    Exemples de réponses

    Qu'indique l'origine, ou le point (0, 0), dans le contexte de cet exemple ?

    Le point (0, 0) indique que le diagramme 0 aurait 0 carrés. En d'autres termes, aucun carré n'est montré dans un diagramme avant le diagramme 1.

    Quel point représente le taux unitaire ?

    Le taux unitaire est représenté par le point (1, 3).

    Qu'indique le point (1, 3) ? Donnez le sens dans le contexte de cet exemple.

    Le point (1, 3) est le taux unitaire ou constante de proportionnalité. Il indique le nombre de nouveaux carrés ajoutés à chaque diagramme. Le diagramme 1 comprend 3 carrés. Ainsi, chaque diagramme suivant montre 3 carrés supplémentaires.

    Qu'indique le point (&moins2, &moins6) ? L'interprétation de ce point a-t-elle un sens dans le contexte de cet exemple ? Expliquer.

    Le point (&moins2, &moins6) indiquerait que la position de moins 2 montre moins 6 carrés. Cela n'a pas de sens, puisque les diagrammes commencent à la position 1, avec un nombre positif de carrés.

    Qu'indique le point (3, 9) ? Donnez le sens, dans le contexte de cet exemple.

    Le point (3, 9) indique que le diagramme 3 a 9 carrés.

    Quel point du graphique représente le nombre de carrés inclus dans le diagramme 4 ?

    Combien de carrés seront inclus dans le diagramme 5 ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

    Le diagramme 5 aura 15 carrés car 3 fois 5 égale 15. Une valeur x de 5 correspond à une valeur y de 15.

    Quel numéro de diagramme aura un total de 21 carrés ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

    Le diagramme 7 aura 21 carrés. Cette réponse peut être déterminée en trouvant la valeur x qui correspond à la valeur y de 21. Cette valeur x est 7.

    Quel numéro de diagramme aura un total de 51 carrés ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

    Le diagramme 17 aura 51 carrés. Puisque le taux de variation est de 3, l'équation suivante peut s'écrire : . La résolution de x donne x = 17.

    Qu'indiquent les autres points de la ligne ?

    Les autres points indiquent toutes les autres combinaisons de numéros de position du diagramme et de nombre de carrés dans le diagramme.

    Nommez un autre point trouvé sur la ligne du graphique. Donnez le sens du point.

    Un autre point est (8, 24). Ce point indique que le diagramme 8 contient 24 carrés.

    Exemple 2: Aubrey économise 25 $ par mois.

    • &ldquoQue peut-on dire concernant la relation entre ses économies cumulées et le nombre de mois qui se sont écoulés ?&rdquo (La relation est proportionnelle.)
    • &ldquoComment cette relation peut-elle être représentée sous forme d'équation ?&rdquo (Il peut être écrit comme, où y représente les économies cumulées et x représente le nombre de mois qui se sont écoulés.)
    • Demandez aux élèves de réfléchir à l'apparence du graphique de cette régularité. Posez des questions semblables aux suivantes :
      • &ldquoÀ quoi ressemblera le graphique de la relation ? Comment le sais-tu ?»
      • &ldquoOù le graphique croisera-t-il le oui-axe ?&rdquo
      • &ldquoQuel point représentera le taux unitaire, ou constante de proportionnalité ?&rdquo

      Un tableau avec des exemples de questions et des réponses correctes est présenté ci-dessous :

      Exemples de questions

      Exemples de réponses

      Qu'indique l'origine ou le point (0, 0) dans le contexte de cet exemple ?

      Le point (0, 0) indique qu'après 0 mois, son épargne cumulée est de . En d'autres termes, elle ne fait pas de dépôt initial avant le mois 1. Vous pouvez également discerner à partir de ce point que le mois 1 ne comprend aucune épargne, en plus du montant du taux unitaire.

      Quel point représente le taux unitaire ?

      Le taux unitaire est représenté par le point (1, 25).

      Qu'indique le point (1, 25) ? Donnez le sens dans le contexte de cet exemple.

      Le point (1, 25) est le taux unitaire ou constante de proportionnalité. Il indique le montant de l'épargne par mois. Après 1 mois, elle a économisé 25 $. Ainsi, pour chaque mois suivant, elle économise 25 $ supplémentaires.

      Qu'indique le point (&moins1, &moins25) ? L'interprétation de ce point a-t-elle un sens dans le contexte de cet exemple ? Expliquer.

      Le point (&moins1, &moins25) indiquerait qu'après moins 1 mois, elle a économisé moins 25 dollars. Cela n'a pas de sens, dans le contexte de l'exemple, puisque vous ne pouvez pas avoir un nombre de mois négatif.

      Quel point du graphique représente ses économies cumulées après le troisième mois ?

      Qu'indique le point (4, 100) ? Donnez le sens dans le contexte de cet exemple.

      Le point (4, 100) indique qu'elle a économisé 100 $ après 4 mois.

      Combien d'argent aura-t-elle économisé au bout de 6 mois ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

      Elle aura économisé 150 $ après 6 mois. La valeur y qui correspond à la valeur x de 6 est 150.

      Au bout de combien de mois aura-t-elle économisé un total de 200 $ ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

      Après 8 mois, elle aura économisé 200 $. Cette réponse peut être déterminée en trouvant la valeur x qui correspond à la valeur y de 200 $. Cette valeur x est 8.

      Au bout de combien de mois aura-t-elle économisé un total de 350 $ ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

      Après 14 mois, elle aura économisé 350 $. Puisque le taux de variation est de 25 $, l'équation suivante peut s'écrire : . La résolution de x donne x = 14.

      Qu'indiquent les autres points de la ligne ?

      Les autres points indiquent toutes les autres combinaisons de nombre de mois et de montants d'épargne cumulés.

      Nommez un autre point sur la ligne du graphique. Donnez le sens du point.

      Un autre point sur le graphique est (11, 275). Elle aura économisé 275 $ après 11 mois.

      Exemple 3: L'adhésion de Monique à un club de vente en gros coûte 35 $ par année.

      • &ldquoQue pouvons-nous dire sur la relation entre les frais d'adhésion annuels cumulés et le nombre d'années écoulées ?&rdquo (La relation est proportionnelle.)
      • &ldquoComment cette relation peut-elle être représentée sous forme d'équation ?&rdquo (Il peut être écrit comme, où y représente les coûts d'adhésion cumulés et x représente le nombre d'années qui se sont écoulées.)
      • Demandez aux élèves de réfléchir à l'apparence du graphique de cette régularité. Posez des questions semblables aux suivantes :
        • &ldquoÀ quoi ressemblera le graphique de la relation ? Comment le sais-tu ?»
        • &ldquoOù traversera-t-il le oui-axe ?&rdquo
        • &ldquoQuel point représentera le taux unitaire, ou constante de proportionnalité ?&rdquo

        Un tableau avec des exemples de questions et des réponses correctes est présenté ci-dessous :

        Exemples de questions

        Exemples de réponses

        Qu'indique l'origine, ou le point (0, 0), dans le contexte de cet exemple ?

        Le point (0, 0) indique qu'après 0 ans, ses frais d'adhésion cumulés sont égaux à . En d'autres termes, elle ne paie aucun montant d'adhésion avant la première année.

        Quel point représente le taux unitaire ?

        Le taux unitaire est représenté par le point (1, 35).

        Qu'indique le point (1, 35) ? Donnez le sens, dans le contexte de cet exemple.

        Le point (1, 35) est le taux unitaire ou constante de proportionnalité. Il indique le coût de l'adhésion par an. Après 1 an, elle a payé 35 $ en frais d'adhésion. Ainsi, pour chaque année subséquente, elle paiera 35 $ de plus.

        Qu'indique le point (&moins1, &moins35) ? L'interprétation de ce point a-t-elle un sens dans le contexte de cet exemple ? Expliquer.

        Le point (&moins1, &moins35) indiquerait qu'après moins 1 an, elle a payé moins 35 dollars. Cela n'a pas de sens, dans le contexte de l'exemple, puisque vous ne pouvez pas avoir un nombre d'années négatif.

        Quel point du graphique représente ses frais d'adhésion cumulés, après la 9 e année ?

        Qu'indique le point (5, 175) ? Donnez le sens dans le contexte de cet exemple.

        Le point (5, 175) indique qu'elle aura payé un total de 175 $ après 5 ans.

        Combien aura-t-elle payé en frais d'adhésion après 7 ans ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        Elle aura payé 245 $. La valeur y qui correspond à la valeur x de 7 est 245.

        Après combien d'années son adhésion cumulée coûtera-t-elle 280 $ ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        Après 8 ans, ses frais d'adhésion cumulatifs totaliseront 280 $. Cette réponse peut être déterminée en trouvant la valeur x qui correspond à la valeur y de 280 $. Cette valeur x est 8.

        Après combien d'années son adhésion cumulée coûtera-t-elle 525 $ ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        Après 15 mois, elle aura payé 525 $ en frais d'adhésion. Puisque le taux de variation est de 35 $, l'équation suivante peut s'écrire : . La résolution de x donne x = 15.

        Qu'indiquent les autres points de la ligne ?

        Les autres points indiquent toutes les autres combinaisons de nombre d'années et de frais d'adhésion cumulés.

        Nommez un autre point trouvé sur la ligne du graphique. Donnez le sens du point.

        Un autre point sur la ligne est (20, 700). Après 20 ans, elle aura payé 700 $ en frais d'adhésion.

        Exemple 4: Sur une carte, un certain nombre de miles est représenté par un certain nombre de pouces. Le nombre de miles réels et les pouces sur la carte forment une relation proportionnelle. En d'autres termes, le nombre de miles réels varie directement avec le nombre de pouces indiqué sur la carte. Un graphique est présenté ci-dessous :

        Un tableau avec des exemples de questions et des réponses correctes est présenté ci-dessous :

        Exemples de questions

        Exemples de réponses

        Qu'indique l'origine, ou le point (0, 0), dans le contexte de cet exemple ?

        Le point (0, 0) indique que 0 pouces représente 0 miles réels.

        Quel point représente le taux unitaire ? Donnez la signification du point dans le contexte de cet exemple.

        Le taux unitaire est représenté par le point (1, 20). Cela signifie que 1 pouce, sur la carte, représente 20 miles réels. Ainsi, pour chaque pouce supplémentaire, 20 milles supplémentaires sont ajoutés à la distance.

        Est-ce qu'un point avec un négatif X-value a-t-elle un sens dans le contexte de cet exemple ? Expliquer.

        Non, ce ne sera pas le cas, car vous ne pouvez pas avoir de pouces négatifs.

        Quel point du graphique représente le nombre de miles représenté par 14 pouces ?

        Qu'indique le point (10, 200) ? Donnez le sens, dans le contexte de cet exemple.

        Le point (10, 200) indique que 200 milles sont représentés par 10 pouces sur la carte.

        Combien de miles sont représentés par 17 pouces ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        Il y a 340 milles représentés par 17 pouces. La valeur y qui correspond à la valeur x de 17 est 340.

        Combien de pouces représenteront 100 milles ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        5 pouces représenteront 100 milles. Cette réponse peut être déterminée en trouvant la valeur x qui correspond à la valeur y de 100 $. Cette valeur x est 5.

        Combien de pouces représenteront une distance totale de 440 milles ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        22 pouces représenteront 440 milles. Puisque le taux de changement est de 20, l'équation suivante peut être écrite comme. La résolution de x donne x = 22.

        Qu'indiquent les autres points de la ligne ?

        Les autres points indiquent toutes les autres combinaisons de nombre de pouces sur la carte et de nombre de miles réels.

        Nommez un autre point trouvé sur la ligne du graphique. Donnez le sens du point.

        Un autre point sur la ligne est (18, 360). 18 pouces représentent 360 milles.

        Exemple 5 : Les dimensions de deux triangles isocèles semblables forment une proportion

        relation. Le graphique ci-dessous représente les longueurs de base des deux triangles (en centimètres) :

        Un tableau avec des exemples de questions et des réponses correctes est présenté ci-dessous :

        Exemples de questions

        Réponses correctes

        Qu'indique l'origine, ou le point (0, 0), dans le contexte de cet exemple ?

        Le point (0, 0) indique une longueur de base de 0 cm sur le plus petit triangle correspond à une longueur de base de 0 cm sur le plus grand triangle.

        Quel point représente le taux unitaire ? Donnez la signification du point dans le contexte de cet exemple.

        Le taux unitaire est représenté par le point (1, 4). Cela signifie qu'une longueur de base de 1 cm sur le plus petit triangle se traduirait par une longueur de base de 4 cm sur le plus grand triangle. Ainsi, pour chaque cm de longueur supplémentaire sur le plus petit triangle, la longueur de base du plus grand triangle augmente de 4 cm.

        Est-ce qu'un point avec un négatif X-value a-t-elle un sens dans le contexte de cet exemple ? Expliquer.

        Non, ce ne sera pas le cas, car vous ne pouvez pas avoir des longueurs de base négatives pour les triangles.

        Quel point du graphique représente la longueur de base du plus grand triangle, étant donné que le plus petit triangle a une longueur de base de 6 cm ?

        Qu'indique le point (3, 12) ? Donnez le sens dans le contexte de cet exemple.

        Le point (3, 12) indique qu'une longueur de base de 3 cm sur le plus petit triangle se traduira par une longueur de base de 12 cm sur le plus grand triangle.

        Quelle sera la longueur de la base du plus grand triangle, étant donné que la base du plus petit triangle mesure 5 cm ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        La base du plus grand triangle mesurera 20 cm. La valeur y qui correspond à la valeur x de 5 est 20.

        Quelle sera la longueur de la base du plus petit triangle, étant donné que la base du plus grand triangle mesure 44 cm ? Comment avez-vous déterminé votre réponse ?

        La base du plus petit triangle mesurera 11 cm. Puisque le taux de variation est de 4, l'équation suivante peut s'écrire : . La résolution de x donne x = 11.

        Qu'indiquent les autres points de la ligne ?

        Les autres points indiquent toutes les autres combinaisons de longueurs de bases des deux triangles semblables.

        Nommez un autre point trouvé sur la ligne du graphique. Donnez le sens du point.

        Un autre point sur la ligne est (15, 60). Une longueur de base de 15 cm sur le plus petit triangle correspond à une longueur de base de 60 cm sur le plus grand triangle.

        Jeu partenaire

        Demandez aux élèves de rédiger une description générale d'une relation proportionnelle dans le monde réel. La description ne doit pas inclure le taux unitaire. Les élèves doivent poser à un partenaire 3&ndash4 des questions concernant le graphique de la relation. Les questions peuvent inclure :

        • Quel est le sens de l'origine ?
        • Quelle est la signification du taux unitaire dans le contexte de l'exemple ?
        • A quoi ça sert (X, oui) représentent ?
        • Quel est un autre point sur le graphique, et qu'indique-t-il ?

        Une fois qu'un partenaire a répondu aux autres questions, les élèves doivent changer de rôle.

        Les questions et réponses peuvent être téléchargées sous forme de fichiers sur le site Web de la classe, à des fins de révision.


        Regardez notre vidéo gratuite sur la façon de Relations proportionnelles du graphique. Cette vidéo montre comment résoudre les problèmes qui sont sur notre gratuit Représentation graphique des relations proportionnelles feuille de calcul que vous pouvez obtenir en soumettant votre e-mail ci-dessus.

        Regardez la vidéo gratuite Graphing Proportional Relationships sur YouTube ici : Graphing Proportional Relationships Video

        Transcription vidéo :

        Cette vidéo traite de la représentation graphique des relations proportionnelles. Vous pouvez obtenir gratuitement la feuille de travail utilisée dans cette vidéo en cliquant sur le lien dans la description ci-dessous. Afin de vous montrer comment représenter graphiquement des relations proportionnelles, nous allons effectuer quelques exercices pratiques à partir de notre feuille de travail sur la représentation graphique des relations proportionnelles.

        Le premier problème que nous allons faire sur notre feuille de calcul des relations proportionnelles est le numéro deux. Ce problème nous donne un tableau, un graphique, et nous demande de résoudre pour la constante de proportionnalité. La première chose que nous allons faire est d'utiliser notre tableau pour compléter notre graphique de relation proportionnelle sur la droite. La première chose que nous pouvons faire est de marquer nos axes sur notre graphique. Nous savons que l'axe des x va être des minutes. Nous savons que cet axe va être des minutes et nous savons que l'axe des y va être des pieds. Afin de représenter graphiquement cela, nous utilisons les valeurs qui nous sont données dans notre tableau proportionnel ici. Notre premier point va être 0 0. Nous mettons un point sur 0 0. Le deuxième point qui nous est donné est 1 minute puis 2 pieds. Nous passons à notre graphique de relation proportionnelle et nous passons à 1 minute, puis jusqu'à deux pieds et nous mettons notre deuxième point. Le troisième point que nous pouvons mettre sur notre graphique est que les minutes sont deux et les pieds sont quatre. Nous passons à deux minutes puis jusqu'à quatre pieds et nous mettons notre troisième point, le quatrième point va être les minutes c'est trois et ensuite les pieds c'est six, nous mettons un point là et puis notre dernier point nous donne les minutes c'est quatre, quatre minutes puis huit pieds. Nous y avons mis notre dernier point. Maintenant que notre relation de proportion a été représentée graphiquement, nous pouvons trouver la constante de proportionnalité. La constante de proportionnalité est donnée par l'équation k est égal à y divisé par x, et k est la constante de proportionnalité, y est les valeurs y et x est les valeurs x. Notre axe x représente les minutes, nous savons donc que les minutes représentent les valeurs x et que l'axe y représente les pieds. Nous savons que les pieds sont représentés par l'axe y. Afin de résoudre notre formule, k est égal à y divisé par x, nous pouvons utiliser n'importe quelle colonne de notre table tant que nous mettons les pieds pour y et les minutes pour x. Je vais utiliser cette quatrième colonne, qui nous donne trois minutes et six pieds, donc nos pieds sont six. Nous savons que la valeur y est de trois minutes, nous savons que la valeur x est. Pour simplifier cela, nous allons faire 6 divisé par 3, ce qui fait 2. Maintenant, nous savons que la constante de proportionnalité est de 2 pieds chaque minute et que ce sera la solution.

        Le dernier problème que nous allons résoudre sur notre feuille de calcul des relations proportionnelles est le numéro trois. La première étape consiste à utiliser notre tableau pour compléter le graphique des relations proportionnelles. Encore une fois, nous allons utiliser les valeurs de chaque colonne pour tracer les points sur notre graphique ici. La première étape consiste à étiqueter nos axes. Nous allons donc étiqueter les heures sur l'axe des x, puis les kilomètres sur l'axe des y afin de compléter le graphique des relations de proportion. Nous allons utiliser les colonnes du tableau pour tracer nos points. La première colonne nous donne 0 0. Ce sera notre premier point, la deuxième colonne nous donne 1 heure c'est 3 miles, nous y avons mis un point, cette troisième colonne nous donne 2 heures c'est 6 miles, puis 3 heures c'est neuf milles, puis quatre heures. Nous passons à l'heure quatre, puis jusqu'à 12 milles, puis cinq heures, puis 15 milles et enfin six heures, soit 18 milles. Maintenant que notre relation proportionnelle a été représentée graphiquement, nous pouvons trouver la constante de proportionnalité. Nous savons que la constante de proportionnalité est égale aux valeurs y divisées par les valeurs x et nous savons que les valeurs x sont représentées par des heures et les valeurs y sont représentées par des miles. Nous pouvons prendre n'importe quelle colonne que nous voulons trouver la constante de proportionnalité. Je vais utiliser la colonne numéro quatre. Cette colonne nous donne des miles, qui est notre valeur y comme neuf, c'est 9 miles divisés par notre colonne d'heures qui est 3. Cela fait 3 heures et puis quand vous réduisez cela, vous obtiendrez 9 divisé par 3. Cela 8217s trois milles pour chaque heure et ce sera notre solution.


        Introduction

        Une proportion est une équation indiquant que deux rapports sont équivalents. Une relation qui implique une collection de ratios équivalents est appelée une situation proportionnelle.

        Dans chacune de ces situations, vous pouvez voir que les relations sont proportionnelles. Pour chacun des points de données, les ratios sont équivalents.

        Un taux est une comparaison entre deux quantités. Lorsque le dénominateur du taux est un, on parle de taux unitaire.

        Dans cette leçon, vous approfondirez vos connaissances sur les taux unitaires et chercherez des modèles dans des graphiques de relations proportionnelles. Vous étudierez également la pente, qui est une caractéristique particulière des relations linéaires. Dans une relation linéaire, la pente de la ligne est la pente du graphique de la ligne. La pente est également décrite comme le rapport entre la variation verticale et la variation horizontale entre deux points sur la ligne.


        Réchauffer

        Dans l'échauffement des proportions de roses, les élèves considèrent un vase contenant des roses rouges et blanches. Le vase contient trois roses rouges pour deux roses blanches. Les élèves doivent décider combien de fleurs pourraient être dans le vase.

        Je m'attends à ce que certains étudiants s'arrêtent à la réponse 5 tandis que d'autres rempliront une page avec des possibilités. Because it is productive for students to consider the nature of a complete answer to this problem, I ask my class to discuss their solutions with their math family groups. If there is an entire group who came up with 5 as the only solution, I will direct them to read the problem carefully. I will ask, "Does it say that the vase holds "exactly" three red and "exactly" two white roses?"

        For students who are considering other possibilities, I will wait for them to begin to ask, "When can we stop?" I will respond, "How big do you think the vase could be?" Though it is not the primary purpose of the lesson, I want them to reason about constraints, an important habit when making sense of and determining the reasonableness of solutions (MP1).

        As noted above, I expect students to be working at different levels in my classroom. I am ready to help them build their capacity for multiplicative thinking with some scaffolding questions (see Warm Up Rose Ratios Notes). During a lesson like this one, I accept all student explanations, but I try to model explanations in a way that allows students to notice the patterns and connections between additive and multiplicative thinking (MP8).


        Graph proportional relationships, interpreting the unit rate as the slope of the graph. Compare two different proportional relationships represented in different ways.

        The constant of variation is the number that relates two variables that are directly proportional or inversely proportional to one another. But why is it called the constant of variation? This tutorial answers that question, so take a look!

        What Does Direct Variation Look Like on a Graph?

        Want to know what a direct variation looks like graphically? Basically, it's a straight line that goes through the origin. To get a better picture, check out this tutorial!

        What's the Direct Variation or Direct Proportionality Formula?

        Ever heard of two things being directly proportional? Well, a good example is speed and distance. The bigger your speed, the farther you'll go over a given time period. So as one variable goes up, the other goes up too, and that's the idea of direct proportionality. But you can express direct proportionality using equations, and that's an important thing to do in algebra. See how to do that in the tutorial!


        Testing the proportional hazard assumption in Cox models

        When modeling a Cox proportional hazard model a key assumption is proportional hazards. There are a number of basic concepts for testing proportionality but the implementation of these concepts differ across statistical packages. The goal of this page is to illustrate how to test for proportionality in STATA, SAS and SPLUS using an example from Applied Survival Analysis by Hosmer and Lemeshow .

        Works best for time fixed covariates with few levels. If the predictor satisfy the proportional hazard assumption then the graph of the survival function versus the survival time should results in a graph with parallel curves, similarly the graph of the log(-log(survival)) versus log of survival time graph should result in parallel lines if the predictor is proportional. This method does not work well for continuous predictor or categorical predictors that have many levels because the graph becomes to “cluttered”. Furthermore, the curves are sparse when there are fewer time points and it may be difficult to gage how close to parallel is close enough. Due to space limitations we will only show the graph for the predictor treat.

        SAS It is very easy to create the graphs in SAS using proc lifetest. le plot option in the model statement lets you specify both the survival function versus time as well as the log(-log(survival) versus log(time).

        STATA le sts graph command in STATA will generate the survival function versus time graph.

        SPLUS le plot function applied to a survfit object will generate a graph of the survival function versus the survival time.

        2. Including Time Dependent Covariates in the Cox Model

        Generate the time dependent covariates by creating interactions of the predictors and a function of survival time and include in the model. If any of the time dependent covariates are significant then those predictors are not proportional.

        SAS In SAS it is possible to create all the time dependent variable inside proc phreg as demonstrated. Furthermore, by using the test statement is is possibly to test all the time dependent covariates all at once.

        STATA We use the tvc et le texp option in the stcox commander. We list the predictors that we would like to include as interaction with log(time) in the tvc option (tvc = time varying covariates). le texp option is where we can specify the function of time that we would like used in the time dependent covariates. By using the lrtest commands it is possible to tests all the time dependent covariates together by comparing the smaller model without any time dependent covariates to the larger model that includes all the time dependent covariates.

        3. Tests and Graps Based on the Schoenfeld Residuals Testing the time dependent covariates is equivalent to testing for a non-zero slope in a generalized linear regression of the scaled Schoenfeld residuals on functions of time. A non-zero slope is an indication of a violation of the proportional hazard assumption. As with any regression it is highly recommended that you look at the graph of the regression in addition to performing the tests of non-zero slopes. There are certain types on non-proportionality that will not be detected by the tests of non-zero slopes alone but that might become obvious when looking at the graphs of the residuals such as nonlinear relationship (i.e. a quadratic fit) between the residuals and the function of time or undue influence of outliers.

        SPLUS First we create the coxph object by using the coxph une fonction. To create the plots of the Schoenfeld residuals versus log(time) create a cox.zph object by applying the cox.zph function to the cox.ph object. Then the plot function will automatically create the Schoenfeld residual plots for each of the predictors in the model including a lowess smoothing curve. The order of the residuals in the time.dep.zph object corresponds to the order in which they were entered in the coxph model. To plot one graph at a time use the bracket notation with the number corresponding to the predictor of interest. le abline function adds a reference line at y=0 to the individual plots.

        STATA The tests of the non-zero slope developed by Therneau and Grambsch for SPLUS have been implemented in STATA in the stphtest commander. The algorithms that STATA uses are slightly different from the algorithms used by SPLUS and therefore the results from the two programs might differ slightly. le stphtest with the detail option will perform the tests of each predictor as well as a global test. There are different functions of time available including the identity function, the log of survival time and the rank of the survival times. le stphtest command with the plot option will provide the graphs with a lowess curve. The usual graphing options can be used to include a horizontal reference line at y=0. Unlike the graphs created in SPLUS the graphs in STATA do not include 95% confidence intervals for the lowess curves which makes it more difficult to assess how much the curves may deviate from the y=0 line.


        Strategies

        Knowledge of direct variation, ratios, proportions and graphing linear equations are encouraged to ensure success on this exercise.

        1. A direct variation, or proportional relationship, can be represented by />.
        2. The constant of proportionality, or /> from the above equation, is the slope of the line.
        3. The question asked is often about a rate or a value for a certain about.
        4. The labeling of the axes can be used to assist when trying to determine if a statement is true or not.

        7.2 Introducing Proportional Relationships

        IM 6-8 Math a été développé à l'origine par Open Up Resources et rédigé par Illustrative Mathematics®, et est protégé par copyright 2017-2019 par Open Up Resources. Il est sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0). Le programme de mathématiques 6-8 de OUR est disponible sur https://openupresources.org/math-curriculum/.

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        Le deuxième ensemble d'évaluations en anglais (marqué comme ensemble "B") est protégé par le droit d'auteur 2019 d'Open Up Resources et est sous licence Creative Commons Attribution 4.0 International License (CC BY 4.0).

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        Constant of Proportionality Worksheets

        The constant of proportionality is the ratio between two variables y and x. Interpret the constant of proportionality as the slope of the linear relationship y = kx. Find the proportional relationship between x and y values to solve this set of pdf worksheets that comprise graphs, equations, and tables. Students will also learn to find the missing values in tables based on the constant of proportionality k, so derived. These printable worksheets are specially designed for students of grade 7 and grade 8. Click on the 'Free' icon to sample our worksheets.

        7th grade students should use the slope of each graph to identify the constant of proportionality, k. Then, find the proportional relationship between the x and y coordinates by applying the formula y = kx.

        Based on the value k, draw a straight line on the graph that passes through the origin to denote the proportional relationship y = kx. Use our answer keys to validate your responses.

        8th grade students should rewrite each equation in the form of y = kx, where 'k' represents the constant of proportion. There are ten problems in each pdf worksheet.

        Examine the x and y values provided in each table to find the constant of proportionality, k. Then, replace the value of k in y = kx to obtain the proportional relationship between x and y.

        Each printable worksheet contains eight function tables. Using the values of x and y, determine the constant of proportionality k. Based on the constant derived, complete the table.


        Voir la vidéo: Proportionnalité et graphique (Décembre 2021).