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4.8 : Ordre des opérations avec fractions - Mathématiques


Commençons par prendre des puissances de fractions. Rappeler que

[ a^m = underbrace{a cdot a cdot ... cdot a}_{m ext{ times}} onumber ]

Exemple 1

Simplifier : (−3/4)2.

Solution

Par définition,

[ egin{aligned} left( - frac{3}{4} ight)^2 = left( - frac{3}{4} ight) left( - frac{3}{ 4} ight) ~& extcolor{red}{ ext{ Fait : } a^2 = a cdot a.} = frac{3 cdot 3}{4 cdot 4} ~ & extcolor {red}{ egin{array}{l} ext{ Multiplier les numérateurs et les dénominateurs.} ext{ Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif.} end{array}} = frac{9 }{16} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplify.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier:

[ left( - frac{2}{5} ight)^2 onumber ]

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4/25

Exemple 2

Simplifier : (−2/3)3.

Solution

Par définition,

[ egin{aligned} left( - frac{2}{3} ight)^3 = left( - frac{2}{3} ight) left( - frac{2}{ 3} ight) left( - frac{2}{3} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Fait : } a^3 = a cdot a cdot a.} = - frac{2 cdot 2 cdot 2}{3 cdot 3 cdot 3} ~ & extcolor{red}{ egin{array} ~ ext{ Multiplier les numérateurs et les dénominateurs.} ext{ Produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.} end{array}} = - frac{8}{27} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplify.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier:

[ left( - frac{1}{6} ight)^3 onumber ]

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−1/216

Les deux derniers exemples réitèrent un principe appris précédemment.

Impair et pair

  • Le produit d'un nombre pair de facteurs négatifs est positif.
  • Le produit d'un nombre impair de facteurs négatifs est négatif.

Ordre des opérations

Pour plus de commodité, nous répétons ici les règles guidant l'ordre des opérations.

Règles guidant l'ordre des opérations

Lors de l'évaluation des expressions, procédez dans l'ordre suivant.

  1. Évaluez d'abord les expressions contenues dans les symboles de regroupement. Si les symboles de regroupement sont imbriqués, évaluez d'abord l'expression dans la paire de symboles de regroupement la plus interne.
  2. Évaluez tous les exposants qui apparaissent dans l'expression.
  3. Effectuez toutes les multiplications et divisions dans l'ordre où elles apparaissent dans l'expression, de gauche à droite.
  4. Effectuez toutes les additions et soustractions dans l'ordre où elles apparaissent dans l'expression, en vous déplaçant de gauche à droite.

Exemple 3

Simplifier : (- frac{1}{2} + frac{1}{4} left( - frac{1}{3} ight)).

Solution

Multipliez d'abord, puis ajoutez.

[ egin{aligned} - frac{1}{2} + frac{1}{4} left( - frac{1}{3} ight) = - frac{1}{2} + left( - frac{1}{12} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplier : } frac{1}{4} left( - frac{1}{3} ight) = - frac{1}{12}.} = - frac{1 cdot extcolor{red}{6}}{2 cdot extcolor{red}{6}} + left ( - frac{1}{12} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Fractions équivalentes, LCD = 12.}} = - frac{6}{12} + left( - frac{1}{12} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier le numérateur et le dénominateur.}} = - frac{7}{12} ~ & extcolor{red}{ text{ Ajouter sur le dénominateur commun.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier : ( - frac{2}{3} + frac{3}{4} left( - frac{1}{2} ight))

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−25/24

Exemple 4

Simplifier : (2 left( - frac{1}{2} ight)^2 +4 left( - frac{1}{2} ight)).

Solution

Exposants d'abord, puis multiplier, puis additionner.

[ egin{aligned} 2 left( - frac{1}{2} ight)^2 + 4 left( - frac{1}{2} ight) = 2 left( frac{ 1}{4} ight) + 4 left( - frac{1}{2} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Exposant en premier : } left( - frac{1}{ 2} ight)^2 = frac{1}{4}.} = frac{1}{2} + left( - frac{2}{1} ight) ~ & extcolor{ red}{ egin{array}{l} ext{ Multiplier : } 2 left( frac{1}{4} ight) = frac{1}{2} ext{ et } 4 gauche( - frac{1}{2} ight) = - frac{2}{1}. end{array}} = frac{1}{2} + left( - frac{2 cdot extcolor{red}{2}}{1 cdot extcolor{red}{2}} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Fractions équivalentes, LCD = 2.}} = frac{1}{2} + left( - frac{4}{2} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier le numérateur et le dénominateur.}} = - frac{3}{2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Ajouter sur le dénominateur commun.}} end {aligné} onuméro ]

Exercer

Simplifier : (3 left( - frac{1}{3} ight)^2 - 2 left( - frac{1}{3} ight))

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1

Exemple 5

Étant donné une = −3/4, b = 1/2, c = 1/3, et = −1/4, évalue l'expression un BCD.

Solution

Rappelez-vous qu'il est de bonne pratique de préparer des parenthèses avant de substituer.

[ annonce - bc = ( ~ ) (~) - (~)(~) onumber ]

Remplacez les valeurs données dans l'expression algébrique, puis simplifiez en utilisant l'ordre des opérations.

[ egin{aligned} ab - cd = left( - frac{3}{4} ight) left( frac{1}{2} ight) - left( frac{1}{ 3} ight) left( - frac{1}{4} ight) ~ & extcolor{red}{ egin{array}{l} ext{ Remplacez : } -3/4 ext{ pour } a, ~ 1/2 ext{ pour } b, 1/3 ext{ pour } c, ~ ext{ et } -1/4 ext{ pour } d. end{array}} = - frac{3}{8} - left( - frac{1}{12} ight) ~ & extcolor{red}{ egin{array}{l} ext{ Multipliez d'abord : } left( - frac{3}{4} ight) left( frac{1}{2} ight) = - frac{3}{8} ext { et } left( frac{1}{3} ight) left( - frac{1}{4} ight) = - frac{1}{12}. end{array}} = - frac{3}{8} + frac{1}{12} ~ & extcolor{red}{ ext{ Soustraire en ajoutant ci-contre.}} = - frac{3 cdot extcolor{red}{3}}{8 cdot extcolor{red}{3}} + frac{1 cdot extcolor{red}{2}}{12 cdot extcolor{ red}{2}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Fractions équivalentes ; LCD = 24.}} = - frac{9}{24} + frac{2}{24} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier les numérateurs et les dénominateurs.}} = - frac{7}{24} ~ & extcolor{red}{ ext{ Ajouter sur le dénominateur commun.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Étant donné une = −1/2, b = 1/3, et c = -1/5, évaluer une + avant JC.

Répondre

−17/30

Exemple 6

Étant donné une = -1/4 et b = 1/2, évaluer (une2b2) ÷ (une + b).

Solution

Rappelez-vous qu'il est de bonne pratique de préparer des parenthèses avant de substituer.

[ (a^2 - b^2 ) div (a+b) - left( (~)^2 - (~)^2 ight) div left( (~) + (~) ight )pas de numéro ]

Remplacez les valeurs données dans l'expression algébrique, puis évaluez d'abord les exposants.

[ egin{array}{l} (a^2 -b^2) div (a+b) & = left( left( - frac{1}{4} ight)^2 - gauche( frac{1}{2} ight)^2 ight) div left( left( - frac{1}{4} ight) + left( frac{1}{2} ight) ight) ~ & = left( frac{1}{16} - frac{1}{4} ight) div left( - frac{1}{4} + frac{1}{2} ight) end{array} onumber ]

Nous devons d'abord évaluer les parenthèses. À l'intérieur de chaque ensemble de parenthèses, créez des fractions équivalentes et effectuez ensuite des soustractions et des additions.

[ egin{array}{l} = left( frac{1}{16} - frac{1 cdot 4}{4 cdot 4} ight) div left( - frac{1 }{4} + frac{1 cdot 2}{2 cdot 2} ight) = left( frac{1}{16} - frac{4}{16} ight) div left( - frac{1}{4} + frac{2}{4} ight) = - frac{3}{16} div frac{1}{4} end{array }pas de numéro ]

Inverser et multiplier.

[ egin{aligned} = - frac{3}{16} cdot frac{4}{1} = - frac{12}{16} end{aligned} onumber ]

Réduire.

[ egin{aligned} = - frac{12 div 4}{16 div 4} - frac{3}{4} end{aligned} onumber ]

Remarque : Dans la dernière étape, vous pouvez également réduire en utilisant le numérateur et le dénominateur de la factorisation principale et en annulant les facteurs communs.

Exercer

Donner une = −1/2 et b = -1/3, évaluer un B ÷ (une + b).

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−1/5

Fractions complexes

Fractions complexes

Lorsque le numérateur et le dénominateur d'une fraction contiennent eux-mêmes des fractions, une telle expression est appelée un fraction complexe.

Vous pouvez utiliser l'ordre standard des opérations pour simplifier une fraction complexe. Rappelez-vous les conseils lorsqu'une fraction est présente.

Expressions fractionnaires

Si une expression fractionnaire est présente, simplifiez le numérateur et le dénominateur séparément, puis divisez.

Exemple 7

Simplifier:

[ frac{ - frac{1}{2} + frac{1}{3}}{ frac{3}{4} - frac{3}{2}} onumber ]

Solution

Nous avons l'addition au numérateur, la soustraction au dénominateur. Dans chaque cas, nous avons besoin de fractions équivalentes avec un dénominateur commun.

[ egin{aligned} frac{- frac{1}{2} + frac{1}{3}}{ frac{3}{4} - frac{3}{2}} = frac{- frac{1 cdot extcolor{red}{3}}{2 cdot extcolor{red}{3}} + frac{1 cdot extcolor{red}{2}}{3 cdot extcolor{red}{2}}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Créer des fractions équivalentes.}} = frac{- frac{3}{6} + frac{2}{ 6}}{ frac{3}{4} - frac{6}{4}} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier le numérateur et le dénominateur.}} = frac{- frac{ 1}{6}}{- frac{3}{4}} ~ & extcolor{red}{ egin{array}{l} ~ ext{ Numérateur : } - frac{3}{6} + frac{2}{6} = - frac{1}{6}. ext{ Dénominateur : } frac{3}{4} - frac{6}{4} = - frac{3}{4}. end{array}} end{aligned} onumber ]

La dernière expression nous demande de diviser. Inverser et multiplier.

[ egin{aligned} = - frac{1}{6} div left( - frac{3}{4} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Une fraction complexe signifie diviser .}} = - frac{1}{6} cdot left( - frac{4}{3} ight) ~ & extcolor{red}{ ext{ Inverser et multiplier.}} fin{aligné} onumber ]

Les signes semblables (deux négatifs) donnent un produit positif. Multipliez les numérateurs et les dénominateurs, puis réduisez.

[ egin{aligned} = frac{4}{18} ~ & extcolor{red}{ egin{array}{l} ext{ Des signes semblables donnent une réponse positive.} ext{ Multipliez les numérateurs et dénominateurs.} end{array}} = frac{4 div 2}{18 div 2} ~ & extcolor{red}{ ext{ Diviser le numérateur et le dénominateur par 2.}} = frac{2}{9} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplify.}} end{aligned} onumber ]

Alternativement, on pourrait primer et annuler pour réduire aux termes les plus bas ; C'est,

[ egin{aligned} frac{4}{18} = frac{2 cdot 2}{2cdot 3 cdot 3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Facteur premier.}} = frac{ cancel{2} cdot 2}{ cancel{2} cdot 3 cdot 3} ~ & extcolor{red}{ ext{ Annuler les facteurs communs.}} = frac{ 2}{9} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplify.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier:

[ frac{ frac{1}{4} - frac{1}{3}}{ frac{1}{4} + frac{1}{3}} onumber ]

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−1/7

Effacer les fractions

Une autre technique pour simplifier les fractions complexes est disponible.

Effacer les fractions des fractions complexes

Vous pouvez effacer des fractions d'une fraction complexe à l'aide de l'algorithme suivant :

  1. Déterminez un LCD1 pour le numérateur.
  2. Déterminez un LCD2 pour le dénominateur.
  3. Déterminez un écran LCD pour LCD1 et LCD2.
  4. Multipliez à la fois le numérateur et le dénominateur par cet écran LCD "combiné".

Appliquons cette technique à la fraction complexe de l'exemple 7.

Exemple 8

Simplifier:

[ frac{- frac{1}{2} + frac{1}{3}}{ frac{3}{4} - frac{3}{2}} onumber ]

Solution

Comme nous l'avons vu dans la solution de l'exemple 7, des dénominateurs communs de 6 et 4 ont été utilisés pour le numérateur et le dénominateur, respectivement. Ainsi, un dénominateur commun pour le numérateur et le dénominateur serait 12. Nous commençons la technique de solution alternative en multipliant à la fois le numérateur et le dénominateur par 12.

[ egin{aligned} frac{ - frac{1}{2} + frac{1}{3}}{ frac{3}{4} - frac{3}{2}} = frac{ extcolor{red}{12} left( - frac{1}{2} + frac{1}{3} ight)}{ extcolor{red}{12} left( frac{ 3}{4} - frac{3}{2} ight)} ~ & extcolor{red}{ ext{ Multiplier le numérateur et le dénominateur par 12.}} = frac{ extcolor{red}{ 12} left( - frac{1}{2} ight) + extcolor{red}{12} left( frac{1}{3} ight)}{ extcolor{red}{12} left( frac{3}{4} ight) - extcolor{red}{12} left( frac{3}{2} ight)} ~ & extcolor{red}{ ext{ Distribuer le 12.}} = frac{-6+4}{9-18} ~ & extcolor{red}{ egin{array}{l} ext{ Multiplier : } 12(-1/2) =-6,~ 12(1/2) = 4. 12(3/4)=9, ext{ et } 12(3/2)=18. end{array}} = frac{-2}{-9} ~ & extcolor{red}{ ext{ Simplifier.}} = frac{2}{9} ~ & extcolor{ red}{ ext{ Comme les signes donnent un résultat positif.}} end{aligned} onumber ]

Exercer

Simplifier : ( frac{- frac{2}{3} + frac{1}{5}}{ frac{4}{5} - frac{1}{2}})

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−14/9

Application — Trapèze

Un trapèze est un type particulier de quadrilatère (polygone à quatre côtés).

trapèze

Un quadrilatère avec une paire de côtés opposés parallèles est appelé un trapèze.

La paire de côtés parallèles est appelée socles du trapèze. Leurs longueurs sont marquées par les variables b1 et b2 dans la figure ci-dessus. La distance entre les bases parallèles est appelée la la taille ou alors altitude du trapèze. La hauteur est marquée par la variable h dans la figure ci-dessus.

Les mathématiciens utilisent des indices pour créer de nouvelles variables. Ainsi, b1 (“b sous 1") et b2 (“b sub 2”) sont deux variables distinctes, utilisées dans ce cas pour représenter la longueur des bases du trapèze.

En traçant une diagonale, on peut diviser le trapèze en deux triangles (voir figure 4.14).

On peut trouver l'aire du trapèze en additionnant les aires des deux triangles.

  • Le triangle ombré de la figure 4.14 a la base b1 et hauteur h. Par conséquent, l'aire du triangle ombré est (1/2)b1h.
  • Le triangle non ombré de la figure 4.14 a pour base b2 et hauteur h. Par conséquent, l'aire du triangle non ombré est (1/2)b2h.

En additionnant les aires, l'aire du trapèze est

[ ext{Zone du trapèze} = frac{1}{2} b_1h + frac{1}{2} b_2h. onumber ]

Nous pouvons utiliser la propriété distributive pour factoriser un (1/2)h.

Aire d'un trapèze

Un trapèze avec des bases b1 et b2 et hauteur h a une superficie

[A = frac{1}{2} h (b_1 + b_2). onumber ]

Autrement dit, pour trouver l'aire, additionnez les bases, multipliez par la hauteur et prenez la moitié du résultat.

Exemple 9

Trouvez l'aire du trapèze illustré ci-dessous.

Solution

La formule de l'aire d'un trapèze est

[A = frac{1}{2} h (b_1 + b_2) onombre ]

En remplaçant les bases et la hauteur données, nous obtenons

[A = frac{1}{2} (3) left( 4 frac{1}{4} + 2 frac{1}{2} ight). onumber ]

Simplifiez d'abord l'expression entre parenthèses. Changez les fractions mixtes en fractions impropres, faites des fractions équivalentes avec un dénominateur commun, puis additionnez.

[egin{array}{c} A = frac{1}{2} (3) left( frac{17}{4} + frac{5}{2} ight) = frac{1}{2} (3) left( frac{17}{4} + frac{5 cdot 2}{2 cdot 2} ight) = frac{1}{2} (3) left( frac{17}{4} + frac{10}{4} ight) = frac{1}{2} left( frac{3}{1} ight ) left( frac{27}{4} ight) end{array} onumber ]

Multipliez les numérateurs et les dénominateurs.

[ = frac{81}{8} onumber ]

Cette fraction impropre est une réponse parfaitement bonne, mais changeons ce résultat en une fraction mixte (81 divisé par 8 fait 10 avec un reste de 1). Ainsi, l'aire du trapèze est

[A = 10 frac{1}{8} ext{ pouces carrés.} onumber ]

Exercer

Un trapèze a des bases mesurant respectivement 6 et 15 pieds. La hauteur du trapèze est de 5 pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

Répondre

(52 frac{1}{2} ext{ pieds carrés})

Des exercices

Dans les exercices 1 à 8, simplifiez l'expression.

1. ( gauche( − frac{7}{3} droit)^3)

2. ( gauche( frac{1}{2} droit)^3)

3. ( gauche( frac{5}{3} droit)^4)

4. ( gauche( − frac{3}{5} droit)^4)

5. ( gauche( frac{1}{2} droit)^5)

6. ( gauche( frac{3}{4} droit)^5)

7. ( gauche( frac{4}{3} droit)^2)

8. ( gauche( − frac{8}{5} droit)^2)


9. Si une = 7/6, évaluer une3.

10. Si e = 1/6, évaluer e3.

11. Si e = −2/3, évaluer −e2.

12. Si c = −1/5, évaluer −c2.

13. Si b = -5/9, évaluer b2.

14. Si c = 5/7, évaluer c2.

15. Si b = −1/2, évaluer −b3.

16. Si une = −2/9, évaluer −une3.


Dans les exercices 17-36, simplifiez l'expression.

17. ( left( − frac{1}{2} ight) left( frac{1}{6} ight) − left( frac{7}{8} ight) left ( − frac{7}{9} droit))

18. ( left( − frac{3}{4} ight) left( frac{1}{2} ight) − left( frac{3}{5} ight) left ( frac{1}{4} droit))

19. ( left( − frac{9}{8} ight)^2 − left( − frac{3}{2} ight) left( frac{7}{3} ight ))

20. ( left( frac{3}{2} ight)^2 − left( frac{7}{8} ight) left( − frac{1}{2} ight) )

21. ( left( − frac{1}{2} ight) left( − frac{7}{4} ight) − left( − frac{1}{2} ight) ^2)

22. ( left( frac{1}{5} ight) left( − frac{9}{4} ight) − left( frac{7}{4} ight)^2 )

23. (− frac{7}{6} − frac{1}{7} cdot frac{7}{9})

24. ( − frac{4}{9} − frac{8}{5} cdot frac{8}{9})

25. ( frac{3}{4} + frac{9}{7} left( − frac{7}{6} ight))

26. ( frac{3}{2} + frac{1}{4} left( − frac{9}{8} ight))

27. ( left( − frac{1}{3} ight)^2 + left( frac{7}{8} ight) left( − frac{1}{3} ight ))

28. ( left( − frac{2}{9} ight)^2 + left( frac{2}{3} ight) left( frac{1}{2} ight) )

29. (frac{5}{9} + frac{5}{9} cdot frac{7}{9})

30. ( - frac{1}{2} + frac{9}{8} cdot frac{1}{3})

31. ( left( − frac{5}{6} ight) left( frac{3}{8} ight) + left( − frac{7}{9} ight) gauche( − frac{3}{4} droit))

32. ( left( frac{7}{4} ight) left( frac{6}{5} ight) + left( − frac{2}{5} ight) left ( frac{8}{3} droit))

33. ( frac{4}{3} − frac{2}{9} left( − frac{3}{4} ight))

34. (− frac{1}{3} − frac{1}{5} left( − frac{4}{3} ight))

35. ( left( − frac{5}{9} ight) left( frac{1}{2} ight) + left( − frac{1}{6} ight)^ 2)

36. ( left( frac{1}{4} ight) left( frac{1}{6} ight) + left( − frac{5}{6} ight)^2 )


37. Donné une = −5/4, b = 1/2, et c = 3/8, évaluer une + avant JC.

38. Donné une = −3/5, b = 1/5, et c = 1/3, évaluer une + avant JC.

39. Donné X = −1/8, oui = 5/2, et z = −1/2, évaluer l'expression X + yz.

40. Étant donné X = −5/9, oui = 1/4, et z = −2/3, évaluer l'expression X + yz.

41. Donné une = 3/4, b = 5/7, et c = 1/2, évaluer l'expression uneavant JC.

42. Étant donné une = 5/9, b = 2/3, et c = 2/9, évaluer l'expression uneavant JC.

43. Donné X = −3/2, oui = 1/4, et z = −5/7, évaluer X2yz.

44. Étant donné X = −3/2, oui = −1/2, et z = 5/3, évaluer X2yz.

45. Étant donné une = 6/7, b = 2/3, c = -8/9, et = −6/7, évaluer un B + CD.

46. ​​Donné une = 4/9, b = −3/2, c = 7/3, et = -8/9, évaluer un B + CD.

47. Étant donné w = −1/8, X = −2/7, oui = −1/2, et z = 8/7, évaluer wxyz.

48. Étant donné w = 2/7, X = −9/4, oui = -3/4, et z = −9/2, évaluer wxyz.

49. Donné X = 3/8, oui = 3/5, et z = −3/2, évaluer xy + z2.

50. Étant donné X = −1/2, y = 7/5 et z = −3/2, évaluer xy + z2.

51. Étant donné vous = 9/7, v = 2/3, et w = −3/7, évaluer uvw2.

52. Étant donné vous = 8/7, v = -4/3, et w = 2/3, évaluer uvw2.

53. Étant donné une = 7/8, b = -1/4, et c = −3/2, évaluer une2 + avant JC.

54. Étant donné une = −5/8, b = 3/2, et c = −3/2, évaluer une2 + avant JC.

55. Étant donné vous = 1/3, v = 5/2, et w = −2/9, évaluer l'expression vousvw.

56. Étant donné vous = −1/2, v = 1/4, et w = −1/4, évalue l'expression vousvw.


Dans les exercices 57-68, simplifiez l'expression rationnelle complexe.

57. (frac{ frac{8}{3} + frac{7}{6}}{− frac{9}{2} − frac{1}{4}})

58. ( frac{ frac{7}{8} + frac{1}{9}}{ frac{8}{9} - frac{1}{6}})

59. ( frac{ frac{3}{4} + frac{4}{3}}{ frac{1}{9} + frac{5}{3}})

60. ( frac{− frac{9}{8} − frac{6}{5}}{ frac{7}{4} + frac{1}{2}})

61. ( frac{ frac{7}{5} + frac{5}{2}}{− frac{1}{4} + frac{1}{2}})

62. ( frac{ frac{5}{6} + frac{2}{3}}{ frac{3}{5} + frac{2}{3}})

63. ( frac{− frac{3}{2} − frac{2}{3}}{− frac{7}{4} − frac{2}{3}})

64. ( frac{ frac{8}{9} + frac{3}{4}}{− frac{2}{3} − frac{1}{6}})

65. ( frac{− frac{1}{2} − frac{4}{7}}{− frac{5}{7} + frac{1}{6}})

66. ( frac{− frac{3}{2} − frac{5}{8}}{ frac{3}{4} − frac{1}{2}})

67. (frac{− frac{3}{7} − frac{1}{3}}{ frac{1}{3} − frac{6}{7}})

68. ( frac{− frac{5}{8} − frac{6}{5}}{− frac{5}{4} − frac{3}{8}})


69. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (3 frac{3}{8}) et (5 frac{1}{2}) pieds. La hauteur du trapèze est de 7 pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

70. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (2 frac{1}{2}) et (6 frac{7}{8}) pieds. La hauteur du trapèze est de 3 pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

71. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (2 frac{1}{4}) et (7 frac{3}{8}) pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

72. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (3 frac{1}{8}) et (6 frac{1}{2}) pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

73. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (2 frac{3}{4}) et (6 frac{5}{8}) pieds. Trouvez l'aire du trapèze.

74. Un trapèze a des bases mesurant respectivement (2 frac{1}{4}) et (7 frac{1}{8}) pieds. Trouvez l'aire du trapèze.


Réponses

1. (frac{−343}{27})

3. (frac{625}{81})

5. (frac{1}{32})

7. (frac{16}{9})

9. (frac{343}{216})

11. (frac{−4}{9})

13. (frac{25}{81})

15. (frac{1}{8})

17. (frac{43}{72})

19. (frac{305}{64})

21. (frac{5}{8})

23. (frac{−23}{18})

25. (frac{−3}{4})

27. (frac{−13}{72})

29. (frac{80}{81})

31. (frac{13}{48})

33. (frac{3}{2})

35. (frac{−1}{4})

37. (frac{−17}{16})

39. (frac{−11}{8})

41. (frac{11}{28})

43. (frac{17}{7})

45. (frac{4}{3})

47. (frac{17}{28})

49. (frac{99}{40})

51. (frac{33}{49})

53. (frac{73}{64})

55. (frac{8}{9})

57. (frac{−46}{57})

59. (frac{75}{64})

61. (frac{78}{5})

63. (frac{26}{29})

65. (frac{45}{23})

67. (frac{16}{11})

69. (31 frac{1}{16})

71. (33 frac{11}{16})

73. (14 frac{1}{16})


L'ordre des opérations : les formes fractionnaires

Peu de temps avant de composer cette page de la leçon, j'avais été réprimandé par une personne très étrange qui prétendait que l'ordre des opérations était en réalité un complot diabolique qui avait été récemment ourdi par une cabale de professeurs de mathématiques afin de détruire la capacité des élèves à réussir dans la science. La "preuve" de cette prétendue conspiration était le fait que les fractions, lorsqu'elles sont écrites verticalement, n'ont pas de parenthèses entre parenthèses leurs numérateurs (hauts) et dénominateurs (bas). Sérieusement.


Ordre des opérations

Après avoir appris les 4 opérations de base que sont l'addition, la soustraction, la multiplication et la division, il est temps d'apprendre à les utiliser dans différentes combinaisons.  Pour le faire correctement, nous devons comprendre certaines règles de la relation entre les opérations.

Pour ce faire, nous comprenons l'ordre d'importance de chaque opération par rapport aux autres.

Règle :  L'addition et la soustraction ont la même importance. 

Cela signifie que nous effectuons des additions et/ou des soustractions dans l'ordre où elles apparaissent (de gauche à droite).

Si vous effectuez le calcul dans un ordre différent, vous obtiendrez la plupart du temps un résultat différent.  Il est donc extrêmement important d'obtenir l'ordre dans le bon ordre.

Laissez votre enfant ou votre élève travailler d'abord avec deux opérations avant de passer à des expressions plus compliquées impliquant trois, quatre opérations ou plus.

Règle :  La multiplication et la division ont la même importance. 

Cela signifie que nous effectuons la multiplication et/ou la division dans l'ordre où elles apparaissent (de gauche à droite).

Règle :  La multiplication et la division sont plus importantes que l'addition et la soustraction.

Cela signifie que nous devons d'abord effectuer la multiplication et la division avant de pouvoir effectuer l'addition et la soustraction.

Règle : Les parenthèses ou crochets () sont plus importants que chacune des 4 opérations.

Cela signifie que nous devons d'abord exécuter tout ce qui est entre parenthèses () avant de suivre les autres règles.

Cela nous amène au BODMAS régner:

Parenthèses, Ordres (puissances et racines), Division et Multiplication, Addition et Soustraction

Parenthèses, exposants, multiplication et division, et addition et soustraction


Conclusion

En conclusion, parfois, une expression peut contenir deux opérations au même niveau.

Par exemple, si une expression contient à la fois un carré et un cube, l'un ou l'autre peut être calculé en premier. Faites toujours l'opération de gauche à droite en suivant la règle PEMDAS. Si vous rencontrez une expression sans symboles de regroupement tels que des accolades, des crochets et des parenthèses, vous pouvez faciliter l'opération en ajoutant vos propres symboles de regroupement.

Travailler avec des expressions comportant des fractions est résolu en simplifiant d'abord le numérateur suivi du dénominateur. L'étape suivante consiste à simplifier le numérateur et le dénominateur si possible.


Deux façons d'évaluer ax÷by

Examinons d'abord l'une des premières questions que nous nous sommes posées à propos de ce problème, en 1999, pour préparer le terrain :

(Notez qu'à cette époque, la seule façon de taper division dans notre e-mail était d'utiliser la barre oblique, (a/b), qui, je suppose, représente généralement une expression réellement écrite sous la forme (adiv b). Je insérera occasionnellement un obelus, ÷, où nous avons fait des tentatives grossières pour le simuler.)

La première façon suit PEMDAS littéralement, comme d'habitude enseigné et comme je l'ai présenté ici, en évaluant de gauche à droite comme (acdot xdiv bcdot y = ((acdot x)div b) cdot y).

Le second le voit comme (axdiv by = (ax)div (by)). Ceci n'est pas expliqué comme suivant une règle enseignée, mais tout comme faire ce qui semble juste, soit parce que la division est lue comme s'il s'agissait d'une barre de fraction, soit simplement parcepar” semble appartenir ensemble en tant qu'unité. Nous verrons plusieurs raisons invoquées par les étudiants pour le faire.

Bien que j'aie été avec Demandez au Dr Math moins d'un an, c'était déjà une question familière, à laquelle je voulais répondre de manière approfondie pour le bien de l'archive :

Notez que ce ne sont pas seulement les élèves qui font ce qui leur semble bien, mais aussi certains manuels et calculatrices qui suivent la deuxième méthode.

Une nouvelle règle, ou qu'est-ce qui semble juste ?

J'ai développé les deux méthodes, en considérant la version PEMDAS comme correcte (bien que j'aie quelques doutes à ce sujet):

Je pense que j'avais inventé le terme “multiplication implicite ou implicite” quand j'ai répondu à ma première question sur le sujet quelques mois auparavant, pour faire référence à la multiplication indiquée en mettant simplement deux nombres ou variables ou expressions entre parenthèses l'une à côté de l'autrejuxtaposition“, comme d'autres l'appellent – comme ( ab) ou ( 2b) ou ( a(b+c)), par opposition à l'écriture explicite ( a imes b) ou ( acdot b).

Nous avions vu quelques questions d'étudiants dont les manuels n'enseignaient que le PEMDAS habituel, mais évaluaient la deuxième voie dans des exemples ou des solutions, sans commentaire. Cela peut être dû au fait que les réponses au verso ont été écrites par quelqu'un d'autre que l'auteur, mais c'est une incohérence inexcusable.

Pourquoi un auteur ferait-il cette règle supplémentaire ? J'ai eu des opinions différentes à plusieurs reprises sur la question de savoir si la règle est une bonne idée, mais j'ai toujours reconnu que ce n'est pas ce qui est habituellement enseigné :

Une règle qui n'en est pas une ne vaut rien, aussi raisonnable soit-elle. Oui, la “nouvelle règle” est la façon naturelle de lire (axdiv by) parce que (by) ressemble à une seule entité mais tant que tout le monde ne l'enseigne pas, nous ne pouvons pas le faire et nous attendre à être compris par tous les lecteurs.

En particulier, de nombreux étudiants supposent qu'il représente une version horizontale de (displaystylefrac):

En utilisant des parenthèses, nous pouvons éviter d'écrire quelque chose que les gens à qui on a enseigné des règles différentes, ou qui ignorent les règles qu'on leur a enseignées, pourraient prendre différemment de ce que nous voulons.

Problèmes de calculatrice

Le lien a mal tourné il y a longtemps, mais lorsqu'une question spécifique sur une calculatrice est apparue en 2008, j'ai cité ce que TI a dit dans sa base de connaissances :

Cela montre clairement que les concepteurs de calculatrices doivent décider de leurs propres règles, qui ne doivent pas nécessairement être les mêmes que les règles d'écriture sur papier, mais les éducateurs semblent les avoir convaincus de garder les choses autant que possible pour les étudiants. Saké.

En conclusion (retour à la réponse de 1999):

Par la suite, nous avons eu beaucoup plus de questions à ce sujet. Je vais juste citer quelques éléments uniques de certaines de ces réponses.


Pour ajouter des fractions, nous suivons ces étapes :

  1. Convertir en un dénominateur commun en utilisant le plus petit commun multiple.
  2. Ajoutez les numérateurs.
  3. Simplifiez la fraction en divisant par le plus grand diviseur commun.

La procédure est similaire pour les fractions mixtes, mais nous devons d'abord convertir en une fraction impropre.

Alternativement, il peut être plus simple d'ajouter les nombres entiers et les parties fractionnaires séparément.

Laquelle des fractions suivantes, ajoutées à la somme des nombres ci-dessus, fait du résultat un nombre entier ?


Fractions

Les fractions sont difficiles à comprendre pour beaucoup, mais tout manque de connaissances ici créera de gros problèmes sur la route. Une fraction représente un nombre de parties écrites comme un nombre sur un autre avec une ligne entre les deux. Les fractions sont identiques à la division, ( frac<3> <4>) est égal à 3 divisé par 4, ce qui est également égal aux trois quarts d'un tout. Le nombre du haut de n'importe quelle fraction est appelé le numérateur, tandis que le nombre du bas est appelé le dénominateur. Le numérateur donne les parties du dénominateur d'un tout que nous avons. ( frac<4> <5>) a un numérateur de 4 et un dénominateur de 5, il représente les quatre cinquièmes d'un tout (ou 80%).

Les fractions peuvent également être supérieures à 1 ou négatives.

La fraction ( frac<7> <3>) est égale à ( 2frac<1> <3>), soit deux et un tiers. Lorsque vous divisez des fractions en nombre entier (2) et en parties fractionnaires ( (frac<1><3>) ) vous obtenez un nombre mixte ( (2frac<1><3>) ). Bien que les nombres mixtes puissent être plus faciles à interpréter, ils rendent les calculs comme la multiplication plus difficiles, il est donc préférable de travailler avec les fractions pures (comme ( frac<7> <3>)) à la place. Voici quelques exemples de conversions entre nombres fractionnaires et fractions pures :

Voici quelques exemples de fractions négatives :

Le signe négatif peut venir avant la fraction, au numérateur ou au dénominateur, mais les deux premiers cas sont les plus conventionnels.

Multiplier des fractions

C'est le calcul le plus simple à faire avec des fractions. Pour multiplier deux fractions, vous multipliez simplement les numérateurs pour obtenir un nouveau numérateur, puis multipliez les dénominateurs pour obtenir un nouveau dénominateur, combinez-les pour votre nouvelle fraction. Exemple:

Parfois, vous pourrez simplifier la fraction résultante en divisant les nombres qui prennent en compte à la fois le numérateur et le dénominateur. Par example:

Le dernier exemple a été simplifié en divisant trois sur le numérateur et le dénominateur. Voici un autre exemple de multiplication et de simplification :

Les fractions négatives et plus grandes suivent les mêmes règles.

Division de fractions

Pour diviser une fraction par une autre, suivez cette règle : retournez la fraction par laquelle vous divisez (changez le numérateur et le dénominateur), puis multipliez la fraction retournée par l'autre. Dans l'exemple ci-dessous, notez comment nous transformons ( frac<1> <3>) en ( frac<3> <1>) et changeons la division en multiplication :

Si cela ne démontre pas assez bien la technique, voici un autre exemple :

Encore une fois, ne laissez pas les nombres négatifs vous décourager :

Lorsque vous multipliez ou divisez deux fractions, votre réponse n'est pas toujours une fraction :

Pouvez-vous voir toutes les annulations qui ont conduit à la réponse précédente ?

Addition et soustraction de fractions

Pour additionner ou soustraire deux fractions, elles doivent avoir des dénominateurs correspondants. Si deux fractions ont des dénominateurs communs, vous pouvez les ajouter ou les soustraire en ajoutant ou en soustrayant simplement les numérateurs pour créer une nouvelle fraction. Vous ne commencerez pas toujours avec ce luxe de dénominateurs égaux, vous devrez donc souvent redimensionner une ou vos deux fractions. Observe ceci:

Chaque fois que vous multipliez (ou divisez) à la fois le numérateur et le dénominateur d'une fraction par le même nombre, vous créez une fraction égale écrite avec des nombres différents. Pour mieux comprendre cela, pensez à une pizza coupée en 8 tranches égales. Si vous mangez 4 des 8 tranches que vous avez mangées ( frac<4> <8>) de la pizza, ce qui équivaut à ( frac<4cdot1> <4cdot2>= frac< 1> <2>) de la pizza. Considérez ( frac<4> <8>) comme une fraction redimensionnée, mais équivalente à ( frac<1> <2>). Vous devrez généralement redimensionner les deux fractions pour trouver des dénominateurs communs avant de pouvoir les additionner ou les soustraire. Exemple:

Dans l'exemple ci-dessus, nous avons trouvé le dénominateur commun de 6 pour nos deux fractions. Nous avons converti la première fraction en multipliant son numérateur et son dénominateur par 3. Nous avons converti la deuxième fraction en multipliant à la fois le haut et le bas par 2. Cela nous a donné deux fractions rééchelonnées avec des dénominateurs égaux. À ce stade, l'addition devient facile : ajoutez les numérateurs et laissez le dénominateur seul.

Comme nous l'avons fait ci-dessus, vous pouvez toujours trouver des dénominateurs communs en multipliant le haut et le bas de chaque fraction par le dénominateur de la fraction opposée. Exemple:

Cependant, cette méthode vous amènera parfois à travailler avec des nombres beaucoup plus grands que nécessaire :

Les problèmes suivants auraient pu être résolus plus facilement si nous avions trouvé un plus petit dénominateur commun :

Si vous pouvez voir un moyen plus simple d'atteindre des dénominateurs communs, vous pouvez gagner du temps en évitant la première approche, mais en cas de doute, suivez simplement cette voie.


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Order Of Operations (1-4)

Ordre des opérations
Vocabulary

Numerical Expression - the numbers and operations used together, using the same rules, enabling
everyone to get the same answer.

Order of Operation - the rules by which everyone follows to get the same answer.

Rule 1 : First perform any calculations inside parentheses.
Rule 2 : Next perform all multiplications and divisions, working from left to right.
Rule 3 : Lastly, perform all additions and subtractions, working from left to right.

The above problem was solved correctly by Student 2 since she followed Rules 2 and 3. Let's look at some examples of solving arithmetic expressions using these rules.


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Order of operations / PEMDAS

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PEMDAS does not cover matrices.
Photo courtesy of Stuartpilbrow
Someone asked me recently.

Could you please share with me your opinion of the "Please Excuse My Dear Aunt Sally" simplifying expressions. Any feedback could you give will be appreciated. Merci.

This "PEMDAS" rule is a mnemonic for order of operations:

Please = Parenthesis
Excuse = Exponents
My = Multiplication
Dear = Division
Aunt = Addition
Sally = Subtraction

There's nothing wrong with using a mnemonic to remember the order of operations. However, one has to bear in mind that

  1. This rule is not all-inclusive. It omits for example square roots. But the rule is good for all elementary grades. (Square roots would be on the same level or rank with exponents, by the way.)
  2. The rule doesn't spell out the fact that in reality multiplication and division are "on the same level" or rank. This means that if you have several multiplications and divisions, you do them from left to right, and not "multiplication first, then division".

For example: 60 ÷ 5 × 4. You go from left to right, and first do 60 ÷ 5 = 12. Then you multiply 12 × 4 = 48.

If you want 5 × 4 to be done first, it needs to be in parenthesis: 60 ÷ (5 × 4). Here, first do 5 × 4 = 20, and then 60 ÷ 20 = 3.

Similarly, addition and subtraction are on the same level: if both exist in an expression, they are to be done from left to right.

An example: Simplify the expression 2 × 5 − 6 + 8.

1: Multiply 2 × 5 = 10.
The expression is now 10 − 6 + 8.

2. Subtract. 10 − 6 = 4.
The expression is now 4 + 8.

So, perhaps it's more illustrative to lay out the PEMDAS rule like this:

Please = Parenthesis
Excuse = Exponents
My Dear = Multiplication & Division
Aunt Sally = Addition & Subtraction

. and say it with little pauses at the commas: Please, Excuse, My Dear, Aunt Sally.


Julie Miller

Julie Miller is from Daytona State College, where she has taught developmental and upper-level mathematics courses for 20 years. Prior to her work at Daytona State College, she worked as a software engineer for General Electric in the area of flight and radar simulation. Julie earned a bachelor of science in applied mathematics from Union College in Schenectady, New York, and a master of science in mathematics from the University of Florida. In addition to this textbook, she has authored several course supplements for college algebra, trigonometry, and precalculus, as well as several short works of fiction and nonfiction for young readers.
My father is a medical researcher, and I got hooked on math and science when I was young and would visit his laboratory. I can remember using graph paper to plot data points for his experiments and doing simple calculations. He would then tell me what the peaks and features in the graph meant in the context of his experiment. I think that applications and hands-on experience made math come alive for me and I’d like to see math come alive for my students.

Molly O'Neill

Molly ONeill is from Daytona State College, where she has taught for 22 years in the School of Mathematics. She has taught a variety of courses from developmental mathematics to calculus. Before she came to Florida, Molly taught as an adjunct instructor at the University of Michigan-Dearborn, Eastern Michigan University, Wayne State University, and Oakland Community College. Molly earned a bachelor of science in mathematics and a master of arts and teaching from Western Michigan University in Kalamazoo, Michigan. Besides this textbook, she has authored several course supplements for college algebra, trigonometry, and precalculus and has reviewed texts for developmental mathematics.
I differ from many of my colleagues in that math was not always easy for me. But in seventh grade I had a teacher who taught me that if I follow the rules of mathematics, even I could solve math problems. Once I understood this, I enjoyed math to the point of choosing it for my career. I now have the greatest job because I get to do math every day and I have the opportunity to influence my students just as I was influenced. Authoring these texts has given me another avenue to reach even more students.

Nancy Hyde served as a full-time faculty member of the Mathematics Department at Broward College for 24 years. During this time she taught the full spectrum of courses from developmental math through differential equations. She received a bachelor of science degree in math education from Florida State University and a master’s degree in math education from Florida Atlantic University. She has conducted workshops and seminars for both students and teachers on the use of technology in the classroom. In addition to this textbook, she has authored a graphing calculator supplement for College Algebra. I grew up in Brevard County, Florida, where my father worked at Cape Canaveral. I was always excited by mathematics and physics in relation to the space program. As I studied higher levels of mathematics I became more intrigued by its abstract nature and infinite possibilities. It is enjoyable and rewarding to convey this perspective to students while helping them to understand mathematics.

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