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13.8.7 : Racines supérieures


Objectifs d'apprentissage

À la fin de cette section, vous serez en mesure de :

  • Simplifier les expressions avec des racines plus élevées
  • Utilisez la propriété Product pour simplifier les expressions avec des racines plus élevées
  • Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les expressions avec des racines plus élevées
  • Ajouter et soustraire des racines supérieures

Noter

  1. Simplifiez : (y^{5}y^{4}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.2.7.
  2. Simplifier : ((n^2)^6).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.2.19.
  3. Simplifier : (frac{x^8}{x^3}).
    Si vous avez manqué ce problème, consultez l'exemple 6.5.1.

Simplifier les expressions avec des racines plus élevées

Jusqu'à présent, dans ce chapitre, nous avons travaillé avec des carrés et des racines carrées. Nous allons maintenant étendre notre travail pour inclure des puissances supérieures et des racines supérieures.

Passons d'abord en revue un peu de vocabulaire.

[egin{array}{cc} {}&{} { extbf{Nous écrivons :}}&{ extbf{Nous disons :}} {n^2}&{ ext{n au carré }} {n^3}&{ ext{n cube}} {n^4}&{ ext{n au quatrième}} {n^5}&{ ext{n à le cinquième}} onumber end{array}]

Les termes « carré » et « cube » proviennent des formules pour l'aire d'un carré et le volume d'un cube.

Il sera utile d'avoir un tableau des puissances des entiers de -5 à5. Voir Figure (PageIdnex{1}).

Notez les signes dans la figure (PageIndex{1}). Bien entendu, toutes les puissances de nombres positifs sont positives. Mais lorsque nous avons un nombre négatif, les puissances paires sont positives et les puissances impaires sont négatives. Nous allons copier la ligne avec les puissances de -2 ci-dessous pour vous aider à voir cela.

Plus tôt dans ce chapitre, nous avons défini la racine carrée d'un nombre.

Si (n^2=m), alors n est une racine carrée de m.

Et nous avons utilisé la notation (sqrt{m}) pour désigner le racine carrée principale. Donc (sqrt{m} ge 0) toujours.

Nous allons maintenant étendre la définition aux racines supérieures.

Définition: NLA RACINE D'UN NOMBRE

Si (b^n=a), alors b est un mracine d'un nombre une.

Le principal mla racine de a s'écrit (sqrt[n]{a}=b)

m est appelé le indice du radical.

Nous n'écrivons pas l'indice d'une racine carrée. Tout comme nous utilisons le mot « cube » pour (b^3), nous utilisons le terme « racine cubique » pour (sqrt[3]{a}).

Nous nous référons à la figure (PageIndex{1}) pour nous aider à trouver des racines plus élevées.

[egin{array}{cc} {4^3=64}&{sqrt[3]{64}=4} {3^4=81}&{sqrt[4]{81}= 3} {(−2)^5=−32}&{sqrt[5]{−32}=−2} onumber end{array}]

Pourrions-nous avoir une racine paire d'un nombre négatif ? Non. Nous savons que la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas un nombre réel. Il en est de même pour toute racine paire. Même les racines des nombres négatifs ne sont pas des nombres réels. Les racines impaires des nombres négatifs sont des nombres réels.

Définition : PROPRIÉTÉS DE (sqrt[n]{a})

Lorsque n est un nombre pair et

  • (age 0), alors (sqrt[n]{a}) est un nombre réel
  • (a < 0), alors (sqrt[n]{a}) n'est pas un nombre réel

Lorsque n est un nombre impair, (sqrt[n]{a}) est un nombre réel pour toutes les valeurs de a.

Exemple (PageIndex{1})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{8})
  2. (sqrt[4]{81})
  3. (sqrt[5]{32}).
Répondre
1.(sqrt[3]{8})
Depuis ((2)^3=8).2
2.(sqrt[4]{81})
Depuis ((3)^4=81).3
3.(sqrt[5]{32})
Depuis ((2)^5=32).2

Exemple (PageIndex{2})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{27})
  2. (sqrt[4]{256})
  3. (sqrt[5]{243}).
Répondre
  1. 3
  2. 4
  3. 3

Exemple (PageIndex{3})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{1000})
  2. (sqrt[4]{16})
  3. (sqrt[5]{32}).
Répondre
  1. 10
  2. 2
  3. 2

Exemple (PageIndex{4})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−64})
  2. (sqrt[4]{−16})
  3. (sqrt[5]{−243}).
Répondre
1.(sqrt[3]{−64})
Depuis ((−4)^3=−64).−4
2.(sqrt[4]{−16})
Pensez, ((?)^4=−16).Aucun nombre réel élevé à la puissance quatrième n'est positif.Pas un vrai numéro.
3.(sqrt[5]{−243})
Puisque ((−3)^5=−243).−3

Exemple (PageIndex{5})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−125})
  2. (sqrt[4]{−16})
  3. (sqrt[5]{−32}).
Répondre
  1. −5
  2. pas vrai
  3. −2

Exemple (PageIndex{6})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−216})
  2. (sqrt[4]{−81})
  3. (sqrt[5]{−1024}).
Répondre
  1. −6
  2. pas vrai
  3. −4

Lorsque nous avons travaillé avec des racines carrées qui avaient des variables dans le radicande, nous avons restreint les variables à des valeurs non négatives. Nous allons maintenant supprimer cette restriction.

La racine impaire d'un nombre peut être positive ou négative. Nous avons vu que (sqrt[3]{−64}=−4).

Mais la racine paire d'un nombre non négatif est toujours non négative, car on prend le principal mracine.

Supposons que nous commencions par a=−5.

[egin{array}{cc} {(−5)^4=625}&{sqrt[4]{625}=5} onumber end{array}]

Comment s'assurer que la racine quatrième de −5 élevée à la puissance quatrième, ((−5)^4) est 5 ? Nous verrons dans la propriété suivante.

Définition : SIMPLIFIER LES RACINES IMPAIRES ET PAIRES

Pour tout entier (n ge 2),

[egin{array}{cc} { ext{quand n est impair}}&{sqrt[n]{a^n}=a} { ext{quand n est pair}}&{ sqrt[n]{a^n}=|a|} onumber end{array}]

Nous devons utiliser les signes de valeur absolue lorsque nous prenons une racine paire d'une expression avec une variable dans le radical.

Exemple (PageIndex{7})

Simplifier:

  1. (sqrt{x^2})
  2. (sqrt[3]{n^3})
  3. (sqrt[4]{p^4})
  4. (sqrt[5]{y^5}).
Répondre

Nous utilisons la valeur absolue pour être sûr d'obtenir la racine positive.

1.(sqrt{x^2})
Puisque ((x)^2=x^2) et nous voulons la racine positive.|x|
2.(sqrt[3]{n^3})
Depuis ((n)^3=n^3). C'est une racine impaire donc il n'y a pas besoin d'un signe de valeur absolue.m
3.(sqrt[4]{p^4})
Puisque ((p)^4=p^4) et nous voulons la racine positive.|p|
4.(sqrt[5]{y^5})
Puisque ((y)^5=y^5). C'est une racine impaire donc il n'y a pas besoin d'un signe de valeur absolue.oui

Exemple (PageIndex{8})

Simplifier:

  1. (sqrt{b^2})
  2. (sqrt[3]{w^3})
  3. (sqrt[4]{m^4})
  4. (sqrt[5]{q^5}).
Répondre
  1. |b|
  2. w
  3. |m|
  4. q

Exemple (PageIndex{9})

Simplifier:

  1. (sqrt{y^2})
  2. (sqrt[3]{p^3})
  3. (sqrt[4]{z^4})
  4. (sqrt[5]{q^5})
Répondre
  1. |y|
  2. p
  3. |z|
  4. q

Exemple (PageIndex{10})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{y^{18}})
  2. (sqrt[4]{z^8}).
Répondre
1.(sqrt[3]{y^{18}})
Depuis ((y^6)^3=y^18).(sqrt[3]{(y^6)^3})
(y^6)
2.(sqrt[4]{z^8})
Puisque ((z^2)^4=z^8).(sqrt[4]{(z^2)^4})
Puisque (z^2) est positif, nous n'avons pas besoin d'un signe de valeur absolue.(z^2)

Exemple (PageIndex{11})

Simplifier:

  1. (sqrt[4]{u^{12}})
  2. (sqrt[3]{v^{15}}).
Répondre
  1. (u^3)
  2. (v^5)

Exemple (PageIndex{12})

Simplifier:

  1. (sqrt[5]{c^{20}})
  2. (sqrt[6]{d^{24}}).
Répondre
  1. (c^4)
  2. (d^4)

Exemple (PageIndex{13})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{64p^6})
  2. (sqrt[4]{16q^{12}}).
Répondre
1.(sqrt[3]{64p^6})
Réécrivez (64p^6) comme ((4p^2)^3).(sqrt[3]{(4p^2)^3})
Prenez la racine cubique.(4p^2)
2.(sqrt[4]{16q^{12}})
Réécrivez le radicande en puissance quatrième.(sqrt[4]{(2q^3)^4})
Prenez la quatrième racine.(2|q^3|)

Exemple (PageIndex{14})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{27x^{27}})
  2. (sqrt[4]{81q^{28}}).
Répondre
  1. (3x^9)
  2. (3∣q^7∣)

Exemple (PageIndex{15})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{125p^9})
  2. (sqrt[5]{243q^{25}})
Répondre
  1. (5p^3)
  2. (3q^5)

Utilisez la propriété Product pour simplifier les expressions avec des racines plus élevées

Nous simplifierons les expressions avec des racines plus élevées de la même manière que nous avons simplifié les expressions avec des racines carrées. Un mla ième racine est considérée comme simplifiée si elle n'a pas de facteurs de (m^n).

Définition : SIMPLIFIÉ NTH RACINE

(sqrt[n]{a}) est considéré comme simplifié si a n'a pas de facteurs de (m^n).

Nous généraliserons la propriété de produit des racines carrées pour inclure toute racine entière (n ge 2).

Définition : PROPRIÉTÉ DU PRODUIT DE NTH RACINES

(sqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}·sqrt[n]{b}) et (sqrt[n]{a}·sqrt[n]{b} =sqrt[n]{ab})

lorsque (sqrt[n]{a}) et (sqrt[n]{b}) sont des nombres réels et pour tout entier (n ge 2)

Exemple (PageIndex{16})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{x^4})
  2. (sqrt[4]{x^7}).
Répondre

1.

(sqrt[3]{x^4})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant le plus grand facteur de cube parfait.(sqrt[3]{x^3·x})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[3]{x^3}·sqrt[3]{x})
Simplifier.(xsqrt[3]{x})
2.(sqrt[4]{x^7})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait le plus grand.(sqrt[4]{x^4·x^3})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[4]{x^4}·sqrt[4]{x^3})
Simplifier.(|x|sqrt[4]{x^3})

Exemple (PageIndex{17})

Simplifier:

  1. (sqrt[4]{y^6})
  2. (sqrt[3]{z^5}).
Répondre
  1. (|y∣sqrt[4]{y^2})
  2. (zsqrt[3]{z^2})

Exemple (PageIndex{18})

Simplifier:

  1. (sqrt[5]{p^8})
  2. (sqrt[6]{q^{13}}).
Répondre
  1. (psqrt[5]{p^3})
  2. ( q^2sqrt[6]{q})

Exemple (PageIndex{19})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{16})
  2. (sqrt[4]{243}).
Répondre
1.(sqrt[3]{16})
(sqrt[3]{2^4})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant le plus grand facteur de cube parfait.(sqrt[3]{2^3·2})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[3]{2^3}·sqrt[3]{2})
Simplifier.(2sqrt[3]{2})
2.(sqrt[4]{243})
(sqrt[4]{3^5})
Réécrivez le radicande en tant que produit en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait.(sqrt[4]{3^4·3})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[4]{3^4}·sqrt[4]{3})
Simplifier.(3sqrt[4]{3})

Exemple (PageIndex{20})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{81})
  2. (sqrt[4]{64}).
Répondre
  1. (3sqrt[3]{3})
  2. (2sqrt[4]{4})

Exemple (PageIndex{21})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{625})
  2. (sqrt[4]{729}).
Répondre
  1. (5sqrt[3]{5})
  2. (3sqrt[4]{9})

N'oubliez pas d'utiliser les signes de valeur absolue lorsque vous prenez une racine paire d'une expression avec une variable dans le radical.

Exemple (PageIndex{22})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{24x^7})
  2. (sqrt[4]{80y^{14}}).
Répondre
1.(sqrt[3]{24x^7})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[3]{2^{3}x^{6}·3x})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[3]{2^{3}x^{6}}·sqrt[3]{3x})
Réécrivez le premier radicande comme ((2x^2)^3)(sqrt[3]{(2x^{2})^3}·sqrt[3]{3x})
Simplifier.(2x^2sqrt[3]{3x})
2.(sqrt[4]{80y^{14}})
Réécrivez le radicande en tant que produit en utilisant les quatrièmes facteurs de puissance parfaits.(sqrt[4]{2^{4}y^{12}·5y^2})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[4]{2^{4}y^{12}}·sqrt[4]{5y^2})
Réécrivez le premier radicande comme ((2y^3)^4)(sqrt[4]{(2y^3)^4}·sqrt[4]{5y^2})
Simplifier.(2|y^3|sqrt[4]{5y^2})

Exemple (PageIndex{23})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{54p^[10}])
  2. (sqrt[4]{64q^{10}}).
Répondre
  1. (3p^3sqrt[3]{2p})
  2. (2q^2sqrt[4]{4q^2})

Exemple (PageIndex{24})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{128m^{11}})
  2. (sqrt[4]{162n^7}).
Répondre
  1. (4m^3sqrt[3]{2m^2})
  2. (3|n|sqrt[4]{2n^3})

Exemple (PageIndex{25})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−27})
  2. (sqrt[4]{−16}).
Répondre
1.(sqrt[3]{−27})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[3]{(−3)^3})
Prenez la racine cubique.−3
2.(sqrt[4]{−16})
Il n'y a pas de nombre réel n où (n^4=−16).Pas un vrai numéro.

Exemple (PageIndex{26})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−108})
  2. (sqrt[4]{−48}).
Répondre
  1. (−3sqrt[3]{4})
  2. pas vrai

Exemple (PageIndex{27})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{−625})
  2. (sqrt[4]{−324}).
Répondre
  1. (−5sqrt[3]{5})
  2. pas vrai

Utilisez la propriété Quotient pour simplifier les expressions avec des racines plus élevées

Nous pouvons simplifier les racines supérieures avec des quotients de la même manière que nous avons simplifié les racines carrées. Premièrement, nous simplifions toutes les fractions à l'intérieur du radical.

Exemple (PageIndex{28})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{frac{a^8}{a^5}})
  2. (sqrt[4]{frac{a^{10}}{a^2}}).
Répondre

1.

(sqrt[3]{frac{a^8}{a^5}})
Simplifiez d'abord la fraction sous le radical.(sqrt[3]{a^3})
Simplifier.une
2.(sqrt[4]{frac{a^{10}}{a^2}})
Simplifiez d'abord la fraction sous le radical.(sqrt[4]{a^8})
Réécrivez le radicande en utilisant le quatrième facteur de puissance parfait.(sqrt[4]{(a^2)^4})
Simplifier.(a^2)

Exemple (PageIndex{29})

Simplifier:

  1. (sqrt[4]{frac{x^7}{x^3}})
  2. (sqrt[4]{frac{y^{17}}{y^5}}).
Répondre
  1. |x|
  2. (y^3)

Exemple (PageIndex{30})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{frac{m^{13}}{m^7}})
  2. (sqrt[5]{frac{n^{12}}{n^2}}).
Répondre
  1. (m^2)
  2. (n^2)

Auparavant, nous utilisions la propriété Quotient « à l'envers » pour simplifier les racines carrées. Nous allons maintenant généraliser la formule pour inclure les racines supérieures.

Définition : PROPRIÉTÉ QUOTIENT DE NLES RACINES

(sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}) et (frac{sqrt [n]{a}}{sqrt[n]{b}}=sqrt[n]{frac{a}{b}})

lorsque (sqrt[n]{a}) et (sqrt[n]{b}) sont des nombres réels, (b e 0), et pour tout entier (n ge 2 )

Exercice (PageIndex{31})

Simplifier:

  1. (frac{sqrt[3]{−108}}{sqrt[3]{2}})
  2. (frac{sqrt[4]{96x^7}}{sqrt[4]{3x^2}})
Répondre
1.(frac{sqrt[3]{−108}}{sqrt[3]{2}})
Aucun des radicandes n'est un cube parfait, utilisez donc la propriété Quotient pour écrire comme un radical.(sqrt[3]{frac{−108}{2}})
Simplifier la fraction sous le radical.(sqrt[3]{−54})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[3]{(−3)^3·2})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[3]{(−3)^3}·sqrt[3]{2})
Simplifier.(−3sqrt[3]{2})
2.(frac{sqrt[4]{96x^7}}{sqrt[4]{3x^2}})
Aucun des radicandes n'est une quatrième puissance parfaite, utilisez donc la propriété du quotient pour écrire comme un radical(sqrt[4]{frac{96x^7}{3x^2}})
Simplifier la fraction sous le radical.(sqrt[4]{32x^5})
Réécrivez le radicande comme un produit en utilisant des facteurs de puissance quatrième parfait.(sqrt[4]{2^{4}x^4·2x})
Réécrivez le radical comme le produit de deux radicaux.(sqrt[4]{(2x)^4}·sqrt[4]{2x})
Simplifier.(2|x|sqrt[4]{2x})

Exemple (PageIndex{32})

Simplifier:

  1. (frac{sqrt[3]{-532}}{sqrt[3]{2}})
  2. (frac{sqrt[4]{486m^{11}}}{sqrt[4]{3m^5}})
Répondre
  1. pas vrai
  2. (3|m|sqrt[4]{2m^2})

Exemple (PageIndex{33})

Simplifier:

  1. (frac{sqrt[3]{−192}}{sqrt[3]{3}})
  2. (frac{sqrt[4]{324n^7}}{sqrt[4]{2n^3}}).
Répondre
  1. −4
  2. (3|n|sqrt[4]{2})

Si la fraction à l'intérieur du radical ne peut pas être simplifiée, nous utilisons la première forme de la propriété Quotient pour réécrire l'expression comme le quotient de deux radicaux.

Exemple (PageIndex{34})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{frac{24x^7}{y^3}})
  2. (sqrt[4]{frac{48x^{10}}{y^8}}).
Répondre
1.(sqrt[3]{frac{24x^7}{y^3}})
La fraction dans le radicande ne peut pas être simplifiée. Utilisez la propriété Quotient pour écrire sous forme de deux radicaux.(frac{sqrt[3]{24x^7}}{sqrt[3]{y^3}})
Réécrivez chaque radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(frac{sqrt[3]{8x^6·3x}}{sqrt[3]{y^3}})
Réécrivez le numérateur comme le produit de deux radicaux.(frac{sqrt[3]{(2x^2)^3}·sqrt[3]{3x}}{sqrt[3]{y^3}})
Simplifier.(frac{2x^2sqrt[3]{3x}}{y})
2.(sqrt[4]{frac{48x^{10}}{y^8}})
La fraction dans le radicande ne peut pas être simplifiée. Utilisez la propriété Quotient pour écrire sous forme de deux radicaux.(frac{sqrt[4]{48x^{10}}}{sqrt[4]{y^8}})
Réécrivez chaque radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(frac{sqrt[4]{16x^8·3x^2}}{sqrt[4]{y^8}})
Réécrivez le numérateur comme le produit de deux radicaux.(frac{sqrt[4]{(2x^2)^4}·sqrt[4]{3x^2}}{sqrt[4]{(y^2)^4}})
Simplifier.(frac{2x^2sqrt[4]{3x^2}}{y^2})

Exemple (PageIndex{35})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{frac{108c^{10}}{d^6}})
  2. (sqrt[4]{frac{80x^{10}}{y^5}}).
Répondre
  1. (frac{3c^3sqrt[3]{4c}}{d^2})
  2. (frac{x^2}{∣y∣}sqrt[4]{frac{80x^2}{y}})

Exemple (PageIndex{36})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{frac{40r^3}{s}})
  2. (sqrt[4]{frac{162m^{14}}{n^{12}}})
Répondre
  1. (rsqrt[3]{frac{40}{s}})
  2. (frac{3m^3sqrt[4]{2m^2}}{∣n^3∣})

Ajouter et soustraire des racines supérieures

Nous pouvons ajouter et soustraire des racines supérieures comme nous avons ajouté et soustrait des racines carrées. Nous donnons d'abord une définition formelle de comme des radicaux.

Définition : COMME LES RADICAUX

Les radicaux de même indice et de même radicande sont appelés comme des radicaux.

Les radicaux semblables ont le même indice et le même radicande.

  • (9sqrt[4]{42x}) et (−2sqrt[4]{42x}) sont comme des radicaux.
  • (5sqrt[3]{125x}) et (6sqrt[3]{125y}) ne sont pas comme des radicaux. Les radicandes sont différents.
  • (2sqrt[5]{1000q}) et (−4sqrt[4]{1000q}) ne sont pas comme des radicaux. Les indices sont différents.

Nous ajoutons et soustrayons comme des radicaux de la même manière que nous ajoutons et soustrayons des termes similaires. On peut ajouter (9sqrt[4]{42x}+(−2sqrt[4]{42x})) et le résultat est (7sqrt[4]{42x}).

Exemple (PageIndex{37})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{4x}+sqrt[3]{4x})
  2. (4sqrt[4]{8}−2sqrt[4]{8})
Répondre
1.(sqrt[3]{4x}+sqrt[3]{4x})
Les radicaux sont comme, donc nous ajoutons les coefficients(2sqrt[3]{4x})
2.(4sqrt[4]{8}−2sqrt[4]{8})
Les radicaux sont semblables, donc nous soustrayons les coefficients.(2sqrt[4]{8})

Exemple (PageIndex{38})

Simplifier:

  1. (sqrt[5]{3x}+sqrt[5]{3x})
  2. (3sqrt[3]{9}−sqrt[3]{9})
Répondre
  1. (2sqrt[5]{3x})
  2. (2sqrt[3]{9})

Exemple (PageIndex{39})

Simplifier:

  1. (sqrt[4]{10y}+sqrt[4]{10y})
  2. (5sqrt[6]{32}−3sqrt[6]{32}).
Répondre
  1. (2sqrt[4]{10y})
  2. (2sqrt[6]{32})

Lorsqu'une expression ne semble pas avoir de radicaux similaires, nous simplifierons d'abord chaque radical. Parfois, cela conduit à une expression avec des radicaux similaires.

Exemple (PageIndex{40})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{54}−sqrt[3]{16})
  2. (sqrt[4]{48}+sqrt[4]{243}).
Répondre
1.(sqrt[3]{54}−sqrt[3]{16})
Réécrivez chaque radicande en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[3]{27}·sqrt[3]{2}−sqrt[3]{8}·sqrt[3]{2})
Réécrivez les cubes parfaits.(sqrt[3]{(3)^3}·sqrt[3]{2}−sqrt[3]{(2)^3}·sqrt[3]{2})
Simplifiez les radicaux là où c'est possible.(3sqrt[3]{2}−2sqrt[3]{2})
Combinez comme des radicaux.(sqrt[3]{2})
2.(sqrt[4]{48}+sqrt[4]{243})
Réécrivez en utilisant les quatrièmes facteurs de puissance parfaits.(sqrt[4]{16}·sqrt[4]{3}+sqrt[4]{81}·sqrt[4]{3})
Réécrivez chaque radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[4]{(2)^4}·sqrt[4]{3}+sqrt[4]{(3)^4}·sqrt[4]{3})
Réécrivez le numérateur comme le produit de deux radicaux.(2sqrt[4]{3}+3sqrt[4]{3})
Simplifier.(5sqrt[4]{3})

Exemple (PageIndex{41})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{192}−sqrt[3]{81})
  2. (sqrt[4]{32}+sqrt[4]{512}).
Répondre
  1. (sqrt[3]{3})
  2. (6sqrt[4]{2})

Exemple (PageIndex{42})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{108}−sqrt[3]{250})
  2. (sqrt[5]{64}+sqrt[5]{486}).
Répondre
  1. (−sqrt[3]{2})
  2. (5sqrt[5]{2})

Exemple (PageIndex{43})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{24x^4}−sqrt[3]{−81x^7})
  2. (sqrt[4]{162y^9}+sqrt[4]{512y^5}).
Répondre
1.(sqrt[3]{24x^4}−sqrt[3]{−81x^7})
Réécrivez chaque radicande en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[3]{8x^3}·sqrt[3]{3x}−sqrt[3]{−27x^6}·sqrt[3]{3x})
Réécrivez les cubes parfaits.(sqrt[3]{(2x)^3}·sqrt[3]{3x}−sqrt[3]{(−3x^2)^3}·sqrt[3]{3x})
Simplifiez les radicaux là où c'est possible.(2xsqrt[3]{3x}−(−3x^2sqrt[3]{3x}))
2.(sqrt[4]{162y^9}+sqrt[4]{516y^5})
Réécrivez en utilisant les quatrièmes facteurs de puissance parfaits.(sqrt[4]{81y^8}·sqrt[4]{2y}+sqrt[4]{256y^4}·sqrt[4]{2y})
Réécrivez chaque radicande comme un produit en utilisant des facteurs cubiques parfaits.(sqrt[4]{(3y^2)^4}·sqrt[4]{2y}+sqrt[4]{(4y)^4}·sqrt[4]{2y})
Réécrivez le numérateur comme le produit de deux radicaux.(3y^2sqrt[4]{2y}+4|y|sqrt[4]{2y})

Exemple (PageIndex{44})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{32y^5}−sqrt[3]{−108y^8})
  2. (sqrt[4]{243r^{11}}+sqrt[4]{768r^{10}}).
Répondre
  1. (2ysqrt[3]{4y^2}+3y^2sqrt[3]{4y^2})
  2. (3r^2sqrt[4]{3r^3}+4r^2sqrt[4]{3r^2})

Exemple (PageIndex{45})

Simplifier:

  1. (sqrt[3]{40z^7}−sqrt[3]{−135z^4})
  2. (sqrt[4]{80s^{13}}+sqrt[4]{1280s^6}).
Répondre
  1. (2z^2sqrt[3]{5z}+3z^5sqrt[3]{5z})
  2. (2∣s^3∣sqrt[4]{5s}+4|s|sqrt[4]{5s})

Accédez à ces ressources en ligne pour des instructions et des exercices supplémentaires en simplifiant les racines supérieures.

  • Simplifier les racines supérieures
  • Ajouter/soustraire des racines avec des indices plus élevés

Concepts clés

  • Propriétés de
  • (sqrt[n]{a}) lorsque n est un nombre pair et
    • (a ge 0), alors (sqrt[n]{a}) est un nombre réel
    • (a < 0), alors (sqrt[n]{a}) n'est pas un nombre réel
    • Lorsque n est un nombre impair, (sqrt[n]{a}) est un nombre réel pour toutes les valeurs de une.
    • Pour tout entier (n ge 2), quand m est impair (sqrt[n]{a^n}=a)
    • Pour tout entier (n ge 2), quand m est pair (sqrt[n]{a^n}=|a|)
  • (sqrt[n]{a}) est considéré comme simplifié si une n'a pas de facteurs de (m^n).
  • (sqrt[n]{ab}=sqrt[n]{a}·sqrt[n]{b}) et (sqrt[n]{a}·sqrt[n]{b} =sqrt[n]{ab})
  • (sqrt[n]{frac{a}{b}}=frac{sqrt[n]{a}}{sqrt[n]{b}}) et (frac{sqrt [n]{a}}{sqrt[n]{b}}=sqrt[n]{frac{a}{b}})
  • Pour combiner comme des radicaux, il suffit d'ajouter ou de soustraire les coefficients tout en gardant le même radical.

Glossaire

mracine d'un nombre
Si (b^n=a), alors b est un mracine de a.
principal mracine
Le principal mla racine de a s'écrit (sqrt[n]{a}).
indice
(sqrt[n]{a}) m est appelé le indice du radical.
comme des radicaux
Les radicaux de même indice et de même radicande sont appelés comme des radicaux.