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1.7 : Moments et centres de masse


Objectifs d'apprentissage

  • Trouver le centre de masse des objets répartis le long d'une ligne.
  • Localisez le centre de masse d'une plaque mince.
  • Utilisez la symétrie pour aider à localiser le centre de gravité d'une plaque mince.
  • Appliquer le théorème de Pappus pour le volume.

Dans cette section, nous considérons les centres de masse (également appelés centroïdes, sous certaines conditions) et des moments. Beaucoup d'entre nous ont vu des artistes faire tourner des plaques au bout de bâtons. Les interprètes essaient de faire tourner plusieurs d'entre eux sans en laisser tomber aucun. Si nous regardons une seule assiette (sans la faire tourner), il y a un sweet spot sur l'assiette où elle s'équilibre parfaitement sur le bâton. Si nous plaçons le bâton ailleurs que dans cet endroit idéal, la plaque ne s'équilibre pas et elle tombe au sol. (C'est pourquoi les artistes font tourner les assiettes ; la rotation aide à empêcher les assiettes de tomber même si le bâton n'est pas exactement au bon endroit.) Mathématiquement, cet endroit idéal est appelé le centre de masse de la plaque.

Dans cette section, nous examinons d'abord ces concepts dans un contexte unidimensionnel, puis étendons notre développement pour considérer les centres de masse des régions bidimensionnelles et la symétrie. Enfin, nous utilisons des centroïdes pour trouver le volume de certains solides en appliquant le théorème de Pappus.

Centre de masse et moments

Commençons par regarder le centre de masse dans un contexte unidimensionnel. Considérons un fil ou une tige longue et mince de masse négligeable reposant sur un point d'appui, comme illustré à la figure (PageIndex{1a}). Supposons maintenant que nous plaçons des objets ayant des masses (m_1) et (m_2) à des distances (d_1) et (d_2) du point d'appui, respectivement, comme le montre la figure (PageIndex{1b}) .

L'exemple réel le plus courant d'un système comme celui-ci est une balançoire à bascule, ou bascule, avec des enfants de poids différents assis à différentes distances du centre. Sur une balançoire, si un enfant est assis à chaque extrémité, l'enfant le plus lourd s'enfonce et l'enfant le plus léger est soulevé dans les airs. Si l'enfant le plus lourd glisse vers le centre, la bascule s'équilibre. En appliquant ce concept aux masses sur la tige, on constate que les masses s'équilibrent si et seulement si

[m_1d_1=m_2d_2. pas de numéro]

Dans l'exemple de la balançoire, nous avons équilibré le système en déplaçant les masses (enfants) par rapport au point d'appui. Cependant, nous sommes vraiment intéressés par les systèmes dans lesquels les masses ne sont pas autorisées à se déplacer, et au lieu de cela, nous équilibrons le système en déplaçant le point d'appui. Supposons que nous ayons deux masses ponctuelles, (m_1) et (m_2), situées sur une droite numérique aux points (x_1) et (x_2), respectivement (Figure (PageIndex{2}) ). Le centre de masse, (ar{x}), est le point où le point d'appui doit être placé pour équilibrer le système.

Ainsi, nous avons

[ egin{align*} m_1|x_1−ar{x}| &=m_2|x_2−ar{x}| [4pt] m_1(ar{x}−x_1) &=m_2(x_2−ar{x}) [4pt] m_1ar{x}−m_1x_1 &=m_2x_2−m_2ar{x} [4pt] ar{x}(m_1+m_2) &=m_1x_1+m_2x_2 end{align*} ]

ou alors

[ ar{x} =dfrac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2} label{COM}]

L'expression au numérateur de l'équation ef{COM}, (m_1x_1+m_2x_2), est appelée la premier instant du système par rapport à l'origine. Si le contexte est clair, nous laissons souvent tomber le mot en premier et nous référons simplement à cette expression comme le moment du système. L'expression au dénominateur, (m_1+m_2), est la masse totale du système. Ainsi, le le centre de masse du système est le point auquel la masse totale du système pourrait être concentrée sans changer le moment.

Cette idée ne se limite pas à deux masses ponctuelles. En général, si (n) masses, (m_1,m_2,…,m_n,) sont placés sur une droite numérique aux points (x_1,x_2,…,x_n,) respectivement, alors le centre de masse du système est donné par

[ ar{x}=dfrac{displaystyle {sum_{i=1}^nm_ix_i}}{displaystyle {sum_{i=1}^nm_i}}]

Centre de masse des objets sur une ligne

Soit (m_1,m_2,…,m_n) des masses ponctuelles placées sur une droite numérique aux points (x_1,x_2,…,x_n), respectivement, et soit (displaystyle m=sum_{i=1 }^nm_i) désigne la masse totale du système. Puis le moment du système par rapport à l'origine est donnée par

[M=sum_{i=1}^nm_ix_i label{moment}]

et le centre de masse du système est donné par

[ar{x}=dfrac{M}{m}. label{COM2a}]

Nous appliquons ce théorème dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{1}) : Recherche du centre de masse d'objets le long d'une ligne

Supposons que quatre masses ponctuelles soient placées sur une droite numérique comme suit :

  • (m_1=30,kg,) placé à (x_1=−2m)
  • (m_2=5,kg,) placé à (x_2=3m)
  • (m_3=10,kg,) placé à (x_3=6m)
  • (m_4=15,kg,) placé à (x_4=−3m.)

Solution

Trouvez le moment du système par rapport à l'origine et trouvez le centre de masse du système.

Tout d'abord, nous devons calculer le moment du système (Équation ef{moment}) :

[ egin{align*} M &=sum_{i=1}^4m_ix_i [4pt] &= −60+15+60−45 [4pt] &=−30. end{align*}]

Maintenant, pour trouver le centre de masse, nous avons besoin de la masse totale du système :

[ egin{align*} m &=sum_{i=1}^4m_i [4pt] &=30+5+10+15 [4pt] &= 60, kg end{align* }]

Alors nous avons (à partir de l'équation ef{COM2a})

(ar{x}–=dfrac{M}{m}=−dfrac{30}{60}=−dfrac{1}{2}).

Le centre de gravité est situé à 1/2 m à gauche de l'origine.

Exercice (PageIndex{1})

Supposons que quatre masses ponctuelles soient placées sur une droite numérique comme suit :

  • (m_1=12,kg) placé à (x_1=−4m)
  • (m_2=12,kg) placé à (x_2=4m)
  • (m_3=30,kg) placé à (x_3=2m)
  • (m_4=6,kg,) placé à (x_4=−6m.)

Trouvez le moment du système par rapport à l'origine et trouvez le centre de masse du système.

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

(M=24,ar{x}=dfrac{2}{5}m)

Nous pouvons généraliser ce concept pour trouver le centre de masse d'un système de masses ponctuelles dans un plan. Soit (m_1) une masse ponctuelle située au point ((x_1,y_1)) dans le plan. Alors le moment (M_x) de la masse par rapport à l'axe (x) est donné par (M_x=m_1y_1). De même, le moment (M_y) par rapport à l'axe (y) est donné par

[M_y=m_1x_1.]

Notez que la coordonnée (x) du point est utilisée pour calculer le moment par rapport à l'axe (y), et vice versa. La raison en est que la coordonnée (x) donne la distance de la masse du point à l'axe (y) et la coordonnée (y) donne la distance à l'axe (x) (voir la figure suivante).

Si nous avons plusieurs masses ponctuelles dans le plan (xy), nous pouvons utiliser les moments par rapport aux axes (x)- et (y) pour calculer les (x)- et (y)-coordonnées du centre de masse du système.

Centre de masse des objets dans un plan

Soit (m_1), (m_2), …, (m_n) des masses ponctuelles situées dans le plan (xy) aux points ((x_1,y_1),(x_2,y_2),… ,(x_n,y_n),) respectivement, et soit (displaystyle m=sum_{i=1}^nm_i) la masse totale du système. Alors les moments (M_x) et (M_y) du système par rapport aux axes (x) et (y) sont respectivement donnés par

[M_x=sum_{i=1}^nm_iy_i label{COM1}]

et

[M_y=sum_{i=1}^nm_ix_i. label{COM2}]

De plus, les coordonnées du centre de masse ((ar{x},ar{y})) du système sont

[ar{x}=dfrac{M_y}{m} label{COM3}]

et

[ar{y}=dfrac{M_x}{m}. label{COM4}]

L'exemple suivant montre comment les formules de centre de masse (équations ef{COM1} - ef{COM4}) peuvent être appliquées.

Exemple (PageIndex{2}) : Recherche du centre de masse d'objets dans un plan

Supposons que trois masses ponctuelles soient placées dans le plan (xy) comme suit (en supposant que les coordonnées sont données en mètres) :

  • (m_1=2,kg) placé à ((−1,3),)
  • (m_2=6,kg) placé à ((1,1),)
  • (m_3=4,kg) placé à ((2,−2).)

Trouver le centre de masse du système.

Solution

On calcule d'abord la masse totale du système :

[m=sum_{i=1}^3m_i=2+6+4=12,kg. pas de numéro]

Ensuite, nous trouvons les moments par rapport aux axes (x) et (y) :

[egin{align*} M_y &=sum_{i=1}^3m_ix_i=−2+6+8=12, [4pt] M_x &=sum_{i=1}^3m_iy_i=6+ 6−8=4. end{align*}]

Ensuite nous avons

[ar{x}=dfrac{M_y}{m}=dfrac{12}{12}=1 onumber]

et

[ar{y}=dfrac{M_x}{m}=dfrac{4}{12}=dfrac{1}{3}. pas de numéro]

Le centre de masse du système est ((1,1/3),) en mètres.

Exercice (PageIndex{2})

Supposons que trois masses ponctuelles soient placées sur une droite numérique comme suit (supposons que les coordonnées sont données en mètres) :

  • (m_1=5,kg,) placé à ((−2,−3),)
  • (m_2=3, kg,) placé à ((2,3),)
  • (m_3=2, kg,) placé à ((−3,−2).)

Trouver le centre de masse du système.

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

((−1,−1)) m

Centre de masse des plaques minces

Jusqu'à présent, nous avons examiné des systèmes de masses ponctuelles sur une ligne et dans un plan. Maintenant, au lieu d'avoir la masse d'un système concentrée en des points discrets, nous voulons examiner des systèmes dans lesquels la masse du système est distribuée en continu sur une mince feuille de matériau. Pour nos besoins, nous supposons que la feuille est suffisamment mince pour pouvoir être traitée comme si elle était bidimensionnelle. Une telle feuille est appelée un lame. Ensuite, nous développons des techniques pour trouver le centre de masse d'une lame. Dans cette section, nous supposons également que la densité de la lame est constante.

Les lames sont souvent représentées par une région bidimensionnelle dans un plan. Le centre géométrique d'une telle région est appelé son centre de gravité. Puisque nous avons supposé que la densité de la lame est constante, le centre de masse de la lame ne dépend que de la forme de la région correspondante dans le plan ; cela ne dépend pas de la densité. Dans ce cas, le centre de masse de la lame correspond au centre de gravité de la région délimitée dans le plan. Comme pour les systèmes de masses ponctuelles, nous devons trouver la masse totale de la lame, ainsi que les moments de la lame par rapport aux axes (x) et (y).

Considérons d'abord une lame en forme de rectangle. Rappelons que le centre de masse d'une lame est le point d'équilibre de la lame. Pour un rectangle, ce point est à la fois le centre horizontal et vertical du rectangle. Sur la base de cette compréhension, il est clair que le centre de masse d'une lame rectangulaire est le point où les diagonales se coupent, ce qui est le résultat de la principe de symétrie, et c'est indiqué ici sans preuve.

Le principe de symétrie

Si une région (R) est symétrique par rapport à une ligne (l), alors le centroïde de (R) se trouve sur (l).

Passons aux lames plus générales. Supposons que nous ayons une lame délimitée en haut par le graphe d'une fonction continue (f(x)), en bas par l'axe (x) et à gauche et à droite par les droites (x=a) et (x=b), respectivement, comme le montre la figure suivante.

Comme pour les systèmes de masses ponctuelles, pour trouver le centre de masse de la lame, nous devons trouver la masse totale de la lame, ainsi que les moments de la lame par rapport aux (x)- et (y )-axes. Comme nous l'avons fait plusieurs fois auparavant, nous approchons ces quantités en partitionnant l'intervalle ([a,b]) et en construisant des rectangles.

Pour (i=0,1,2,…,n,) soit (P={x_i}) une partition régulière de ([a,b]). Rappelons que nous pouvons choisir n'importe quel point dans l'intervalle ([x_{i−1},x_i]) comme notre (x^∗_i). Dans ce cas, nous voulons que (x^∗_i) soit le X-coordonnée du centre de gravité de nos rectangles. Ainsi, pour (i=1,2,…,n), on sélectionne (x^∗_i∈[x_{i−1},x_i]) tel que (x^∗_i) soit le milieu de l'intervalle. C'est-à-dire (x^∗_i=(x_{i−1}+x_i)/2). Maintenant, pour (i=1,2,…,n,) construisons un rectangle de hauteur (f(x^∗_i)) sur ([x_{i−1},x_i].) Le le centre de masse de ce rectangle est ((x^∗_i,(f(x^∗_i))/2),) comme le montre la figure suivante.

Ensuite, nous devons trouver la masse totale du rectangle. Soit (ρ) représentant la densité de la lame (notons que (ρ) est une constante). Dans ce cas, (ρ) est exprimé en termes de masse par unité de surface. Ainsi, pour trouver la masse totale du rectangle, nous multiplions l'aire du rectangle par (ρ). Alors, la masse du rectangle est donnée par (ρf(x^∗_i)Δx).

Pour obtenir la masse approximative de la lame, nous ajoutons les masses de tous les rectangles pour obtenir

[m≈sum_{i=1}^nρf(x^∗_i)Δx. label{eq51}]

L'équation ef{eq51} est une somme de Riemann. Prendre la limite comme (n→∞) donne la masse exacte de la lame :

[ egin{align*} m &=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nρf(x^∗_i)Δx [4pt] &=ρ∫^b_af(x)dx. end{align*}]

Ensuite, nous calculons le moment de la lame par rapport à l'axe des x. En revenant au rectangle représentatif, rappelons que son centre de masse est ((x^∗_i,(f(x^∗_i))/2)). Rappelons également que traiter le rectangle comme s'il s'agissait d'une masse ponctuelle située au centre de masse ne change pas le moment. Ainsi, le moment du rectangle par rapport à l'axe des x est donné par la masse du rectangle, (ρf(x^∗_i)Δx), multipliée par la distance du centre de masse à l'axe des x : ((f(x^∗_i))/2). Par conséquent, le moment par rapport à l'axe des x du rectangle est (ρ([f(x^∗_i)]^2/2)Δx.) En additionnant les moments des rectangles et en prenant la limite du résultat somme de Riemann, on voit que le moment de la lame par rapport à l'axe des x est

[ egin{align*}M_x &=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nρdfrac{[f(x^∗_i)]^2}{2}Δx [4pt ] &=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2}dx.end{align*}]

Nous dérivons le moment par rapport à l'axe des y de la même manière, en notant que la distance entre le centre de masse du rectangle et le oui-axis est (x^∗_i). Puis le moment de la lame par rapport au oui-axe est donné par

[ egin{align*}M_y &=lim_{n→∞}sum_{i=1}^nρx^∗_if(x^∗)i)Δx[4pt] &=ρ∫^b_axf( x)dx.end{align*}]

On trouve les coordonnées du centre de masse en divisant les moments par la masse totale pour donner (ar{x}=M_y/m) et (ar{y}=M_x/m). Si nous regardons de près les expressions pour (M_x,M_y), et (m), nous remarquons que la constante (ρ) s'annule lorsque (ar{x}) et (ar {y}) sont calculés.

Nous résumons ces résultats dans le théorème suivant.

Centre de masse d'une plaque mince dans le plan xy

Soit R une région bornée en haut par le graphe d'une fonction continue (f(x)), en bas par le X-axis, et à gauche et à droite par les lignes (x=a) et (x=b), respectivement. Soit (ρ) la densité de la lame associée. On peut alors faire les affirmations suivantes :

  1. La masse du limbe est [m=ρ∫^b_af(x)dx. label{eq4a}]
  2. Les moments (M_x) et (M_y) de la lame par rapport au X- et oui-axes, respectivement, sont [M_x=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2}dxlabel{eq4b}] et [M_y=ρ∫^b_axf(x)dx .label{eq4c}]
  3. Les coordonnées du centre de masse ((ar{x},ar{y})) sont [ar{x}=dfrac{M_y}{m} label{eq4d}] et [ar{y}=dfrac{M_x}{m}. label{eq4e}]

Dans l'exemple suivant, nous utilisons ce théorème pour trouver le centre de masse d'une lame.

Exemple (PageIndex{3}): Trouver le centre de masse d'une lame

Soit R la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=sqrt{x}) et en bas par le X-axe sur l'intervalle ([0,4]). Trouvez le centre de gravité de la région.

Solution

La région est représentée sur la figure suivante.

Comme on ne nous demande que le centroïde de la région, plutôt que la masse ou les moments de la lame associée, nous savons que la constante de densité (ρ) s'annule finalement des calculs. Par conséquent, pour des raisons de commodité, supposons (ρ=1).

Tout d'abord, nous devons calculer la masse totale (Équation ef{eq4a}) :

[ egin{align*} m &=ρ∫^b_af(x)dx [4pt] &=∫^4_0sqrt{x}dx [4pt] &=dfrac{2}{3} x^{3/2}∣^4_0 [4pt] &=dfrac{2}{3}[8−0] [4pt] &=dfrac{16}{3}. end{align*}]

Ensuite, nous calculons les moments (Équation ef{eq4d}) :

[ egin{align*} M_x &=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2}dx [4pt] &=∫^4_0dfrac{x}{2}dx [4pt] &=dfrac{1}{4}x^2∣^4_0 [4pt] &=4 end{align*}]

et (Équation ef{eq4c}) :

[ egin{align*} M_y &=ρ∫^b_axf(x)dx [4pt] &=∫^4_0xsqrt{x}dx [4pt] &=∫^4_0x^{3/2 }dx [4pt] &=dfrac{2}{5}x^{5/2}∣^4_0 [4pt] &=dfrac{2}{5}[32−0] [ 4pt] &=dfrac{64}{5}. end{align*}]

Ainsi, nous avons (Équation ef{eq4d}) :

[ egin{align*} ar{x} &=dfrac{M_y}{m} [4pt] &=dfrac{64/5}{16/3} [4pt] &= dfrac{64}{5}⋅dfrac{3}{16} [4pt] &=dfrac{12}{5} end{align*}]

et (Équation ef{eq4e}) :

[ egin{align*} ar{y} &=dfrac{M_x}{y} [4pt] &=dfrac{4}{16/3} [4pt] &=4⋅ dfrac{3}{16} [4pt] &=dfrac{3}{4}. end{align*}]

Le centre de gravité de la région est ((12/5,3/4).)

Exercice (PageIndex{3})

Soit (R) la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=x^2) et en bas par le X-axis sur l'intervalle ([0,2].) Trouver le centroïde de la région.

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

Le centre de gravité de la région est ((3/2,6/5).)

Nous pouvons également adapter cette approche pour trouver les centroïdes de régions plus complexes. Supposons que notre région soit bornée ci-dessus par le graphique d'une fonction continue (f(x)), comme avant, mais maintenant, au lieu d'avoir la borne inférieure pour la région soit la X-axis, supposons que la région est délimitée ci-dessous par le graphique d'une deuxième fonction continue, (g(x)), comme le montre la figure (PageIndex{7}).

Encore une fois, nous partitionnons l'intervalle ([a,b]) et construisons des rectangles. Un rectangle représentatif est illustré à la figure (PageIndex{8}).

Notez que le centre de gravité de ce rectangle est ((x^∗_i,(f(x^∗_i)+g(x^∗_i))/2)). Nous n'allons pas passer en revue tous les détails du développement de la somme de Riemann, mais examinons certaines des étapes clés. Dans l'élaboration des formules pour la masse de la lame et le moment par rapport à la oui-axis, la hauteur de chaque rectangle est donnée par (f(x^∗_i)−g(x^∗_i)), ce qui conduit à l'expression (f(x)−g(x)) dans les intégrandes.

Dans le développement de la formule du moment par rapport à l'axe des x, le moment de chaque rectangle est trouvé en multipliant l'aire du rectangle, (ρ[f(x^∗_i)−g(x^∗_i )]Δx,) par la distance du centre de gravité à l'axe (x), ((f(x^∗_i)+g(x^∗_i))/2), ce qui donne ( ρ(1/2){[f(x^∗_i)]^2−[g(x^∗_i)]^2}Δx). En résumant ces résultats, nous arrivons au théorème suivant.

Centre de masse d'une lame délimitée par deux fonctions

Soit (R) une région bornée en haut par le graphe d'une fonction continue (f(x),) en bas par le graphe de la fonction continue (g(x)), et à gauche et à droite par les lignes (x=a) et (x=b), respectivement. On peut alors faire les affirmations suivantes :

  1. La masse du limbe est [m=ρ∫^b_a[f(x)−g(x)]dx.]
  2. Les moments (M_x) et (M_y) de la lame par rapport aux axes x et y, respectivement, sont [M_x=ρ∫^b_a12([f(x)]^2−[g (x)]^2)dx] et [M_y=ρ∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx.]
  3. Les coordonnées du centre de masse (ar{x},ar{y})) sont [ar{x}=dfrac{M_y}{m}] et [ar{y} =dfrac{M_x}{m}]

Nous illustrons ce théorème dans l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{4}): Recherche du centroïde d'une région délimitée par deux fonctions

Laisser R être la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=1−x^2) et en dessous par le graphe de la fonction (g(x)=x−1.) Trouver le centroïde de la région.

Solution

La région est représentée sur la figure suivante.

Les graphes des fonctions se coupent en ((−2,−3)) et ((1,0)), donc nous intégrons de −2 à 1. Encore une fois, pour des raisons de commodité, supposons ( =1).

Tout d'abord, nous devons calculer la masse totale:

[ egin{align*} m &=ρ∫^b_a[f(x)−g(x)]dx [4pt] &=∫^1_{−2}[1−x^2−(x −1)]dx [4pt] &=∫^1_{−2}(2−x^2−x)dx [4pt] &=left[2x−dfrac{1}{3}x ^3−dfrac{1}{2}x^2 ight]∣^1_{−2} [4pt] &=left[2−dfrac{1}{3}−dfrac{1} {2} ight]−left[−4+dfrac{8}{3}−2 ight][4pt] &=dfrac{9}{2}. end{align*}]

Ensuite, nous calculons les moments :

[ egin{align*} M_x&=ρ∫^b_adfrac{1}{2}([f(x)]^2−[g(x)]^2)dx [4pt] &= dfrac{1}{2}∫^1_{−2}((1−x^2)^2−(x−1)^2)dx[4pt] &=dfrac{1}{2}∫ ^1_{−2}(x^4−3x^2+2x)dx [4pt] &=dfrac{1}{2} left[dfrac{x^5}{5}−x^3 +x^2 ight]∣^1_{−2}[4pt] &=−dfrac{27}{10} end{align*}]

et

[ egin{align*} M_y &=ρ∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx [4pt] &=∫^1_{−2}x[(1−x^2) −(x−1)]dx[4pt] &=∫^1_{−2}x[2−x^2−x]dx[4pt] &=∫^1_{−2}(2x− x^4−x^2)dx [4pt] &=left[x^2−dfrac{x^5}{5}−dfrac{x^3}{3} ight]∣^1_ {−2}[4pt] &=−dfrac{9}{4}. end{align*}]

Par conséquent, nous avons

[ egin{align*} ar{x} &=dfrac{M_y}{m}[4pt] &=−dfrac{9}{4}⋅dfrac{2}{9} [4pt] &=−dfrac{1}{2} end{align*}]

et

[ egin{align*} ar{y} &=dfrac{M_x}{y}[4pt] &=−dfrac{27}{10}⋅dfrac{2}{9} [4pt] &=−dfrac{3}{5}. end{align*}]

Le centre de gravité de la région est ((−(1/2),−(3/5)).)

Exercice (PageIndex{4})

Soit (R) la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=6−x^2) et en dessous par le graphe de la fonction (g(x)=3−2x. ) Trouvez le centre de gravité de la région.

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

Le centroïde de la région est ((1,13/5).)

Le principe de symétrie

Nous avons énoncé le principe de symétrie plus tôt, lorsque nous regardions le centre de gravité d'un rectangle. Le principe de symétrie peut être d'une grande aide pour trouver les centroïdes de régions qui sont symétriques. Considérez l'exemple suivant.

Exemple (PageIndex{5}): Recherche du centroïde d'une région symétrique

Soit R la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=4−x^2) et en bas par l'axe des x. Trouvez le centre de gravité de la région.

Solution

La région est représentée sur la figure suivante

La région est symétrique par rapport à la oui-axe. Par conséquent, la coordonnée x du centre de gravité est nulle. Il suffit de calculer (ar{y}). Encore une fois, pour des raisons de commodité, supposons (ρ=1).

Tout d'abord, nous calculons la masse totale:

[ egin{align*} m &=ρ∫^b_af(x)dx [4pt] &=∫^2_{−2}(4−x^2)dx [4pt] &=left [4x−dfrac{x^3}{3} ight]∣^2_{−2} [4pt] &=dfrac{32}{3}. end{align*}]

Ensuite, nous calculons les moments. Nous avons seulement besoin de (M_x):

[ egin{align*} M_x &=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2}dx [4pt] &=dfrac{1}{2}∫^2_{ −2}left[4−x^2 ight]^2dx =dfrac{1}{2}∫^2_{−2}(16−8x^2+x^4)dx [4pt] & =dfrac{1}{2}gauche[dfrac{x^5}{5}−dfrac{8x^3}{3}+16x ight]∣^2_{−2}=dfrac{256 }{15} end{align*}]

Ensuite nous avons

[ar{y}=dfrac{M_x}{y}=dfrac{256}{15}⋅dfrac{3}{32}=dfrac{8}{5}. pas de numéro]

Le centre de gravité de la région est ((0,8/5).)

Exercice (PageIndex{5})

Soit (R) la région bornée en haut par le graphe de la fonction (f(x)=1−x^2) et en bas par l'axe (x). Trouvez le centre de gravité de la région.

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

Le centre de gravité de la région est ((0,2/5).)

La passerelle du Grand Canyon

Le Grand Canyon Skywalk a ouvert ses portes au public le 28 mars 2007. Cette merveille d'ingénierie est une plate-forme d'observation en forme de fer à cheval suspendue à 4000 pieds au-dessus du fleuve Colorado sur la rive ouest du Grand Canyon. Son sol en verre cristallin permet une vue imprenable sur le canyon en contrebas (voir la figure suivante).

Le Skywalk est une conception en porte-à-faux, ce qui signifie que la plate-forme d'observation s'étend sur le bord du canyon, sans aucun moyen de support visible en dessous. Malgré l'absence de poteaux ou d'entretoises de support visibles, les structures en porte-à-faux sont conçues pour être très stables et le Skywalk ne fait pas exception. La plate-forme d'observation est solidement fixée à des poteaux de soutien qui s'étendent jusqu'à 46 pieds dans le substrat rocheux. La structure a été construite pour résister à des vents de 100 mph et à un tremblement de terre de magnitude 8,0 dans un rayon de 50 miles, et est capable de supporter plus de 70 000 000 lb.

Un facteur affectant la stabilité du Skywalk est le centre de gravité de la structure. Nous allons calculer le centre de gravité du Skywalk et examiner comment le centre de gravité change lorsque les touristes entrent sur la plate-forme d'observation.

La plate-forme d'observation est en forme de U. Les jambes du U mesurent 10 pieds de large et commencent à terre, sous le centre des visiteurs, à 48 pieds du bord du canyon. La plate-forme s'étend sur 70 pieds au-dessus du bord du canyon.

Pour calculer le centre de masse de la structure, nous la traitons comme une lame et utilisons une région bidimensionnelle dans le plan xy pour représenter la plate-forme. Nous commençons par diviser la région en trois sous-régions afin que nous puissions considérer chaque sous-région séparément. La première région, notée (R_1), est constituée de la partie courbe du U. Nous modélisons (R_1) comme un anneau semi-circulaire, de rayon interne 25 pi et de rayon externe 35 pi, centré à l'origine (Figure (PageIndex{12})).

Les jambes de la plate-forme, s'étendant sur 10 mètres entre (R_1) et la paroi du canyon, comprennent la deuxième sous-région, (R_2). Enfin, les extrémités des jambes, qui s'étendent à 48 pieds sous le centre d'accueil, constituent la troisième sous-région, (R_3). Supposons que la densité de la lame soit constante et que le poids total de la plate-forme soit de 1 200 000 lb (sans compter le poids du centre d'accueil ; nous y reviendrons plus tard). Utilisez (g=32;ft/sec^2).

  1. Calculez la superficie de chacune des trois sous-régions. Notez que les zones des régions (R_2) et (R_3) doivent inclure uniquement les zones des jambes, pas l'espace ouvert entre elles. Arrondissez les réponses au pied carré le plus proche.
  2. Déterminez la masse associée à chacune des trois sous-régions.
  3. Calculez le centre de gravité de chacune des trois sous-régions.
  4. Maintenant, traitez chacune des trois sous-régions comme une masse ponctuelle située au centre de masse de la sous-région correspondante. À l'aide de cette représentation, calculez le centre de masse de toute la plate-forme.
  5. Supposons que le centre d'accueil pèse 2 200 000 lb, avec un centre de masse correspondant au centre de masse de (R_3). En traitant le centre d'accueil comme une masse ponctuelle, recalculez le centre de masse du système. Comment le centre de masse change-t-il ?
  6. Bien que le Skywalk ait été construit pour limiter le nombre de personnes sur la plate-forme d'observation à 120, la plate-forme est capable de supporter jusqu'à 800 personnes pesant 200 lb chacune. Si les 800 personnes étaient autorisées sur la plate-forme et qu'elles se rendaient toutes à l'extrémité la plus éloignée de la plate-forme, comment le centre de gravité du système serait-il affecté ? (Incluez le centre d'accueil dans les calculs et représentez les personnes par une masse ponctuelle située au bord le plus éloigné de la plate-forme, à 70 pieds de la paroi du canyon.)

Théorème de Pappus

Cette section se termine par une discussion sur les théorème de Pappus pour le volume, ce qui nous permet de trouver le volume de types particuliers de solides en utilisant le centroïde. (Il existe également un théorème de Pappus pour la surface, mais il est beaucoup moins utile que le théorème pour le volume.)

Théorème de Pappus pour le volume

Soit (R) une région du plan et soit l une droite du plan qui ne coupe pas (R). Alors le volume du solide de révolution formé en faisant tourner (R) autour de l est égal à l'aire de (R) multipliée par la distance parcouru par le centre de gravité de (R).

Preuve

On peut prouver le cas lorsque la région est bornée en haut par le graphe d'une fonction (f(x)) et en dessous par le graphe d'une fonction (g(x)) sur un intervalle ([a,b ]), et dont l'axe de révolution est l'axe (y). Dans ce cas, l'aire de la région est (displaystyle A=∫^b_a[f(x)−g(x)],dx). Puisque l'axe de rotation est l'axe (y), la distance parcourue par le centre de gravité de la région dépend uniquement de la coordonnée (x) du centre de gravité, (ar{x}), qui est

[x=dfrac{M_y}{m},]

[m=ρ∫^b_a[f(x)−g(x)]dx]

et

[M_y=ρ∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx.]

Puis,

[d=2πdfrac{displaystyle {ρ∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx}}{displaystyle{ρ∫^b_a[f(x)−g(x)]dx} }]

Et ainsi

[d⋅A=2π∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx.]

Cependant, en utilisant la méthode des coques cylindriques, nous avons

[V=2π∫^b_ax[f(x)−g(x)]dx.]

Donc,

[V=d⋅A]

et la preuve est complète.

Exemple (PageIndex{6}): Utilisation du théorème de Pappus pour le volume

Soit (R) un cercle de rayon 2 centré en ((4,0).) Utilisez le théorème de Pappus pour le volume pour trouver le volume du tore généré en tournant (R) autour du ( y)-axe.

Solution

La région et le tore sont représentés dans la figure suivante.

La région (R) est un cercle de rayon 2, donc l'aire de R est (A=4π; ext{units}^2). Par le principe de symétrie, le centre de gravité de R est le centre du cercle. Le centroïde se déplace autour de l'axe (y) sur une trajectoire circulaire de rayon 4, donc le centroïde parcourt (d=8π) unités. Alors, le volume du tore est (A⋅d=32π^2) unités3.

Exercice (PageIndex{6})

Soit R un cercle de rayon 1 centré en ((3,0).) Utilisez le théorème de Pappus pour le volume pour trouver le volume du tore généré en faisant tourner R autour de l'axe (y).

Indice

Utilisez le processus de l'exemple précédent.

Répondre

(6π^2) unités3

Concepts clés

  • Mathématiquement, le centre de masse d'un système est le point auquel la masse totale du système pourrait être concentrée sans changer le moment. En gros, le centre de masse peut être considéré comme le point d'équilibre du système.
  • Pour les masses ponctuelles réparties le long d'une droite numérique, le moment du système par rapport à l'origine est (displaystyle M=sum^n_{i=1}m_ix_i.) Pour les masses ponctuelles réparties dans un plan, les moments de le système par rapport aux axes (x) et (y) sont respectivement (displaystyle M_x=sum^n_{i=1}m_iy_i) et (displaystyle M_y= sum^n_{i=}m_ix_i), respectivement.
  • Pour une lame délimitée ci-dessus par une fonction (f(x)), les moments du système par rapport aux axes (x) et (y) sont respectivement (displaystyle M_x= ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2},dx) et (displaystyle M_y=ρ∫^b_axf(x),dx.)
  • Les coordonnées (x) et (y) du centre de masse peuvent être trouvées en divisant les moments autour de l'axe (y) et autour de l'axe (x), respectivement, par la masse totale. Le principe de symétrie dit que si une région est symétrique par rapport à une ligne, alors le centroïde de la région se trouve sur la ligne.
  • Le théorème de Pappus pour le volume dit que si une région tourne autour d'un axe externe, le volume du solide résultant est égal à l'aire de la région multipliée par la distance parcourue par le centre de gravité de la région.

Équations clés

  • Masse d'une lame

(displaystyle m=ρ∫^b_af(x)dx)

  • Moments d'une lame

(displaystyle M_x=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2},dx ext{ et }M_y=ρ∫^b_axf(x),dx)

  • Centre de masse d'une lame

(ar{x}=dfrac{M_y}{m} ext{ et }ar{y}=dfrac{M_x}{m})

Glossaire

le centre de masse
le point auquel la masse totale du système pourrait être concentrée sans changer le moment
centre de gravité
le centre de gravité d'une région est le centre géométrique de la région ; les lames sont souvent représentées par des régions du plan ; si la lame a une densité constante, le centre de masse de la lame ne dépend que de la forme de la région plane correspondante ; dans ce cas, le centre de masse du limbe correspond au centre de gravité de la région représentative
lame
une fine feuille de matériau ; les lames sont suffisamment minces pour que, à des fins mathématiques, elles puissent être traitées comme si elles étaient bidimensionnelles
moment
si n masses sont disposées sur une droite numérique, le moment du système par rapport à l'origine est donné par (displaystyle M=sum^n_{i=1}m_ix_i); si, au contraire, on considère une région dans le plan, délimitée ci-dessus par une fonction (f(x)) sur un intervalle ([a,b]), alors les moments de la région par rapport au ( Les axes x) et (y) sont donnés par (displaystyle M_x=ρ∫^b_adfrac{[f(x)]^2}{2},dx) et (displaystyle M_y=ρ∫^b_axf(x),dx), respectivement
principe de symétrie
le principe de symétrie stipule que si une région (R) est symétrique par rapport à une ligne (I), alors le centroïde de (R) se trouve sur (I)
théorème de Pappus pour le volume
ce théorème stipule que le volume d'un solide de révolution formé en faisant tourner une région autour d'un axe externe est égal à l'aire de la région multipliée par la distance parcourue par le centre de gravité de la région

Problème: Le moment d'inertie d'un objet de 1,7 kg autour de son centre de masse est mesuré à 150 kgm2. Quel serait le moment d'inertie pour un axe parallèle à 15 cm du centre de masse ?

Le moment d'inertie d'un objet de 1,7 kg autour de son centre de masse est mesuré à 150 kgm 2 . Quel serait le moment d'inertie pour un axe parallèle à 15 cm du centre de masse ?

Questions fréquemment posées

Quel concept scientifique devez-vous connaître pour résoudre ce problème ?

Nos tuteurs ont indiqué que pour résoudre ce problème, vous devrez appliquer le concept du théorème de l'axe parallèle. Vous pouvez visionner des leçons vidéo pour apprendre le théorème de l'axe parallèle. Ou si vous avez besoin de plus de pratique du théorème de l'axe parallèle, vous pouvez également pratiquer des problèmes de pratique du théorème de l'axe parallèle.

Quelle est la difficulté de ce problème ?

Nos tuteurs ont évalué la difficulté deLe moment d'inertie d'un objet de 1,7 kg autour de son centre. comme de faible difficulté.

Combien de temps faut-il pour résoudre ce problème ?

Notre tuteur expert en physique, Jeffery a pris 1 minute et 12 secondes pour résoudre ce problème. Vous pouvez suivre leurs étapes dans l'explication vidéo ci-dessus.


1.7 : Moments et centres de masse

Dans cette section, nous allons trouver les le centre de masse ou alors centre de gravité d'une plaque mince de densité uniforme ( ho ). Le centre de masse ou centroïde d'une région est le point où la région sera parfaitement équilibrée horizontalement si elle est suspendue à ce point.

Supposons donc que la plaque soit la région délimitée par les deux courbes (fleft( x ight)) et (gleft( x ight)) sur l'intervalle (left[ droite]). Donc, nous voulons trouver le centre de masse de la région ci-dessous.

Nous aurons d'abord besoin de la masse de cette plaque. La masse est,

Ensuite, nous aurons besoin du des moments de la région. Il y a deux moments, notés () et (). Les moments mesurent la tendance de la région à tourner autour des axes (x) et (y) respectivement. Les moments sont donnés par,

Équations des moments

Les coordonnées du centre de masse, (left( ,surligne> ight)), sont alors,

Coordonnées du centre de masse

Notez que la densité, ( ho ), de la plaque s'annule et n'est donc pas vraiment nécessaire.

Travaillons quelques exemples.

Voici un croquis de la région avec le centre de masse indiqué par un point.

Voyons d'abord la superficie de la région.

Maintenant, les moments (sans densité puisqu'il va juste tomber) sont,

Les coordonnées du centre de masse sont alors,

Encore une fois, notez que nous n'avons pas mis la densité car elle s'annulera.

Ainsi, le centre de masse pour cette région est (left( <4>,frac<4>> ight)).

Les deux courbes se coupent en (x = 0) et (x = 1) et voici un croquis de la région avec le centre de masse marqué d'un cadre.

Nous allons d'abord obtenir la superficie de la région.

Maintenant, les moments, encore une fois sans densité, sont

Les coordonnées du centre de masse sont alors,

Les coordonnées du centre de masse sont alors,(left( ><<25>>,frac<3><7>> ight)).


Contenu

Général Modifier

Le centre du référentiel de quantité de mouvement est défini comme le référentiel inertiel dans lequel la somme des quantités de mouvement linéaires de toutes les particules est égale à 0. Soit S désignent le système de référence du laboratoire et Sdésigne le référentiel du centre de l'impulsion. En utilisant une transformation galiléenne, la vitesse des particules dans S' est

est la vitesse du centre de masse. La quantité de mouvement totale dans le système du centre de quantité s'évanouit alors :

De plus, l'énergie totale du système est la énergie minimale vu de tous les référentiels inertiels.

Relativité restreinte Modifier

En relativité, la trame COM existe pour un système massif isolé. Ceci est une conséquence du théorème de Noether. Dans le cadre COM, l'énergie totale du système est la énergie de repos, et cette quantité (lorsqu'elle est divisée par le facteur c 2 , où c est la vitesse de la lumière) donne la masse au repos (masse invariante) du système :

La masse invariante du système est donnée dans tout référentiel inertiel par la relation invariante relativiste

mais pour une quantité de mouvement nulle, le terme de quantité de mouvement (p/c) 2 s'annule et donc l'énergie totale coïncide avec l'énergie de repos.

Les systèmes qui ont une énergie non nulle mais une masse au repos nulle (comme les photons se déplaçant dans une seule direction, ou de manière équivalente, des ondes électromagnétiques planes) n'ont pas de trames COM, car il n'y a pas de trame dans laquelle ils ont une quantité de mouvement nette nulle. En raison de l'invariance de la vitesse de la lumière, un système sans masse doit se déplacer à la vitesse de la lumière dans n'importe quel cadre et possède toujours une quantité de mouvement nette. Son énergie est, pour chaque référentiel, égale à la magnitude de la quantité de mouvement multipliée par la vitesse de la lumière :

Un exemple de l'utilisation de ce cadre est donné ci-dessous - dans une collision à deux corps, pas nécessairement élastique (où énergie cinétique est conservé). Le cadre COM peut être utilisé pour trouver la quantité de mouvement des particules beaucoup plus facilement que dans un cadre de laboratoire : le cadre où la mesure ou le calcul est effectué. La situation est analysée en utilisant les transformations galiléennes et la conservation de la quantité de mouvement (pour la généralité, plutôt que les énergies cinétiques seules), pour deux particules de masse m1 et m2, se déplaçant aux vitesses initiales (avant collision) vous1 et vous2 respectivement. Les transformations sont appliquées pour prendre la vitesse de la trame de la vitesse de chaque particule de la trame de laboratoire (quantités non amorcées) à la trame COM (quantités amorcées): [1]

V est la vitesse de la trame COM. Depuis V est la vitesse du COM, c'est-à-dire la dérivée temporelle de l'emplacement du COM R (position du centre de masse du système) : [2]

donc à l'origine de la trame COM, R' = 0, cela implique

Les mêmes résultats peuvent être obtenus en appliquant la conservation de la quantité de mouvement dans le cadre du laboratoire, où les quantités de mouvement sont p1 et p2:

et dans le référentiel COM, où il est affirmé de manière définitive que les impulsions totales des particules, p1' et p2', disparaît :

Utilisation de l'équation du cadre COM pour résoudre V renvoie l'équation du cadre de laboratoire ci-dessus, démontrant que n'importe quel cadre (y compris le cadre COM) peut être utilisé pour calculer la quantité de mouvement des particules. Il a été établi que la vitesse du cadre COM peut être supprimée du calcul à l'aide du cadre ci-dessus, de sorte que les impulsions des particules dans le cadre COM peuvent être exprimées en termes de quantités dans le cadre de laboratoire (c'est-à-dire les valeurs initiales données ):

remarquez que la vitesse relative dans le cadre du laboratoire des particules 1 à 2 est

de sorte que les moments des particules se réduisent de manière compacte à

Il s'agit d'un calcul sensiblement plus simple de la quantité de mouvement des deux particules. La masse réduite et la vitesse relative peuvent être calculées à partir des vitesses initiales dans le cadre du laboratoire et des masses, et la quantité de mouvement d'une particule est simplement le négatif de l'autre. Le calcul peut être répété pour les vitesses finales v1 et v2 à la place des vitesses initiales vous1 et vous2, car après la collision, les vitesses satisfont toujours aux équations ci-dessus : [3]

donc à l'origine de la trame COM, R = 0, cela implique après la collision

Dans le cadre du laboratoire, la conservation de la quantité de mouvement s'écrit entièrement :

Cette équation fait ne pas implique que

au lieu de cela, il indique simplement la masse totale M multiplié par la vitesse du centre de masse V est la quantité de mouvement totale P du système:


Salut amcelroy13 Bienvenue sur PF !

(essayez d'utiliser la balise X 2 juste au-dessus de la zone de réponse)

Ta formule m'a l'air bien...

(mais êtes-vous sûr qu'il est écrit "radius"… les tiges n'ont généralement pas de rayon ?)

peut-être que vous avez la virgule au mauvais endroit…

quels chiffres obtenez-vous?

Oui, la forme est un peu étrange, il s'avère que ma calculatrice était presque à court de piles, alors elle me donnait toujours de mauvaises réponses. Je n'avais aucune idée que cela pouvait arriver. cependant, la partie suivante s'avère extrêmement difficile pour moi.

C'est la question réelle et complète:

Une ficelle est enroulée autour d'un disque uniforme de masse M = 2,5 kg et de rayon R = 0,04 m. (Rappelez-vous que le moment d'inertie d'un disque uniforme est (1/2)MR2.) Quatre tiges de faible masse de rayon b = 0,09 m, chacune avec une petite masse m = 0,6 kg à l'extrémité, sont attachées au disque. L'appareil est initialement au repos sur une surface presque sans frottement. Ensuite, vous tirez la ficelle avec une force constante F = 26 N. A l'instant où le centre du disque s'est déplacé d'une distance d = 0,030 m, une longueur w = 0,011 m de ficelle s'est déroulée du disque.

(a) A cet instant, quelle est la vitesse du centre de l'appareil ?
v = 0,564 m/s

(b) A cet instant, quelle est la vitesse angulaire de l'appareil ?
oméga1 = 5.165 radians/s

(c) Vous continuez à tirer avec une force constante de 26 N pendant 0,039 s supplémentaire. Maintenant quelle est la vitesse angulaire de l'appareil ?
oméga2 = ? radians/s

Équations nécessaires :
Lf = Li + T(deltat)
T = r x p (produit croisé)
Li = r x F (croix)

Tenter:
Mon plus gros problème sur cette partie est de trouver le moment angulaire initial et comment il se rapporte à l'oméga (vitesse angulaire). J'ai l'impression que cela devrait simplement être "Li = R(masse totale)(oméga1)", ce qui rendrait la résolution d'oméga deux assez simple :
Lf = Li + T(dealtat)
R(masse totale)(oméga2) = R(masse totale)(oméga1) + R(F)(deltat)
oméga2 = ((R(masse totale)(oméga1) + R(F)(deltat))/(R(masse totale))
oméga2 = (.04(4.9)(5.165) + .04(26)(.039))/(.04(4.9))
oméga2 = 5,37

Cependant, ce n'est pas la bonne réponse, et cela n'a pas vraiment de sens que cela accélère aussi vite dans ce court intervalle de temps. Des idées?


Renversement et stabilité

Matt est actuellement directeur de département dans un lycée de San Francisco. Dans ses temps libres, Matt aime passer du temps à l'extérieur avec sa femme et ses deux enfants.

Nous utilisons les mots renversement et stabilité dans notre monde quotidien. renversement signifie qu'un objet tombera facilement pendant stabilité signifie qu'un objet peut résister à la chute.

Basculement et stabilité, vous savez ce que signifient ces mots, le basculement signifie que quelque chose peut très facilement tomber. La stabilité signifie que quelque chose résiste à la chute et qu'il est très stable, n'est-ce pas ? Eh bien, qu'est-ce qui fait basculer certains objets et stabiliser certains objets ? Eh bien, un objet basculera facilement si son centre de masse est abaissé, si les forces appliquées qui abaissent son centre de masse, il est plus susceptible de basculer, si un objet, un objet sera stable si son centre de masse doit être considérablement soulevé afin de le faire basculer d'accord?

Passons en revue, le centre de masse est la masse de position moyenne, donc si j'ai un cône, si j'ai un cône sur sa base, il sera à environ un quart de la hauteur du cône, juste là est le centre de Masse. Si je lie ce cône sur son, sur la pointe d'accord, j'ai le centre de masse juste ici aux trois quarts du chemin jusqu'au sommet d'accord ? Donc, évidemment, il est plus probable que cela bascule que cela, vous pouvez simplement regarder cela et voir intuitivement cela, mais en termes de, la physique derrière cela, si nous appliquons une force ici et déplaçons ce centre de gravité, si nous déplaçons cela juste un un peu de cette façon, disons d'accord, le centre de gravité va commencer à se déplacer ici, donc son centre de gravité va descendre d'accord, cela va le faire basculer d'accord ?

Inversement, si j'ai un cône dans cette formation et que j'applique une force pour que je veuille basculer, disons que je le déplace dans ce type de direction pour le faire basculer d'accord, alors j'essaie de pousser en essayant de le faire basculer , le centre de masse va en fait monter et il élève le centre de masse, donc encore une fois la gravité va vouloir garder cela stable et la gravité va vouloir forcer cela à basculer et tout a à voir avec le centre de masse si le centre de masse se déplace vers le bas ou vers le haut et que ce qui fait que les choses sont plus susceptibles de basculer ou d'être stables.


1.7 : Déflexion des poutres - Méthodes géométriques

Les exigences d'aptitude au service limitent la flèche maximale autorisée dans un élément structurel soumis à une charge externe. Une déviation excessive peut entraîner l'inconfort de l'occupation d'une structure donnée et peut également nuire à son esthétique. La plupart des codes et normes fournissent la déflexion maximale admissible pour les charges permanentes et les charges vives superposées. Pour s'assurer que la déflexion maximale possible qui pourrait se produire sous une charge donnée se situe dans une valeur acceptable, le composant structurel est généralement analysé pour la déflexion, et la valeur de déflexion maximale déterminée est comparée aux valeurs spécifiées dans les codes et les normes de pratique.

Il existe plusieurs méthodes pour déterminer la déflexion d'une poutre ou d'un cadre. Le choix d'une méthode particulière dépend de la nature du chargement et du type de problème à résoudre. Certaines des méthodes utilisées dans ce chapitre incluent la méthode de la double intégration, la méthode de la fonction de singularité, la méthode moment-aire, la méthode de l'unité de charge, la méthode de travail virtuel et les méthodes énergétiques.

La courbe élastique d'une poutre est l'axe d'une poutre déviée, comme indiqué sur la figure 7.1a.

7.1. La courbe élastique d'une poutre.

Pour dériver l'équation de la courbe élastique d'une poutre, dérivez d'abord l'équation de la flexion.

Considérez la partie cdef de la poutre illustrée à la figure 7.1a, soumise à un moment pur, M, pour la dérivation de l'équation de flexion. En raison du moment appliqué M, les fibres au-dessus de l'axe neutre du faisceau s'allongeront, tandis que celles en dessous de l'axe neutre se raccourciront. Laisser O être le centre et R être le rayon de la courbure du faisceau, et laissez je être l'axe de la poutre courbe. Le faisceau sous-tend un angle &thêta à O. Et laisse &sigma être la contrainte longitudinale dans un filament gℎ à une distance oui de l'axe neutre.

De la géométrie, la longueur de l'axe neutre du faisceau je et celui du filament gℎ, situé à distance oui à partir de l'axe neutre du faisceau, peut être calculé comme suit :

La souche &epsilon dans le filament peut être calculé comme suit :

Pour un matériau élastique linéaire, auquel s'applique la loi de Hooke, l'équation 7.1 peut s'écrire comme suit :

Si une zone élémentaire &deltaA à une distance oui de l'axe neutre de la poutre (voir Figure 7.1c) est soumis à une contrainte de flexion &sigma, la force élémentaire sur cette zone peut être calculée comme suit :

La force sur toute la section transversale de la poutre devient alors :

Du point de vue de l'équilibre statique, le moment externe M dans la poutre est équilibré par les moments autour de l'axe neutre des forces internes développées sur une section de la poutre. Ainsi,

Substitution de l'équation 7.2 à l'équation 7.5 suggère ce qui suit :

En mettant je = &int y 2 &deltaA dans l'équation 7.6 suggère ce qui suit :

je = le moment d'inertie ou le deuxième moment d'aire de la section.

La combinaison des équations 7.2 et 7.7 suggère ce qui suit :

L'équation de la courbe élastique d'une poutre peut être trouvée en utilisant les méthodes suivantes.

À partir du calcul différentiel, la courbure en tout point le long d'une courbe peut être exprimée comme suit :

sont les dérivées première et seconde de la fonction représentant la courbe en termes de coordonnées cartésiennes X et oui.

Comme la poutre de la figure 7.1 est supposée homogène et se comporte de manière élastique linéaire, sa flèche sous flexion est faible. Par conséquent, la quantité qui représente la pente de la courbe en tout point de la poutre déformée, sera également faible. Depuis est négligeable, l'équation 7.9 pourrait être simplifiée comme suit :

La combinaison des équations 7.2 et 7.10 suggère ce qui suit :

En réorganisant l'équation 7.11, on obtient ce qui suit :

L'équation 7.12 est appelée équation différentielle de la courbe élastique d'une poutre.

La déflexion par double intégration est également appelée déflexion par la méthode d'intégration directe ou constante. Cette méthode consiste à obtenir la flèche d'une poutre en intégrant deux fois l'équation différentielle de la courbe élastique d'une poutre et en utilisant des conditions aux limites pour déterminer les constantes d'intégration. La première intégration donne la pente et la seconde intégration donne la déflexion. Cette méthode est la meilleure lorsqu'il y a une continuité dans le chargement appliqué.

Une poutre en porte-à-faux est soumise à une combinaison de charges, comme illustré à la figure 7.2a. En utilisant la méthode de la double intégration, déterminer la pente et la flèche à l'extrémité libre.

Équation pour le moment fléchissant. Passer une section à distance X à partir de l'extrémité libre de la poutre, comme indiqué dans le diagramme de corps libre de la figure 7.2b, et compte tenu du moment à droite de la section suggère ce qui suit :

Substitution M dans l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Équation pour la pente. Intégrer par rapport à X suggère ce qui suit :

Remarquez qu'à l'extrémité fixe où c'est ce qu'on appelle la condition aux limites. L'application de ces conditions aux limites à l'équation 3 suggère ce qui suit :

Pour obtenir l'équation de pente suivante, substituez la valeur calculée de C1 dans l'équation 3 suit :

Équation pour la déviation. L'intégration de l'équation 4 suggère ce qui suit :

A l'extrémité fixe X = L, oui = 0. L'application de ces conditions aux limites à l'équation 5 suggère ce qui suit :

Pour obtenir l'équation suivante de la courbe élastique, substituez la valeur calculée de C2 dans l'équation 5, comme suit :

La pente à l'extrémité libre, c'est-à-dire, à X = 0

La déviation à l'extrémité libre, c'est-à-dire oui à X = 0

Une poutre simplement supportée UN B porte une charge uniformément répartie de 2 kips/pi sur sa longueur et une charge concentrée de 10 kips au milieu de sa portée, comme illustré à la figure 7.3a. En utilisant la méthode de la double intégration, déterminer la pente à l'appui UNE et la déviation à un point médian C du faisceau.

7.3. Poutre simplement supportée.

kips par symétrie

Équation pour le moment fléchissant. Le moment à une section d'une distance X du soutien UNE, comme le montre le diagramme de corps libre de la figure 7.3b, s'écrit comme suit :

Remplacement de M dans l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Équation pour la pente. En intégrant l'équation 2 par rapport à X suggère ce qui suit :

La constante d'intégration C1 est évalué en considérant la condition aux limites.

L'application des conditions aux limites susmentionnées à l'équation 3 suggère ce qui suit :

Apporter la valeur calculée de C1 de retour dans l'équation 3 suggère ce qui suit :

Équation pour la déviation. L'intégration de l'équation 4 suggère ce qui suit :

La constante d'intégration C2 est évalué en considérant la condition aux limites.

Porter la valeur calculée de C2 de retour dans l'équation 5 suggère l'équation suivante de la courbe élastique :

La pente à

Déflexion à mi-parcours

Une poutre porte une charge répartie qui varie de zéro à l'appui UNE à 50 kN/m à son extrémité en surplomb, comme le montre la figure 7.4a. Écrire l'équation de la courbe élastique pour le segment UN B de la poutre, déterminer la pente à l'appui UNE, et déterminer la flèche en un point de la poutre situé à 3 m du support UNE.

Réactions de soutien. Pour déterminer les réactions du faisceau, appliquez les équations d'équilibre, comme suit :

Équation pour le moment fléchissant. Le moment à une section d'une distance X du soutien UNE, comme le montre le diagramme de corps libre de la figure 7.4b, est le suivant :

Remplacement de M dans l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Équation pour la pente. En intégrant l'équation 2 par rapport à X suggère ce qui suit :

Équation pour la déviation. L'intégration de l'équation 3 suggère l'équation de déviation, comme suit :

Pour évaluer les constantes d'intégrations, appliquez les conditions aux limites suivantes à l'équation 4 :

À X = 6m, oui = 0

Équation de la courbe élastique.

L'équation de la courbe élastique peut maintenant être déterminée en substituant C1 et C2 dans l'équation 4.

Pour obtenir les équations de pente et de déviation, substituez la valeur calculée de C1 et C2 revenir dans les équations 3 et 4 :

Déflexion à X = 3 m du support UNE.

Dans les cas où une poutre est soumise à une combinaison de charges réparties, de charges concentrées et de moments, l'utilisation de la méthode de double intégration pour déterminer les déflexions de ces poutres est vraiment complexe, car divers segments de la poutre sont représentés par plusieurs fonctions de moment, et beaucoup d'efforts de calcul sont nécessaires pour trouver les constantes d'intégration. L'utilisation de la méthode de la fonction de singularité dans de tels cas pour déterminer les déflexions est comparativement plus facile et relativement rapide. Cette méthode d'analyse a été introduite pour la première fois par Macaulay en 1919, et elle implique l'utilisation d'une équation qui contient une fonction de singularité ou de demi-portée pour décrire l'ensemble de la courbe de déviation du faisceau. Une fonction de singularité ou de demi-portée est définie comme suit :

X = position coordonnée d'un point le long de la poutre.

une = tout emplacement le long de la poutre où se produit une discontinuité due à la flexion.

m = les valeurs exponentielles des fonctions cela doit toujours être supérieur ou égal à zéro pour que les fonctions soient valides.

La définition décrite ci-dessus implique que la quantité (X &ndash une) est égal à zéro ou s'annule s'il est négatif, mais il est égal à (X &ndash une) s'il est positif.

Procédure d'analyse par la méthode de la fonction de singularité

&bull Esquissez le diagramme de corps libre de la poutre et établissez le X et oui coordonnées.

&bull Calculer les réactions d'appui et écrire l'équation du moment en fonction de la X coordonner. La convention de signe pour le moment est la même que dans la section 4.3.

&bull Substituer l'expression du moment dans l'équation de la courbe élastique et intégrer une fois pour obtenir la pente. Intégrez à nouveau pour obtenir la déflexion dans le faisceau.

&bull A l'aide des conditions aux limites, déterminer les constantes d'intégration et les substituer dans les équations obtenues à l'étape 3 pour obtenir la pente et la déflexion de la poutre. Une pente positive est dans le sens inverse des aiguilles d'une montre et une pente négative est dans le sens des aiguilles d'une montre, tandis qu'une déviation positive est vers le haut et une déviation négative est vers le bas.

&bull Lors du calcul de la pente ou de la déviation en tout point de la poutre, ignorez la quantité (X &ndash une) à partir de l'équation de la pente ou de la déflexion si elle est négative. Si (X &ndash une) est positif, il reste dans l'équation.

Une poutre simplement appuyée est soumise au chargement combiné illustré à la figure 7.5a. En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente à l'appui UNE et la déviation à B.

7.5. Poutre simplement supportée.

Réactions de soutien. Pour déterminer la réaction à l'appui UNE de la poutre, appliquer les équations d'équilibre, comme suit :

Moment de flexion. Remplacement de la charge distribuée donnée par deux charges ouvertes équivalentes, comme le montre la figure 7.5b, le moment de flexion à une section située à une distance X du support gauche UNE peut s'exprimer comme suit :

Équation de la courbe élastique. Remplacement de M(X) de l'équation 1 à l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Intégrer l'équation 2 deux fois suggère ce qui suit :

Conditions aux limites et calcul des constantes d'intégration. Application des conditions aux limites [X = 0, oui = 0] à l'équation 4 et notant que chaque parenthèse contient une quantité négative et, par conséquent, est égal à zéro par la définition de la singularité suggère que C2 = 0.

Encore une fois, en appliquant les conditions aux limites [X = 8, oui = 0] à l'équation 4 et en notant que chaque parenthèse contient une quantité positive suggère que la valeur de la constante C1 est comme suit:

Substituer les valeurs de C1 et C2 dans l'équation 4 suggère que l'expression de la courbe élastique de la poutre est la suivante :

De même, en substituant les valeurs de C1 dans l'équation 3 suggère que l'expression de la pente est la suivante :

La pente à

La déviation à X = 4,5 m du support UNE

Une poutre en porte-à-faux est chargée avec une charge uniformément répartie de 4 kips/pi, comme illustré à la figure 7.6a. En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminez l'équation de la courbe élastique de la poutre, la pente à l'extrémité libre et la flèche à l'extrémité libre.

Réactions de soutien. Pour déterminer la réaction à l'appui UNE de la poutre, appliquer l'équation d'équilibre, comme suit :

Moment de flexion. Le moment fléchissant à une section située à une distance X de l'extrémité fixe de la poutre, représentée sur la figure 7.6b, peut être exprimé comme suit :

Équation de la courbe élastique. Remplacement de M(X) de l'équation 1 à l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Intégrer l'équation 2 deux fois suggère ce qui suit :

Conditions aux limites et calcul des constantes d'intégration. Application des conditions aux limites à l'équation 3 et en notant que le terme avec une parenthèse contient une quantité négative et, par conséquent, est égal à zéro par la définition de la fonction de singularité suggère que C1 = 0.

Application des conditions aux limites [X = 0, oui = 0] à l'équation 4 et notant que le terme avec une parenthèse contient une quantité négative et, par conséquent, est égal à zéro par la définition de la fonction de singularité suggère que C2 = 0.

Pour trouver la courbe élastique de la poutre, substituez les valeurs de C1 et C2 dans l'équation 4, comme suit :

De même, pour trouver l'expression de la pente, substituez les valeurs de C1 dans l'équation 3, comme suit :

Une poutre avec un porte-à-faux est soumise à un chargement combiné, comme le montre la figure 7.7a. A l'aide de la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente à l'appui UNE et la déviation à B.

7.7. Poutre avec porte-à-faux.

Réactions de soutien. Pour déterminer la réaction à l'appui UNE de la poutre, appliquer les équations d'équilibre, comme suit :

Moment de flexion. En remplaçant la charge distribuée donnée par deux charges ouvertes équivalentes et en modifiant le terme de moment, comme illustré à la Figure 7.7b, le moment fléchissant à une section située à une distance X du support gauche UNE peut s'exprimer comme suit :

Équation de la courbe élastique. Remplacement de M(X) de l'équation 1 à l'équation 7.12 suggère ce qui suit :

Intégrer l'équation 2 deux fois suggère ce qui suit :

Conditions aux limites et calcul des constantes d'intégration. Application des conditions aux limites [X = 0, oui = 0] à l'équation 4 et notant que chaque parenthèse contient une quantité négative et, par conséquent, est égal à zéro par la définition de la singularité suggère que C2 = 0.

0 = 0 + 0 &ndash 0 + 0 + 0 + 0 + C2

Encore une fois, en appliquant les conditions aux limites [X = 8m, oui = 0] à l'équation 4 et en notant que chaque parenthèse contient une quantité positive suggère que la valeur de la constante C1 est comme suit:

Substituer les valeurs de C1 et C2 dans l'équation 4 suggère que l'expression de la courbe élastique de la poutre est la suivante :

De même, en substituant les valeurs de C1 dans l'équation 3 suggère que l'expression de la pente est la suivante :

La pente à

La déviation à X = 2 m du support UNE

La méthode moment-surface utilise la surface de moment divisée par la rigidité en flexion (M/EI) schéma d'une poutre pour déterminer la flèche et la pente le long de la poutre. Il y a deux théorèmes utilisés dans cette méthode, qui sont dérivés ci-dessous.

7.5.1 Théorème du premier moment-aire

Pour dériver le premier théorème moment-aire, considérons une partie UN B d'une courbe élastique du faisceau dévié représenté sur la figure 7.8b. La poutre a un rayon de courbure R. La figure 7.8c représente le moment fléchissant de cette portion. Selon la géométrie, la longueur de l'arc ds, du rayon R, sous-tendant un angle d&thêta, est égal au produit du rayon de courbure et de l'angle sous-jacent. Par conséquent,

La réorganisation de l'équation 1 suggère ce qui suit :

La substitution de l'équation 7.14 à l'équation 7.8 suggère ce qui suit :

Depuis ds est infinitésimal en raison de la faible déviation latérale du faisceau autorisée en ingénierie, il peut être remplacé par sa projection horizontale dx. Ainsi,

L'angle &thêta entre les tangentes à UNE et B peut donc être obtenu en additionnant les angles sous-tendus par la longueur infinitésimale comprise entre ces points. Ainsi,

L'équation 7.17 est appelée le premier théorème moment-aire. Le premier théorème moment-aire indique que la variation totale de pente entre UNE et B est égal à l'aire du diagramme des moments fléchissants entre ces deux points divisée par la rigidité en flexion IE.

7.5.2 Théorème du deuxième moment-aire

En se référant à nouveau à la figure 7.8, il est nécessaire de déterminer l'écart tangentiel du point B par rapport au point UNE, qui est la distance verticale du point B de la tangente tracée à la courbe élastique au point UNE. Pour ce faire, calculez d'abord la contribution &delta∆ de l'élément de longueur dL à la distance verticale. Selon la géométrie,

Substitution d&thêta de l'équation 7.15 à l'équation 7.18 suggère ce qui suit :

L'équation 7.20 est appelée théorème de l'aire du deuxième moment. Le deuxième théorème moment-aire indique que la distance verticale du point B sur une courbe élastique de la tangente à la courbe au point UNE est égal au moment par rapport à la verticale passant B de l'aire du diagramme des moments fléchissants entre UNE et B, divisé par la rigidité en flexion, IE.

Les conventions de signe pour les théorèmes moment-aire sont les suivantes :

(1) La déviation tangentielle d'un point B, par rapport à une tangente tracée à la courbe élastique en un point UNE, est positif si B se trouve au-dessus de la tangente tracée à UNE et négative si elle se situe en dessous de la tangente (voir Figure 7.9).

(2) La pente en un point B, par rapport à une tangente tracée en un point UNE dans une courbe élastique, est positif si la tangente tracée à B tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre par rapport à la tangente à UNE et négatif s'il tourne dans le sens des aiguilles d'une montre (voir Figure 7.9).

7.9. Signer la représentation de la convention.

Procédure d'analyse par la méthode Moment-Aire

&bull Esquissez le diagramme de corps libre de la poutre.

&taureau Dessiner le M/EI schéma de la poutre. Cela ressemblera au diagramme de moment fléchissant conventionnel de la poutre si la poutre est prismatique (c'est-à-dire de la même section transversale sur toute sa longueur).

&bull Pour déterminer la pente en tout point, trouvez l'angle entre une tangente passant le point et une tangente passant par un autre point sur la courbe déviée, divisez le M/EI diagramme en formes géométriques simples, puis appliquer le premier théorème moment-aire. Pour déterminer la déviation ou une déviation tangentielle de n'importe quel point le long de la poutre, appliquez le deuxième théorème moment-aire.

&bull Dans les cas où la configuration du M/EI diagramme est tel qu'il ne peut pas être divisé en formes simples avec des zones et des centroïdes connus, il est préférable de dessiner le M/EI schéma par parties. Cela implique d'introduire un support fixe à n'importe quel point approprié le long de la poutre et de dessiner le M/EI diagramme pour chacune des charges appliquées, y compris les réactions d'appui, avant l'application de l'un des théorèmes pour déterminer ce qui est requis.

Tableau 7.1. Aires et centroïdes de formes géométriques.

Une poutre en porte-à-faux illustrée à la figure 7.10a est soumise à un moment concentré à son extrémité libre. À l'aide de la méthode moment-surface, déterminez la pente à l'extrémité libre de la poutre et la déflexion à l'extrémité libre de la poutre. IE = constante.

(M/EI) diagramme. Tout d'abord, dessinez le diagramme des moments fléchissants de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le schéma illustré à la figure 7.10b.

Pente à UNE. La pente à l'extrémité libre est égale à l'aire du />schéma entre UNE et B, selon le premier théorème moment-aire. L'utilisation de ce théorème et la référence au diagramme /> suggèrent ce qui suit :

Déflexion à UNE. La flèche à l'extrémité libre de la poutre est égale au moment par rapport à la verticale traversant UNE de la zone de la diagramme entre UNE et B, selon le deuxième théorème moment-aire. L'utilisation de ce théorème et la référence à la figure 7.10b et à la figure 7.10c suggèrent ce qui suit :

Une poutre en porte-à-faux étayée supporte une charge uniformément répartie de 4 kips/pi sur toute sa longueur, comme le montre la figure 7.11a. En utilisant la méthode moment-aire, déterminez la pente à UNE et la déviation à UNE.

7.11. Poutre en porte-à-faux étayée.

(M/EI) diagramme. Tout d'abord, dessinez le diagramme des moments fléchissants de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le schéma illustré à la figure 7.11b.

Pente à UNE. La pente à l'extrémité libre est égale à l'aire du diagramme entre UNE et B. La zone entre ces deux points est indiquée par UNE1 et UNE2 dans la figure 7.11b. Utilisez le tableau 7.1 pour trouver le calcul de UNE2, dont l'arc est parabolique, et l'emplacement de son centre de gravité. Notant du tableau que et l'application du premier théorème moment-aire suggère ce qui suit :

Déflexion à UNE. La déviation à UNE est égal au moment de l'aire du diagramme entre UNE et B à propos de UNE. Ainsi, en utilisant le deuxième théorème moment-aire et en se référant aux figures 7.11b et 7.11c, on suggère ce qui suit :

Une poutre en bois simplement supportée d'une longueur de 8 pi supportera une charge au sol répartie de 500 lb/pi sur toute sa longueur, comme illustré à la figure 7.12a. En utilisant le théorème de l'aire des moments, déterminez la pente à la fin B et la déviation maximale.

7.12. Poutre en bois simplement soutenue.

(M/EI) diagramme. Tout d'abord, dessinez le diagramme du moment fléchissant de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le schéma illustré à la figure 7.12b.

Pente à B. La pente à B est égal à l'aire de la diagramme entre B et C. La zone entre ces deux points est indiquée par UNE2 dans la figure 7.12b. L'application du premier théorème moment-aire suggère ce qui suit :

Déflexion maximale. La déviation maximale se produit au centre du faisceau (point C). Il est égal au moment de l'aire du diagramme entre B et C à propos de B. Ainsi,

Une poutre en bois prismatique est soumise à deux charges concentrées de même magnitude, comme le montre la figure 7.13a. En utilisant la méthode moment-aire, déterminez la pente à UNE et la déviation au point C.

7.13. Poutre bois prismatique.

(M/EI) diagramme. Tout d'abord, dessinez le diagramme des moments fléchissants de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le schéma illustré à la figure 7.13b.

Pente à UNE. La déflexion et la rotation de la poutre sont faibles puisqu'elles se produisent dans la limite élastique. Ainsi, la pente à l'appui UNE peut être calculé en utilisant le théorème des petits angles, comme suit :

Pour déterminer la déviation tangentielle de B de UNE, appliquer le deuxième théorème moment-aire. D'après le théorème, il est égal au moment de l'aire du diagramme entre UNE et B à propos de B. Ainsi,

Déflexion à C. La déviation à C peut être obtenu par proportion.

De même, la déviation tangentielle de C de UNE peut être déterminé comme le moment de l'aire de la diagramme entre UNE et C à propos de C.

Par conséquent, la déviation à C est

La méthode du faisceau conjugué, développée par Heinrich Muller-Breslau en 1865, est l'une des méthodes utilisées pour déterminer la pente et la déflexion d'un faisceau. La méthode est basée sur le principe de la statique.

Une poutre conjuguée est définie comme une poutre fictive dont la longueur est la même que celle de la poutre réelle, mais avec un chargement égal au moment fléchissant de la poutre réelle divisé par sa rigidité en flexion, IE.

La méthode des poutres conjuguées tire parti de la similitude de la relation entre la charge, la force de cisaillement et le moment fléchissant, ainsi qu'entre la courbure, la pente et la flèche dérivées dans les chapitres précédents et présentées dans le tableau 7.2.

Tableau 7.2.Relation entre le moment de flexion charge-cisaillement et la courbure-pente-flèche.

7.6.1 Supports pour poutres conjuguées

Les supports des poutres conjuguées sont présentés dans le Tableau 7.3 et les exemples de poutres réelles et conjuguées sont présentés dans la Figure 7.4.

Tableau 7.3. Supports pour poutres conjuguées.

Tableau 7.4 Poutres réelles et leur conjugué.

Pour un diagramme de courbure positif, où il y a une ordonnée positive du diagramme, la charge dans le conjugué doit pointer dans le positif oui direction (vers le haut) et vice versa (voir Figure 7.14).

7.14. Diagramme de courbure positive.

Si la convention énoncée pour les diagrammes de courbure positifs est suivie, alors une force de cisaillement positive dans la poutre conjuguée est égale à la pente positive dans la poutre réelle, et un moment positif dans la poutre conjuguée équivaut à une déviation positive (mouvement vers le haut) de la poutre réelle. Ceci est illustré à la figure 7.15.

7.15. Cisaillement et pente dans la poutre.

Procédure d'analyse par la méthode du faisceau conjugué

&bull Dessiner le diagramme de courbure de la poutre réelle.

&bull Dessine la poutre conjuguée pour la poutre réelle. La poutre conjuguée a la même longueur que la poutre réelle. Une rotation en tout point de la poutre réelle correspond à une force de cisaillement au même point de la poutre conjuguée, et un déplacement en tout point de la poutre réelle correspond à un moment dans la poutre conjuguée.

&bull Appliquer le diagramme de courbure de la poutre réelle en tant que charge répartie sur la poutre conjuguée.

&bull A l'aide des équations d'équilibre statique, déterminer les réactions aux appuis de la poutre conjuguée.

&bull Déterminer la force de cisaillement et le moment aux sections d'intérêt dans la poutre conjuguée. Ces forces et moments de cisaillement sont égaux à la pente et à la déflexion, respectivement, dans la poutre réelle. Un cisaillement positif dans la poutre conjuguée implique une pente dans le sens inverse des aiguilles d'une montre dans la poutre réelle, tandis qu'un moment positif dénote une déviation vers le haut dans la poutre réelle.

En utilisant la méthode du faisceau conjugué, déterminer la pente et la déflexion au point UNE de la poutre en porte-à-faux représentée sur la figure 7.16a. E = 29 000 ksi et je = 280 po. 4

(M/EI) diagramme. Tout d'abord, dessinez le diagramme des moments fléchissants de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le schéma illustré à la figure 7.16b.

Poutre conjuguée. Le faisceau conjugué chargé du diagramme /> est représenté sur la figure 7.16c. Notez que l'extrémité libre de la poutre réelle devient fixe dans la poutre conjuguée, tandis que l'extrémité fixe de la poutre réelle devient libre dans la poutre conjuguée. Le schéma /> est appliqué comme une charge descendante dans le faisceau conjugué car il est négatif sur la figure 7.16b.

Pente à UNE. La pente à UNE dans le vrai faisceau est le cisaillement à UNE dans le faisceau conjugué. La cisaille à UNE dans le conjugué est la suivante :

La même convention de signe pour l'effort tranchant que celle utilisée au chapitre 4 est utilisée ici.

Ainsi, la pente du faisceau réel au point UNE est comme suit:

Déflexion à UNE. La déviation à UNE dans le faisceau réel est égal au moment à UNE du faisceau conjugué. Le moment à UNE du faisceau conjugué est la suivante :

La même convention de signe pour le moment fléchissant utilisée au chapitre 4 est utilisée ici.

Ainsi, la déviation du faisceau réel au point UNE est comme suit:

En utilisant la méthode des poutres conjuguées, déterminer la pente à l'appui UNE et la flèche sous la charge concentrée de la poutre simplement supportée à B illustré à la figure 7.17a.

E = 29 000 ksi et je = 800 po. 4

7.17. Poutre simplement supportée.

(M/EI) diagramme . Tout d'abord, dessinez le diagramme des moments fléchissants de la poutre et divisez-le par la rigidité en flexion, IE, pour obtenir le moment de courbure () schéma illustré à la figure 7.17b.

Poutre conjuguée. La poutre conjuguée chargée de la schéma est illustré à la figure 7.17c. Remarquerez que UNE et C, qui sont de simples appuis dans la poutre réelle, restent les mêmes dans la poutre conjuguée. le Le diagramme est appliqué comme une charge ascendante dans le faisceau conjugué car il est positif sur la figure 7.17b.

Réactions pour faisceau conjugué. La réaction aux supports de la poutre conjuguée peut être déterminée comme suit :

Pente à UNE. La pente à UNE dans la poutre réelle est la force de cisaillement à UNE dans le faisceau conjugué. La cisaille à UNE dans le faisceau conjugué est la suivante :

Ainsi, la pente à l'appui UNE du faisceau réel est la suivante :

Déflexion à B. La déviation à B dans le faisceau réel est égal au moment à B du faisceau conjugué. Le moment à B du faisceau conjugué est la suivante :

La déviation à B du faisceau réel est la suivante :

Déflexion des poutres par des méthodes géométriques : Les méthodes géométriques considérées dans ce chapitre comprennent la méthode de la double intégration, la méthode de la fonction de singularité, la méthode moment-aire et la méthode de la poutre conjuguée. Avant de discuter de ces méthodes, l'équation suivante de la courbe élastique d'une poutre a été dérivée :

Méthode de double intégration : Cette méthode consiste à intégrer deux fois l'équation de la courbe élastique. La première intégration donne la pente et la seconde intégration donne la déflexion. Les constantes d'intégration sont déterminées en tenant compte des conditions aux limites.

Méthode de fonction de singularité : Cette méthode consiste à utiliser une fonction de singularité ou de demi-portée pour décrire l'équation de la courbe élastique pour l'ensemble de la poutre. Une fonction demi-étendue peut être écrite sous la forme générale suivante :

La méthode de la singularité est la mieux adaptée aux poutres présentant de nombreuses discontinuités dues à des charges et des moments concentrés. La méthode réduit considérablement le nombre de constantes d'intégration à déterminer et rend ainsi le calcul plus facile par rapport à la méthode de double intégration.

Méthode moment-zone: Cette méthode utilise deux théorèmes pour déterminer la pente et la déflexion à des points spécifiés sur la courbe élastique d'une poutre. Les deux théorèmes sont les suivants :

Premier théorème moment-aire : La variation de pente entre deux points quelconques de la courbe élastique d'une poutre est égale à l'aire de la schéma entre ces deux points.

Deuxième théorème moment-aire : La déviation verticale du point UNE de la tangente tracée à la courbe élastique au point B est égal au moment de l'aire sous le diagramme entre ces deux points sur le point UNE.

Méthode du faisceau conjugué : Une poutre conjuguée a été définie comme une poutre imaginaire de même longueur que la poutre réelle mais avec une charge égale à la schéma du faisceau réel. Les supports dans les poutres réelles sont remplacés par des supports fictifs avec des conditions aux limites qui se traduiront par le moment de flexion et la force de cisaillement en un point spécifique d'une poutre conjuguée égale à la déflexion et à la pente, respectivement, aux mêmes points de la poutre réelle.

7.1 À l'aide de la méthode de la double intégration, déterminer les pentes et les déflexions aux extrémités libres des poutres en porte-à-faux illustrées aux figures P7.1 à P7.4. IE = constante.

7.2 En utilisant la méthode de la double intégration, déterminer les pentes au point UNE et les déviations à mi-parcours C des poutres illustrées à la figure P7.5 et à la figure P7.6. IE = constante.

7.3 En utilisant la méthode du faisceau conjugué, déterminer la pente au point UNE et la déviation au point B du faisceau représenté sur les figures P7.7 à P7.10.

7.4 À l'aide de la méthode moment-aire, déterminer la flèche au point UNE de la poutre en porte-à-faux illustrée aux figures P7.11 à P7.12.

7.5 À l'aide de la méthode moment-aire, déterminer la pente au point UNE et la pente au milieu C des poutres illustrées à la Figure P7.13 et à la Figure P7.14.

7.6 En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente et la flèche au point UNE de la poutre en porte-à-faux illustrée à la figure P7.15.

7.7 En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente au point B et la pente au point C de la poutre avec le porte-à-faux illustré à la figure P7.16. IE = constante. E = 200 GPa, je = 500 & fois 106 mm 4 .

7.8 En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente au point C et la déviation au point de la poutre avec des extrémités en surplomb, comme illustré à la figure P7.17. IE = constante.

7.9 En utilisant la méthode de la fonction de singularité, déterminer la pente au point UNE et la déviation au point B de la poutre illustrée à la figure P7.18. IE = constante.


Centre de gravité et moment d'inertie

On montrera plus loin que la résistance d'une poutre dépend en partie de la forme de sa section. La discussion suivante concerne principalement les sections transversales des poutres, et les résultats obtenus (comme le cisaillement et le moment fléchissant) seront utilisés plus tard dans le sujet de la résistance des poutres.

47. Centre de gravité d'une zone. L'étudiant sait probablement ce que l'on entend par, et comment trouver, le centre de gravité de n'importe quel disque plat, comme un morceau d'étain. Probablement sa façon est d'équilibrer le morceau d'étain sur une pointe de crayon, le point de l'étain auquel il s'équilibre ainsi étant le centre de gravité. (En réalité, il est à mi-chemin entre les surfaces de l'étain et au-dessus du point d'équilibre.) Le centre de gravité du morceau d'étain est aussi le point de celui-ci par lequel la force de gravité résultante sur l'étain de la pièce) agit.

Par "centre de gravité" d'une surface plane de forme quelconque, on entend ce point de celle-ci qui correspond au centre de gravité d'un morceau d'étain lorsque celui-ci est découpé dans la forme de la surface. Le centre de gravité d'une zone assez irrégulière peut être trouvé plus facilement en équilibrant un morceau d'étain ou de papier rigide découpé dans la forme de la zone. Mais lorsqu'une zone est de forme simple, ou se compose de parties qui sont simples, le centre de gravité de l'ensemble peut être trouvé facilement par calcul, et une telle méthode sera maintenant décrite.

48. Principe des moments appliqué aux aires. Soit la Fig. 21 représenter un morceau d'étain qui a été divisé en un nombre quelconque de parties de quelque manière que ce soit, le poids de l'ensemble étant "W", et celui des parties W1, W2, "W3, etc. Soit C1 C2 , C3, etc., être les centres de gravité des parties, C celui de l'ensemble, et c1 c2, c3, etc., et c les distances de ces centres de gravité respectivement à une ligne (LL) dans le plan de Lorsque l'étain est en position horizontale, le moment du poids de la pièce entière autour de LL est Wc, et les moments des parties sont W1C1, W1c2, etc. résultante des poids des parties, le moment du poids de l'ensemble est égal à la somme des moments des poids des parties c'est-à-dire,

Soit maintenant A1, A2, etc. dénoter les aires des parties des morceaux d'étain, et A l'aire du tout alors puisque les poids sont proportionnels aux aires, nous pouvons remplacer les Ws dans l'équation précédente par les A correspondants, Donc:

Si nous appelons le produit d'une aire et la distance de son centre de gravité à une ligne de son plan, le « moment » de l'aire par rapport à cette ligne, alors l'équation précédente peut s'énoncer ainsi :

Le moment d'une aire par rapport à n'importe quelle ligne est égal à la somme algéhrique des moments des parties de l'aire.

Si tous les centres de gravité sont d'un côté de la ligne par rapport à laquelle les moments sont pris, alors tous les moments doivent avoir le signe plus, mais si certains centres de gravité sont d'un côté et d'autres de l'autre côté de la ligne , alors les moments des zones dont les centres de gravité sont d'un côté doivent recevoir le même signe, et les moments des autres le signe opposé. Ce qui précède est le principe des moments pour les aires, et c'est la base de toutes les règles pour trouver le centre de gravité d'une aire.

Pour trouver le centre de gravité d'une zone qui peut être divisée en parties simples, nous écrivons le principe sous forme d'équations pour deux lignes différentes sous forme d'"axes des moments", puis résolvons les équations pour les distances inconnues du centre de gravité de l'ensemble à partir des deux lignes. Nous expliquons plus loin au moyen d'exemples spécifiques.

Exemples. 1. Il est nécessaire de trouver le centre de gravité de la figure 22, a, la largeur étant uniformément d'un pouce.

La zone peut être divisée en deux rectangles. Soit C. et

C3 les centres de gravité de deux de ces parties, et C le centre de gravité de l'ensemble. Soient également a et b les distances de C aux deux droites OL' et OL" respectivement.

Les aires des pièces sont de 6 et 3 pouces carrés, et leurs bras par rapport à OL' sont respectivement de 4 pouces et pouces, et par rapport à OL" pouces et l pouces. D'où les équations des moments par rapport à OL ' et OL" (la superficie totale étant de 9 pouces carrés) sont :


1.7 : Moments et centres de masse

Le moment d'une force est une mesure de sa tendance à faire tourner un corps autour d'un point ou d'un axe spécifique. Ceci est différent de la tendance d'un corps à se déplacer, ou à se déplacer, dans la direction de la force. Pour qu'un moment se développe, la force doit agir sur le corps de telle manière que le corps commence à se tordre. Cela se produit chaque fois qu'une force est appliquée afin qu'elle ne passe pas par le centre de gravité du corps. Un moment est dû à une force n'ayant pas une force égale et opposée directement le long de sa ligne d'action.

Imaginez deux personnes poussant sur une porte à la poignée de porte des côtés opposés. Si les deux poussent avec une force égale, il y a un état d'équilibre. Si l'un d'eux sautait brusquement en arrière de la porte, la poussée de l'autre personne n'aurait plus aucune opposition et la porte s'écarterait. La personne qui poussait toujours sur la porte créa un instant.

L'amplitude du moment d'une force agissant autour d'un point ou d'un axe est directement proportionnelle à la distance de la force par rapport au point ou à l'axe. Il est défini comme le produit de la force (F) et du bras de levier (d). Le bras de levier ou bras de levier est la distance perpendiculaire entre la ligne d'action de la force et le centre des moments.

Moment = Force x Distance ou M = (F)(d)

Le centre des moments peut être le point réel autour duquel la force provoque la rotation. Il peut également s'agir d'un point ou d'un axe de référence autour duquel la force peut être considérée comme provoquant la rotation. Cela n'a pas d'importance tant qu'un point spécifique est toujours pris comme point de référence. Ce dernier cas est une situation beaucoup plus courante dans les problèmes de conception structurelle.

Un moment est exprimé en unités de pied-livre, de kip-pied, de newton-mètre ou de kilonewton-mètre. Un moment a aussi un sens. Une rotation dans le sens des aiguilles d'une montre autour du centre des moments sera considérée comme un moment positif tandis qu'une rotation dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour du centre des moments sera considérée comme négative. La façon la plus courante d'exprimer un moment est


L'exemple montre une clé appliquée sur un écrou. Une force de 100 livres lui est appliquée au point C, le centre de l'écrou. La force est appliquée à une distance x de 12 pouces de l'écrou. Le centre des moments pourrait être le point C, mais aussi les points A ou B ou D.

Moment à propos de C
Le bras de levier pour calculer le moment autour du point C est de 12 pouces. L'amplitude du moment autour du point C est de 12 pouces multiplié par la force de 100 livres pour donner un moment total de 1200 pouces-livres (ou 100 pieds-livres).

Moment = M = 100 lb x 12 in. = 1200 in-lbs

De même, nous pouvons trouver les moments sur n'importe quel point de l'espace.

Moment @ UNE B
Bras momentané 8 pouces 5 centimètres 0 pouces
Magnitude de F 100 livres 100 livres 100 livres
Moment total 800 pouces-livres 200 pouces-livres 0 po-livres

Un moment provoque une rotation autour d'un point ou d'un axe. Si le moment doit être pris autour d'un point dû à une force F, alors pour qu'un moment se développe, la ligne d'action ne peut pas passer par ce point. Si la ligne d'action passe par ce point, le moment est nul car la magnitude du bras de levier est nulle. C'était le cas pour le point D du problème de la clé précédente. Le moment total était nul car le bras de levier était également nul.


Comme autre exemple, supposons qu'une force de 200 livres est appliquée à la clé comme indiqué. Le moment de la force de 200 livres appliquée en C est nul car :

M = F x d = 200 lb x 0 po = 0 po-lb

En d'autres termes, la force de 200 livres n'a pas tendance à amener la clé à faire tourner l'écrou. On pourrait augmenter l'amplitude de la force jusqu'à ce que le boulon se brise finalement (rupture par cisaillement).

Le moment autour des points X, Y et Z serait également nul car ils se trouvent également sur la ligne d'action.


Un moment peut également être considéré comme le résultat de forces déviant d'une ligne directe tracée entre le point de chargement d'un système et ses supports. Dans ce cas, la force bleue est une force excentrique. Pour atteindre la base de la colonne, il doit faire un détour par la poutre. Plus le détour est grand, plus le moment est grand. Les systèmes structurels les plus efficaces ont le moins de détours possible. Ceci sera discuté plus en détail dans le cours 37 et les cours suivants.

Il existe des cas où il est plus facile de calculer les moments des composantes d'une force autour d'un certain point que de calculer le moment de la force elle-même. Il se pourrait que la détermination de la distance perpendiculaire de la force soit plus difficile que la détermination de la distance perpendiculaire des composantes de la force. Le moment de plusieurs forces autour d'un point est simplement la somme algébrique de leurs moments composants autour du même point. Lors de l'addition des instants des composants, il faut prendre grand soin d'être cohérent avec le sens de chaque instant. Il est souvent prudent de noter le sens à côté du moment où l'on entreprend de tels problèmes.


Erreurs courantes
Lors de l'addition des instants des composants, il faut prendre grand soin d'être cohérent avec le sens de chaque instant. Il est souvent prudent de noter le sens à côté du moment où l'on entreprend de tels problèmes.

Questions fréquemment posées
Toute difficulté à calculer un moment peut généralement être attribuée à l'un des éléments suivants :

  • Le centre des moments n'a pas été correctement établi ou clairement compris.
  • Le bras de levier supposé n'est pas la distance PERPENDICULAIRE entre la ligne d'action de la force et le centre des moments.
  • Le sens ou le sens de la rotation a été ignoré ou mal compris.

Questions de réflexion
Quel est le moment au point B et au point D pour les deux cas illustrés dans l'exemple de clé ci-dessus ? Comment l'ajout d'une rallonge au bout de la clé peut-il aider à transformer un boulon rouillé ? Quel type de système structurel aurait le moins de "détours ?"

Shaeffer, R.E. Structures élémentaires pour architectes et constructeurs. p. 33-39.

Copyright © 1995, 1996 par Chris H. Luebkeman et Donald Peting
Copyright et copie 1996, 1997, 1998 par Chris H. Luebkeman


1.7 : Moments et centres de masse

Ensemble de problèmes 8.8 : | 1 | 3 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 16 | 20 | 21 | 22 | 29 | 31 | 34 | 39 | 43 | 50 | 51 | 53 | Monter
- de Sonja Scherer, To Chong et Chris Murray, 2002


1. Quels sont les angles suivants exprimés en radians : (a) 30°, (b) 57°, (c) 90°, (d) 360° et (e) 420° ?

Puisqu'il y a 2 p radians et 360 o dans un cercle, vous pouvez utiliser une simple proportion pour effectuer des conversions d'unités :
n/360 o = radians/2 p

donc
30 o /360 o = radians/2 p

radians = 0,524
Vous êtes assez intelligent pour faire le reste. - )
(Table des matières)

3. Les éclipses se produisent sur Terre à cause d'une coïncidence étonnante. Calculez, en utilisant les informations à l'intérieur de la couverture, le diamètre angulaire (en radians) du Soleil et le diamètre angulaire de la Lune, tels qu'ils sont vus sur Terre.

L'angle en radians est égal à la longueur de l'arc divisé par le rayon. La longueur de l'arc serait le diamètre du soleil ou de la lune, et le rayon serait leur distance par rapport à nous :
Lune:
rayon = 1,74x10 3 km, diamètre = 3,48x10 3 km
distance de nous = 384x10 3 km
Angle sous-tendu :
q = s/r = ( 3,48x10 3 km )/( 384x10 3 km ) = 0,0090625

Soleil:
rayon = 6,96x10 5 km, diamètre = 1,392x10 6 km
distance de nous = 149,6 x10 6 km
q = s/r = ( 1,392x10 6 km )/(149,6 x10 6 km ) = 0,009304813
donc 0,0090625 est presque égal à 0,009304813
(Table des matières)

6. Une meule de 0,35 m de diamètre tourne à 1800 tr/min. Calculer sa vitesse angulaire en rad/s.

(1800 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 188,5 rad/s
(Table des matières)

7. Quelle est la vitesse linéaire et l'accélération d'un point sur le bord d'une meule dans le problème 6 ?

Puisqu'ils nous donnent le diamètre, le rayon = (0,35 m/2)
La vitesse linéaire d'un point sur le bord de la meule est :
v = r w = (0,35 m/2) (188,5 rad/s) = 33 m/s
L'accélération d'un tel point est :
a= r w 2 = (0,35 m/2) (188,5 rad/s) 2 = 62188,14 m/s 2
(Table des matières)

8. Un enregistrement de phonographe à 33 tr/min atteint sa vitesse nominale 1,8 s après sa mise en marche. Quelle était l'accélération angulaire ?

w o = 0
w = (33 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 3,456 rad/s
t = 1,8 s


L'accélération angulaire est :
a = D w/ D t = ( 3,456 rad/s )/(1,8 s) = 1,92 rad/s 2
(Table des matières)

9. Calculer la vitesse angulaire de (a) l'aiguille des secondes, (b) l'aiguille des minutes, (c) l'aiguille des heures, d'une horloge. État en rad/s. (d) Quelle est l'accélération angulaire dans chaque cas ?

(a) La vitesse angulaire de la trotteuse est : w = D q/ D t = 2p /(60 sec) = 2 p /60 = 0,10472rad/s
(b) La vitesse angulaire de l'aiguille des minutes : w = D q/ D t = 2p /(3600 s) = 2p /3600 = 0,001745rad/s
(c) La vitesse angulaire de l'aiguille des heures est : w = D q/ D t = 2p /(12*3600 s) = 2p /43200 = 0,000145444rad/s
(d) Puisque la vitesse angulaire est constante dans tous les cas, l'accélération angulaire est donc nulle.
a = D w/ D t = ( w2- w1)/ D t ( w1 = w2)
(Table des matières)

10. Les lames d'un mélangeur tournent à une vitesse de 7 500 tr/min. Lorsque le moteur est éteint pendant une opération, les lames ralentissent pour se reposer en 3,0 s. Quelle est l'accélération angulaire lorsque les pales ralentissent ?

L'accélération angulaire est :
a = D w/ D t = ( w2- w1)/ D t = (0 - 2 p f)/ D t = -2 p *7500rpm/60s/minute/3s = -261,8rad/s
(Table des matières)

16. À quelle vitesse (en tr/min) une centrifugeuse doit-elle tourner si une particule à 7,0 cm de l'axe de rotation doit subir une accélération de 100 000 g?

100 000 'g's = (100 000) (9,8 m/s/s) = 980 000 m/s/s
L'accélération centripète en termes de vitesse angulaire et de rayon est :
a= r w 2 donc
w = ( a/r) = < (980 000 m/s/s) /(0,070 m) > = 3742 rad/s
Et maintenant convertissez en RPM :
( 3742 rad/s) (tour/ 2 p radians) (60 sec/1 minute) = 35730 RPM = 36 000 RPM
(Table des matières)

20. Une platine de phonographe atteint sa vitesse de 33 tr/min après avoir fait 1,7 tour. Quelle était son accélération angulaire ?

w = (33 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 3,456 rad/s
q = (1,7 tour)( 2 p radians/tour) = 10,68 radians
Maintenant, nous pouvons trouver l'accélération angulaire:
w 2 = w o 2 + 2 aq : w o = 0 q = 10,68 radians w = 3,456 rad/s
a = 0,56 rad/s/s
(Table des matières)

21. Une centrifugeuse accélère du repos à 15 000 tr/min à 220 s. Par combien de révolutions a-t-il tourné à cette époque ?

w = (15 000 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 1570,8 rad/s
t = 220 s
w o = 0
Maintenant, la formule que je veux utiliser n'est que dans le paquet de formules sous sa forme linéaire, mais elle fonctionne tout aussi bien sous forme angulaire
s = (u+v)t/2
Lequel est
q = ( w o + w )t/2
Maintenant, insérons les chiffres :
q = ( 0 +1570.8 rad/s)(220 s)/2 = 172787.5959 radians
Mais le problème voulait des révolutions, changeons donc les unités :
q = (172787,5959 radians) (tour/ 2 p radians) = 27500 tours
(Table des matières)

22. Un moteur automobile ralentit de 4000 tr/min à 1200 tr/min en 3,5 s. Calculez (a) son accélération angulaire, supposée uniforme, et (b) le nombre total de tours que le moteur fait pendant ce temps.

w o = (4000 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 sec) = 418,9 rad/s
w = (1200 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 125,7 rad/s
t = 3,5 s
Trouvons d'abord l'accélération :
w = w o + a t : w o = 418,9 rad/s w = 125,7 rad/s t = 3,5 s
a = -83,8 rad/s/s
Et le déplacement (Angulaire)
Maintenant, la formule que je veux utiliser n'est que dans le paquet de formules sous sa forme linéaire, mais elle fonctionne tout aussi bien sous forme angulaire
s = (u+v)t/2
Lequel est
q = ( w o + w )t/2
Maintenant, insérons les chiffres :
q = (125,7 rad/s+418,9 rad/s)(3,5 s)/2 = 952,9 radians
Mais le problème voulait des révolutions, changeons donc les unités :
q = (952,9 radians)(tour/ 2 p radians) = 151,7 tours
(Table des matières)

29. Quel est le couple maximal exercé par une personne de 55 kg à vélo si le cycliste met tout son poids sur chaque pédale lors de l'ascension d'une côte ? Les pédales tournent dans un cercle de rayon 17 cm.

La formule du couple est :
t = r x F = rFsin q
Le mot "maximum" implique que la force est appliquée à un angle de 90 o par rapport au rayon, donc le facteur sin q devient 1, et en réalité le couple est :
t = RF
La force est le poids du cycliste :
F = ma
F = (55 kg) (9,8 N/kg) = 539 N

31. Calculez le couple net autour de l'axe de la roue illustré ci-dessous. Supposons qu'un couple de frottement de 0,40 m N s'oppose au mouvement.

Ici, nous allons simplement ajouter les couples, ce qui rend les couples CW positifs et les couples ACW (Anti Clockwise - c'est un terme IB) négatifs. Tous les anges sont à 90 o donc cela rend les choses assez faciles : (L'angle de 135 o indiqué n'est pas pertinent :)
t35 = RF = (0,10 m) (35 N) = +3,5 Nm CW
t30 = - rF = -(.20 m)(30 N) = -6,0 Nm (ACW)
t20 = RF = (0,20 m) (20 N) = +4 Nm CW
En additionnant tout cela :
t = +1,5 Nm dans le sens horaire
Mais il y a un couple de 0,4 Nm s'opposant au mouvement, donc en supposant que l'objet tourne dans le sens horaire, le couple de 0,40 Nm agirait en ACW, et le couple net serait :
t = +1,5 Nm - 0,40 Nm = 1,1 Nm CW
(Table des matières)

34. Calculez le moment d'inertie d'une sphère de 12,2 kg de rayon 0,623 m lorsque l'axe de rotation passe par son centre.

Les moments d'inertie sont listés p. 223, et une sphère uniforme passant par son centre est :
je = 2 /5monsieur 2
donc
je = 2 /5(12,2) (0,623) 2 = 1,89 kgm 2
(Table des matières)

39. Afin d'obtenir un satellite cylindrique plat et uniforme qui tourne à la bonne vitesse, les ingénieurs tirent quatre roquettes tangentielles comme indiqué ci-dessous. Si le satellite a une masse de 2600 kg et un rayon de 3,0 m, quelle est la force constante requise de chaque fusée pour que le satellite atteigne 30 tr/min en 5,0 min ?

Les moments d'inertie sont listés p. 223, et un cylindre uniforme passant par son centre est :
je = 1 /2monsieur 2
donc
je = 1 /2(2600 kg)(3,0) 2 = 11700 kgm2

Cela laisse un problème de cinématique évident à résoudre (on a besoin de l'accélération angulaire)
w o = 0
w = (30 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 3,14159 rad/s
t = (5,0 min) (60 s/min) = 300 s
Trouvons d'abord l'accélération :
w = w o + a t : w o = 0 w = 3.14159 rad/s t = 300 s
a = 0,010472 rad/s/s

Nous pouvons donc maintenant utiliser la version angulaire de F = ma :
t = Ia = (11700 kgm 2 )(0,010472 rad/s/s) = 122,5 Nm

La formule du couple est :
t = r x F = rFsin q
La force est appliquée à un angle de 90 o par rapport au rayon, donc le facteur sin q devient 1, et en réalité le couple est :
t = RF
Nous pouvons donc maintenant résoudre la force tangentielle nette au bord du satellite (au rayon de 3,0 m)
t = RF
122,5 Nm = (3,0 m)F
F = 40,84 N, mais comme il y a quatre moteurs fonctionnant ensemble, chacun doit en exercer un quart :
F/4 = (40,84 N)/4 = 10,2 N
(Table des matières)

43. Un rotor de centrifugeuse tournant à 10 000 tr/min est arrêté et est finalement arrêté par une force de friction de 1,20 m N. Si la masse du rotor est de 4,80 kg et qu'elle peut être approchée comme un cylindre solide de rayon 0,0710 m, de combien de tours le rotor va-t-il tourner avant de s'immobiliser, et combien de temps cela prendra-t-il ?

Les moments d'inertie sont listés p. 223, et un cylindre uniforme passant par son centre est :
je = 1 /2monsieur 2
donc
je = 1 /2(4,80 kg)(0,0710 m) 2 = 0,0120984 kgm2

Comme il existe un couple de frottement de 1,20 Nm, nous pouvons utiliser l'équivalent angulaire de F = ma pour trouver la décélération angulaire :
t = je
-1,20 Nm = (0,0120984 kgm 2 ) a
a = -99,19 rad/s/s

Nous avons maintenant une question cinématique à résoudre :
w o = (10 000 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 1047,2 rad/s
w = 0
a = -99,19 rad/s/s

Trouvons d'abord l'heure :
w = w o + a t : w o = 1047,2 rad/s w = 0 rad/s a = -99,19 rad/s/s
t = 10,558 s = 10,6 s
Et le déplacement (Angulaire)
Maintenant, la formule que je veux utiliser n'est que dans le paquet de formules sous sa forme linéaire, mais elle fonctionne tout aussi bien sous forme angulaire
s = (u+v)t/2
Lequel est
q = ( w o + w )t/2 : w o = 1047,2 rad/s w = 0 rad/s t = 10,558 s
q = (125,7 rad/s+418,9 rad/s)(3,5 s)/2 = 952,9 radians
Mais le problème voulait des révolutions, changeons donc les unités :
q = (5528.075087 radians)(tour/ 2 p radians) = 880. tours
(Table des matières)

50. Une boule de bowling d'une masse de 7,3 kg et d'un rayon de 9,0 cm roule sans glisser sur une piste à 4,3 m/s. Calculer son énergie cinétique totale.

Les moments d'inertie sont listés p. 223, et une sphère uniforme passant par son centre est :
je = 2 /5monsieur 2
donc
je = 2 /5(7,3 kg)(0,090 m) 2 = 0,023652 kgm 2

La vitesse angulaire peut être obtenue à partir de la relation tangentielle entre la vitesse angulaire et la vitesse tangentielle :
w = v/r = (4,3 m/s)/(0,090 m) = 47,778 rad/s

Et enfin, l'énergie cinétique totale est la somme de ses énergies cinétiques de translation ( 1 / 2 mv 2 ) et de rotation ( 1 / 2 I w 2 ) :
Ektotal = 1 / 2 mv 2 + 1 / 2 I w 2
Ektotal = 1 / 2 (7,3 kg) (4,3) 2 + 1 / 2 ( 0,023652 kgm 2 )( 47,778 rad/s ) 2
Ektotal = 67,4885 J + 26,9954 J = 94 J

Une chose intéressante se produit si nous faisons des substitutions à la place :
Ektotal = 1 / 2 mv 2 + 1 / 2 I w 2
je = 2 /5monsieur 2
w = v/r
Substitution :
Ektotal = 1 / 2 mv 2 + 1 / 2 ( 2 /5monsieur 2 )( v/r ) 2
Ektotal = 1 / 2 mv 2 + 2 /10(mr 2 )( v 2 /r 2 )
Maintenant, les facteurs r 2 s'annulent
Ektotal = 1 / 2 mv 2 + 2 /10m contre 2
Ektotal = 7 /10mv 2
Une réponse totalement indépendante du rayon de la balle.
(Table des matières)

51. Un rotor de centrifugeuse a un moment d'inertie de 3,15 x 10^-2 kg m^2. Quelle énergie faut-il pour l'amener du repos à 8000 tr/min ?

L'énergie requise serait l'énergie cinétique dont il dispose lorsque vous avez terminé :

w = (8000 tours/minute)( 2 p radians/tour) (1 minute/60 s) = 837,76 rad/s
I = 3,15x10 -2 kgm 2
Ek pourriture = 1 / 2 je w 2
Ek pourriture = 1 / 2 ( 3.15x10 -2 kgm 2 )( 837.76 rad/s ) 2 = 11054 J
(Table des matières)

53. Un manège a une masse de 1640 kg et un rayon de 8,20 m. Combien de travail net est nécessaire pour l'accélérer du repos à une vitesse de rotation d'un tour en 8,00 s ? (Supposons qu'il s'agit d'un cylindre solide.)

Les moments d'inertie sont listés p. 223, et un cylindre uniforme passant par son centre est :
je = 1 /2monsieur 2
donc
je = 1 /2(1640 kg) (8,20) 2 = 55136,8 kgm 2

On peut trouver la vitesse angulaire finale :
w = D q/ D t = (1 tr)/(8.00 s) ( 2 p radians/tr) = 0.785398163 rad/s

Le travail sera l'énergie cinétique de rotation
Ek pourriture = 1 / 2 je w 2
Ek pourriture = 1 / 2 ( 55136,8 kgm 2 )( 0,785398163 rad/s ) 2 = 17000 J
(Table des matières)


Voir la vidéo: Exercice 34: Centre de gravité dun disque (Décembre 2021).