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4.1 : Prélude aux applications des dérivés - Mathématiques


Résumé : Un lancement de fusée implique deux quantités liées qui changent au fil du temps. De plus, nous examinons comment les dérivées sont utilisées pour évaluer des limites compliquées, pour approcher les racines de f

Une fusée est lancée depuis le sol et des caméras enregistrent l'événement. Une caméra vidéo est située au sol à une certaine distance du pas de tir. À quelle vitesse l'angle d'inclinaison (l'angle que la caméra fait avec le sol) doit-il changer pour permettre à la caméra d'enregistrer le vol de la fusée alors qu'elle se dirige vers le haut ? (Voir [lien].)

Figure (PageIndex{1}) : Lorsqu'une fusée est lancée, à quelle vitesse l'angle d'une caméra vidéo doit-il changer pour continuer à voir la fusée ? (crédit : modification du travail de Steve Jurvetson, Wikimedia Commons)

Un lancement de fusée implique deux quantités liées qui changent avec le temps. De plus, nous examinons comment les dérivées sont utilisées pour évaluer des limites compliquées, pour approximer les racines de fonctions et pour fournir des graphiques précis de fonctions.

Contributeurs

  • Gilbert Strang (MIT) et Edwin « Jed » Herman (Harvey Mudd) avec de nombreux auteurs contributeurs. Ce contenu d'OpenStax est sous licence CC-BY-SA-NC 4.0. Téléchargez gratuitement sur http://cnx.org.


4.1 : Prélude aux applications des dérivés - Mathématiques

Le but de cette section est de nous rappeler l'une des applications les plus importantes des dérivés. C'est le fait que (f'left( x ight)) représente le taux de changement de (fleft( x ight)). Il s'agit d'une application que nous avons vue à plusieurs reprises dans le chapitre précédent. Presque chaque section du chapitre précédent contenait au moins un problème traitant de cette application des dérivés. Alors que cette application apparaîtra occasionnellement dans ce chapitre, nous allons nous concentrer davantage sur d'autres applications dans ce chapitre.

Donc, pour s'assurer que nous n'oublions pas cette application, voici un bref ensemble d'exemples se concentrant sur le taux de variation de l'application des dérivés. Notez que le but de ces exemples est de vous rappeler la matière couverte dans le chapitre précédent et non de vous apprendre à résoudre ce genre de problèmes. Si vous ne vous souvenez pas comment faire ce genre d'exemples, vous devrez revenir en arrière et revoir le chapitre précédent.

Tout d'abord, nous devrons prendre la dérivée de la fonction.

[g'left( x ight) = - 6 + 20sin left( <2x> ight)]

Maintenant, la fonction ne changera pas si le taux de changement est nul et donc pour répondre à cette question, nous devons déterminer où la dérivée est nulle. Donc, définissons cela égal à zéro et résolvons.

[ - 6 + 20sin left( <2x> ight) = 0hspace <0.5in>Rightarrow hspace<0.5in>sin left( <2x> ight) = frac<6> <<20>> = 0.3]

La solution à cela est alors,

[commencer<4>2x = & 0,3047 + 2pi n & & hspace<0,5in>,,,,>hspace<0.5in>,,,, & 2x = & 2.8369 + 2pi n & & hspace<0.25in>n = 0, pm 1, pm 2, ldots x = & 0.1524 + pi n & & hspace<0.5in>,,,,>hspace<0.5in>,,, & x = & 1.4185 + pi n & & hspace<0.25in>n = 0, pm 1, pm 2, ldots end]

Si vous ne vous souvenez pas comment résoudre les équations trigonométriques, consultez les sections Résoudre les équations trigonométriques du chapitre Révision.

Comme pour le premier problème, nous devons d'abord prendre la dérivée de la fonction.

[A'gauche( t droit) = 135 - 180 - 390 = 15gauche( <9- 12t - 26> droit)]

Ensuite, nous devons déterminer où la fonction ne change pas. C'est à,

Ainsi, la fonction ne change pas à trois valeurs de (t). Enfin, pour déterminer où la fonction augmente ou diminue, nous devons déterminer où la dérivée est positive ou négative. Rappelez-vous que si la dérivée est positive alors la fonction doit être croissante et si la dérivée est négative alors la fonction doit être décroissante. La droite numérique suivante donne cette information.

Ainsi, à partir de cette droite numérique, nous pouvons voir que nous avons les informations croissantes et décroissantes suivantes.

Si vous ne vous souvenez pas comment résoudre les inégalités polynomiales et rationnelles, vous devriez consulter les sections appropriées du chapitre Révision.

Enfin, nous ne pouvons pas oublier les problèmes de tarifs liés.

La première chose à faire ici est de faire esquisser une figure montrant la situation.

Sur cette figure (y) représente la distance parcourue par la voiture B et (x) représente la distance séparant la voiture A de la position initiale de la voiture B et (z) représente la distance séparant les deux voitures. Après 3 heures de conduite avec les valeurs suivantes de (x) et (y).

[x = 500 - 35left( 3 ight) = 395hspace<0.5in>hspace<0.25in>y = 50left( 3 ight) = 150]

Nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver (z) à ce moment comme suit,

Maintenant, pour répondre à cette question, nous devrons déterminer (z') étant donné que (x' = - 35) et (y' = 50). Êtes-vous d'accord avec les signes sur les deux tarifs donnés? Rappelez-vous qu'un taux est négatif si la quantité diminue et positif si la quantité augmente.

On peut encore utiliser ici le théorème de Pythagore. Tout d'abord, notez-le et rappelez-vous que (x), (y) et (z) changent tous avec le temps et donc différenciez l'équation en utilisant la différenciation implicite.

Enfin, tout ce que nous avons à faire est d'annuler un deux de tout, de brancher pour les quantités connues et de résoudre pour (z').

[z'left( <422.5222> ight) = left( <395> ight)left( < - 35> ight) + left( <150> ight)left( <50> right)hspace <0.25in>Rightarrow hspace<0.5in>z' = frac<< - 6325>><<422.5222>> = - 14.9696]

Ainsi, après trois heures, la distance entre eux diminue à un taux de 14,9696 mph.

Ainsi, dans cette section, nous avons couvert trois problèmes « standards » en utilisant l'idée que la dérivée d'une fonction donne le taux de changement de la fonction. Comme mentionné précédemment, ce chapitre se concentrera davantage sur d'autres applications que l'idée de taux de changement, cependant, nous ne pouvons pas oublier cette application car elle est très importante.


Enseignement du calcul

L'unité 4 couvre les taux de changement dans les problèmes de mouvement et d'autres contextes, les problèmes de taux connexes, l'approximation linéaire et la règle de L’Hospital’s. (DEC – 2019 p. 82 – 90). Ces sujets représentent environ 10 à 15 % des questions de l'examen AB et 6 à 9 % des questions de la Colombie-Britannique.

Vous voudrez peut-être envisager d'enseigner l'unité 5 (Applications analytiques de la différenciation) avant l'unité 4. Les notes sur l'unité 5 seront publiées le mardi 29 septembre 2020

Sujets 4.1 – 4.6

Sujet 4.1 Interprétation de la signification du dérivé en contexte Les élèves apprennent la signification de la dérivée dans des situations impliquant des taux de changement.

Sujet 4.2 Mouvement linéaire Les liens entre la position, la vitesse, la vitesse et l'accélération. Ce sujet fonctionnera peut-être mieux après les problèmes de représentation graphique de l'unité 5, car la plupart des idées sont les mêmes. Voir Problèmes de mouvement : même chose, contexte différent

Sujet 4.3 Taux de changement dans des contextes autres que le mouvement Autres applications

Sujet 4.4 Introduction aux tarifs associés Utilisation de la règle de chaîne

Sujet 4.5 Résolution des problèmes de taux connexes

Sujet 4.6 Approximation des valeurs d'une fonction à l'aide de la linéarité locale et de la linéarisation L'approximation de la tangente

Sujet 4.7 Utilisation de la règle de L’Hospital’s pour déterminer les limites des formes indéterminées. Formes indéterminées du type et . (D'autres formulaires peuvent être inclus, mais seuls ces deux formulaires sont testés lors des examens AP.)

Les sujets 4.1 et 4.3 sont inclus dans les autres sujets, le sujet 4.2 peut prendre quelques jours, les sujets 4.4 – 4.5 sont difficiles pour de nombreux étudiants et peuvent prendre 4 – 5 cours, 4.6 et 4.7 deux cours chacun. Le temps suggéré est de 10 -11 cours pour AB et 6 -7 pour BC. de 40 périodes de cours de 50 minutes, cela inclut le temps pour les tests, etc.

Il s'agit d'une nouvelle publication et d'une mise à jour du troisième d'une série de publications de l'année dernière. Il contient des liens vers des articles de ce blog sur la différenciation des fonctions composites, implicites et inverses pour votre référence dans la planification. D'autres articles mis à jour sur le CED 2019 viendront tout au long de l'année, espérons-le, quelques semaines avant d'aborder le sujet.


Une approximation du quatrième ordre des dérivées fractionnaires avec ses applications ☆

Une nouvelle approximation par différence de quatrième ordre est dérivée pour les dérivées fractionnaires spatiales en utilisant la moyenne pondérée des formules de Grünwald décalées combinant la technique compacte. Les propriétés de l'opérateur de quotient de différence fractionnaire proposé sont présentées et prouvées. Ensuite, la nouvelle formule d'approximation est appliquée pour résoudre les équations de diffusion fractionnaire dans l'espace. Par la méthode de l'énergie, le schéma de différence quasi-compact proposé s'avère inconditionnellement stable et convergent en L2 norme pour les cas 1D et 2D. Plusieurs exemples numériques sont donnés pour confirmer les résultats théoriques.


4.1 Bases des équations différentielles

Le calcul est la mathématique du changement, et les taux de changement sont exprimés par des dérivés. Ainsi, l'une des façons les plus courantes d'utiliser le calcul consiste à établir une équation contenant une fonction inconnue y = f ( x ) y = f ( x ) et sa dérivée, connue sous le nom de équation différentielle. La résolution de telles équations fournit souvent des informations sur la façon dont les quantités changent et donne fréquemment un aperçu de comment et pourquoi les changements se produisent.

Les techniques de résolution d'équations différentielles peuvent prendre de nombreuses formes différentes, y compris la résolution directe, l'utilisation de graphiques ou des calculs informatiques. Nous présentons les idées principales dans ce chapitre et les décrivons un peu plus en détail plus tard dans le cours. Dans cette section, nous étudions ce que sont les équations différentielles, comment vérifier leurs solutions, certaines méthodes utilisées pour les résoudre et quelques exemples d'équations courantes et utiles.

Équations différentielles générales

Définition

Médias

Rendez-vous sur ce site Web pour en savoir plus sur ce sujet.

Quelques exemples d'équations différentielles et de leurs solutions apparaissent dans le tableau 4.1.

Notez qu'une solution à une équation différentielle n'est pas nécessairement unique, principalement parce que la dérivée d'une constante est zéro. Par exemple, y = x 2 + 4 y = x 2 + 4 est également une solution de la première équation différentielle du tableau 4.1. Nous reviendrons sur cette idée un peu plus loin dans cette section. Pour l'instant, concentrons-nous sur ce que signifie pour une fonction d'être une solution à une équation différentielle.


4.1 : Prélude aux applications des dérivés - Mathématiques

Dans une dimension la fonction linéaire L, L = a(x - x') + b est déterminée par les conditions qui

En dimension supérieure, si nous écrivons la fonction d'approximation linéaire comme L :

L = un1(x-x') + un2(y - y') + un3(z - z') + b = une(r - r') + b

Pour calculer l'approximation quadratique, vous calculez les secondes dérivées partielles et insérez des termes quadratiques qui donnent les mêmes dérivées.

4.1.3 Comment utilise-t-on l'approximation linéaire ?

L'utilisation évidente de l'approximation linéaire est d'estimer la valeur d'une fonction à r = r" connaissant sa valeur à r' et son gradient là-bas.
On a

4.1.4 Comment utilise-t-on l'approximation quadratique ?

L'approximation quadratique que nous écrivons en détail en deux dimensions, est d'une grande utilité pour déterminer la nature d'un point critique en r', et peut être utile pour approximer f lorsque l'approximation linéaire n'est pas suffisamment précise.
On note la fonction d'approximation quadratique de f à r' par Q.
On a alors


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Vous voulez en savoir plus sur Calcul 1 ? J'ai un cours étape par étape pour cela. :)

Supposons qu'une particule se déplace le long du . X. -axe de sorte que sa position à l'heure . t. est donné par la formule

Calculer sa vitesse et son accélération en fonction de . t. Ensuite, décidez dans quelle direction (gauche ou droite) la particule se déplace lorsque . t=1. et si sa vitesse et sa vitesse augmentent ou diminuent.

Pour trouver la vitesse, nous prenons la dérivée de l'équation de position d'origine.

Pour trouver l'accélération, nous prenons la dérivée de la fonction vitesse.

Pour déterminer la direction de la particule à . t=1. nous branchons. 1. dans la fonction de vitesse.

Parce que . v(1). est positif, on peut conclure que la particule se déplace dans le sens positif (vers la droite).

Pour déterminer si la vitesse augmente ou diminue, nous branchons . 1. dans la fonction d'accélération, car cela nous donnera le taux de changement de vitesse, puisque l'accélération est la dérivée de la vitesse.

Puisque l'accélération est négative à . t=1. la vitesse doit être décroissante à ce point.

Puisque la vitesse est positive et décroissante à . t=1. cela signifie que la vitesse diminue également à ce point.

En commençant par la position, différencier pour trouver la vitesse, puis différencier à nouveau pour trouver l'accélération


Mathématiques 180 : calcul I

Les prérequis sont appliqués dans toutes les sections du cours sans exception.

Description du cours

Math 180 est le cours d'introduction au calcul de notre séquence de calcul standard de trois semestres. En tant que tel, son objectif est d'introduire l'étude du calcul sur la ligne réelle, ce qui inclut les limites, la différenciation et les techniques d'intégration de base tout en couvrant également les applications de ces sujets.

Crédit accordé

4 heures (quelques exceptions notées ci-dessous)

Les crédits antérieurs en MATH 165 ou MATH 170 seront perdus avec l'achèvement ultérieur de MATH 180.

Matériel de cours

Cahier de texte

  • Calcul : premiers transcendantaux par William Briggs et Lyle Cochran, 3e édition, publié par Addison-Wesley.
  • ISBN (accès semestre unique) : 9780135329221
  • ISBN (accès multi-semestre): 9780135329276

Code d'accès MyMathLab

Un code MyLabMath peut être acheté en ligne après s'être inscrit à MyMathLab via Blackboard, ou à la librairie UIC, avec ou sans le manuel. Assurez-vous que votre code MyMathLab est lié au cours Blackboard.

Ensemble de feuilles de calcul

L'ensemble de feuilles de travail sera utilisé lors des séances de résolution de problèmes les mardis et jeudis. Une copie électronique et imprimable de celui-ci peut être trouvée ci-dessous ou sur le site Blackboard. Un exemplaire physique peut être acheté directement à la librairie UIC.


La réponse de Haskell fait un excellent travail en décrivant les conditions selon lesquelles un dérivé $f'$ doit satisfaire, ce qui nous limite alors dans notre recherche d'exemple. De là, nous voyons la question clé : pouvons-nous fournir un exemple concret d'une fonction partout dérivable dont la dérivée est discontinue sur un ensemble dense de mesure complète de $mathbb R$ ? Voici un examen plus approfondi des fonctions de type Volterra mentionnées dans la réponse de Haskell, ainsi qu'une petite indication sur la manière dont elles pourraient être étendues.

Exemple de base

L'exemple de base d'une fonction différentiable avec une dérivée discontinue est $ f(x) = egin x^2 sin(1/x) &mbox x eq 0 0 & mbox x=0. finir $ Les règles de dérivation montrent que cette fonction est dérivable à partir de l'origine et le quotient de différence peut être utilisé pour montrer qu'elle est dérivable à l'origine avec la valeur $f'(0)=0$. Un graphique est éclairant et montre comment $pm x^2$ forme une enveloppe pour la fonction forçant la différentiabilité.

La dérivée de $f$ est $ f'(x) = egin 2 x sin left(frac<1> ight)-cos left(frac<1> ight)&mbox x eq 0 0 & mbox x=0, fin $ qui est discontinu à $x=0$. Son graphique ressemble à quelque chose comme ça

L'étape suivante consiste à modifier cet exemple pour obtenir une fonction dérivable partout avec une dérivée continue sur tout $mathbb R$, à l'exception de deux points. À cette fin, considérons $ f(x) = egin x^2 (1-x)^2 sin left(frac<1> ight)&mbox 0<x<1 0 & mbox. finir $ Le graphique de $f$ et sa dérivée ressemblent à ceci.

Un ensemble cantor de discontinuités

Maintenant que nous avons un moyen de construire une fonction différentiable dont la dérivée est discontinue exactement aux extrémités d'un intervalle, il devrait être clair comment construire une fonction différentiable dont la dérivée est discontinue sur un ensemble de Cantor construit dans l'intervalle. Pour $ninmathbb N$ et $m=1,2,ldots,2^n$, soit $I_$ désigne l'un des intervalles de $2^n$ supprimés pendant le $n^$ étape de construction de l'ensemble Cantor. Ensuite, laissez $f_$ être mis à l'échelle pour avoir un support $I_$ et avoir une valeur maximale de $4^<-n>$. La fonction $F(x) = somme_^ somme_^ <2^n>f_(x)$ sera partout dérivable mais sa dérivée sera discontinue sur l'ensemble de Cantor donné. En supposant que nous fassions cela avec l'ensemble ternaire standard de Cantors, nous obtenons une image qui ressemble à ceci :

Bien sûr, il y a vraiment une séquence de fonctions ici et il faut prendre soin de montrer que la limite est vraiment dérivable. Soit $F_N(x) = somme_^ somme_^ <2^n>f_(x).$ Le théorème standard dit alors que, tant que $F_N$ converge et $F_N'$ converge uniformément, alors la limite de $F_N(x)$ sera dérivable. Ceci est garanti par le choix de $4^<-n>$ comme max pour $f_$.

Augmenter la mesure

Encore une fois, le dernier exemple fait référence à l'ensemble ternaire de Cantor standard, mais il n'y a aucune raison que cela ne puisse pas être fait avec quelconque Ensemble de chantre. En particulier, cela peut être fait avec un ensemble dit de Cantor gras, qui peut avoir une mesure positive arbitrairement proche de la mesure de l'intervalle le contenant. Nous produisons immédiatement une fonction dérivable partout dont la dérivée est discontinue sur un ensemble dense nulle part de mesure positive. (Bien sûr, il faut encore une fois veiller à mettre à l'échelle les hauteurs des fonctions à zéro assez rapidement pour garantir la différentiabilité.)

Enfin, nous pouvons remplir les trous des intervalles supprimés avec plus d'ensembles de Cantor (et leurs fonctions correspondantes) de manière à ce que l'union de tous soit de pleine mesure. Cela nous permet de construire une fonction partout dérivable avec une dérivée qui est discontinue sur l'union de ces ensembles de Cantor, qui est un ensemble de mesure complète.