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7.2 : Introduction à l'élimination de Gauss Jordan - Mathématiques


Les opérations de ligne élémentaires suivantes

  1. Interchanger deux lignes d'une matrice

  2. Multiplier les éléments d'une ligne par une constante non nulle

  3. Ajouter un multiple des éléments d'une ligne aux éléments correspondants d'une autre

Considérez l'élément ( a_{2,1} ) dans la matrice ( A ) suivante.

[ A = gauche[
egin{matrice}
1 & 1 \
20 & 25
end{matrice}
, milieuvert ,
egin{matrice}
30 \
690
end{matrice}
ight] onumber ]

Question

Décrivez une opération de ligne élémentaire qui pourrait être utilisée pour rendre l'élément ( a_{(2,1)} ) nul ?

Question

Quelle est la nouvelle matrice compte tenu de l'opération de ligne ci-dessus.

Modifiez le contenu de cette cellule et mettez votre réponse à la question ci-dessus ici.

[ A = gauche[
egin{matrice}
1 & 1 \
0 & ??
end{matrice}
, milieuvert ,
egin{matrice}
30 \
??
end{matrice}
ight] onumber ]

La fonction suivante est une implémentation de base de l'algorithme de Gauss-Jorden dans une matrice augmentée (m,m+1) :


Élimination gaussienne-jordanienne

Considérons le système $m imes n$ d'équations linéaires :
commencer
a_ <1 1>x_1+a_<1 2>x_2+cdots+a_<1 n>x_n& =b_1
a_ <2 1>x_1+a_<2 2>x_2+cdots+a_<2 n>x_n& =b_2
a_ <3 1>x_1+a_<3 2>x_2+cdots+a_<3 n>x_n& =b_3
&vdots
une_ x_1+a_x_2+cdots+a_x_n& =b_m
finir

  1. le matrice de coefficients du système est
    [commencer
    a_ <1 1>& a_ <1 2>& cdots & a_ <1 n>
    a_ <2 1>& a_ <2 2>& cdots & a_ <2 n>
    vdots & vdots & ddots & vdots
    une_ & a_ & cdots & a_
    finir]
  2. le matrice augmentée du système est
    [gauche[egin
    a_ <1 1>& a_ <1 2>& cdots & a_ <1 n>& b_1
    a_ <2 1>& a_ <2 2>& cdots & a_ <2 n>& b_2
    vdots & vdots & ddots & vdots & vdots
    une_ & a_ & cdots & a_ & b_m
    finirdroite] ]
  3. [Élimination de Gauss-Jordan] Pour un système donné d'équations linéaires, nous pouvons trouver une solution comme suit.
    Cette procédure s'appelle Élimination de Gauss-Jordanie.


7.2 : Introduction à l'élimination de Gauss Jordan - Mathématiques

Introduction : La méthode Gauss-Jordan, également connue sous le nom de méthode d'élimination Gauss-Jordan, est utilisée pour résoudre un système d'équations linéaires et est une version modifiée de la méthode d'élimination Gauss.

Elle est similaire et plus simple que la méthode d'élimination de Gauss car nous devons effectuer 2 processus différents dans la méthode d'élimination de Gauss, c'est-à-dire
1) Formation de la matrice triangulaire supérieure, et
2) Remplacement du dos

Mais dans le cas de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan, nous n'avons qu'à former une forme d'échelon de ligne réduite (matrice diagonale). Vous trouverez ci-dessous l'organigramme de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan.

Organigramme de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan :

Explication : Vous trouverez ci-dessous l'explication de l'exemple ci-dessus.


Explication

Un système d'équations peut être représenté sous deux formes matricielles différentes. Une façon est de réaliser le système comme la multiplication matricielle des coefficients dans le système et le vecteur colonne de ses variables. La matrice carrée est appelée la matrice de coefficients car il est constitué des coefficients des variables du système d'équations :

Une représentation alternative appelée matrice augmentée est créé en cousant les colonnes de matrices ensemble et divisé par une barre verticale. La matrice des coefficients est placée à gauche de cette barre verticale, tandis que les constantes à droite de chaque équation sont placées à droite de la barre verticale :

Les matrices qui représentent ces systèmes peuvent être manipulées de manière à fournir des solutions faciles à lire. Cette manipulation est appelée réduction de ligne. Les techniques de réduction des rangs transforment la matrice en forme d'échelon de rang réduit sans changer les solutions du système.

Pour convertir n'importe quelle matrice en sa forme d'échelon de ligne réduite, une élimination de Gauss-Jordan est effectuée. Il existe trois opérations élémentaires de ligne utilisées pour obtenir une forme d'échelon de ligne réduite :


Exemple d'élimination de Gauss-Jordan

(R_i leftarrow alpha R_i) (en remplaçant la ligne (i) par (alpha) fois la ligne (i) où (alpha eq 0))

(R_i leftarrow R_i + alpha R_j) (remplace la ligne (i) par la ligne (i) plus (alpha) fois la ligne (j) où (alpha eq 0 ) et (i eq j))

(R_i leftrightarrow R_j) (échange des lignes (i) et (j) où (i eq j))

Soit (A = egin 1 & -1 & 2 & 1 2 & -2 & 0 & 2 -1 & 3 & 0 & 1 end), (x = egin x_1x_2x_3x_4end), et (b = egin 3 1 1fin).

La matrice augmentée pour le système (Ax = b) est (left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 2 & -2 & 0 & 2 & 1 -1 & 3 & 0 & 1 & 1 end ight].) Nous réduisons maintenant en ligne cette matrice c'est-à-dire en la transformant en une matrice dans RREF à l'aide d'opérations élémentaires sur les lignes.

Dans la première ligne, nous avons déjà un premier (1). Nous devons donc nous assurer que toutes les entrées en dessous sont nulles en utilisant des opérations de ligne élémentaires. Ceci peut être accompli via (R_2 leftarrow R_2 + (-2) imes R_1) et (R_3 leftarrow R_3 + R_1). La matrice résultante est [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & -4 & 0 & -5 0 & 2 & 2 & 2 & 4 end ight].] Maintenant, notez que l'entrée non nulle la plus à gauche dans les deuxième et troisième lignes n'est pas (1). Nous pouvons corriger cela via (R_2 leftarrow -frac<1> <4>R_2) et (R_3 leftarrow frac<1> <2>R_3). La matrice résultante est [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5><4> 0 & 1 & 1 & 1 & 2 enddroite].]

Le premier (1) de la ligne (3) est à gauche de celui de la ligne (2). Nous échangeons donc les deux lignes via (R_2 leftrightarrow R_3) pour obtenir [left[egin 1 & -1 & 2 & 1 & 3 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> <4>enddroite].]

Pour effacer l'entrée au-dessus du premier (1) dans la ligne 2, nous effectuons (R_1 leftarrow R_1 + R_2) pour obtenir [left[egin 1 & 0 & 3 & 2 & 5 0 & 1 & 1 & 1 & 2 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> <4>enddroite].]

Enfin, nous effaçons les entrées au-dessus du premier (1) dans la ligne 3 en exécutant (R_1 leftarrow R_1 + (-3) imes R_3) et (R_2 leftarrow R_2 + (-1) imes R_3 ) pour obtenir [left[egin 1 & 0 & 0 & 2 & frac<5> <4> 0 & 1 & 0 & 1 & frac<3> <4> 0 & 0 & 1 & 0 & frac<5> < 4>fin ight].] Cette matrice est en RREF. Les variables correspondant aux trois premières colonnes correspondent aux principales. Donc, une la solution de (Ax = b) est donnée par (x = egin 5/4 3/4 5/4 0fin). Pour obtenir toutes les solutions, nous aurions besoin de définir (x_4), la seule variable libre dans ce cas, à un paramètre (s), puis de résoudre les variables pivot (x_1,x_2,x_3) en termes de (s). La réponse est (x = egin frac<5> <4>- 2s frac<3> <4>- s frac<5> <4> send).

Remarque: Le RREF d'une matrice est unique. En d'autres termes, quelle que soit la façon dont vous transformez une matrice en une seule dans RREF, tant que vous n'utilisez que des opérations de ligne élémentaires, vous vous retrouverez toujours avec la même matrice.


7.2 : Introduction à l'élimination de Gauss Jordan - Mathématiques

Cliquez ici si vous voulez des instructions sur l'utilisation de l'Algebra Coach pour effectuer la méthode d'élimination.

    multiplier les deux côtés de l'équation par le même facteur.

La méthode d'élimination utilise ce fait pour résoudre un système d'équations linéaires. Supposons que nous partions d'un système de n équations à n inconnues. Choisissez la première équation et soustrayez-en les multiples appropriés des autres n & moins 1 équations. Dans chaque cas, le multiple est choisi de telle sorte que la soustraction annule ou élimine la même variable, disons x. Le résultat est que les équations n &moins 1 ne contiennent que n &moins 1 inconnues ( x n'apparaît plus).

Nous répétons ce processus d'élimination jusqu'à ce que nous obtenions 1 équation à 1 inconnue, qui est alors facilement résolue.

L'étape finale consiste à re-substituer la solution déjà obtenue pour la 1 inconnue dans les équations précédentes pour trouver les valeurs de toutes les autres inconnues.



Exemple : Résoudre ce système d'équations par élimination :

Le résultat est une équation dans une inconnue, y . L'autre inconnue, x , a été éliminée. La résolution de cette équation donne y = 0,4.

Il reste à trouver x. Si nous remplaçons y = 0,4 dans l'une des équations originales, nous obtenons x = 3,6. Ainsi la solution est :

(Notez que nous aurions pu trouver x sans rétro-substitution si nous avions soustrait 3 fois la première équation de la deuxième équation, puisque cela élimine y .)

La matrice augmentée

Nous avons expliqué l'essence de l'élimination. Pour les systèmes plus importants, nous avons besoin d'une procédure systématique pour éviter toute confusion. L'élimination de Gauss et l'élimination de Gauss-Jordan sont deux de ces procédures.

Avant de les décrire, nous introduisons quelques raccourcis. Un système d'équations telles que :

    Les nombres individuels dans la matrice sont appelés éléments .

  • le je-ème ligne de la matrice augmentée représente le je-ième équation.

Les opérations de rang élémentaire

  • diviser les deux côtés d'une équation par une constante, ou

    E.R.O.#1 : Choisissez une ligne de la matrice augmentée et divisez (chaque élément de) la ligne par une constante.

Exemple : Cet exemple montre comment nous appliquons E.R.O.#1 et la notation que nous utilisons pour l'indiquer. Nous allons diviser la première ligne de la matrice augmentée à gauche par 2 pour produire la nouvelle matrice augmentée à droite :

Remarque : &larr ÷ par 2 signifie &ldquo diviser la ligne pointée par 2 pour produire la nouvelle matrice &rdquo.


Exemple : Cet exemple montre comment nous appliquons E.R.O.#2 et la notation que nous utilisons pour l'indiquer. Dans la matrice augmentée à gauche, nous allons prendre la deuxième ligne et en soustraire 3 fois la première ligne pour produire la nouvelle matrice augmentée à droite :

Remarque : &larr R 2 &moins 3 · R 1 signifie &ldquo prendre la ligne pointée (ligne 2) et en soustraire 3 fois la ligne 1 pour produire la nouvelle ligne 2. &rdquo


Exemple : Cet exemple montre comment nous appliquons E.R.O.#3 et la notation que nous utilisons pour l'indiquer. Dans la matrice augmentée à gauche, nous échangeons les lignes 1 et 2 pour produire la nouvelle matrice augmentée à droite :

Remarque : R 1 &harr R 2 signifie &ldquo permuter les lignes 1 et 2. &rdquo

Élimination gaussienne

Il est résolu par rétro-substitution. Brancher z = 3 dans la deuxième équation donne y = 5. Ensuite, brancher à la fois z = 3 et y = 5 dans la première équation donne x = 7.

    Nous localisons l'élément diagonal dans la colonne pivot. Cet élément est appelé le pivot. La ligne contenant le pivot est appelée le ligne de pivot. Nous divisons chaque élément de la rangée de pivot par le pivot (c'est-à-dire que nous utilisons E.R.O. #1) pour obtenir une nouvelle rangée de pivot avec un 1 en position de pivot.

Exemple : Utiliser l'élimination de Gauss pour résoudre le système d'équations :

Solution : Effectuez cette séquence d'E.R.O.&rsquos sur la matrice augmentée :

Réglez la colonne pivot sur la colonne 1. Obtenez un 1 en position diagonale (en rouge) :

Maintenant, laissez pivot colonne = deuxième colonne.

Tout d'abord, obtenez un 1 en position diagonale :

Élimination de Gauss-Jordanie

Ce système est déjà résolu : x = 7, y = 5, z = 3. La rétro-substitution n'est pas nécessaire. Cependant, environ deux fois plus d'E.R.O.&rsquos sont nécessaires pour produire la forme Gauss-Jordan que la forme Gauss.

    Nous localisons l'élément diagonal dans la colonne pivot. Cet élément est appelé le pivot. La ligne contenant le pivot est appelée le ligne de pivot. Nous divisons chaque élément de la rangée de pivot par le pivot (c'est-à-dire que nous utilisons E.R.O. #1) pour obtenir une nouvelle rangée de pivot avec un 1 en position de pivot.


Exemple: Utilisez l'élimination de Gauss-Jordan pour résoudre le système d'équations :

Systèmes redondants et incohérents

Si le nombre d'équations est supérieur au nombre d'inconnues, les systèmes sont garantis soit redondants, soit incohérents. Mais si le nombre d'équations est égal ou inférieur au nombre d'inconnues, vous ne reconnaîtrez généralement pas un système comme étant redondant ou incohérent avant la toute fin du calcul. Cela est particulièrement vrai si le système est grand.

Si vous résolvez le système d'équations par la méthode de substitution et que le système est redondant, vous vous retrouverez avec une équation finale qui indique 0 = 0. Ou si le système est incohérent, vous vous retrouverez avec une équation qui indique un contradiction comme 0 = 5. Quelque chose de similaire se produit lors de l'utilisation de l'élimination de Gauss ou de Gauss-Jordan. Si le système est redondant, alors à la fin de la procédure d'élimination, lorsque vous avez la matrice augmentée sous forme Gauss ou Gauss-Jordan, la dernière ligne de la matrice augmentée sera :

Cette dernière ligne représente l'équation 0 = 0, une information inutile.

Si le système est incohérent, la dernière ligne de la matrice augmentée ressemblera à quelque chose comme :

La dernière ligne représente l'équation 0 = 5, une contradiction. Essayez les exercices, qui contiennent des exemples de systèmes d'équations redondants et incohérents.

Ce système d'équations peut être résolu par rétro-substitution car nous n'avons aucune valeur pour z. La dernière équation indique simplement que 0=0. Il n'y a pas de solution unique car z peut prendre n'importe quelle valeur.

La cause de ce problème est que si nous avons 3 inconnues, nous avons besoin de 3 informations (équations) à leur sujet pour les résoudre. Les mathématiciens disent que les équations doivent être linéairement indépendant. Dans un système redondant, certaines informations ne font que dupliquer d'autres informations. Dans cet exemple, un peu d'expérimentation montre que la troisième équation est juste le double de la deuxième équation moins la première équation.

Moins d'équations que d'inconnues

Essayez les exercices, qui contiennent des exemples de systèmes avec moins d'équations que d'inconnues.


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Leçon MÉTHODE D'ÉLIMINATION DE GAUSS-JORDAN POUR LA RÉSOLUTION D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Cette leçon passe en revue la méthode d'élimination de Gauss-Jordan pour résoudre des équations linéaires.

Une équation linéaire est une équation dont l'exposant d'ordre le plus élevé est égal à 1.
Les variables d'une équation linéaire peuvent être élevées à la puissance 0 ou à la puissance 1.
Puisque toute variable à la puissance 0 = 1, alors le coefficient de cette variable devient une constante et le nom de la variable n'est pas utilisé car la valeur de cette variable a déjà été définie.
Exemple : 5x^0 = 5*1 = 5

RÉSOUDRE SIMULTANÉMENT UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

Lorsque vous résolvez un système d'équations linéaires simultanément, vous avez une solution unique pour chaque variable qui s'applique à chaque équation du système où la variable est présente.

L'unique solution de ce système d'équations est x = 2 et y = 3.

La même valeur pour x est appliquée à chaque équation du système où elle est présente, et la même valeur pour y est appliquée à chaque équation du système où elle est présente.

Lorsque vous remplacez 2 par x et 3 par y, alors .

la première équation devient 2 + 3 = 5 ce qui est vrai.
la deuxième équation devient 4 + 9 = 13 ce qui est également vrai.

Votre solution unique pour chaque variable rend toutes les équations du système vraies.

L'unique solution de ce système d'équations est x = 1 et y = 6.

La même valeur pour x est appliquée à chaque équation du système où elle est présente, et la même valeur pour y est appliquée à chaque équation du système où elle est présente.

Lorsque vous remplacez 1 par x et 6 par y, alors .

la première équation devient 1 + 6 = 7 ce qui est vrai.
la deuxième équation devient 6 = 6 ce qui est également vrai.

Votre solution unique pour chaque variable rend toutes les équations du système vraies.

FORME STANDARD D'UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS LINÉAIRES

La forme standard d'un système d'équations linéaires a les coefficients et les variables du côté gauche du signe égal et les termes constants du côté droit du côté égal.

Un exemple de la forme standard d'un système d'équations linéaires à quatre dimensions pourrait ressembler à ceci.

w,x,y,z sont les variables.
les coefficients et les variables se trouvent à gauche du signe égal.
les termes constants sont à droite du signe égal.

A partir d'un système d'équations linéaires, on fait ce qu'on appelle une matrice augmentée.

La matrice augmentée a une colonne pour les coefficients de chaque variable plus une colonne pour le résultat (termes constants).

La matrice augmentée créée à partir du système d'équations à quatre dimensions ci-dessus est présentée ici :

Les coefficients de chaque variable ont leur propre colonne sur le côté gauche de la ligne verticale dans la matrice.
Les termes constants ont leur propre colonne sur le côté droit de la ligne verticale dans la matrice.
Chaque équation a sa propre ligne.
Dans cette matrice :
La colonne 1 est pour les coefficients de w.
La colonne 2 est pour les coefficients de x.
La colonne 3 est pour les coefficients de y.
La colonne 4 est pour les coefficients de z.
La colonne 5 est pour les termes constants.
La ligne 1 contient la première équation.
La ligne 2 contient la deuxième équation.
La ligne 3 contient la troisième équation.
La ligne 4 contient la quatrième équation.

La ligne verticale entre les colonnes contenant le coefficient et la colonne contenant le terme constant sont là pour vous montrer qu'il s'agit d'une matrice augmentée.

S'il n'y avait que la matrice contenant les coefficients sans colonne indiquant le terme constant, alors cela s'appellerait une matrice de coefficients.

Cette ligne verticale doit être affichée pour plus de clarté, mais certains outils mécanisés peuvent ne pas l'afficher.

Tant que vous savez que vous avez affaire à une matrice augmentée, ce n'est pas un problème.

L'outil mécanisé que nous utiliserons ne l'affichera pas.

Sachez simplement que si vous affichez une matrice augmentée, vous devriez avoir la ligne verticale séparant la partie coefficient de la matrice de la partie résultats de la matrice, mais vous devez également savoir qu'elle n'est pas toujours affichée. Habituellement, on vous dira s'il s'agit d'une matrice augmentée ou non.

La matrice exige que les coefficients de chaque variable aient leur propre colonne et que les termes constants aient leur propre colonne.

C'est facile si tous les termes du système d'équations linéaires sont explicites comme indiqué ci-dessus.

Sinon, vous devez vous assurer de placer les coefficients de chaque variable dans la colonne et la ligne appropriées.

Voici un système d'équations linéaires où la conversion sous forme matricielle nécessite quelques ajustements.

Ce système a 5 équations linéaires avec 5 inconnues, donc la matrice que vous allez créer aura 5 lignes et 6 colonnes.

La matrice ressemblera à ceci :

Les variables de ce système d'équations sont v,w,x,y,z.
Les colonnes de chaque variable ont été placées par ordre alphabétique dans la matrice.
La colonne 1 contient tous les coefficients pour v.
La colonne 2 contient tous les coefficients pour w.
La colonne 3 contient tous les coefficients pour x.
La colonne 4 contient tous les coefficients pour y.
La colonne 5 contient tous les coefficients pour z.
La colonne 6 contient tous les coefficients des résultats (termes constants).
La ligne 1 contient la première équation.
La ligne 2 contient la deuxième équation.
La ligne 3 contient la troisième équation.
La ligne 4 contient la quatrième équation.
La ligne 5 contient la cinquième équation.

MÉTHODE D'ÉLIMINATION GAUSS-JORDANIE ET ​​MATRICE AUGMENTÉE

La méthode d'élimination de Gauss-Jordan fonctionne avec la matrice augmentée afin de résoudre le système d'équations.

L'objectif de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan est de convertir la matrice sous cette forme (la matrice à quatre dimensions est utilisée à des fins de démonstration).

r1,r2,r3,r4 représentent les résultats de chaque équation (termes constants).

Une fois que vous avez la matrice sous cette forme, votre problème est résolu.

La seule chose que vous devez comprendre est de savoir comment convertir la matrice sous cette forme.

EXIGENCES POUR UNE SOLUTION UNIQUE À UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS LINÉAIRES UTILISANT LA MÉTHODE D'ÉLIMINATION DE GAUSS-JORDAN

Les exigences pour une solution unique à un système d'équations linéaires utilisant la méthode d'élimination de Gauss-Jordan sont que le nombre d'inconnues doit être égal au nombre d'équations.

Lorsque le nombre d'équations et le nombre d'inconnues sont les mêmes, vous obtiendrez une matrice augmentée où le nombre de colonnes est égal au nombre de lignes plus 1.

Par exemple, si vous avez un système de 4 équations linéaires à 4 inconnues, alors le nombre de lignes doit être égal à 4 et le nombre de colonnes doit être égal à 5 ​​(4 colonnes pour les coefficients et 1 colonne pour les résultats).

La ligne verticale entre la partie coefficients de la matrice et la partie résultats de la matrice (les termes constants sont dans la partie résultats de la matrice) ne compte pas comme une colonne. Il est là à des fins d'affichage uniquement si vous avez la possibilité de l'afficher.

Lorsque vous créez votre matrice, assurez-vous simplement que le nombre de colonnes est égal au nombre de lignes plus 1.

Notez qu'il est possible d'obtenir une solution unique à un système d'équations linéaires où le nombre d'équations est supérieur au nombre d'inconnues.

Un exemple de ceci serait 5 lignes dans un plan qui se coupent toutes en un même point. Il existe une solution unique pour les variables x et y qui rend toutes les équations du système vraies. Ce type de situation, cependant, n'est pas propice à la résolution à l'aide de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan car cette méthode nécessite que le nombre d'équations et le nombre d'inconnues soient identiques.

Notez également qu'il n'est pas possible d'obtenir une solution unique à un système d'équations linéaires où le nombre d'équations est inférieur au nombre d'inconnues.

Si vous utilisez la méthode d'élimination de Gauss-Jordan, assurez-vous simplement que le nombre d'équations est égal au nombre d'inconnues et la méthode fonctionnera parfaitement.

OPÉRATIONS EN RANG SUR MATRICE

Vous êtes autorisé à faire ce qui suit sans changer l'égalité d'aucune équation dans la matrice et sans impacter la solution du système d'équations linéaires :

Les deux dernières règles vous donnent le même résultat pour la nouvelle ligne 3 mais fournissent des résultats différents pour la nouvelle ligne 1.

MULTIPLIEZ LE RANG 1 PAR 2 ET AJOUTEZ-LE AU RANG 3 (à côté de la dernière règle illustrée ci-dessus) rend le nouveau rang 1 différent de l'ancien rang 1 (modifie le rang 1).

AJOUTER 2 * RANG 1 À RANG 3 (dernière règle ci-dessus) rend la nouvelle rangée 1 identique à l'ancienne rangée 1 (laisse la rangée 1 inchangée).

Lorsque nous parcourons les affichages de l'outil mécanisé, vous verrez que l'outil utilise la dernière règle pour rendre les coefficients des lignes restantes de la même colonne égaux à 0.

EXEMPLE DE RÉSOLUTION D'UN SYSTÈME D'ÉQUATIONS LINÉAIRES EN QUATRE DIMENSIONS PAR LA MÉTHODE D'ÉLIMINATION DE GAUSS-JORDAN

Le système d'équations linéaires que nous voulons résoudre est indiqué ci-dessous :

À partir de ce système d'équations linéaires, nous créons notre matrice augmentée comme indiqué ci-dessous :

La colonne 1 contient tous les coefficients de w.
La colonne 2 contient tous les coefficients de x.
La colonne 3 contient tous les coefficients de y.
La colonne 4 contient tous les coefficients de z.
La colonne 5 contient tous les résultats (termes constants).
La ligne 1 contient la première équation.
La ligne 2 contient la deuxième équation.
La ligne 3 contient la troisième équation.
La ligne 4 contient la quatrième équation.

Nous exécutons l'outil en cliquant sur le lien suivant :

On rentre le nombre de lignes (4) et le nombre de colonnes (5).

On nous présente une série d'affichages de la matrice originale que nous avons saisie et les résultats étape par étape des procédures utilisées par l'outil mécanisé pour résoudre le problème.

les affichages pas à pas sont illustrés ci-dessous.

N'essayez pas de le suivre tout de suite. Nous entrerons dans les détails plus loin dans cette leçon.

Pour l'instant, regardez simplement l'affichage numéro 1 et l'affichage numéro 13.

L'affichage numéro 1 montre la matrice d'origine telle qu'elle a été entrée dans l'outil mécanisé.

L'affichage numéro 13 montre la matrice dans sa forme finale.

Comme vous pouvez le voir, l'objectif de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan a été atteint et le problème est résolu.

Cet objectif était de mettre la matrice sous cette forme :

À partir de l'affichage numéro 13, vous pouvez voir que la matrice est dans cette forme finale.

La colonne 1 contient tous les coefficients de la variable w.
La colonne 2 contient tous les coefficients de la variable x.
La colonne 3 contient tous les coefficients de la variable y.
La colonne 4 contient tous les coefficients de la variable z.
La colonne 5 contient tous les termes constants.

La ligne 1 contient tous les coefficients et termes constants de notre première équation. Cette ligne se traduit par 1w + 0x + 0y + 0z = -5/12 qui devient w = -5/12.
La ligne 2 contient tous les coefficients et les termes constants de notre deuxième équation. Cette ligne se traduit par 0w + 1x + 0y + 0z = -11/8 qui devient x = -11/8.
La ligne 3 contient tous les coefficients et termes constants de notre troisième équation. Cette ligne se traduit par 0w + 0x + 1y + 0z = 4/3 qui devient y = 4/3.
La ligne 4 contient tous les coefficients et termes constants de notre quatrième équation. Cette ligne se traduit par 0w + 0x + 0y + 1z = 5/4 qui devient z = 5/4.

La forme finale de la matrice est la solution de ce système d'équations linéaires.

w = -5/12
x = -11/8
y = 4/3
z = 5/4

La façon dont l'outil est passé de la forme originale de la matrice à la forme finale de la matrice est indiquée dans les affichages numéro 2 à 13.

Avant de vous montrer cela, cependant, nous vous fournirons la stratégie générale utilisée par l'outil mécanisé. C'est la même stratégie générale que vous utiliseriez si vous résolviez le système d'équations linéaires manuellement à l'aide de la méthode d'élimination de Gauss-Jordan.

Voici la stratégie générale :

Colonne 1 traitement en aval :
Commencez à partir de la ligne 1 colonne 1.
Vérifiez si le coefficient de la colonne 1 de la ligne 1 n'est pas nul.
S'il n'est pas nul, passez à l'étape 1.6. S'il est égal à zéro, passez à l'étape 1.4.
Recherchez n'importe quelle ligne sous la ligne 1 qui contient une valeur différente de zéro dans la colonne 1.
Une fois trouvé, échangez cette ligne avec la ligne 1. La ligne 1 contient désormais une valeur différente de zéro dans la colonne 1.
Divisez la ligne 1 par le coefficient de la ligne 1 colonne 1 de sorte que le coefficient de la ligne 1 colonne 1 soit égal à 1.
Utilisez la ligne 1 pour que tous les coefficients de la colonne 1 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées en dessous de la ligne 1.
Lorsque la ligne 1 contient un coefficient de 1 dans la colonne 1 et que toutes les autres lignes en dessous contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 1, alors vous avez terminé avec le traitement aval de la colonne 1 et pouvez passer au traitement aval de la colonne 2.

Colonne 2 traitement en aval :
Commencez à partir de la ligne 2, colonne 2.
Vérifiez si le coefficient de la colonne 2 de la ligne 2 n'est pas nul.
Si ce n'est pas zéro, passez à l'étape 2.6. S'il est égal à zéro, passez à l'étape 2.4.
Recherchez n'importe quelle ligne sous la ligne 2 qui contient une valeur différente de zéro dans la colonne 2.
Une fois trouvé, échangez cette ligne avec la ligne 2. La ligne 2 contient désormais une valeur différente de zéro dans la colonne 1.
Divisez la ligne 2 par le coefficient de la ligne 2 colonne 2 de sorte que le coefficient de la ligne 2 colonne 2 soit égal à 1.
Utilisez la ligne 2 pour que tous les coefficients de la colonne 2 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées en dessous de la ligne 2.
Lorsque la ligne 2 contient un coefficient de 1 dans la colonne 2 et que toutes les autres lignes en dessous contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 2, alors vous avez terminé avec le traitement aval de la colonne 2 et pouvez passer au traitement aval de la colonne 3.

Colonne 3 traitement en aval :
Commencez à partir de la ligne 3, colonne 3.
Vérifiez si le coefficient de la colonne 3 de la ligne 3 n'est pas nul.
S'il n'est pas nul, passez à l'étape 3.6. S'il est égal à zéro, passez à l'étape 3.4.
Recherchez n'importe quelle ligne sous la ligne 3 qui contient une valeur différente de zéro dans la colonne 3.
Une fois trouvé, échangez cette ligne avec la ligne 3. La ligne 3 contient désormais une valeur différente de zéro dans la colonne 3.
Divisez la ligne 3 par le coefficient de la ligne 3 colonne 3 de sorte que le coefficient de la ligne 3 colonne 3 soit égal à 1.
Utilisez la ligne 3 pour que tous les coefficients de la colonne 3 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées en dessous de la ligne 3.
Lorsque la ligne 3 contient un coefficient de 1 dans la colonne 3 et que toutes les autres lignes en dessous contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 3, alors vous avez terminé avec le traitement aval de la colonne 3 et pouvez passer au traitement aval de la colonne 4.

Colonne 4 traitement en aval :
Commencez à partir de la ligne 4, colonne 4.
Divisez la ligne 4 par le coefficient de la ligne 4 colonne 4 de sorte que le coefficient de la ligne 4 colonne 4 soit égal à 1.
Vous en avez terminé avec le traitement en aval de la colonne 4 et pouvez passer au traitement en amont de la colonne 4.

Traitement en amont de la colonne 4 :
Commencez à partir de la ligne 4, colonne 4.
Utilisez la ligne 4 pour que tous les coefficients de la colonne 4 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées au-dessus de la ligne 4.
Lorsque toutes les autres lignes au-dessus de la ligne 4 contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 4, vous avez terminé le traitement en amont de la colonne 4 et vous pouvez passer au traitement en arrière de la colonne 3.

Traitement en amont de la colonne 3 :
Commencez à partir de la ligne 3, colonne 3.
Utilisez la ligne 3 pour que tous les coefficients de la colonne 3 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées au-dessus de la ligne 3.
Lorsque toutes les autres lignes au-dessus de la ligne 3 contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 3, vous avez terminé le traitement en amont de la colonne 3 et vous pouvez passer au traitement en arrière de la colonne 2.

Traitement en amont de la colonne 2 :
Commencez à partir de la ligne 2, colonne 2.
Utilisez la ligne 2 pour que tous les coefficients de la colonne 2 soient égaux à zéro dans toutes les lignes situées au-dessus de la ligne 2.
Lorsque toutes les autres lignes au-dessus de la ligne 2 contiennent un coefficient de 0 dans la colonne 2, alors vous avez terminé. La méthode d'élimination de Gauss-Jordan pour résoudre ce système de quatre équations linéaires à quatre inconnues est terminée.

Nous allons maintenant passer en revue les procédures étape par étape que l'outil mécanisé d'élimination de Gauss-Jordan a utilisé pour résoudre notre système de 4 équations linéaires à 4 inconnues.

Nous allons recommencer tout le processus en commençant par le système d'équations que nous voulons résoudre afin que le référencement soit plus facile.

Le système d'équations linéaires que nous voulons résoudre est indiqué ci-dessous :

À partir de ce système d'équations linéaires, nous créons notre matrice augmentée comme indiqué ci-dessous :

La colonne 1 contient tous les coefficients de w.
La colonne 2 contient tous les coefficients de x.
La colonne 3 contient tous les coefficients de y.
La colonne 4 contient tous les coefficients de z.
La colonne 5 contient tous les résultats (termes constants).
La ligne 1 contient la première équation.
La ligne 2 contient la deuxième équation.
La ligne 3 contient la troisième équation.
La ligne 4 contient la quatrième équation.

Nous exécutons l'outil en cliquant sur le lien suivant :

On rentre le nombre de lignes (4) et le nombre de colonnes (5).

On nous présente une série d'affichages de la matrice originale que nous avons saisie et les résultats étape par étape des procédures utilisées par l'outil mécanisé pour résoudre le problème.

Les affichages étape par étape sont illustrés ci-dessous.

L'affichage numéro 1 vous montre la matrice d'origine telle que nous l'avons entrée dans l'outil mécanisé.

L'affichage numéro 2 vous montre les résultats de l'outil en commençant par la ligne 1 de la colonne 1 et en parcourant jusqu'à ce qu'il trouve une ligne avec une entrée différente de zéro dans la colonne 1, puis en faisant de cette ligne le nouveau numéro de ligne 1. Dans ce cas particulier, la ligne 3 a été la première ligne qui contenait un élément différent de zéro dans la colonne 1. C'est pourquoi la ligne 3 a été échangée avec la ligne 1.

L'affichage numéro 3 vous montre les résultats de l'outil divisant la ligne 1 par 5 de sorte que le coefficient de la ligne 1 colonne 1 devienne 1. Notez que chaque élément de la ligne 1 est divisé par 5. Notez également que le traitement en aval de la colonne 1 est maintenant terminé car la ligne 1 contient un coefficient de 1 et une ligne sur deux en dessous de la ligne 1 contient un coefficient de 0 dans la colonne 1.

L'affichage numéro 4 vous montre les résultats de l'outil en commençant par la ligne 2 de la colonne 2 et en parcourant jusqu'à ce qu'il trouve une ligne avec une entrée différente de zéro dans la colonne 2, puis en faisant de cette ligne le nouveau numéro de ligne 2. Dans ce cas particulier, la ligne 4 a été la première ligne qui contenait un élément différent de zéro dans la colonne 2. C'est pourquoi la ligne 4 a été échangée avec la ligne 2.

L'affichage numéro 5 vous montre les résultats de l'outil divisant la ligne 2 par 4 de sorte que le coefficient de la ligne 2 de la colonne 2 devienne 1. Notez également que le traitement en aval de la colonne 2 est maintenant terminé car la ligne 2 contient un coefficient de 1 dans la colonne 2 et chaque l'autre ligne en dessous de la ligne 2 contient un coefficient de 0 dans la colonne 2.

L'affichage numéro 6 vous montre les résultats de l'outil en commençant par la ligne 3 de la colonne 3 et en parcourant jusqu'à ce qu'il trouve une ligne avec une entrée différente de zéro dans la colonne 3, puis en faisant de cette ligne le nouveau numéro de ligne 3. Dans ce cas particulier, la ligne 4 a été la première ligne qui contenait un élément différent de zéro dans la colonne 3. C'est pourquoi la ligne 4 a été échangée avec la ligne 3.

L'affichage numéro 7 vous montre les résultats de l'outil divisant la ligne 3 par 3 de sorte que le coefficient de la ligne 3 de la colonne 3 devienne 1. Notez également que le traitement en aval de la colonne 3 est maintenant terminé car la ligne 3 contient un coefficient de 1 dans la colonne 3 et chaque l'autre ligne en dessous de la ligne 3 contient un coefficient de 0 dans la colonne 3.

L'affichage numéro 8 vous montre les résultats de l'outil divisant la ligne 4 par 4 de sorte que le coefficient de la ligne 4 colonne 4 devienne 1. Comme il s'agissait de la dernière ligne de la matrice, le traitement avant est effectué et l'outil passe au traitement arrière.

L'affichage numéro 9 vous montre les résultats de l'outil en ajoutant la ligne 4 multipliée par (-1/2) à la ligne 2 afin de rendre le coefficient de la ligne 2 colonne 4 égal à 0. L'outil a sauté la ligne 3 car la ligne 3 colonne 4 est déjà avait un coefficient égal à 0.

L'affichage numéro 10 vous montre les résultats de l'outil en ajoutant la ligne 4 multipliée par (-8/5) à la ligne 1 afin de rendre le coefficient de la ligne 1 colonne 4 égal à 0. Étant donné que toutes les lignes au-dessus de la ligne 4 colonne 4 ont un coefficient de 0 dans la colonne 4, puis le traitement arrière de la colonne 4 est effectué et l'outil passe au traitement arrière de la colonne 3.

L'affichage numéro 11 vous montre les résultats de l'outil en ajoutant la ligne 3 multipliée par (-3/4) à la ligne 2 afin de rendre le coefficient de la ligne 2 colonne 3 égal à 0.

Display Number 12 shows you the results of the tool adding row 3 multiplied by (-7/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 3 equal to 0. Since all the rows above row 3 column 3 have a coefficient of 0 in column 3, then column 3 backward processing is done and the tool moves on to column 2 backwards processing.

Display Number 13 shows you the results of the tool adding row 2 multiplied by (-6/5) to row 1 in order to make the coefficient in row 1 column 2 equal to 0. Since all the rows above row 2 column 2 have a coefficient of 0 in column 2, then column 2 backward processing is done and the tool is finished.

Display Number 13 shows you the final form of the matrix. Column 1 contains a 0 coefficient in all rows except row 1. Column 2 contains a 0 coefficient in all rows except row 2. Column 3 contains a 0 coefficient in all rows except row 3. Column 4 contains a 0 coefficient in all rows except row 4. All the nonzero coefficients are equal to 1. From display number 13, you can immediately go to the solution of the system of linear equations which is:

UNIQUE SOLUTIONS TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

If your matrix is in the final form shown below, then you have a unique solution to the system of linear equations.

r1,r2,r3,r4 are the results of each equation (constant terms).
If column 1 represents w variable and column 2 represents x variable and column 3 represents y variable and column 4 represents z variable and column 5 represents the constant terms (results), then:

represent the unique solution to this system of equations.

If your matrix is not in the final form shown above, then you do not have a unique solution to the system of linear equations.

As you progress through the steps of your matrix, if you encounter a row that has all zeroes in the coefficient part of the matrix, that's a clue that tells you that you will not have a unique solution to your matrix.

Here's an example of a system of linear equations that does not have a unique solution.

Your matrix looks like this:

The mechanized Gauss-Jordan Elimination Method Tool looks like this:

Your inputs are in the top array above the numbered displays.

Display Number 1 shows that you already have a problem. All the columns in the coefficient part of the matrix show 0 which means that the mechanized tool will not be able to find a unique solution to this system of equations.

Display Number 4 shows that the problem can't be resolved any further and is a logical point for stopping the processing since going any further will clearly not produce a unique solution to the problem.

CAUSES OF NOT BEING ABLE TO FIND A UNIQUE SOLUTION TO A SYSTEM OF LINEAR EQUATIONS

With Linear Equations in 2 dimensions, the causes are clear.

The lines represented by the equations are either parallel (no solution), or intersecting in a point (unique solution), or identical (infinite number of solutions).

With Linear Equations in 3 dimensions, the causes get a little muddier.

You can see that the causes of not having a unique solution are getting more complicated to determine.

With Linear Equations in more than 3 dimensions, the all parallel to each other analogy is still there, and the all identical to each other analogy is still there, even though you can't see it. The mixed solutions get more complicated and difficult, if not impossible to visualize.

Once you get systems of linear equations in 3 dimensions or more, the causes of not finding a unique solution become complicated and you are not usually asked to determine them. It is sufficient to know that you either have a unique solution or you don't.

Once you get a row of zeroes in all columns of the coefficient part of the matrix, that's enough to tell you that you will not have a unique solution.

Display Number 2 in the example was that point.

Regardless, if the final form of the matrix is not the way it's supposed to look, you do not have a unique solution to the system of equations.

This assumes you entered the appropriate number of rows and columns.

There is another tool using the Gauss-Jordan Elimination Method worth mentioning, that does not allow you to enter the incorrect number of rows and columns.

This is because it simply asks you for the number of equations.

This tool also will stop the processing when it becomes apparent that you will not have a unique solution to the problem.

The following link will take you to this tool.

We will process this same system of linear equations that did not have a unique solution to show you how this tool would handle it.

Your equations that do not have a unique solution are (once again):

Your matrix looks like this:


The displays from this second tool are shown below:

You can see that this tool stopped when it discovered that there would not be a unique solution to this problem.

Both tools are good training tools and good solution checking tools. Each has its own unique advantages.


How do you solve using gaussian elimination or gauss-jordan elimination, #x +2y +3z = 1#, #2x +5y +7z = 2#, #3x +5y +7z = 4#?

Write an Augmented Matrix .
Perform Elementary Row Operations, until an identity matrix is obtained.
The solutions will be on the right.
Vérifier.

Explication:

Write #x +2y +3z = 1# as a row in an Augmented Matrix:

Add row for the equation #2x +5y +7z = 2# :

Add row for the equation #3x +5y +7z = 4# :

The augmented matrix is complete. Perform Elementary Row Operations.

We want the coefficient in position #(1,1)# to be one and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients is column 1 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(2,2)# to be 1 and it is, therefore, no operation is required.

We want the other two coefficients in column 2 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We want the coefficient in position #(3,3)# to be 1 and it is, therefore, we multiply the row by -1:

We want the other two coefficients in column 3 to be 0, therefore, we perform the following two row operations:

We have an identity matrix on the left, therefore, the solutions are on the right:


Reduced Row Echelon Form of Matrix

Create a matrix and calculate the reduced row echelon form. In this form, the matrix has leading 1s in the pivot position of each column.

The 3-by-3 magic square matrix is full rank, so the reduced row echelon form is an identity matrix.

Now, calculate the reduced row echelon form of the 4-by-4 magic square matrix. Specify two outputs to return the nonzero pivot columns. Since this matrix is rank deficient, the result is not an identity matrix.

Row Reduction of Augmented Matrices

Use Gauss-Jordan elimination on augmented matrices to solve a linear system and calculate the matrix inverse. These techniques are mainly of academic interest, since there are more efficient and numerically stable ways to calculate these values.

Create a 3-by-3 magic square matrix. Add an additional column to the end of the matrix. This augmented matrix represents a linear system Ax = b , with the extra column corresponding to b .

Calculate the reduced row echelon form of A . Index into R to extract the entries in the extra (augmented) column, which contains the solution to the linear system.

A more efficient way to solve this linear system is with the backslash operator, x = A .

Create a similar magic square matrix, but this time append an identity matrix of the same size to the end columns.

Calculate the reduced row echelon form of A . In this form the extra columns contain the inverse matrix for the 3-by-3 magic square matrix.

A more efficient way to calculate the inverse matrix is with inv(A) .

Solve System of Equations

Consider a linear system of equations with four equations and three unknowns.

x 1 + x 2 + 5 x 3 = 6 2 x 1 + x 2 + 8 x 3 = 8 x 1 + 2 x 2 + 7 x 3 = 10 - x 1 + x 2 - x 3 = 2 .

Create an augmented matrix that represents the system of equations.

Use rref to express the system in reduced row echelon form.

The first two rows of R contain equations that express x 1 and x 2 in terms of x 3 . The second two rows imply that there exists at least one solution that fits the right-hand side vector (otherwise one of the equations would read 1 = 0 ). The third column does not contain a pivot, so x 3 is an independent variable. Therefore, there are infinitely many solutions for x 1 and x 2 , and x 3 can be chosen freely.

x 1 = 2 - 3 x 3 x 2 = 4 - 2 x 3 .

For example, if x 3 = 1 , then x 1 = - 1 and x 2 = 2 .

From a numerical standpoint, a more efficient way to solve this system of equations is with x0 = A , which (for a rectangular matrix A ) calculates the least-squares solution. In that case, you can check the accuracy of the solution with norm(A*x0-b)/norm(b) and the uniqueness of the solution by checking if rank(A) is equal to the number of unknowns. If more than one solution exists, then they all have the form of x = x 0 + nt , where n is the null space null(A) and t can be chosen freely.


2 réponses 2

Note that since the matrix multiplication is associative one can do any transformation when he wants, for example you could do the same step that i did in the opposite direction and get the same result, but to make it clearer i've wrote every single step. You can now solve the system just by evaluating the single components. Note that since your matrix has rang $4$ the solution is unique.

Jordan-Gauss elimination is convergent, meaning that however you proceed the normal form is unique. It is also always possible to reduce matrices of rank 4 (I assume yours is) to a normal form with the left 4x4 block being the identity, but the rightmost column cannot be reduced further. If your solution does not match the answer sheet, then you have made a computational error, which is frequent due to the sheer number of operations needed.

For a particular matrix, I could show you how I would reduce it, but I will let your friend WolframAlpha do the comuputation, since this is faster and safer. If you have an account, you can see the procedure step-by-step.

Éditer: WolframAlpha removed the free feature, but I will still use it for checking the work. You made a mistake too, but I corrected it. Now for the show:

Now the 14 has disappeared. I will not write the rest because this is hard and long and I am not even sure I did not make mistakes, so you will want to check my work.

Edit 2: Actually, your corrected matrix is:

You just have to divide by 14. I will leave the process above because the general "trick" has helped me when I did these sorts of exercises.


Voir la vidéo: : Matrices - Gauss elimination - 1 (Décembre 2021).