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1.5 : Factorisation des polynômes - Mathématiques


Objectifs d'apprentissage

Dans cette section, les étudiants devront :

  • Factoriser le plus grand facteur commun d'un polynôme.
  • Factoriser un trinôme.
  • Facteur par regroupement.
  • Factoriser un trinôme carré parfait.
  • Factoriser une différence de carrés.
  • Factoriser la somme et la différence des cubes.
  • Factoriser des expressions à l'aide d'exposants fractionnaires ou négatifs.

Imaginez que nous essayons de trouver la superficie d'une pelouse afin de déterminer la quantité de semences de gazon à acheter. La pelouse est la partie verte de la figure (PageIndex{1}).

L'aire de la région entière peut être trouvée en utilisant la formule de l'aire d'un rectangle.

[egin{align*} A &= lw &= 10x imes6x &= 60x^2; unités^2 end{align*}]

Les superficies des portions qui ne nécessitent pas de semences de graminées doivent être soustraites de la superficie de l'ensemble de la région. Les deux régions carrées ont chacune une aire de (A =s^2=4^2= 16; units^2). L'autre région rectangulaire a un côté de longueur (10x−8) et un côté de longueur (4), donnant une aire de

[A =lw=4(10x−8)=40x−32; ext{unités}^2. pas de numéro]

Ainsi, la région qui doit être soustraite a une superficie de

[2(16)+40x−32= 40x; ext{unités}^2. pas de numéro]

La superficie de la région qui nécessite des semences de graminées est trouvée en soustrayant (60x^2−40x; ext{units}^2). Cette zone peut également être exprimée sous forme factorisée comme (20x (3x−2); ext{units}^2). Nous pouvons confirmer qu'il s'agit d'une expression équivalente en multipliant.

De nombreuses expressions polynomiales peuvent être écrites sous des formes plus simples par factorisation. Dans cette section, nous examinerons une variété de méthodes qui peuvent être utilisées pour factoriser des expressions polynomiales.

Factorisation du plus grand facteur commun d'un polynôme

Lorsque nous étudions les fractions, nous apprenons que le plus grand facteur commun (GCF) de deux nombres est le plus grand nombre qui se divise également en deux nombres. Par exemple, (4) est le GCF de (16) et (20) car c'est le plus grand nombre qui se divise également en (16) et (20) Le GCF des polynômes fonctionne de la même manière : (4x) est le GCF de (16x) et (20x^2) car c'est le plus grand polynôme qui se divise également en (16x) et (20x^2) .

Lors de la factorisation d'une expression polynomiale, notre première étape devrait être de rechercher un GCF. Recherchez le GCF des coefficients, puis recherchez le GCF des variables.

Définition : plus grand facteur commun

le le plus grand facteur commun (GCF) des polynômes est le plus grand polynôme qui se divise uniformément en polynômes.

Howto: Étant donné une expression polynomiale, factorisez le plus grand facteur commun

  1. Identifiez le GCF des coefficients.
  2. Identifiez le GCF des variables.
  3. Combinez pour trouver le GCF de l'expression.
  4. Déterminez par quoi le GCF doit être multiplié pour obtenir chaque terme de l'expression.
  5. Écrivez l'expression factorisée comme le produit du GCF et la somme des termes que nous devons multiplier par.

Exemple (PageIndex{1}) : factorisation du plus grand facteur commun

Facteur (6x^3y^3 +45x^2y^2+21xy).

Solution

Tout d'abord, trouvez le GCF de l'expression. Le GCF de (6), (45) et (21) est (3). Le GCF de (x^3),(x^2) et (x) est (x). (Notez que le GCF d'un ensemble d'expressions sous la forme (x^n) sera toujours l'exposant du degré le plus bas.) Et le GCF de (y^3),(y^2), et (y) est (y). Combinez-les pour trouver le GCF du polynôme, (3xy).

Ensuite, déterminez par quoi le GCF doit être multiplié pour obtenir chaque terme du polynôme. On trouve que

  • (3xy(2x^2y^2)=6x^3y^3),
  • (3xy(15xy)=45x^2y^2), et
  • (3xy(7)=21xy).

Enfin, écrivez l'expression factorisée comme le produit du GCF et la somme des termes par lesquels nous devions multiplier.

[(3xy)(2x^2y^2+15xy+7) onuméro]

Analyse

Après factorisation, nous pouvons vérifier notre travail en multipliant. Utilisez la propriété distributive pour confirmer que

[(3xy)(2x^2y^2+15xy+7)=6x^3y^3+45x^2y^2+21xy onumber]

Exercice (PageIndex{1})

Factorisez (x(b^2−a)+6(b^2−a)) en retirant le GCF.

Répondre

((b^2−a)(x+6))

Factorisation d'un trinôme avec coefficient dominant 1

Bien que nous devions toujours commencer par rechercher un GCF, extraire le GCF n'est pas le seul moyen de factoriser des expressions polynomiales. Le polynôme (x^2+5x+6) a un GCF de (1), mais il peut être écrit comme le produit des facteurs ((x+2)) et ((x+3 )).

Les trinômes de la forme (x^2+bx+c) peuvent être factorisés en trouvant deux nombres avec un produit de (c) et une somme de (b). Le trinôme (x^2+10x+16), par exemple, peut être factorisé en utilisant les nombres (2) et (8) car le produit de ces nombres est (16) et leur somme est (dix). Le trinôme peut être réécrit comme le produit de ((x+2)) et ((x+8)).

FACTORISATION D'UN TRINOMIE AVEC COEFFICIENT MAJEUR (1)

Un trinôme de la forme (x^2+bx+c) peut être écrit sous forme factorisée comme ((x+p)(x+q)) où (pq=c) et (p+ q=b).

Q&R : Chaque trinôme peut-il être factorisé comme un produit de binômes ?

Non. Certains polynômes ne peuvent pas être factorisés. Ces polynômes sont dits premier.

Howto: Étant donné un trinôme sous la forme (x^2+bx+c), factorisez-le

  1. Liste des facteurs de (c).
  2. Trouvez (p) et (q), une paire de facteurs de (c) avec une somme de (b).
  3. Écrivez l'expression factorisée ((x+p)(x+q)).

Exemple (PageIndex{2}) : factorisation d'un trinôme avec le coefficient de tête 1

Facteur (x^2+2x−15).

Solution

On a un trinôme de coefficient dominant (1), (b=2) et (c=−15). Nous devons trouver deux nombres avec un produit de (−15) et une somme de (2). Dans le tableau (PageIndex{1}), nous répertorions les facteurs jusqu'à ce que nous trouvions une paire avec la somme souhaitée.

Tableau (PageIndex{1})
Facteurs de −15Somme des facteurs
1,−15−14
−1,1514
3,−5−2
−3,5

Maintenant que nous avons identifié (p) et (q) comme (−3) et (5), écrivez la forme factorisée comme ((x−3)(x+5)).

Analyse

Nous pouvons vérifier notre travail en multipliant. Utilisez FOIL pour confirmer que ((x−3)(x+5)=x^2+2x−15).

Q&R : L'ordre des facteurs est-il important ?

Non. La multiplication est commutative, donc l'ordre des facteurs n'a pas d'importance.

Exercice (PageIndex{2})

Facteur (x^2−7x+6).

Répondre

((x−6)(x−1))

Affacturage par regroupement

Les trinômes avec des coefficients dominants autres que (1) sont légèrement plus compliqués à factoriser. Pour ces trinômes, on peut facteur par regroupement en divisant le terme x en la somme de deux termes, en factorisant chaque partie de l'expression séparément, puis en factorisant le GCF de l'expression entière. Le trinôme (2x^2+5x+3) peut être réécrit sous la forme ((2x+3)(x+1)) en utilisant ce processus. Nous commençons par réécrire l'expression originale sous la forme (2x^2+2x+3x+3) puis factorisons chaque partie de l'expression pour obtenir (2x(x+1)+3(x+1)). Nous extrayons ensuite le GCF de ((x+1)) pour trouver l'expression factorisée.

Facteur par regroupement

Pour factoriser un trinôme sous la forme (ax^2+bx+c) par regroupement, on trouve deux nombres avec un produit de (ac) et une somme de (b). Nous utilisons ces nombres pour diviser le terme (x) en la somme de deux termes et factoriser chaque partie de l'expression séparément, puis factoriser le GCF de l'expression entière.

Howto : Étant donné un trinôme sous la forme (ax^2+bx+c), factoriser par groupement.

  1. Liste des facteurs de (ac).
  2. Trouvez (p) et (q), une paire de facteurs de (ac) avec une somme de (b).
  3. Réécrivez l'expression d'origine sous la forme (ax^2+px+qx+c).
  4. Extrayez le GCF de (ax^2+px).
  5. Retirez le GCF de (qx+c).
  6. Factorisez le GCF de l'expression.

Exemple (PageIndex{3}) : factoriser un trinôme par regroupement

Factorisez (5x^2+7x−6) par regroupement.

Solution

On a un trinôme avec (a=5),(b=7), et (c=−6). Tout d'abord, déterminez (ac=−30). Nous devons trouver deux nombres avec un produit de (−30) et une somme de (7). Dans le tableau ci-dessous, nous listons les facteurs jusqu'à ce que nous trouvions une paire avec la somme souhaitée.

Tableau (PageIndex{2})
Facteurs de -30Somme des facteurs
1,−30−29
−1,3029
2,−15−13
−2,1513
3,−10−7
−3,107

Donc (p=−3) et (q=10).

(5x^2−3x+10x−6) Réécrivez l'expression originale sous la forme (ax^2+px+qx+c).

(x(5x−3)+2(5x−3)) Factoriser le GCF de chaque partie

((5x−3)(x+2)) Factorisez le GCF de l'expression.

Analyse

Nous pouvons vérifier notre travail en multipliant. Utilisez FOIL pour confirmer que ((5x−3)(x+2)=5x^2+7x−6).

Exercice (PageIndex{3})

Facteur:

  1. (2x^2+9x+9)
  2. (6x^2+x−1)
Répondre à un

((2x+3)(x+3))

Réponse b

((3x-1)(2x+1))

Factorisation d'un trinôme carré parfait

Un trinôme carré parfait est un trinôme qui peut s'écrire comme le carré d'un binôme. Rappelons que lorsqu'un binôme est mis au carré, le résultat est le carré du premier terme additionné de deux fois le produit des deux termes et le carré du dernier terme.

[a^2+2ab+b^2={(a+b)}^2]

et

[a^2-2ab+b^2={(a-b)}^2]

Nous pouvons utiliser cette équation pour factoriser tout trinôme carré parfait.

Trinômes carrés parfaits

Un trinôme carré parfait peut être écrit comme le carré d'un binôme :

[a^2+2ab+b^2=(a+b)^2]

Howto: Étant donné un trinôme carré parfait, factorisez-le dans le carré d'un binôme

  1. Confirmez que le premier et le dernier terme sont des carrés parfaits.
  2. Confirmez que le moyen terme est le double du produit de (ab).
  3. Écrivez la forme factorisée sous la forme ({(a+b)}^2).

Exemple (PageIndex{4}): Factorisation d'un trinôme carré parfait

Facteur (25x^2+20x+4).

Solution

Notez que (25x^2) et (4) sont des carrés parfaits car (25x^2={(5x)}^2) et (4=2^2). Vérifiez ensuite si le terme moyen est le double du produit de (5x) et de (2). Le moyen terme est en effet le double du produit : (2(5x)(2)=20x). Par conséquent, le trinôme est un trinôme carré parfait et peut être écrit comme ({(5x+2)}^2).

Exercice (PageIndex{4})

Facteur (49x^2−14x+1).

Répondre

({(7x−1)}^2)

Factorisation d'une différence de carrés

Une différence de carrés est un carré parfait soustrait d'un carré parfait. Rappelons qu'une différence de carrés peut être réécrite comme des facteurs contenant les mêmes termes mais des signes opposés car les termes du milieu s'annulent lorsque les deux facteurs sont multipliés.

[a^2−b^2=(a+b)(a−b)]

Nous pouvons utiliser cette équation pour factoriser toutes les différences de carrés.

Différences de carrés

Une différence de carrés peut être réécrite comme deux facteurs contenant les mêmes termes mais des signes opposés.

[a^2−b^2=(a+b)(a−b)]

Howto: Étant donné une différence de carrés, factorisez-la en binômes

  1. Confirmez que le premier et le dernier terme sont des carrés parfaits.
  2. Écrivez la forme factorisée sous la forme ((a+b)(a−b)).

Exemple (PageIndex{5}) : factoriser une différence de carrés

Facteur (9x^2−25).

Solution

Notez que (9x^2) et (25) sont des carrés parfaits car (9x^2={(3x)}^2) et (25=5^2). Le polynôme représente une différence de carrés et peut être réécrit comme ((3x+5)(3x−5)).

Exercice (PageIndex{5})

Facteur (81y^2−100).

Répondre

((9a+10)(9a−10))

Q&R : Existe-t-il une formule pour factoriser la somme des carrés ?

Non. Une somme de carrés ne peut pas être factorisée.

Factorisation de la somme et de la différence des cubes

Maintenant, nous allons examiner deux nouveaux produits spéciaux : la somme et la différence de cubes. Bien que la somme des carrés ne puisse pas être factorisée, la somme des cubes peut être factorisée en un binôme et un trinôme.

[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)]

De même, la somme des cubes peut être factorisée en un binôme et un trinôme, mais avec des signes différents.

[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)]

Nous pouvons utiliser l'acronyme SOAP pour retenir les signes lors de la factorisation de la somme ou de la différence de cubes. La première lettre de chaque mot se rapporte aux signes : Même Opposé Toujours Positif. Par exemple, considérons l'exemple suivant.

[x^3−2^3=(x−2)(x^2+2x+4)]

Le signe des 2 premiers est le même que le signe entre (x^3−2^3). Le signe du terme (2x) est opposé au signe entre (x^3−2^3). Et le signe du dernier terme, (4), est toujours positif.

Somme et différence de cubes

On peut factoriser la somme de deux cubes comme

[a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)]

On peut factoriser la différence de deux cubes comme

[a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2)]

Howto: Étant donné une somme de cubes ou une différence de cubes, factorisez-la

  1. Confirmez que le premier et le dernier terme sont des cubes, (a^3+b^3) ou (a^3−b^3).
  2. Pour une somme de cubes, écrivez la forme factorisée sous la forme ((a+b)(a^2−ab+b^2)). Pour une différence de cubes, écrivez la forme factorisée comme ((a−b)(a^2+ab+b^2)).

Exemple (PageIndex{6}) : factoriser une somme de cubes

Facteur (x^3+512).

Solution

Notez que (x^3) et (512) sont des cubes car (8^3=512). Réécrivez la somme des cubes sous la forme ((x+8)(x^2−8x+64)).

Analyse

Après avoir écrit la somme des cubes de cette façon, nous pourrions penser que nous devrions vérifier si la partie trinôme peut être davantage factorisée. Cependant, la partie trinôme ne peut pas être factorisée, nous n'avons donc pas besoin de vérifier.

Exercice (PageIndex{6})

Factoriser la somme des cubes : (216a^3+b^3).

Répondre

((6a+b)(36a^2−6ab+b^2))

Exemple (PageIndex{7}) : factoriser une différence de cubes

Facteur (8x^3−125).

Solution

Notez que (8x^3) et (125) sont des cubes car (8x^3={(2x)}^3) et (125=5^3). Écrivez la différence des cubes sous la forme ((2x−5)(4x^2+10x+25)).

Analyse

Tout comme pour la somme des cubes, nous ne pourrons pas factoriser davantage la partie trinôme.

Exercice (PageIndex{7})

Factoriser la différence de cubes : (1000x^3−1)

Répondre

((10x−1)(100x^2+10x+1))

Factorisation d'expressions avec des exposants fractionnaires ou négatifs

Les expressions avec des exposants fractionnaires ou négatifs peuvent être factorisées en extrayant un GCF. Recherchez la variable ou l'exposant qui est commun à chaque terme de l'expression et retirez cette variable ou cet exposant élevé à la puissance la plus faible. Ces expressions suivent les mêmes règles de factorisation que celles avec des exposants entiers. Par exemple, (2x^{ frac{1}{4}}+5x^{ frac{3}{4}}) peut être factorisé en retirant (x^{ frac{1}{4 }}) et en cours de réécriture sous la forme (x^{ frac{1}{4}}(2+5x^{ frac{1}{2}})).

Exemple (PageIndex{8}): Factorisation d'une expression avec des exposants fractionnaires ou négatifs

Facteur (3x{(x+2)}^{- frac{1}{3}}+4{(x+2)}^{ frac{2}{3}}).

Solution

Factoriser le terme avec la valeur la plus faible de l'exposant. Dans ce cas, ce serait ({(x+2)}^{- frac{1}{3}}).

[egin{align*} &(x+2)^{- frac{1}{3}}(3x+4(x+2))qquad ext{ Factoriser le GCF } &( x+2)^{- frac{1}{3}}(3x+4x+8)qquad ext{Simplifier } &(x+2)^{- frac{1}{3}} (7x+8) end{align*}]

Exercice (PageIndex{8})

Facteur (2{(5a−1)}^{ frac{3}{4}}+7a{(5a−1)}^{− frac{1}{4}}).

Répondre

({(5a−1)}^{− frac{1}{4}}(17a−2))

Équations clés

différence de carrés(a^2−b^2=(a+b)(a−b))
trinôme carré parfait(a^2+2ab+b^2=(a+b)^2)
somme de cubes(a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2))
différence de cubes(a^3−b^3=(a−b)(a^2+ab+b^2))
  • Le plus grand facteur commun, ou GCF, peut être factorisé à partir d'un polynôme. Voir Exemple.
  • Les trinômes avec le coefficient dominant 1 peuvent être factorisés en trouvant des nombres qui ont un produit du troisième terme et une somme du deuxième terme. Voir Exemple.
  • Les trinômes peuvent être factorisés en utilisant un processus appelé factorisation par groupement. Voir Exemple.
  • Les trinômes carrés parfaits et la différence de carrés sont des produits spéciaux et peuvent être factorisés à l'aide d'équations. Voir Exemple et Exemple.
  • La somme des cubes et la différence des cubes peuvent être factorisées à l'aide d'équations. Voir Exemple et Exemple.
  • Les polynômes contenant des exposants fractionnaires et négatifs peuvent être factorisés en extrayant un GCF. Voir Exemple.

1.5 : Factorisation des polynômes - Mathématiques

Nous avons appris diverses techniques pour factoriser des polynômes comportant jusqu'à quatre termes. Le défi consiste à identifier le type de polynôme, puis à décider quelle méthode appliquer. Ce qui suit décrit une directive générale pour la factorisation des polynômes :

    Vérifiez les facteurs communs. Si les termes ont des facteurs communs, alors factorisez le plus grand facteur commun (GCF).

Déterminer le nombre de termes du polynôme.

  1. Factoriser les polynômes à quatre termes en les regroupant.
  2. Factoriser des trinômes (3 termes) en utilisant la méthode « essai et erreur » ou la méthode AC.

Factoriser les binômes (2 termes) en utilisant les produits spéciaux suivants :

Noter: Si un binôme est à la fois une différence de carrés et une différence de cubes, alors factorisez-le d'abord comme différence de carrés. Cela se traduira par une factorisation plus complète. De plus, tous les polynômes à coefficients entiers ne sont pas pris en compte. Lorsque c'est le cas, on dit que le polynôme est premier.

Si une expression a un GCF, factorisez-le en premier. Cela est souvent négligé et entraîne généralement des facteurs avec lesquels il est plus facile de travailler. De plus, recherchez les facteurs résultants pour factoriser davantage, de nombreux problèmes de factorisation nécessitent plus d'une étape. Un polynôme est complètement factorisé lorsqu'aucun des facteurs ne peut être davantage factorisé.

Exemple 1

Facteur : 54 x 4 − 36 x 3 − 24 x 2 + 16 x .

Ce polynôme à quatre termes a un GCF de 2 x . Tenez compte de cela en premier.

54 x 4 - 36 x 3 - 24 x 2 + 16 x = 2 x ( 27 x 3 - 18 x 2 - 12 x + 8 )

Maintenant, factorisez le polynôme à quatre termes résultant en le groupant et recherchez les facteurs résultants à factoriser davantage.

Réponse : 2 x ( 3 x − 2 ) 2 ( 3 x + 2 ) . Le chèque est laissé au lecteur.

Exemple 2

Ce trinôme n'a pas de GCF.

x 4 − 3 x 2 − 4 = ( x 2 ) ( x 2 ) = ( x 2 + 1 ) ( x 2 − 4 ) D i f f e r e n c e d e s q u a r e s = ( x 2 + 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 )

Le facteur ( x 2 + 1 ) est premier et le trinôme est complètement factorisé.

Réponse : ( x 2 + 1 ) ( x + 2 ) ( x − 2 )

Exemple 3

Commencez par factoriser x 6 = x 3 x 3 et recherchez les facteurs de 16 qui s'ajoutent à 6.

x 6 + 6 x 3 − 16 = ( x 3 ) ( x 3 ) = ( x 3 − 2 ) ( x 3 + 8 ) somme des cubes = ( x 3 − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 − 2 x + 4 )

Le facteur ( x 3 − 2 ) ne peut plus être factorisé à l'aide d'entiers et la factorisation est terminée.

Réponse : ( x 3 − 2 ) ( x + 2 ) ( x 2 + 2 x + 4 )

Essaye ça! Facteur : 9 x 4 + 17 x 2 − 2

Réponse : ( 3 x + 1 ) ( 3 x − 1 ) ( x 2 + 2 )


2 réponses 2

$mathbb[X](5X - 1) cong mathbb[1/5]$ puisque l'image de $X$ est un inverse multiplicatif de $5$. Chaque élément $mathbb[1/5]$ est de la forme $a/5^e$ où $a$ et $e$ sont des entiers.

Cependant, $mathbb[1/5]$ n'est pas une dimension $2$ (en réalité vous devriez dire rang $2$) $mathbb$-module. Premièrement, il n'est pas généré de manière finie : tout $mathbb finiLa combinaison $-linéaire d'éléments de la forme $a/5^e$ aura un dénominateur borné, et $mathbb[1/5]$ contient des éléments dont les dénominateurs sont des puissances arbitrairement grandes de 5$. Deuxièmement, ce n'est pas un $mathbb gratuit$-module, car il y aura une relation linéaire entre n'importe quel ensemble de générateurs. Étant donné deux éléments $a_1/5^, a_2/5^ in mathbb[1/5]$, nous avons $ a_2 5^ cdot frac<5^> - a_1 5^ frac<5^> = 0 , . $


Solutions de factorisation des polynômes par facteur commun Questions avec des solutions détaillées

Solution
a) Trouvez des facteurs communs aux deux termes de - 3x + 9 en exprimant les deux termes 3 fois et 9 dans le binôme donné comme factorisation première.
- 3 x + 9 = - 3 x - 3 3
Le plus grand facteur commun est 3 et est pris en compte. D'où
- 3x + 9 = 3 (- x + 3) = - 3 (x - 3)

b) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 28x + 2x2 .
28 x + 2 x 2 = 2 2 7 x + 2 x x
Le plus grand facteur commun est 2 x et est pris en compte. D'où
28 x + 2 x 2 = 2 x (14 + x)

c) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 11 x y + 55 x 2 ans.
11 x y + 55 x 2 y = 11 x y + 5 11 x x y
Le plus grand facteur commun est 11 x y et est pris en compte. D'où
11 x y + 55 x 2 y = 11 x y (1 + 5 x)

d) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 .
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 2 2 5 x y + 5 7 x x y - 3 5 x y y
Le plus grand facteur commun est 5 x y et est factorisé. D'où
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 5 x y ( 4 + 7 x - 3 y)

e) On commence par factoriser le facteur commun (x + 1) dans le polynôme donné.
5 y (x + 1) + 10 y 2 (x + 1) - 15 x y (x + 1) = (x + 1)(5y + 10y 2 - 15 x y)
On factorise maintenant le polynôme 5 ans + 10 ans 2 - 15 x y en utilisant le GCF pour les trois termes.

5 ans + 10 ans 2 - 15 x y = 5 y + 2 5 y y - 3 5 y x = 5 y (1 + 2 y - 3 x)
Le polynôme donné peut être factorisé comme suit.
5 y (x + 1) + 10 y 2 (x + 1) - 15 x y (x + 1) = 5 y(x + 1)(1 + 2y - 3 x)


Comment factoriser des polynômes

Apprendre à factoriser des polynômes ne doit pas être difficile. Grade A décomposera les étapes pour vous, vous montrera des exemples simples avec des illustrations visuelles, et vous donnera également quelques trucs et astuces intelligents.

Utilisez les étapes suivantes pour factoriser vos polynômes:

1) Sortez le GCF si possible

2) Identifier le nombre de termes

3) Vérifier en multipliant

Voulez-vous savoir comment résoudre des équations quadratiques (ex: X 2 + 8X + 15 = 0 ) ? Apprenez à résoudre des équations quadratiques, qui est un type de problème différent de la factorisation, donc cela nécessite un processus différent.

Binômes de factorisation : la différence de deux carrés

N'oubliez pas de toujours prendre en compte un GCF en premier. Parfois, c'est la seule partie du binôme qui peut être factorisée. Une fois que vous avez vérifié le GCF, vous pouvez passer à la résolution du problème :

Si vous suivez un cours d'algèbre de base, vous n'avez probablement besoin de connaître qu'un seul type de factorisation lorsque vous avez deux termes : cela s'appelle la différence de deux carrés. Vous devez savoir comment factoriser la différence de deux carrés si vous voulez savoir comment factoriser des polynômes.

L'exemple ci-dessus est un problème de factorisation très courant. C'est ce qu'on appelle la différence de deux carrés car c'est un problème de soustraction ("la différence" indique une soustraction) et ce sont des carrés parfaits entre il y a un certain nombre de fois lui-même qui vous donne ce nombre. En savoir plus sur les carrés parfaits.

Voici quelques autres exemples de différence de deux carrés :

Étape 1: Trouvez la racine carrée de chaque terme.

Étape 2: Facteur en deux binômes - un plus et un moins.

X 2 - 16 facteurs à (X + 4)(X - 4)

4X 2 - 49 facteurs à (2X + 7)(2X - 7)

Remarquez comment chaque facteur se décompose en .

Comme vous pouvez le voir, il est assez facile de prendre en compte la différence de deux carrés lorsque vous la décomposez en quelques étapes. La section suivante est un peu plus avancée, mais la plupart des classes d'algèbre 1 ne couvrent pas la somme et la différence de deux cubes, vous pourrez donc peut-être sauter cette section.

Factorisation binomiale avancée : somme/différence de cubes

Différence de 2 Cubes : (X 3 − oui 3 ) = (Xoui)(X 2 + xy + oui 2 )

Somme de 2 cubes : (X 3 + oui 3 ) = (X + oui)(X 2 − xy + oui 2 )

Vous pouvez factoriser la somme de 2 cubes, mais vous ne peux pas factoriser la somme de 2 carrés !

Factorisation des trinômes : Guess & Check ou la méthode britannique

Méthode 1: Devinez et vérifiez. Ceci est mieux utilisé lorsque le une la valeur est 1 (plus d'infos).

N'oubliez pas qu'une fois que vous avez trouvé les valeurs, vous n'avez pas encore tout à fait terminé. Parce que vous utilisez une méthode impliquant "deviner", vous voulez vérifier pour être sûr que vous avez raison. Le moyen le plus simple de vérifier un problème comme celui-ci est de multiplier les binômes avec le système mathématique FOIL et de voir si vous obtenez le problème d'origine.

Méthode 2: La méthode britannique : mieux utilisée lorsque le une la valeur est > 1 (plus d'infos).

La plupart des étudiants débutants préfèrent cette méthode lorsqu'ils essaient d'apprendre à factoriser des polynômes. La méthode britannique est beaucoup plus procédurale et fonctionnera toujours !

Alors, de toutes les façons de factoriser des polynômes, aimez-vous la méthode britannique ?

Maintenant que vous savez comment factoriser des polynômes, vous pouvez également examiner le processus inverse de la factorisation : ce processus est souvent appelé DÉJOUERing.


1.5 : Factorisation des polynômes - Mathématiques

Cette section traite des polynômes qui n'ont que des coefficients entiers.

est un polynôme à coefficients entiers, le polynôme

n'a pas que des coefficients entiers !

Vous apprendrez à trouver toutes ces racines de ces polynômes, qui sont des nombres rationnels, tels que

Ce n'est pas simplement un exercice ésotérique. Supposons que vous vouliez factoriser le polynôme

Il existe une formule générale pour les racines d'un polynôme de degré 4, mais elle est TRÈS fastidieuse à appliquer. Il se trouve que dans ce cas x =1 et x =-1 sont deux zéros rationnels (=deux racines, qui sont des nombres rationnels). Vous souvenez-vous comment vérifier cela? Dire que x =1 est une racine de P ( x ) revient à dire que P (1)=0.

Cela signifie que ( x -1)( x +1) se divise uniformément en

ainsi, après une longue division polynomiale, il nous reste à factoriser un polynôme quadratique, qui dans ce cas s'avère avoir les racines complexes . (Vérifiez les détails!)

Supposons que le polynôme a une racine rationnelle, appelons-la . Je supposerai que p et q sont premiers entre eux, c'est-à-dire que la fraction est réduite aux termes les plus bas.

Ce que nous allons faire est quelque peu similaire à la "factorisation en devinant" des polynômes quadratiques.

Puisque est supposée être une racine de P ( x ), nous savons que :

Si on multiplie les deux côtés par , on obtient :

Transférez le de l'autre côté et factorisez un p sur la gauche :

Maintenant, le côté gauche est divisible par p par conséquent, est divisible par p . Puisque p ne divise pas q , il ne divise pas , donc p divise 2, c'est-à-dire ou .

Cette fois, nous transférons tout sauf le premier terme de l'autre côté et factorisons un q du côté droit :

Or le côté droit est divisible par q par conséquent, le côté gauche, le terme est divisible par q . Puisque p et q sont premiers entre eux, cela signifie que q divise 1 , c'est-à-dire .

Qu'avons-nous montré ? Chaque racine rationnelle de P ( x ) est l'un des 4 choix suivants : . (ce sont les quatre seuls nombres avec p divisant 2 et q divisant 1).

Nous pouvons maintenant vérifier chacun d'eux :

Par conséquent, le polynôme a 2 racines rationnelles : x =1 et x =-1 sont les seuls zéros rationnels du polynôme P ( x ).

Notez que dans notre exemple, le coefficient dominant était 1 et le terme constant était -2. Ce sont vraiment les deux seules informations dont nous avions besoin pour trouver tous les zéros rationnels :

est un polynôme à coefficients entiers et est un zéro rationnel de P ( x ). Puis

Trouver tous les zéros rationnels de

Le coefficient dominant est 6, le coefficient constant est -2. Si ce polynôme a des zéros rationnels , alors p divise -2 et q divise 6. Ainsi nous avons les choix suivants pour p : pour q nos choix sont : .

Les candidats aux zéros rationnels sont (par ordre de grandeur décroissant) :

Vous devez maintenant vérifier lesquelles (le cas échéant) de ces 12 valeurs sont en fait des racines de P ( x ). Le faire à la main sera fastidieux. Avoir une calculatrice graphique est pratique ici est le graphique de P ( x ) pour la région qui nous intéresse, pour des valeurs de x comprises entre -2 et 2.

Il n'y a que des racines proches de x =-1/2 et proches de x =2/3. Cela réduit notre liste de candidats à seulement deux en branchant ces valeurs dans le polynôme, nous voyons que P (-1/2)=0 et P (2/3)=0, donc les deux sont bien des zéros rationnels. (Vous devez effectuer cette dernière étape ! Il se pourrait que P ( x ) n'ait pas de racine rationnelle à 2/3, mais une racine irrationnelle très proche de 2/3. Vous ne seriez pas capable de distinguer entre ces deux cas juste en regardant le graphique.)

complètement sur les nombres réels.

Trouvons tous les zéros rationnels : ils ont tous la forme , où p divise le terme constant -2, et q divise le coefficient dominant 5. Les choix pour p sont , les choix pour q sont . Cela laisse huit choix possibles pour les zéros rationnels :

Si on enfiche ces valeurs dans le polynôme P ( x ), on obtient

tandis que pour les cinq autres choix.

se divise également en P ( x ). Si nous effectuons une division longue polynomiale, nous voyons que

En utilisant la formule quadratique que nous trouvons, qui a les racines réelles

En mettant tout cela ensemble, nous obtenons la factorisation suivante pour P ( x ) :


Des questions

Solutions aux questions ci-dessus

a) Trouvez des facteurs communs aux deux termes de - 3x + 9 en exprimant les deux termes 3 fois et 9 dans le binôme donné comme factorisation première.
- 3 x + 9 = - 3 x - 3 3
Le plus grand facteur commun est 3 et est pris en compte. D'où
- 3x + 9 = 3 (- x + 3) = - 3 (x - 3)

b) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 28x + 2x2 .
28 x + 2 x 2 = 2 2 7 x + 2 x x
Le plus grand facteur commun est 2 x et est pris en compte. D'où
28 x + 2 x 2 = 2 x (14 + x)

c) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 11 x y + 55 x 2 ans.
11 x y + 55 x 2 y = 11 x y + 5 11 x x y
Le plus grand facteur commun est 11 x y et est pris en compte. D'où
11 x y + 55 x 2 y = 11 x y (1 + 5 x)

d) Écris la factorisation première de chacun des termes du polynôme donné 20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 .
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 2 2 5 x y + 5 7 x x y - 3 5 x y y
Le plus grand facteur commun est 5 x y et est factorisé. D'où
20 x y + 35 x 2 y - 15 x y 2 = 5 x y ( 4 + 7 x - 3 y)

e) On commence par factoriser le facteur commun (x + 1) dans le polynôme donné.
5 y (x + 1) + 10 y 2 (x + 1) - 15 x y (x + 1) = (x + 1)(5y + 10y 2 - 15 x y)
On factorise maintenant le polynôme 5 ans + 10 ans 2 - 15 x y en utilisant le GCF pour les trois termes.
5 ans + 10 ans 2 - 15 x y = 5 y + 2 5 y y - 3 5 y x = 5 y (1 + 2 y - 3 x)
Le polynôme donné peut être factorisé comme suit.
5 y (x + 1) + 10 y 2 (x + 1) - 15 x y (x + 1) = 5 y(x + 1)(1 + 2y - 3 x)


Mathématiques Mathématiques pré-calcul au Nebraska

Dans la section précédente, nous avons défini des polynômes et pratiqué la multiplication de deux polynômes ensemble. Étant donné un polynôme, il est souvent utile de « reculer » en l'écrivant comme un produit de deux polynômes.

Dans cette section, vous le ferez.

apprendre ce que signifie un polynôme

apprendre trois techniques de factorisation, à savoir

factoriser les différents carrés

Le processus d'écriture d'un nombre ou d'une expression en tant que produit s'appelle . Si on écrit le monôme (8x^7=2x^5cdot 4x^2 ext<,>) on dit que le produit (2x^5cdot 4x^2) est une factorisation de (8x ^7) et que (2x^5) et (4x^2) sont . En règle générale, il existe de nombreuses façons de factoriser un monôme. Certaines factorisations de (8x^7) sont

Étant donné deux ou plusieurs monômes, il sera utile de trouver le de chacun. Le GCF des monômes est le produit des facteurs variables communs et le GCF des coefficients.

Exemple 142

Trouvez le GCF de (25x^7y^2z) et (15x^3y^4z^2 ext<.>)

On commence par trouver le GCF des coefficients. Dans ce cas, (25=5cdot 5) et (15=3cdot 5 ext<.>) Il doit être clair que GCF((25,15)=5 ext<.> )

Ensuite, nous déterminons les facteurs variables communs avec les plus petits exposants.

Les facteurs variables communs sont (x^3 ext<,>) (y^2) et (z ext<.>) Par conséquent, étant donné les deux monômes,

Il convient de souligner que le GCF divise les deux expressions de manière égale.

De plus, nous pouvons écrire ce qui suit :

Les facteurs (5x^4) et (3y^2z) ne partagent aucun facteur commun autre que 1 ils sont .

Exemple 143

Déterminer le GCF des trois expressions suivantes : (12a^5b^2(a+b)^5,, 60a^4b^3c(a+b)^3 ext<,>) et (24a^ 2b^7c^3(a+b)^2 exte<.>)

On commence par trouver le GCF des coefficients. Pour ce faire, déterminez la factorisation première de chacun puis multipliez les facteurs communs avec les plus petits exposants.

Par conséquent, le GCF des coefficients des trois monômes est

Ensuite, nous déterminons les facteurs communs des variables.

Les facteurs variables en commun sont (a^2, b^2) et ((a+b)^2 ext<.>) Par conséquent,

Sous-section Prise en compte du GCF

L'application de la propriété distributive est la clé de la multiplication des polynômes. Par example,

Le processus de factorisation d'un polynôme consiste à appliquer la propriété distributive à l'envers pour écrire chaque polynôme comme un produit de facteurs polynomiaux.

On voit que la propriété distributive permet d'écrire le polynôme (12x^2y^3+6xy^2) comme un produit de deux facteurs (6xy^2) et ((2xy+1) ext<. >) Notez que dans ce cas, (6xy^2) est le GCF des termes du polynôme : GCF((12x^2y^3,6xy^2)=6xy^2 ext<.> )

La factorisation du plus grand facteur commun (GCF) d'un polynôme consiste à le réécrire comme un produit où un facteur est le GCF de tous ses termes.

Pour factoriser le GCF d'un polynôme, nous déterminons d'abord le GCF de tous ses termes. Ensuite, nous pouvons diviser chaque terme du polynôme par ce facteur afin de déterminer le facteur restant après avoir appliqué la propriété de distribution à l'envers.

Exemple 144

Factorisez le GCF du polynôme (18x^7-30x^5+6x^3 ext<.>)

Dans ce cas, le GCF((18,, 30,, 6) = 6 ext<,>) et le facteur variable commun avec le plus petit exposant est (x^3 ext<.>) Le GCF du polynôme est (6x^3 ext<.>)

Le facteur manquant peut être trouvé en divisant chaque terme de l'expression originale par le GCF.

Maintenant, nous appliquons la propriété distributive (en sens inverse) en utilisant les termes trouvés à l'étape précédente.

Si le GCF est le même que l'un des termes, alors, après que le GCF est factorisé, un terme constant 1 restera. L'importance de se souvenir du terme constant devient claire lors de la vérification à l'aide de la propriété distributive.

La factorisation du GCF donne (6x^3(3x^4-5x^2+1) ext<.>)

Exemple 145

Factorisez le GCF du polynôme (27^5y^5z+54x^5yz-63x^3y^4 ext<.>)

The GCF of the terms is (9x^3y ext<.>) The last term does not have a variable factor of (z ext<,>) and thus (z) cannot be a part of the greatest common factor. If we divide each term by (9x^3y ext<,>) we obtain

Factoring out the GCF results in (9x^3y(3x^2y^4z+6x^2z-7y^3) ext<.>)

Example 146

Factor out the GCF of the polynomial (12x^3y^4-6x^2y^3-3xy^2 ext<.>)

The GCF of the terms is (3xy^2 ext<.>) Pulling (3xy^2) out of each term, we obtain

Subsection Factoring by Grouping

In this section, we outline a technique for factoring polynomials with four terms. First, review a preliminary example where the terms have a common binomial factor.

Example 147

We begin by rewriting the second term (-(3x-2)) as (-1(3x-2) ext<.>) Next, consider ((3x-2)) as a common binomial factor and factor it out as follows:

Factoring results in (7x(3x-2)-(3x-2)=(3x-2)(7x-1) ext<.>)

Factoring by grouping is a technique that enables us to factor polynomials with four terms into a product of binomials. This involves an intermediate step where a common binomial factor will be factored out. For example, suppose we wish to factor

We begin by grouping the first two terms and the last two terms. Then factor out the GCF of each grouping:

In this form, the polynomial is a binomial with a common binomial factor, ((x-4) ext<.>)

We can check our answer by multiplying:

Example 148

Factor the polynomial (24a^4-18a^3-20a+15) by grouping.

The GCF for the first group, (24a^4-18a^3 ext<,>) is (6a^3 ext<.>) We have to choose (5) or (-5) to factor out of the second group.

Factoring out (+5) does not result in a common binomial factor. If we choose to factor out (-5 ext<,>) then we obtain a common binomial factor and can proceed. Note that when factoring out a negative number, we change the signs of the factored terms.

Factoring (24a^4-18a^3-20a+15) results in (24a^4-18a^3-20a+15=(4a-3)(6a^3-5) ext<.>)

Sometimes we must first rearrange the terms in order to obtain a common factor.

Example 149

If we simply factor the GCF out of the first group and last group, we do not get a common binomial factor.

We must rearrange the terms, searching for a grouping that produces a common factor. In this example, we have a workable grouping if we switch the terms (a^3) and (ab ext<.>)

Factoring (ab-2a^2b+a^3-2b^2) results in (ab-2a^2b+a^3-2b^2= (a-2b)(a^2+b) ext<.>)

Exercise 150

Some polynomials cannot be factored, such polynomials are called prime. However, just because a polynomial cannot be factored with the above technique does not mean that it is necessarily prime. Par example,

This four-term polynomial cannot be grouped in any way to produce a common binomial factor. Despite this, the polynomial is not prime and can be written as a product of polynomials. It can be factored as follows:

Factoring such polynomials is a topic for a more advanced algebra course. For now, we will limit our attempt to factor four-term polynomials to using the factor by grouping technique.

Subsection Factoring the Difference of Squares

We end this section with the special binomial called , which is factored as follows:

To verify the above formula, multiply.

We use this formula to factor certain special binomials.

Example 151

Identify the binomial as difference of squares and determine the square factors of each term.

Substitute (a=x) and (b=3y) into the difference of squares formula.

Factoring (x^2-9y^2) results in (x^2-9y^2=(x+3y)(x-3y) ext<.>)

Example 152

First, we identify this expression as a difference of squares.

Substitute (a=x) and (b=2x-1) into the difference of squares formula.

Factoring (x^2-(2x-1)^2) results in (x^2-(2x-1)^2=(3x-1)(-x+1) ext<.>)

The sum of squares (a^2+b^2) does not have a general factored equivalent over the real numbers. Care should be taken not to confuse this with the difference of squares.

It may be the case that the terms of a binomial have a common factor. If so, it will be difficult to identify it as a special binomial until we first factor out the GCF.

When the degree of the special binomial is greater than two, we may need to apply the formulas multiple times to obtain a complete factorization. A polynomial is completely factored when it is prime or is written as a product of prime polynomials.


1.5: Factoring Polynomials - Mathematics

Remember ``factoring polynomials''? Consider the second-order polynomial

It is second-order because the highest power of is (only non-negative integer powers of are allowed in this context). The polynomial is also monic because its leading coefficient, the coefficient of , is . By the fundamental theorem of algebra (discussed further in ڈ.4), there are exactly two roots (or zeros ) of any second order polynomial. These roots may be real or complex (to be defined). For now, let's assume they are both real and denote them by and . Then we have and , and we can write

This is the factored form of the monic polynomial . (For a non-monic polynomial, we may simply divide all coefficients by the first to make it monic, and this doesn't affect the zeros.) Multiplying out the symbolic factored form gives

Comparing with the original polynomial, we find we must have

This is a system of two equations in two unknowns. Unfortunately, it is a nonlinear system of two equations in two unknowns. 2.1 Nevertheless, because it is so small, the equations are easily solved. In beginning algebra, we did them by hand. However, nowadays we can use a software tool such as Matlab or Octave to solve very large systems of linear equations.

The factored form of this simple example is

Note that polynomial factorization rewrites a monic th-order polynomial as the product of first-order monic polynomials, each of which contributes one zero (root) to the product. This factoring business is often used when working with digital filters [71].


Input Arguments

X — Input to factor number | symbolic number | symbolic expression | symbolic function

Input to factor, specified as a number, or a symbolic number, expression, or function.

Vars — Variables of interest symbolic variable | vector of symbolic variables

Variables of interest, specified as a symbolic variable or a vector of symbolic variables. Factors that do not contain a variable specified in vars are grouped into the first element of F . The remaining elements of F contain irreducible factors of x that contain a variable in vars .

Name-Value Pair Arguments

Specify optional comma-separated pairs of Name,Value arguments. Name is the argument name and Value is the corresponding value. Name must appear inside quotes. You can specify several name and value pair arguments in any order as Name1,Value1. NameN,ValueN .

Exemple: factor(x^3 - 2,x,'FactorMode','real')

'FactorMode' — Factorization mode 'rational' (default) | 'real' | 'complex' | 'full'

Factorization mode, specified as the comma-separated pair consisting of 'FactorMode' and one of these character vectors.


Voir la vidéo: Factorisation dun polynôme du 4ème degré (Décembre 2021).