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5.6E : Exercices - Mathématiques


C'est en forgeant qu'on devient forgeron

Résoudre une formule pour une variable spécifique

Dans les exercices suivants, résolvez la formule donnée pour la variable spécifiée.

1. Résoudre la formule (C=πd) pour (d).

Répondre

(d=dfrac{C}{π})

2. Résoudre la formule (C=πd) pour (π).

3. Résolvez la formule (V=LWH) pour (L).

Répondre

(L=dfrac{V}{WH})

4. Résolvez la formule (V=LWH) pour (H).

5. Résolvez la formule (A=frac{1}{2}bh) pour (b).

Répondre

(b=dfrac{2A}{h})

6. Résolvez la formule (A=frac{1}{2}bh) pour (h).

7. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}d_1d_2) pour (d_1).

Répondre

(d_1=dfrac{2A}{d_2})

8. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}d_1d_2) pour (d_2.)

9. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}h(b_1+b_2)) pour (b_1).

Répondre

(b_1=dfrac{2A}{h}−b_2)

10. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}h(b_1+b_2)) pour (b_2).

11. Résoudre la formule

(h=54t+frac{1}{2}at^2) pour (a).

Répondre

(a=dfrac{2h−108t}{t^2})

12. Résoudre la formule

(h=48t+frac{1}{2}at^2) pour (a).

13. Résolvez (180=a+b+c) pour (a).

Répondre

(a=180−b−c)

14. Résolvez (180=a+b+c) pour (c).

15. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}pI+B) pour (p).

Répondre

(p=dfrac{2A−2B}{I})

16. Résoudre la formule

(A=frac{1}{2}pI+B) pour (I).

17. Résoudre la formule

(P=2L+2W) pour (L).

Répondre

(L=dfrac{P−2W}{2})

18. Résoudre la formule

(P=2L+2W) pour (W).

Dans les exercices suivants, résolvez la formule pour (y).

19. Résoudre la formule

(8x+y=15) pour (y).

Répondre

(y=15−8x)

20. Résoudre la formule

(9x+y=13) pour (y).

21. Résoudre la formule

(−4x+y=−6) pour (y).

Répondre

(y=−6+4x)

22. Résoudre la formule

(−5x+y=−1) pour (y).

23. Résoudre la formule

(x−y=−4) pour (y).

Répondre

(y=4+x)

24. Résoudre la formule

(x−y=−3) pour (y).

25. Résoudre la formule

(4x+3y=7) pour (y).

Répondre

(y=frac{7−4x}{3})

26. Résoudre la formule

(3x+2y=11) pour (y).

27. Résoudre la formule

(2x+3y=12) pour (y).

Répondre

(y=frac{12−2x}{3})

28. Résoudre la formule

(5x+2y=10) pour (y).

29. Résoudre la formule

(3x−2y=18) pour (y).

Répondre

(y=frac{18−3x}{−2})

30. Résoudre la formule

(4x−3y=12) pour (y).

Utiliser des formules pour résoudre des applications de géométrie

Dans les exercices suivants, résolvez en utilisant une formule géométrique.

31. Un drapeau triangulaire a une superficie de 0,75 pied carré et une hauteur de 1,5 pied. Quelle est sa base ?

Répondre

1 pied

32. Une fenêtre triangulaire a une superficie de 24 pieds carrés et une hauteur de six pieds. Quelle est sa base ?

33. Quelle est la base d'un triangle d'une aire de 207 pouces carrés et d'une hauteur de 18 pouces ?

Répondre

23 pouces

34. Quelle est la hauteur d'un triangle d'une aire de 893 pouces carrés et d'une base de 38 pouces ?

35. Les deux plus petits angles d'un triangle rectangle ont des mesures égales. Trouvez les mesures des trois angles.

Répondre

(45°,; 45°,; 90°)

36. La mesure du plus petit angle d'un triangle rectangle est (20°) inférieure à la mesure du prochain grand angle. Trouvez les mesures des trois angles.

37. Les angles d'un triangle sont tels qu'un angle est le double du plus petit angle, tandis que le troisième angle est trois fois plus grand que le plus petit angle. Trouvez les mesures des trois angles.

Répondre

(30°,; 60°,; 90°)

38. Les angles d'un triangle sont tels qu'un angle est (20) plus grand que le plus petit angle, tandis que le troisième angle est trois fois plus grand que le plus petit angle. Trouvez les mesures des trois angles.

Dans les exercices suivants, utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de l'hypoténuse.

39.

Répondre

(15)

40.

41.

Répondre

(25)

42.

Dans les exercices suivants, utilisez le théorème de Pythagore pour trouver la longueur de la jambe inconnue. Arrondissez au dixième si nécessaire.

43.

Répondre

(8)

44.

45.

Répondre

(12)

46.

47.

Répondre

(10.2)

48.

49.

Répondre

(9.8)

50.

Dans les exercices suivants, résolvez en utilisant une formule géométrique.

51. La largeur d'un rectangle est inférieure de sept mètres à sa longueur. Le périmètre est de (58) mètres. Trouvez la longueur et la largeur.

Répondre

(18) mètres, (11) mètres

52. La longueur d'un rectangle est de huit pieds de plus que sa largeur. Le périmètre est de (60) pieds. Trouvez la longueur et la largeur.

53. La largeur du rectangle est inférieure de (0,7) mètres à sa longueur. Le périmètre d'un rectangle est de (52,6) mètres. Trouve les dimensions du rectangle.

Répondre

(13,5) m, (12,8) m

54. La longueur du rectangle est (1.1) mètre inférieure à sa largeur. Le périmètre d'un rectangle est de (49,4) mètres. Trouve les dimensions du rectangle.

55. Le périmètre d'un rectangle de (150) pieds. La longueur du rectangle est le double de la largeur. Trouvez la longueur et la largeur du rectangle.

Répondre

(25) pi, (50) pi

56. La longueur du rectangle est trois fois la largeur. Le périmètre d'un rectangle est de (72) pieds. Trouvez la longueur et la largeur du rectangle.

57. La longueur du rectangle est de trois mètres inférieure à deux fois sa largeur. Le périmètre d'un rectangle est de (36) mètres. Trouve les dimensions du rectangle.

Répondre

(7) m, (11) m

58. La longueur d'un rectangle est de cinq pouces de plus que le double de sa largeur. Le périmètre est de (34) pouces. Trouvez la longueur et la largeur.

59. Le périmètre d'un triangle est (39) pieds. Un côté du triangle est un pied plus long que le deuxième côté. Le troisième côté est deux pieds plus long que le deuxième côté. Trouvez la longueur de chaque côté.

Répondre

(12) pieds, (13) pieds, (14) pieds

60. Le périmètre d'un triangle est (35) pieds. Un côté du triangle est cinq pieds plus long que le deuxième côté. Le troisième côté est trois pieds plus long que le deuxième côté. Trouvez la longueur de chaque côté.

61. Un côté d'un triangle est deux fois le plus petit côté. Le troisième côté mesure cinq pieds de plus que le côté le plus court. Le périmètre est de (17) pieds. Trouvez les longueurs des trois côtés.

Répondre

(3) pieds, (6) pieds, (8) pieds

62. Un côté d'un triangle est trois fois le plus petit côté. Le troisième côté mesure trois pieds de plus que le côté le plus court. Le périmètre est de (13) pieds. Trouvez les longueurs des trois côtés.

63. Le périmètre d'un champ rectangulaire est de (560) yards. La longueur est (40) yards de plus que la largeur. Trouvez la longueur et la largeur du champ.

Répondre

(120) yd, (160) yd

64. Le périmètre d'un atrium rectangulaire est de (160) pieds. La longueur est (16) pieds de plus que la largeur. Trouvez la longueur et la largeur de l'atrium.

65. Un stationnement rectangulaire a un périmètre de (250) pieds. La longueur est de cinq pieds plus de deux fois la largeur. Trouvez la longueur et la largeur du parking.

Répondre

(40) pi, (85) pi

66. Un tapis rectangulaire a un périmètre de (240) pouces. La longueur est (12) pouces plus de deux fois la largeur. Trouvez la longueur et la largeur du tapis.

Dans les exercices suivants, résolvez. Réponses approximatives au dixième près, si nécessaire.

67. Une guirlande lumineuse de (13) pieds sera fixée au sommet d'un poteau de (12) pieds pour un affichage de vacances comme illustré. À quelle distance de la base du poteau doit-on ancrer l'extrémité de la guirlande lumineuse ?

Répondre

(5 pieds

68. Pam veut mettre une banderole sur la porte de son garage en diagonale, comme illustré, pour féliciter son fils pour l'obtention de son diplôme universitaire. La porte de garage mesure (12) pieds de haut et (16) pieds de large. Quelle doit être la longueur de la bannière pour s'adapter à la porte de garage ?

69. Chi prévoit de tracer un chemin en diagonale de pavés dans son jardin de fleurs, comme illustré. Le jardin fleuri est un carré avec (10) pieds de côté. Quelle sera la longueur du chemin ?

Répondre

(14.1) pieds

70. Brian a emprunté une échelle à coulisse de (20) pieds pour peindre sa maison. S'il place la base de l'échelle à six pieds de la maison comme indiqué, jusqu'où le haut de l'échelle s'élèvera-t-il ?

Mathématiques de tous les jours

71. Conversion de la température Lors d'une tournée en Grèce, Tatiana a vu que la température était de (40°) Celsius. Résolvez (F) dans la formule (C=frac{5}{9}(F−32)) pour trouver la température Fahrenheit.

Répondre

(104°) F

72. Conversion de la température Yon était en visite aux États-Unis et il a vu qu'un jour la température à Seattle était de (50°) Fahrenheit. Résoudre (C) dans la formule (F=frac{9}{5}C+32) pour trouver la température Celsius

73. Christa veut mettre une clôture autour de son parterre de fleurs triangulaire. Les côtés du parterre de fleurs mesurent six pieds, huit pieds et (10) pieds. De combien de mètres de clôture aura-t-elle besoin pour clôturer son parterre de fleurs ?

Répondre

(24) pieds

74. José vient de retirer l'ensemble de jeux pour enfants de sa cour arrière pour faire place à un jardin rectangulaire. Il veut mettre une clôture autour du jardin pour empêcher le chien d'entrer. Il a un rouleau de clôture de (50) pieds dans son garage qu'il prévoit d'utiliser. Pour tenir dans la cour arrière, la largeur du jardin doit être de (10) pieds. Combien de temps peut-il faire l'autre côté ?

Exercices d'écriture

75. Si vous devez poser du carrelage sur le sol de votre cuisine, avez-vous besoin de connaître le périmètre ou la superficie de la cuisine ? Expliquez votre raisonnement.

Répondre

Les réponses varieront.

76. Si vous devez installer une clôture autour de votre cour arrière, avez-vous besoin de connaître le périmètre ou la superficie de la cour arrière ? Expliquez votre raisonnement.

77. Regardez les deux figures ci-dessous.

une. Quelle figure semble avoir la plus grande surface ? Lequel semble avoir le plus grand périmètre ?

b. Calculez maintenant l'aire et le périmètre de chaque figure. Lequel a la plus grande surface ? Lequel a le plus grand périmètre ?

c. Les résultats de la partie (b) étaient-ils les mêmes que vos réponses de la partie (a) ? Cela vous surprend-il ?

Répondre

une. Les réponses varieront. b. Les zones sont les mêmes. Le rectangle (2×8) a un périmètre plus grand que le carré (4×4).

c. Les réponses varieront.

78. Écrivez un problème de géométrie qui se rapporte à votre expérience de vie, puis résolvez-le et expliquez toutes vos étapes.

Auto contrôle

une. Après avoir terminé les exercices, utilisez cette liste de contrôle pour évaluer votre maîtrise des objectifs de cette section.

b. Que vous apprend cette liste de contrôle sur votre maîtrise de cette section ? Quelles mesures allez-vous prendre pour vous améliorer?


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10.5.6E Éducation physique - Lois du mouvement de Newton

Identifier et utiliser les principes scientifiques qui affectent les mouvements et les compétences de base en utilisant un vocabulaire approprié.

  • Lois du mouvement de Newton
  • recours à la force
  • équilibre statique/dynamique
  • leviers
  • vol

Raisonnement

Vocabulaire

Lois du mouvement de Newton, loi d'inertie, loi d'accélération, loi d'action/réaction, vitesse, force

Objectifs

  1. Les élèves identifieront les trois lois du mouvement de Newton après avoir participé à une expérience d'apprentissage active.
  2. Les étudiants utiliseront les trois lois de Newton dans une expérience d'apprentissage actif.

Question(s) essentielle(s) de la leçon

Quelle est l'importance des principes scientifiques dans les activités physiques ?

Durée

Matériaux

Lecteur CD, chronomètres, cônes, ballons de basket-ball, ballons wiffle, sacs à dos lestés, affiches, crayons, feuilles de travail

Stratégies d'enseignement suggérées

W = Cette leçon présentera aux élèves un principe scientifique important qui affecte le mouvement. Une discussion en classe suivie de stations d'apprentissage conçues par l'enseignant permettra aux élèves d'identifier et d'utiliser les lois du mouvement de Newton dans les activités physiques. Grâce à des séances de questions/réponses, l'enseignant aidera les élèves à établir des liens utiles entre la science et le mouvement humain. Après chaque station, les élèves rempliront une feuille de travail en répondant aux questions de rappel de base en plus des questions de réflexion d'ordre supérieur. L'enseignant vérifiera également la compréhension en posant des questions pendant la participation à la station et en posant des questions à la fin de la leçon.

H = Au début de la discussion en classe, les élèves établiront des liens avec les connaissances utilisées en classe de sciences en partageant leurs connaissances préalables sur les lois du mouvement de Newton. Les défis de mouvement &ldquoMini&rdquo avec des questions de suivi et l'utilisation d'images aideront les étudiants à rester impliqués et concentrés pendant la diffusion du contenu. Les stations d'apprentissage permettront non seulement aux étudiants de réfléchir aux lois du mouvement de Newton, mais elles offriront également un défi personnel et du plaisir.

E = Les trois stations d'apprentissage conçues par l'enseignant permettront aux étudiants d'utiliser la découverte guidée, à laquelle ils devront participer activement, puis utiliser leurs connaissances des lois de Newton pour décider comment chacune s'applique. Les élèves répondront également à des questions les obligeant à utiliser une réflexion d'ordre supérieur.

R = Les élèves devront connaître les principales différences entre les trois lois du mouvement pour prendre des décisions quant à la façon dont chaque station d'apprentissage s'applique. De même, les étudiants devront avoir une bonne compréhension des trois lois du mouvement pour établir des liens personnels.
Réfléchir - Après avoir participé aux stations d'apprentissage, les étudiants écriront quelles lois de Newton s'appliquent.
Revisiter - Les élèves utiliseront &ldquothink, pair, share&rdquo pour comparer les réponses avec leurs pairs.
Réviser - Si, pendant le &ldquothink, pair, share&rdquo, les élèves ont eu des réponses différentes, alors du temps sera accordé pour une discussion en classe dirigée par l'enseignant afin de réexaminer les principales différences entre les trois lois du mouvement.
Repenser - L'enseignant guidera les élèves à &ldquoapprofondir&rdquo en leur demandant comment les lois de Newton s'appliquent à une activité physique ou à un sport auquel les élèves ont participé avant cette leçon.

E = Tout au long de la livraison du contenu et après la participation aux stations d'apprentissage, les étudiants répondront à des questions pour exprimer leur compréhension des lois de Newton. Pour les devoirs, les élèves rédigeront une entrée de journal de réflexion en répondant à deux questions : 1. Que comprenez-vous vraiment des lois du mouvement de Newton ? 2. Comment pouvez-vous appliquer les lois de Newton à une activité physique ou à un sport auquel vous participez ?

T = Des stratégies pédagogiques multiples sont utilisées pour s'adapter aux différents styles d'apprentissage des élèves (aides visuelles telles que des affiches et des repères illustrés, des démonstrations, des partenaires de pairs et des expériences kinesthésiques). L'enseignant permet des modifications de règles pendant les activités dans les stations d'apprentissage et accepte les réponses orales sur la feuille de travail si nécessaire.

O = L'introduction du contenu sera principalement dirigée par l'enseignant pour assurer une compréhension conceptuelle initiale. Des questions seront posées pour vérifier la compréhension. Les étudiants auront ensuite la possibilité d'appliquer leurs apprentissages pendant les activités de classe. Enfin, les élèves discuteront de leurs découvertes avec un partenaire et établiront des liens personnels pour une application en dehors des cours d'éducation physique.

Procédures d'instruction

L'enseignant commencera cette leçon par une discussion sur la façon dont la science joue un rôle important dans les activités physiques. Certains élèves font du sport et ont des entraîneurs pour les aider à développer et à améliorer leurs compétences. Ces entraîneurs, comme les professeurs d'éducation physique, enseignent aux étudiants la technique, la forme, l'équipement, les principes d'entraînement, etc. qui ont tous à voir avec la science. L'enseignant guidera la discussion avec des questions.

Peut-être avez-vous entendu parler d'Isaac Newton et de ses lois du mouvement en cours de sciences. Ces lois expliquent toutes les caractéristiques du mouvement et s'appliquent à de nombreuses activités et sports. Les connaître et les utiliser peut nous aider à mieux bouger. Nous allons en apprendre davantage sur trois des lois de Newton.

C'est ce qu'on appelle la loi d'inertie. L'inertie est la résistance au changement, donc si un objet est au repos, il aura tendance à rester au repos jusqu'à ce qu'une force agisse dessus. Les forces peuvent être internes ou externes.

Allongez-vous et asseyez-vous et comment avez-vous surmonté votre inertie au repos ?

Vous avez appliqué une force interne de vos muscles. Imaginez maintenant qu'un éléphant se couche et essaie de se relever. Sera-t-il plus facile ou plus difficile de se lever? Plus fort. Pourquoi? Parce qu'il a tellement plus de masse, ce qui signifie plus d'inertie. Ainsi, une plus grande masse équivaut à une plus grande inertie, ce qui signifie qu'il faut plus de force pour surmonter l'inertie.

Il y a une autre partie de la loi d'inertie &ndash Si un objet se déplace, il continuera à se déplacer en ligne droite à moins qu'il n'agisse sur une force.

Ainsi, pour démarrer un objet en mouvement, une force doit être appliquée. De même, pour arrêter ou ralentir un objet en mouvement, une force doit être appliquée. Cela a quelque chose à voir avec la seconde loi de Newton.

Ces forces provoquent un changement de vitesse, qui est la vitesse et la direction du mouvement. Ce changement de vitesse est appelé accélération. La deuxième loi de Newton est appelée la loi d'accélération. Pensons à nouveau à cet éléphant. Pensez-vous qu'il va accélérer très vite ? Pourquoi pas? Parce qu'il est si massif. Une plus grande masse équivaut à moins d'accélération. Il pourrait augmenter son accélération en appliquant plus de force. Ainsi, plus la force est grande, plus l'accélération est grande.

Un objet accélérera dans la même direction que la force qui l'a provoqué. Les forces doivent donc venir par paires. Cela a quelque chose à voir avec la troisième loi de Newton.

C'est ce qu'on appelle la loi d'action et de réaction. Pour chaque action, il y a une réaction égale et opposée. Chaque fois qu'une force est appliquée, un objet applique une force en retour.

Quand je marche, mon pied pousse contre le sol et applique une force (action). Le sol applique une force en arrière ou repousse contre mon pied (réaction). Le sol applique une force externe appelée force de réaction du sol. Alors que le sol repousse que m'arrive-t-il ? J'avance ou j'accélère. Si le sol et moi appliquons une force égale, comment se fait-il que c'est moi qui bouge ? La Terre a tellement plus de masse et j'ai si peu d'inertie en comparaison donc c'est moi qui accélère !


(Apprentissage actif)
Aujourd'hui, vous allez participer à trois stations. Je veux que vous pensiez aux lois de Newton à chaque station. Vous aurez une feuille de travail à remplir au fur et à mesure que vous vous déplacerez dans les stations.

Station 1 : Déplacer et se figer

Cette activité est similaire à celle que vous avez peut-être pratiquée lorsque vous étiez plus jeune : Red Light, Green Light. Vous serez le leader à tour de rôle. Le leader se tient sur une ligne opposée au groupe qui se tient sur l'autre ligne. Lorsque le leader dit &ldquogo&rdquo, le groupe commencera à se déplacer vers la ligne d'arrivée. Lorsque le leader dit &ldquofreeze&rdquo, vous devez vous figer et ne pas bouger. Continuez jusqu'à ce que tout le monde arrive à la ligne d'arrivée. La première fois que vous jouez, vous devez marcher. La deuxième fois que vous jouez, vous pouvez courir. Changez de leader et rejouez. Règle de sécurité &ndash si vous atteignez la ligne avant que le leader ne dise &ldquofreeze,&rdquo alors il&rsquo un arrêt automatique.

Dans cette activité, vous verrez à quelle vitesse vous pouvez courir. Vous travaillerez en groupe de trois. L'un de vous sera le coureur, l'autre le chronométreur et l'autre le starter. Le coureur commence à la ligne de départ, et le chronométreur sera à la ligne d'arrivée. Le starter se place à côté du coureur et donne les ordres de départ (à vos marques, prêts, partez). Le démarreur lèvera un bras et l'abaissera sur &ldquogo&rdquo afin que le chronomètre puisse voir quand démarrer le chronomètre. Souvenez-vous de votre temps et changez de rôle.

Ensuite, vous allez essayer à nouveau de courir vite, mais cette fois, vous ferez un tour de ferroutage à quelqu'un de votre groupe. Une personne sera le chronométreur, une autre sera le coureur, et une autre aura le ferroutage (cette personne peut donner les commandes de départ). Si vous choisissez de ne pas vous enfiler, vous pouvez courir avec le sac à dos sur le dos. Souvenez-vous de votre temps. Continuez à changer de rôle jusqu'à ce qu'il soit temps de changer de station.

Dans cette activité, vous aurez besoin d'un ballon de basket et d'un ballon wiffle. Vous placerez le ballon wiffle sur le ballon de basket et le laisserez tomber au sol. Essayez d'attraper la balle wiffle avant qu'elle ne touche le sol. Règle de sécurité - répartissez-vous pour travailler dans votre propre espace.


Jetons un coup d'œil à la feuille de calcul. Après chaque station (quand la musique s'arrête), vous devrez répondre aux questions qui correspondent à la station que vous venez de terminer. Vous devrez faire votre propre travail. Lorsque vous entendez la musique, vous devez mettre votre feuille de calcul dans votre dossier et passer à la station suivante. Au fur et à mesure que les élèves participent aux stations, l'enseignant surveillera et vérifiera la compréhension en posant des questions de réflexion aux élèves.

Feuille de travail sur les lois du mouvement de Newton

Instructions : Après avoir terminé une station, répondez aux questions suivantes.

Station 1. Déplacer et geler

1. Laquelle des lois de Newton s'appliquait à cette station ?

2. Dans quel sens (marche ou course) était-il plus difficile de s'arrêter ? Pourquoi?

1. Laquelle des lois de Newton s'appliquait à cette station ?

2. Dans quel sens (seul ou ferroutage/sac à dos) avez-vous eu un temps plus rapide ? Pourquoi?

1. Laquelle des lois de Newton s'appliquait à cette station ?

2. Qu'est-il arrivé au ballon wiffle ? Pourquoi?

Après les stations, récupérez les dossiers. Débriefing - les élèves peuvent partager leurs réponses à partir de la feuille de travail. Si les élèves ont eu des réponses différentes, alors du temps sera accordé pour une discussion en classe dirigée par l'enseignant afin de réexaminer les principales différences entre les trois lois du mouvement. L'enseignant doit mettre les élèves au défi d'appliquer leur compréhension en leur demandant comment les lois de Newton s'appliquaient à une activité physique ou à un sport que les élèves pratiquaient avant cette leçon. Les élèves peuvent utiliser &ldquothink, pair, share.&rdquo Les élèves seront invités à remplir une entrée de journal pour les devoirs en réfléchissant aux deux questions suivantes :

1. Que comprenez-vous vraiment des lois du mouvement de Newton ?
2. Comment pouvez-vous appliquer les lois de Newton à une activité physique ou à un sport auquel vous participez ?


Autre façon de l'écrire

Parfois, les gens utilisent le ^ (au-dessus du 6 sur votre clavier), car il est facile à taper.

Exemple: 3 fois 10^4 équivaut à 3 &fois 10 4

Les calculatrices utilisent souvent "E" ou "e" comme ceci :

Exemple: 6E+5 est identique à 6 &fois 10 5

Exemple: 3.12E4 est le même que 3.12 &fois 10 4


Le pack de ressources de reconnaissance de la parenthèse pour l'année 5 comprend un PowerPoint d'enseignement et des ressources différenciées de fluidité et d'application et de raisonnement. Ce pack est conçu pour fonctionner avec notre programme de travail GPS pour Spring Block 1.

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Qu'est-ce qui est inclus dans le pack ?

  • Reconnaître la parenthèse PowerPoint d'enseignement de la 5e année.
  • Reconnaître les parenthèses Année 5 Fluidité variée avec réponses.
  • Reconnaître la parenthèse Année 5 Application et raisonnement avec des réponses.

Objectifs du programme national

Différenciation:

Fluidité variée
Développement Questions pour soutenir la reconnaissance des parenthèses situées au milieu de la phrase avec deux signes de ponctuation pour la délimiter. Les phrases sont des propositions simples avec une parenthèse ajoutée.
Attendu Questions pour soutenir la reconnaissance des parenthèses situées au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées.
Plus grande profondeur Questions pour soutenir la reconnaissance des parenthèses situées au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées. Les virgules sont également utilisées pour les listes et les adverbes dans les phrases.

Application et raisonnement
Questions 1, 4 et 7 (Demande)
Développement Reconnaître où les phrases ont utilisé la ponctuation pour la parenthèse lorsqu'elles sont situées au milieu de la phrase avec deux signes de ponctuation pour la délimiter. Les phrases sont des propositions simples avec une parenthèse ajoutée.
Attendu Reconnaître où les phrases ont utilisé la ponctuation pour les parenthèses lorsqu'elles se trouvent au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées.
Plus grande profondeur Reconnaître où les phrases ont utilisé la ponctuation pour les parenthèses lorsqu'elles se trouvent au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées. Les virgules sont également utilisées pour les adverbes dans les phrases.

Questions 2, 5 et 8 (raisonnement)
Développement Décidez quelle phrase a utilisé correctement la ponctuation lorsque la parenthèse est située au milieu de la phrase avec deux signes de ponctuation pour la délimiter. Les phrases sont des propositions simples avec une parenthèse ajoutée.
Attendu Décidez quelle phrase a utilisé correctement la ponctuation lorsque la parenthèse se trouve au milieu de la phrase ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées.
Plus grande profondeur Décidez quelle phrase a utilisé la ponctuation correctement située au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées. Les virgules sont également utilisées pour les listes et les adverbes dans les phrases.

Questions 3, 6 et 9 (raisonnement)
Développement Identifiez les phrases n'utilisant pas de ponctuation pour les parenthèses lorsque la parenthèse est située au milieu de la phrase avec deux signes de ponctuation pour la délimiter. Les phrases sont des propositions simples avec une parenthèse ajoutée.
Attendu Identifiez les phrases n'utilisant pas de ponctuation pour les parenthèses lorsque la parenthèse se trouve au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées.
Plus grande profondeur Identifiez les phrases n'utilisant pas de ponctuation pour les parenthèses lorsque la parenthèse se trouve au milieu ou à la fin de la phrase. Les phrases sont des phrases à plusieurs clauses avec des parenthèses ajoutées. Les virgules sont également utilisées pour les listes et les adverbes dans les phrases.


5.6E : Exercices - Mathématiques

La dérivée d'une fonction f(x) nous dit comment la valeur de la fonction changera lorsque nous modifions x. Cette quantité nous donne une idée et la direction sur le taux de changement de la fonction. Par exemple, une dérivée positive indique l'augmentation de la valeur de la fonction tandis qu'une valeur négative indique qu'il pourrait y avoir une diminution de la valeur de la fonction. Les dérivés sont très essentiels pour nous pour prédire les limites, la direction du changement et le comportement du système compte tenu de certaines informations.

Dérivés et dérivés d'ordre supérieur

La dérivée d'une fonction réelle nous renseigne sur le taux de changement de la fonction. Les dérivées sont définies à l'aide de limites et pour la fonction f(x), sa dérivée est notée f'(x). Sa définition en termes de limite est donnée ci-dessous,

Pour calculer les dérivées de différentes fonctions, nous utilisons généralement les deux propriétés suivantes :

Règle de multiplication pour la différenciation

Disons que nous avons une fonction compliquée f(x) qui est un multiple de deux fonctions plus simples h(x) et g(x). Dans ce cas, nous utilisons la formule de multiplication des dérivés.

Règle de division pour la différenciation

Dans un autre cas, disons que notre fonction compliquée f(x) est composée de la division de deux fonctions différentes. Par exemple, f(x) =

Dérivés de second ordre

Tout comme les dérivées nous indiquent le taux de variation des fonctions, les dérivées d'ordre supérieur nous indiquent le taux de variation de la dérivée précédente. Par exemple, une dérivée du second ordre nous renseigne sur le taux de variation de la dérivée.

Disons que nous avons une fonction f(x).

Si f'(x) est dérivable, nous pouvons la différencier à nouveau pour obtenir une dérivée du second ordre. Il est désigné par,

Voyons quelques problèmes avec les dérivées du second ordre.

Exemples de problèmes

Question 1 : Soit f(x) = x 3 . Trouvez la valeur de f”(x).

Nous devons d'abord trouver la dérivée,

f(x) = x 3

f'(x) = 3x 2



En le différenciant à nouveau, nous obtenons la dérivée du second ordre.

f”(x) = 6x

Question 2 : Soit f(x) = e x + sin(x). Trouvez la valeur de f”(x).

f(x) = e x + sin(x)

La dérivée première sera,

f'(x) = e x + cos(x)

En le différenciant encore,

f”(x) = e x – sin(x)

Question 3 : Soit f(x) = e x .sin(x). Trouvez la valeur de f”(x) à x = 0.

f(x) = e x .sin(x)

Comme il s'agit du produit de deux fonctions, nous utiliserons la propriété de multiplication pour les dérivées.

f'(x) = e x sin(x) + e x cos(x)

f'(x) = e x (sin(x) + cos(x))

f”(x) = e x (sin(x) + cos(x)) + e x (cos(x) -sin(x))

f”(x) = e x (2cos(x))

f”(x) = 2e x cos(x)

à x =0.


Question 4 : Soit f(x) = e x .sin(x). Trouvez la valeur de f”(x) à x = 0.

f(x) = e x .sin(x)

Comme il s'agit du produit de deux fonctions, nous utiliserons la propriété de multiplication pour les dérivées.

f'(x) = e x sin(x) + e x cos(x)

f'(x) = e x (sin(x) + cos(x))

f”(x) = e x (sin(x) + cos(x)) + e x (cos(x) -sin(x))

f”(x) = e x (2cos(x))


Question 5 : Étant donné y = 3e 2x + 2e 3x , prouver que

y = 3e 2x + 2e 3x

y’ = 6e 2x + 6e 3x

y” = 12e 2x + 18e 3x

En substituant ces valeurs dans l'équation,

⇒12e 2x + 18e 3x – 5(6e 2x + 6e 3x ) + 6(3e 2x + 2e 3x ) = 0

12e 2x + 18e 3x – 30e 2x – 30e 3x + 18e 2x + 12e 3x = 0



-30e 2x + 30e 3x – 30e 2x – 30e 3x = 0

⇒ 0 = 0

Par conséquent, Prouvé.

Question 6 : Soit y = e x (x + 1). Trouvez la valeur de la dérivée seconde à x = 1.

y = e x (x + 1)

Puisque cette fonction est le produit de deux fonctions, nous utiliserons la règle de multiplication pour la dérivée.

y’ = e x (x + 1) + e x

Maintenant, nous pouvons le différencier à nouveau pour obtenir la dérivée seconde.



y”=

Encore une fois, cette fonction nécessitera une règle de multiplication pour la différenciation.

y” = e x (x + 1) + e x + e x

y” = e x (x + 3)

Question 7 : Étant donné y = . Trouvez la valeur de la dérivée seconde à x = 1.

y =

Puisque cette fonction est une division de deux fonctions, nous utiliserons la règle de division pour la dérivée.

y’ =



y’ =

Maintenant, nous pouvons le différencier à nouveau pour obtenir la dérivée seconde.

Encore une fois, cette fonction nécessitera une règle de multiplication pour la différenciation.

y”=

À x = 1,

y” =

y” =

y” =

y” = 0


5.6E : Exercices - Mathématiques

Question 27. Si y = [log] 2 , montrez que (1 + x 2 )(d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) = 2.

On a,

y = [journal] 2

En différenciant les deux côtés par rapport à x,



dy/dx = 2[log]/(√x 2 + 1)

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

(x 2 + 1)(d 2 y/dx 2 ) = 2 – x(dy/dx)

(x 2 + 1)(d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) = 2


Question 28. Si y = (tan -1 x) 2 , alors prouver que (1 + x 2 ) 2 y2 + 2x(1 + x 2 )y1 = 2

On a,

y = (tan -1 x) 2

En différenciant les deux côtés par rapport à x,

oui1 = 2(tan -1 x)[1/(1 + x 2 )]

(1 + x 2 )y1 = 2(bronzage -1 x)

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

(1 + x 2 )y2 + 2xy1 = 2/(1 + x 2 )

(1 + x 2 ) 2 ans2 + 2x(1 + x 2 )y1 = 2

Donc prouvé

Question 29. Si y = cotx, prouver que (d 2 y/dx 2 ) + 2y(dy/dx) = 0.

On a,

y = cotx

En différenciant les deux côtés par rapport à x,

(dy/dx) = -cosec 2 x

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

d 2 y/dx 2 = -(2cosec x) × (-cosec x.cot x)

d 2 y/dx 2 = 2cosec 2 x.cot x

d 2 y/dx 2 = 2(cot x)(cosec 2 x)



d 2 y/dx 2 = -2y(dy/dx)

d 2 y/dx 2 + 2y(dy/dx) = 0

Donc prouvé

Question 30. Trouvez d 2 y/dx 2 où y = log(x 2 /e 2 ).

On a,

y = log(x 2 /e 2 )

En différenciant les deux côtés par rapport à x,

(dy/dx) = (2/x)

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

d 2 y/dx 2 = -(2/x 2 )

Donc prouvé

Question 31. Si y = ae 2x + be -x , montrez que (d 2 y/dx 2 ) – (dy/dx) – 2y = 0.

On a,

y = ae 2x + be -x

Sur la différenciation des deux côtés w.r.t t,

(dy/dx) = 2ae 2x – be -x

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

(d 2 y/dx 2 ) = 4ae 2x + be -x

(d 2 y/dx 2 ) = 2ae 2x – be -x + 2(ae 2x + be -x )



(d 2 y/dx 2 ) = (dy/dx) + 2y

(d 2 y/dx 2 ) – (dy/dx) – 2y = 0

Donc prouvé

Question 32. Si y = e x (sinx + cosx), prouver que d 2 y/dx 2 – 2(dy/dx) + 2y = 0.

On a,

y = e x (sinx + cosx)

En différenciant les deux côtés par rapport à x,

(dy/dx) = e x (sinx + cosx) + e x (cosx – sinx)

(dy/dx) = 2e x cosx

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

(d 2 y/dx 2 ) = 2e x cosx – 2e x sinx

Prenons L.H.S,

= d 2 y/dx 2 – 2(dy/dx) + 2y

= 2e x cosx – 2e x sinx – 2(2e x cosx) + 2e x (sinx + cosx)

= 4e x cosx – 4e x cosx – 2e x sinx + 2e x sinx

= 0

L.H.S = R.H.S

Donc prouvé

Question 33. Si y = cos -1 x, trouvez d 2 y/dx 2 en fonction de y uniquement.

On a,

y = cos -1 x

En différenciant les deux côtés par rapport à x,

(dy/dx) = -1/√(1-x 2 )

Différencier à nouveau les deux côtés par rapport à x,

…(i)

y = cos -1 x

x = confortable

En mettant la valeur de x dans l'équation (i), on obtient



d 2 y/dx 2 = -cosy/sin 3 y

d 2 y/dx 2 = -cot y cosec 2 y

Question 34. Si y = , prove that (1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x(dy/dx) – a 2 y = 0.

We have,

y =

Taking log both sides

logy = acos -1 x.loge

logy = acos -1 x

On differentiating both sides w.r.t x,

(1/y)(dy/dx) = a×[-1/√(1-x 2 )]

(dy/dx) = -ay/√(1-x 2 )

On squaring both sides, we have

(dy/dx) 2 = a 2 y 2 /(1 – x 2 )

(1 – x 2 )(dy/dx) 2 = a 2 y 2

Again differentiating both sides w.r.t x,

2(1 – x 2 )(dy/dx)(d 2 y/dx 2 ) – 2x(dy/dx) 2 = 2a 2 y(dy/dx)

(1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x(dy/dx) = a 2 y

(1 – x 2 )(d 2 y/dx 2 ) – x(dy/dx) – a 2 y = 0

Hence Proved

Question 35. If y = 500e 7x + 600e -7x , show that d 2 y/dx 2 = 49y.

We have,

y = 500e 7x + 600e -7x

On differentiating both sides w.r.t θ,

(dy/dx) = 7 × (500e 7x – 600e -7x )

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = 49 × (500e 7x + 600e -7x )

(d 2 y/dx 2 ) = 49y

Hence Proved

Question 36. If x = 2cos t – cos 2t, y = 2sin t – sin 2t, find d 2 y/dx 2 at t = π/2.


x = 2cos t – cos 2t, and y = 2sin t – sin 2t

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = -2sin t + 2sin 2t, (dy/dt) = 2cos t – 2cos 2t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = (2cos t – 2cos 2t)/(-2sin t + 2sin 2t)

(dy/dx) = (cos t – cos 2t)/(-sin t + sin 2t)

Again differentiating both sides w.r.t x,

At t = π/2

d 2 y/dx 2 = (1 + 2)/-2

d 2 y/dx 2 = -(3/2)

Question 37. If x = 4z 2 + 5, y = 6z 2 + 7z + 3, find d 2 y/dx 2 .

We have,

x = 4z 2 + 5, and y = 6z 2 + 7z + 3

On differentiating both sides w.r.t z,

(dx/dz) = 8z, and (dy/dz) = 12z + 7

(dy/dx) = (dy/dz) × (dz/dx)

(dy/dx) = (12z + 7)/8z



Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = -7/64z 3

Hence Proved

Question 38. If y = log(1 + cosx), prove that d 3 y/dx 3 + (d 2 y/dx 2 ).(dy/dx) = 0.

We have,

y = log(1 + cosx)

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = -sinx/(1 + cosx)

Again differentiating both sides w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-cosx – cos 2 x – sin 2 x)/(1 + cosx) 2

d 2 y/dx 2 = -(1 + cosx)/(1 + cosx) 2

d 2 y/dx 2 = -1/(1 + cosx)

Again differentiating both sides w.r.t x,

d 3 y/dx 3 = -sinx/(1 + cosx) 2

d 3 y/dx 3 + [-1/(1 + cosx)][-sinx/(1 + cosx)] = 0

d 3 y/dx 3 + (d 2 y/dx 2 ).(dy/dx) = 0

Hence Proved

Question 39. If y = sin(logx), prove that x 2 (d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) + y = 0.

We have,

y = sin(logx)

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = cos(logx).(1/x)

x(dy/dx) = cos(logx)

Again differentiating both sides w.r.t x,

x(d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) = -sin(logx).(1/x)

x 2 (d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) = -sin(logx)

x 2 (d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) = -y



x 2 (d 2 y/dx 2 ) + x(dy/dx) + y = 0

Hence Proved

Question 40. If y = 3e 2x + 2e 3x , prove that d 2 y/dx 2 – 5(dy/dx) + 6y = 0.

We have,

y = 3e 2x + 2e 3x

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = 6e 2x + 6e 3x

(dy/dx) = 6(e 2x + e 3x )

Again differentiating both sides w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = 6(2e 2x + 3e 3x )

d 2 y/dx 2 = 12e 2x + 18e 3x

d 2 y/dx 2 = 5(6e 2x + 6e 3x ) – 6(3e 2x + 2e 3x )

d 2 y/dx 2 = 5(dy/dx) – 6y

d 2 y/dx 2 – 5(dy/dx) + 6y = 0

Hence Proved

Question 41. If y = (cot -1 x) 2 , prove that y2(x 2 + 1) 2 + 2x(x 2 + 1)y1 = 2.

We have,

y = (cot -1 x) 2

On differentiating both sides w.r.t x,

oui1 = 2(cot -1 x) × [-1/(1 + x 2 )]

(1 + x 2 )y1 = -2cot -1 x

Again differentiating both sides w.r.t x,

(1 + x 2 )y2 + 2xy1 = 2/(1 + x 2 )

(1 + x 2 ) 2 y2 + 2x(1 + x 2 )y1 = 2

Hence Proved

Question 42. If y = cosec -1 x, then show that x(x 2 – 1)d 2 y/dx 2 – (2x 2 – 1)(dy/dx) = 0.

We have,

y = cosec -1 x

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = -1/x√(x 2 – 1)

On squaring both sides,

(dy/dx) 2 = 1/x 2 (x 2 – 1)

x 2 (x 2 – 1)(dy/x) 2 = 1

(x 4 – x 2 )(dy/dx) 2 = 1

2(dy/dx)(d 2 y/dx 2 )(x 4 – x 2 ) + (dy/dx) 2 (4x 3 – 2x) = 0

2x 2 (x 2 – 1)(dy/dx)(d 2 y/dx 2 ) + 2x(2x 2 – 1)(dy/dx) 2 = 0

x(x 2 – 1)(d 2 y/dx 2 ) + (2x 2 – 1)(dy/dx) = 0

Hence Proved

Question 43. If x = cos t + log(tant/2), y = sin t, then find the value of d 2 y/dt 2 and d 2 y/dx 2 at t = π/4 in terms of y alone.

We have,

y = sin t

On differentiating both sides w.r.t t,

(dy/dt) = cos t

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = -sin t

At t = π/4

(d 2 y/dx 2 )t=π/4 = -sin(π/4)

= -1/√2

x = cos t + log(tant/2)

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = -sin t + (1/sin t)

(dx/dt) = (-sin 2 t + 1)/sin t

(dx/dt) = cos 2 t/sint

(dx/dt) = cos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [cos t] × [1/cos t × cot t]

(dy/dx) = tan t

Again differentiating both sides w.r.t x,



(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 t × (dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 t × [1/cos t × cot t]

(d 2 y/dx 2 ) = sin t/cos 4 t

(d 2 y/dx 2 )t=π/4 = sin(π/4)/cos 4 (π/4)

(d 2 y/dx 2 ) = 2√2

At t = π/4, (d 2 y/dx 2 ) = -1/√2 and (d 2 y/dx 2 ) = 2√2

Question 44. If x = asin t, y = a[cos t + log(tant/2)], find d 2 y/dx 2 .

We have,

x = asin t, and y = a[cos t + log(tant/2)]

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = acos t and

(dy/dt) = a[-sin t + (1/sin t)]

(dy/dt) = a[(-sin 2 t + 1)/sin t]

(dy/dt) = a[cos 2 t/sint]

(dy/dt) = acos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [acos t × cot t] × [1/acos t]

(dy/dx) = cot t

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 )=-cosec 2 t × (dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = -cosec 2 t × [1/acos t]

(d 2 y/dx 2 ) = -(1/asin 2 t × cos t)

Question 45. If x = a(cos t + tsin t), and y = a(sin t – tcos t), then find the value of d 2 y/dx 2 at t = π/4.

We have,

x = a(cos t + tsin t), and y = a(sin t – tcos t)

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = a(-sin t + sin t + tcos t)

(dx/dt) = atcos t

y = a(sin t – tcos t)

On differentiating both sides w.r.t t,

(dy/dx) = a(cos t – cos t + tsin t)

(dy/dx) = atsin t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [atsin t] × [1/atcos t]

(dy/dx) = tan t

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 x × (dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 x × (1/atcos t)

(d 2 y/dx 2 ) = 1/atcos 3 t

(d 2 y/dx 2 ) = (8√2/aπ)

Question 46. If x = a[cos t + log(tant/2)], y = asin t, evaluate (d 2 y/dx 2 ) at t = π/3.

We have,

y = asin t

On differentiating both sides w.r.t t,

(dy/dt) = acos t

x = a[cos t + log(tant/2)]

On differentiating both sides w.r.t t,



(dx/dt) = a[-sin t + (1/sin t)]

(dx/dt) = a[(-sin 2 t + 1)/sin t]

(dx/dt) = a[cos 2 t/sint]

(dx/dt) = acos t × cot t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [cos t] × [1/cos t × cot t]

(dy/dx) = tan t

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 t × (dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = sec 2 t × [1/acos t × cot t]

(d 2 y/dx 2 ) = sin t/acos 4 t

(d 2 y/dx 2 )t=π/3 = sin(π/3)/acos 4 (π/3)

(d 2 y/dx 2 ) = (8√3/a)

Question 47. If x = a(cos2t + 2tsin2t), and y = a(sin2t – 2tcos2t), then find d 2 y/dx 2 .

We have,

x = a(cos2t + 2tsin2t), and y = a(sin2t – 2tcos2t)

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = a(-2sin2t + 2sin2t + 4tcos2t), and (dy/dt) = a(2cos2t – 2cos2t + 4tsin2t)

(dy/dt) = a(4tcos2t), and (dy/dt)=a(4tsin2t)

(dy/dx) = (dy/dz) × (dz/dx)

(dy/dx) = a(4tsin2t)/a(4tcos2t)

(dy/dx) = tan2t

Again differentiating both sides w.r.t x,

(d 2 y/dx 2 ) = 2sec 2 2t.(dt/dx)

(d 2 y/dx 2 ) = 2sec 2 2t/4atcos2t

(d 2 y/dx 2 ) = 1/2atcos 3 2t

(d 2 y/dx 2 ) = (1/2at) × (sec 3 x)

Question 48. If x = asin t – bcos t, y = acos t + bsin t, prove that (d 2 y/dx 2 ) = -(x 2 + y 2 )/y 3

We have,

x = asin t – bcos t

On differentiating both sides w.r.t t,

(dx/dt) = acos t + bsin t

y = acos t + b sin t

On differentiating both sides w.r.t t,

(dy/dt) = -asin t + bcos t

(dy/dx) = (dy/dt) × (dt/dx)

(dy/dx) = [-asin t + bcos t] × [1/(acos t + bsin t)]

Again differentiating both sides w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = (-y 2 – x 2 )/y 3

d 2 y/dx 2 = -(x 2 + y 2 )/y 3

Hence Proved

Question 49. Find A and B so that y = Asin3x + Bcos3x, satisfies the equation d 2 y/dx 2 + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x.

We have,

y = Asin3x + Bcos3x,

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = 3Acos3x – 3Bsin3x



Again differentiating both sides w.r.t x,

d 2 y/dx 2 = -9Asin3x – 9Bcos3x

d 2 y/dx 2 + 4(dy/dx) + 3y = (-9Asin3x – 9Bcos3x) + 4(3Acos3x – 3Bsin3x) + 3(Asin3x + Bcos3x)

= -9Asin3x – 9Bcos3x + 12Acos3x – 12Bsin3x + 3Asin3x + 3Bcos3x

= -6Asin3x – 12Bsin3x – 6Bcos3x + 12Acos3x

= (-6A – 12B)sin3x + (-6B + 12A)cos3x …(i)

Given that

d 2 y/dx 2 + 4(dy/dx) + 3y = 10cos3x …(ii)

On comparing the coefficients, we get

(-6A – 12B) = 0 and (-6B + 12A) = 10

Solving equation,

A = (2/3) and B = -(1/3)

Question 50. If y = Ae -kt cos(pt + c), prove that (d 2 y/dt 2 ) + 2k(dy/dt) + n 2 y = 0, where n 2 = p 2 + k 2

We have,

y = Ae -kt cos(pt + c)

On differentiating both sides w.r.t t,

(dy/dt) = -kAe -kt cos(pt + c) – pAe -kt sin(pt + c)

(dy/dt) = -ky – pAe -kt sin(pt + c)

Again differentiating both sides w.r.t t,

(d 2 y/dt 2 ) = -k(dy/dt) + pAke -kt sin(pt + c) – p 2 Ake -kt cos(pt + c)

(d 2 y/dt 2 ) = -k(dy/dt) + k(-ky – dy/dx) – p 2 y

(d 2 y/dt 2 ) = -k(dy/dt) – k 2 y – k(dy/dt) – p 2 y

(d 2 y/dt 2 ) + 2k(dy/dt) + (k 2 + p 2 )y = 0

(d 2 y/dt 2 ) + 2k(dy/dt) + n 2 y = 0

Hence Proved

Question 51. If y = x n , prove that x 2 (d 2 y/dt 2 ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n 2 )y = 0.

We have,

y = x n …(i)

On differentiating both sides w.r.t x,

(dy/dx) = nx n-1 + x n <-asin(logx).(1/x) + bcos(logx).(1/x)>

x(dy/dx) = nx n + x n <-asin(logx) + bcos(logx)>

x(dy/dx) = ny + x n <-asin(logx) + bcos(logx)>…(ii)

x n <-asin(logx) + bcos(logx)>= x(dy/dx) – ny …(iii)

Again differentiating both sides w.r.t x,

x(d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) = n(dy/dx) + nx n-1 <-asin(logx) + bcos(logx)>+ x n <-acos(logx).(1/x) – bsin(logx).(1/x)>

x 2 (d 2 y/dx 2 ) + (dy/dx) = nx(dy/dx) + nx n <-asin(logx) + bcos(logx)>– x n

x 2 (d 2 y/dx 2 ) = n x (dy/dx) + n – y – (dy/dx) [From equation (ii) and (iii)]

x 2 (d 2 y/dx 2 ) = nx(dy/dx) + nx(dy/dx) – (dy/dx) – n 2 y – y

x 2 (d 2 y/dx 2 ) = (dy/dx) x [2n – 1] – (n 2 + 1)y

x 2 (d 2 y/dt 2 ) + (1 – 2n) x (dy/dt) + (1 + n 2 )y = 0

Hence Proved

Question 52. y = , prove that (x 2 +1)d 2 y/d 2 x + xdy/dx – ny = 0.

We have y =

On differentiating both sides w.r.t x,

dy/dx =

dy/dx =

dy/dx =

xdy/dx =

Again differentiating both sides w.r.t x,

d 2 y/dx 2 =



d 2 y/dx 2 =

d 2 y/dx 2 =

(x 2 +1)d 2 y/d 2 x =

Now put all these values in this equation

(x 2 +1)d 2 y/d 2 x + xdy/dx – ny

Hence Proved


5.6E: Exercises - Mathematics

With Parallel Computing Toolbox™, you can run your parallel code in different parallel environments, such as thread-based or process-based environments. These environments offer different advantages.

Note that thread-based environments support only a subset of the MATLAB ® functions available for process workers. If you are interested in a function that is not supported, let the MathWorks Technical Support team know. For more information on support, see Check Support for Thread-Based Environment.

Select Parallel Environment

Depending on the type of parallel environment you select, features run on either process workers or thread workers. To decide which environment is right for you, consult the following diagram and table.

To use parallel pool features, such as parfor or parfeval , create a parallel pool in the chosen environment by using the parpool function.

Use this setup for reduced memory usage, faster scheduling, and lower data transfer costs.

If you choose 'threads' , check that your code is supported. For more information, see Check Support for Thread-Based Environment.

To find out if you can get sufficient benefit from a thread-based pool, measure data transfer in a process-based pool with ticBytes and tocBytes . If the data transfer is large, such as above 100 MB, then use 'threads' .

Use this setup for most use cases and for prototyping before scaling to clusters or clouds.

Use this setup to scale up your computations.

To use cluster features, such as batch , create a cluster object in the chosen environment by using the parcluster function. Note that cluster features are supported only in process-based environments.

Use this setup if you have sufficient local resources, or to prototype before scaling to clusters or clouds.

Use this setup to scale up your computations.

where MyCluster is the name of a cluster profile.

Recommandation

Defaulting to process-based environments is recommended.

They support the full parallel language.

They are backwards compatible with previous releases.

They are more robust in the event of crashes.

External libraries do not need to be thread-safe.

Choose thread-based environments when:

Your parallel code is supported by thread-based environments.

You want reduced memory usage, faster scheduling and lower data transfer costs.

Compare Process Workers and Thread Workers

The following shows a performance comparison between process workers and thread workers for an example that leverages the efficiency of thread workers.

Create a parallel pool of process workers.

Time the execution and measure data transfer of some parallel code. For this example, use a parfeval execution.

Note that the data transfer is significant. To avoid incurring data transfer costs, you can use thread workers. Delete the current parallel pool and create a thread-based parallel pool.

Time how long the same code takes to run.

Thread workers outperform process workers because thread workers can use the data X without copying it, and they have less scheduling overhead.

Solve Optimization Problem in Parallel on Process-Based and Thread-Based Pool

This example shows how to use a process-based and thread-based pool to solve an optimization problem in parallel. Thread-based pools are optimized for less data transfer, faster scheduling, and reduced memory usage, so they can result in a performance gain in your applications.

The problem is to change the position and angle of a cannon to fire a projectile as far as possible beyond a wall. The cannon has a muzzle velocity of 300 m/s. The wall is 20 m high. If the cannon is too close to the wall, it fires at too steep an angle, and the projectile does not travel far enough. If the cannon is too far from the wall, the projectile does not travel far enough. For full problem details, see Optimize an ODE in Parallel (Global Optimization Toolbox) or the latter part of the video Surrogate Optimization.

MATLAB Problem Formulation

To solve the problem, call the patternsearch solver from Global Optimization Toolbox. The objective function is in the cannonobjective helper function, which calculates the distance the projectile lands beyond the wall for a given position and angle. The constraint is in the cannonconstraint helper function, which calculates whether the projectile hits the wall, or even reaches the wall before hitting the ground. The helper functions are in separate files that you can view when you run this example.

Set the following inputs for the patternsearch solver. Note that, to use Parallel Computing Toolbox, you must set 'UseParallel' to true in the optimization options.

Solve on Process-Based Pool

For comparison, solve the problem on a process-based parallel pool first.


Core economic concepts and the basic structure and functioning of markets.

  • Asymmetric Information and Adverse Selection
  • Demand, Willingness to Pay and Marginal Benefits
  • Supply and Willingness to Accept
  • Market Equilibrium
  • Consumer Surplus
  • Producer Surplus
  • Social Surplus
  • Pareto Efficiency
  • Deadweight Loss
  • Distribution
  • Impôts
  • Price Elasticities
  • Positive Externalities and Marginal Social Benefit
  • Subventions
  • Tarifs
  • Quotas
  • Cross Subsidies
  • Price Controls

Life 5 A Workbook answer key

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