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6.5 : Méthodes d'intégration diverses - Mathématiques


Les méthodes d'intégration présentées jusqu'à présent sont considérées comme « standard », ce qui signifie que chaque étudiant en calcul doit les connaître. Une de ces méthodes est la Règle intégrale de Leibniz pour « différentiation sous le signe intégral ».5 Cette méthode puissante et utile est mieux expliquée avec un exemple simple.

[frac{d}{dalpha} int e^{alpha x};dx ~=~ int frac{d}{dalpha},(e^{alpha x})~ dx ~=~ int x,e^{alpha x};dx] Cependant, la différenciation du côté droit de la formule ([eqn:diffinteax]) montre que

[frac{d}{dalpha} int e^{alpha x};dx ~=~ frac{d}{dalpha} left( frac{1}{alpha}, e^{alpha x} ~+~ C ight) ~=~ frac{alpha,left(x,e^{alpha x} ight) ~-~ 1,cdot, e^{alpha x}}{alpha^2} ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1}{alpha^ 2},e^{alpha x}] Ainsi,

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ C] qui peut être vérifié par intégration par parties avec la méthode tabulaire :

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ Cquadcheckmark] Qu'est-ce qui a été fait dans l'exemple ci-dessus ? UNE connu intégral,

[int e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},e^{alpha x} ~+~ C ~,] a été différencié par rapport à (alpha) via la règle de Leibniz pour produire un Nouveau intégral,

[int x,e^{alpha x};dx ~=~ frac{1}{alpha},x,e^{alpha x} ~-~ frac{1} {alpha^2},e^{alpha x} ~+~ C ~,] avec la constante (alpha) traitée temporairement—seulement pendant la différentiation—comme variable. En général, c'est ainsi que la règle de Leibniz est utilisée. Cela signifie généralement que si vous souhaitez évaluer une certaine intégrale avec la règle de Leibniz, vous « travaillez en arrière » pour déterminer quelle intégrale vous devez différencier par rapport à une constante (par exemple (alpha)) dans l'intégrande.

Exemple (PageIndex{1}) : intleibniz1

Ajoutez du texte ici.

Solution

Utilisez la règle de Leibniz pour évaluer (~displaystyleint frac{dx}{(1 + x^2)^2}~).

Solution: Par formule ([eqn:atanint]) dans la section 5.4,

[int,frac{dx}{a^2 + x^2} ~=~ frac{1}{a}, an^{-1}left( frac{x}{ a} ight) ~+~ C] pour toute constante (a > 0). Donc différencier les deux côtés par rapport à (a):

[egin{aligned} frac{d}{da},int,frac{dx}{a^2 + x^2} ~&=~ frac{d}{da} ,left( frac{1}{a}, an^{-1}left( frac{x}{a} ight) ~+~ C ight)

[6pt] int,frac{d}{da},left(frac{1}{a^2 + x^2} ight)~dx ~&=~ - frac{ 1}{a^2}, an^{-1}left( frac{x}{a} ight) ~+~ frac{1}{a},cdot,frac{ 1}{1 + gauche( frac{x}{a} ight)^2},cdot,- frac{x}{a^2}

[6pt] int -frac{2a}{(a^2 + x^2)^2},dx ~&=~ - frac{1}{a^2}, an^{ -1}gauche( frac{x}{a} ight) ~-~ frac{x}{a,(a^2 + x^2)}

[6pt] int frac{dx}{(a^2 + x^2)^2} ~&=~ frac{1}{2a^3}, an^{-1}left ( frac{x}{a} ight) ~+~ frac{x}{2a^2,(a^2 + x^2)} ~+~ Cend{aligned}] Cette formule générale est utile en soi. En particulier, pour (a=1),

[int frac{dx}{(1 + x^2)^2} ~=~ frac{1}{2}, an^{-1} x ~+~ frac{x} {2,(1 + x^2)} ~+~ C ~,] qui est en accord avec le résultat de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): trigsub2

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Solution

dans la section 6.3.
Notez qu'il n'y avait pas de constante générique (par exemple (a) ou (alpha)) dans l'énoncé du problème. Lorsque cela se produit, vous devrez déterminer où la constante devrait être afin d'utiliser la règle de Leibniz.

Vous pouvez également utiliser la différenciation sous le signe intégral pour évaluer des intégrales définies.

Exemple (PageIndex{1}): intexpx2

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Solution

Montrez que (~displaystyleint_0^{infty} e^{-x^2} ,dx ~=~ frac{1}{2}sqrt{pi}~).

Solution: Soit (I = int_0^{infty} e^{-x^2} ,dx). L'intégrale est convergente, puisque par l'exercice [exer:exple1px] de la section 4.4, pour tout (x)

[e^{x^2} ~ge~ 1 ~+~ x^2 quadRightarrowquad 0 ~le~ e^{-x^2} ~le~ frac{1}{1 + x^2}] implique que (I) est convergent par le test de comparaison, puisque (int_0^{infty} frac{1}{1 + x^2},dx) est convergent (et est égal à ( frac{1}{2}pi)) par exemple

Exemple (PageIndex{1}) : incorrect5

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Solution

dans la section 5.5. Pour (alpha ge 0), définissez

[phi(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{alpha,e^{-alpha^2 x^2}}{1 + x^2} , dx ~.] Alors clairement (phi(0) = 0), et la différentiation sous le signe intégral montre

[phi'(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{-2alpha^2 e^{-alpha^2 x^2} + e^{-alpha^ 2 x^2}}{1 + x^2}~dx qquadRightarrowqquad phi'(0) ~=~ int_0^{infty} frac{dx}{1 + x^2 } ~=~ frac{1}{2}pi ~.] La substitution (y = alpha x), de sorte que (dy = alpha,dx), montre ( phi(alpha)) peut être écrit comme

[phi(alpha) ~=~ int_0^{infty} ,frac{e^{-y^2}}{1 + left( frac{y}{alpha} ight) ^2} ,dy qquadRightarrowqquad 0 ~le~ lim_{alpha o infty}~ phi(alpha) ~le~ I ~<~ infty ~.] Aussi , pour (alpha > 0),

[egin{aligned} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi(alpha) à droite) ~&=~ frac{d}{dalpha},int_0^{infty} ,frac{e^{-alpha^2 (1+x^2)}}{1 + x ^2} ,dx ~=~ int_0^{infty} ,frac{-2alpha,(1+x^2), e^{-alpha^2 (1+x^ 2)}}{1 + x^2}~dx

[6pt] &=~ -2alpha, e^{-alpha^2},int_0^{infty} e^{-alpha^2 x^2}~dx quad ext {, remplacez maintenant $u = alpha x$ et $du = alpha dx$ pour obtenir}

[6pt] &=~ -2alpha, e^{-alpha^2},frac{1}{alpha},int_0^{infty} e^{-u^2} ,du ~=~ -2, e^{-alpha^2},I quad ext{, et donc l'intégration des deux côtés donne}

[6pt] int_0^{infty} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi( alpha) ight)~dalpha ~&=~ -2I,int_0^{infty} e^{-alpha^2} ,dalpha ~=~ -2I^2 ~.end{aligned }] Cependant, par le théorème fondamental du calcul.

[egin{aligned} int_0^{infty} frac{d}{dalpha},left(frac{1}{alpha},e^{-alpha^2}, phi(alpha) ight)~dalpha ~&=~ frac{1}{alpha},e^{-alpha^2},phi(alpha)~Biggr|_0^ {infty} ~=~ left(lim_{alpha o infty}~frac{phi(alpha)}{alpha ,e^{alpha^2}} ight) ~- ~ left(lim_{alpha o 0}~frac{phi(alpha)}{alpha,e^{alpha^2}} ight)

[6pt] &=~ 0 ~-~ left(lim_{alpha o 0}~frac{phi(alpha)}{alpha,e^{alpha^2}} ight ) ~ o~ frac{0}{0} quad ext{, donc par L'H^{o}pital's Rule}

[6pt] &=~ -lim_{alpha o 0}~frac{phi'(alpha)}{e^{alpha^2} + 2alpha^2,e^{ alpha^2}} ~=~ -frac{phi'(0)}{1+0} ~=~ - frac{1}{2}pi ~.end{aligned}] Ainsi,

[-2I^2 ~=~ - frac{1}{2}pi qquadRightarrowqquad I ~=~ frac{1}{2}sqrt{pi}] qui est le résultat.

Une conséquence immédiate de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): intexpx2

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Solution

est-ce

[int_{-infty}^{infty} e^{-x^2} ,dx ~=~ sqrt{pi}] depuis (e^{-x^2}) est une fonction paire. L'exemple suivant montre une autre conséquence, ainsi que l'utilité des substitutions pour écrire des intégrales sous une forme différente.

Exemple (PageIndex{1}): intgamma1

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Solution

Montrer que la fonction Gamma (Gamma,(t)) peut s'écrire sous la forme

[Gamma,(t) ~=~ 2,int_0^{infty} y^{2t-1} , e^{-y^2} ~dy quad ext{for all $ t > 0$,}] et que (Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ sqrt{pi}).

Solution: Soit (x = y^2), de sorte que (dx = 2y;dy). Ensuite (x=0~Rightarrow~y=0~) et (x=infty~Rightarrow~y=infty), donc

[Gamma,(t) ~=~ int_0^{infty} x^{t-1} , e^{-x} ~dx ~=~ int_0^{infty} (y^ 2)^{t-1},e^{-y^2}~2y~dy

[6pt] ~=~ 2,int_0^{infty} y^{2t-1} , e^{-y^2} ~dy ~.] Sous cette forme, à l'aide de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): intexpx2

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Solution

il est maintenant facile d'évaluer (Gamma,left( frac{1}{2} ight)) :

[Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ 2,int_0^{infty} y^{1-1} , e^{-y^2} ~dy ~=~ 2,int_0^{infty} e^{-y^2}~dy ~=~ 2,left( frac{1}{2}sqrt{pi} ight) ~=~ sqrt{pi}]

[label{eqn:betagamma} B(x,y) ~=~ frac{Gamma,(x);Gamma,(y)}{Gamma,(x+y)} qquad ext{pour tout $x > 0$ et $y > 0$.}]

Exemple (PageIndex{1}) : intbeta1

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Solution

Montrer que la fonction Beta (B(x,y)) peut s'écrire sous la forme

[B(x,y) ~=~ int_0^{infty} frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}~du ~.]

Solution: Soit (u=frac{t}{1-t}), de sorte que (t=frac{u}{1+u}), (1-t=frac{1}{1 +u}), et (dt = frac{du}{(1+u)^2}). Ensuite (t=0~Rightarrow~u=0) et (t=1~Rightarrow~u=infty), donc

[B(x,y) ~=~ int_0^1 t^{x-1},(1-t)^{y-1},dt ~=~ int_0^{infty} gauche(frac{u}{1+u}droite)^{x-1};gauche(frac{1}{1+u}droite)^{y-1} frac{du }{(1+u)^2} ~=~ int_0^{infty} frac{u^{x-1}}{(1+u)^{x+y}}~du ~. ]

Une autre application des substitutions dans les intégrales est dans l'évaluation de dérivés fractionnaires. Rappelez-vous de la section 1.6 que la dérivée zéro d'une fonction est juste la fonction elle-même, et que les dérivées d'ordre (n) sont bien définies pour les valeurs entières (n ge 1). Il s'avère que les dérivés d'ordres fractionnaires, par ex. 1/2—peut être défini, avec le Riemann-Louiville définition étant la plus courante :

Exemple (PageIndex{1}): halfderivx

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Solution

Calculez (~dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x)~).

Solution: Ici (alpha = frac{1}{2}) et (f(x)=x), de sorte que

[frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x) ~=~ frac{1}{Gamma,(1-1/2)} ;ddx,int_0^x frac{t}{(xt)^{1/2}},dt ~=~ frac{1}{sqrt{pi}};ddx ,int_0^x frac{t~dt}{sqrt{xt}}] depuis (Gamma,left( frac{1}{2} ight) ~=~ sqrt{ pi}) par exemple

Exemple (PageIndex{1}): intgamma1

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Solution

. Utilisez la substitution (u=sqrt{x-t}), de sorte que (t=x-u^2) et (dt=-2u,du). Ensuite (t=0~Rightarrow~u=sqrt{x}~) et (t=x~Rightarrow~u=0), donc

[egin{aligned} frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(x) ~&=~ frac{1}{sqrt{pi}} ;ddx,int_{sqrt{x}}^0 frac{(xu^2),(-2u~du)}{u} ~=~ frac{2}{sqrt{ pi}};ddx,int_0^{sqrt{x}} (x ~-~ u^2)~du

[6pt] &=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left(xu ~-~ frac{1}{3},u^3 ight)~ Biggr|_{u=0}^{u=sqrt{x}} ~=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left(x^{3/2 } ~-~ frac{1}{3},x^{3/2} ight)

[6pt] &=~ frac{2}{sqrt{pi}};ddx,left( frac{2}{3},x^{3/2} ight) ~ =~ frac{2}{sqrt{pi}},sqrt{x}end{aligned}]

[frac{d^{n+alpha}}{dx^{n+alpha}},f(x) ~=~ frac{d^{alpha}}{dx^{alpha} },left(frac{d^{n}}{dx^{n}},f(x) ight)] Rappelons de la section 6.3 que la substitution trigonométrique (x=r, cos, heta)—ou sa substitution sœur (x=r,sin, heta)—a été motivée en essayant de trouver l'aire d'un cercle de rayon (r). Pour simplifier les choses, soit (r=1) pour que les points sur le cercle unité puissent être identifiés avec l'angle ( heta) via cette substitution, avec ( heta) comme le montre la figure [fig:circle2 ](a) ci-dessous.

La figure [fig:circle2](b) montre une identification différente des points sur le cercle unité—par pente. Ce sera la base d'un substitution demi-angle pour évaluer certaines intégrales.

Soit (A) le point ((-1,0)), puis pour tout autre point (P) sur le cercle unité tracer une ligne de (A) à (P) jusqu'à il coupe la ligne (x=1), comme le montre la figure [fig:circle3] ci-dessous :

De la géométrie, vous savez que l'angle inscrit que la ligne (overline{AP}) fait avec l'axe (x) est la moitié de la mesure de l'angle central ( heta). Donc la pente de (overline{AP}) est la tangente de cet angle : ( an,frac{1}{2} heta = frac{t}{1} = t), qui est mesuré le long de l'axe (y) et peut prendre n'importe quelle valeur réelle. Chaque point du cercle unité—sauf (A)—peut être identifié avec cette pente (t). La figure [fig:circle3] ne montre que les pentes positives—reflétez l'image sur l'axe (x) pour les pentes négatives. La figure montre que

[sin, frac{1}{2} heta ~=~ frac{t}{sqrt{1+t^2}} qquad ext{and}qquad cos, frac {1}{2} heta ~=~ frac{1}{sqrt{1+t^2}}] de sorte que par les identités à double angle pour le sinus et le cosinus,

[sin, heta ~=~ 2,sin, frac{1}{2} heta,cos, frac{1}{2} heta ~=~ 2, frac{t}{sqrt{1+t^2}},frac{1}{sqrt{1+t^2}} ~=~ frac{2t}{1+t^2} ] et

[cos, heta ~=~ cos^2 frac{1}{2} heta ~-~ sin^2 frac{1}{2} heta ~=~ frac{1} {1+t^2} ~-~ frac{t^2}{1+t^2} ~=~ frac{1-t^2}{1+t^2} ~.] Depuis ( heta = 2, an^{-1} ,t), puis

[dtheta ~=~ d,left(2, an^{-1} t ight) ~=~ frac{2,dt}{1+t^2} ~.] Voici un résumé de la substitution : La substitution demi-angle transforme ainsi les fonctions rationnelles de (sin, heta) et (cos, heta) en fonctions rationnelles de (t), qui peuvent être intégrés en utilisant des fractions partielles ou une autre méthode.

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle1

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Solution

Évaluez (~displaystyleint frac{dtheta}{1 ;+; sin, heta ;+; cos, heta}).

Solution: En utilisant (t = an, frac{1}{2} heta), le dénominateur de l'intégrande est

[1 ~+~ sin, heta ~+~ cos, heta ~=~ frac{1+t^2}{1+t^2} ~+~ frac{2t}{1 +t^2} ~+~ frac{1-t^2}{1+t^2} ~=~ frac{2t + 2}{1+t^2}] pour que

[egin{aligned} int frac{dtheta}{1 ;+; sin, heta ;+; cos, heta} ~&=~ mathop{mathlarger{mathlarger{int}}} frac{frac{2,dt}{1+t^2}}{frac{2t + 2}{1+t^2}} ~=~ int frac{dt}{t+1}

[6pt] &=~ ln,abs{t+1} ~+~ C &=~ ln,Abs{ an, frac{1}{2} heta ; +;1} ~+~ Cend{aligné}]

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle2

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Solution

Évaluez (~displaystyleint frac{dtheta}{3,sin, heta ;+; 4,cos, heta}~).

Solution: En utilisant (t = an, frac{1}{2} heta), l'intégrale devient

[egin{aligned} int frac{dtheta}{3,sin, heta ;+;4,cos, heta} ~&=~ mathop{mathlarger{ mathlarger{int}}} frac{frac{2,dt}{1+t^2}}{3,frac{2t}{1+t^2} ;+; 4,frac{1-t^2}{1+t^2}} ~=~ int frac{-1}{2t^2 - 3t - 2},dt

[6pt] &=~ int frac{-1}{(2t+1),(t-2)},dt ~=~ int left(frac{A}{2t+1 } ~+~ frac{B}{t-2} ight),dtend{aligned}] où

[egin{aligned} {3} ext{coefficient de $t$}&: quad & A ~+~ 2B ~&=~ 0 quadRightarrowquad A ~=~ -2B ext {terme constant}& : & -2A ~+~ B ~&=~ -1 quadRightarrowquad 4B ~+~ B ~=~ -1 quadRightarrowquad B ~=~ -frac{1 }{5} ~~ ext{and}~~ A ~=~ frac{2}{5}end{aligned}] Ainsi,

[egin{aligned} int frac{dtheta}{3,sin, heta ;+;4,cos, heta} ~&=~ int left( frac{frac{2}{5}}{2t+1} ~+~ frac{-frac{1}{5}}{t-2} ight),dt ~=~ frac{ 1}{5},ln,abs{2t+1} ~-~ frac{1}{5},ln,abs{t-2} ~+~ C

[4pt] &=~ frac{1}{5},ln,Abs{2, an, frac{1}{2} heta ;+; 1} ~-~ frac{1}{5},ln,Abs{ an, frac{1}{2} heta ;-; 2} ~+~ Cend{aligné}]

Par la substitution de demi-angle (t = an, frac{1}{2} heta),

[frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta} ~=~ frac{dfrac{2t}{1+t^2}}{dfrac{1+t^2}{1+t^2} + dfrac{1-t ^2}{1+t^2}} ~=~ frac{dfrac{2t}{1+t^2}}{dfrac{2}{1+t^2}} ~=~ t] ce qui donne les identités de demi-angle utiles :9

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle3

Ajoutez du texte ici.

Solution

Évaluez (~displaystyleint frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta},dtheta~).

Solution: Bien que vous puissiez utiliser la substitution de demi-angle (t = an, frac{1}{2} heta), il est plus facile d'utiliser directement l'identité de demi-angle ([eqn:halftan1])

[int frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta},dtheta ~=~ int an, frac{1}{2} heta~dtheta ~=~ 2,ln,Abs{sec, frac{1}{2} heta} ~+~ C] par la formule ([eqn:inttanu]) dans la section 6.3.

[sec6dot5]

Pour les exercices 1 à 12, évaluez l'intégrale donnée.

4

(displaystyleint frac{1 ;-; 2,cos, heta}{sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{dtheta}{3 ;-; 5,sin, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{2 ;-; sin, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{4 ;+; sin, heta})

4

(displaystyleint frac{sin, heta}{2 ;-; sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{dtheta}{5 ;-; 3,cos, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{1 ;+; sin, heta ;-; cos, heta})

(displaystyleint frac{dtheta}{1 ;-; sin, heta ;+; cos, heta})

4

(displaystyleint frac{cot, heta}{1 ;+; sin, heta};dtheta)

(displaystyleint frac{1 ;-; cos, heta}{3,sin, heta};dtheta)

(displaystyleint_{-infty}^{infty} e^{-x^2/2},dx)

(displaystyleint_{-infty}^{infty} x^2 ,e^{-x^6},dx)

Considérez l'intégrale (~displaystyleint frac{sin, heta}{1 ;+; cos, heta},dtheta~) de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle3

Ajoutez du texte ici.

Solution

.
  1. Évaluer l'intégrale en utilisant la substitution (u=1 + cos, heta).
  2. Évaluez l'intégrale en utilisant la substitution de demi-angle (t = an, frac{1}{2} heta).
  3. Montrez que les réponses des parties (a) et (b) sont équivalentes au résultat de l'exemple

    Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle3

    Ajoutez du texte ici.

    Solution

    .

[[1.]]

Évaluer l'intégrale (~displaystyleint frac{dtheta}{3,sin, heta ;+; 4,cos, heta}~) de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle2

Ajoutez du texte ici.

Solution

en notant que

[egin{aligned} int frac{dtheta}{3,sin, heta ;+; 4,cos, heta} ~&=~ int frac{dtheta}{5,left(frac{3}{5},sin, heta ;+; frac{4}{5},cos, heta ight)}

[5pt] &=~ int frac{dtheta}{5,left(cos,phi;sin, heta ;+; sin,phi; cos, heta ight)}

[5pt] &=~ int frac{dtheta}{5,sin,( heta + phi)} ~=~ frac{1}{5},int csc, ( heta + phi)~dthetaend{aligned}] par la formule d'addition des sinus, où (phi) est l'angle dans le triangle rectangle illustré ci-dessus. Complétez l'intégration et montrez que votre réponse est équivalente au résultat de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): inthalfangle2

Ajoutez du texte ici.

Solution

. [[1.]]

Montrez directement à partir de la définition de la fonction Beta que (B(x,y) = B(y,x)) pour tout (x > 0) et (y > 0).

[exer:betatrig] Montrer que la fonction Beta (B(x,y)) peut s'écrire sous la forme

[B(x,y) ~=~ int_0^{pi/2} 2,sin^{2x-1}( heta)~cos^{2y-1}( heta)~ dtheta qquad ext{pour tout $x > 0$ et $y > 0$.}]

[exer:intsinmcosn] Utilisez l'exercice [exer:betatrig] et la formule ([eqn:betagamma]) pour montrer que

[int_0^{pi/2} sin^{m} heta~cos^{n} heta~dtheta ~=~ frac{Gamma,left(dfrac{m+1 }{2}droit) ; Gamma,left(dfrac{n+1}{2} ight)}{2,Gamma,left(dfrac{m+n}{2} + 1 ight)} qquad ext{pour tout $m > -1$ et $n > -1$.}]

Utilisez l'exercice [exer:gamma] de la section 6.1, ainsi que l'exercice [exer:intsinmcosn] ci-dessus, pour montrer que pour (m=1), (2), (3), (ldots ),

[int_0^{pi/2} sin^{2m} heta~dtheta ~=~ frac{sqrt{pi};Gamma,left(m + frac{1} {2} ight)}{2,(m!)} qquad ext{et}qquad int_0^{pi/2} sin^{2m+1} heta~dtheta ~=~ frac{sqrt{pi};(m!)}{2,Gamma,left(m + frac{3}{2} ight)} ~.]

2

Montrez que (~displaystyleint_0^{infty} dfrac{ln,x}{1 + x^2},dx ~=~ 0).

Montrez que (~displaystyleint_0^{infty} dfrac{x^a}{a^x},dx ~=~ dfrac{Gamma,(a+1)}{(ln ,a)^{a+1}}~) pour (a > 1).

Utiliser le résultat de l'exemple

Exemple (PageIndex{1}): halfderivx

Ajoutez du texte ici.

Solution

montrer que

[frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},left(frac{d^{1/2}}{dx^{1/2}} ,(x) ight) ~=~ 1 ~=~ ddx,(x) ~.]

2

Calculez (~dfrac{d^{1/2}}{dx^{1/2}},(c)~) pour toutes les constantes (c).

Calculez (~dfrac{d^{1/3}}{dx^{1/3}},(x)~).

Montrez que (~displaystyleint_0^1 dfrac{1}{sqrt{1 - x^n}},dx ~=~ frac{1}{n},Bleft( frac {1}{n}, frac{1}{2} ight)~) pour (n ge 1).

Montrer que la fonction Gamma (Gamma,(t)) peut s'écrire sous la forme

[Gamma,(t) ~=~ p^t,int_0^{infty} u^{t-1} ,e^{-pu}~du quad ext{for all $ t > 0$ et $p > 0$.}]

Montrer que la fonction Gamma (Gamma,(t)) peut s'écrire sous la forme

[Gamma,(t) ~=~ int_0^1 left(ln,left(frac{1}{u} ight) ight)^{t-1},du quad ext{pour tout $t > 0$.}]

En utilisant le résultat de l'exercice [exer:eaxtrigbx] dans la section 6.1 qui

[int e^{ax},cos,bx~dx ~=~ frac{e^{ax},(a,cos,bx ~+~ b,sin ,bx)}{a^2 + b^2}] pour toutes les constantes (a) et (b e 0), différencier sous le signe intégral pour montrer que pour tout (alpha > 0 )

[int_0^{infty} x,e^{-x} sin,alpha x~dx ~=~ frac{2 alpha}{(1 + alpha^2)^2} ~.] [[1.]]

Utilisez la règle et la formule de Leibniz ([eqn:sqrta2u2tan]) de la section 6.3 pour montrer que pour tout (a > 0),

[int frac{dx}{sqrt{a^2 + x^2}} ~=~ ln;Abs{x + sqrt{a^2 + x^2},} ~ +~ C ~.]

Utiliser l'exemple

Exemple (PageIndex{1}) : intbeta1

Ajoutez du texte ici.

Solution

montrer que la fonction Beta satisfait la relation

[B(x,1-x) ~=~ int_0^1 ,frac{t^{-x} ;+; t^{x-1}}{1 + t},dt quad ext{pour tout $0 < x < 1$.}] (Indice : utilisez d'abord une substitution pour montrer que (displaystyleint_0^{infty} dfrac{u^{x-1}}{1 + u},du = displaystyleint_0^{infty } dfrac{t^{-x}}{1 + t},dt).)

Montrez que pour tout (a > -1),

[int_0^{pi/2} frac{dtheta}{1 ;+; a,sin^2 heta} ~=~ frac{pi}{2,sqrt{1+a}} ~.]


Intégration U-Substitution

Noter que Substitution en U avec intégration définie peut être trouvé ici dans le Intégration définitive section, U-Substitution avec Intégration exponentielle et logarithmique peut être trouvé dans le Intégration exponentielle et logarithmique rubrique, et Substitution en U avec fonctions trigonométriques inverses peut être trouvé dans le Dérivées et intégrales des fonctions trigonométriques inverses section.


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NCERT Solutions classe 12 Exercice de mathématiques 6.5

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En savoir plus sur les questions de mathématiques de 6e année …

Le programme de l'année 6 complète le programme d'apprentissage des mathématiques de l'étape 2 clé en associant compréhension et confiance de l'année 3 à la fin de l'année 6. Ce parcours se termine par les évaluations KS2 SAT où les apprenants sont en mesure de démontrer leurs progrès et leur développement dans le sujet .

Année 6 NUMÉRO …

Les quatre opérations aboutissent à une conclusion naturelle en 6e année : l'addition, la soustraction, la multiplication et la division impliquent des exemples plus complexes avant d'introduire des valeurs décimales. Les apprenants cherchent à étendre leur compréhension des unités, des dizaines, des centaines, des milliers, etc.

Année 6 FORME …

Les apprenants ont développé une bonne compréhension de la forme 2D et de la forme 3D, ce qui leur permet de trier et de classer selon leurs propriétés. Être capable d'identifier et d'utiliser ces propriétés améliore également la connaissance de la zone et du périmètre ou du volume d'une forme.

Données de l'année 6 …

L'année 5 offre une couverture supplémentaire des tableaux, des graphiques et des graphiques, où les apprenants doivent à la fois lire et interpréter les informations dans tous les types de graphiques et de graphiques, y compris des camemberts . Le dessin de graphiques et de tableaux à partir de données données est également introduit en mathématiques de 6e année.

Tous les objectifs d'apprentissage sont pris en charge par un pack d'apprentissage à domicile et les questions de maîtrise iQ mettent les apprenants au défi de compréhension, d'application et de confiance. Les packs d'apprentissage à domicile offrent des opportunités de première classe pour une intervention efficace et une bibliothèque sans cesse croissante de vidéos d'aide pour les mathématiques de 6e année est disponible sur la chaîne YouTube MyMiniMaths pour soutenir un apprentissage de qualité.

SAT de 6e année …

MyMiniMaths propose également un soutien spécialisé pour les SAT de 6e année avec un programme de travaux pratiques KS2 SAT pour l'épreuve d'arithmétique. L'identification facile des compétences clés nécessitant un soutien supplémentaire pour maximiser les résultats est disponible via les questions cibles arithmétiques.


Quelles sont les méthodes analytiques ? (avec photo)

Les méthodes analytiques utilisent des principes mathématiques pour prédire pleinement les implications d'une théorie. Ils peuvent être utilisés pour résoudre une équation dans son intégralité sans aucun degré d'estimation. Elles s'opposent aux méthodes numériques, qui ne peuvent atteindre qu'une prédiction approximative. Les méthodes analytiques sont le moyen privilégié pour déterminer le résultat d'une hypothèse lorsque les équations associées sont simples et qu'une réponse précise est souhaitée. Les méthodes numériques sont utilisées lorsque les équations sont trop complexes pour être résolues complètement.

Les mathématiciens emploient des méthodes analytiques lorsqu'ils utilisent les principes de base de l'algèbre pour résoudre une équation. Si l'équation est suffisamment simple, une solution complète peut être obtenue en manipulant l'équation sous forme symbolique. Dans ce cas, il n'y a pas de place pour l'approximation ou la conjecture - les principes mathématiques régissent toujours les opérations qui peuvent être effectuées. Si la variable en question peut être isolée avec succès, les analyses sont les outils qui rendent cela possible.

Dans l'équation y = 2x, on peut résoudre x en utilisant des méthodes analytiques. Pour isoler la variable x, les deux côtés de l'équation doivent être divisés par le nombre 2. Pour toute valeur de y, x peut être entièrement déterminé avec une relative facilité.

Dans une application simple et réelle de cette équation, on pourrait émettre l'hypothèse que la longueur d'un pied humain était le double de sa largeur : longueur = 2*largeur. Cette équation implique nécessairement que largeur = ½*longueur. L'application pratique de l'équation peut ne pas constituent une théorie précise, mais la manipulation de l'équation se fait à l'aide de méthodes analytiques. C'est-à-dire que l'équation peut prédire la largeur du pied sans introduire d'approximation.

Il y a des équations que personne ne sait résoudre analytiquement. Par exemple, de nombreuses équations différentielles n'ont pas de solutions connues. Une équation différentielle relie le taux de variation d'une quantité à sa valeur. Contrairement à une équation algébrique, les équations différentielles doivent être résolues en utilisant le calcul. Souvent, leurs résultats ne peuvent être qu'approximatifs.

Les méthodes numériques sont utilisées pour résoudre un certain nombre de problèmes pratiques. De nombreuses entreprises tentent d'optimiser leurs ventes en utilisant des méthodes numériques pour se rapprocher des conditions du marché. Ils peuvent essayer de prédire le résultat de différentes stratégies commerciales, mais ils ne peuvent généralement pas utiliser l'analyse. Faire des prédictions analytiques, comme dans le cas des dimensions du pied humain, nécessiterait une ou plusieurs équations qui relient différentes variables. Le marché est généralement très compliqué et comporte trop de variables pour être modélisé de cette manière.


Exemples de substitutions rationalisantes :

Exemple 1: Évaluer l'intégrale ∫ (`(sqrt(x))/(1+x)` ) dx par la méthode de rationalisation de la substitution.

La première étape consiste à éliminer la racine carrée et à substituer x=z 2, puis la valeur de dx = 2z dz.

(`(sqrt(x))/(1+x)` ) dx = (`(z)/(1+z^2)` )* 2z dz = ∫ `(2z^2)/(1+ z^2)`dz

Ici 2 est une valeur constante et nous pouvons donc la retirer de l'intégration,

Ici, c est appelé constante d'intégration.

Nous avons rationalisé ici la substitution qui a produit une fonction rationnelle en z et elle est associée à la méthode des fractions partielles qui a été autorisée pour une intégration facile.

Je prévois d'écrire d'autres articles sur la conversion du binaire en décimal avec, par exemple, les règles Sig Fig. Continuez à consulter mon blog.

Exemple 2 : Évaluer l'intégrale par la méthode de rationalisation de la substitution ∫ (`(1)/(x)` + x 2/3) dx.

Solution: Les puissances de x dans le problème sont 1 et 2/3 et on peut considérer le L.C.M du dénominateur comme 3.

D'après la méthode de rationalisation de la substitution, nous avons x = z 3 et dx = 3z 2 dz, alors

(`(1)/(x)` + x 2/3) dx = ∫ (`(1)/(z^3)`+ z 2) 3z 2 dz

Lorsque nous substituons la valeur de x à la place de z, nous obtenons,

Ici, C est appelé la constante.

Veuillez exprimer votre point de vue sur ce sujet, cbse 11th commerce syllabus en commentant sur le blog


Thomas Simpson

Thomas Simpsonson père était tisserand. Thomas a reçu peu d'éducation formelle. Il a fréquenté l'école à Market Bosworth pendant un certain temps, mais son premier emploi était comme tisserand. Il apprit lui-même les mathématiques, ce qui n'était pas rare pour les tisserands de l'époque comme nous le verrons plus loin. Il a quitté sa ville natale pour occuper un poste d'instituteur à Nuneaton, dans le Warwickshire. À partir de 1725 environ, alors que Simpson avait quinze ans, jusqu'aux environs de 1733, il enseigna les mathématiques à Nuneaton.

Simpson logeait à Nuneaton chez une dame du nom de Swinfield qu'il épousa en 1730 . Ils eurent une fille Elizabeth née en 1736 et un fils Thomas né en 1738 . En fait, Simpson et sa femme avaient quitté Nuneaton avant la naissance de ses enfants. La raison qui a été rapportée par ses biographes est la suivante. Il [2] :-

Simpson était le plus distingué d'un groupe de conférenciers itinérants qui enseignaient dans les cafés de Londres. Cela peut sembler étrange, mais en fait, à cette époque, les cafés étaient parfois appelés les universités Penny en raison de l'éducation bon marché qu'ils offraient. Ils facturaient un droit d'entrée d'un centime, puis pendant que les clients buvaient du café, ils pouvaient écouter des conférences. Différents cafés répondaient à des intérêts spécifiques tels que l'art, les affaires, le droit et les mathématiques. Par exemple, De Moivre a utilisé le Slaughter's Coffee House à St Martin's Lane comme base pendant ces années, et William Jones, qui était un ami de Simpson, a pu gagner sa vie en donnant des conférences dans des cafés tels que Child's Coffee House à St Paul's Churchyard.

En 1743, Simpson est nommé directeur des mathématiques à la Royal Military Academy de Woolwich. En fait, cette Académie a été fondée seulement deux ans avant que Simpson n'occupe le poste et sa nomination a eu un impact sur les sujets mathématiques qu'il a étudiés. En particulier, il a commencé des recherches sur les problèmes d'ingénierie et les problèmes liés aux fortifications. Deux ans après sa nomination, Simpson a été élu membre de la Royal Society. Tandis que nous décrivons les honneurs qu'il a reçus, il convient de noter qu'il a également été élu membre de l'Académie royale suédoise des sciences en 1758 .

À partir de 1737, Simpson commença à écrire des textes sur les mathématiques, publiant Un nouveau traité des flux cette année-là [ 2 ] :-

Simpson est surtout connu pour ses travaux sur l'interpolation et les méthodes numériques d'intégration. Cependant, la méthode numérique connue aujourd'hui sous le nom de "règle de Simpson", bien qu'elle soit apparue dans son travail, était quelque chose qu'il a appris de Newton comme Simpson lui-même l'a reconnu. A titre de compensation, cependant, la méthode de Newton-Raphson pour résoudre l'équation f ( x ) = 0 f (x) = 0 f ( x ) = 0 est, dans sa forme actuelle, due à Simpson. Newton a décrit un processus algébrique pour résoudre des équations polynomiales que Raphson a amélioré plus tard. La méthode d'approximation des racines n'a pas utilisé le calcul différentiel. La forme itérative moderne x n + 1 = x n − f ( x n ) f ( x n ) x_ = x_n - Grand frac x n + 1 ​ = x n ​ − f ′ ( x n ​ ) f ( x n ​ ) ​ est dû à Simpson, qui le publia en 1740 .

Il a également travaillé sur la théorie des probabilités et en 1740 a publié La nature et les lois du hasard. Une grande partie du travail de Simpson dans ce domaine était basée sur des travaux antérieurs de De Moivre. In fact he was involved in a dispute with De Moivre over issues of priority on the topic of probability and annuities. He worked on the Theory of Errors and aimed to prove that the arithmetic mean was better than a single observation. His justification of this appeared in his 1757 memoir An attempt to show the advantage arising by taking the mean of a number of observations in practical astronomy.

Simpson published Mathematical Dissertations in 1743 which discussed the attraction of the solid obtained by rotating an ellipse around one of its axes. His two volume work The Doctrine and Application of Fluxions in 1750 contains work of Cotes and is considered by many to be the best work on Newton's version of the calculus published in the 18 th century. Problems in astronomy such as the precession of the equinoxes were discussed by Simpson in Miscellaneous Tracts (1757) .

In 1754 he became editor of the Ladies Diary. He had published in the Ladies Diary from the time he came to London in 1736 . He answered problems posed in this publication, but used a variety of pseudonyms such as Marmaduke Hodgson, Hurlothrumbo, Kubernetes, Patrick O'Cavannah, and Anthony Shallow. It was his obvious mathematical skills demonstrated in these solutions which first brought his to the attention of other mathematicians of the day. Other periodicals which he published in were the Gentleman's Magazine, Miscellanea Curiosa Mathematica, et le Gentleman's Diary.

In [ 9 ] Stigler describes an event which occurred near the end of Simpson's life:-


6.5: Miscellaneous Integration Methods - Mathematics

On this website you'll find a variety of applications which will help you numerically solve mathematical problems. Some you can use indefinitely, others can be tried in their full functionality for 30 days without registering. If you love or need mathematics, feel free to download as many as you wish and try them out.

Our hope is to make a contribution to the enjoyment of mathematics through this web site. To this end we are posting here Numerical Solutions , which consists of 8 collections of mathematical programs. Please feel free to download them.

le Mathematical Software section describes the collections of Numerical Solutions and links to each individual collection 's page for more detailed descriptions of each program and for downloading the applications.

le Numerical Methods section briefly discusses some of the methods of numerical mathematics used in the programs downloadable from this website.

Numerical Mathematics
is the branch of mathematics that develops, analyzes, and applies methods to compute with finite - precision numbers.

Numerical mathematics
is a vast field whose importance cannot be over-emphasized. The solution of real-life problems quite often can't be achieved without resorting to the methods of numerical mathematics.


Colour and Normal Interpolation

As it applies to triangles and quadrilaterals in the rendering of 3D surfaces

It is frequently desirable to estimate the colour or normal at a point in the interior of a 3 or 4 vertex planar polygon given only the colour and normal at each of the vertices. The most common application of this is smooth rendering of surfaces approximated by a finite number of triangular facets or quadrilaterals. Without colour and/or normal interpolation each planar piece of the surface has the same colour and normal, this results in a visible discontinuity between adjacent faces. The following illustrates a part of a sphere made up of quadrilaterals and rendered using a single normal applied to the whole face or 4 normals at each vertex interpolated across the face.

Wireframe
Single normal across face
Normal interpolated across face

The approach most commonly used by 3D rendering packages, both real-time such as OpenGL and more CPU intensive algorithms such as raytracing, is called Phong normal interpolation. A often used efficient implementation is called barycentric interpolation. The idea is the same for both colour and normal interpolation, a line is extended from the point in question to two edges of the polygon. The estimate of the colour or normal at those points is made by linear interpolation between the values at the vertices of the edge. The estimate at the point in question is linearly interpolated from the estimates at the ends of the extended line.

This is illustrated in the sequence below, while this is for normals the method is identical for colours which are after all generally a (r,g,b) triple instead of a (x,y,z) triple. In (A) the point P is where the colour or normal is to be estimated, a line is extended (in any direction but shown as horizontal in this diagram) until it intersects two edges. In (B) the normals at the intersection points of the extended line are shown in red, they are calculated by linear interpolation. In (C) the two normals in (B) are linearly interpolated to give the estimate of the normal at point P.

The colour or normal estimate at the vertices is always the same as the vertex value.

The colour or normals along the edges only depends on the colour or normal at the edge vertices and not on the values at the other vertices. It is this that ensures that adjacent faces with the same colour or normal along a joining edge will join smoothly even though their other vertices may have very different values.

The direction in which the line is extended out from the point being estimated doesn't matter except that it must be the same for all points within a face. One way is to choose a major axis by specifying a normal. The plane with this normal that passes though the point in question cuts two of the polygon edges, this is used as the extended line.

One difference between interpolation of normals and colours is that the normals estimated at the end of the extended lines and the final normal at P are normalised to unit length. In colour interpolation each r,g,b component is treated independently.